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Trigonometria I
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Trigonometria I
1.Trigonometria no triângulo retângulo
2.Razões trigonométricas de 30o, 45o e 60o
3.Uso de calculadora
4.Unidades de medida de arcos e ângulos
5.Medida algébrica de um arco
6.A circunferência trigonométrica
7.Seno e cosseno na circunferência trigonométrica
8.Tangente na circunferência trigonométrica
9.Secante, cossecante e cotangente
10.Trigonometria num triângulo qualquer
Numa primeira etapa, Trigonometria é oestudo das relações entre medidas de ângulos elados nos triângulos retângulos. Esse estudo éinteiramente baseado na semelhança de triângulos.Observe, por exemplo, os triângulos da figuraacima. Eles são semelhantes, pois possuem osângulos ordenadamente congruentes.
1. Trigonometria no triânguloretângulo
‘‘
‘
E dessa semelhança podemos deduzir que:
1. Trigonometria no triânguloretângulo
'
' ' '(1)
b a b bb a a a
= ⇒ =
'
' ' '(2)
c a c cc a a a
= ⇒ =
'
' ' ' (3)b c b bb c c c
= ⇒ =
‘‘
‘
As igualdades (1), (2) e (3) mostram que arazão entre dois lados quaisquer de um triânguloretângulo é igual à razão entre os dois ladoshomólogos de qualquer outro triângulo retângulosemelhante a ele. Em outras palavras, a razãoentre dois lados quaisquer de um triânguloretângulo não depende do tamanho desse triângulo,mas apenas de seus ângulos.
1. Trigonometria no triânguloretângulo
6
E dessa semelhança podemos deduzir que:
1. Trigonometria no triânguloretângulo
= = = =⋯31 2
1 2 3
constantebb b
a a a
= = = =⋯31 2
1 2 3
constantecc c
a a a
= = = =⋯31 2
1 2 3
constantebb b
c c c
Essas razões, constantes para cada valor deα, são chamadas razões trigonométricas.
Seja α a medida de um ângulo agudo de umtriângulo retângulo.
1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo
•Seno de α é a razão entre o cateto oposto a esseângulo e a hipotenusa.•Cosseno de α é a razão entre o cateto adjacente aesse ângulo e a hipotenusa.•Tangente de α é a razão entre o cateto oposto aesse ângulo e o cateto adjacente a ele.
1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulode medida α são denotados por sen α, cos α e tg α.
1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo
bsen
cateto oposto asenhipotenusa c
sena
α
β
== ⇒ =
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulode medida α são denotados por sen α, cos α e tg α.
1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo
coscos
cos
ccateto adjacente a
hipotenusa ba
α
β
== ⇒ =
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulode medida α são denotados por sen α, cos α e tg α.
1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo
tantan
tan
bcateto oposto c
cateto adjacente cb
α
β
== ⇒ =
1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo
Exercício 1: Calcule sen α, cos α e tan α.
1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo
Exercício 2: Um observador, de 1,80 m de altura,situado a 20 m de um edifício, enxerga o topodesse edifício segundo um ângulo α. Esse ângulo foimedido a partir da linha horizontal de visão doobservador. Sabendo-se que sen α = 0,914, cos α =0,407 e tg α = 2,250, calcule a altura do edifício.
1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo
Exercício 3: Um observador, situado num ponto A,enxerga uma montanha segundo um ângulo α.Caminhando 400 m em direção à montanha, elepassa a enxergá-la segundo um ângulo β.Desprezando a altura do observador, calcule aaltura da montanha, sabendo que tg α = 1/2 e tg β= 5/6.
1.1. Seno, cosseno e tangentede um ângulo agudo
Exercício 4: Na figura abaixo, as circunferênciassão tangentes entre si e ambas tangenciam oslados do ângulo AÔB. Calcule: a) sen α em funçãode R e r. b) Se r = 5 e sen α = 1/6, calcule R.
Para calcular as razões trigonométricas de30o e 60o, partimos de um triângulo equilátero, noqual traçamos uma altura, e obtemos um triânguloretângulo cujos ângulos agudos medem 30o e 60o.
2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o
Então, no triângulo retângulo, temos:
2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o
2 130 30
2o ol
sen senl
= ⇒ = 3 2 3cos 30 cos 30
2o ol
l= ⇒ =
2 3tan 30 tan 30
33 2o ol
l= ⇒ =
Então, no triângulo retângulo, temos:
2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o
3 2 360 60
2o ol
sen senl
= ⇒ =2 1
cos 60 cos 602
o oll
= ⇒ =
3 2tan 60 tan 60 3
2o ol
l= ⇒ =
As razões trigonométricas de 45º sãocalculadas no triângulo retângulo obtido da divisãode um quadrado por sua diagonal.
2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o
2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o
245 45
22o ol
sen senl
= ⇒ = 2cos 45 cos 45
22o ol
l= ⇒ =
tan 45 tan 45 1o oll
= ⇒ =
21
Exercício 5: Calcule x na figura abaixo.
2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o
Exercício 6: Num círculo de centro O e raio r = 2,traça-se uma corda AB. Se a distância do centro àcorda é igual a 1, qual é a medida do ângulo AÔB?
2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o
Exercício 7: Na figura seguinte, ABCD é umquadrado e ABE é um triângulo equilátero.Determine: a) o valor do ângulo α e b) a tangentede α.
2. Razões trigonométricas de30o, 45o e 60o
Os valores das demais razõestrigonométricas, de 1o a 89o, podem ser obtidospelo uso de calculadora científica.
3. Uso de calculadora
Exercício 8: A figura seguinte mostra a trajetóriade uma bola de futebol que, chutada do ponto A,sobe a rampa e atinge o solo no ponto B. Qual é adistância entre A e B, aproximadamente?
3. Uso de calculadora
Até aqui temos utilizado apenas a unidadegrau para medir ângulos e arcos. Porém, existemoutras unidades de medida de arcos, das quaisuma, chamada radiano, iremos utilizar com grandefrequência.
4. Unidades de medida dearcos e ângulos
Minuto de grau: É a sexagésima parte do grau.
1º = 60’
Segundo de grau: É a sexagésima parte do minutode grau.
1’ = 60”
4.1. O grau e seus submúl-tiplos
Uma maneira de medir arcos de umacircunferência é compará-los com um outro arcoescolhido para ser unidade de medida sobre amesma circunferência. Esse arco é chamadounitário.
4.2. A unidade radiano
Por exemplo, na figura acima escolhemos oarco PQ, de comprimento u, como arco unitário.Então, para medir o arco AB, devemos descobrirquantas vezes o arco unitário “cabe” no arco AB.Para isso, basta fazer a razão entre o comprimentodo arco AB e o comprimento do arco unitário.
4.2. A unidade radiano
4.2. A unidade radiano
� comprimento do arco ABAB
comprimento do arco PQ=
� �33
uAB AB
u= ⇒ =
Chama-se radiano o arco unitário cujocomprimento é igual ao raio da circunferência queo contém.
1 radiano = 1 rad
4.2. A unidade radiano
� = 1radAB
Se = 1 rad, então = 1 rad.
Decorre da definição, que a medida emradianos de um arco AB é dada por:
4.2. A unidade radiano
� comprimento do arco ABAB
raio=
�AB AOB⌢
Exercício 9: Calcule AÔB em radianos, sabendoque o comprimento do arco AB é o dobro do raio dacircunferência.
4.2. A unidade radiano
Para determinar as medidas em radianos dosarcos de 360º e 180º, é preciso relembrar aseguinte propriedade:
“A razão entre o comprimento de umacircunferência e seu diâmetro é constante, e iguala π, qualquer que seja a circunferência”.
Assim, sendo C o comprimento de umacircunferência de diâmetro d, então:
onde π é um número irracional.
4.3. Os arcos de volta inteirae meia-volta
Cd
π=
Como o diâmetro é o dobro do raio, essarelação pode ser escrita assim:
A última igualdade é a conhecida fórmulaque permite calcular o comprimento de umacircunferência. A partir dela vamos determinar amedida do arco de volta inteira em radianos.
4.3. Os arcos de volta inteirae meia-volta
π π= =, ou ainda 22C
C rr
Para isso, temos de dividir o seucomprimento pelo raio, e, como o arco de voltainteira é a própria circunferência, seucomprimento é igual a 2πr. Então, sua medida é:
4.3. Os arcos de volta inteirae meia-volta
22
rrad
rπ π=
Sabendo que o arco de volta inteira mede 2πrad, deduzimos que o arco de meia-volta mede πrad.
4.3. Os arcos de volta inteirae meia-volta
Para converter medidas de arcos deradianos para graus ou vice-versa, usamos aseguinte relação:
π rad equivale a 180º ou π rad = 180º
4.4. Conversões de medidas
Exercício 10: Num triângulo ABC, sabe-se que oângulo B é o dobro do ângulo C e que o ângulo A é otriplo do ângulo C.
a) Determine os ângulos A, B e C em radianos.
b) Classifique esse triângulo quanto aos lados equanto aos ângulos.
4.4. Conversões de medidas
Arco orientado. Imagine um ponto P que,partindo de um ponto A de uma circunferência,desloca-se sobre ela e pode movimentar-se nosentido horário ou anti-horário.
5. Medida algébrica de umarco
Nos dois sentidos possíveis dedeslocamento, para cada posição do ponto P, ficadeterminado um arco AP denominado arcoorientado. O ponto A é chamado origem do arco e oponto P é a extremidade dele.
5. Medida algébrica de umarco
Circunferência orientada. É uma circunfe-rência na qual um dos dois possíveis sentidos dedeslocamento é adotado como positivo. Para oestudo da Trigonometria, o sentido positivo é oanti-horário.
5. Medida algébrica de umarco
Medida algébrica de um arco orientado.Considere um arco orientado contido numacircunferência orientada. A medida algébricadesse arco é a sua medida comum, afetada dossinais + ou -, conforme o sentido do arco seja,respectivamente, concordante ou discordante dosentido positivo da circunferência.
5. Medida algébrica de umarco
Na trigonometria, os arcos orientados nosentido anti-horário têm medidas algébricaspositivas e os orientados no sentido horário têmmedidas algébricas negativas.
5. Medida algébrica de umarco
5. Medida algébrica de umarco
A medida algébrica de um arco orientado deorigem A e extremidade P é representada pelosímbolo . Veja os exemplos:�AP
5. Medida algébrica de umarco
�
�
120
23
oAP
ou
AP radπ
= + = +
�
� π
= − = −
120
23
oAQ
ou
AQ rad
6. A circunferência trigono-métrica
Observe a figura acima. Ela mostra umacircunferência orientada no sentido anti-horário, àqual associamos um sistema de coordenadascartesianas.
6. A circunferência trigono-métrica
• O centro da circunferência é O = (0, 0).
• O raio da circunferência é unitário, isto é, r = 1.
6. A circunferência trigono-métrica
• A = (1, 0) é a origem dos arcos. Isto é, os arcossão medidos a partir de A.
• A circunferência da figura é chamada circunfe-rência trigonométrica.
6. A circunferência trigono-métrica
Como a origem dos arcos é um ponto fixo, nacircunferência trigonométrica a extremidade deum arco fica determinada pela sua medidaalgébrica.
6. A circunferência trigono-métrica
Desse modo, a cada ponto da circunferênciatrigonométrica ficam associados números reais,representando estes as medidas em radianos dosarcos que têm extremidades nesse ponto.Particularmente, dizemos que o ponto A, origemdos arcos, é um arco nulo e que sua medida é zero.
6. A circunferência trigono-métrica
A partir disso, dizemos que um arcopertence ao quadrante no qual se encontra a suaextremidade.
6. A circunferência trigono-métrica
Por exemplo, os arcos cujas medidas estãorepresentadas acima são perten-cem, respectivamente, ao 1º, 2º, 3º e 4ºquadrantes.
3 7, ,3 4 6 6eπ π π π−
7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica
Seja α a medida de um arco de extremidadeP na circunferência trigonométrica. Então,
sen α é a ordenada de P
cos α é a abscissa de P
7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica
Em razão dessas definições, naTrigonometria o eixo Ox é chamado eixo doscossenos e o eixo Oy, eixo dos senos.
7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica
Lembrando que o raio da circunferênciatrigonométrica é unitário, no triângulo OPQ dafigura acima, temos:
7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica
cos cos (1)1
OQ OQOQ
OPα α= = ∴ =
α α= = ∴ =sen sen1
QP QPQP
OP
7. Seno e cosseno na circun-ferência trigonométrica
Como QP = OR, temos
As igualdades (1) e (2) mostram que cos α esen α são a abscissa e a ordenada de P.
α =sen (2)OR
7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno
Observe as figuras e procure determinar osvalores de seno e cosseno dos ângulos indicadosnas figuras.
7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno
0 π/2 π 3π/2 2 π
sen 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno
Note que seno e cosseno são no máximoiguais a 1 e no mínimo iguais a -1. Assim, sen α ecos α variam no intervalo de -1 a 1.
α α− ≤ ≤ − ≤ ≤1 sen 1 e 1 cos 1
7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno
Exercício 11: Calcule o valor da expressão abaixo.
2
32sen 5cos2
23
3sen cos2
π π
π π
−
+
7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno
Exercício 12: Determine os valores de x quesatisfazem as equações seguintes no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.
2
a) sen 0
b) cos 0
c) sen 1
d) cos 1 0
e) sen sen cos 0
x
x
x
x
x x x
==
=
− =+ ⋅ =
7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno
Exercício 13: Identifique quais das igualdadesabaixo são possíveis.
a) sen 2
1b) sen
55
c) sen3
3d) sen
7
x
x
x
x
=
= −
= −
=
7.1. Alguns valores notáveis deseno e cosseno
Exercício 14: Determine m para que a igualdadeabaixo seja possível.
cos 2 1x m= −
7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα
Seja P a extremidade de um arco doprimeiro quadrante. Observe estas três outrasextremidades.
P1: simétrico de P em relação ao eixo Oy.P2: simétrico de P em relação ao centro O.P3: simétrico de P em relação ao eixo Ox.
7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα
As medidas dos arcos de extremidades P1,P2 e P3, sendo , podem ser expressas emfunção de α.
�AP α=
� � � �π α π α π α α= − = + = − = −1 2 3 3, e 2 , ouAP AP AP AP
7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα
Assim, o seno e o cosseno desses arcospodem ser expressos em função de sen α e cos α.
π α απ α α
π α αα α
− =+ = −
− = −− = −
sen ( ) sen
sen ( ) sen
sen (2 ) sen
sen ( ) sen
7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα
Assim, o seno e o cosseno desses arcospodem ser expressos em função de sen α e cos α.
cos ( ) cos
cos ( ) cos
cos (2 ) cos
cos ( ) cos
π α απ α α
π α αα α
− = −+ = −
− =− =
7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα
Exercício 15: Calcule o valor de
7 4 2sen cos sen cos
6 3 3 6π π π π ⋅ + ⋅ −
7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα
Exercício 16: Simplifique a expressão
sen(2 ) sen( ) sen( ) cos( )sen( ) cos( )
π α π α π α π απ α π α
− ⋅ + + − ⋅ +− + −
7.2. Arcos da forma: ππππ - αααα,ππππ + αααα e 2ππππ - αααα
Exercício 17: Resolva as equações seguintes nointervalo .
2
2
1a) sen x
2
2b) cos x
21
c) cos x41
d) sen x2
=
= −
=
=
] [0;2π
7.3. Primeira relação funda-mental
Para qualquer um dos dois casosapresentados nas figuras, as medidas dos catetosdo triângulo retângulo OPQ, são:
α α= =sen cosPQ e OQ
7.3. Primeira relação funda-mental
Pelo teorema de Pitágoras:
Como , a última igualdade fica:
α α+ = ⇒ + =2 22 2 1 sen cos 1PQ OQ2 2,a a a= ∀ ∈ℝ
α α+ =2 2sen cos 1
7.3. Primeira relação funda-mental
Embora as figuras da demonstraçãomostrem os arcos no 1º e 3º quadrantes, todo oraciocínio também é válido quando os arcospertencem aos demais quadrantes.
7.3. Primeira relação funda-mental
Exercício 18: Se sen 18o = , calcule cos 18o.5 14−
7.3. Primeira relação funda-mental
Exercício 19: Calcule m, para que se tenha
1 2sen x e cos x
m mm m− −= =
7.3. Primeira relação funda-mental
Exercício 20: Simplifique as expressões abaixo:
4 4
a) sen ( ) ( ) cos( ) cos( )
sen cosb)
sen cos
sen
x xx x
α π α α π α− ⋅ + − − ⋅ −
−+
7.3. Primeira relação funda-mental
Exercício 21: Se cos x = 1/a, calcule o valor daexpressão abaixo, em função de a.
2
4
cos cos sen
1 sen
x x x
x
+ ⋅−
8. Tangente na circunferênciatrigonométrica
Para o estudo dastangentes dos arcos nacircunferência trigonométrica,associamos mais um eixo a ela,conforme mostra a figura acima.At é chamado eixo das tangentes.
8. Tangente na circunferênciatrigonométrica
• O eixo At tangencia a circun-ferência em A.
• O ponto A é a origem do eixodas tangentes, isto é, ao ponto Aestá associado o número zerodesse eixo.
• O raio da circunferênciatrigonométrica é a unidade demedida também no eixo dastangentes.
8. Tangente na circunferênciatrigonométrica
Seja P a extremidade de um arco qualquerde medida α e seja T o ponto em que a retaconduzida pelo centro da circunferênciatrigonométrica e por P intercepta o eixo At. Então,tg α é o número associado ao ponto T no eixo At.
8. Tangente na circunferênciatrigonométrica
Quadrante 1o 2o 3o 4o
Sinaisde tg α
+ - + -
8. Tangente na circunferênciatrigonométrica
0 π/2 π 3π/2 2 π
tg 0 0 0∃ ∃
8. Tangente na circunferênciatrigonométrica
Exercício 22: Calcule o valor de
5 7tg cos tg
6 44
sen tg4 3
π ππ
π π
⋅ +
⋅
8. Tangente na circunferênciatrigonométrica
Exercício 23: Resolva as equações no intervalo de0 ≤ x ≤ 2π.
2
2
3a) tg x
3
b) tg x 3
c) tg x 1
d) tg x tg x 0
=
==
− =
8.1. Segunda relação funda-mental
Para os dois casos apresentados nas figurasacima, note que as medidas dos catetos dostriângulos OQP e OAT são:
α= senPQ cosOQ α=
α= tgAT 1OA =
8.1 Segunda relação funda-mental
Como temos .
Então
//QP AT OQP OAT∆ ∆∼αα α
= ⇒ =tg 1
sen cosAT OAQP OQ
αα
α=
sentg
cos
8.1 Segunda relação funda-mental
Como em todos os quadrantes os sinais detg α e são idênticos, teremos:α
αsencos
ααα
= sentg
cos
8.1 Segunda relação funda-mental
Note que, se cos α = 0, então não estádefinido. Porém, os arcos para os quais cos α = 0são justamente aqueles em que não existe tg α.
αα
sencos
8.1 Segunda relação funda-mental
Exercício 24: Dado tg x = 5/12, 0 < x < π/2,calcule sen x e cos x.
8.1 Segunda relação funda-mental
Exercício 25: Se , 0 < a < π/2, e ,
0 < b < π/2, calcule o valor de
cos 2 5a = cos 1 10b =
tg a tg b1 tg a tg b
+− ⋅
8.1 Segunda relação funda-mental
Exercício 26: Resolva as equações abaixo no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.
2 2
a) sen cos
1b) sen cos 0
3
x x
x x
=
− =
9. Secante, cossecante ecotangente
Se α é a medida de um arco, ou ânguloqualquer, então:
• Secante de α (sec α) é o inverso de cos α.
1sec (cos 0)
cosα α
α= ≠
9. Secante, cossecante ecotangente
Se α é a medida de um arco, ou ânguloqualquer, então:
• Cossecante de α (cossec α) é o inverso de sen α.
α αα
= ≠1cossec (sen 0)
sen
9. Secante, cossecante ecotangente
Se α é a medida de um arco, ou ânguloqualquer, então:
• Cotangente de α (cotg α) é o inverso de tg α.
ou
α αα
= ≠1cotg (tg 0)
tg
αα αα
= ≠coscotg (sen 0)
sen
9. Secante, cossecante ecotangente
Note que as variações dos sinais de sec α,cossec α e cotg α, segundo cada quadrante, sãoidênticas às variações de sinais de cos α, sen α etg α, respectivamente.
9. Secante, cossecante ecotangente
A cotangente pode ser interpretadagraficamente associando-se mais um eixo àcircunferência trigonométrica, conforme émostrado na figura acima. Nesse caso, obtém-se acotangente de modo inteiramente análogo ao quese emprega para determinar a tangente.
9. Secante, cossecante ecotangente
Como temos
Então
/ /BC QP ∆ ∆∼OBC OQPαα α
= ⇒ =cotg 1cos sen
BC OBQP OQ
αα
α=
coscotg
sen
9. Secante, cossecante ecotangente
Como em todos os quadrantes os sinais decotg α e são idênticos, teremos:α
αcossen
ααα
= coscotg
sen
9. Secante, cossecante ecotangente
Note que, se sen α = 0, então não estádefinido. Porém, os arcos para os quais sen α = 0são justamente aqueles em que não existe cotg α.
αα
cossen
9. Secante, cossecante ecotangente
0 π/2 π 3π/2 2 π
cotg 0 0∃ ∃ ∃
9. Secante, cossecante ecotangente
Na figura acima, a reta s é tangente àcircunferência na extremidade P do arco demedida α. Com base na figura, fazemos asseguintes definições de secante e cossecante.
9. Secante, cossecante ecotangente
sec α é o número associado ao ponto X noeixo Ox.
9. Secante, cossecante ecotangente
sec α é o número associado ao ponto X noeixo Ox.
9. Secante, cossecante ecotangente
sec α é o número associado ao ponto X noeixo Ox.
9. Secante, cossecante ecotangente
Temos ∆ ∆∼OPX OQP
αα
= ⇒ =sec 11 cos
OX OPOP OQ
αα
= 1sec
cos
1
O
P
X O
P
Q
1
sec α cos α
Então
9. Secante, cossecante ecotangente
cossec α é o número associado ao ponto Y noeixo Oy.
9. Secante, cossecante ecotangente
cossec α é o número associado ao ponto Y noeixo Oy.
9. Secante, cossecante ecotangente
cossec α é o número associado ao ponto Y noeixo Oy.
Então
9. Secante, cossecante ecotangente
Temos ∆ ∆∼OPY ORP
αα
= ⇒ =cossec 11 sen
OY OPOP OR
αα
= 1cossec
sen
P
O
YR P
O
cossec α1 1
sen α
9. Secante, cossecante ecotangente
Exercício 27: Calcule o valor de
2 3 11a) sec cotg cossec
3 4 6π π π+ −
9. Secante, cossecante ecotangente
Exercício 28: Sabendo que 3π/2 < a < 2π, e quesen a = -7/25, calcule as demais razões trigonomé-tricas.
9.1. Outras relações funda-mentais
Dividindo ambos os membros da relaçãosen2 α + cos2 α = 1 por cos2 α , teremos:
α αα αα α α
+ = ⇒ + =2 2
2 22 2 2
sen cos 1sen cos 1
cos cos cos
α α α α+ = ⇒ = +2 2 2 2tg 1 sec sec 1 tg
9.1. Outras relações funda-mentais
Agora, vamos dividir ambos os membros desen2 α + cos2 α = 1 por sen2 α , teremos:
α αα αα α α
+ = ⇒ + =2 2
2 22 2 2
sen cos 1sen cos 1
sen sen sen
α α α α+ = ⇒ = +2 2 2 21 cotg cossec cossec 1 cotg
9.2. Resumo das relações fun-damentais
α α= +2 2cossec 1 cotgα α= +2 2sec 1 tg
1sec
cosα
α= α
α= 1
cossecsen
ααα
= sentg
cos αα
= 1cotg
tgααα
= coscotg
sen
α α+ =2 2sen cos 1
9.2. Resumo das relações fun-damentais
Exercício 29: Calcule cos x, 3π/2 < x < 2π, sabendoque tg x = -2.
9.2. Resumo das relações fun-damentais
Exercício 30: Resolva a equação abaixo no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.
(sec x 1) (sec x 1) 3+ ⋅ − =
10. Trigonometria num triân-gulo qualquer
Passaremos a representar sempre por a, b ec as medidas dos lados opostos aos ângulos A, B eC de um triângulo ABC.
10.1. Lei dos senos
Para qualquer triângulo ABC, sendo R o raioda circunferência circunscrita, vale a relação:
= = =⌢ ⌢ ⌢ 2sen sen sen
a b cR
A B C
10.1. Lei dos senos
Traçando-se o diâmetro AD e unindo D e C,temos:
1º)
2º) é retângulo em C por estar ins-crito numa semicircunferência.
�
2AC
D B= =⌢ ⌢
ACD∆
10.1. Lei dos senos
Então, no ,
Analogamente, demonstra-se que
ACD∆ = ⇒ =⌢
⌢sen 22 sen
b bB R
R B
= ⇒ =⌢ ⌢2 2sensen
a cR R
A C
10.1. Lei dos senos
Logo, = = =⌢ ⌢ ⌢ 2sen sensen
a b cR
A B C
10.1. Lei dos senos
Exercício 31: Num triângulo ABC sabe-se que oângulo A é igual a 60o, o ângulo B é igual a 45o e a = 9.Calcule: a) o raio da circunferência circunscrita e b) amedida do lado b.
10.1. Lei dos senos
Exercício 32: Num triângulo ABC tem-se
Calcule .
�8 2, 8 3 e 60 .oa b B= = =�C
10.1. Lei dos senos
Exercício 33: Um triângulo ABC está inscrito em umacircunferência de raio R. Se a = R, calcule .�A
10.2. Lei dos cossenos
Para todo triângulo ABC, vale a relação:
A demonstração completa exige que seanalisem os casos em que A é agudo e em que Aé obtuso.
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −⌢
∢∢
10.2. Lei dos cossenos
Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulosAHC e BHC, temos:
10.2. Lei dos cossenos
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
( )
( )
( 2 )
2
h b m
h a c m
a c m b m
a c cm m b m
a c cm m
= −
= − −
− − = −− − + = −
− + − 2 2b m= −2 22 2 (1)a c cmb= + −
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
( )
( )
( 2 )
2
h b m
h a c m
a c m b m
a c cm m b m
a c cm m
= −
= − +
− + = −+− + = −
−− − 2 2b m= −2 22 2 (1)a c cmb= + +
10.2. Lei dos cossenos
Do triângulo retângulo AHC, tiramos:
cos
cos (2)
mA
b
m b A
=
=
⌢
⌢
cos ( )
cos
cos (2)
mA
bm
Ab
m b A
π − =
− =
= −
⌢
⌢
⌢
10.2. Lei dos cossenos
Substituindo em (1) o valor de m encontradoem (2), temos finalmente:
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −⌢
10.2. Lei dos cossenos
Exercício 34: De um triângulo ABC, são dados:
Calcule c.
�3 1, 2 e 30 .oa b C= + = =
10.2. Lei dos cossenos
Exercício 35: Dois automóveis A e B seguem por umamesma rodovia. No instante em que B entra numaestrada secundária, que forma um ângulo de 60o com aprimeira, ele é ultrapassado por A, que continua narodovia principal. As duas estradas podem serconsideradas retilíneas. Se A viaja a 80 km/h e B a50 km/h, qual a distância entre A e B 6 minutos apósB ter entrado na rodovia secundária?
10.2. Lei dos cossenos