aula 3 - transformadas de laplace

8/18/2019 Aula 3 - Transformadas de Laplace

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TQ 755

CONTROLE DE

PROCESSOSPrograma de Pós Graduação em Engenharia e Ciência dos Materiais

PIPE – 2012

Aula 3 – Transformadas de Laplace

Prof. Dr. Carlos Itsuo Yamamoto

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Recordação de Solução de Equações Diferenciais

Prof. Dr. Carlos ItsuoYamamoto 2

TQ-755 Controle de Processos

Uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientesconstantes é da forma

2

2

, ∈ : ⟶

0 ⟶ equação homogênea

A solução x tem a forma: x = xh + xp

Onde: xh – Solução da EDO homogênea xp – solução particular


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Solução da homogênea

2

2

0

Então:


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0

1. Se α 1, 2 ⟶

2. Se é raiz simples ⟶

3. Se é raiz dupla ⟶ 2 P(t) (polinômio) 1. Se 0 ⟶ 1 1 tem o mesmo grau que

2. Se 0 e 0 ⟶ 1

0cos 1. Se 0 → cos

2. Se 0 e cos não é solução da homogênea → cos

3. Se 0 e cos é solução da homogênea → cos

0 idem

Solução particular de

Testa as condições iniciais e calculam-se as constantes.


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Um método para resolução de equações diferenciais ordinárias (e

às vezes parciais) que sejam lineares, é o método de

transformadas integrais, ou às vezes chamado de cálculooperacional, de cuja classe o mais utilizado é a transformada de

Laplace.

Definição : dada uma função no tempo f(t) com t [ 0, ] R ,

a sua transformada de Laplace, L[f(t)], ou também F(s), é :



F(s) = L[f(t)] =

0

)( dt et f st onde s C (variável complexa)

A transformada de Laplace, sendo um operador linear, obedece ao princípio

da superposição :

L[ a x(t) + b y(t) ] = a L[ x(t) ] + b L[ y(t) ] = a X(s) + b Y(s)


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Se f(t) e g(t) forem duas funções com a mesma transformada de Laplace,

tem-se “quase sempre” que f(t)=g(t) . A expressão “quase sempre”significa que f(t) e g(t) podem diferir apenas em alguns pontos discretos

(descontinuidades).

f(t) g(t)


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1. Função constante f(t) = a ( constante )

s =

s--0 =

s = = F(s)

00

aae

adt ea st st

2. Função degrau unitário f(t) = 0 se t 01 se t 0

s

1 =e

s

1 - =e1=F(s)

0

st-

0

- dt st


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3. Função pulso ( em t = 0 ) f(t) = 0 se t 0h se 0 t th0 se t th

0

t

0

0=f(t)=F(s)h

ht

st st st dt edt ehdt e

st t st hh es

he

s

h -1=-=0

4. Função pulso unitário ( em t = 0 ) f(t) = 0 se t 01/a se 0 t a

0 se t a ase

sa

-11

1 =F(s)


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5. Função rampa ( em t = 0 ) f(t) = a t

00 0

+-==F(s) dt esae

st adt et a st st st

2

0

=1

-=s

ae

ss

a st

6. Função impulso unitário ( em t = 0 ) f(t) = (t)

0

0 1==)(=F(s) sst edt et ( delta de Dirac )


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7. Função exponencial f(t) = e-at , a 0

0 0

)( ==F(s) dt edt ee t asst at

)(

1 =-

)(

1 = 0

)(

bse

bs

t bs

8. Função seno f(t) = sen( t)

dt ei

eedt et

st t it i

st

2

=)sen(=F(s)

0

dt eei

t ist is )()(

02

1 =

22

0

)()(

=11

2

1 =+

2

1 =

sisisiis

e

is

e

i

t ist is


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9. Função cosseno f(t) = cos(t )

0

22

0

=2 =)cos(=F(s)

s

sdt e

eedt et

st ii

st

)sen()cos(= ie i

2

=)cos( ;

2

=)sen(

iiii

ee

i

ee

10. Função translado no tempo f(t) = g(t-t0)

0 0

)(

0000 )g(=)g(=F(s) dt eet t dt et t

t t sst st

0

0

)(

0 )()g(=00 t t d eet t

st t t schamando = (t-t0)

0

)G(=)g(= 00 sed ee st sst


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11. Função convolução ))(g(g=)(g)(g=f(t) 2121 t t t

Por definição t t

d t d t 0

21

0

21 )(g)(g=)(g)(g=f(t)

A sua transformada de Laplace é simplesmente :

F(s) = L )(G).(G=gg 2121 ss


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Além do princípio de superposição, a transformada de Laplace tem as

seguintes propriedades básicas muito utilizadas :

(a) Derivada de uma função :n

n

dt

t d )f(

1

1n

2

221 f(0) -

)0f( -...-

)0f( -)0f(-)F(=

)f(

nn

nnnn

n

n

dt

d

dt

d s

dt

d ssss

dt

t d

(b) Integral de uma função : t

dt t 0

)f(

s

F(s) =)f(

0

t

dt t L

L


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(c) Teorema do valor final :

)F(lim=)(f lim0

sst st

para f(t) contínua

(d) Teorema do valor inicial :

)F(lim=)f(lim0

sst st

para f(t) contínua


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(e) Teorema da inversão :

Este teorema estabelece que existe a inversa da transformada de Laplace.

Se F(s) é uma função analítica de variável complexa (s) , e se F(s) é

polinomial de ordem s-k em algum semi-plano Re(s) , onde , k

são constantes reais com k 1 , então existe f(t) contínua em t 0 :

ic

ic

st dsse

it )f(

2

1lim=)f( em qualquer c Re(s)


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Na prática utiliza-se uma tabela ( e não o teorema acima ) para calcular

f(t) à partir de F(s). A técnica de resolver equações diferenciais via

transformadas de Laplace consiste em :


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Exemplo 1=)0( com 2 = 4 + 5 y ydt

dy

Equação característica: 5λ + 4 = 0 → λ = -0,8

Solução tradicional

Solução da homogênea:

Solução particular:


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Exemplo 1=)0( com 2 = 4 + 5 y ydt

dy

Solução por Laplace

]2[45 L ydt

dy L

ssss

2 = )Y(4 + )0y(5 - )Y(5

)8,0(

4,0 =

)45(

25 = )Y(

ss

s

ss

ss

t et

8,0 0,5+0,5=)y(

A transformada inversa é:


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Se a transformada não constar na tabela 1 , sempre pode-se decompo-

la em frações parciais, isto é, dada uma função racional polinomial :

))...()((

) N( =

)D(

) N( =)Y(

21 nbsbsbs

s

s

ss

)( +...+

)( +

)( =)Y(

n

n

2

2

1

1

bsbsbss

Truque: cai na transformada da exponencial

O processo é o inverso do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum


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(a) b1 ... bn são raízes distintas , entãoibs

ii

s

sbs

=)D(

) N()( =

Raízes do denominador s=0, s=-1, s=-2


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Como achar os valores de α 1, α 2 , α 3 ?

a) Define 3 valores distintos para s, que não sejam 0, -1, e -2, e

resolve o sistema;

b) Tira o MMC do lado direito e por igualdade tenta achar os α ;

c) Para utilizar valores de s iguais às raízes do denominador,

multiplica-se os dois lados pelo denominador, e depois faz s = raiz;


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Multiplicando por s e depois fazendo s=0

Multiplicando por (s+1) e depois fazendo s=-1


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Multiplicando por (s+2) e depois fazendo s=-2


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(b) bk é uma raiz de mult ipl icidade (r), então


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Outra opção de cálculo: Calcula α1 e α4 como realizado

Arbitra dois valores de s e calcula α2 e α3


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(c) as raízes são complexas, então


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d 1=2 d 0 =5 então b=1 ω=2


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Exercícios Seborg 2a edição

3.2 3.4 3.6 3.7 3.8 3.9 3.11 3.13 3.17

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