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Aula 6 – Custos e Maximização do lucro

Piracicaba, agosto de 2018

Professora Dra. Andréia Adami

22/08/2018 1Equipe Microeconomia Aplicada

Custos de produção

A tecnologia de produção representa a relação entre os insumos e a produção

Dada a tecnologia de produção, os administradores da empresa devem decidir como e quanto produzir.

Para determinar os níveis ótimos de produção e as combinações de insumos, é necessário transformar as medidas físicas inerentes à tecnologia de produção em unidades monetárias ou custos.



Definições:

Custos contábeis: Despesas correntes mais despesas com depreciação de equipamentos.

Custos Econômicos: Custos incorridos pela empresa ao usar recursos econômicos na produção (inclusive custos de oportunidade).

Custo de oportunidade: Custos associados às oportunidades que foram deixadas de lado para a empresa empregar seus recursos na produção.

Custos irreversíveis (sunk cost): despesas realizadas e que não podem ser recuperadas.



Custo total

• Função custo total

𝐶 = 𝑤𝑙 + vk

onde w é o preço da mão de obra e v o preço do capital (taxa de aluguel)



Relação entre maximização do lucro e minimização do custo

• Função Lucro (𝜋)

𝜋(𝑞) = 𝑅(𝑞) − 𝐶(𝑞)

R= 𝑝𝑞 = 𝑝𝑓(𝑘, 𝑙, )

C= 𝑤𝑙 + 𝑣𝑘 =

𝜋 = 𝑝𝑓 𝑘, 𝑙 − 𝑤𝑙 − 𝑣𝑘


Minimização dos Custos e escolha dos insumos

𝐿 = 𝑤𝑙 + 𝑣𝑘 + λ[q0−f(k,l)]

• CPO:

𝜕𝐿

𝜕𝑙= 𝑤 − λ

𝜕𝑓

𝜕𝑙= 0

𝜕𝐿

𝜕𝑘= 𝑣 − λ

𝜕𝑓

𝜕𝑘= 0

𝜕𝐿

𝜕λ= q0−f(k,l) = 0

• Solução: 𝑤

𝑣=

𝜕𝐿

𝜕𝑙𝜕𝐿

𝜕𝑘

−𝑤

𝑣=

𝑓𝑙

𝑓𝑘ou

𝑤

𝑓𝑙=

𝑣

𝑓𝑘= λ ou ainda:

𝑓𝑘

𝑣= 𝑓𝑙

𝑤


Minimização dos Custos e escolha dos insumos


k/período

C3

q0

C1 C2

k*

l*l/período

Caminho de expansão da produção


k/período

C3

q2

C1C2

k1

l1

l/períodoq1

q3

E

Minimização dos custos

Exemplo 10.1

• Considere novamente a função Cobb-Douglas:

𝑞 𝑘, 𝑙 = 𝑘𝛼𝑙𝛽

• A função Lagrange fica:

𝐿 = 𝑤𝑙 + 𝑣𝑘 + λ[q0−𝑘𝛼𝑙𝛽]

• CPO:



Exemplo 10.1

• CPO:

𝜕𝐿

𝜕𝑙= 𝑤 − λ𝛽𝑘𝛼𝑙𝛽−1 = 0

𝜕𝐿

𝜕𝑘= 𝑣 − λ𝛼𝑘𝛼−1𝑙𝛽 = 0

𝜕𝐿

𝜕λ= q0−𝑘

𝛼𝑙𝛽 = 0

• Solução:

𝑤

𝑣= 𝛽𝑘𝛼𝑙𝛽−1

𝛼𝑘𝛼−1𝑙𝛽= 𝑤

𝑣= 𝛽𝑘

𝛼𝑙



Exemplo 10.1

• Considerando: 𝛼= 𝛽=0,5; w=12; v=3 e q0= 40, encontrar as quantidades de k e l que minimizam o custo de produção, o custo total no ponto ótimo e as produtividades marginais dos fatores de produção (k,l)



Exemplo 10.1

• Considerando: 𝛼= 𝛽=0,5; w=12; v=3 e q0= 40, encontrar as quantidades de k e l que minimizam o custo de produção, o custo total no ponto ótimo e as produtividades marginais dos fatores de produção (k,l)

Solução: k=80, l=20, C= 480, 𝑓𝑙=1 e 𝑓𝑘 = 0,25


Funções custo

• Custo total = C(v,w,q)

• Custo médio = CM(v,w,q)= 𝐶(𝑣,𝑤,𝑞)

𝑞

• Custo marginal = Cmg = 𝜕𝐶(𝑣,𝑤,𝑞)

𝜕𝑞


Curvas de custo para funções com retorno constante de escala


Custo total (C)

q/período

C

Custo médio (CM), Custo Marginal (Cmg)

q/período

CM=Cmg

Função custo cúbica


Custo total (C)

q/período

C

Custo médio (CM), Custo Marginal (Cmg)

q/período

CM

Cmg

q*

Propriedades da Função Custo

• Homogeneidade: a função custo é homogênea de grau 1 nos preços dos insumos;

• A função custo é não decrescente em q, v e w;

• A função custo é côncava em relação aos preços dos insumos;

• As funções custo médio e custo marginal também são homogêneas de grau k em relação aos preços dos insumos.


Substituição de insumos

Na aula de ontem vimos que:

σ =%∆(

𝑘

𝑙)

%∆𝑇𝑀𝑆𝑇=

𝑑(𝑘

𝑙)

𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇.𝑇𝑀𝑆𝑇

𝑘

𝑙

=𝑑𝑙𝑛(

𝑘

𝑙)

𝑑𝑙𝑛𝑇𝑀𝑆𝑇

• No ponto ótimo 𝑇𝑀𝑆𝑇 = 𝑤

𝑣, substituindo para obter a

elasticidade de substituição para a função custo temos:

s =𝑑(

𝑘

𝑙)

𝑑(𝑤

𝑣).𝑤

𝑣𝑘

𝑙

=𝑑𝑙𝑛(

𝑘

𝑙)

𝑑𝑙𝑛(𝑤

𝑣)


Substituição de insumos

s =𝑑(

𝑘

𝑙)

𝑑(𝑤

𝑣).𝑤

𝑣𝑘

𝑙

=𝑑𝑙𝑛(

𝑘

𝑙)

𝑑𝑙𝑛(𝑤

𝑣)

Valores altos de s indicam que a firma alterasignificativamente a proporção de uso dos insumos (mix) emresposta a alterações em seus preços; já quando s é pequeno,mudanças nos preços relativos dos insumos tem pouco efeitosobre a substituição dos mesmos no processo produtivo.


Progresso Técnico

Custos no período inicial:

𝐶0(𝑤, 𝑣, 𝑞) = 𝑞0𝐶0(𝑣, 𝑤,1)

• Os mesmos insumos que produzem 1 unidade no período zero irão produzir A(t) unidades no período t

𝐶0(𝑤, 𝑣, 1) = 𝐶𝑡(𝑣, 𝑤, 𝐴(𝑡))= 𝐴(𝑡) 𝐶𝑡(𝑣, 𝑤,1)

• A função custo total no período t fica:

𝐶𝑡 𝑣, 𝑤, 𝑞 = 𝑞𝐶𝑡 𝑣, 𝑤, 1 =𝑞𝐶

0 𝑣,𝑤,1𝐴(𝑡)

=𝐶0 𝑣,𝑤,𝑞𝐴(𝑡)


Progresso Técnico

Exemplo 10.3

• Considere a seguinte função custo total:

𝐶(𝑤, 𝑣, 𝑞) = 2𝑞𝑣0,5𝑤0,5

• Considerando-se v=3 e w=12 a função fica:

𝐶 12,3, 𝑞 = 2𝑞 36 = 12q

CM 12,3, 𝑞 =𝐶

𝑞=

Cmg 12,3, 𝑞 =𝜕𝐶

𝜕𝑞=


Progresso Técnico

Exemplo 10.3

• Considere a seguinte função custo total:

𝐶(𝑤, 𝑣, 𝑞) = 2𝑞𝑣0,5𝑤0,5

• Considerando-se v=3 e w=12 a função fica:

𝐶 𝑤, 𝑣, 𝑞 = 2𝑞 36 = 12q

CM 𝑤, 𝑣, 𝑞 =𝐶

𝑞= 12

• Cmg 𝑤, 𝑣, 𝑞 =𝜕𝐶

𝜕𝑞= 12


Progresso Técnico

Exemplo 10.3

• Considerando que o preço do salário se altere para 27, temos:

• 𝐶 27,3, 𝑞 = 2𝑞 81 = 18q

CM 𝑤, 𝑣, 𝑞 =𝐶

𝑞= 18

Cmg 𝑤, 𝑣, 𝑞 =𝜕𝐶

𝜕𝑞= 18


Progresso Técnico

Exemplo 10.3

• Considere a função de produção Cobb-Douglas:

𝑞 = 𝐴(𝑡)2𝑘0,5𝑙0,5

• Assumindo que o progresso técnico seja representado por uma função exponencial:

𝐶𝑡 𝑣, 𝑤, 𝑞 =𝐶0𝑣,𝑤,𝑞

𝐴(𝑡)= 2𝑞𝑣0,5𝑤0,5𝑒−0,03𝑡


Progresso Técnico

Exemplo 10.3

• Para essa função, qual o decréscimo no custo, após 20 anos, considerando-se que os preços se manterão inalterados

(v=3, w=12)?

𝐶20 3,12, 𝑞 = 2𝑞 36𝑒−0,60 =

𝐶𝑀20 =

𝐶𝑚𝑔20 =


Progresso Técnico

Exemplo 10.3

• Para essa função, qual o decréscimo no custo, após 20 anos, considerando-se que os preços se manterão inalterados

(v=3, w=12)?

𝐶20 3,12, 𝑞 = 2𝑞 36𝑒−0,60 = 12𝑞 0,55 = 6,6𝑞

𝐶𝑀20 = 6,6

𝐶𝑚𝑔20 = 6,6


Demanda contingente – Lema de Shephard

A Demanda por insumos pode ser derivada diretamente da função custo;

Lema de Shephard: a demanda contingente por qualquer insumo é a derivada parcial da função custo total em relação aos preços do insumo


Demanda contingente – Lema de Shephard

Lema de Shephard:

𝐿 = 𝑤𝑙 + 𝑣𝑘 + λ[q−f(k,l)]

𝜕𝐶(𝑣,𝑤,𝑞)

𝜕𝑣=

𝜕𝐿(𝑣,𝑤,𝑞,λ)𝜕𝑣

= 𝑘𝑐(𝑣, 𝑤, 𝑞)

𝜕𝐶(𝑣,𝑤,𝑞)

𝜕𝑤=

𝜕𝐿(𝑣,𝑤,𝑞,λ)𝜕𝑤

= 𝑙𝑐(𝑣, 𝑤, 𝑞)


Lema de Shephard e elasticidade de substituição

Lema de Shephard

sij =𝜕ln

𝑥𝑖𝑥𝑗

𝜕ln𝑤𝑖𝑤𝑗

=𝜕ln

𝐶𝑖𝐶𝑗

𝜕ln𝑤𝑖𝑤𝑗


Curto e Longo Prazo

Curto prazo

• Pelo menos um dos insumos é fixo, considerando que o capital seja mantido fixo em k1:

𝐶𝑐 = 𝑤𝑙 + vk1


Curto prazo


k/período

q0

k1

l0

l/período

q1

q2

l1 l2

Função custo


Custo total (C) – retornos constantes

q/período

C

Custo total (C) – curva cúbica

q/período

C

Cc (k0)

Cc (k1)

Cc (k2)

Cc (k0)

Cc (k2)

SC (k1)

q0q1 q2

q0q1 q2

Função custo cúbica


Custos

q/período

CMLP

CmgLP

CMc (k0)Cmgc (k0)

q0

CMc (k1)

Cmgc (k1)

q1

CMc (k2)

Cmgc (k2)

q2

Maximização do Lucro

Objetivo da Firma: Maximização do Lucro

𝜋 𝑞 = 𝑅 𝑞 − 𝐶 𝑞

𝜕𝜋

𝜕𝑞= 𝜋′ 𝑞 =

𝜕𝑅(𝑞)

𝜕𝑞−

𝜕𝐶 𝑞

𝜕𝑞= 0

• CPO:

𝜕𝑅(𝑞)

𝜕𝑞=

𝜕𝐶 𝑞

𝜕𝑞

𝑅𝑚𝑔 = 𝐶𝑚𝑔



Objetivo da Firma: Maximização do Lucro

𝜋 𝑞 = 𝑅 𝑞 − 𝐶 𝑞

𝜕𝜋

𝜕𝑞= 𝜋′ 𝑞 =

𝜕𝑅(𝑞)

𝜕𝑞−

𝜕𝐶 𝑞

𝜕𝑞= 0

• CSO:

𝜕2𝜋

𝜕𝑞2=

𝑑𝜋′ 𝑞

𝑑𝑞< 0

q=q* q=q*



CR

q** q*

q*

𝝅

𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎, 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜/período

𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜/𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜/𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜

𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜/𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜


Receita Marginal

𝑅𝑚𝑔 =𝜕𝑅(𝑞)

𝜕𝑞=

𝑑[𝑝 𝑞 .𝑞]

𝜕𝑞= 𝑝 + 𝑞.

𝑑𝑝

𝑑𝑞

• Se o preço de mercado não se altera com a quantidade ofertada, então:

𝑑𝑝

𝑑𝑞= 0 e 𝑅𝑚𝑔 = p

Se:𝑑𝑝

𝑑𝑞< 0, então Rmg < p



Exemplo 11.1

•A curva de demanda linear por sanduíches é dada por:

𝑞 = 100 − 10𝑝, resolvendo pra p temos:

𝑝 = −𝑞

10+ 10

• A receita da firma fica:

𝑅 = 𝑝𝑞 = −𝑞2

10+ 10𝑞

𝑅𝑚𝑔 =𝜕𝑅(𝑞)

𝜕𝑞= −

𝑞5+10



Exemplo 11.1


𝑞 = 100 − 10𝑝,

• Encontre q* considerando que custo médio e marginal são $4:

• Solução:?



Exemplo 11.1


𝑞 = 100 − 10𝑝,

• Encontre q* considerando que custo médio e marginal são $4:

• Solução:

q∗ = 30, 𝑝 = 7 𝑒 𝜋 = 90


Receita marginal e elasticidade

O conceito de receita marginal está diretamente relacionado com elasticidade preço da demanda:

𝑒𝑞,𝑝 =

𝑑𝑞

𝑞𝑑𝑝

𝑝

=𝑑𝑞

𝑑𝑝. 𝑝

𝑞

𝑅𝑚𝑔 = 𝑝 + 𝑞𝑑𝑞

𝑑𝑝= 𝑝 1 +

𝑞

𝑝

𝑑𝑝

𝑑𝑞= 𝑝 1 +

1

𝑒𝑞,𝑝



Elasticidade preço da demanda e receita margina:

• Se a curva de demanda é negativamente inclinada, 𝑒𝑞,𝑝 < 0 e

Rmg < p;

• Se, a demanda é elástica, 𝑒𝑞,𝑝 < −1 e Rmg > 0;

• Se, a demanda é infinitamente elástica, 𝑒𝑞,𝑝 = −∞ e Rmg=p;

• Se, a demanda é inelástica, 𝑒𝑞,𝑝 ≻ −1 e Rmg < 0;



Lucro é máximo quando Rmg = Cmg

• C𝑚𝑔 = 𝑝 1 +1

𝑒𝑞,𝑝, ou

𝑝−𝐶𝑚𝑔

𝑝=

1

−𝑒𝑝,𝑞=

1

𝑒𝑞,𝑝


Demanda de mercado – curva de receita média


Preço

q/período

D (receita media)

Rmg

p1

q1

Oferta de curto prazo da firma tomadora de preço


Preço

q/período

ps

Cmgc

CMc

CVMc

P**

q**

P* = RM

q*

P***

q***

Ponto de fechamento da firma (shutdown)

Propriedades da função Lucro

𝜋 = 𝑝, 𝑣, 𝑤 = 𝑚𝑎𝑥𝜋𝑘,𝑙 = 𝑚𝑎𝑥𝑘,𝑙[𝑝𝑓 𝑘, 𝑙 − 𝑣𝑘 − 𝑤𝑙]

• Homogeneidade: homogênea de grau 1 em preços;

• Não decrescente nos preços dos insumos;

• Não decrescente no preço do produto;

• Convexa em relação aos preços do produto:

𝜋 𝑝

1,𝑣,𝑤 +𝜋 𝑝

1,𝑣,𝑤

2≥ 𝜋

𝑝1+𝑝

2

2, 𝑣, 𝑤


Teorema do envelope

𝜋 = 𝑝, 𝑣, 𝑤

𝜕𝜋 𝑝,𝑣,𝑤

𝜕𝑝= 𝑞(𝑝, 𝑣, 𝑤)


𝜕𝑣= −𝑘(𝑝, 𝑣, 𝑤)


𝜕𝑤= −𝑙(𝑝, 𝑣, 𝑤)


Referências Bibliográficas

NICHOLSON, W; SNYDER, C. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. 11th Edition (International Edition), 2012 – caps. 10 e 11.


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