gan 00007 Álgebra linear aula 4 matrizes e operações ... · matrizes-linha e matrizes-coluna...

26
GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 – Matrizes e Operações Matriciais Turma A1 Profa. Ana Maria Luz Fassarella do Amaral

Upload: others

Post on 03-Feb-2020

10 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

GAN 00007 Álgebra Linear

Aula 4 – Matrizes e Operações Matriciais

Turma A1

Profa. Ana Maria Luz Fassarella do Amaral

Page 2: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Trabalhando nos grupos...

Page 3: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Matrizes

Definição 1 (Matriz): Chamamos de Matriz a todo conjunto de

“valores”, dispostos em linhas e colunas. Representamos matrizes

com letras maiúsculas do nosso alfabeto.

Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij

onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse

elemento.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn m n

a a a a

a a a a

a a a a

=A

Page 4: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

=

3231

2221

1211

aa

aa

aa

A

Exemplo: uma matriz genérica 3x2 teria a forma:

Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de

importância especial e é prática comum denotá-los por letras minúsculas

em negrito em vez de letras maiúsculas. Assim um vetor linha 1xn

arbitrário a e um vetor coluna mx1 arbitrário b podem ser escritos como

==

m

n

b

b

b

aaa

2

1

21 ,][ ba

Page 5: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Nota histórica:

Fonte: Álgebra Linear com Aplicações, H. Anton e C. Rorres, Bookman, 2012.

Page 6: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Tipos de Matrizes

Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas.

=

632

420

531

A

Page 7: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal

principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.

diagonal principal

Matriz Nula: Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus

elementos são iguais a zero.

=

000

0000

Page 8: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados

acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Se os

zeros estão acima da diagonal a matriz é triangular inferior, se

estão abaixo da diagonal a matriz é triangular superior

613

025

004

300

050

002

Triangular inferior

Page 9: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Soma, subtração e multiplicação por escalar

1. Você sabe somar ou subtrair duas matrizes?

2. Posso somar ou subtrair quaisquer duas matrizes? Que condições precisam ser satisfeitas para que eu possa somar duas matrizes?

3. Escreva uma matriz A e uma matriz B, ambas 2x3 e calcule A + B e B – A.

4. Agora multiplique A por 3 e B por ½.

Page 10: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Pensando...• Podemos pensar em uma matriz como uma lista de vetores

colunas.

• Por exemplo, considere o seguintes ingredientes que podem

ser usados em uma ração:

feijão arroz milho

Carboidrato 21g 74g 23g

Proteínas 9g 10g 2,5g

fibras 9g 12g 3g

gorduras 0g 2g 23g

porção 50g 100g 100g

custo 120 40 30

Monte uma matriz para representar estes dados. Cada coluna deve conter as informações relativas a um ingrediente.

Quais seriam as características de uma ração que fosse composta por duas porções de feijão, duas de arroz e três de milho?

Page 11: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Multiplicação de matriz por vetor

1. Como você calculou as características da ração indicada?

2. Você sabe multiplicar uma matriz por um vetor?

3. Você consegue relacionar o cálculo da ração com a multiplicação de matriz por vetor?

Page 12: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Uma interpretação útilGostaríamos de comparar as seguintes rações:• Ração 1: duas porções de feijão,

duas de arroz, três de milho.• Ração 2: quatro porções de feijão,

três de arroz e uma de milho.• Ração 3: duas porções de feijão,

três de arroz e duas de milho.• Ração 4: quatro porções de feijão,

duas de arroz e duas de milho.

feijão arroz milho

Carboidrato 21g 74g 23g

Proteínas 9g 10g 2,5g

fibras 9g 12g 3g

gorduras 0g 2g 23g

porção 50g 100g 100g

custo 120 40 30

Você poderia usar multiplicação de matriz por vetor para essa comparação?

Page 13: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Multiplicação de matrizes

1. Como você efetuou os cálculos para a comparação das rações?

2. Você sabe multiplicar matrizes?

3. Poderia ter usado multiplicação de matrizes para agilizar estes cálculos?

Page 14: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

1. Podemos multiplicar quaisquer duas matrizes A e B? Que condições A e B precisam satisfazer?

2. Você consegue entender no problema da ração porque essa condição precisa ser satisfeita?

3. Quando multiplicamos números a ordem dos fatores não altera o resultado. No caso de matrizes, também podemos trocar a ordem dos fatores na multiplicação? Como você pode interpretar essa limitação no caso do problema da ração?

Multiplicação de matrizes

Page 15: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Nota histórica

• Fonte: Álgebra Linear com Aplicações, H. Anton e C. Rorres, Bookman, 2012.

Page 16: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Propriedades (Soma de Matrizes)

( ) ( )

0'4

3

2

1

=+−

=+−

+=+−

++=++−

AA

AMA

ABBA

CBACBA

aqui M representa a matriz nula (0) e A’=(-A)

Page 17: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Propriedades (Produto de uma

Matriz por um escalar)

Acima a e b são escalares (o produto de uma matriz A por

um escalar b é a matriz bA obtida pela multiplicação de

cada entrada da matriz A por b).

( ) ( )( )

( )AA

AbAaAba

BaAaBAa

AbaAba

=−

+=+−

+=+−

=−

.14

...3

...2

....1

Page 18: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Propriedades (Produto de

Matizes)

Em geral A.B≠B.A. Acima I é matriz

identidade de mesma ordem de A

AAI

BAkBkABAk

CBCACBA

CABACBA

CBACBA

=−

==−

+=+−

+=+−

=−

.5

)..()..().(4

..).(3

..).(2

)..()..(1

Page 19: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Matrizes em blocos (particionadas)

Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou particionada em matrizes

menores inserindo cortes horizontais e verticais entre linhas e colunas.

Por exemplo, as seguintes são três partições possíveis de uma matriz

3X4 arbitrária.

Page 20: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Multiplicação matricial por colunas e linhas

A partição de matrizes em blocos tem muitas utilidades, uma das

quais sendo encontrar uma linha ou coluna específica de um

produto matricial A.B sem calcular todo o produto.

Exemplo: Sejam

j-ésimo vetor coluna de A.B=A.[j-ésimo vetor coluna de B]

i-ésimo vetor linha de A.B=[i-ésimo vetor linha de A].B

−=

=

72

10

14

,062

421BA

Page 21: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Multiplicação matricial por colunas e linhas

O segundo vetor coluna de A.B pode ser obtido calculando

−=

+−+

+−+=

4

27

7.0)1.(61.2

7.4)1.(21.1

7

1

1

.062

421

Segunda coluna

de B

Segunda

coluna de A.B

Page 22: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Sejam

Dizemos que o produto Ax de uma matriz A por um vetor coluna x é uma combinação linear dos vetores colunas de A com coeficientes provenientes do vetor x

Produtos matriciais como combinações lineares

Page 23: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Considere o sistema linear com m equações e n incógnitas:

Podemos substituir m equações deste sistema por uma única equação

matricial:

Forma matricial de um sistema linear

Page 24: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

A matriz mx1 à esquerda desta equação pode ser escrita como um produto:

Denotando estas matrizes por A, x e b, respectivamente, o sistema original de m equações e n incógnitas foi substituído pela única equação matricial:

Forma matricial de um sistema linear

Ax = b

Matriz de coeficientes Matriz-coluna

de incógnitas

Matriz-coluna de

constantes

Page 25: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Matriz Transposta

1. Você sabe o que é a transposta de uma matriz?

2. Monte uma matriz B de ordem 3x2 e encontre a transposta Bt.

3. Monte a matriz de adjacência A

associada ao grafo orientado ao lado.

4. Encontre At.

5. Que interpretação você pode dar para essa matriz transposta? Desenhe o grafo associado a ela.

1

2

3

4

Page 26: GAN 00007 Álgebra Linear Aula 4 Matrizes e Operações ... · Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de importância especial e é prática comum denotá-los

Referências:

• Material do curso de Álgebra Linear da Profa.: Anne Michelle Dysman (GAN)

• Material do slide aula3_PARTE_2_2018_2

do curso de Int. Álgebra Linear 2018.2 da Profa.:

Ana Maria Luz