aula 3 preferência, maximização da utilidade e escolha · 2018. 8. 13. · aula 3...
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Aula 3 – Preferência, maximização da Utilidade e escolha
Piracicaba, agosto de 2018
Professora Dra. Andréia Adami
13/08/2018 1Equipe Microeconomia Aplicada
Preferências
Axiomas da escolha racional
1. As preferências são completas (completude) – sob duas situações (cestas de mercado) A e B, o indivíduo sempre pode especificar exatamente uma das três possibilidades:
A é preferível a B;
B é preferível a A;
A e B são igualmente atrativos (indiferente).
13/08/2018 2Equipe Microeconomia Aplicada
Preferências
Axiomas da escolha racional
2. Transitividade: Se o indivíduo reporta que A é preferível a B e que B é preferível a C; então ele deve preferir A a C, ou seja, a escolha é consistente.
3. Continuidade: Se o indivíduo declara que A é preferido a B, então, situações próximas a A também são preferidas a B. Importante quando analisamos mudanças relativamente pequenas nos preços e na renda.
13/08/2018 3Equipe Microeconomia Aplicada
Preferências
• O indivíduo sempre prefere maiores quantidades de ambos os bens
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Quantidade de y
Quantidade de x
y*
x*
quantidades
Preferidas à
y*, x*
?
?
Preferências
Função utilidade
• Características:
Ordinal – 1) U(A) = 5 e U(B) = 4
U(A) = 1.000.000 U(B) = 0,5
Qual situação é melhor?
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Preferências
Função utilidade
• Características:
Ordinal – 1) U(A) = 5 e U(B) = 4
U(A) = 1.000.000 U(B) = 0,5
Qual situação é melhor: Em ambos os casos podemos apenas dizer que A é preferido à B.
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Preferências
Função utilidade
• Função Homogênea
Definição: uma função f(x) é homogênea de grau k se 𝑓(t𝑥) = t𝑘𝑓(𝑥), ∀t > 0 ∈ ℝ.
Exemplo: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = (𝑡𝑥)2+(𝑡𝑦)2=
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Preferências
Função utilidade
• Função Homogênea
Definição: uma função f(x) é homogênea de grau k se 𝑓(t𝑥) = t𝑘𝑓(𝑥), ∀t > 0 ∈ ℝ.
Exemplo: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = (𝑡𝑥)2+(𝑡𝑦)2= 𝑡2 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑡2 𝑓 𝑥, 𝑦
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Preferências
Função utilidade
• Função Homotética
• Definição: uma função f(x) é homotética se puder ser definida por 𝑓(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)), em que 𝑔(·) é uma transformação monotônica e ℎ(𝑥) é uma função homogênea de grau 𝑘 qualquer, ou seja, é a transformação monotônica de uma função homogênea, preserva a relação entre os argumentos da função e seu valor.
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Curva de Indiferença
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U1
Quantidade de y
Quantidade de x
U1
y1
y2
x1 x2
Mapa de Indiferença
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U1
U2
Quantidade de y
Quantidade de x
U3
Curvas de indiferença e transitividade
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U1
Quantidade de x
Quantidade de y
DC
B
A
E
U2
Convexidade e equilíbrio no consumo
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U1
Quantidade de y
Quantidade de x
U1
y1
y2
x1 x2
(y1+ y2)/2
(x1+ x2)/2
Escolha
Exemplo 3.1 pg.98 (Nicholson)
• Função Utilidade: U = 𝑥𝑦
Seja U=10, temos: 10 = 𝑥𝑦
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado temos:
100 = 𝑥𝑦 e, resolvendo pra y: 𝑦 = 100/𝑥
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Convexidade e equilíbrio no consumo
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U=10
Quantidade de y
Quantidade de x
20
5
5 20
12,5
12.5
Exemplo 3.1 – Figura 3.7 pg.98 (Nicholson)
A
C
B
Escolha
Exemplo 3.1 pg.98 (Nicholson)
• TMS: −𝑑𝑦
𝑑𝑥=
100
𝑥2
• TMS(5,20) =100
𝑥2=
100
25= 4
• TMS(20,5) =100
𝑥2=
100
400= 0,25
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Convexidade e curvas de Indiferença
Exemplo 3.2 pg.101 (Nicholson)
• Função Utilidade: U(x, y) = 𝑥𝑦
Aplicando a transformação logarítmica, temos:
lnU xy = 0,5 ln 𝑥 + 0,5𝑙𝑛𝑦
TMS=𝜕𝑈
𝜕𝑥𝜕𝑈
𝜕𝑦
=𝑦
𝑥
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Convexidade e curvas de Indiferença
Exemplo 3.2 pg.101 (Nicholson)
• Função Utilidade: U x, y = 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦
TMS=𝜕𝑈
𝜕𝑥𝜕𝑈
𝜕𝑦
=1+𝑦
1+𝑥
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Convexidade e curvas de Indiferença
Exemplo 3.2 pg.101 (Nicholson)
• Função Utilidade: U x, y = 𝑥2 + 𝑦2
TMS=𝜕𝑈
𝜕𝑥𝜕𝑈
𝜕𝑦
=2𝑥
2𝑦=
𝑥
𝑦
Quando a TMS é decrescente (aumentos em x levam a redução em y, a curva de indiferença é convexa.
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Função Utilidade Cobb-Douglas
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U1
U3
Quantidade de y
Quantidade de x
𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝛼𝑦𝛽
U2
Substitutos perfeitos
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Quantidade de y
Quantidade de x
𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦
U3U2U1
Complementares perfeitos
13/08/2018 22Equipe Microeconomia Aplicada
Quantidade de y
Quantidade de x
𝑈 𝑥, 𝑦 = min(𝛼𝑥, 𝛽𝑦)
U3
U2
U1
Escolha: Condição de Primeira ordem
Suponha que o indivíduo tenha I unidades monetárias (dólares) para alocar na compra dos bens 𝑥 e 𝑦, aos preços 𝑝𝑥 e 𝑝𝑦
Restrição Orçamentária: 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 ≤ 𝐼
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Maximização da Utilidade
Restrição Orçamentária: 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝐼
13/08/2018 24Equipe Microeconomia Aplicada
Quantidade de y
Quantidade de x
𝑰
𝒑𝒚
𝑰
𝒑𝒙0
Condição de Primeira ordem
Restrição Orçamentária: 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝐼
𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜:?
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Condição de Primeira ordem
Suponha que o indivíduo tenha I unidades monetárias (dólares) para alocar na compra dos bens 𝑥 e 𝑦, aos preços 𝑝𝑥 e 𝑝𝑦
Restrição Orçamentária: 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝐼
𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜: 𝑝𝑦𝑦 = 𝐼 − 𝑝𝑥𝑥
𝑦 =(𝐼 −𝑝𝑥𝑥)
𝑝𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝑝𝑥
𝑝𝑦
13/08/2018 26Equipe Microeconomia Aplicada
Condição de Primeira ordem para máximo
Condição de primeira ordem: Inclinação da reta orçamentária = inclinação da curva de Indiferença
−𝑝𝑥
𝑝𝑦=
𝑑𝑦
𝑑𝑥 U=constante
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Condição de Primeira ordem para máximo
13/08/2018 28Equipe Microeconomia Aplicada
U2
Quantidade de y
Quantidade de x
y*
Figura 4.2 pg.120 (Nicholson)
A
C
B
U1
U3
D I= 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦
x*
O caso de n bens
Condição de primeira ordem
• U=U(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
Restrição Orçamentária
• 𝐼 = 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛, ou
• 𝐼 − 𝑝1𝑥1 − 𝑝2𝑥2 −⋯− 𝑝𝑛𝑥𝑛 = 0
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O caso de n bens
Condição de primeira ordem
• Função Lagrange:
𝐿 = U(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) + λ(𝐼 − 𝑝1𝑥1 − 𝑝2𝑥2 −⋯− 𝑝𝑛𝑥𝑛)
Tomando derivadas parciais da Função Lagrange com respeito á 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 e λ:
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O caso de n bensCondição de primeira ordem
• Função Lagrange:
Tomando derivadas parciais da Função Lagrange com respeito á 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 e λ:
𝜕𝐿
𝜕𝑥1=
𝜕𝑈
𝜕𝑥1− λ 𝑝1 = 0
𝜕𝐿
𝜕𝑥2=
𝜕𝑈
𝜕𝑥2− λ 𝑝2 = 0
⁞
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝑛=
𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑛− λ 𝑝𝑛 = 0
𝜕𝐿
𝜕λ= 𝐼 − 𝑝1𝑥1 − 𝑝2𝑥2 −⋯− 𝑝𝑛𝑥𝑛 = 0
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O caso de n bens
Condição de primeira ordem
• Implicações da condição de primeira ordem:
𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑗
=𝑝𝑖
𝑝𝑗
Ou: TMS=𝑝𝑖
𝑝𝑗
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O caso de n bensCondição de primeira ordem
• Interpretação do Multiplicador de Lagrange:
λ =
𝜕𝑈
𝜕𝑥1
𝑝1=
𝜕𝑈
𝜕𝑥2
𝑝2= … =
𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑛
𝑝𝑛
No ponto de maximização da Utilidade, o consumo de cada bem produz a mesma taxa benefício/custo, ou seja, produz o mesmo benefício marginal pra cada unidade monetária gasta na aquisição do bem.
λ é a utilidade marginal da renda.
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Função Cobb-Douglas
Função Cobb-Douglas: 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝛼𝑦𝛽e, 𝛼+ 𝛽=1
• Função Lagrange: 𝐿 = 𝑥𝛼𝑦𝛽 + λ(𝐼 − 𝑝𝑥𝑥 − 𝑝𝑦𝑦)
𝜕𝐿
𝜕𝑥= 𝛼𝑥𝛼−1𝑦𝛽 − λ 𝑝𝑥 = 0
𝜕𝐿
𝜕𝑦= 𝛽𝑥𝛼𝑦𝛽−1 − λ 𝑝𝑦 = 0
𝜕𝐿
𝜕λ= 𝐼 − 𝑝1𝑥1 − 𝑝𝑦𝑦 = 0
13/08/2018 34Equipe Microeconomia Aplicada
Função Cobb-Douglas
Função Cobb-Douglas: 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝛼𝑦𝛽 e, 𝛼+ 𝛽=1
• Função Lagrange: 𝐿 = 𝑥𝛼𝑦𝛽 + λ(𝐼 − 𝑝𝑥𝑥 − 𝑝𝑦𝑦)
Resolvendo pra λ: 𝛼𝑦
𝛽𝑥=
𝑝𝑥
𝑝𝑦ou:
𝑝𝑦𝑦 =𝛽
𝛼𝑝𝑥𝑥 =
1−𝛼
𝛼𝑝𝑥𝑥, substituindo na restrição:
𝐼 = 𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑝𝑥𝑥+ 1−𝛼
𝛼𝑝𝑥𝑥 = 𝑝𝑥𝑥(1 +
1−𝛼
𝛼)=
1
𝛼𝑝𝑥𝑥
13/08/2018 35Equipe Microeconomia Aplicada
Função Cobb-Douglas
Função Cobb-Douglas: 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝛼𝑦𝛽e, 𝛼+ 𝛽=1
• Função Lagrange: 𝐿 = 𝑥𝛼𝑦𝛽 + λ(𝐼 − 𝑝𝑥𝑥 − 𝑝𝑦𝑦)
Resolvendo pra 𝑥∗=𝛼𝐼
𝑝𝑥e 𝑦∗=
𝛽𝐼
𝑝𝑦
Seja: 𝑝𝑥 = 1, 𝑝𝑦 = 4 𝑒 𝐼 = 8. Considerando 𝛼=0,5 e 𝛽=0,5,
encontrar: U*, 𝑥∗, 𝑦∗ e λ.
13/08/2018 36Equipe Microeconomia Aplicada
Função Cobb-Douglas
Função Cobb-Douglas: 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝛼𝑦𝛽
• Função Lagrange: 𝐿 = 𝑥𝛼𝑦𝛽 + λ(𝐼 − 𝑝𝑥𝑥 − 𝑝𝑦𝑦)
Resolvendo pra 𝑥∗=𝛼𝐼
𝑝𝑥e 𝑦∗=
𝛽𝐼
𝑝𝑦
Seja: 𝑝𝑥 = 1, 𝑝𝑦 = 4 𝑒 𝐼 = 8. Considerando 𝛼=0,5 e 𝛽=0,5,
encontrar:
U*=2, 𝑥∗= 4, 𝑦∗= 1 e λ = 0,25.
13/08/2018 37Equipe Microeconomia Aplicada
Função Utilidade Indireta
𝑥1∗ = 𝑥1 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝐼 ,
𝑥2∗ = 𝑥2 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝐼 ,
⁞
𝑥𝑛∗ = 𝑥𝑛(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝐼)
Função Utilidade no ponto ótimo
𝑈[𝑥1∗ 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝐼 , 𝑥2
∗ 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝐼 ,..., 𝑥𝑛∗(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝐼)]
=V [(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝐼)]
Função Utilidade Indireta: V – o nível ótimo de utilidade vai depender indiretamente dos preços dos bens e da renda do indivíduo.
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Função Utilidade Indireta
𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝐶𝑜𝑏𝑏 − 𝐷𝑜𝑢𝑔𝑙𝑎𝑠 com 𝛼 = 𝛽= 0,5
𝑥∗=𝐼
2𝑝𝑥e 𝑦∗=
𝐼
2𝑝𝑦
Função Utilidade no ponto ótimo
V [(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝐼)]= U( 𝑥∗, 𝑦∗)= 𝑥∗0,5 𝑦∗0,5= 𝐼
2𝑝𝑥0,5𝑝𝑦
0,5
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑥 = 1, 𝑝𝑦 = 4 𝑒 𝐼 = 8, V=?
13/08/2018 Equipe Microeconomia Aplicada 39
Minimização dos gastos
𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝐶𝑜𝑏𝑏 − 𝐷𝑜𝑢𝑔𝑙𝑎𝑠 com 𝛼 = 𝛽= 0,5
𝑥∗=𝐼
2𝑝𝑥e 𝑦∗=
𝐼
2𝑝𝑦
Função Utilidade no ponto ótimo
V [(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝐼)]= U( 𝑥∗, 𝑦∗)= 𝑥∗0,5 𝑦∗0,5= 𝐼
2𝑝𝑥0,5𝑝𝑦
0,5
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑥 = 1, 𝑝𝑦 = 4 𝑒 𝐼 = 8, V=2
13/08/2018 Equipe Microeconomia Aplicada 40
Minimização dos gastos
Matematicamente, o problema de minimização dos gastos do indivíduo (dual) para escolher 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 é minimizar:
• E = 𝑝1 𝑥1 + 𝑝2𝑥2 +⋯+ 𝑝𝑛𝑥𝑛
• Sujeito à: 𝑈 = 𝑈(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
A escolha das quantidades ótimas de 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 vai depender dos preços dos bens (𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛) e do nível de utilidade requerido.
13/08/2018 Equipe Microeconomia Aplicada 41
Dual: problema de minimização dos gastos
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Quantidade de y
Quantidade de x
Figura 4.6
E3E1 U2E2
B
A
C
y*
x*
Minimização dos gastos
𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝐶𝑜𝑏𝑏 − 𝐷𝑜𝑢𝑔𝑙𝑎𝑠 com 𝛼 = 𝛽= 0,5
Função Utilidade no ponto ótimo:
V [(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝐼)] = 𝐼
2𝑝𝑥0,5𝑝𝑦
0,5
Obs. V = U* e E = I
Função Gasto como inversa da função Utilidade Indireta:
E [(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦, 𝑈)] = 2𝑝𝑥0,5𝑝𝑦
0,5U
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑥 = 1, 𝑝𝑦 = 4 𝑒 U=2, E=?
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Minimização dos gastos
𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝐶𝑜𝑏𝑏 − 𝐷𝑜𝑢𝑔𝑙𝑎𝑠 com 𝛼 = 𝛽= 0,5
Função Utilidade no ponto ótimo:
V [(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝐼)] = 𝐼
2𝑝𝑥0,5𝑝𝑦
0,5
Função Gasto como inversa da função Utilidade Indireta:
E [(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑈)] = 2𝑝𝑥0,5𝑝𝑦
0,5U
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑥 = 1, 𝑝𝑦 = 4 𝑒 U=2 e E=8.
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Propriedades da Função Gasto
Homogeneidade: Se dobrarmos os preços de todos os bens, o valor requerido para a aquisição desses bens (gasto) também dobrará;
A função gasto é não decrescente nos preços: 𝜕𝐸
𝜕𝑝𝑖≥ 0, para todo bem
i;
A função gasto é côncava em relação aos preços 𝜕2
𝜕𝑝𝑖2 ≤ 0
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Referências Bibliográficas
NICHOLSON, W; SNYDER, C. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. 11th Edition (International Edition), 2012 – caps. 3 e 4.
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