matrizes ppt

PROF.: LIMA

Matrizes Definição

Mat Fis Qui

João 7 5 6

Maria 9 4 5

549

657A

Denomina-se matriz m x n a uma tabela formada por m . n elemen-tos dispostos em m LINHAS e n COLUNAS.

PROF.: LIMA

Matrizes Notação

Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aiijj onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento.

Observação: As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita.

A =

PROF.: LIMA

Matrizes Representação de Matrizes

A representação de matrizes é feita de três formas diferentes:

PROF.: LIMA

Matrizes Tipos de Matrizes

A = (1 3 7)

Matriz Coluna

É formada por uma única coluna.

Matriz Linha

Toda matriz que possui só uma linha.

PROF.: LIMA


Matriz Nula

000

0000

Matriz Quadrada

04

12

Possui todos os elementos iguais a zero.

Possui todos os elementos iguais a zero.

PROF.: LIMA


Diagonal Principal

Diagonal Secundária

Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i = j.

Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i + j = n + 1.

PROF.: LIMA


Matriz Diagonal

Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal

É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero.

PROF.: LIMA


Matriz Identidade ou Matriz Unidade

É a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.

Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja: A . I = I . A = A

PROF.: LIMA


É matriz obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de uma matriz dada.

Matriz Oposta ( - A)

PROF.: LIMA


Dada uma matriz A do tipo m x n chama-se transposta de A, a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de A serão as colunas de At e vice-versa

201

435A

24

03

15tA

Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de At .

Matriz Transposta

PROF.: LIMA

Matrizes Operações com Matrizes

Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se e somente se os seus elementos são respectivamente iguais.

Igualdade de Matrizes

A = B <=> aij = bij

PROF.: LIMA


Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos aij + bij = cij

Adição

PROF.: LIMA


Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos aij - bij = cij

Subtração

PROF.: LIMA


Multiplicação

Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + ain . bnj Observações:

1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz do tipo m x p.

PROF.: LIMA


Multiplicação

PROF.: LIMA


Multiplicação (continuação)

PROF.: LIMA


Multiplicação (outra explicação)

PROF.: LIMA

Matrizes Lei de formação de uma matriz

PROF.: LIMA


Após efetuar a multiplicação sua matriz terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda. No caso de duas matrizes quadradas, o resultado também será uma matriz quadrada.

PROF.: LIMA


Dada a matriz A = (aij) 3x2 e B = (bij) 2x2 efetue o produto A x B.

2422

13

1412

4.51.42.53.4

4.01.12.03.1

4.31.22.33.2

.

42

13

54

01

32

BAC

BeA

PROF.: LIMA

Matrizes Observações

O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em

que A . B = B . A e quando isso acontece dizemos que A e B se

comutam.

Quando A . B for diferente de B . A temos que

(A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2

Quando A e B se comutam temos (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

PROF.: LIMA


Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:

jisejib

jisejia

ij

ij

3

2

927

651

32.32.2212.3

31.321.31.21

232221

131211

A

aaa

aaaA

PROF.: LIMA

Matrizes Exercício Resolvido

Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que:

85

56tXX

Solução:

85

56

2

2

85

56

dcb

cba

db

ca

dc

batemosdoSubstituín

db

caXe

dc

baXdeChamaremos t

PROF.: LIMA

Matrizes Operações com matrizes

Produto de número por uma Matriz

O produto de um número por uma matriz m x n resulta uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada.

=

=

PROF.: LIMA

Matrizes

Matriz Inversa (A-1)

Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I.

nIAA 1.Dada a matriz A = e matriz B = , verifique se elas são inversas.

.

Multiplicar as duas matrizes se o produto encontrado for uma matriz identidade de ordem dois, elas serão inversas entre si.

matrizes ppt

Education