ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capítulo 3 Laplace/ 2005

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DINÂMICA DE SISTEMAS BIOLÓGICOS E FISIOLÓGICOS Capítulo 3 Apêndice Transformada de Laplace Parte B(continuação)

3A.4. Propriedades da transformada de Laplace

i) Linearidade

ii) derivação no domínio temporal

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iii) integração no domínio temporal

iv) deslocamento no domínio complexo

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iv) Teorema do valor final

Este teorema relaciona no comportamento de f(t) no infinito com o comportamento de F(s) na origem

v) Teorema do valor inicial

Relaciona o comportamento de f(t) na origem com o comportamento de F(s) no infinito.

vii) Convolução Para calcular a convolução de duas funções, num intervalo de tempo [0,t], inverte-se no tempo uma delas, multiplicam-se uma pela outra e integra-se o produto, obtendo-se o integral de convolução. Num sistema linear, se calcularmos a convolução da resposta impulsional h(t) com uma entrada qualquer u(t), obtém-se a saída y(t) correspondente à entrada u(t), isto é,

O teorema da convolução da transformada de Laplace diz-nos que a transformada de Laplace da saída é o poduto da transformada de Laplace da resposta impulsional pela transformada de Laplace da entrada, se o sistema estiver relachado (com condições iniciais nulas),

Veremos que H(s) se chama a função de transferência do sistema.

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viii) deslocamento no domínio temporal

3A.5 Inversão da transformada de Laplace: expansão em fracções parciais. Uma transformada de Laplace é em geral uma função racional, dada por

Diz-se que ela é:

Se F(s) é própria, pode decompor-se numa soma de fracções simples, cujas transformadas são fáceis de calcular (consultando uma tabela, por exemplo).

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Agora

Pode constatar-se que

Definição de pólos e zeros fe F(s)

N(s) e D(s) são polinómios co-primos (não têm raízes comuns) com coeficientes reais.

Como sabemos, uma equação de coeficientes reais pode ter raízes

• reais simples • reais múltiplas • complexas aos pares conjugados (conjugadas)

e por isso os pólos e zeros podem ter qualquer dessas formas. Quando F(s) é própria, sendo N(s) e D(s) co-primos, o

(continua em Cap3ApendiceTLC)

então