MATRZES

r

JACOBI ( reo4 - 1a5r )CarI Gustâv Jacob JACOBI nasceu na Alemanha, onde fez seus estudos,

dedicando-se prlncipalmente à Filologia e à Matemática. aperfeiçoando-senesta últtma. Difereritemente de multoõmatemáticos de seu teiroo. iacobi eraum professor nalo e gostavâ de ensinâr.

Seus prlncipâis trabaÌhos foram no campo dâ'feoriâ dâs Funções Elíp-t-icas e daTèoria Aos Determinantes. Nesta, Jâìobi prcocupou-se coin a nota-ção adequada para os determinantes, crjândo âìgoritmos e Ìegras práticâs pâ-ra sua ufrltzacáo. Fol Dor esse motÍvo consideradúm dos Éranães rèsponsaversoelo desenvol\,'lmentô da Tcoria dos Dererminanler

sltJloIJIzf

{

MATRIZES

INANTES

ii TEOREI'A DE

i," ..,,,,,s.-PllcETEOREMADE JACOBI

SISTEMAS LINEARES

I

ffiKm€wffiffiffiffit

As matrizes são tabelas de números reais utilizadas êm quase todos os ramos da ciénciae da engenharia.

Várias operaçõesexecutadas porcérebroseletrônicos são computâções pormatrizes. Sãoutilizadas na Estalística, na Economia, na Física Atômica, êtc.

t

Vêjamos um êxêmplo:Considerê a tabêla a seguií, quê in-

dica o número dê vendas efetuadâs poruma agência dê automóveis durântê o pri-meiro trimestre.

Sê ouisêrmos saberaouântidâdê dêcarros Voyage vêndidos êm janêirq iíe-mos procuraro número que êstá na quar'ta linha e na oÍimgira coluna da tabela.

No quadro indicadq os números colocados nas disposições horizontais formam o quedenominamos linha e os colocados nas disposicóês vêrlicais châmamos de coluna.

O conjunto ordenado dos númerosquê Íormâm a tâbela

Neste exemplo, temos ìrma matriz do tipo 4x3 {lê-sê: quatÍo por ttês), isto é, uma matrizÍormada por 4 l inhas e três colunas.

Representa-se uma matíiz colocando-se seus êlementos entre parênteses ou entre col-cneles.

20 t8 2512 10 't515 92018 15 21

e denominado malíiz ê câda númeroé chamado elêmento da matíiz.

18109

'15

lzolt2115ì18

18'10I

15

T+ 3l coruna

zsl-------* t. ''nnu'15l.. . . . . .*211;n66

20 l"*31 1;n6621

l _al r inha

251520

lzo112ou Ir3

Umamatrìzdotipo m x n (lêse: m por n), m, nmentos dispostos em m linhas e n colunâs.

DEFINICAO

121

A ORDEM DE UMA MATRIZ

Para se indicaraordem dê uma matriz,dizemos pÍimêiroo númerode l inhase, em segui.dâ, o número de colunas.

Veiamos alguns exemplos.

ql i : ; l ordêm2 x 3

I

c) l ; l ordem 2 x 1(malr izcoluna)l t

Malriz coluna é a matriz que tem somentê uma coluna.

d) l ; ãl ordem 2 x 2lnatt iz nula:l

Malíizíulâ é a matrizquetemtodososseuselementos iguâisazeroVamos rêprêsentá.la semprepor 0.

Utilizamos lelras maiúsculas paía indicârmatrizes genéricas ê lglras mlnúsculas corÍes-pondêntes paÍa os elementos.

Algêbricamente, uma matriz A pode sêr repíesentada por:

(^. ^. ,

a.s. . .ar" \I azt azz az:. . .az" ìI aat asz a$...a3n I

A= I lcomm,n(N-t l\ tYm1

am, aff i . . .amn/

Comoo quadÍoAé bastantêextensq a matriz mx n será rêpresentadaabreviadamentepor

Os elementos dâ matriz A sáo indicados por aú, onde:

i€ 11,2,3, . . . , ml ê j€ [ 1,2,3, . . . , n] .

. Oelemento a[é afetadodedois índices, ondeo primeiÍq i , represênÌaa l inha, eo segun-dq j, indica a coluna às quais o elêmento aij pertencê.

Assim, temos:4,1 ( lê.se: a um um) - elemento tocâtizado na lt t inha ê 1t cotunaa32 (lêSe: a três dois) - elomênto localizadona3? tinhae 2i cotuna

tb) t4 1 ,,121 ordem '1 x 3 {matriz tinha)

MatÍiz linhá é â matriz que tem somênte uma linha.

RE PR ESE NTACÃO ALGÉBR ICA

MATRIZ QUADRADA

aSê o número de linhas de uma matriz Íoí igual ao número de colunâq a matriz é dita

quadÌada.Quando nos referimos a uma matíiz quadrada n x n, podemos dizêr que a sua ordem é

nemv€zoenxn.

Exomplos:

I l á] é uma rnatr iz oe oroem z ( l iË) . ;é uma metr izde oídém 3

Os elementos aii de uma matriz quadrada, em quê i = j, formam uma diagonal denomi-nada diagonal píincipal.

diagonal

a[=3i - j+aj1 = 3.1- 1= 2ap=3'1-2=' la21 =3'2- 1=5az=3'2-2=4a3i =3 3 1=8ã32=3 3 2=7

diagonalPíincipal

A oútra diagonalé chamâda diagonal secundária.

Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aiÀx2 êm que aij = 3i - j.

Fesolução. A íeprcsêntação genérica da matriz é:

t - - IA = l"r, azrl

[4.' a32l

l2Fesposta. A = |5

l8

1lal7l

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Construa a matriz A = (ajtr.r definida por

- í ( t ) ' ' , ,se i r jd i i :10,s€i=j

2 Construa as matrizes:

a) A = (ajrr"r, tal que air = 2i j.b) B = (bi)a,r, tal que

. Í i * j , ' " i< j"rr t i j ,seì> j

3 {che o, elemen'o, dà marr i / A - ia, , de or-dem 3, em que a,; = i'z + ;'?.

4 CalcìÌle a soma dos elementos da 21 coluna damarriz B - (bij)2xr, em que bij = 2i + j I

5 E'creva oselemenro5da malrLA - {a, )r , Lai

í t -sei * i0,sej=j

ó DfÍermine a \oma do\ eìemenro, da dügonalpr incipal comos elementosdd diaeonal \ecun-dária da malr i , , A - ta,r l de oidem 4. em que

7 Quantos elementos t€m uma matliz quadradacle oÍdem 6?

Í

A matíizquadradade ordem n;êm quetodos oselementosdâ diagonal principal são iguaisa 1 (um) ê os dêmais elementos sâo iguais a 0 (zero), é dênominada matÍiz unidade ou malrizidentidade.

Bepresênta.se a matriz unidade por ., .

Exemplos:, t1 0ll , =

l0 ì I e uma matriz unidade de ordêm 2

[ ' o oliJ=10 1 0l é uma makiz unidâde de oídêm 3

[0 0 1,1

Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos lransposla de A â mâtriz de oÍoemn x m obtida, trocando.se ordenadamente as linhas Delas colunas.

Indica-se a trânsDosta de A oor A'.

Exomplo: Seja a malriz:

1 2l3 5l

v2 ol3"'

Observe que:

a 1: l inha dê Aa 2i l inha dê Aa 3: l inha dê A

, 11 -3a suâ transposta é A = |

12 5

*l0lzxs

é igual à 1i coluna de Ai.é igual à 29 coluna de At.é igualà 3: coluna de Ar.

MATRIZ UNIDADE OU MATRIZ IDENTIDADE

MATRIZ TRANSPOSTA

t_

124

Sejam as matrizes = (aij) e B = (bi) de mêsma ordem. Se cada elêmento de A Íoí igualao elemênto correspondente {êìemento qúe ocupa a mêsma posiçáo) de B, as matrizes Àe Bsáo ditas iguais.

Consideremos as matrizes:

t

IGUALDADE DE MATRIZES

Observamos quê as matrizes A e B são do mesmo tipo (3 x 2).

fis a l /+ r s+e\A=l 0 5l

" B=12 2 5x1l

ì1 2l \1 -2 a:21

3ebÍ=4 1 -

0eb21 =2 2 +- '1 eb31 = 1 - 2 e

8eb12=5+3 =

5eb22=5x1 +

2eb32= 4 i 2 +

Nessê caso, dizemos A = ", '*"

, ( je\ /q r s+: \5 l = {2 2 sxi l2 l \1 2 a:21

+y5ïl

x+y=23x y=10o=",r [ ,ã r ]=

Exemplo: Dadas as matrizês A = | ,Íl ' "

calcular x e y para que A = Br.

Resolução:

Rêsolvendo o sistema, temos:

I x+y=2 -3+y=2{3x y=10 y= 1

4x. = 12

Resposta: x = 3êy = 1

Assim:

I sl -1l '

i todos os elemênlos correspondenies

com:

vi € 11,2,3, . . . , m lv i ( [1,2,3, . . . ,n]

" "= ["* ' u] '

125

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Determine â transposta da mat zA = (aiJr-r,

í i isei= iemquea'r = i r i .e i - ì

2 Ouale a marr iz transposra da matr iz ident ida-dc de ordem 2?

3 Ache a transposta da matriz A = (arrr-, tâl/ . Í \ / . r \+ cosf 6 I

/ r r \4 Dada â marÍiz A = (i 11 ro"* q*

(A)' = A

5caìcure\ey.sabendoq*í t l l ì - í , t ì- \ rx-v, / l \ ro/

ó Determine a, b, x, y, sabendo que

i *+y:a+t\_/ : I ì\2x y a-b/ \0 1l

t7 Dadas as matrizes

l - { ! [ a l lo 6 s ln = l(-e-1 : rÍ1 .s = ft i 1ì1,

[Y'ü f4 86Jcalcule x, y e z para que B = AÌ

t

plq com númeíos íeâis.

a) AdiQão e sublrãção

A adiçáo ou a subtração dê duas matrizes A e B do mesmo tipo é efêtuâda somândo-seou subtraindo-se os seus elementos correspondentes,

ExemDlo: sendo A = / + s\ ^ /r z\\ z r / e É =

[s z l 'têmos:

A_B=

13 2ì í5 i ì5 1+7/ =13 8l

2l I 4+7l= \ 2 +

-2t I 4-7l=\-2-

42

42

1).( lÍ ) ( l 1

53+2\ /s b\1 - 7 l= \ -7 -61

De uma forma geíal, se A = (aitmxn, B = (bij)mrneC = (cij)mÌn, temos:

C=A-B=", , =a, -b, ,Podemos, também, efêtuar a subtraçáo dâ seguinte Íorma:

C=A-B-C=A+(-B)

lsto é, a matriz C é igual à matriz A adicÌonada à oposta da matriz B.

OPERACOES COM MATRIZES

Agoía vamos comêçâr â operaí com as matíizês, isto é, assim como fazemos, por exem-

126

. MalÍiz oposla

Dênomina-se matÍiz oposla de uma matíiz A a matriz - A cujos elemenlos são os simétri-cos dos elementos correspondentes dê A.

Exomplo: I z sl l_z sìo=l-u i l o=l õ; lObseíve que â opostada matrizA é obtida tíocando-se os sinais dê lodos os elemenloa

de A.

. PíopÍiedades

Vejamos âlguns êxemplos_

íe exempto: Dadâs as matrizês A = [_: l] r =

calcular: a)A + B b)A - B' - C

Resotução: a)A+ B=^. "=[_3 l ] - [ :

b)A B'-c=A-(BÌ+c)=

Ít

1?)A+ B= B+A (comutât iva)

2ï(A + B) + C = A + (B + C) (associativa)

3:)A + 0 = A (elqmento neutro)49)A+( A)=0 (elemento oposto)

[: -;1"" = [: l],

2l . l35l - [6

, t- t -2t t1--6J =[ 8

?l3l++

r l Í zsJ =[ r

; l [ [ -?l l [ :a l11. [-3

2-3

23

2-3

1l2l

nesrosta: a) [ i il or[ j jl

2e exempro: Dâdas as matrizês A = Í ;ì" "

= Í-ll.l5 l \21

câlculara matrizx, tal quex A + B = 0.

Resolução: O 22 meínbro da equação é uma matriz nula de ordem 3 x 1.

se: x - A + B = o = x = a - B /s\ Í r l /+ lx = a + ( .8) = l_21 + Í 4 l = l2 l

l+ l I 5/ \ -21 \31

Resposta: X = l2lt " l

127

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

f'.,iìt

I nadas as matrizes r = l i : l 'Lz -))

^ Í : a1 ^ | a2l"=[o - '1"-=ls s1 " ' " ' ' 'a)A+B c)B+C+Ab)A + C

frrolZ Dada a marr i / A l2 3 4l ,obrenha

[0r21amatr jzXtalqueX = A + A' .

3sendo A (ar) , ,1ral que ar 2 ' j eB íb,r) , , ta lqueb, - i + j l .calculeA+8.

4 Ache m, n, p e q, de modo que:

lm zml t ' ' l [ r s lIp pl + [q - :q l =

[ r s l '

5Sejam ar maf i i rer { - {a i r r r r . comaij = 2i jreB = (Ìrì)2x2, com bü = aü + LCalcule:

a)A-Bb)B A c)(A + B) ' d)4. - B'

8 Ache x, y, z e w, de modo que:

/ - , ì Í -u i ì í - r o. |\ . . / \ 4 r / - \ 8 -5l

ó Dadar as matÍizes:.-

/ 15\ i 2 ì \ /e t \A=l 2 4l .B- l r o lec l r 21.

\ r r / \4 2l \0 r /calcule:a)A - B d) C-\.J'Bb)B-c e)A. - ct t fc)A-B C 0 C- (B--À)

I | 2 3ìTsendoM: I r 0 -21.

\ 4 3 5l/ loo\ /o-rr \

r=lo r o ler=l : o r l .\00r/ \ r 201

calcÌrl€ X, de modo que:

a)X M=N-Pb)P+X=M-Nc)x+(M P)=N

b) Multiplicação de um número real por uma matíiz

Considêremos as matíizês:

Observamos que:

âÍ= 2, bÍ= 6=3 2 3 bi1 =3 a11

ap= 5,he= 15=3 5 +b12=3 a12 os elementos da matí izB são iouais aos elementos ^ ^ "

azr = 3.b,r=.9=3 (3)-br=3 a2r da mai izA, mult ip l icadospelo númeÍo real3.

azz = 6,b '2= 18=3 6 +bzz=3 azz

Fortanto, para multiplicaí umamatriz porum número real, basta multiplicaÍtodosos seuselementos pelo númerq ê o resultado é umâ matriz do mesmo tipo.

Dala uma matrizA = (ad ê um númêro real k, chama-sê produÌo dê k por A a matrizB = (bd, onde brj = k'aü.

' ( i t ' t 23" 'mJB=k.A+b, j =k.ai j l ; ì ; ì : t .ã: : , . : ; ;

128

^=( 3 B)" '=( s H)

t_

r'

!.

Vêlamos alguns êxêmplos.

. / r ro-el19 êxemplo: Calculaí: a) - + . | 20 6 6l

' \ '2 0 201

. / r ro-e\ lz 5Resoluçâo: -

'1 .1 20 6 6l = l 1o 3

' \2 o 2ol I 1 0

l t c l ^ f ro l29 ex€mplo: Sabêndo-se que A = l ì i lea= 1; -1.

obter as matí izes M e N tais ízÀ,|+N=a aque:LM+3N=2A+B'

Resolucão: ízu+N=n-g = 2Ìú+N = A B- i la + aN = 2A + B'.= ?t\4 - 6N = -4A 2a

-5N = -3A 38

" = 3 (4=t C)

^Íszìo lo z lN=---

= 6t\,,t 3N == N4+3N=

5l\ ,1 = A+48

Àr_ A + (-aB)5

"H [ :EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM Ltr4

:l- 10/

.fI

fzu + r= e-aiM+3N=24+B

I 6 l13 5l

=N=l a It0 + |

-34 + 382A+ B

cl

to"0""",.*'"oo=(3 1 ?),

": ( ,1 _i 3)"" = (ï -i 3),câlcule o rcsultado das seguintes operações:

a) 2À - B + 3C

ule-$o*c). Í 3 l

2 DadasA = | 2 leB=l , l

1014l, resolva a equa-8l

3 xesorva o sistema [ï

I ï ] lo* "u

,...." = (_;)"" = (-1)l r

4 Calculeamatrizx,sabeno.nr." = [ 1

. " = ( , t à l ) "u*or '="

5 Calcule a e b, de modo que:

ï '

ção2x-A*|n=o " [-] ãl .' [l _?] = [_; -_':]1n

SOMATORIOS

l . ' '

. Na multiplicaçãode malrizes queveromos no próximo itêm, utilizaremoso símbolodêso.mâtóÍlo , (ietra sigma maiúscula do alfabeto grêgo) para representar umâ soma.

For êxemplq a somâa1 + a2+ a3 +a4+a5+a6 o

pode sêr representada abreviadamênte porÂ!1r lte-se: somâtóriode alcom ivaíiando de 1 a 6) .= J

lsto significa quq fazendo sucessivamente i = j,2,3,4,5,6 obtêmos os termos da somaOGêneralizandq temos:

f

Em que: i é o índice da soma;

p é o limite infêrior do somatório;n é o limite superior do somatório

5Exempto: calcute X 3i2.' i=1

5Resotução: I,3ì2 = 3j2 + 3.t + 3.32 + 3.42 + 3.52

5Xgi '=3+ 12+27 +l ts+75

5t3É = 165

Fesposfa.' 165

IÍi,

1iI

:

lii

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM

I Calcute:62

a)t(5i 2) b)X(t - i )i= l

!q , .2 carcure ) Í+ì.

,=0 \ z , l

130

3 Encodre s. sendo s =,ì I -,ì l '"

344 calculJ G u*,!fa. jl.

t c,r",1."à , Ë.

l;1"".",.'." = o "+ arb21 aÍbe+ a22b21 ãzbpt ã32b21 a31b12

. .Obseryeque a operação de multiplicação é êÍetuada multipticando-se linha porcoluna,isto é, cadaêlêmento de uma linhaé multiplicado pêto êtêmento òorrespondente dè dma colu_na e, em seguida. os píodulos sâo adicionados.

.Ponanto, o êlêmênÌo cj111: l inhaê 19 coluna)dâ matriz produto é encontrado mull ipl i .candose os elementos dâ 1i linha de A pelos elemêntos da ji coluna de B. somando_sêosprodutos obtidos.

Obsêrve o esquema para ilustrar:

Em que:êl=âtbtr*ârzbzt

Nâ multiplicação de duas matrizes Ae B, o númêro de colunas de A deve sêr iquat ao nu-mero de linhâs de B, e o produto AB têm o mêsmo número de linhâs de A e o mêsÍio númerode colunas de B.

Exemplo: Sêiam as matrizes A = 3:l â;1,=[larr a:z,l lu21

+ afo22l

+ a32o2l

3x2

la, r arz l lb, , b,z l lâ, ,b,rlazl a22l | | = la:rbÍlârr au,l lb" brl [tu1b11

t

2x23x2

F "ì'L

SeAédot ipo3 x 2,eBédot ipo2 x 2, então AB é do t ipo 3 x 2.Se A é dolipo5 x 3, ê B édo t ipo 3 x 1, então AB é do t ipo S x t.SêAédot ipo3 x 4,eBédot ipo2 x 5, então não existê A . B.

. Propriedades

.A multiplicação dê maÌrizes possuiâs seguintes propriedades, seexistirem os produlosenvolvidos:

1ïA (BC) = (AB).C (associativâ)2i)4.(B + C) = AB + AC (distr ibutiva à direita)3:)(B + C). A = BA + CA (distributiva à êsquerda)

132

MULTIPLICACÃO DE MATRIZES

Vamos introduzir essa opêrâção poÍ meio de um exemplo orátjcoUma docêira produz doÍs tipos de docês, A e B.

u,"05âr.a . OroOrnao Oêsses doces são utilizâdos os ingíèdiêntes X, y e Z, conforme indica

,J {

A rabeta dada será representada petâ matriz A, ^

= [3 il

suponhâ que sêjam Íâbricados 50 doceè do t'0" o "

roL1"JJo",,oo B, por dia.Esla quântidade de doces pode ser íêpresenLada peta matriz cotun",

" = [:9ì

. se quisermos determinar â quan t idade de ingredientes X. y e z uütiruoo" potï1", pro""-demos da sêguinte forma:

Ingrediente x :5 . 50 + 8.20 = 410IngredìenteY:3 50 + 2. m = 190Ingrêdiente Z : 4 . 50 + 7 20 = 340

Estas quantidades podem ser reprêsentadas pela matriz: C =

Fodemos obteresta malrizC, denominâda matriz produtodeA por B, da seguintê forma:

. Câda elemento da matriz C é a soma dos produtos ordenados de uma linha da matriz Apêla coluna da malriz B, ísto é:

+8.20+2 20+7.20

Inro Il leol13401

" [i ;l r:st [iii]410=5.50190=3.50340=4.50

Definição:

Dâda uma matriz A = (arl)m,n ê uma mâtriz B = (bldnxe, denomina-se pioduto de A porB a matdz C = (cdmxp tal que o elemento cik é a soma dos produtos da i-ésima linha deA pelos elementos correspondentês da j-ésima coluna dê B.

13í

Observaçõesl

1i) A multiplicação de matrizes nãoécomulativa, istoê existem matrizês A e Btais queAB I BA.

2?) Se ocorrer AB = BA, dizemos que as matizes A e B comulam.

3?) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulâmento do produto, isto é, podêmosterAB = 0,mesmocomA l0eB + O

4:) Não vale também a leÌ do cancêlamêntq isto é, podomos ter AB = AC, mêsmo comfAroeBlc.

Vejamos alguns êxemplos.

í9 êxemplo: Etetuaí: a) Í9 7\ Í1\0 8/ \4

b)11 2 3l

aesotuçao: a\ [s t\ lt\0 8l Ì4

b) t1 2 3l [ ; ]

=. o+2' \ 2r+3 41 =lo -4 +14=I8l

"""0*,"", d (31 :3 ?3) b) r8l

I

29 exemplo: Resolveí a equaçâo matíicial X Il

Resolução:x[1

23\561

ol-214l

ls t+t 4 9.2+7.5 9 3+7.6ì\0.1+8.4 0 2+8 5 0 3+8 61

/s+zo ta +3s 27+a2\[0r32 0+40 0+481

foz ss osl\32 40 481

23ì

[Ê]n , o=[ï i s lIa za sal lz t a l a=zlb 2b 3bl =[1 2 3l -b=1

"=l l l

, o=[ l ; : ]2 3l=l i ; i l=xédot ipozxt .

1x3 2x3

L_

Resposta:

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

liiuroo",

" (-? -;)

b)(1 3 5)

, ( -?;)(3j)/ r o o\ /2 2 l \

"fá i ?/ [j i ,J(21oadas as matrizes

I 2 oì / , ^ ^\^=( l l , ; ' "=t-ò í ; lcalcììle (A + a) 1e.' - a;.

, l o"o"".u,,r o , [i J 31..r*n^,.- [0 0 r l

(,!n"a* e = (; ?)"" = (3 à), "'""'"AB e BA, mostraúdo que AB í BA.

i r ,senaoa= (ã i),":(; à),"=(l),calcuÌq se existir:a)AB b)AC c) BC

Ír-t lfõl 12 o 016,SabendoqueA lo - l o lea - lo + ol .

l0 031 l \02, |calcule x para queã e ='B A,. '

7 Considere as matrìzes A = (ai)eB = (bir,quadradas de ordem 2. com ai - l i t4 ieb. - 4 j . -3 j .Sabendoquec-A. &determine C'.

E Dadas as marriz€s

^ [aur l - Í r - ro l^-[ t r aJeó [6 I í l .derer-

mjne a e b, para que A B=l ; iJ

9 CaÌcule a e b, de modo que as marrizes

- I I i l - lâ hl^=l

' 01" '=[o z1'o 'ut"

t , ,1 t . ^1l0sdbendoqueM I" i l . r = l í Yl .*r .l " , l t | l l

cìrle MN - NM.

t , , \l lsendoA - í . ' l l "s l '1 l . .ur . , leo

\ . - t t \ o, fmatriz X, tal que A . X = B

I t o12 Re'oi"a a ecuaçâo

(2 |

l3Determine x e y na igualdade

/ : r \ 'z / r \ / r : \\ j 4 \v/=\2/

14Gatec-SP) Calcule ae b m equaçãò matricial

[aÌ lcose senpÌ Íx l[u l

- I 'e"a \o50] [y l

para(x v)-(4 2)

ed = + rad.

l5 (Fu!esr-SP) Dadas as -uui'.,

o = [1 O, " ,J '

Í r r lB -

[ú i l . a.Le'min. a e b. de modo que

AB = I, onde I é amatriz identidade

?

( ; )

í )

i : )2)

(

(

3

"( i ; )l3ì

d)[?/(0 -

i ) ' ( , i )

Ì

134

INVERSAO DE MATRIZES

Dados os números rêâis a e b, com a * 0 e b I 0, podemos ter:

a b=b a=1

Da equação acima, temos: b = + oub = a l , em que b é o inverso de a.

Vamos utilizar um raciocínio análogo para duas mâtrizes quadradas A e B.Sê exist ir uma matriz B talque tt

dizemos que a matriz B é a malÍiz

Portânto:

inveísa de A e a indicamos por A l

Observações:

1?) I é uma matÍiz identidadê dê mesma ordem quê as matrizes A e B.

23) Se existiía invêrsa, dizemosque a malrizA é Inversível e, em caso contrário, não inveÍ.Eível ou singulaí

3i) Se â matriz quadrada A é inversível, ela é única.

Exemplo: Detêrminar a inversâ da matnz A = Í? 1ì' - \1 5l

Resotucào: Fezendo A' = 11 qì' \ç u,

Sabemos que A A '= 12

/z n\ /a u\ / t o\ /za + ac\r s/ \c o/ =\o r /=\a+sc

Pela igualdade de matrizes, temos os sislemas:

(^- , -t^11ë + 1u =' _._q-^_ r' . , ta+Sc=0 --- 6 " ' - 6

o=-feo=]

a-tc

Resposta; r | 6

^ =l 1

t- :lo

Í

2b + 4d\ / r oÌb+5d/ =lo 1l

.^ , ízo*+o=otzt lO+5d=i

=

t l

; l

135

7-

EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM

,".."0"^ = [ i

I Determine a inversa das matrizesi

"'^=(Ì â) ,,"=íi ï\ - -

2 ecrc a in"".sa aa matri, A = []

3 vort." qu" "."t.i,

a : [À -ll r 0

t2l1 -21l - l l

4 Mosrre que a inversa d ^^^*(

1 l ì\ - r - r , r

^( t3ì

- \ - r -4 l

5 CaaÈsP) Dadas as m",n*, o - [] 3l "L, )l

I r r ì !B =

[- i l l .catcutenn + , r ' .

óDadas A = [ã _ï l .e=[í - i j .

- t Ía toì"

= lf 1tS bl' oeÌeÌÍune os lãlores d€

aebtaisqueB = P.,C.. P- ' .

I^ l I ' l l^ tt9tDadasA-lYl .B- l i le c- l i l ,car_

r . r I ' t t . t

cule X ial que X + A - (B + C) = 0.

r92seA_[? i l , , - [ i i ì . . -h l l .l r - r t I rut Lz Icalcule uma malriz X de odem 2. ral queX-A B+X

t0

f

0\

áislol2léaií-r l

193 cal"'ne tr (t' 2o).

194 Efetue:

" , (_ i , i ; l ) í i ; ìI ' \ ' , t li 3ìb){- iJ<z + -o

| 8ó Escreva na forma de tabela as seguintes ma-triz€sia)A . (âi j ) rrr . sendo a{ - i j . _b)B = Orj)rÌr, sendo bìj = (-1)" '.

!d7 Corstrua a matriz real quadÍadâ À ale ordem

3, definida por: aìj - f{.jse i < ;l i - - j+ lsei>i '

[ - to r l) 2 | 2 t '

t88s";"^-ur, ;e- | i â ; ; ; It1! 9 t1 lL 5 9 5 t5 l

a) Qual é a oldem de A?b) EscÍeva o elemento aj2.

. c) EscÍe1,a â sua transpostâ.d) Pam que valores de i tem-se ajj = 0?

I r " ' lt8gsejamA - |16 ,^^ r l "s- [? l ?1.

L-" 'os' i i i l - - t" " lDeteÍmine a, b e c para que A = B,

190 CalcuÌex-e y, sabendo que:

[ " 'v '1, [ :* -v l [o oìt t ' l l ' [+x :y l - [s -r l

136

195 Dadas as matrizesÍr - r lo = ló i l "n =

a) l'.b)A'

[l -;], """",",c) A'?Bay otl

19ó Calcule o produto ,L . B de matrizes ondeA = (ai/z*r e B = (bi)r,, sâo tais que

aì j=i j + ' "0,= l i l Ì : iËi?jÍ

' ì !

t97 se e = [ i ! j , calcule.e' + :e . t t t .

l t 0 lonoer = [6 r l .

re8 DadasasmarrizesA = (ï i)"r=(? l),calculeA + 2B - AB.

199 Dada a marriz A = (aú)r*r, tat que

ísen/+i \sei=j"

=1 t . I . determine A' .

\cos (Íj) se i I j

2ooDadalA -( l ' , ' ; . "= [ i ] . . - [ ì lcalculexexseA B = C.

201 Dadas as matrizes A = (aij), com i, j = 1,2,

lendoa,, - - ' ; " ' .B-

[_ j ] j .+ter-

mine a matriz X, tal que Bt + X = 2A.

202 Dada a marr i , , A l i i l .calcuteaeb,de

. . . Í s +lmoooqueA =[_s l l .

ta , t Í .1203sendo q

- l i l lee- l Í l .calculex.r^aiLr r t t , l

que AX = B.

/^ , \204 Dada d maLrizA - lÍ i l. u.t'. u

-uL'-\ r r / I

À tal oue AB = r. *.ao I = 11 9ì.\u , /

205 Oadas as matrizesl l l Í r n l

A= l ; ; leM=l; ; l :t ' I t - .J

a) cletermine M _r

.b) aletermine o traço da matriz M

I A M,

sabendo que o Ìraço de uma mâtriz é a so-ma dos elemenro' da diagonal principal.

20ósendo A, ll Yl..ur.,r. t,q - e- i.

/ , r \ / , , ì

2oTrFFr-sPr se q - l l l lea - l i l l .\z t t \u z l

determine X = (A B-')'.

?

I