Aula-3Equilíbrio, Elasticidade

Curso de Física Geral F-228Curso de Física Geral F-22810 semestre, 2013

Plano da Aula

• Condições de equilíbrio• Centro de gravidade• Exemplos de equilíbrio• Equilíbrio instável, estável e neutro• Elasticidade: tensão, deformação e

cisalhamento• Mais Exemplos

Condições para o equilíbrio

• Um corpo rígido está em equilíbrio se:– O momento linear P e o momento angular L– O momento linear P e o momento angular L

têm valor constante.

• Esta definição não exige que o corpo esteja em repouso, ou seja, P e L não são necessariamente zero.zero.

• Se P e L são zero então temos equilíbrio estático.

Equações de movimento para o corpo rígido

A translação do centro de massa (CM)

)()( exti

exti FFdt

Pd rrr

∑ ==

Ld ττ rrr

∑ ==

A rotação em torno do centro de massa

)()( exti

extidt

Ld ττ rr∑ ==

Estática para o corpo rígido

0∑ == FFrr

As condições de equilíbrio são

0

0

)()(

)()(

∑

∑

==

==

iextiext

iextiext FF

ττ rr

rr

Cada vetor tem 3 componentes e as equações formam um sistema de 6 equações escalares simultâneas

Forças coplanares

0,0,0 === zyx FF τ

Forças no plano xy têm versão simplificada

Centro de Gravidade

Anteriormente consideramos que a força total que atua em um corpo rígido devida à gravidade poderia ser substituída por uma força única (peso) atuando no CM do corpo de massa total M.

gMmgF ii

rrr==∑ ∑

( ) ( )∑∑ ∑ ×=×= grmgmrτ iiiii

rrrrr

gmF ii

rr

∑ ∑= então

O torque da força peso em cada elemento de um corpo rígido é

Como g pode ser fatoradoComo g pode ser fatorado

( ) gMrgrMgrmτ CMCMiii

rrrrrrr ×=×=×=∑∑

O torque resultante é igual ao torque de uma única força atuando no CM !

Equilíbrio sob a ação de g

Aplicação de uma única força Mg para cima no CM deixa o corpo em equilíbrio. Podemos usar este fato para determinar o CG.

Suspenda o mapa por qualquer ponto. O CM está na linha vertical do fio de prumo.do fio de prumo.

Repita a operação para outro ponto qualquer. O CM está na intersecção das linhas.

O fio de prumo por um terceiro ponto passa necessariamente pelo CM.

Equilíbrio sob a ação de g

X

Exemplo 1Barra de tamanho L e massa m = 1.8 kg se apoia em duas balanças. Um bloco de massa M = 2.7 kg se apoia na barra a um quarto de distância da balança esquerda. +

0y l rF F F Mg mg= + − − =∑

quarto de distância da balança esquerda. Quais as leituras nas balanças?

As forças:

Os torques:

( )l rF g M m F= + −

( ) ( )4 2rF g M m= +ou

dai15

29r

l

F N

F N

==

Exemplo 2O bíceps é responsável por dobrar o braço. É um sistema de alavanca como mostra a figura. Os valores típicos para o tamanho do braço, a = 30 cm, e a distância do bíceps ao cotovelo, x = 4 cm. Se uma massa M é sustentada pela mão qual a força feita pelo bíceps? (despreze o peso do braço!)bíceps? (despreze o peso do braço!)

x

aMgFB =xFMga B−=0

A força feita pelo bíceps é muito maior que o peso pois 30/4 = 7.5

Torque total com relação ao cotovelo

Exemplo 3m = 55 kg, w = 1,0 m d = 0,20 m µ1 = 1,1 e µ2 = 0.70

Nmin = ? h = ?

Exemplo 4h = 55 m, d = 7,0 m x = 4.5 m, x e θ para a torreficar prestes a cair?

X

xPara cair:

h x´CG

r

rx =´

mx

x 25,22

´ ==

Inicialmente,

2

55

0,7==h

xtgθ 06,7~θ

Logo x´deve aumentar 3,5 – 2,25 = 1,25 me x deve aumentar 2,5 m; logo x = 7,0 m para cair

Exemplo 5 no quadro

Vimos que a força gravitacional é conservativa. Então, podemos definir a função energia potencial U(x,y,z) tal que

Pontos de Equilíbrio

• Se Fx = 0 e Fy = 0 temos equilíbrio

z

UF

y

UF

x

UF zyx ∂

∂−=∂∂−=

∂∂−= ,,

Exemplo bidimensional U =U(x,y)

x y

• Ponto A, mínimo, equilíbrio estável• Ponto B, máximo, equilíbrio instável• Ponto C é chamado ponto de sela• Se U é constante temos equilíbrio neutro.

Elasticidade

• A rigidez dos chamados corpos rígidos dependedas forças interatômicas.das forças interatômicas.

• Mesmos os corpos rígidos podem serdeformados

• Sólidos são formados por átomos que estãoligados por forças similares a forças de mola.

• Sólidos são arranjos periódicos de átomos• Sólidos são arranjos periódicos de átomosformando redes cristalinas.

Elasticidade

sólido modelo massa - mola

• Cada átomo está em equilíbrio devido à interação (mola) com seis vizinhos.interação (mola) com seis vizinhos.

• As constantes de mola efetivas são grandes.• É necessário forças grandes para separar os

átomos. Daí a impressão de rigidez!

Elasticidade

ligação fraca

ligação forteligações fortes

• Ligações em estrutura cúbica são mais fortes

ligação fraca

• Ligações em estrutura cúbica são mais fortes (diamante)

• Estruturas hexagonais tem ligações fracas entre os planos (grafite)

Tensão(stress) e deformação(strain)(a)

• Vejam dois tipos principais de mudança de forma (deformação) de um sólido quando forças atuam sobre ele:– O cilindro é esticado pela tensão de elongação.(a)– O cilindro é deformado pela tensão de cisalhamento.(b)

• Um terceira seria compressão uniforme (pressão hidrostática) onde as forças são aplicadas uniformemente em todas as direções.

Tensão e deformação

1200

A tensão é, no regime elástico, proporcional à deformação e a constante de proporcionalidade é o módulo de elasticidade.

0 0.04 0.08 0.12 0.16Strain

0

300

600

900

Str

ess

(MP

a)

6Al-4V Titanium Alloy

500

Tensão = módulo de elasticidade X deformação

0 0.06 0.12 0.18 0.24Strain

0

125

250

375

Str

ess

(MP

a)

2024-T351 Aluminum Alloy

Tensão ou compressão simples (ou de elongação) se define como F/A associada a uma deformação específica ∆L/L como na figura abaixo

Tensão e deformação

L

LE

A

F ∆=

Aqui, o módulo de elasticidade se chama módulo de Young E

Medida da deformação

A deformação específica pode ser medida com um extensômetro.

A resistência elétrica do extensômetro varia de forma definida com aA resistência elétrica do extensômetro varia de forma definida com adeformação.O extensômetro é aderido ao objeto cuja deformação específica se desejamedir de tal forma que ele sofra a mesma deformação que o objeto.

Tensão de cisalhamento

Tensão de cisalhamento se define como F/A associada a uma deformação ∆L/L como na figura abaixo.

L

LG

A

F ∆=

O módulo neste caso se chama módulo de cisalhamento G

A tensão de cisalhamento tem papel importante em fratura de ossos devido a torções!

Exemplo 5Uma haste de R = 9,5 mm e comprimento L = 81 cm é esticada ao longo do seu comprimento por uma força de módulo 6.2X104 N. Qual a tensão, o alongamento e a deformação específica? Dado E = 2.0 x 1011 N/m2.

LE

F ∆=L

EA

=

Exemplo 6

O fêmur, osso da coxa, tem o seu menor diâmetro em homem adulto de aproximadamente 2,8 cm ou A = 6 x 10-4 m2. Com que carga de compressão ele fratura?carga de compressão ele fratura?

Da tabela temos Su = 170 x 106 N/m2. A força compressiva é

F = Su A ≈ 1.0 x 105 N

Isto é ~ 10 ton ! Este tipo de força pode ser atingido numa queda de pára-quedas ou no salto de uma ginasta olímpica!!

Estados da matéria:

Gás Líquido

Sólido amorfo

Sólido cristalino

Sólido amorfo

Estados da matéria

Sólido cristalino

Definição de sólidos:resistem a

tensões de cisalhamento!

Sólido amorfo

tensões de cisalhamento!

Caracterização de uma certaquantidade de massa M, que ocupa um volume V :

MSólido amorfo

V

M=ρ

Densidade média ρρρρ

Fluidos:não resistem a tensões de cisalhamento

Gás Líquido

Assumem a forma do recipiente

Líquidos e Gases: Tensão hidrostática - Pressão

FP =

Pressão de um fluido:é resultado da força média que as moléculas do fluido exercem sobre as paredes

AP =

exercem sobre as paredes de um recipiente

Neste caso, a tensão hidrostática sobre aesfera é a pressão do fluido

Líquidos e Gases: Tensão hidrostática - Pressão

VBP

∆=V

BP =

B é o módulo de compressibilidadeB é o módulo de compressibilidade

Amostras sob Tensão hidrostática

V

VBP

∆= B é o módulo de compressibilidade

Amostras sob Tensão hidrostática

Exemplo 7

V∆V

VBP

∆=B é o módulo decompressibilidade

Curiosidades: Tensão e quebra em nanofios de ouro

• Fios de ouro ultra finos são produzidos em laboratório e vistos em microscopia de transmissão.

• Fio sob tensão tem força medida.• Fio sob tensão tem força medida.

• Simulações reproduzem os resultados.

• Isto acontece na escala nano (1nm = 10-9 m)

O Limite da Tensão-Força

How do Gold Nanowires break?E.Z. da Silva, A. J. Roque da Silva and A. FazzioPhys. Rev. Lett., 87, 256102 (2001)

João Bobo?

I´ll be back!