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TQ 755
CONTROLE DE
PROCESSOSPrograma de Pós Graduação em Engenharia e Ciência dos Materiais
PIPE – 2012
Aula 3 – Transformadas de Laplace
Prof. Dr. Carlos Itsuo Yamamoto
1
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Recordação de Solução de Equações Diferenciais
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TQ-755 Controle de Processos
Uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientesconstantes é da forma
2
2
, ∈ : ⟶
0 ⟶ equação homogênea
A solução x tem a forma: x = xh + xp
Onde: xh – Solução da EDO homogênea xp – solução particular
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Recordação de Solução de Equações Diferenciais
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Solução da homogênea
2
2
0
Então:
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Recordação de Solução de Equações Diferenciais
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0
1. Se α 1, 2 ⟶
2. Se é raiz simples ⟶
3. Se é raiz dupla ⟶ 2 P(t) (polinômio) 1. Se 0 ⟶ 1 1 tem o mesmo grau que
2. Se 0 e 0 ⟶ 1
0cos 1. Se 0 → cos
2. Se 0 e cos não é solução da homogênea → cos
3. Se 0 e cos é solução da homogênea → cos
0 idem
Solução particular de
Testa as condições iniciais e calculam-se as constantes.
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Um método para resolução de equações diferenciais ordinárias (e
às vezes parciais) que sejam lineares, é o método de
transformadas integrais, ou às vezes chamado de cálculooperacional, de cuja classe o mais utilizado é a transformada de
Laplace.
Definição : dada uma função no tempo f(t) com t [ 0, ] R ,
a sua transformada de Laplace, L[f(t)], ou também F(s), é :
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F(s) = L[f(t)] =
0
)( dt et f st onde s C (variável complexa)
A transformada de Laplace, sendo um operador linear, obedece ao princípio
da superposição :
L[ a x(t) + b y(t) ] = a L[ x(t) ] + b L[ y(t) ] = a X(s) + b Y(s)
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Se f(t) e g(t) forem duas funções com a mesma transformada de Laplace,
tem-se “quase sempre” que f(t)=g(t) . A expressão “quase sempre”significa que f(t) e g(t) podem diferir apenas em alguns pontos discretos
(descontinuidades).
f(t) g(t)
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1. Função constante f(t) = a ( constante )
s =
s--0 =
s = = F(s)
00
aae
adt ea st st
2. Função degrau unitário f(t) = 0 se t 01 se t 0
s
1 =e
s
1 - =e1=F(s)
0
st-
0
- dt st
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3. Função pulso ( em t = 0 ) f(t) = 0 se t 0h se 0 t th0 se t th
0
t
0
0=f(t)=F(s)h
ht
st st st dt edt ehdt e
st t st hh es
he
s
h -1=-=0
4. Função pulso unitário ( em t = 0 ) f(t) = 0 se t 01/a se 0 t a
0 se t a ase
sa
-11
1 =F(s)
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5. Função rampa ( em t = 0 ) f(t) = a t
00 0
+-==F(s) dt esae
st adt et a st st st
2
0
=1
-=s
ae
ss
a st
6. Função impulso unitário ( em t = 0 ) f(t) = (t)
0
0 1==)(=F(s) sst edt et ( delta de Dirac )
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7. Função exponencial f(t) = e-at , a 0
0 0
)( ==F(s) dt edt ee t asst at
)(
1 =-
)(
1 = 0
)(
bse
bs
t bs
8. Função seno f(t) = sen( t)
dt ei
eedt et
st t it i
st
2
=)sen(=F(s)
0
dt eei
t ist is )()(
02
1 =
22
0
)()(
=11
2
1 =+
2
1 =
sisisiis
e
is
e
i
t ist is
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9. Função cosseno f(t) = cos(t )
0
22
0
=2 =)cos(=F(s)
s
sdt e
eedt et
st ii
st
)sen()cos(= ie i
2
=)cos( ;
2
=)sen(
iiii
ee
i
ee
10. Função translado no tempo f(t) = g(t-t0)
0 0
)(
0000 )g(=)g(=F(s) dt eet t dt et t
t t sst st
0
0
)(
0 )()g(=00 t t d eet t
st t t schamando = (t-t0)
0
)G(=)g(= 00 sed ee st sst
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11. Função convolução ))(g(g=)(g)(g=f(t) 2121 t t t
Por definição t t
d t d t 0
21
0
21 )(g)(g=)(g)(g=f(t)
A sua transformada de Laplace é simplesmente :
F(s) = L )(G).(G=gg 2121 ss
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Além do princípio de superposição, a transformada de Laplace tem as
seguintes propriedades básicas muito utilizadas :
(a) Derivada de uma função :n
n
dt
t d )f(
1
1n
2
221 f(0) -
)0f( -...-
)0f( -)0f(-)F(=
)f(
nn
nnnn
n
n
dt
d
dt
d s
dt
d ssss
dt
t d
(b) Integral de uma função : t
dt t 0
)f(
s
F(s) =)f(
0
t
dt t L
L
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(c) Teorema do valor final :
)F(lim=)(f lim0
sst st
para f(t) contínua
(d) Teorema do valor inicial :
)F(lim=)f(lim0
sst st
para f(t) contínua
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(e) Teorema da inversão :
Este teorema estabelece que existe a inversa da transformada de Laplace.
Se F(s) é uma função analítica de variável complexa (s) , e se F(s) é
polinomial de ordem s-k em algum semi-plano Re(s) , onde , k
são constantes reais com k 1 , então existe f(t) contínua em t 0 :
ic
ic
st dsse
it )f(
2
1lim=)f( em qualquer c Re(s)
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Na prática utiliza-se uma tabela ( e não o teorema acima ) para calcular
f(t) à partir de F(s). A técnica de resolver equações diferenciais via
transformadas de Laplace consiste em :
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Exemplo 1=)0( com 2 = 4 + 5 y ydt
dy
Equação característica: 5λ + 4 = 0 → λ = -0,8
Solução tradicional
Solução da homogênea:
Solução particular:
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Exemplo 1=)0( com 2 = 4 + 5 y ydt
dy
Solução por Laplace
]2[45 L ydt
dy L
ssss
2 = )Y(4 + )0y(5 - )Y(5
)8,0(
4,0 =
)45(
25 = )Y(
ss
s
ss
ss
t et
8,0 0,5+0,5=)y(
A transformada inversa é:
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Se a transformada não constar na tabela 1 , sempre pode-se decompo-
la em frações parciais, isto é, dada uma função racional polinomial :
))...()((
) N( =
)D(
) N( =)Y(
21 nbsbsbs
s
s
ss
)( +...+
)( +
)( =)Y(
n
n
2
2
1
1
bsbsbss
Truque: cai na transformada da exponencial
O processo é o inverso do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum
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(a) b1 ... bn são raízes distintas , entãoibs
ii
s
sbs
=)D(
) N()( =
Raízes do denominador s=0, s=-1, s=-2
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Como achar os valores de α 1, α 2 , α 3 ?
a) Define 3 valores distintos para s, que não sejam 0, -1, e -2, e
resolve o sistema;
b) Tira o MMC do lado direito e por igualdade tenta achar os α ;
c) Para utilizar valores de s iguais às raízes do denominador,
multiplica-se os dois lados pelo denominador, e depois faz s = raiz;
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Multiplicando por s e depois fazendo s=0
Multiplicando por (s+1) e depois fazendo s=-1
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Multiplicando por (s+2) e depois fazendo s=-2
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(b) bk é uma raiz de mult ipl icidade (r), então
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Outra opção de cálculo: Calcula α1 e α4 como realizado
Arbitra dois valores de s e calcula α2 e α3
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(c) as raízes são complexas, então
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d 1=2 d 0 =5 então b=1 ω=2
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Exercícios Seborg 2a edição
3.2 3.4 3.6 3.7 3.8 3.9 3.11 3.13 3.17