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Aula-3Equilíbrio, Elasticidade
Curso de Física Geral F-228Curso de Física Geral F-22810 semestre, 2013
Plano da Aula
• Condições de equilíbrio• Centro de gravidade• Exemplos de equilíbrio• Equilíbrio instável, estável e neutro• Elasticidade: tensão, deformação e
cisalhamento• Mais Exemplos
Condições para o equilíbrio
• Um corpo rígido está em equilíbrio se:– O momento linear P e o momento angular L– O momento linear P e o momento angular L
têm valor constante.
• Esta definição não exige que o corpo esteja em repouso, ou seja, P e L não são necessariamente zero.zero.
• Se P e L são zero então temos equilíbrio estático.
Equações de movimento para o corpo rígido
A translação do centro de massa (CM)
)()( exti
exti FFdt
Pd rrr
∑ ==
Ld ττ rrr
∑ ==
A rotação em torno do centro de massa
)()( exti
extidt
Ld ττ rr∑ ==
Estática para o corpo rígido
0∑ == FFrr
As condições de equilíbrio são
0
0
)()(
)()(
∑
∑
==
==
iextiext
iextiext FF
ττ rr
rr
Cada vetor tem 3 componentes e as equações formam um sistema de 6 equações escalares simultâneas
Forças coplanares
0,0,0 === zyx FF τ
Forças no plano xy têm versão simplificada
Centro de Gravidade
Anteriormente consideramos que a força total que atua em um corpo rígido devida à gravidade poderia ser substituída por uma força única (peso) atuando no CM do corpo de massa total M.
gMmgF ii
rrr==∑ ∑
( ) ( )∑∑ ∑ ×=×= grmgmrτ iiiii
rrrrr
gmF ii
rr
∑ ∑= então
O torque da força peso em cada elemento de um corpo rígido é
Como g pode ser fatoradoComo g pode ser fatorado
( ) gMrgrMgrmτ CMCMiii
rrrrrrr ×=×=×=∑∑
O torque resultante é igual ao torque de uma única força atuando no CM !
Equilíbrio sob a ação de g
Aplicação de uma única força Mg para cima no CM deixa o corpo em equilíbrio. Podemos usar este fato para determinar o CG.
Suspenda o mapa por qualquer ponto. O CM está na linha vertical do fio de prumo.do fio de prumo.
Repita a operação para outro ponto qualquer. O CM está na intersecção das linhas.
O fio de prumo por um terceiro ponto passa necessariamente pelo CM.
Equilíbrio sob a ação de g
X
Exemplo 1Barra de tamanho L e massa m = 1.8 kg se apoia em duas balanças. Um bloco de massa M = 2.7 kg se apoia na barra a um quarto de distância da balança esquerda. +
0y l rF F F Mg mg= + − − =∑
quarto de distância da balança esquerda. Quais as leituras nas balanças?
As forças:
Os torques:
( )l rF g M m F= + −
( ) ( )4 2rF g M m= +ou
dai15
29r
l
F N
F N
==
Exemplo 2O bíceps é responsável por dobrar o braço. É um sistema de alavanca como mostra a figura. Os valores típicos para o tamanho do braço, a = 30 cm, e a distância do bíceps ao cotovelo, x = 4 cm. Se uma massa M é sustentada pela mão qual a força feita pelo bíceps? (despreze o peso do braço!)bíceps? (despreze o peso do braço!)
x
aMgFB =xFMga B−=0
A força feita pelo bíceps é muito maior que o peso pois 30/4 = 7.5
Torque total com relação ao cotovelo
Exemplo 3m = 55 kg, w = 1,0 m d = 0,20 m µ1 = 1,1 e µ2 = 0.70
Nmin = ? h = ?
Exemplo 4h = 55 m, d = 7,0 m x = 4.5 m, x e θ para a torreficar prestes a cair?
X
xPara cair:
h x´CG
r
rx =´
mx
x 25,22
´ ==
Inicialmente,
2
55
0,7==h
xtgθ 06,7~θ
Logo x´deve aumentar 3,5 – 2,25 = 1,25 me x deve aumentar 2,5 m; logo x = 7,0 m para cair
Exemplo 5 no quadro
Vimos que a força gravitacional é conservativa. Então, podemos definir a função energia potencial U(x,y,z) tal que
Pontos de Equilíbrio
• Se Fx = 0 e Fy = 0 temos equilíbrio
z
UF
y
UF
x
UF zyx ∂
∂−=∂∂−=
∂∂−= ,,
Exemplo bidimensional U =U(x,y)
x y
• Ponto A, mínimo, equilíbrio estável• Ponto B, máximo, equilíbrio instável• Ponto C é chamado ponto de sela• Se U é constante temos equilíbrio neutro.
Elasticidade
• A rigidez dos chamados corpos rígidos dependedas forças interatômicas.das forças interatômicas.
• Mesmos os corpos rígidos podem serdeformados
• Sólidos são formados por átomos que estãoligados por forças similares a forças de mola.
• Sólidos são arranjos periódicos de átomos• Sólidos são arranjos periódicos de átomosformando redes cristalinas.
Elasticidade
sólido modelo massa - mola
• Cada átomo está em equilíbrio devido à interação (mola) com seis vizinhos.interação (mola) com seis vizinhos.
• As constantes de mola efetivas são grandes.• É necessário forças grandes para separar os
átomos. Daí a impressão de rigidez!
Elasticidade
ligação fraca
ligação forteligações fortes
• Ligações em estrutura cúbica são mais fortes
ligação fraca
• Ligações em estrutura cúbica são mais fortes (diamante)
• Estruturas hexagonais tem ligações fracas entre os planos (grafite)
Tensão(stress) e deformação(strain)(a)
• Vejam dois tipos principais de mudança de forma (deformação) de um sólido quando forças atuam sobre ele:– O cilindro é esticado pela tensão de elongação.(a)– O cilindro é deformado pela tensão de cisalhamento.(b)
• Um terceira seria compressão uniforme (pressão hidrostática) onde as forças são aplicadas uniformemente em todas as direções.
Tensão e deformação
1200
A tensão é, no regime elástico, proporcional à deformação e a constante de proporcionalidade é o módulo de elasticidade.
0 0.04 0.08 0.12 0.16Strain
0
300
600
900
Str
ess
(MP
a)
6Al-4V Titanium Alloy
500
Tensão = módulo de elasticidade X deformação
0 0.06 0.12 0.18 0.24Strain
0
125
250
375
Str
ess
(MP
a)
2024-T351 Aluminum Alloy
Tensão ou compressão simples (ou de elongação) se define como F/A associada a uma deformação específica ∆L/L como na figura abaixo
Tensão e deformação
L
LE
A
F ∆=
Aqui, o módulo de elasticidade se chama módulo de Young E
Medida da deformação
A deformação específica pode ser medida com um extensômetro.
A resistência elétrica do extensômetro varia de forma definida com aA resistência elétrica do extensômetro varia de forma definida com adeformação.O extensômetro é aderido ao objeto cuja deformação específica se desejamedir de tal forma que ele sofra a mesma deformação que o objeto.
Tensão de cisalhamento
Tensão de cisalhamento se define como F/A associada a uma deformação ∆L/L como na figura abaixo.
L
LG
A
F ∆=
O módulo neste caso se chama módulo de cisalhamento G
A tensão de cisalhamento tem papel importante em fratura de ossos devido a torções!
Exemplo 5Uma haste de R = 9,5 mm e comprimento L = 81 cm é esticada ao longo do seu comprimento por uma força de módulo 6.2X104 N. Qual a tensão, o alongamento e a deformação específica? Dado E = 2.0 x 1011 N/m2.
LE
F ∆=L
EA
=
Exemplo 6
O fêmur, osso da coxa, tem o seu menor diâmetro em homem adulto de aproximadamente 2,8 cm ou A = 6 x 10-4 m2. Com que carga de compressão ele fratura?carga de compressão ele fratura?
Da tabela temos Su = 170 x 106 N/m2. A força compressiva é
F = Su A ≈ 1.0 x 105 N
Isto é ~ 10 ton ! Este tipo de força pode ser atingido numa queda de pára-quedas ou no salto de uma ginasta olímpica!!
Estados da matéria:
Gás Líquido
Sólido amorfo
Sólido cristalino
Sólido amorfo
Estados da matéria
Sólido cristalino
Definição de sólidos:resistem a
tensões de cisalhamento!
Sólido amorfo
tensões de cisalhamento!
Caracterização de uma certaquantidade de massa M, que ocupa um volume V :
MSólido amorfo
V
M=ρ
Densidade média ρρρρ
Fluidos:não resistem a tensões de cisalhamento
Gás Líquido
Assumem a forma do recipiente
Líquidos e Gases: Tensão hidrostática - Pressão
FP =
Pressão de um fluido:é resultado da força média que as moléculas do fluido exercem sobre as paredes
AP =
exercem sobre as paredes de um recipiente
Neste caso, a tensão hidrostática sobre aesfera é a pressão do fluido
Líquidos e Gases: Tensão hidrostática - Pressão
VBP
∆=V
BP =
B é o módulo de compressibilidadeB é o módulo de compressibilidade
Amostras sob Tensão hidrostática
V
VBP
∆= B é o módulo de compressibilidade
Amostras sob Tensão hidrostática
Exemplo 7
V∆V
VBP
∆=B é o módulo decompressibilidade
Curiosidades: Tensão e quebra em nanofios de ouro
• Fios de ouro ultra finos são produzidos em laboratório e vistos em microscopia de transmissão.
• Fio sob tensão tem força medida.• Fio sob tensão tem força medida.
• Simulações reproduzem os resultados.
• Isto acontece na escala nano (1nm = 10-9 m)
O Limite da Tensão-Força
How do Gold Nanowires break?E.Z. da Silva, A. J. Roque da Silva and A. FazzioPhys. Rev. Lett., 87, 256102 (2001)
João Bobo?
I´ll be back!