apostila de matemática básica - site da...
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Apostila de Matemática Básica
Esta apostila tem por finalidade auxiliar os
alunos matriculados na disciplina
“Matemática Básica – Nivelamento” do Curso
de Licenciatura em Matemática do Campus
Universitário de Sinop. Nela, estão inseridos
os principais conceitos matemáticos em nível
básico, sendo requisitos necessários para a
compreensão de conteúdos que serão
abordados em outras disciplinas do curso.
Nela, as definições matemáticas aparecem
de forma clara e objetiva, além de apresentar
exemplos e vários exercícios para a fixação
dos conceitos.
Profa. Ms. Luciana M. Elias de Assis
Sumário
Aula 1 ............................................................ 2
Exercícios Aula 1 ......................................... 6
Links videoaulas : Aula 1................................ 9
Aula 2 ............................................................ 12
Exercícios Aula 2 ......................................... 15
Links videoaulas : Aula 2................................ 18
Aula 3 ............................................................ 19
Exercícios Aula 3 ......................................... 27
Links videoaulas : Aula 3................................ 30
Aula 4 ............................................................ 33
Exercícios Aula 4 ......................................... 36
Links videoaulas : Aula 4............................... 36
Aula 5 ............................................................ 37
Exercícios Aula 5 ......................................... 41
Links videoaulas : Aula 5................................ 43
Aula 6 .................................................... 44
Exercícios Aula 6 ................................. 46
Links videoaulas : Aula 6........................ 49
Aula 7 .................................................... 50
Exercícios Aula 7 ................................. 52
Links videoaulas : Aula 7........................ 54
Aula 8 ..................................................... 55
Exercícios Aula 8 ................................. 57
Links videoaulas : Aula 8......................... 60
Aula 9 .................................................... 61
Exercícios Aula 9 .................................. 64
Links videoaulas : Aula 9........................ 66
Aula 10 .................................................. 68
Exercícios Aula 10................................... 69
Links videoaulas : Aula 10....................... 71
Aula 11 ................................................... 72
Exercícios Aula 11 ................................ 74
Links videoaulas : Aula 11...................... 77
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AULA 1
Conjuntos Numéricos
1. Conjunto dos Números Naturais
Os números naturais são usados para
indicar uma contagem, uma ordem ou um
código. A sequência dos números naturais
é: 0, 1, 2, 3, ..., e o conjunto que representa
esta sequência de números é denotado por:
= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, }
Conjunto dos Números Inteiros
Com o passar dos tempos os números
naturais tornaram-se insuficientes para a
resolução de todos os problemas
matemáticos e, na busca de suprir essas
necessidades, foi criado o conjunto dos
números inteiros, que é composto pelos
números naturais (inteiros positivos e o zero)
e os números inteiros negativos.
O conjunto dos números naturais é denotado
por:
= { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }
Podemos representar os números inteiros em
uma reta numérica. Veja:
Módulo, ou valor absoluto de um número
inteiro
Podemos determinar na reta numérica, a
distância de qualquer ponto em relação à
origem (representada pelo zero).
Assim, a distância entre qualquer ponto e a
origem da reta numérica é chamanda de
valor absoluto ou módulo de um número
associado a esse ponto.
Por exemplo: o valor absoluto do número +4
é 4 (a distância do ponto 4 à origem é 4).
Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a
distância do ponto -3 à origem é 3)
Notação de módulo: |-a| = a
Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais são todos os
números que podem ser colocados na forma
de fração, com o numerador e
denominador , ou seja, o conjunto
dos números racionais é a união do
conjunto dos números inteiros com as
frações positivas e negativas.
Pode ser representado por:
= {x | x = }
Exemplos: , ,
Conjunto dos Números Irracionais
Os números irracionais são decimais
infinitas não periódicas, ou seja, são números
que não podem ser escrito na forma de
fração.
Exemplos: Os números abaixo têm uma
representação decimal não periódica com
infinitas ordens decimais.
= 1,41421356
= 1,73205080
= 3,14155926
3
Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais é a união
entre o conjunto dos números racionais com
o conjunto dos números irracionais.
Pode ser representado por:
= = {x | x é racional ou irracional}
Diagrama geral
De onde temos:
e
Resumo das notações utilizadas para os
conjuntos numéricos
conjunto dos números naturais:
conjunto dos números naturais com exceção do zero:
conjunto dos números inteiros:
conjunto dos números inteiros não nulos:
conjunto dos números inteiros não negativos:
conjunto dos números inteiros positivos:
conjunto dos números inteiros não positivos:
conjunto dos números inteiros negativos:
conjunto dos números racionais:
conjunto dos números racionais não nulos:
conjunto dos números racionais não
negativos:
conjunto dos números racionais positivos:
conjunto dos números racionais não
positivos:
conjunto dos números racionais negativos:
conjunto dos números reais:
conjunto dos números reais não nulos:
conjunto dos números reais não negativos:
conjunto dos números reais positivos:
conjunto dos números reais não positivos:
conjunto dos números reais negativos:
Intervalos reais
São subconjuntos definidos por
desigualdades. Para observarmos os
diferentes tipos de intervalos reais,
consideramos os números reais a e b, tal que
a < b.
4
Intervalo fechado:
ou
a b
Intervalo aberto:
ou
a b
Intervalo fechado à esquerda e aberto à
direita:
ou
a b
Intervalo aberto à esquerda e fechado à
direita:
ou
a b
Intervalo ilimitado à esquerda e fechado à
direita:
ou
a
Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à
direita:
ou
a
Intervalo fechado à esquerda e ilimitado à
direita:
ou
a
Intervalo aberto à esquerda e ilimitado à
direita:
ou
a
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
Estudaremos agora, as quatro operações
possíveis no conjunto dos números naturais.
Praticamente, toda a matemática é
construída a partir dessas operações: adição,
subtração, multiplicação e divisão.
Adição de Números Naturais
A primeira operação fundamental na
matemática é a adição. Onde esta operação
esta ligada a ideia de juntar, acrescentar
algo.
Exemplo:
Propriedades da Adição
Fechamento: A adição no conjunto dos
números naturais é fechada, pois a soma
de dois números naturais resulta em um
número natural.
a + b = c, onde a, b, c
Exemplo: 19 + 3 = 22
Associativa: A adição no conjunto dos
números naturais é associativa, pois na
adição de três ou mais parcelas de
números naturais quaisquer, é possível
5
associar de quaisquer modos, conforme
ilustrado a seguir.
(a + b) + c = a + (b + c)
Exemplo: (2 + 6) + 1= 9 = 2 + (6 +1)
Elemento Neutro: No conjunto dos
números naturais, existe o elemento
neutro que é o zero, pois tomando um
número natural qualquer e somando com
o elemento neutro (zero), o resultado
será o próprio número natural. Assim,
a + 0 = a
Exemplo: 5 + 0 = 5
Comutativa: No conjunto dos números
naturais, a adição é comutativa, pois a
ordem das parcelas não altera a soma.
Assim:
a + b = b + a
Exemplo: 6 + 10 = 16 = 10 + 6
Subtração de Números Naturais
A subtração é o ato ou efeito de subtrair
algo, ou seja, tirar ou diminuir alguma
coisa. O resultado obtido através dessa
operação e denominado diferença.
Exemplo:
Diante da operação de subtração, são
retiradas algumas propriedades.
O conjunto não é fechado em relação à
operação de subtração, pois 4 – 5 não
pertence a .
O conjunto não possui elemento
neutro, em relação à operação de
subtração:
6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 6
Logo: 0 – 6 6 – 0
A subtração no conjunto não admite a
propriedade comutativa, pois: 4 – 5 5 -
4.
A subtração no conjunto não aceita a
propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2
10 – (4 -2)
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade
adicionar o primeiro número denominado
multiplicador ou parcela, tantas vezes
quantas são as unidades do segundo número
denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9
quatro vezes:
O resultado da multiplicação é
denominado produto e os números dados
que geram o produto, são chamados fatores.
Usamos x ou •, para representar a
multiplicação.
Propriedades da Multiplicação
Fechamento: A multiplicação é fechada
no conjunto dos números naturais , pois
realizando o produto de dois ou mais
números naturais, o resultado estará em
.
6
Associativa: Na multiplicação, podemos
associar 3 ou mais fatores de modos
diferentes. Assim,
(a b) c = a (b c)
Por exemplo:
(3 4) 5 = 3 (4 5) = 60
Elemento Neutro: No conjunto dos
números naturais existe um elemento
neutro para a multiplicação que é 1.
Qualquer que seja o número natural n,
tem-se que: 1 n = n 1 = n
Por exemplo: 1 7 = 7 1 = 7
Comutativa: Quando multiplicamos dois
números naturais quaisquer, a ordem dos
fatores não altera o produto, Assim,
a b = b a
Por exemplo: 3 4 = 4 3 = 12
Distributiva: Multiplicando um número
natural pela soma de dois números
naturais, é o mesmo que multiplicar o
fator, por cada uma das parcelas e a
seguir adicionar as resultados obtidos.
Assim,
a (p + q) = a p + a q
Por exemplo: 6 (5 + 3) = 6 5 + 6 3 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes
necessitamos saber quantas vezes o
segundo está contido no primeiro. O primeiro
número que é o maior é denominado
dividendo e o outro número que é menor é o
divisor. O resultado da divisão é chamado
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo
quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão
não é fechada, pois nem sempre é possível
obter um número natural como resultado na
divisão de outros dois números naturais.
Por exemplo: 8 3 = 2,66 Logo 2,66 não
pertence ao conjunto .
Relação essencial numa divisão de
números naturais
1. Em uma divisão exata de números
naturais, o divisor deve ser menor que o
dividendo.
Por exemplo: 35 : 7 = 5
2. Em uma divisão exata de números
naturais, o dividendo é produto do divisor
pelo quociente.
Por exemplo: 35 = 5 x 7
3. A divisão de um número natural n por
zero não é possível pois, se
admitíssemos que o quociente fosse q,
então poderíamos escrever:
n 0 = q
e isso significaria que: n = 0 x q = 0
o que não é correto! Assim, a divisão de n
por 0 não tem sentido ou ainda é dita
impossível.
EXERCÍCIOS – Aula 1
01) Pensei em dois números pares cuja soma é 184. Um deles é o dobro do outro mais 4 unidades. Em que números pensei?
7
02) A diferença entre dois números é 103. Quais podem ser esses números? (tente encontrar pelo menos 5)
03) Um fazendeiro tem 1394 vacas. Se vender 484 delas para seu compadre, ambos ficarão com a mesma quantidade de vacas. Quantas vacas o compadre possui?
04) Responda: Quantas unidades há em 43 dúzias de bananas? Quantos dias há em 50 meses? (considere um mês com 30 dias)
05) Em um trem com 8 vagões de passageiros, cada vagão tem 28 poltronas de dois lugares cada uma. Além disso, permite-se que, em cada vagão, até 20 pessoas possam viajar em pé. Qual é a lotação máxima permitida nesse trem?
06) Compare e escreva igualdades aplicando
a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição (ou à subtração): a) 6.(10 + 5) = b) 4.(8 – 7 ) = c) 5.(a + 8) = d) 3.4 + 3. 7 =
07) Em uma semana, Juca vendeu 65 caixas
completas de picolés e 8 picolés avulsos. Cada caixa completa contém uma dúzia de picolés. a) Quantos picolés ele vendeu nessa
semana? b) Se sua cota semanal de vendas é de
80 caixas completas, quantos picolés faltam para ele atingi-la?
08) Marcos pensou em um número e, em seguida, dividiu-o por 8. A divisão foi exata e o quociente foi 15. Em qual número ele pensou?
09) Numa divisão, o quociente é 18, o resto é 7 e o divisor é 45. Calcule o dividendo.
10) Uma loja de produtos de limpeza possui em seu estoque 130 caixas de detergente. Cada caixa contém duas dúzias de frascos. Um cliente fez uma encomenda de 1200 frascos. Quantas caixas restaram no estoque dessa loja?
11) Célia e Maria colecionam papéis de carta. Célia tem o triplo da quantidade de papéis de Maria. As duas juntas possuem 244 papéis de carta. Quanto tem cada uma?
12) Três amigos brincavam de adivinhar
quantas figurinhas havia na coleção de
Anne. Seus palpites foram 294, 363 e
356. Um deles errou por 33 figurinhas,
outro errou por 36 e outro por 29,
quantas figurinhas Anne tem?
a) 323 b) 261 c) 352 d) 327
e) 341
13) A professora Daniela deseja presentear
os 22 alunos da sua classe com lápis e
canetas. Ela dispõe de 49 lápis e 32
canetas. Sabendo que nenhum aluno
ficou sem receber presentes e que todos
os presentes foram distribuídos, o que
podemos afirmar com certeza?
(a) Algum aluno ficou sem lápis.
(b) Todos os alunos receberam pelo
menos duas canetas.
(c) Algum aluno recebeu mais de três
itens.
(d) Nenhum aluno recebeu 10 lápis.
(e) todos receberam o mesmo número
de itens.
14) Uma cidade ainda não tem iluminação
elétrica, portanto, nas casas usam-se
velas à noite. Na casa da Joana, usa-se
uma vela por noite, sem queimá-la
totalmente, e com quatro desses tocos
de velas, Joana fabrica uma nova vela.
Durante quantas noites Joana poderá
iluminar sua casa dispondo de 39 velas?
(a) 10 (b) 48 (c) 51 (d) 39 (e) 50
15) Responda:
a) Qual é o menor número natural? b) Existe o maior número natural? c) Quantos números naturais existem? É possível responder? 16) Responda:
a) Existe o menor número inteiro?
8
b) Quais os números naturais entre -3 e 5? c) Quais os números inteiros entre -5 e 5?
17) Pedro pensou em um número inteiro. Multiplicou o valor absoluto por 10 e obteve 250. Em que número Pedro pensou?
18) O antecessor de -100 é: a) 99 b) 101 c) -99
19) Complete usando ou um número:
a) -20 ___ ; b) 67 ___ ; c) -22 ___
20) O que ocorre com os módulos de dois
números opostos ou simétricos?
21) Responda:
a) Qual é o valor de –(-35)?
b) Qual é o oposto do oposto de -86?
22) Qual é o valor destas expressões?
a) |+27| + |+35| =
b) |-81| + |-35| =
c) |-13| - |-15| =
d) |-21| - |+35| =
23) As letras m e n representam números
inteiros. Se m = |-49| e n = |+66|, então:
a) Qual é o valor de m? E o valor de n?
b) Qual é o valor da expressão m – n?
24) Responda:
a) Que número está mais distante da
origem: -900 ou -1000?
b) Que número está mais próximo da
origem: -60 ou 200? Qual deles é o
maior?
25) Calcule:
a) (+12) + (-8) =
b) (-25) + (-3) =
c) (+ 34) – (-56) =
d) (-320) – (-320) =
e) (+2) . (-3) =
f) (-4) . (-3) =
26) As letras a, b, x e y represntam números
naturais.
a) Se o produto (x.y) é 30, então qual é o
valor de 2.(x.y)?
b) Se a soma (a + b) é 10, então qual é o
valor de 7.(a + b)?
c) Se a diferença (x – y) é 50, então qual é
o valor de 6.(x – y)?
27) O produto de dois números é 40.
a) Multiplicando-se um dos fatores por 3,
qual será o novo produto?
b) Multiplicando-se os dois fatores por 3,
qual será o novo produto?
c) Multiplicando-se um dos fatores por 2 e o
outro por 5, qual será o novo produto?
28) A soma de dois números é 80.
Multiplicando-se cada um desses
números por 6, qual será a nova soma?
29) Considere que as letras a e b
representam números naturais e que a +
b = 45 Responda:
a) Qual é o valor de (a + b) + 100?
b) Qual é o valor de (a + b) - 100?
30) Quatro números naturais são
consecutivos. Um deles é 99. Nessa
situação podemos afirmar que a soma
desses números:
a) Pode ser maior que 400.
b) É sempre maior que 400
c) É sempre menor que 400.
d) Nenhuma das anteriores é verdadeira.
31) Nesta figura, as letras x, y e z
representam números naturais. Podemos
afirmar que:
y 402 x 1000 z
a) x, y e z são escritos com 4 algarismos.
b) y< x < 1000
c) x < y < z
d) x + y + 402 = z
32) Luis tem uma coleção de bolinhas de
gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas
novas de seu primo e ficou com 150.
9
Desse modo, podemos afirmar que, antes
de ganhar esse presente de seu primo,
Luís tinha:
a) 124 bolinhas
b) 125 bolinhas
c) 174 bolinhas
33) As letras a e b representam números
naturais e a+b=500. Então, podemos
afirmar que (a + b) 20 é igual a:
a) 5000 20; b) 25; c) 2500; d) 250
34) Represente cada conjunto escrevendo
seus elementos entre chaves.
a)
b)
c)
d)
35) Represente geometricamente:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
36) Escreva o intervalo correspondente a
cada representação geométrica:
a)
-3 4
b)
10
c)
2 11
d)
-15 0
e)
-23 -5
Gabarito:
1) 60 e 124
2) 176 e 73; 183 e 80, etc
3) 426 vacas
4) 516; 1500 dias
5) 608 pessoas
6) –
7) 788; 172
8) 120
9) 817
10) 80 caixas
11) Célia: 183 e Maria:61
12) 327
13) c
14) 48
15) a) 0; b) não; c) infinitos; não
16) a) não; b) 0,1,2,3,4,5; c) -5,-4,...,5
17) -25 ou 25
18) -99
19) a) ; b) ; c)
20) são iguais
21) a) 35; b) -86;
22) a) 62; b) 116; c) -2; d) -14
23) a) 49;66 b) -17
24) a) -1000 e b) -60;200
25) a) 4; b) -28; c) 90; d) 0; e) -6; d) 12
26) a) 60; b) 70; c) 300
27) a) 120; b) 360; c) 400
28) 480
29) a)145; b)
30) a
31) b
32) c
33) b
34) –; 35) –
36)a) [3,4], b) ]- ,10]; c) ]2,11]; d) ]-15,
0[;e) [-23, -5[;
Links videoaulas: aula 1
Videoaula 1 – Conjuntos Numéricos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/conjuntos-numericos
10
Videoaula 2 – Conjuntos Numéricos 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/conjuntos-numericos-1 Videoaula 3 – Adição Básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/adicao-basica Videoaula 4 – Adição nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/adicao-nivel-2-video-1 Videoaula 5 – Soma nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/soma-nivel-2-video-21 Videoaula 6 – Soma nível 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/soma-nivel-31 Videoaula 7 – Soma nível 4 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/soma-nivel-41 Videoaula 8 – Somando números negativos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/somando-numeros-negativos Videoaula 9 – subtração, método alternativo mental http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/subtracao-metodo-alternativo-mental Videoaula 10 – subtração Básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/subtracao-basica Videoaula 11 – subtração nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/subtracao-nivel-2 Videoaula 12 – subtração nível 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/subtracao-nivel-31 Videoaula 13 – subtração nível 4 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/subtracao-nivel-41 Videoaula 14 – Método de multiplicação por grades http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/metodo-de-multiplicacao-por-grades1 Videoaula 15 – Multiplicação Básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicacao-basica1
Videoaula 16 – Multiplicação nível 2 - tabuadas http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicacao-nivel-2-tabuadas Videoaula 17 – Multiplicação nível 3 – tabuadas 10, 11 e 12 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicacao-nivel-3-tabuadas-do-10-11-e-121 Videoaula 18 – Multiplicação nível 4 – dois dígitos vezes um digito http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicacao-nivel-4-dois-digitos-vezes-um-digito1 Videoaula 19 – Multiplicação nível 5 – dois dígitos vezes dois dígitos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicacao-nivel-5-dois-digitos-vezes-dois-digitos1 Videoaula 20 – Multiplicação nível 6 – múltiplos dígitos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicacao-nivel-6-multiplos-digitos1 Videoaula 21 – Multiplicação nível 7 – mais exemplos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicacao-nivel-7-mais-exemplos1 Videoaula 22 – multiplicação (porque negativo vezes negativo da positivo) http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/por-que-negativo-vezes-negativo-da-positivo Videoaula 23 – divisão básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/divisao-basica1 Videoaula 24 – divisão entre números racionais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/divisao-de-numeros-racionais Videoaula 25 – divisão nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/divisao-nivel-21 Videoaula 26 – divisão nível 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/divisao-nivel-31
11
Videoaula 27 – divisão nível 4 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/divisao-nivel-41 Videoaula 28 – divisão parcial de quociente http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/divisao-parcial-de-quociente Videoaula 29 – propriedade inversa da adição http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedade-inversa-da-adicao Videoaula 30 – propriedade inversa da multiplicação http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedade-inversa-da-multiplicacao Videoaula 31 – propriedade do 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedades-do-numero-1 Videoaula 32 – propriedade do 1 – segundo exemplo http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedades-do-numero-1-segundo-exemplo Videoaula 33 – propriedade associativa da adição http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedade-associativa-da-adicao Videoaula 34 – propriedade associativa da multiplicação http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedade-associativa-da-multiplicacao Videoaula 35 – propriedade comutativa da adição http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedade-comutativa-da-adicao Videoaula 36 – propriedade comutativa da multiplicação http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedade-comutativa-da-multiplicacao Videoaula 37 – a propriedade distributiva http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/a-propriedade-distributiva Videoaula 38 – propriedade distributiva – exemplo 1
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedade-distributiva-exemplo-1 Videoaula 39 – propriedade do zero http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedade-do-zero
12
Aula 2
CÁLCULO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Para calcular corretamente qualquer
expressão numérica, é necessário obedecer
algumas prioridades. Então, devemos ter em
mente que devemos fazer os cálculos na
seguinte ordem:
1. parênteses( ), colchetes [ ] e chaves{ } 2. potência e raiz 3. multiplicação e divisão 4. soma e subtração
Obs.:
i) Sinais nas operações de multiplicação e
divisão de números reais:
x + -
+ + -
- - +
ii) Na soma e subtração entre números reais
prevalece o sinal do maior.
Exemplos:
a) 15 + (-4) 3 – 10 =
=15 – 12 – 10 =
=-7
b) 5² + – [ 20 : (-4) + 3] =
=25 + 3 – [(-5) + 3] =
=25 + 3 – [-2] =
=25 + 3 + 2 =
=30
c) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} =
=2 + {3 – [1 + 1] +8} =
=2 + {3 – 2 + 8} =
=2 + 9 =
=11
d) 36 + 2{25 + [18 – (5 – 2)3]} =
=36 + 2{25 + [18 – (3)3]} =
=36 +2{25 + [18 – 9]} =
=36 +2{25 + 9} =
=36 + 2 34 =
=36 + 68 =
=104
e) [(5² - 6 2²)3 + (13 – 7)² : 3] :5 =
=[(25 – 6 4)3 + 6² : 3] :5 =
=[(25 – 24)3 + 36 :3] :5 =
=[1 3 + 12] :5 =
=[3 + 12] : 5 =
=15 : 5 = 3
Introdução à aritmética dos Números Números Primos
Chamamos de número primo qualquer
número natural n>1 que tenha apenas dois
divisores diferentes: 1 e ele próprio.
Os números que têm mais de dois
divisores são chamados de números
compostos.
Exemplos:
a) 23 é um número primo. Seus únicos
divisores são: 1 e 23.
b) 42 é um número composto. Além de ser
divisível por 1 e 42, é também divisível por 2,
3, 6, 7, 14 e 21.
Reconhecendo números primos
Crivo de Eratóstenes
O Crivo de Eratóstenes foi um dos primeiros
métodos conhecidos para se encontrar
números primos, que consiste em organizar
os números inteiros positivos a partir do
número 2, em ordem crescente, numa tabela
composta por números de 2 a n, e remover
os múltiplos de cada primo determinado.
13
Logo, aparecerão nessa sequência números
que não serão múltiplos dos anteriores e,
portanto, não serão removidos da tabela.
Estes números serão os números primos
procurados.
Inicialmente, colocamos na tabela, uma
sequência de inteiros positivos numerados de
2 a 100 conforme segue:
Aplica-se o conceito de número primo para o
inteiro positivo 2. Sabendo-se que o número
2 é um número primo, marca-se na tabela
todos os números que sejam múltiplos de 2;
O primeiro número da sequência que
aparecer sem estar marcado será um
número primo, que neste caso, é o número 3.
Em seguida, marca-se todos os números que
sejam múltiplos de 3;
O próximo número que aparecer sem estar
marcado, que neste caso, é o número 5, será
o nosso terceiro número primo da sequência
numérica da tabela.
Seguindo este raciocínio um número finito de
vezes, é possível ao final determinar todos os
números primos p compreendidos entre 2 e
100 da tabela acima.
Obs: é possível ainda, criar uma sequência
de números primos acima de 100 a partir do
crivo de Eratóstenes.
Além disso, para saber se um número é
primo, podemos utilizar o seguinte algoritmo:
1º) Dado um número natural n, calcule .
Se a raiz for exata, significa que temos um
número quadrado perfeito e, portanto
composto. Se a raiz quadrada não for exata,
pegue somente a parte inteira do número
obtido.
2º) Divida n por todos os naturais maiores do
que 1 até chegar ao número obtido a partir
do calculo da raiz quadrada de n.
3º) Se n não for divisível por nenhum dos
números da sequência iniciada em 2 e
terminada no maior número inteiro menor do
que , dizemos que este número n é primo.
Caso exista algum divisor nessa sequência,
então n será composto.
Por exemplo: Verifique se n=1167 é primo.
1º)
2º) Seja 34 o maior natural menor do que
3º) Dividindo 1167 por 2, 3, 4, 5, 6, ...., 34
temos que 3 é um divisor de 1167.
Portanto,1167 não é um número primo, pois
389 x 3 = 1167
Decomposição em fatores primos
Um número composto pode ser
decomposto em fatores primos. sendo
utilizado o método das divisões sucessivas.
Exemplo:
14
630 = 2 x x 5 x 7
Números primos entre si
Dois números são denominados primos
entre si, quando o único divisor comum entre
os dois é o número 1.
Exemplo: Determine os divisores comuns
de 15 e 16
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
Portanto o único divisor comum de 15 e 16 é
1.
Máximo divisor comum (m.d.c)
O máximo divisor comum de dois ou mais
números, na forma fatorada, é o maior divisor
comum entre eles.
Cálculo do m.d.c.
Um dos modos de calcular o m.d.c de
dois ou mais números consiste em utilizar
a decomposição desses números em
fatores primos.
1º) Decompor os números em fatores primos;
2º) Realizar o produto dos fatores primos
comuns (os fatores primos comuns são
considerados com o menor expoente).
Exemplo:
Acompanhe o calculo do m.d.c entre 84 e 90:
84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 36 =
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 =
O m.d.c é o produto dos fatores primos
comuns com menor expoente (neste caso, os
expoentes são iguais nos dois números,
então, basta pegar o fator primo de qualquer
um dos números) . Portanto, m.d.c (84,90) =
2 x 3 = 6
O m.d.c de dois ou mais números, quando
fatorados, é o produto dos fatores comuns a
eles, cada um elevado ao menor expoente.
Calculo do m.d.c pelo processo das
divisões sucessivas.
Neste processo efetuamos sucessivas
divisões utilizando o algoritmo da divisão, até
chegar a uma divisão exata. O último resto
não nulo das sucessivas divisões será o
m.d.c. procurado.
Exemplo: Calcule m.d.c (48,30)
1. Dividimos o número maior pelo número
menor;
48 30 = 1 (com resto 18)
2. Realize uma nova divisão entre o divisor
30 com o resto 18 obtido.
Repita este processo até que o resto seja
zero.
Assim:
dividendo = quociente x divisor + resto 48 = 1 x 30 + 18
30 = 1 x 18 + 12
18 = 1 x 12 + 6
12 = 2 x 6 + 0
3. O último resto não nulo obtido a partir das
sucessivas divisões feitas acima
corresponde ao número 6. Portanto,
m.d.c (48,30) = 6
Mínimo múltiplo comum (m.m.c)
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números naturais é o menor dos múltiplos
comuns a eles, diferentes de zero.
Ou ainda:
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números escritos na forma fatorada, é o
produto dos fatores comuns e não comuns
desses números. Os fatores comuns são
considerados com o maior expoente.
15
Cálculo do m.m.c
Para calcular o m.m.c de dois ou mais
números podemos usar:
Decomposição simultânea em fatores
primos.
Exemplo:
Calcular o m.m.c entre 18,25 e 30.
m.m.c (18,25,30) = =
= 450
Decompondo cada número
separadamente.
1º) decompor em fatores primos cada
número;
2º) multiplicar os fatores primos comuns e
não comuns e, entre os fatores comuns,
escolher aquele que apresenta maior
expoente.
Exemplo:
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
25 = 52
Então, mmc (18,25,30) = 2 x 32 x 52= 450
EXERCÍCIOS – Aula 2
01) Três crianças com idades acima de um ano estão brincando em um pátio. Sabe-se que o produto das idades delas é igual a 105. Qual é a idade da mais velha? Justifique sua resposta.
02) Dentre os números abaixo, existe um que é o resultado da multiplicação do número quatro com certo número primo. Qual é este número? a) 252 b) 84 c) 200 d) 204 e) 124
03) O professor de Matemática disse que tinha uma certa quantidade de dinheiro que era divisível por 5, por 6 e por 7. É claro que essa quantidade pode ser zero. Mas, se ela não for nula, qual é o seu menor valor? 04) Em uma mercearia o proprietário deseja estocar 72 garrafas de água, 48 de suco e 36 de mel em caixas com o maior número possível de garrafas, sem misturá-las e sem que sobre ou falte garrafa. Qual deve ser a quantidade de garrafas por caixa? 05) Pense em um número natural e em seu dobro. Diga qual é o mmc dos dois e dê um exemplo.
06) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmações: a) Todos os números pares são múltiplos de dois. b) Qualquer número é divisor de si próprio. c) Todos os múltiplos de três são números ímpares. d) O número um é múltiplo de todos os números naturais. e) O conjunto dos múltiplos de sete, é um conjunto infinito. f) Um é divisor de qualquer número g) Qualquer número é múltiplo de si próprio
16
07) Paulo está doente. O médico receitou-lhe um comprimido de 6 em 6 horas e uma colher de xarope de 4 em 4 horas. Seu pai deu-lhe um comprimido e uma colher de xarope à zero hora (meia noite). Qual é o primeiro horário em que Paulo voltará a tomar comprimido e xarope ao mesmo tempo?
08) Uma escada tem 30 degraus. Rubinho está subindo essa escada de 3 em 3 degraus e Felício de 2 em 2 degraus. Responda: a) Algum deles vai pisar no 15º degrau? b) Algum deles vai pisar no 23º degrau? c) Algum deles vai pisar no 18º degrau? d) Em quais degraus os dois irão pisar juntos?
09) Daniel escreveu a lista, em ordem crescente, de todos os números inteiros de 1 a 100 que são múltiplos de 7 ou tem o algarismo 7. Os três primeiro números da lista são 7, 14 e 17. Quantos números possui essa lista? a) 28; b) 29; c) 30; d) 31; e) 32
10) De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n? 11) Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0? 12) Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18, 25, 32 e 60. 13) Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos: a) 49; b) 37; c) 12; d) 11 14) Qual é o menor número primo com dois algarismos? 15) Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes? 16) Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20? 17) Decompondo o número 192 em fatores primos encontramos:
a) três fatores 2 b) cinco fatores 2 c) seis fatores 2 d) dois fatores 3 e) um fator 3 18) Usando a decomposição em fatores primos calcule: a) mdc ( 28, 70 ) b) mmc ( 49, 15 ) c) mmc ( 32, 56 ) d) mmc ( 48, 72 ) e) mmc ( 28, 70 ) f) mmc ( 12, 14, 16 ) g) mdc ( 60, 46 ) h) mdc ( 64, 80, 52 )
19) Indique, dentre estas opções, aquela que apresenta todas as informações corretas: a) 12 é múltiplo de 2,3 e de 9; b) 2, 3 e 7 são divisores de 7; c) 2,3 e 6 são divisores de 12; d) 12 é múltiplo de 24 e 39. 20) Determine apenas o sinal de cada produto: a) (-5).(+2).(-2).(+3).(-3) b) (-1).(+3).(-7).(+2).(+5) c) (-27).(+118).(+76).(-17).(+125)
21) Qual é o quociente da divisão de -204
pelo oposto de -12?
22) Observe este produto: (+14).(-65) = -910
a) Qual é o valor do quociente (-910) (-65)?
b) Qual é o valor do quociente (-910) (+14)?
23) Calcule mentalmente e anote o resultado:
a) (-18) (+6) =
b) (-35) (-5) =
c) (+70) (+7) =
d) (-49) (+7) =
24) Decomponha -60 em um produto de dois números inteiros. Apresente no mínimo três respostas diferentes. 25) O produto de dois números inteiros é 900. Um deles é -25, qual é o outro? 26) Calcule o quociente do oposto do oposto de -768 por -16.
17
27) A letra n representa um número inteiro. Descubra o valor de n nesta igualdade: n + (- 25) = - 8 28) O dobro de um número inteiro é igual a -150. Descubra que número é esse. 29) Resolva as expressões numéricas:
a) (12 + 37) 5 =
b) 5 + 2 4 – 9 : 3 =
c) 507 – (123 : 3) =
d) [100 + (6² - 23) 7] =
e) 80 – 5(57 – 18) : (9 + 4)7 =
f) {[ + (50 : 5) – (- 3)] + 45} =
g) 91 + 5823 : 647 =
h) 6(10000 + 100 + 1) – 6(3 7 13
37) =
i) [(1 + 2) : 3 + 4] : 5 + 6 =
j) 25 + {3³ : 9 + [3² 5 – 3(2³ - 5)]}
k) (-2)³ + (-3)² - 25 =
l) 24 6 + {[89 – 30 7] (5 + 8) 6}=
m) [30 (9 – 6)] + [30 : (9 + 6)]=
n) 5(8 + 15 – 7 + 23 +3) =
o) {20 + [12 + 3(6 – 2) – 8] 7} =
p) 3(5 +3) – [(12 + 4²) : 2] =
30) Dividindo 100 por 9, o resto encontrado é
diferente de zero. De acordo com essas informações, responda.
a) Qual o resto da divisão de 100 por 9?
b) 100 é múltiplo de 9?
c) Qual o primeiro múltiplo de 9 antes e
após 100?
31) Um livro tem 190 páginas. Li 78 e quero termina-lo em 4 dias, lendo o mesmo número de páginas em cada dia. Quantas páginas lerei por dia?
32) Uma quitanda recebeu uma remessa de 25 caixas de ovos. Cada caixa contém 10 dúzias. Quantas cartelas, com 30 ovos cada uma podem ser formadas com essa quantidade?
33) Ao final de um dia de trabalho de três
garçons, um deles contou 24 reais de gorjeta, o segundo 57 reais e o terceiro
recebeu 39 reais. Como eles sempre dividem a gorjeta por igual, quantos reais cada um recebeu nesse dia?
34) Resova:
a) 2 + 3 x 5 : 4 – 3 = b) 30 . 2 + 5 – (12 : 3) + 5 . 4 = c) 4.(5 + 4 . 4) – 2.(8 – 3) . 12 : 4 =
35) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso). a) ( ) 1000 = 7 x 142 + 4. b) ( ) 200 é múltiplo de 8. c) ( ) 169 = 13 x 13. d) ( )12 x 12 = 144. 35) Resolva as expressões numéricas: a) (125 + 85) · 16 = b) 621 − (50 ÷ 5) = c) 5 + 3 · 2 − 6 ÷ 2 = d) (3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 5) − 24 ÷ 3 ÷ 4 = e) (10 + 5) · 2 − (5 + 5) ÷ 2 = f) (6 · 3 + 2 · 2 + 5 · 0) + 12 ÷ 3 = g) 2 · {[20 · (3 + 4) − 5 · (1 + 3)] − 3} = h) 1000 − [(2 · 4 − 6) + (2 + 6 · 4)] = i) [6+(9÷3)·(2+2+42)·170·(40÷8−3)]÷1−2 = j) 24 · 6 + {[89 − 30 · 7] · (5 + 8) · 6} = k) 2 · [−3 + (5 − 6)] = l) [−(−3) − 5 − (+1)] · [10 ÷ (−5)] = m) 60 + 2 · {[4 · (6 + 2) − 10] + 12} = n) [(4 + 16 · 2) · 5 − 10] · 100 = o) {10 + [5 · (4 + 2 · 5) − 8] · 2} − 100 = p) 80 − 5 · (28 − 6 · 4) + 6 − 3 · 4 = q) 4 · (10 + 20 + 15 + 30) = r) (10 · 6 + 12 · 4 + 5 · 8) − 40 = s) [6 · (3 · 4−2 · 5)−4]+3 · (4−2)−(10÷2) = t) 67 + {50 · [70 ÷ (27 + 8) + 18 ÷ 2] + 21} = u) [30 · (9 − 6)] + [30 ÷ (9 + 6)] = v) 58 − [20 − (3 · 4 − 2) ÷ 5] = w) 40 + 2 · [20 − (6 + 4 · 7) ÷ 2] = 36) Escreva a expressão numérica associada às operações indicadas: a) Adicionei 10 com 18 e multipliquei o resultado por 2. b) Adicionei 10 com 8 e dividi o resultado por 2. c) Subtraí 20 de 50 e multipliquei a diferença por 3. d) Subtraí 20 de 50 e dividi a diferença por 5. 37) Apresente uma expressão numérica que resolva o problema a seguir:
18
O Álbum de figurinhas de Giuliano contém 10 folhas com espaço para 6 figurinhas, 12 folhas para 4 figurinhas e 5 folhas para 8 figurinhas. Se Giuliano já colou 40 figurinhas, quantas ainda faltam para completar o álbum? 38) Numa divisão, o quociente é 12, o divisor vale 15 e o resto, o maior possível. a) Qual o resto? b) Qual o dividendo? 39) Carlos dividiu 1000 por 12 e encontrou resto diferente de zero. De acordo com essa informação, responda. a) 1000 é múltiplo de 12? b) Qual é o resto da divisão de 1000 por 12? c) Qual o primeiro múltiplo de 12 após 1000?
Links de videoaulas – aula 2:
Videoaula 01 –introdução a ordem das operações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/introducao-a-ordem-das-operacoes Videoaula 02 –ordem das operações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/ordem-das-operacoes Videoaula 03 –ordem das operações 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/ordem-das-operacoes-1 Videoaula 04 – exemplo mais complexo sobre a ordem das operações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/exemplo-mais-complexo-sobre-ordem-das-operacoes Videoaula 05 – números primos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/numeros-primos Videoaula 06 – o Teorema Fundamental da Aritmética http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/o-teorema-fundamental-da-aritmetica Videoaula 07 – reconhecendo números primos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/reconhecendo-numeros-primos
Videoaula 08 – encontrando os divisores de um número http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/encontrando-os-divisores-de-um-numero Videoaula 09 – divisores comuns - exercícios http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/divisores-comuns-exercicios Videoaula 10 – máximo divisor comum (mdc) www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/maximo-divisor-comum-mdc Videoaula 11 – encontrando denominadores comuns http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/encontrando-denominadores-comuns Videoaula 12 – mínimo múltiplo comum (mmc) http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/minimo-multiplo-comum1 Videoaula 13 – testes de divisibilidade por 2, 3, 4, 5,6,9 e 10 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/testes-de-divisibilidade-para-2-3-4-5-6-9-10
19
Aula 3
Representações Decimais
Frações Decimais
São frações em que o denominador é uma
potência de 10.
Exemplos:
Toda fração decimal pode ser escrita na
forma decimal (escrita numérica com
vírgula)
Para uma melhor compreensão vamos ver
como funciona o nosso sistema de
numeração.
O sistema de numeração decimal é
posicional, isto é, o valor do algarismo
depende da posição que ele ocupa no
numeral conforme segue.
.... Unidades de Milhar centena
dezena Unidade ....
Cada posição da esquerda para a direita
corresponde a um grupo 10 vezes menor que
o anterior.
Por exemplo: Numeral descrito com
potências positivas de 10:
Se prosseguirmos com o mesmo padrão,
criando ordens à direita da unidade, teremos:
.... Unidades , Décimos Centésimos
Milésimos ....
Assim:
Registramos a décima parte da unidade
como 0,1, que é a forma decimal de .
A centésima parte da unidade corresponde a 0,01:
A milésima parte da unidade corresponde a 0,001:
Assim, se continuarmos uma casa a direita
da casa das unidades, ela deve representar
uma quantidade 10 vezes menor, ou seja,
representar o “décimo”.
Por exemplo: usamos as décimas partes da
unidade, , que são
potências negativas de 10, para representar
as frações.
Exemplo:
Transformando uma fração decimal na
forma decimal finita
Coloca-se uma vírgula para
separar a parte inteira da parte
fracionária
20
A representação decimal de um número
racional consiste em escrever o numerador e
separar à direita da vírgula, tantas casas
quantos são os zeros do denominador.
Exemplos:
a)
b)
c)
OBS: Quando a quantidade de algarismos do
numerador não é suficiente para colocar a
vírgula, acrescentamos zero à esquerda do
número.
Exemplos:
a)
b)
Fique atento....
A fração pode ser escrita na forma mais
simples, como: , onde 1 representa
a parte inteira e 27 representa a parte
decimal.
Esta notação subentende que a fração
pode se decomposta na seguinte forma:
Transformando um número na forma
decimal finita em uma fração decimal
Para obter um número racional a partir de
sua representação decimal basta escrever
uma fração em que:
• O numerador é o número decimal sem a
vírgula.
• O denominador é o número 1 seguido de
tantos zeros quantos forem os algarismos do
número decimal depois da vírgula.
Exemplos:
a)
b)
c)
OBS: O número de casas depois da vírgula é
igual ao número de zeros do denominador.
Propriedades:
Zeros após o último algarismo
significativo: Um número decimal não se
altera quando se acrescenta ou se retira um
ou mais zeros à direita do último algarismo
não nulo de sua parte decimal.
Exemplos:
a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
b) 1,002 = 1,0020 = 1,00200
Multiplicação por uma potência de 10:
Para multiplicar um número decimal por 10,
por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula
para a direita uma, duas, ou três casas
decimais.
Exemplos:
a) 7,4 x 10 = 74
b) 7,4 x 100 = 740
c) 7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10: Para
dividir um número decimal por 10, 100, 1000,
21
etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda
uma, duas, três, .... casas decimais.
Exemplos:
a) 247,5 10 = 24,75
b) 247,5 100 = 2,475
c) 247,5 1000 = 0,2475
Leitura dos números com representação
decimal
Exemplos:
0,6 = seis décimos
0,37 = trinta e sete centésimos
0,189 = cento e oitenta e nove milésimos
3,7 = três inteiros e sete décimos
13,45 = treze inteiros e quarenta e cinco
centésimos
130,824 = cento e trinta inteiros e oitocentos
e vinte e quatro milésimos
Comparação entre números na forma
decimal
Para compararmos dois números escritos na
forma decimal, primeiro comparamos as
partes inteiras. O maior número será aquele
que tiver a maior parte inteira.
Exemplo: 2,12 >1,98
Se as partes inteiras forem iguais,
comparamos as ordens dos décimos. Se
estas forem iguais, comparamos as ordens
dos centésimos e assim por diante, até
encontrarmos a ordem que seja ocupada por
algarismos diferentes. O maior número será
aquele que tiver o algarismo dessa ordem
com maior valor.
Exemplo: 1,34 <1,39 pois
u d c 1, 3 4 1, 3 9
iguais iguais 9>4
Obs: Para compararmos números racionais
ou racionais na forma decimal que são
negativos, basta compararmos os valores
absolutos dos números.
Valor absoluto ou módulo de um número é
a distância do ponto que o representa até a
origem.
Exemplo: Determine o módulo de - 3.
O módulo de -3 é 3, pois -3 está a 3 unidades
de distância do ponto de abscissa zero.
Notação: |-3| = 3
Exemplo: Determine qual número é menor:
?
Como os números são negativos,
comparamos os módulos. O número que
possui maior módulo é o menor deles.
Observe que: e .
Assim, e e
> . Logo, .
22
Operações com números na forma
decimal
Adição de números na forma decimal
Para adicionar números na forma decimal basta realizar os seguintes passos: - iguale o número de casas decimais dos números a serem somados, acrescentando zeros. Dessa forma, as vírgulas ficarão alinhadas; - depois some milésimos, centésimos, décimos, unidades e coloque todas as vírgulas alinhadas. Exemplos: a) 0,3 + 0,81= 1,11 0,30 + 0,81 --------- 1,11 b) 1,42 + 2,03 = 3,45 1,42 + 2,03 -------- 3,45 c) 7,4 + 1,23 + 3,122= 11,752 7,400 + 1,230 3,122 ---------- 11,752
Subtração de números na forma decimal
A subtração de números na forma decimal é efetuada de maneira análoga a adição. Exemplos: a) 4,4 - 1,21=3,19
4,40
- 1,21
--------
3,19
b) 9,1 - 4,323=4,777
9,100
- 4,323
--------
4,777
Multiplicação de números na forma
decimal
Para compreender como a multiplicação
entre números na forma decimal, vejamos
um exemplo:
Uma torneira despeja 13,4 litros de água por
minuto em um tanque. Mantendo a mesma
vazão, quantos litros de água essa torneira
despejará em 17 minutos?
Solução: Podemos resolver este problema de
duas maneiras diferentes:
1ª maneira: transformando os decimais em
frações
2ª maneira: multiplicando 13,4 por 10,
calculando 17x134 e dividindo o resultado
por 10.
Em 17 minutos, a torneira despejará 227,8
litros de água.
23
Exemplo: 4,21 x 2,1= 8,841
Divisão de números na forma decimal
Na divisão de números a forma decimal, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de casas decimais. Devemos igualá-las antes de começar a divisão. Por exemplo: Faça a divisão de 42,5 por 5. Para realizar a divisão entre esses números, temos 2 opções: 1ª) transformar os números que estão na forma decimal em uma fração.
Feito isso, basta dividir 425 por cinquenta. 2ª) Utilizar o algoritmo da divisão. Neste caso, como 42,5 tem uma casa decimal e o divisor não tem nenhuma, igualamos as casas decimais escrevendo o divisor 5 como 5,0.
Exemplos: a) 7,2 3,51 =
Observe que o número de casas decimais é o mesmo, pois 7,2=7,20. Para efetuar a divisão, basta eliminar as vírgulas de ambos os números e e dividi-los normalmente. b) 11,7 2,34
O número de casas decimais é o mesmo, pois 11,7=11,70. Para efetuar a divisão, basta eliminar as vírgulas de ambos os números e dividi-los normalmente. c) 23 7 =
Observe que após dividir 23 por 7, o resto desta divisão é 2. Assim, como 2 é menor do que 7, temos que adicionar um zero em 2 e, dessa forma, acrescentamos uma vírgula no quociente. Além disso, a divisão não é exata, ou seja, o número 3,2 é um número que representa um quociente aproximado por falta, até o décimo. Podemos continuar a divisão obtendo mais casas decimais para o número 3,2.
Frações
Fração pode ser entendida como sendo um
número que exprime uma ou mais partes
iguais em que foi dividida uma unidade ou
um inteiro.
24
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza
inteira e a dividirmos em quatro partes iguais,
cada parte representará uma fração (um
quarto) da pizza.
Então, uma fração significa dividir algo em
partes iguais. Assim: indica , sendo a
e b números naturais, e . O número a
representa o numerador e o número b
representa o denominador.
Exemplo:
Considerando fração
Temos que a unidade foi dividida em quatro
partes. Conforme a figura:
1/4 1/4
1/4 1/4
A parte sombreada indica uma parte da
figura, que representa
Leitura de frações
Metade (um meio)
Quatro quintos
Três sétimos
Dois doze avos
Frações equivalentes
Duas ou mais frações que representam a
mesma quantidade de uma grandeza são
chamadas frações equivalentes.
Exemplo:
Luiz e Otávio ganharam barras de chocolate
do mesmo tamanho. Luiz dividiu seu
chocolate em 6 partes iguais e comeu 4
delas. Otávio preferiu dividir o seu em três
partes iguais e comeu 2 partes. Quem comeu
mais chocolates?
Solução:
Observamos que os dois comeram
quantidades iguais:
Otávio comeu do chocolate e Luiz comeu
do chocolate conforme ilustrado a seguir:
As frações e representam a mesma parte
da unidade e, por isso, são frações
equivalentes.
Indicamos assim: =
Como reconhecer frações equivalentes?
Para saber se e , por exemplo, são
equivalentes, precedemos da seguinte
maneira:
1º Multiplicamos o numerador da primeira
fração pelo denominador da segunda fração:
25
2º Multiplicamos o denominador da primeira
fração pelo numerador da segunda fração:
3º Comparamos os resultados obtidos. Se
obtermos dois produtos iguais, as frações
são equivalentes:
9 x 8 = 72 = 12 x 6
Portanto concluímos que: =
OBS:
- Duas frações que possuem a mesma forma
irredutível são equivalentes.
- Quando multiplicamos ou dividimos os
termos de uma fração por um mesmo
número natural, diferente de zero, obtemos
uma fração equivalente à fração inicial.
Simplificação de frações
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la
em uma forma mais simples, para que a
mesma se torne mais fácil de ser
manipulada.
A simplificação pode ser feita através dos
processos de divisão sucessiva ou pela
fatoração.
1) A divisão sucessiva corresponde a dividir
o numerador e o denominador pelo
mesmo número.
Exemplo:
2) A fatoração corresponde em obter o
máximo divisor comum entre o
numerador e o denominador e dividir
ambos por esse valor.
Exemplo: Simplifique .
Como m.d.c. (36,60) = 12, então:
Tipos de Frações
Fração propria: é aquela em que o
numerador é menor que o denominador.
Ex.: (1 2 )
Fração impropria: é aquela em que o
numerador é maior ou igual que o
denominador.
Exemplo:
a) ( 9 5 )
b) ( 2 = 2 )
Propriedades das Frações
Uma fração não se altera, quando se
multiplica seus dois termos pelo mesmo
número, sendo ele diferente de zero, ou
mesmo, fazendo a divisão dessa fração pelo
mesmo divisor comum.
Exemplos:
a)
b)
Uma fração é alterada quando é adicionado
ou subtraido um valor igual tanto do
numerador quanto do denominador.
Exemplos:
a)
b)
Operações fundamentais com frações
Adição: Há dois casos possiveis:
1º) Frações com denominadores iguais.
26
Neste caso, somamos os numeradores e
conservamos o valor do denominador.
Exemplos:
a)
b)
2º) Frações com denominadores diferentes.
Neste caso, reduzimos as frações ao mesmo
denominador comum e, em seguida
procedemos como no caso anterior.
Para reduzir duas ou mais frações ao mesmo
denominador comum, procedemos do
seguinte modo:
-Calculamos o mmc dos denominadores.
Esse mmc será o menor denominador
comum.
-Dividimos o denominador comum pelo
denominador de cada fração e multiplicamos
o resultado pelo numerador dessa fração.
Exemplo: Reduza as frações , ao
mesmo denominador comum.
Como mmc(3,5,6)=30 então:
Logo temos que: =
Exemplo: Usando a redução ao mesmo
denominador comum, calcule:
a) =
Como mmc (4,2) = 4, então,
Subtração: Procede-se de maneira análoga
à adição.
Por exemplo:
1º) Frações com denominadores iguais.
Exemplo:
2º) Frações com denominadores diferentes.
Exemplo:
Como mmc (2,6) = 6, então:
Multiplicação: O produto de duas ou mais
frações resulta em uma fração cujo
numerador é a multiplicação dos
numeradores das frações a serem
multiplicadas e o denominador é a
multiplicação dos denominadores das frações
a serem multiplicadas.
Exemplos:
a)
b)
Inverso Multiplicativo:
Toda fração (número racional) diferente de
zero possui um inverso multiplicativo.
Exemplo: é o inverso de , pois:
Para que um número seja o inverso
multiplicativo de outro número, o produto
entre eles deverá ser igual a 1.
27
EXERCÍCIOS – Aula 3
Divisão: Para que haja a divisão entre
frações, multiplicamos a primeira fração pelo
inverso da segunda fração.
Exemplo:
a)
As frações e a reta numérica
As frações podem ser representadas
geometricamente na reta numerada.
Sejamos um exemplo: Obtenha a
representação geométrica das frações
.
Quando os números estão na forma
fracionária, dividimos o segmento de reta que
representa a unidade de referência em partes
iguais, conforme o denominador da fração:
Dividimos a unidade em 2 partes iguais
Dividimos a unidade em 3 partes iguais
Dividimos a unidade em 6 partes iguais
Representando esses três números em uma
mesma reta numerada, teremos:
01) Escreva por extenso, os seguintes números decimais: a) 4, 4 b) 0, 25 c) 3, 456 d) 2, 034 e) 15, 200 f) 25, 63 g) 65, 354 h) 78, 1234 i) 321, 225 j) 154, 890 k) 759, 1233 l) 564, 2000 m) 410, 6 n) 11, 312 o) 0, 005
02) Efetue as adições e subtrações: a) 12, 48 + 19 = b) 12, 5 + 0, 07 = c) 12, 8 + 3, 27 = d) 31, 3 + 29, 7 = e) 107, 03 + 32, 7 = f) 83, 92 + 16, 08 = g) 275, 04 + 129, 3 = h) 94, 28 + 36, 571 = i) 189, 76 + 183, 24 = j) 13, 273 + 2, 48 = k) 85, 3 − 23, 1 = l) 97, 42 − 31, 3 =
28
m) 250, 03 − 117, 4 = n) 431, 2 − 148, 13 = o) 400 − 23, 72 = p) 1050, 37 − 673, 89 = q) 3 − 1, 07 = r) 98 − 39, 73 = s) 43, 87 − 17 = t) 193 − 15, 03 =
03) Efetue as multiplicações e divisões: a) 200 × 0, 3 = b) 130 × 1, 27 = c) 93, 4 × 5 = d) 208, 06 × 3, 15 = e) 0, 3 × 0, 7 = f) 112, 21 × 3, 12 = g) 12, 1 × 4, 3 = h) 243, 5 × 2, 53 = i) 357 × 0, 5 = j) 793 × 0, 07 = k) 3 ÷ 2 = l) 21 ÷ 2 = m) 7 ÷ 50 = n) 9, 6 ÷ 3, 2 = o) 4064 ÷ 3, 2 = p) 1, 5 ÷ 2 = q) 4, 8 ÷ 30 = r) 1, 776 ÷ 4, 8 = s) 7, 502 ÷ 12, 4 = t) 0, 906 ÷ 3 = u) 50, 20 ÷ 5 = v) 21, 73 ÷ 1, 06 = w) 35, 28 ÷ 9, 8 = 04) Efetue as expressões: a) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) = b) 18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2 = c) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] = d) 5 · [18 − (7, 4 − 3, 5 + 2) · 2] − 12, 33 = e) 3 − (0, 7 + 0, 4) · 2 = f) 1, 5 · 2 − (2 − 0, 5 · 2) = g) 1 − (0, 7 + 0, 3 · 0, 7) = 05) Efetue: a) 36, 9 x 721 = b) 36, 9 x 7, 21 = c) 0, 369 x 7, 21 = d) 3, 69 x 7, 21 = e) 3, 69 x 0, 721 = f) 0, 369 x 0, 721 = g) 1, 2 0, 08 = h) 3, 2 x 0, 25 = i) 0, 15 x 0, 12 = j) 123, 45679 x 0, 9 =
06) Se um número racional está na forma fracionária e um outro está na forma decimal, é possível compará-los, escrevendo, por exemplo, a fração na forma decimal. Pode-se, também, escrever o número decimal na forma fracionária e efetuar a comparação com o número que está na forma fracionária.
Qual é o maior número: 0,815 ou ?
07) Compare os números a seguir, colocando <, > ou =
a)
b)
c)
08) Represente as frações na forma decimal:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
09) Converta os números que estão forma decimal para a forma de fração irredutível: a) 0,4 b) 1,2 c) 0,065 d) 3,75 e) 0,125 f) 0,025
10) Paulo Pintou de uma figura que
representa um inteiro. Represente na forma decimal a parte não pintada. 11) Identifique os decimais equivalentes a 1,2: a) 102; b) 1,20; c) 1,200; d) 1,0020 12) Coloque uma vírgula no número 25314 de modo a obter: a) um número menor que 3 b) um número maior que 100 c) um número maior que 2500 e menor que 2600.
29
13) Pensei em um número, adicionei 0,73 e obtive 1,27. Em que número pensei? 14) Um reservatório de água tem um vazamento e perde 0,15 litro por hora. Supondo que o vazamento continue no mesmo ritmo e que o reservatório continue recebendo água, responda: a) quantos litros esse reservatório perderá em 27 horas? b) quantos litros esse reservatório perderá em uma semana? 15) Simplifique as frações:
a)
b)
c)
d)
16) Calcule:
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
f) =
g) =
h) =
i) =
17) Em julho de 1969, os astronautas americanos Armstrong e Aldrin foram os primeiros homens a pisar na Lua, lá permanecendo cerca de 21 horas. Mais tarde, o segundo grupo que pisou na Lua permaneceu cerca de uma vez e meia o tempo dos primeiros. Quantas horas o segundo grupo permaneceu na Lua?
18) Responda:
a) Quantos dias correspondem a da
semana?
b) Quantos dias correspondem a do mês?
c) Quantas horas correspondem a do dia?
d) Quantos minutos correspondem a de
hora?
e) Quantos anos correspondem a de
século? 19) Qual é o quociente?
a) 28,5 0,15
b) 0,625
c) 10,24 3,2
d) 3,408 0,04
e) 1,743 24,9
(resolva este exercício utilizando a divisão pelo método da chave e também resolva-o convertendo os decimais em fração para fazer divisão entre frações) 20) Cálcule o quociente aproximado com uma casa decimal após a vírgula.
a) 38
b) 138
c) 267 45
21) A parede de uma cozinha tem 5,7 m de comprimento. Ela será revestida com azulejos de 0,15 m por 0,15 m. quantos azulejos inteiros poderão ser colocados em casa fila?
22) Nesta igualdade n 0,07 = 2, a letra n
representa um número racional. Qual é o valor de n? 23) Determine qual número é menor:
23) Transforme as frações mistas a seguir em frações impróprias:
a)
b)
30
c)
24) Converta cada fração decimal em
número decimal.
a)
3
10 =
b) 5
100 =
c) 7
1000 =
d) 56
10 =
e) 43
1000 =
f) 1234
10 =
g) 51005
100 =
h) 57803
100 =
25) Coloque os números racionais em ordem
crescente:
____<____<____<_____<____<____
Links videoaulas – aula 3
Videoaula 1 – valor posicional 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/valor-posicional-1 Videoaula 2 – valor posicional 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/valor-posicional-2 Videoaula 3 – valor posicional 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/valor-posicional-3 Videoaula 4 – aproximando números inteiros 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/aproximando-numeros-inteiros-1
Videoaula 5 – aproximando números inteiros 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/aproximando-numeros-inteiros-2 Videoaula 6 – aproximando números inteiros 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/aproximando-numeros-inteiros-3 Videoaula 7 – aproximando valores decimais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/aproximando-valores-decimais Videoaula 8 – comparando decimais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/comparando-decimais Videoaula 9 – pontos em uma reta numérica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/pontos-em-uma-reta-numerica Videoaula 10 – posição dos valores decimais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/posicao-dos-valores-decimais Videoaula 11 – posição dos valores decimais 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/posicao-dos-valores-decimais-2 Videoaula 12 – convertendo decimais para frações 1 – exemplo 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/convertendo-decimais-para-fracoes-1-exemplo-1 Videoaula 13 – convertendo decimais para frações 1 – exemplo 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/convertendo-decimais-para-fracoes-1-exemplo-2 Videoaula 14 – convertendo decimais para frações 1 – exemplo 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/convertendo-decimais-para-fracoes-1-exemplo-3 Videoaula 15 – convertendo decimais para frações 2 – exemplo 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/convertendo-decimais-para-fracoes-2-exemplo-1
31
Videoaula 16 – convertendo decimais para frações 2 – exemplo 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/convertendo-decimais-para-fracoes-2-exemplo-2 Videoaula 17 – convertendo frações em decimais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/convertendo-fracoes-em-decimais Videoaula 18 – convertendo frações para decimais (exemplo 1) http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/convertendo-fracoes-para-decimais-exemplo-1 Videoaula 19 – convertendo frações para decimais (exemplo 2) http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/convertendo-fracoes-para-decimais-exemplo-2 Videoaula 20 – decimais e frações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/decimais-e-fracoes Videoaula 21 – decimais na reta numérica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/decimais-na-reta-numerica Videoaula 22 – ordenando expressões numéricas http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/ordenando-expressoes-numericas1 Videoaula 23 – dividindo decimais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/dividindo-decimais Videoaula 24 – dividindo decimais 2.1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/dividindo-numeros-decimais-21 Videoaula 25 – multiplicando decimais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicacao-nivel-8-multiplicando-decimais1 Videoaula 26 – multiplicando decimais por potências de 10 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicando-numeros-decimais-por-potencias-de-10 Videoaula 27 – somando números reais - aplicação
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/somando-numeros-reais-aplicacao Videoaula 28– subtraindo problemas com decimais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/subtraindo-problemas-com-decimais Videoaula 29 – frações próprias e impróprias http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/fracoes-proprias-e-improprias Videoaula 30 –frações equivalentes http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/fracoes-equivalentes Videoaula 31 – exemplo de frações equivalentes http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/exemplo-de-fracoes-equivalentes Videoaula 32 – numerador e denominador de uma fração http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/numerador-e-denominador-de-uma-fracao Videoaula 33 – adição de números racionais http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/adicao-de-numeros-racionais Videoaula 34 – alterar um numero misto para uma fração impropria http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/alterar-um-numero-misto-para-uma-fracao-impropria Videoaula 35 – adicionando e subtraindo números mistos -exemplo 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/adicionando-e-subtraindo-numeros-mistos-05-exemplo-1 Videoaula 36 – adicionando e subtraindo números mistos – exemplo 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/adicionando-e-subtraindo-numeros-mistos-05-exemplo-2 Videoaula 37 – adicionando e subtraindo números mistos 1 – exemplo 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/adicionando-e-subtraindo-numeros-mistos-1-exemplo-1
32
Videoaula 38 – adicionando e subtraindo números mistos 1 – exemplo 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/adicionando-e-subtraindo-numeros-mistos-1-exemplo-2 Videoaula 39 – comparando frações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/comparando-fracoes Videoaula 40 – comparando frações 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/comparando-fracoes-2 Videoaula 41 – comparando frações impróprias e números mistos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/comparando-fracoes-improprias-e-numeros-mistos Videoaula 42 – convertendo números mistos em frações impróprias http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/convertendo-numeros-mistos-em-fracoes-improprias Videoaula 43 –transformando uma fração imprópria para um número misto http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/transformando-uma-fracao-impropria-para-um-numero-misto Videoaula 44 – dividindo frações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/dividindo-fracoes Videoaula 45 – dividindo números mistos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/dividindo-numeros-mistos Videoaula 46 – dividindo números mistos e frações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/dividindo-numeros-mistos-e-fracoes Videoaula 47 – exemplo de divisão de frações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/exemplo-de-divisao-de-fracoes Videoaula 48 – problema prático de divisão de frações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/problema-pratico-de-divisao-de-fracoes
Videoaula 49 – problema prático de multiplicação de frações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/problema-pratico-de-multiplicacao-de-fracoes Videoaula 50 – somando números mistos com denominadores diferentes http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/somando-numeros-mistos-com-denominadores-diferentes Videoaula 51 – somando e subtraindo frações com denominadores diferentes http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/somando-fracoes-com-denominadores-diferentes Videoaula 52 – somando frações com sinais diferentes http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/somando-fracoes-com-sinais-diferentes Videoaula 53 – problema de expoentes envolvendo quocientes http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedades-do-expoente-envolvendo-quocientes Videoaula 54 – subtraindo frações http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/subtraindo-fracoes
33
Aula 4
Dízimas Periódicas
Veremos agora, que todo número racional
pode ser representado por uma fração
decimal finita ou por uma fração decimal
infinita periódica.
Para obter a forma decimal de uma fração,
temos 3 possibilidades:
1. Representação ou forma decimal finita de
uma fração;
2. Representação decimal infinita de uma
fração – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
3. Representação decimal infinita de uma
fração ordinária – DÍZIMA PERIÓDICA
COMPOSTA
1. Representação ou forma decimal finita
de uma fração.
Uma fração ordinária e irredutível
(número racional), terá uma representação
decimal finita, quando seu denominador
contiver apenas os fatores primos 2, 5 ou 2 e
5. Neste caso, o número de casas decimais,
será dado pelo maior expoente dos fatores 2
ou 5.
Exemplo:
a) Represente a fração na forma decimal.
A fração se converterá em uma fração cujo
denominador é formado por uma potência de
10, pois 25 = 52. Sua forma decimal terá 2
casas decimais já que o expoente do fator 5
é 2. Para tanto, basta multiplicar o numerador
e o denominador por 22.
b) Represente a fração na forma decimal.
c) Represente a fração na forma decimal.
4) Represente a fração na forma decimal.
A fração se converterá em uma fração
cujo denominador é formado por uma
potência de 10, pois 125 = 53. Sua
representação decimal terá 3 casas decimais
já que o expoente do fator 5 é 3, ou seja,
Caso Geral
, onde, a, b, m, n e são inteiros.
Exercício: Obtenha a representação decimal
da fração ordinária .
2. Representação decimal infinita de uma
fração – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
Uma fração ordinária e irredutível se
transformará numa dízima periódica
simples quando seu denominador
apresentar apenas fatores primos diferentes
de 2 e 5 ou de 2 ou de 5, ou seja, sua forma
decimal será infinita possuindo um grupo de
algarismos que se repetem indefinidamente.
Exemplos:
34
a) , converteu-se em um dízima
periódica simples, já que 11 é o único fator
primo do denominador e é diferente de 2 e 5.
Uma notação conveniente e usual para
indicar uma dízima periódica consiste usar
uma barra sobre a parte que se repete. Por
exemplo: .
b) Represente a fração na forma decimal.
Inicialmente, vamos dividir 1 por 3.
Observe que o processo de divisão não
termina. Sempre teremos um resto diferente
de zero, ou seja, resto 1 e sempre menor que
o divisor 3.
Observe que:
( é a fração geratriz dessa dízima).
Veja a seguir!
Determinando a fração geratriz da dízima
periódica simples
A geratriz de uma dízima periódica simples é
a fração cujo numerador é o período (parte
que se repete) e cujo denominador é formado
por tantos “noves” quantos forem os
algarismos do período. Se a dízima possuir
parte inteira, ela deve ser incluída na frente
dessa fração, formando um número misto.
Voltando ao exemplo dado: 0,333..., vamos
justificar porque a geratriz é .
Seja a equação dada por:
x = 0,333... (1)
Multiplicando a equação (1) por 10 obtemos
a equação:
10x = 3,333.... (2)
Subtraindo a equação (2) da equação (1)
obtemos:
10x = 3,333.... - x = 0,333.... -------------------------- 9x = 3,000...
Assim,
Resumindo....
Coloca-se o período no numerador da fração
e, para cada algarismo dele, coloca-se um
algarismo 9 no denominador.
Exemplo: 0,4444...
Período 4 e (1 algarismo)
0,444... =
Exemplo: 0,313131...
Período é 31 e possui 2 algarismos.
Então: 0,3131....=
3. Representação decimal infinita de uma
fração ordinária – DÍZIMA PERIÓDICA
COMPOSTA
Uma fração ordinária e irredutível se
transformará em uma dízima periódica
35
composta quando seu denominador, além
dos outros fatores primos 2, 5 ou 2 e 5,
possuir outros fatores primos quaisquer.
Exemplo:
a) é uma dízima periódica
composta, pois além dos fatores 2 e 5, tem o
fator 3.
Determinando a fração geratriz da dízima
composta
A geratriz de uma dízima periódica composta
é a fração cujo numerador é o anteperíodo,
acrescido do período e diminuído do
anteperíodo e cujo denominador, é formado
por tantos “noves” quanto forem os
algarismos do período, acrescido de tantos
“zeros” quantos forem os algarismos do ante-
período.
Se a dizima possuir parte inteira, ela deve ser
incluída à frente dessa fração formando um
número misto.
Exemplos:
a) Calcule a fração geratriz de 0,03666.....
Observe que o anteperíodo dessa dízima é
03 (possui 2 algarismos) e o período é 6
(possui 1 algarismo).
b) Calcule a fração geratriz de 2,14272727....
Observe que 2,14 é a representação decimal
finita do número racional procurado. Agora, o
número 0,002727... é a representação
decimal periódica infinita, cujo período é 27,
ou seja, possui 2 casas decimais. Assim,
.
Portanto,
Resumindo...
Para cada algarismo do período se coloca
um algarismo 9 no denominador. Mas, para
cada algarismo do antiperíodo se coloca um
algarismo zero, também no denominador.No
caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) –
(parte inteira com antiperíodo).
Exemplo: 0,27777....
Fique atento....
Todo número real ou é racional, ou é
irracional.
Quando um número real é um número
racional, sua representação decimal ou
forma decimal pode ser finita ou infinita
periódica.
36
EXERCÍCIOS – Aula 4
Quando um número real não é um número
racional, será neste caso um número
irracional e sua forma decimal será infinita
e não periódica. Por exemplo:
01) Determine a fração geratriz de cada número decimal abaixo. a) 0,525252 ... = b) 0,666 ... = c) 0,32444 ... = d) 5,241241241 ... = e) 0,48121121121 ... = f) 34,212121 ... = g) 5,131131131 ... = h) 0,643777 ... = 02) Assinale as sentenças com v (verdadeiras) ou f (falsas):
a)
b)
c)
d)
e)
04) Classifique os numerais abaixo em racionais ou irracionais:
a) 0,2222222.... ______________ b) 12,5 _____________________ c) 2,3434...__________________ d) 0,54789 ... ________________ e) 2,4458___________________ f) 0,444444... _______________
g) ______________________
h) ____________________
05) Obtenha as frações geratrizes das dízimas a seguir:
a) 0,777... = b) 0,444... = c) 0,1818... = d) 2,333 ... =
e) =
f) =
g) =
06) O resultado da expressão 0,555... + +
3,777... é igual a: a) 4; b) 20/3; c) 56/9; d) 69 07) Calcule a dízima periódica e diga se ela é
simples ou composta:
a) 5/9
b) 7/3
c) 1029/180
d) 1/36
e) 5/11
f) 1/3
08) O número 0,1357911 ... foi obtido
colocando-se sucessivamente a sequência
de números ímpares positivos, a partir do 1.
Esse número é um racional ou um irracional?
Por quê?
09) Entre as afirmações a seguir, qual é a
verdadeira?
a) toda dízima periódica é um número
irracional.
b) todo número inteiro é natural.
c) todo número racional é real.
37
d) todo número real é irracional.
Links de videoaulas – aula 4
Não possui videoaulas
38
POTENCIAÇÃO
Potência de expoentes naturais
Definição: Dado certo número real, e um
número natural n, chama-se potência de grau
n do número e denota-se por o produto
de n fatores iguais a .
Exemplos:
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 ( dois a quarta
potência)
63 = 6 x 6 x 6 = 216 ( seis ao cubo)
Alguns casos particulares:
1. Expoente igual a 1: qualquer número com
expoente igual a 1, tem como resultado o
número base.
Exemplos:
(2)1 = 2
(3/5)1 = 3/5
(100)1 = 100
2. Expoente igual a 0: a potência de
qualquer número real não nulo a com
expoente 0, tem como resultado o
número 1.
Exemplos:
(8)0 = 1; (1/3)0 = 1; (30)0 = 1
De um modo geral, tomando o número real
temos que pois:
Propriedades da potenciação
Produto de potência de mesma base:
Na operação de multiplicação entre
potências de mesma base, o produto é
igual à potência que se obtém
conservando-se a base e somando-se os
expoentes.
Exemplos:
a)
3x3x3 3x3
3 vezes 2 vezes
5 vezes
b) 15 x 17 = 15 + 7 = 112 = 1
c) 5 x 52 = 51 + 2 = 5
Divisão de potencia de mesma base:
Na operação de divisão de potências de
mesma base, o quociente é igual a
potencia que se obtém conservando-se a
base e subtraindo-se os expoentes.
Aula 5
39
Exemplos:
a) 55 52 = 55 – 2 = 53 , pois:
b) 1010 104 = 1010 – 4 = 106
c) 34 3 = 34 – 1 = 33
Potência de Potência: Podemos elevar
uma potência a outra potência. Para
efetuar este cálculo conserva-se a base e
multiplicam-se os expoentes.
Exemplos:
a) (34)2 = 38, pois 34 34 = 34 + 4 =
32 x 4
b) (62)5 = 610, pois 62 62 62 62 62 =
=62 + 2 + 2 + 2 + 2 = 65 x 2
c) (23)3 = 29, pois 23 23 23 = 23 x 3
Potência de um produto: Para se
efetuar a operação de potência de um
produto, basta elevar cada fator a esta
potência.
Exemplos:
a) (2 5)7 = 27 57
b) (42 53 75)4 = 48 512 720
c) ( 3 =
Potência de Fração: Para calcular a
potência de uma fração, eleva-se o
numerador e o denominador da fração a
essa potência.
= , b 0
Exemplos:
a) =
b) = ; y 0
c) ; y 0
Potência com expoente negativo
Toda e qualquer potência que tenha
expoente negativo é equivalente a uma
fração a qual o numerador é 1 e o
denominador é a mesma potência com
expoente positivo.
Exemplos:
a) = =
b) = =
c) = =
Observação: as propriedades aplicadas
aos expoentes naturais, também são
validas para os expoentes negativos.
Potência de 10: Todas as potências de
10 têm a função de simplificar e
40
padronizar o registro de números e ainda,
facilitar o cálculo de várias expressões.
Para isso utilizaremos as seguintes
técnicas:
1. Se o expoente for positivo na potência
( n 0), escreve-se à direita do 1
tantos zeros quantas forem as unidades
do expoente.
Exemplos:
a) 104 = 10000
b) 107 = 10000000
c) 108 = 100000000
2. Se o expoente for negativo na potência
( n 0), escreve-se à esquerda do 1
tantos zeros quantas forem as unidades
do expoente, colocando uma vírgula
depois do primeiro zero.
Exemplos:
a) 10-4 = 0,0001
Observe que:
b) = 0,00001
c) = 0,0000000001
3. Decompondo números em potências de
10: Existem dois casos de decomposição
de números em potência de 10.
Se o número for maior que 1.
Exemplos:
a) 100 = 1 x 100 = 1 x
b) 5000 = 5 x 1000 = 5 x
c) 20000 =2 x 10000 = 2 x
Se o número for menor que 1.
Exemplos:
a) 0,002 = 2 x 0,001 = 2 x
b) 0,0006 = 6 x 0,0001 = 6 x
c) 0,00003 = 3 x 0,00001 = 3 x
Potência de números relativos:
Caso o expoente seja par o resultado dará
sempre positivo.
Exemplo:
a) = 4
b) = 4
Caso o expoente seja ímpar, o resultado
trará sempre o sinal da base da potência.
Exemplos:
a) = 27
b) =
Obs: , pois = e
= . A diferença é que na primeira
potência apenas o número 2 esta elevado ao
quadrado, enquanto que na segunda, o sinal
e o número 2 estão elevados ao quadrado,
tornando o resultado positivo.
RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa a
potenciação. De um modo geral podemos
escrevê-la:
Onde para temos que:
O número é chamado radicando,
O número é chamado índice do radical,
41
O número b é a raiz,
é o radical.
Exemplos:
= 2 pois = 16
= 2 pois = 8
Expoentes fracionários
*,
Exemplos:
Propriedade de radiciação
, pois
, pois
, pois
Exemplos:
a)
b) = 1
c)
Propriedades de operações para
radiciação
;
;
;
;
;
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
Fatoração na radiciação
Fatorar um número é achar uma
multiplicação de números que resulte ao
número a ser fatorado.
Agora aplicaremos este conceito para a
radiciação.
Tomando :
Temos que =
Portanto: =
Racionalização na radiciação
Consiste em eliminar radicais do
denominador em uma fração.
Denominador igual a : neste caso o
fator de racionalização é . Para
eliminar este fator do denominador de
uma fração, basta multiplicar o
42
numerador e o denominador da fração
por este fator.
Exemplo:
a)
b)
Quando o denominador de uma fração é
do tipo: ,
, para eliminar
os radicais do denominador basta
multiplicar o numerador e o denominador
da fração pelo conjugado do
denominador.
Exemplos:
a)
01) Calcule as potências:
a)
b) 15 =
c) 03 =
d) 34 =
e) (-3)4 =
f) (-2)3 =
g) h) 45 42 =
i) 23 . 53 =
j) 122.62 =
k) (-2)2.(-3)2.(4)2 =
l) (23.5.33)2 =
m) 55 55 =
n)
o) =
p) =
q)
r) 20-1 =
s) (32.4-2)1 =
t) 53 57 =
u) 203-1 . 2-1 =
v) 0-19 =
01) Represente e efetue quando necessário, os números a seguir, utilizando potências de 10. a) 200 = b) 5.300.000.000 = c) 10.000 = d) 0,01 = e) 0,002 = f) 0,00000032 = g) (20.000 x 35.000) / 100 =
02) Verdadeiro ou falso:
a) 1,345 = 1345 x 10-3
b) 2 x 10-4 = 0,002
c) 23 x 10-2 = 0,23
d) 33 . 35 = 98
e) 73 75 = 7-5 . 73
f) 5-3 . 53 = 1
g) (10000.315000000.150-2)/30000.10000
= 7/15
03) Efetue:
a)
b)
c)
Exercícios - Aula 5
43
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
04) Racionalize o denominador das frações a
seguir:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
05) Expresse os números a seguir na forma
de radical:
a)
b)
c)
d)
e)
06) Simplifique os radicais:
a)
b)
c)
d)
e)
07) Calcule o valor das expressões:
a) =
b)
c)
08) A letra a representa o produto:
a) Qual é o valor de a? b) Qual é o dobro de a? c) Qual é o valor do quadrado de a? d) Qual é o valor da quarta parte de a?
09) Claudio calculou o cubo de e o dividiu
por . Que resultado obteve?
10) Calcule a raiz quadrada da soma do
quadrado de e o quíntuplo de .
11) Qual é o valor de ?
12) Calcule o valor das expressões:
a)
b)
44
c) O valor de é igual ao valor
de ?
13) Calcule as potências: a) (0,1)2 b) (2,3)3 c) (18,95)0
14) Calcule o valor de (0,5)2 e (0,5)3. Qual
deles é maior?
15) Calcule: a) O quadrado de 6,2 b) O quadrado de 3,1 c) A soma do quadrado de 6,2 com o
quadrado de 3,1
16) Carlos calculou o cubo de 2,8 e o dividiu por 1,6. Que resultado ele obteve?
17) Qual é o valor da expressão: (4,3)2 – 2.1,8 ?
18) Calcule:
a) ; b)
19) Obtenha os resultados destas
expressões numéricas: a)
b)
c)
20) Determine o valor das expressões a
seguir:
a)
b)
c)
21) Qual é o valor de (-5)-3 ?
22) Como escrever usando fatores primos
e expoente inteiro negativo?
23) Mário obteve estas notas nas provas de Matemática de certo bimestre: 6,5; 7,0; 5,0; 8,5; 6,0. Calcule a média aritmética dessas notas.
24) Transforme em uma potência de
base 5.
25) O quociente entre dois números é 14. Qual é o valor do quociente de seus quadrados?
26) Transforme as expressões a seguir em um produto de potências:
a)
b) (a3b2c)-3
27) Transforme cada potência em um produto de potências de bases iguais: a) 10n-2 b) 8-n+6
28) Analise cada uma das igualdades e indique as que estão corretas. Reescreva as incorretas, de modo que sejam verdadeiras:
a)
b)
c)
d)
29) Escreva com todos os dígitos, o resultado
de 3,42 . 10-4 .
30) Um número em notação científica é o produto de um número escrito entre 1 e 10 (incluindo e excluindo 10) por uma potência de base 10. Sabendo disso, escreva os números a seguir usando notação científica: a) 7500000000 b) 0,0000192
31) Escreva com todos os algarismos, os
números cujas notações cinetíficas são: a) 1,06 . 108; b) 5,024 . 10-6
32) é um número:
a) Real; b) racional; c) inteiro; d) natural
33) Simplificando a expressão
, obtém-se um
número: a) Compreendido entre -2 e 0 b) Compreendido entre -1 e 2 c) Compreendido entre 2 3 d) Maior do que 3.
45
Links videoaulas – aula 5
Videoaula 01 – entendendo os expoentes http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/entendendo-os-expoentes1 Videoaula 02 – entendendo os expoentes 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/entendendo-os-expoentes-2 Videoaula 03 – expoente nível 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/expoentes-nivel-1 Videoaula 04 – expoentes positivos e negativos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/expoentes-positivos-e-negativos Videoaula 05 – entendendo a raiz quadrada http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/entendendo-a-raiz-quadrada Videoaula 06 – regras de potência parte 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/regras-de-potencia-parte-1 Videoaula 07 – regras de potência parte 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/regras-de-potencia-parte-2
46
AULA 6
Expressões Algébricas São expressões matemáticas que envolvem números, letras e as operações indicadas entre eles. As letras são as variáveis de uma expressão algébrica e podem representar qualquer número real. Exemplos: a) 10ax + 4b
b) ax2 + bx + c
c) 7a
Valor numérico de uma expressão algébrica É o resultado que obtemos quando atribuímos às letras dessa expressão valores numéricos e efetuamos as operações nela indicadas. Exemplo: A expressão 20t representa a quantidade de parafusos produzidos em t horas. Determine quanto parafusos são produzidos em 4 horas. Substituindo t por 4 na expressão 20t obtemos a quantidade de parafusos produzidos em 4 horas. Assim, 20t=20.4=80 parafusos. Monômio São expressões algébricas que representam um produto de números reais por uma parte literal formada por letras e seus expoentes, que devem ser números naturais. Exemplo:
Forma reduzida e monômios semelhantes Podemos escrever o monômio 6.a.(-3).x2 em uma forma reduzida sendo dada por -18ax2. Além disso, dois ou mais monômios são chamados semelhantes quando têm partes literais iguais. Exemplo: 2a2b e -5a2b são monômios semelhantes. Operações entre monômios Adição e Subtração entre monômios A soma ou a diferença de dois monômios semelhantes é um monômio com:
Coeficiente igual à soma algébrica dos coeficientes;
Parte literal igual à desses monômios. Exemplos: a) 3x2y3 + 5 x2y3 = (3 + 5) x2y3 = 8 x2y3
b) 39x5y4 − 25 x5y4 = (39 − 25)x5y4=14x5y4 Multiplicação e Divisão entre monômios Multiplicação entre monômios A multiplicação entre dois ou mais monômios é um monômio com:
Coeficiente igual ao produto dos coeficientes desses monômios;
Parte literal igual ao produto das partes literais desses monômios.
Exemplo: (2ax2).(5a3xy) = (-2.5).a.a3.x2.x.y= = -10.a1+3.x2+1.y = = -10a4x3y Divisão entre monômios A divisão ou quociente entre dois monômios com divisor diferente de zero, tem:
Coeficiente igual ao quociente entre os coeficientes desses monômios;
47
Parte literal igual ao quociente entre as partes literais desses monômios.
Exemplo:
Potência de um monômio A potência de um monômio é um monômio com:
Coeficiente igual à potência do coeficiente desse monômio;
Parte literal igual à potência da parte literal desse monômio.
Exemplo:
Simplificação de expressões algébricas Podemos simplificar as expressões algébricas que envolvem operações procedendo da mesma forma que em expressões numéricas. Efetuamos primeiro às potências, em seguida calculamos os produtos e o quocientes e, finalmente, as somas algébricas, reduzindo os termos semelhantes. Exemplo: Simplifique a expressão algébrica
Binômios Trinômios e Polinômios Binômio: é uma soma algébrica de dois monômios. Exemplo: ax + b
Trinômio: é uma soma algébrica de três monômios. Exemplo: ax2 + bx + c Polinômio: é uma soma algébrica de monômios. Obs: Monômios também podem ser chamados de polinômios. Grau de um polinômio (não nulo) com uma variável é o maior expoente da variável que tem coeficiente diferente de zero. Exemplo:O grau do polinômio 6t2 + 20t -3 é 2, pois é o maior expoente de t com coeficiente diferente de zero. Operações entre polinômios Adição e subtração de polinômios Para somar ou subtrair polinômios, colocamos termo semelhante abaixo de termo semelhante e efetuamos a adição ou subtração. Veja os exemplos a seguir: a) (a + 4ab) + (9a - 6ab - 6) = =10ª – 2ab – 6 a + 4ab + 9a – 6ab – 6 ---------------------- 10a – 2ab – 6 b) (8x3 + 6x2 – 7) – (7x2 – 5) = = 8x3 - x2 – 2 Para calcular a diferença, eliminamos os parênteses trocando os sinais de 7x2 – 5. Em seguida, efetuamos a adição entre os polinômios. 8x3+ 6x2 – 7 + - 7x2 + 5 é o oposto 7x2 – 5. ---------------------- 8x3 - x2 – 2 Multiplicação e divisão de polinômios Calculamos o produto de dois polinômios multiplicando cada termo de um deles por todos os termos do outro e reduzindo os termos semelhantes. Exemplo: Determine o produto:
48
Dividimos um polinômio por um monômio, não nulo, dividindo cada termo desse polinômio por esse monômio. Exemplo: Faça a divisão de 36x6 – 12x5 por 6x2.
(36x6 – 12x5) 6x2 =
Dividimos um polinômio por outro polinômio, não nulo, de maneira semelhante ao utilizado para os números. Em geral, em uma divisão de polinômios podemos escrever uma relação entre multiplicação e divisão: quociente x divisor + resto = dividendo. Por exemplo: Na divisão de (6x3 – 5x2 – 17x – 1) por (x-2):
Temos:
Exemplo: Para calcular o quociente e o resto da divisão entre x4+ 4x3 + 4x2 + 9 por x2 + x – 1, escrevemos os polinômios na forma completa e na ordem decrescente dos expoentes dos monômios. Inicialmente, dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor. Em seguida, calculamos x2 . (x2 + x – 1) e subtraímos o resultado do dividendo. ... ou adicionamos o oposto a ele. Faremos este processo, até que o resto da divisão resulte em um polinômio cujo grau é menor do que o grau do divisor. Assim:
EXERCÍCIOS – Aula 6
01) Escreva cada frase a seguir usando uma expressão algébrica:
a) A soma do quadrado de um número x com um número y.
b) O quociente entre o quadrado de um número a e o quadrado de um número b, diferente de zero, nessa ordem.
c) O quadrado da diferença entre um número x e um número y, nessa ordem.
02) Determine o valor numérico da expressão a2 + 2ª + 3 para a = - 5
03) Qual é o valor numérico da expressão
algébrica: para y = 4?
04) Determine o valor de x para o qual não existe o valor numérico destas expressões algébricas:
49
a) ; b) ; c)
05) Para quais valores de x o valor
numérico da expressão
não é um número real? a) x = 0; b) x = 4; c) x = 6,4 d) x = 10 Determine o valor numérico dessa expressão algébrica quando ele for um número real.
06) Os monômios e são
semelhantes? Justifique sua resposta.
07) Quando um monômio é nulo?
08) Calcule a soma e a diferença, na ordem dada, entre estes monômios:
a) -5x2 e -7x2
b) –ay3 e 10ay3
c) e
d) e
e) e
09) Qual é o monômio que na forma
reduzida corresponde a:
?
10) Calcule estas somas algébricas:
a)
b)
11) Qual é o monômio que multiplicado
por 20x3y tem como produto -18x4y2?
12) Calcule os produtos:
a)
b)
c)
13) Efetue as operações e simplifique as expressões algébricas: a) (3y2) - y2 + 3y2
b)
c)
14) Qual é o quadrado de – 11ª2b3?
15) Calcule as potências:
a) (-3x2y3)3
b) (0,2y2z)5
c)
d) 0,3ay4)2
e) 1,2ª4b2)2
f)
16) Simplifique as expressões algébricas:
a)
b)
c)
17) Qual é o resultado de
?
18) Considere a expressão algébrica (5y+4y)2 - (5y – 4y)2 e responda:
a) Ela é um monômio? Qual? b) Qual é o valor numérico da expressão
para y = -3?
19) O valor numérico da expressão a3 – 3a2 . x2 . y2 , em que a = 10, x = 3 e y = 1, é igual a: _____
20) Um polinômio que possui monômios semelhantes pode ser escrito na forma reduzida, ou seja, com um número menor de termos. Em posse dessa informação, determine a forma reduzida dos polinômios:
a)
b)
50
21) Qual é o valor numérico do polinômio y4 – y2 + 1 para y = -1/2
22) Qual é o valor numérico do polinômio
para y = - 4
23) Calcule o valor de y para o qual o valor numérico do polinômio 5y – 7 é 13.
24) Para qual valor de a o valor numérico
do binômio é igual a zero?
25) Quais são os valores de m e n para que o polinômio (m – 2)y3 + (2n – 1)y2 seja nulo?
26) Obtenha a soma de (-25ª + 7ab) com (-4ab + 16a)
27) Calcule (32a – 40b – 18c) – (27a – 18c – 27b)
28) Calcule A – B, sendo A = -3m2 + 20m + 14 e B = 14 + 31m – 10m2
29) Calcule a soma de com
30) Que polinômio adicionado a 8a3 + 14a2 – 9 resulta em –a3 + a2 – 2ª + 6 ?
31) A soma de dois polinômios é igual a
. Um deles é
. Qual é o outro
polinômio?
32) Considere os polinômios A = x2 – 2xy+ 4y2 e B = -2x2 + 2xy + 4y2.
a) Qual é o resultado de (A – B)? b) Qual é o valor numérico de (A –
B) para x = 1 e y = ¼ ? c) Que expressão algébrica se
obtém para –(A - B)? d) Relacione o valor numérico de
–(A – B) para x = 1 e y = ¼ com o valor de (A – B) obtido no item b.
33) Que monômio deve ser adicionado a 7a4 – 4a2 – 12a + 19 para se obter um trinômio do 2º grau?
34) Qual é o produto do monômio -13ab2 pelo polinômio (-2ª + 5b – 3a2b – 6)?
35) Considere P = e Q =
a) Qual é o produto de P por Q? b) Qual é o valor numérico de P.q
para m = - 2 e n = 0?
36) Calcule o produto dos seguintes polinômios: a) (x + 3).(x + 3)
b) (5a + 1).(5a + 2)
c) (y + 4).(y2 + 3y)
d) (12x + 30).(x/6 + 1/3)
e) (x + 1/3).(9x + 15)
f) (x + 2).(x2 – 2x + 4)
g) (12x2 + 6x – 3).(2x – 1)
h) (7y2 + 2y + 2).(10y2 + 4y – 4)
37) Sabendo que P = 9a2 – 3ª, M = 3ª + 1
e R = 9a2 + 1, responda: a) Qual é o polinômio P.M.R ?
b) Qual é o polinômio ?
38) Dados os polinômios A = x – 1, B = x2
+ x e C = x, determine os polinômios: a) A.B b) B.C c) A.a ou A2 d) A.B – B.C + A.C
39) Calcule o produto dos polinômios e
reduza os termos semelhantes: a) a.(2a + b + 2) + b.(- a – b+ 12) –
12.(a + b- 1)
b) (3x - 2).(2x + 3) – 6x.(x + 1)
40) Se A = x.(3x – 1) e B = (x + 5).(3x – 2)
determine os polinômios: a) A – B b) – 13.(A – B)
41) Que polinômio é o resultado da
divisão de 36x2 – 12x5 por 6x2?
51
42) O produto de um polinômio pelo
monômio é .
Qual é esse polinômio?
43) Determine o quociente da divisão de 81a5 – 21a2 por 3a2 .
44) Calcule o quociente e o resto de (24x2
– 28x – 10) (-3x + 2)
45) Qual o quociente e qual o resto da divisão de 22x3 – 6x4 – 12 + 35x por –x + 4?
46) Considere os polinômios A = 63x3 – 62x2 + 51x – 20 e B = - 9x + 5. Responda:
a) Qual é o quociente da divisão do polinômio A pelo polinômio B?
b) Qual é o valor numérico desse quociente para x = -2?
c) O polinômio A é divisível pelo polinômio B? Por quê?
47) A divisão de um polinômio P por (-3x + 1) é exata e tem quociente igual a (-9x2 – 3x + 4). Determine o polinômio P.
48) O polinômio A é divisível pelo polinômio B = -6x – 2, e o quociente da divisão de A por B é (x2 – 3x + 1).
Qual é o polinômio A?
49) Calcule o quociente e o resto de
50) Calcule:
a)
b)
c)
Links videoaulas: aula 6
Videoaula 1 – o que é uma variável? http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/o-que-e-uma-variavel
Videoaula 2 – propriedades exponenciais – 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedades-exponenciais-2 Videoaula 3 – propriedades exponenciais – 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedades-exponenciais-3 Videoaula 4 – propriedades exponenciais – 4 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedades-exponenciais-4 Videoaula 5 – propriedades exponenciais – 5 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedades-exponenciais-5 Videoaula 6 – propriedades exponenciais – 5 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedades-exponenciais-6 Videoaula 7 – propriedades exponenciais – 5 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/propriedades-exponenciais-7 Videoaula 8 – fatoração por agrupamento e fatorar completamente http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/fatoracao-por-agrupamento-e-fatorar-completamente Videoaula 9 – somando e subtraindo polinômios 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/somando-e-subtraindo-polinomios-1 Videoaula 10 – somando e subtraindo polinômios 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/somando-e-subtraindo-polinomios-2 Videoaula 11 – somando e subtraindo polinômios 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/somando-e-subtraindo-polinomios-3 Videoaula 12 – adicionando e subtraindo o mesmo valor de ambos os lados http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/adicionando-e-subtraindo-o-mesmo-valor-de-ambos-os-lados Videoaula 13 – dividindo monômios http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/dividindo-monomios Videoaula 14 – multiplicando e dividindo monômios 1
52
http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicando-e-dividindo-monomios-1 Videoaula 15 – multiplicando e dividindo monômios 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicando-e-dividindo-monomios-3 Videoaula 16 – multiplicando monômios por polinômios http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/multiplicando-monomios-por-polinomios
53
Aula 7
Produtos Notáveis Alguns produtos, resultados da multiplicação de binômio por binômio, são chamados de produtos notáveis, por suas frequentes aplicações nos cálculos algébricos. Vejamos alguns deles: Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo e mais o quadrado do segundo termo. As letras a e b representam termos que podem ser usados para expressar as medidas dos lados de um quadrado. O polinômio que representa essa área pode ser determinado usando-se áreas de quadrados e retângulos. Veja a figura a seguir:
Podemos também, desenvolver (a+b)2 efetuando o produto de (a+b).(a+b) usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma algébrica: (a+b).(a+b)= a(a+b) + b(a+b) =
= a2 + ab + ba + b2 =
= a2 + 2ab + b2
Obs: a2 + 2ab + b2 também é chamado de trinômio quadrado perfeito, porque é igual ao quadrado de a+b.
Exemplo: Calcule
OBSERVAÇÃO: -Um trinômio de 2º grau é quadrado perfeito quando dois dos seus termos são quadrados perfeitos. Por exemplo: O trinômio x2 + 5x + 6 não é um trinômio quadrado perfeito porque não tem dois termos que sejam quadrados perfeitos. OBSERVAÇÃO: - Para fatorar um trinômio qualquer ax2 + bx + c na forma (x + m).(x + n) basta existirem dois números cuja soma é b e cujo produto é c. Exemplo: O trinômio x2 + 5x + 6 não é um trinômio quadrado perfeito, entretanto podemos fatorá-lo na forma (x + m)(x + n). Para este exemplo, temos que: 3 + 2 = 5 3.2 = 6 Onde 5 = b e 6 = c. Observe a figura geométrica:
Completando esta figura com retângulos obtemos:
54
Assim, a área do retângulo maior é dada por:
x2 + 3x + 2x + 3.2 = x2 + 5x + 6 Ou, podemos também escrever:
Que é a forma fatorada do trinômio dado. Assim, x2 + 5x + 6 = (x + 3).(x + 2) Exemplo: Deterrmine a forma fatorada do trinômio x2 – 7x + 12. A forma fatorada deste trinômio é dada por (x + m).(x + n), onde: m + n = - 7 e m.n 12 Para encontrar os valores de m e n, vamos elaborar uma tabela onde listamos dois números cujo produto seja 12 e cuja soma seja -7:
m n m.n m + n
-1 -12 12 -13
1 12 12 13
-2 -6 12 -8
2 6 12 8
-3 -4 12 -7
3 4 12 7
Logo, dentre os valores listados na tabela, temos que m = -3 e n = -4 ou m = -4 e n = -3.
Portanto, x2 – 7x + 12 = (x - 3).(x - 4) Quadrado da diferença de dois termos O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo e mais o quadrado do segundo termo. Algebricamente:
Exemplo: (2x – 5)2 = (2x)2 – 2.(2x).(5) + (5)2 =
= 4x2 – 20x + 25
Produto da soma pela diferença de dois termos
O produto da soma de dois termos pela diferença desses mesmos termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo.
Assim,
Exemplo: (x + 2).(x - 2) = x(x – 2) + 2(x - 2) =
= x2 – 2x + 2x – 4 =
= (x)2 - (2)2 = x2 – 4
Diferença de dois quadrados
55
a2 – b2 = (a + b).(a - b) Exemplo: x2 – 4 = (x + 2).(x - 2) Cubo da soma de dois termos O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo e mais o cubo do segundo termo.
Exemplo: (2x + 3)3 =
= (2x)3 + 3. (2x)2.(3) + 3.(2x).(3)2 + (3)3=
= 8x3 + 36x2 + 54x + 27
Cubo da diferença de dois termos O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo e menos o cubo do segundo termo. (a – b)3 =
= (a – b).(a – b)2 =
= (a – b).(a2 – 2ab + b2) =
= a3 – 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 – b3 =
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Exemplo: (3x – 1)3 =
= (3x)3 – 3.(3x)2.(1) + 3.(3x).(1)2 – (1)3
= 27x3 + 27x2 + 9x + 1.
Diferença de dois cubos
a3 – b3 = (a - b).(a2 + ab + b2)
Exemplo: x3 - 27 = (x – 3).(x2 + x.3 + 32) Soma de dois cubos
a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2)
Exemplo: x3 + 8 = (x + 2).(x2 - x.2 + 22)
EXERCÍCIOS – Aula 7
01) Analise cada uma das igualdades e indique as que estão corretas. Reescreva as incorretas, de modo eu sejam verdadeiras:
a)
b)
c)
d)
e)
56
f)
02) Que polinômio obtemos quando
efetuamos as potências e os produtos e reduzimos os termos semelhantes da expressão (2 + a)2 – 2a.(2 – 2a) ?
03) Represente o polinômio (x – 3)2 – 3.(3 – 2x) na forma reduzida.
04) Desenvolva os produtos notáveis e obtenha a forma reduzida de (2n + 9)2 – (2n – 1)2
05) Qual monômio deve ser adicionado ao binômio 4a2 + 4ab2 para obter (2a + b2)2 ?
06) Que monômio deve ser adicionado ao
binômio (a4 – a3) para obter (a2 - a)2 ?
07) Que monômio deve ser subtraído do binômio x4 + 9y2 para obter (x2 – 3y)2 ?
08) Que monômio deve ser subtraído do trinômio x2 – 2xy + 4y2 para que ele seja o quadrado de (x – 2y)?
09) Se a.b = 96 e a2 + b2 = 208, responda:
a) Quais são os valores de a e b? b) Qual é o quadrado da soma
desses números?
10) Sabendo que m2 + n2 = 52 e m.n = 24, responda: a) Que expressão algébrica
corresponde a (m – n)2 ? b) Qual é o valor dessa expressão?
11) Dados A = 3x – 1 e B = 3x + 1,
calcule: a) A2 – B2 b) (A – B)2
12) Calcule o produto de
13) Represente esta expressão em uma
forma reduzida. (am2 – m3)2 – (a2m4 + m6) + am2.(1 + m3)2
14) Que expressão se deve adicionar a (a2 + b4) para se obter o quadrado de (a – b2) ?
15) Se A = 2m2 – m e B = m2 – 5m, qual é o resultado da diferença A2 – B2?
16) Qual o quociente de (2a + y2).(2ª – y2)
por 4a2 – y4 , para 4a2 y4 ?
17) Calcule o valor de m2 – n2, sendo: m + n = 22 e m – n = -2
18) A soma de dois números a e b é igual a-9 e a diferença entre esses números é 15. Qual o valor de a2 – b2 ?
19) Observe esta expressão: [3 + (x-y)] . [3 – (x-y)]. Desenvolvendo o produto, que polinômio se obtém?
20) O produto de dois binômios é x2 – 6x – 27, dos quais um é igual a x +3. Determine o outro.
21) Efetue as operações indicadas na expressão (a + c)3 – a.(a + c)2 – c.(a – c)2 representando-a na forma reduzida.
22) Se P = x3 – 3x2 – 2 e Q = 3x + 1, a expressão P + Q é igual a (x – 2)3 ou igual a (x – 1)3 ?
23) Efetue as operações utilizando os produtos notáveis:
a) [(a + b)+ c].[(a+ b) - c] b) (x - y + z).(x – y – z)
24) Efetue os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes da expressão:
25) Qual é a forma reduzida da expressão algébrica (x + 3y)2 + (3x – y)2 ?
57
26) Simplifique a expressão (x – 2y)3 – (x3 + y3) e calcule seu valor numérico para x = 1 e y = -1.
27) Observe este binômio: 54ma2 – 9.
a) Quais são os fatores comuns a esses termos?
b) Escreva uma forma fatorada desse binômio.
28) Considere o polinômio 12x4y2 – 48x3y2 + 60x2y5 a) Quais são os fatores comuns das
partes numéricas desses termos? b) Quais são os fatores comuns das
partes literais desses termos? c) Escreva uma forma fatorada
desse polinômio.
29) Qual é o produto que se obtém
fatorando a expressão ?
30) Fatorando o binômio 81 – y2 , que
produto se obtém?
31) Observe o binômio: 16m4 – a2
a) Escreva uma forma fatorada desse binômio.
b) Qual é o valor numérico desse binômio para 4m2 + a = 40 e 4m2 – a = 8 ?
32) Fatore os polinômios: a) 25x2 – a2 b) X2y4 – 64 c) -121a2 + b4
d)
33) Observe o trinômio: 36m4n2 + 12m2n + 1. a) Que termos desse trinômio são
quadrados perfeitos? b) O polinômio 36m4n2 + 12m2n + 1 é
um trinômio quadrado perfeito? c) Escreva uma forma fatorada
desse trinômio.
34) O polinômio 4a2 + 81 + 9a2 é um trinômio quadrado perfeito?
35) Escreva a forma fatorada de 25m6 + 10m3 +1.
36) Fatore os polinômios:
a) y2 – 8y + 16 b) x2y2 + 10xy + 25
37) Considere o trinômio: x2 + 13x + 42 a) Verifique se esse trinômio é
quadrado perfeito b) Existem dois números cujo
produto é o termo independente de x e cuja soma é o coeficiente de x. Quais são esses números?
c) Indique uma forma fatorada desse trinômio.
38) Determine os monômios que podemos acrescentar aos binômios para obtermos trinômios quadrados perfeitos: a) 9x2 + 49 b) 81x2 + 16 c) 49y4 + 1 d) y4 + (2/3)y2
39) O produto de dois binômios é x2 – 2x
– 24. Quais são esses binômios?
40) Qual é a forma fatorada para o polinômio (a + b)2 – 49 ?
Links videoaulas – aula 7
Não possui.
58
Aula 8
Equação de 1º Grau com uma variável Vamos aprender a escrever uma equação que traduza as informações de um problema, trabalhar com letras como se elas fossem números e obter soluções da equação. Forma geral de uma equação de 1º grau e dada por: ax + b = 0, onde a e b são números
reais e a 0.
Por exemplo:
=
O valor de x pode ser determinado usando os princípios da igualdade: - aditivo da igualdade: podemos adicionar ou subtrair um mesmo número aos dois membros de uma igualdade; - multiplicativo da igualdade: podemos multiplicar os dois membros de uma igualdade pelo mesmo número e também, dividi-los por um mesmo número (diferente de zero). Assim,
Observação:
Quando uma equação se transforma em uma sentença verdadeira para um valor atribuído, esse valor é chamado solução ou raiz dessa equação. Exemplo: 18 é a solução ou raiz da equação
, pois,
Equações Equivalentes Duas equações são equivalentes quando têm exatamente as mesmas raízes.
Exemplo: e
são equivalentes pois as duas têm a mesma solução que é - 3. Equações Fracionárias É toda equação que apresenta frações algébricas em cujo denominador aparecem as variáveis. Exemplo:
Equações Literais São equações que apresentam outras letras além daquela que representa a variáveis. Exemplo:
Resolva a equação 2ax = 10 na variável x.
Inequações do 1º grau com uma variável
59
Definimos por inequação do 1º grau toda equação do 1º grau que é expressa por uma desigualdade entre expressões algébricas que envolvem operações com números e números representados por letras. De um modo geral:
Onde a e b são números reais e e a 0
Exemplo: 2x + 2 < 3 é uma inequação de 1º grau com uma variável. Solução de Inequações de 1º grau com uma variável Resolver uma inequação de 1º grau com uma variável significa determinar suas soluções. Para obtermos a solução de uma inequação, levaremos em conta os princípios das desigualdades: - Princípio aditivo das desigualdades: Quando adicionamos (ou subtraímos) um mesmo numero aos dois membros de uma desigualdade verdadeira, obtemos outra desigualdade, também verdadeira. - Princípio Multiplicativo das desigualdades: Quando multiplicamos (ou dividimos) os dois membros de uma desigualdade verdadeira por um mesmo número positivo, obtemos outra desigualdade, também verdadeira e de mesmo sentido. Quando multiplicamos (ou dividimos) os dois membros de uma desigualdade verdadeira por um mesmo número negativo, invertemos o sentido da desigualdade e obtemos outra desigualdade, também verdadeira. Vejamos alguns exemplos:
Determine as soluções da inequação:
Para resolvê-la, adicionamos 4 a cada membro, subtraímos x de cada membro e dividimos cada membro por 2.
Os valores possíveis para x são todos os números reais maiores que-2. Equações de 1º grau com duas variáveis Uma equação de 1º grau com duas variáveis é do tipo ax + by = c onde a, b e c são números reais com a e b não nulos. Exemplo: x + y = 2 é uma equação de 1º grau com duas variáveis. Algumas soluções inteiras são os pares ordenados: (-2,4); (-1,3); (0,2); (2,0); (5,-3);(6,-4). Podemos representar essas soluções por pontos no plano cartesiano através de uma reta.
x
y
Observação: Chamamos de par ordenado dois números a e b, considerados em certa ordem e indicados entre parênteses. Se a
60
EXERCÍCIOS – Aula 8
ordem é primeiro o número a e depois o número b, indicamos o par ordenado por (a,b). Se a ordem é primeiro b e depois a, indicamos por (b,a). Sistemas de equações de 1º grau com duas variáveis Estudaremos três métodos diferentes para resolução de sistemas de equações com duas variáveis. 1) Método da Substituição Neste método, isolamos uma das variáveis em uma das equações. Exemplo:
Escolhendo, por exemplo, a 1ª equação, vamos isolar a variável y:
Agora, basta substituir o valor encontrado para y na 2ª equação e determinar x:
Finalmente, basta substituir x por 45 no valor encontrado para y a partir da 1ª equação:
2) Método da Adição Podemos resolver um sistema adicionando, membro a membro, as duas equações. Exemplo:
Como - 4y e 4y são termos opostos, -4y+4y=0. Então adicionamos membro a membro as duas equações e cancelamos -4y com 4y:
2x – 4y = -25 5x + 4y = 4 ------------------ 7x + 0y = -21
Então, 7x = -21, ou seja, x = -3 Substituindo x por -3 em uma das equações desse sistema, calculamos o valor para y:
5(-3) + 4y = 4 y = 19/4 ou y = 4,75
3) Método da Comparação Este método, consiste em isolar a mesma variável nas duas equações e comparar os resultados, obtendo-se desta forma uma equação do 1º grau. Exemplo:
Vamos escolher uma das variáveis (y por exemplo) e isolá-la nas duas equações:
Agora vamos igualar as duas equações e determinar o valor de x:
Substituindo o valor encontrado para x em qualquer uma das duas equações, encontramos o valor de y:
01) Leia este problema: “A terça parte da
idade de Zeca diminuída de 4 anos é 9”. a) Equacione o problema b) Qual é a idade de Zeca?
02) Resolva as equações:
a) 16 + 8y = 3y + 81 b) 5x = 12x + 49 c) 20 – 8x = -19 – 21x d) 4x – 31 = 34x – 13 e) 15 – 9x = 5x + 64 f) -18 + 2x + 6 = 7x – 12 – 8x
03) Represente o problema a seguir,
utilizando uma equação e resolva-o. Em um determinado dia, a temperatura no Ártico chegou a -48º C. Essa
61
temperatura ocrrespondeu a ¾ da temperatura média da Groenlândia. Qual foi a temperatura média da Groenlândia nesse dia?
04) Zeca é o cestinha do time de basquete de sua escola. Nos jogos da Primavera do ano passado, seu time foi campeão. O quádruplo do número de pontos que ele fez, na final, diminuído de 29 pontos, resultou em 127 pontos. Quantos pontos ele fez nesse jogo?
05) Determine a raiz das equações de 1º grau com uma incógnita a seguir:
a) 6x – 17 = 13(x – 1) – 4 b) 12(t – 3) + 1 = 6(t + 1) – 5 c) 6(-3n + 5) - 4(2n + 2) = -3(6 + 8n)
06) Determine a raiz da equação
07) A casa de José fica em um terreno
retangular com 84 metros de perímetro. O comprimento desse terreno é o triplo da largura. Quais são as medidas dos lados do terreno onde está a casa de José?
08) Em uma corrida, a velocidade média alcançada por uma avestruz excede a de um cavalo em 2 quilômetros por hora. A diferença entre o triplo da velocidade média do avestruz e o dobro da do cavalo é de 76 quilômetros por hora. Qual é a velocidade média que cada um deles consegue atingir?
09) Determine as raízes das equações a seguir:
a)
b)
c)
d)
10) Destas equações, duas são equivalentes.
Quais são elas?
a)
b)
c)
11) A raiz da equação está
situada entre dois números inteiros. Quais são eles?
12) Pensei em três números consecutivos, cuja soma é – 72. Em que números pensei?
13) Uma urna contém ao todo 108 bolas, entre azuis, vermelhas e amarelas. O número de bolas azuis é o dobro do de vermelhas, e o número de bolas amarelas é o triplo do de azuis. Quantas bolas de cada cor existem na urna?
14) Observe a equação:
a) Que valor de y é a raiz dessa equação?
b) Se, nessa sentença, y representasse um número inteiro negativo, então a raiz encontrada poderia ser aceita como resposta?
15) Qual é o número que, adicionado à sua sétima parte, é igual a 19?
16) Considere a expressão 2n em que n representa um inteiro positivo para responder: a) As expressões 2n e 2n+2 representam números pares ou ímpares? b) para n = 11, as expressões 2n e 2n + 2 representam números pares consecutivos?
17) Uma empresa tem três sócias. Uma delas recebeu a metade do lucro anual, a outra recebeu um terço desse lucro anual mais R$ 24.000,00, e a terceira sócia recebeu R$ 76.000,00. Qual foi o lucro da empresa?
18) De seu saldo bancário, Gabriela retirou a metade do que tinha, depois um terço do restante e ainda ficou R$ 200,00. Qual era o salário inicial de Gabriela?
19) Em um certo restaurante, as pessoas pagam uma quantia fixa de R$ 3,00 mais R$ 20,00 por um quilograma de comida consumida em cada prato. Quantos quilogramas de comida consumiu um cliente que gastou R$ 18,20?
62
20) Um comerciante pagou R$ 930,00 por uma encomenda de 30 camisetas. Algumas delas custaram R$ 40,00 e outras, R$ 25,00. Quantas camisetas de cada preço havia nessa coleção?
21) Arlete foi ao açougue e comprou 3 kg de contrafilé e ½ kg de patinho. Deu R$ 70,00 e recebeu R$ 4,60 de troco. Sabendo que o quilo de contrafilé custa R$ 3,60 a mais do que o quilo de patinho, qual foi o preço de 1 kg de patinho?
22) Mariana tem 7 anos de idade e sua tia 41 anos. Daqui a quantos anos a idade de Mariana será um terço da idade de sua tia?
23) Determine a solução de cada uma das equações fracionárias:
a)
b)
c)
d)
24) Determine a soluço da equação
.
25) Nas equações a seguir, a incógnita é y.
Qual é a solução de cada uma?
a)
b)
26) Escreva três números que são soluções da inequação 9x – 4 < 5, considerando o conjunto dos números racionais positivos como um conjunto de números que podem ser atribuídos a x.
27) Qual é o maior número inteiro que é
solução da inequação:
28) Resolva as inequações:
a)
b)
c)
d)
29) A diferença entre dois números é 20. Um deles é 2/7 do outro. Que números são esses?
30) A soma de dois números racionais é 70 e a diferença dividida pelo número menor dá quociente 8. Determine esses números.
31) A razão entre dois números inteiros é de 12 para 7 e a diferença entre eles é 25. Que números são esses?
32) Determine o par ordenado (a,b) que é solução de cada um dos sistemas de equações a seguir:
a)
b)
33) Escolha um dos métodos explorados e resolva os sistemas abaixo:
a)
b)
c)
34) A soma dos números da casa em que
mora Mônica e de onde ora sua mãe é 132. Esses números são escritos com os mesmos algarismos, porém em posições trocadas, e a diferença entre esses algarismos é 2. Qual é o número da casa de cada uma delas?
35) Um número é escrito com dois algarismos. O quociente do algarismo das dezenas pelo das unidades é 3. Invertendo a ordem dos algarismos, obtemos um novo número, que tem 36
63
unidades a menos que o primeiro. Que número é esse?
36) Paulo e Mariana gastaram R$ 48,00 tomando lanche juntos. Tirando-se R$ 6,00 do que cada um pagou, o restante da quantia paga por Paulo é o dobro do que restou da despesa de Mariana. Quanto gastou cada um deles?
Gabarito dos exercícios – aula 8 7) comp. 31,5 m e larg. 10,5 m 8) cavalo: 70 quilômetros por hora e aveztruz 72 quilômetros por hora. 9) a) y=3; b) z = -3; c) x = -17; d) t=-3/5 10) a e b 11) 1 e 2 12) -25, -24, -23 13) 12 vermelhas, 24 azuis e 72 amarelas 14) a) 2; b) não 15) 133/8 16) a) números pares; b) sim 17) R$ 600.000,00 18) R$ 600,00 19) 0,76 kg 20) 12 camisetas de R$ 40,00 e 18 camisetas de R$ 25,00 21) R$ 15,60 22) 10 anos 23) a) 3/10; b) 4; c) ¾; d) -28/93 24) não existe solução.
25) a) 3m/7; b)
26) 0,25; ½; 0 (existem outras respostas) 27) 11
28) a) ; b) ; c)
29) 8; 28 30) 7; 63 31) 60; 35 32) a) (-22/3; 56/9) b) (2/5; -3/4) 33) a) (3/2; -1/2) b) (-5,4) c) (1/2; -4/15) 34) 57; 75 35) 62 36) Paulo gastou R$ 30,00 e Mariana R$ 18,00
Links de videoaulas – aula 8
Não possui
64
Razão e proporção Razão: A razão entre grandezas de mesma natureza é a razão entre os números que expressam as medidas dessas grandezas, na mesma unidade. Exemplo: João é o cestinha da equipe de basquete de sua escola. Em um jogo, de 16 arremessos, João acertou 12. E Pedro, seu colega de equipe, acertou 12 dos 24 arremessos que fez. Qual deles teve um aproveitamento melhor nesse jogo? Para resolvermos este problema, devemos relacionar o número total de acertos com o total de arremessos de cada um:
João: (João teve
3 acertos para cada 4 arremessos)
Pedro: (Pedro
teve 1 acerto para cada 2 arremessos) Como 0,75 > 0,50, concluímos que João teve um aproveitamento melhor que Pedro. Observação: Se a e b são dois números racionais, e b é diferente de zero, dizemos
que a b ou é a razão entre a e b, nessa
ordem. Lemos: “razão de a para b” ou “a está para b”. Razões especiais Velocidade Média A velocidade média de um objeto é a razão entre a distância percorrida pelo Objeto e o tempo gasto para percorrê-la.
Exemplo: João percorreu 4200 km de avião durante 6 horas. Qual é a velocidade média desenvolvida pelo avião durante esse percurso?
Densidade de um material
A razão entre a massa de um material e o volume ocupado por ela nos dá a ideia de densidade desse material.
Exemplo: Uma placa de chumbo com volume de 0,001 dm3 tem massa de 11,3 g. Qual é a densidade do chumbo?
Densidade demográfica
O conceito de densidade demográfica é muito utilizado em Geografia. A densidade demográfica de uma região é a razão entre o número de habitantes e a área dessa região.
Exemplo: Em 2010, a população brasileira era de aproximadamente 191 milhões de habitantes, distribuídos em uma área de 8547403 km2, ou seja, cerca de 8500000 km2. Qual era o número de habitantes por quilômetro quadrado nesse ano? Para resolver este problema, basta dividir o número de habitantes, em 2010, pela área.
Aula 9
65
Proporção: A proporção é uma igualdade entre duas razões. Uma proporção envolve quatro termos: a, b, c e d. Nessa ordem, temos:
( b e d são diferentes de zero)
Lê-se: “a está para b, assim como c está para d”. Propriedade fundamental: Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Proporcionalidade entre grandezas Muitas vezes, a variação de uma grandeza provoca a variação de outra, em uma razão direta ou inversa. Dizemos então que essas grandezas são proporcionais e que essa variação pode se dar em uma proporcionalidade direta ou em uma proporcionalidade inversa. Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando as razões entre os valores de uma delas e os valores correspondentes da outra são iguais. Exemplo: Em uma papelaria, cobram-se 20 centavos por página xerocada. Assim: Quantidade
páginas 1 2 3 4 5
Preço total (R$)
0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
A razão entre a quantidade de páginas xerocadas e o preço é sempre a mesma:
O preço total é, então, diretamente proporcional à quantidade de páginas xerocadas. Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando os produtos dos valores de uma delas pelos valores correspondentes da outra são iguais. Em outras palavras,duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma varia sempre na razão inversa da outra. Assim, ao dobrar o valor de uma, o valor de outra se reduz pela metade; ao dividir por 3 o valor de uma, o valor de outra é multiplicado por 3; e assim por diante. Exempo: Renato comprou 240 figurinhas da Copa do Mundo de futebol para dividir entre alguns de seus sobrinhos. O número de figurinhas que cada sobrinho receberá depende de quantos sobrinhos Renato vai considerar. Veja a tabela: n
o sobrinhos 2 3 4 5
no figurinhas por sobrinho 120 80 60 48
A razão entre o número de sobrinhos e o inverso do número de figurinhas que cada um recebeu é sempre a mesma:
Logo, o número de sobrinhos é inversamente proporcional ao número de figurinhas que cada um recebeu. Regra de três Simples Podemos resolver problemas que envolvem proporcionalidade entre duas grandezas com uma regra prática, que chamamos regra de três simples. Passos utilizados numa regra de três simples
1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3) Montar a proporção e resolver a equação.
66
Variantes da Regra de três simples 1) Regra de três simples direta: Nesta modalidade de regra de três, são envolvidas duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja, quando a variação de uma delas corresponde à mesma variação da outra grandeza dada, no problema a ser resolvido. A montagem da solução deste tipo de problema é feita na mesma ordem de todas as grandezas. Exemplo: Em um dia de sol, Janete e Paulo mediram suas sombras. Janete tem 165 cm de altura e Paulo, 180 cm. Sabendo que, em determinado horário, o comprimento da sombra de Paulo era 60 cm, qual era o comprimento da sompra de Janete? (Considere que o comprimento da sombra, em determinado instante, é proporcional à altura da pessoa). Altura da pessoa (cm) Comprimento da
sombra (cm)
Janete = 165 cm x
Paulo = 180 cm 60 cm
Como as grandezas são diretamente proporcionais, podemos montar a seguinte proporção:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo a equação:
Portanto, nesse horário, a sombra de Janete tinha 55 cm de comprimento. 2) Regra de três simples inversa: Nesta modalidade de regra de três são envolvidas duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando existe a variação de uma das grandezas a outra varia, porém de forma contrária, mais na mesma proporção.
A montagem da solução deste tipo de problema é feita invertendo as ordens das grandezas.
Exemplo: Uma torneira enche um barril em 20 minutos, com uma vazão de 15 l/min. Se a vazão fosse 5 l/min, quantos minutos seriam necessários para encher o barril?
vazão (l/min) Tempo (min)
15 20
5 x
Nesse caso, se dobrarmos a vazão, o tempo para encher o barril ficará reduzido à metade, e assim por diante. Então, as grandezas são inversamente proporcionais e, por isso, montamos a seguinte proporção:
Portanto, se a vazão fosse 5 l/min, seriam necessários 60 minutos para encher o barril. Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais. Exemplo: Trabalhando 5 dias, duas artesãs produzem 60 pares de brincos. Quantos pares de brincos três artesãs, trabalhando no mesmo ritmo que as outras, produzirão em 2 dias? Vamos organizar os dados: n
o de dias n
o de artesãs n
o de pares de
brincos
5 2 60
2 3 x
Vamos comparar a grandeza número de pares de brincos (na qual está o termo desconhecido) com as outras duas grandezas:
O número de dias é diretamente proporcional ao número de pares de brincos;
67
O número de artesãs também é diretamente proporcional ao número de pares de brincos.
Para resolver o problema, usaremos o fato de que, se uma grandeza é proporcional a outras grandezas, então é proporcional ao produto delas. Assim:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
Portanto, 3 artesãs produzirão 36 pares de brincos em 2 dias. Exemplo: Em um prédio, 6 pintores pintam uma área de 300 m2 em 2 horas. Quantos pintores, trabalhando no mesmo ritmo que os outros, são necessários para pintar uma área de 400 m2 em 1 hora? n
o de pintores Área (m
2) Tempo (h)
6 300 2
x 400 1
Comparando a grandeza número de pintores (na qual está o termo desconhecido) com as outras duas:
O número de pintores é diretamente proporcional à área pintada;
O número de pintores é inversamente proporcional ao tempo gasto.
Então, podemos escrever:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
01) Marcos e Renato se destacaram em um campeonato de futebol interclasses da escola. De 50 chutes a gol, Marcos acertou 20 e, de 60 chutes a gol, Renato acertou 40. Qual deles teve o melhor aproveitamento nesse campeonato? Por quê?
02) Em um jogo de vôlei, de cada 12 saques que Rita deu, ela acertou 8.
a) Qual é a razão entre o número de acertos e o número de saques?
b) Se ela tivesse dado apenas 3 saques com o mesmo aproveitamento, quantos deles teria acertado?
03) Em uma empresa, 12 pessoas concorrem a uma vaga de secretário. A razão entre o número de candidatos e o total de vagas e 3/2. Quantas vagas estão sendo oferecidas?
04) Em 2010, Brasília, a capital brasileira, que ocupa uma área aproximada de 5800 km2, tinha cerca de 2563000 habitantes. Qual era a densidade demográfica de Brasília, naquele ano?
05) Em 2010, a população de Belém, capital do Pará, era de aproximadamente 1400000 habitantes, e sua área era de 1065 km2. Já João Pessoa, capital da Paraíba, tinha 724000 habitantes, aproximadamente, em uma área de 210 km2. Qual era a densidade demográfica
Exercícios - Aula 9
68
de Belém em 2010? E a de João Pessoa?
06) A distância entre Campo Grande e Dourados é de 224 km, aproximadamente. Qual a velocidade média desenvolvida por: a) Uma moto que fez esse percurso em
4 horas? b) Um automóvel que fez esse percurso
em 5 horas? c) Uma bicicleta que fez esse percurso
em 12 horas e 30 minutos?
07) A letra x representa um número racional. Os números 12, 15, 4 e x formam uma proporção, nessa ordem. Qual é o valor de x?
08) Na prova de Matemática, uma professora propôs questões envolvendo o cálculo do termo desconhecido das proporções:
; ; . Determine x, a
e n.
09) Nos jogos escolares do ano passado, a razão entre o número de moças e o de rapazes que participaram foi 2/3. O número de rapazes foi 168. Quantas pessoas participaram desses jogos?
10) Os números 3, 5 e x são diretamente proporcionais aos números 15, y e 45, nessa ordem. Quais são os valores de x e y?
11) São necessários 2 minutos para encher um balde usando determinada torneira. Se usássemos 2 torneiras com a mesma vazão, demoraria 1 minuto. Quanto tempo levaria para encher o balde se usássemos 4 torneiras?
12) Lúcia desenhou um retângulo de comprimento 15 cm e largura 3 cm. Bruno desenhou outro retângulo de mesma área e comprimento 9 cm. Qual é a largura do retângulo desenhado por Bruno?
13) Três pintores cobraram R$ 5200,00 pela pintura de uma casa e combinaram que receberiam o valor em partes diretamente proporcionais ao número de dias trabalhados. O primeiro trabalhou 15
dias, o segundo, 12 dias e o terceiro, 25 dias. Quanto recebeu cada um?
14) Em um passeio ciclístico, Fernando percorreu 36 km em 3 horas. Mantendo a mesma velocidade média, ele percorreu 6 km em meia hora. a) Que tipo de proporcionalidade existe
entre o espaço percorrido e o tempo? b) Qual é o fator de proporcionalidade?
15) Uma universidade comunicou que, para o vestibular do curso de História, o número de candidatos por vaga era igual a 16. Se a universidade ofereceu 300 vagas, quantos candidatos havia?
16) Uma indústria fornece refeições aos empregados. Um balanço revelou que 100 funcionários, alimentados durante 10 dias, custam à empresa R$ 1600,00. Quanto custam as refeições para 150 funcionários durante esse mesmo período?
17) Três mangueiras iguais, juntas, têm vazão de 12 litros de água por minuto. Qual será a vazão por minuto de 7 dessas mangueiras juntas?
18) Elisa trabalha como tradutora de livros e recebe um valor fixo por página traduzida. Para traduzir um livro de 127 páginas, ela recebeu R$ 1789,00. Nesta semana, ela recebeu uma proposta para traduzir um livro de 587 páginas. Quanto ela deverá receber por essa tradução?
19) Márcia queria ampliar uma fotografia. Na loja de revelação de fotos, a funcionária anotou as medidas da fotografia, 2 cm de altura e 3 cm de comprimento, e perguntou qual deveria ser o tamanho da foto ampliada. Márcia respondeu apenas que a foto deveria ter 15 cm de altura. Qual será o comprimento da foto ampliada se as proporções forem mantidas?
20) Em uma hora, 4 torneiras despejam 1000 litros de água num reservatório.
a) Se fossem 9 torneiras, com a mesma vazão, quantos litros de água seriam despejados por hora?
69
b) Se a capacidade do reservatório é de 18000 litros e ele está completamente vazio, quanto tempo será necessário para enchê-lo com as 9 torneiras?
21) Meire é proprietária de uma fábrica de calças. Atualmente, a fábrica produz 78 calças por dia, utilizando 260 metros de tecido. Para o próximo mês, Meire deverá aumentar sua produção, passando a fabricar 99 calças por dia. Considerando que os modelos das calças serão os mesmos, quanto de tecido será usado a mais por dia para essa nova produção?
22) Pedro vai viajar para o Rio de Janeiro. Com velocidade média de 60 km/h, levará 3 horas para percorrer o trajeto. Quanto tempo ele gastaria se a velocidade média fosse de 90 km/h?
23) Na indústria de bicicletas Aro Azul, 4 máquinas produzem 48 guidões de bicicletas em 6 dias. Quantos guidões de bicicletas serão produzidos em 9 dias por 10 máquinas?
24) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de terra. Quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m3 de terra em 5 horas?
25) Lúcia viajou de automóvel durante 6 dias, dirigindo 6 horas por dia, com velocidade média de 80 km/h. Determine quantos dias duraria a viagem de Lúcia se ela dirigisse durante 8 horas por dia à velocidade média de 90 km/h?
26) Uma empresa gasta R$ 6500,00 no café da manhã de 180 funcionários durante 30 dias. Quanto a empresa gastaria para oferecer o mesmo café da manhã para 300 funcionários durante 90 dias?
27) Um navio de passageiros precisa de 180000 litros de água potável para atender 1500 pessoas durante um cruzeiro de 15 dias. Quantos litros de água potável deverão ser armazenados para atender 1800 pessoas durante uma viagem de 9 dias?
28) Quatro trabalhadores colhem, em média, 200 caixas de laranjas em 5 dias, trabalhando em um certo ritmo. Quantas
caixas de laranjas iguais a essas serão colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores, no mesmo ritmo de colheita?
29) Uma viagem entre duas cidades foi feita de carro, em 4 dias, a uma velocidade média de 75 quilômetros por hora, viajando-se 9 horas por dia. Viajando a 90 quilômetros por hora, durante 5 horas por dia, em quantos dias iríamos de uma cidade à outra?
30) Claudia tem em uma confecção 36 funcionárias que produzem em média 5400 camisetas por dia, trabalhando 6 horas. O verão trouxe novidades e muitas encomendas, e a fábrica passou a ter 96 funcionárias, produzindo 21600 camisetas por dia. Quantas horas por dia elas passaram a trabalhar?
Gabarito – exercícios – aula 9
01) Renato, porque 2/3 > 2/5 02) a) 8/12 ou 2/3; b/ 2 saques 03) 8 vagas 04) 441,9 hab/km2 05) 1314,55 hab/km2; 3447,62 hab/km2 06) a) 56km/h; b) 44,8km/h c) 17,92km/h 07) 5 08) 98; 14; 9/2 09) 280 pessoas 10) X=9 e y=25 11) 30 segundos ou 0,5 minutos 12) 5 cm 13) 1º: R$ 1500,00; 2º: R$ 1200,00; 3º:
R$ 2500,00 14) Proporcionalidade direta; 12 ou 1/12 15) 4800 candidatos 16) R$ 2400,00 17) 28 litros de água por minuto 18) Aproximadamente R$ 8268,84 19) 22,5 cm 20) a) 2250 litros; b) 8 horas 21) 70 metros 22) 2 horas 23) 180 guidões 24) 25 caminhões 25) 4 dias 26) R$ 32500,00 27) 129600 litros 28) 180 caixas 29) 6 dias 30) 9 horas por dia
70
Links videoaulas – aula 9
Videoaula 1 – introdução a razões http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/introducao-a-razoes-nova-versao-hd Videoaula 2 –razão e proporção http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/razao-e-proporcao Videoaula 3 –razões como frações na expressão mais simples http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/razoes-como-fracoes-na-expressao-mais-simples Videoaula 4 –problemas avançados de razão e proporção http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/problemas-avancados-de-razao Videoaula 5 –problemas sobre proporção com álgebra básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/problema-sobre-proporcao-com-algebra-basica Videoaula 6 –encontrando uma variável em uma proporção http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/encontre-uma-variavel-em-uma-proporcao
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PORCENTAGEM
Porcentagem é uma forma usada para
indicar uma fração de denominador 100 ou
qualquer representação equivalente a ela.
Exemplos:
50% é o mesmo que ou ou 0,50 ou
0,5 (metade)
75% é o mesmo que ou ou 0,75
9% é o mesmo que ou 0,09
é o mesmo que ou ou 15%
é o mesmo que 0,40 ou ou 40%
8 pessoas em um grupo de 10
correspondem a ou ou 80% do
grupo.
Representamos porcentagem pelo símbolo
%, que se lê “por cento”.
Exemplos:
1) O rio São Francisco é o maior rio
totalmente brasileiro. Ele tem uma extensão
de 2900 km e banha cinco estados: Minas
Gerais, Bahia, Pernambuco, Alagoas e
Sergipe. Aproximadamente 26% de sua
extensão atravessa as regiões mais áridas
desses estados. Quantos quilômetros do rio
São Francisco banham as regiões mais
áridas desses estados?
Solução:
Extensão total do rio São Francisco: 2900 km
e corresponde a 100%.
26% dessa extensão banha a parte mais
árida dos estados.
Assim,
26% de 2900 =
Dessa forma, 754 km do rio São Francisco
banham as terras mais áridas dos estados de
Minas Gerais, Bahia, Pernambuco, Alagoas e
Sergipe.
2) Na escola de Maria há uma quadra de
esportes. A quadra, com área de 140 m2,
corresponde a 28% da área do terreno da
escola. Qual é a área do terreno da escola de
Maria?
1ª solução: Podemos resolver este problema
utilizando a regra de três simples. Vejamos:
140 m2 ------------------ 28%
x m2 ----------------- 100%
A área e a porcentagem são diretamente
proporcionais. Assim, obtemos a proporção
2ª Solução: Podemos resolver este
problema usando uma equação do 1º grau
com uma incógnita x que representa a área
do terreno:
28% = da área do terreno
corresponde a 140 m2.
Assim, 0,28.x = 140 x = 500 m2
3ª Solução: Podemos resolver este
problema usando proporcionalidade:
28% da área corresponde a 140 m2
1% da área corresponde a
100% da área corresponde a
Aula 10
72
3) A produção de café de uma certa fazenda,
em determinado ano, foi de 800 sacas. No
ano seguinte, as condições climáticas foram
mais favoráveis, e a produção subiu para
1300 sacas de café.
De quantos por cento foi o aumento da
produção nesse ano em relação à do ano
anterior?
Solução:
Resolveremos este problema calculando a
razão do aumento da produção em relação à
produção do ano anterior:
Assim, 1300 – 800 = 500 sacas de aumento
na produção.
Logo, podemos obter a seguinte proporção:
Portanto, o aumento da produção desse ano
em relação à do ano anterior foi de 62,5%.
Ou ainda:
2ª Solução:
x% de 800 sacas = 1300 sacas
Assim, como 100% + 62,5% = 162,5%,
concluímos que houve um aumento na
produção de 62,5%.
73
01) Nos 7os anos da escola de Maria, 69 de cada 100 alunos são meninas. Qual o percentual de meninas que estudam nos 7ºs anos dessa escola?
02) Complete: a) 25% de 840 pessoas são:
b) 50% de R$ 12.400,00 são:
c) 6% de 350 m2 são:
d) 7,5% de R$ 1.280,00 são:
03) Complete a tabela abaixo:
Fração decimal
0,5 0,06
Usado %
18% 85,4%
04) A classe de Celso tem 45 alunos e 27
deles foram promovidos em Matemática. Qual é o percentual de aprovação dessa classe em Matemática?
05) Uma frota de ônibus foi acrescida de 44 veículos. Como essa frota tinha 352 ônibus, que percentual da frota antiga representa esse acréscimo?
06) Célia comprou um objeto em uma liquidação, ganhando 10% de desconto sobre seu valor. Se ela pagou R$ 540,00, qual era o preço inicial desse objeto?
07) João ganhava R$ 2.400,00. Teve um aumento e passou a ganhar R$ 2.604,00. Quantos por cento de aumento ele teve?
08) Um criador de gado bovino começou sua criação com 212 cabeças de boi. Após um ano, sua boiada havia aumentado100%. a) Quantas cabeças de boi havia e sua
criação no final desse período? b) Quantas cabeças de boi haveria com
um aumento de 300%? c) Quantas cabeças de boi haveria com
um aumento de 500%?
09) Em uma farmácia, aposentados recebem descontos de 15% sobre o preço de cada
remédio. Renato, Marta e Isabel são aposentados. a) Renato pagou R$ 51,00 por um
remédio. Qual era o preço inicial desse remédio?
b) Marta comprou remédios que custavam, sem desconto, R$ 23,80 e R$ 18,20. Que quantia ela obteve de desconto? Quanto ela gastou?
c) Isabel comprou vários remédios, obtendo descontos de R$ 19,50. Calcule o preço dos remédios sem o desconto de 15%.
10) Um Patinete anunciado em um jornal custava R$ 275,00 em uma liquidação. Três meses depois, seu preço sofreu um aumento de 18%. Quanto o patinete passou a custar?
11) Uma mercadoria que custava R$236,00 teve um aumento de 20%. Qual o novo preço dessa mercadoria?
12) Nos restaurantes é comum acrescentar à conta 10% do total de gastos, como taxa de serviço ou gorjeta. A conta de Renato ficou em R$ 56,00, sem a taxa de serviço. Quanto ele vai pagar se incluir a taxa de serviço?
13) Em uma classe, haviam 40 estudantes. Certo dia, faltaram 25% dos rapazes, diminuindo para 36 o número de estudantes presentes. a) Quantos rapazes estavam na classe
naquele dia? b) Qual era o número de moças
presentes naquele dia? c) Quantos por cento dessa turma era
do sexo masculino?
14) Para a eleição de diretoria do grêmio de uma escola, candidataram-se 10% dos 900 alunos. Foram eleitos 10% dos candidatos. a) Quantos alunos eram candidatos? b) Quantos alunos foram eleitos? c) Quantos por cento dos alunos da
escola representavam os eleitos?
15) Represente: a) 65% em forma de fração irredutível; b) 4% na forma decimal;
c) em forma de porcentagem;
d) em forma de porcentagem;
e) 40% de 30% numa única porcentagem.
Exercícios - Aula 10
74
16) Calcule a responda:
a) Qual é o valor de 60% de 95? b) Quanto por cento de 70 é igual a 56? c) 6 são 15% de que número? d) Quanto valem 3,5% de R$ 650,00? e) R$ 75,20 correspondem a 20% de
que quantia? f) Em relação a um total de R$ 300,00,
a quantia de R$ 171,00 corresponde a quanto por cento?
g) 0,5% de R$ 85,00 dá um valor maior ou menor do que 1% de R$ 170,00?
17) Helena fez uma pesquisa com 100 alunos da escola onde estuda sobre a preferência por matéria do currículo. Veja os resultados na tabela:
Preferência dos alunos
Ciências 8
Educação Artística 7
Educação Física 23
Geografia 14
História 11
Língua Inglesa 5
Língua Portuguesa 17
Matemática 15
a) Qual é a razão entre o número de
alunos que preferem Educação Física e o número total de alunos que participaram da pesquisa?
b) Qual é a porcentagem dos alunos que preferem Matemática?
18) Calcule:
a) R$ 112,00 mais 14% de R$ 112,00; b) R$ 208,50 mais 4% de R$ 208,50; c) R$ 58,30 mais 26% de R$ 58,30; d) R$ 47,80 mais 32,5% de R$ 47,80.
19) Ao reduzir R$ 99,00 em 1% qual será o
valor obtido?
20) Os 78% do total de figurinhas de Mariana correspondem a 156 figurinhas. Qual é a quantidade total de figurinhas que Mariana tem?
21) De 210 candidatos que participaram de um concurso, 70 foram aprovados. Qual foi, aproximadamente, a porcentagem dos reprovados?
22) Paulo foi jantar com sua família em um restaurante. A conta, incuindo os 10% de
gorjeta da garçonete, foi de R$ 165,00. Qual seria o valor da conta sem a gorjeta?
23) Em uma pesquisa com 1200 telespectadores, foi questionado quantas famílias assistiram às competições das últimas olimpíadas. Concluiu-se que 65% dos telespectadores não assistiram a mais de 50% das competições. Quantos telespectadores entrevistados assistiram a mais de 50% das competições olímpicas?
24) Márcia revendeu uma casa por R$ 113.000,00, obtendo lucro de 15% sobre o preço de compra. Quanto Márcia havia pago pela casa?
25) Um empresário investiu R$ 8.400,00 em um projeto. Depois de um ano, seu lucro foi de R$ 1.680,00. Qual foi a porcentagem do lucro em relação ao investimento?
26) Um grupo de alunos comprou um presente que custava R$ 240,00 para a professora. Como pagaram à vista, obtiveram um desconto de 22%. Quanto eles pagaram pelo presente? Gabarito: 01) 69% 02) a) 210 pessoas; b) R$ 6.200,00; c) 21
m2; d) R$ 96,00 03) 2%; 18/100; 50%; 0,854; 6% 04) 60% 05) 12,5% 06) R$ 600,00 07) 8,5% 08) a) 424; b) 848; c) 1272 09) a) R$ 60,00; b) R$ desconto de 6,30
e gasto de R$ 35,70; c) R$ 130,00 10) R$ 324,50 11) R$ 238,20 12) R$ 61,60 13) a) 12; b) 24; c) 40% 14) a) 90; b) 9; c) 1% 15) a) 13/20; b) 0,04; c) 64%; d) 70%;
e) 180%; f) 12% 16) a) 57; b) 80%; c) 40; d) R$ 22,75;
e) R$ 376,00; f) 57%; g) menor 17) a) 23/100; b) 15% 18) a) R$ 127,68; b) R$ 216,84; c) R$
73,46; d) R$ 63,34 19) R$ 98,01 20) 200
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21) 66,66% 22) R$ 150,00 23) 420 telespectadores 24) Aproximadamente R$ 98.260,87 25) 20% 26) R$ 187,20
Links videoaulas – aula 10
Videoaula 1 –descrevendo o significado de porcentagem http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/descrevendo-o-significado-de-porcentagem Videoaula 2 –descrevendo o significado de porcentagem 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/descrevendo-o-significado-de-porcentagem-2 Videoaula 3 –identificando porcentagens http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/identificando-porcentagens Videoaula 4 –solucionando problemas de porcentagem http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/solucionando-problemas-de-porcentagem Videoaula 5 –solucionando problemas de porcentagem 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/solucionando-problemas-de-porcentagem-2 Videoaula 6 –solucionando problemas de porcentagem 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/solucionando-problemas-de-porcentagem-3 Videoaula 7 –porcentagem e decimal http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/porcentagem-e-decimal1 Videoaula 8 –problemas de porcentagem http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/problemas-de-porcentagem Videoaula 44 –outro problema de porcentagem http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/outro-problema-de-porcentagem
Videoaula 45 –representando um número na forma decimal, porcentagem e fração http://www.fundacaolemann.org.br/khanportugues/representando-um-numero-em-forma-de-decimal-porcentagem-e-fracao Videoaula 46 – crescimento percentual http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu
gues/crescimento-percentual
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Grandezas e Unidades de Medidas A unidade é um nome particular que relacionamos às medidas de uma grandeza. Existem dois tipos de grandezas físicas: - vetorial: nesta grandeza, além do valor numérico, é necessária uma representação espacial que determina direção e sentido. Exemplo: aceleração, velocidade e força. Escalar: esta grandeza necessita somente de um valor numérico e uma unidade para determinar uma grandeza física. Exemplo: massa, comprimento e tempo. Nas grandezas e suas unidades, as medidas são expressas pelo Sistema Internacional de Unidade (SI). As principais são: - comprimento (metro: m) - massa (quilograma: kg) - tempo (segundo: s) Conversão de unidades As unidades podem ser convertidas de acordo com sua respectiva grandeza. Convertendo unidade de comprimento
Quadro geral de unidades de comprimento Múltiplos Unidade
Padrão Submúltiplos
km hm dam m dm cm mm 1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Significado das siglas:
km quilômetro
hm hectômetro
dam decâmetro
m metro
dm decímetro
cm centímetro
mm milímetro
Para realizar a conversão dessas unidades, segue-se uma regra bem simples, que envolve multiplicação ou divisão por dezenas. X10 X10 X10 X10 X10
km hm dam m dm cm mm
10 10 10 10 10
Exemplos: a) 12 m = 12000 mm b) 10 mm = 0,001 dam c) 5,3 m = 0,0053 km d) 9 mm = 0,009 m e) 10 mm =0,01 m Convertendo unidade de massa
Quadro geral de unidades de massa Múltiplos Unidade
Padrão Submúltiplos
kg hg dag g dg cg mg 1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
Significado das siglas:
kg quilograma
hg hectograma
dag decagrama
g grama
dg decigrama
cg centigrama
mg miligrama
Para realizar a conversão dessas unidades, a regra é a mesma realizada na grandeza de comprimento, envolvendo multiplicação ou divisão por dezenas. X10 X10 X10 X10 X10
kg hg dag g dg cg mg
10 10 10 10 10
Aula 11
77
Exemplos: a) 21 kg = 21000 g b) 8 kg = 80 hg c) 3 mg = 0,003 g d) 10 mg = 0,01 g e) 12 g =0,012 kg Convertendo unidade de tempo Para realizar a conversão dessas unidades, segue-se uma regra bem simples, que envolve operações de multiplicação ou divisão.
Assim, para transformar um segundo em um minuto, divide-se o valor por sessenta, basicamente, pode-se afirmar que um minuto equivale á sessenta segundos. De forma semelhante, para transformar uma hora em um minuto, multiplica-se o valor em horas por sessenta. Desse modo, tem-se que uma hora equivale á sessenta minutos. Exemplos: a) 660 s = 11 min
b) 720 s = 0,2 h
c) 3 h = 180 min
Convertendo unidade de área de superfície
quadro geral de unidades de área
múltiplos Und padrão
submúltiplos
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000m2
10.000m2
100m2
1m2 0,01 m2
0,0001 m2
0,000001 m2
Significado das siglas:
km2 quilômetro quadrado
hm2 hectômetro quadrado
dam2 decâmetro quadrado
m2 metro quadrado
dm2 decímetro quadrado
cm2 centímetro quadrado
mm2 milímetro quadrado
Para realizar a conversão dessas unidades, segue-se uma regra bem simples, que envolve multiplicação ou divisão por centenas. X100 X100 X100 X100 X100
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
100 100 100 100 100
Fique atento! Metro quadrado (m2) significa a medida da área da superfície de um quadrado com um metro de lado. Exemplos: a) 300 dm2 = 3 m2
b) 6 dam2 = 600 m2 c) 23 km2 = 23.000.000 m2 d) 83,2 cm2 = 8.320 mm2 e) 1,95 km2 = 1.950.000 m2 Convertendo unidade de volume Como acontece com as demais grandezas, existem múltiplos e submúltiplos do metro cúbico para medir volumes. Veremos aqui, apenas as unidades mais utilizadas.
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Significado das siglas:
km3 quilômetro cúbico
hm3 hectômetro cúbico
dam3 decâmetro cúbico
m3 metro cúbico
dm3 decímetro cúbico
cm3 centímetro cúbico
mm3 milímetro cúbico
Para realizar a conversão dessas unidades, segue-se uma regra bem simples, que envolve multiplicação ou divisão por milhares. X1000 X1000 X1000 X1000 X1000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1000 1000 1000 1000 1000
Fique atento! Metro cúbico (m3) significa a medida do espaço ocupado por um cubo com um metro de aresta. Exemplos: a) 1000 dm3 = 1 m3
b) 6000 cm3 = 6 dm3 c) 478 m3 = 578.000 dm3 d) 7000 mm3 = 0,007 dm3 e) 0,5 m3 = 500.000 cm3 Convertendo unidades de capacidades Os líquidos e os gases em geral tomam a forma do recipiente que os contém. Quando o recipiente está cheio de um líquido ou gás, o volume contido no recipiente é a sua capacidade. Assim,
1 L = 1 dm3
Como 1m3 = 1000 dm3 e 1 dm3 = 1L, então:
1m3 = 1000 L Notação: L = litro e mL = mililitro Para medir pequenos volumes, utilizamos submúltiplos do litro, e o mililitro é o mais comum.
1mL = L = 0,001 L e 1 L = 1000 mL
Exemplos: a) 3,68 L = (3,68 x 1000) mL = 3680 L
a) 12,5 mL = (12,5 1000) L = 0,0125 L
01) Angela dividiu um pedaço de fita de 50 mm em dois pedaços iguais. Quantos centímetros mede cada pedaço?
02) Faça as conversões:
a) 1000 m = _____km b) 10 m = _____dam c) 1000 mm = 1 _____ d) 100 cm = 1 ____
03) O passo de André mede 65 cm. Ele
anotou 16 passos ao medir o comprimento de um corredor. Qual é o comprimento desse corredor em metros?
04) Faça as conversões:
Exercícios - Aula 11
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a) 5,2 cm = _____ mm b) 0,9 cm = _______m c) ____km = 3000m d) 1,80 m = _____cm e) 2,3 km = _____m f) _____ m = 300 mm
05) Um caminhoneiro saiu de Recife com destino a Belo Horizonte. Depois de percorrer 1543,6 km, ele pediu informação em um posto de combustível e soube que ainda faltavam 595,4 km para chegar a seu destino. Qual é a distância de Recife a Belo horizonte?
06) Patrícia comprou 5,50 m d tecido para fazer um conjunto de calça e casaco. Para a calça são necessários 2,50 m de tecido e para o casaco 2,30 m. Com esse tecido ela ainda poderá fazer uma blusa que precisa de 80 cm de tecido? Por quê?
07) Para revestir um sofá, coloca-se uma manta de algodão com 8mm de espessura, uma manta acrílica com 16 mm de espessura e uma camada de espuma com 3cm de espessura. Qual é a espessura total do revestimento? Apresente a resposta em centímetros.
08) Um terreno retangular de 82 m por 4300 cm será cercado com três voltas de arame.
a) Quantos metros de arame serão necessários?
b) Se cada rolo de arame tem 25 m, quantos rolos serão necessários?
09) Alice quer comprar renda para enfeitar a borda de uma toalha retangular. Essa toalha tem 3 m de largura, e seu comprimento é o dobro da largura. a) Para não faltar material, Alice vai
comprar 2 m a mais de renda. Quantos metros de renda ela terá de comprar?
b) Se um metro de renda custa R$ 6,60, quanto Alice gastará?
10) Laura escolheu três frangos em um supermercado, que foram colocados em uma balança, um após o outro se retirar o anterior. Colocado o primeiro frango, a balança registrou 3 kg. Colocado o segundo, ela registrou 5 kg. Colocado o último, a balança marcou 9 kg. a) Quanto pesa o segundo frango? b) Quanto pesa o último frango?
11) Em uma agência de transporte há 3 caixas que devem ser enviadas para uma cidade. Elas têm 28,5 kg, 30,4 kg e 27,25 kg. Uma quarta caixa é acrescentada e o total agora é 100 kg. Calcule a massa da quarta caixa.
12) Os cães de um canil consumiram em um dia 35% de ração de um saco que continha 25 kg. Quantos quilogramas restaram?
13) Toninho tem um caminhão que pode transportar, no máximo, 2,5 t. Dentre estas cargas, quais ele poderá transportar no caminhão?
a) 250 kg; b) 2500 kg; c) 2501 kg;
d) 2,5 kg; e) 250 000 kg
14) Qual é o número mínimo de viagens necessárias para transportar 39 caixas de 38 kg cada uma? Após todas as viagens com carga máxima, quantas caixas serão levadas ao terceiro andar na última viagem?
15) A carga máxima que uma caminhonete pode transportar é uma tonelada.
a) Qual é o número máximo de caixas de 120 kg cada uma que podem ser transportadas por essa caminhonete?
b) Ao transportar 20 caixas de 52 kg cada uma, quanto será a carga excedente?
c) Sem exceder a carga máxima, essa caminhonete consegue transportar, em uma única viagem, uma máquina que pesa 348 kg, 9 sacos de arroz de 60 kg
80
cada um e duas caixas de 45 kg cada uma? Justifique sua resposta.
16) Odete foi ao açougue e pediu ¼ kg de músculo. a) Quantos gramas de músculo ela
comprou? b) Se tivesse pedido ¾ kg, quantos
gramas de músculo teria levado?
17) A quantos gramas de café correspondem 10 pacotes de 1/8 kg?
18) Maria tem cinquenta e seis
quilogramas e meio. Ao ir à escola, ela carrega uma mochila de três quilogramas e quatrocentos gramas, que contém, além de estojo e cadernos, um livro de trezentos e quarenta e cinco gramas. Represente as medidas citadas, usando números e a unidade kg.
19) Um pão é feito com 300 g de farinha de trigo. Quantos pães desse tipo podem ser feitos com 12,9 kg de farinha?
20) Transforme:
a) 3,5 g em mg b) 5 kg em g c) 1,2 g em kg d) 80 mg em g e) 100 g em mg f) 0,018 kg em g
21) Transforme em metro quadrado: a) 3 km2 b) 50 cm2 c) 0,03 km2 d) 13 568 cm2
22) Luiza tem um tecido com 1 m2 .
a) Quantos lenços quadrados de 900 cm2 ela poderá fazer com esse tecido?
b) Sobrará algum pedaço? c) Se sim, de quantos cm2?
23) João tem um sítio com 2 km2 de área.
Nesse sítio ele reservou 18 000 m2 para fazer um pomar. Qual é a área
restante? Escreva a respostas em km2 e em m2.
24) A área de um ladrilho é 400 cm2. Qual é a área desse ladrilho em mm2?
25) Faça a conversão:
a) 5 m2 = ____ dam2
b) 3,21 km2 = ____ m2
c) 1,82 m2 = _____ cm2
d) 584 m2 = ___ km2
26) Uma caixa tem a forma de um cubo
de 40 cm de aresta. Qual é o volume dessa caixa?
27) Faça a conversão:
a) 1000 dm3 = ____ m3 b) 1000 cm3 = ___ dm3 c) 1 m3 = ___ cm3 d) 1000 cm3 = ___ m3 e) 0,001 cm3 = ____ m3
28) Um carro percorre 9 km com 1 L de gasolina. Supondo que esse consumo de gasolina seja sempre o mesmo, responda:Quantos litros o carro consumirá para percorrer 180 km?
29) Transforme em mL:
a) 3,5 L b) 0,19 L c) 0,072 L
30) Se a capacidade de um frasco é de 2,25 L, qual é a sua capacidade em mL?
31) Um frasco de detergente pode conter 600 mL. Quantos frascos serão necessários para acondicionar 1200 L de detergente?
32) Transforme em litros:
a) 37 m3 b) 6 m3 c) 7,5 m3 d) 0,086 m3 e) 0,2 m3 f) 0,005 m3
81
33) Uma torneira despeja 250 mL de água por minuto em um vasilhame. Quanto tempo ela levará para despejar 4 L de água?
34) Transforme em m3: a) 1200 L b) 68,4 L c) 195800 mL
35) Durante um treino para a corrida de
São Silvestre, Paulo percorreu 48 km e Renato 60000m, em um mesmo intervalo de tempo. Qual é a razão entre as distâncias percorridas por Paulo e Renato nesse tempo?
36) Um vasilhame tem capacidade de 15,6 L de um líquido, e outro de 1300 mL. Qual é a razão entre a capacidade do primeiro vasilhame e a do segundo?
Gabarito aula 11:
1) 2,5 m 2) a) 1 km; b) 1 dam; c) 1m; d) 1m 3) 10,40 m 4) a) 52 mm; b) 0,009 m; c) 3 km; d)
180 cm; e) 2300 m; f) 0,3m 5) 2139 km 6) Não, pois irá sobrar 70 cm de tecido e
70 cm < 80 cm 7) 5,4 cm 8) a) 75m; b) 30 rolos 9) a) 20m; b) R$ 132,00 10) a) 21 kg; b) 4 kg 11) 13,85 kg 12) 16,25 kg 13) a, b e d 14) 4 viagens, 6 caixas 15) a) 8 caixas; b) 40 kg; c) sim, a carga
toda pesa 978 kg, o que não excede 1 tonelada
16) a) 250 g; b) 750 g 17) 1250 g 18) 56,5 kg; 3,400 kg; 0,345 kg 19) 43 pães 20) a) 3500 mg; b) 5000 g; c) 0,0012 kg
d) 0,08 g; e) 100000 mg; f) 18 g 21) a) 3000000 m2; b) 0,0050 m2; c)
30000 m2; d) 1,3568 m2 22) a) 11 lenços; b) sim; c) 100 cm2 23) 1,982 km2 e 1982000 m2 24) 40000mm2 25) a) 0,05; b) 3210000; c) 18200; d)
0,000584 26) 64000 cm3
27) a) 1; b) 1; c) 1000000; d) 0,001; e) 0,000001
28) 20 L 29) a) 3500 mL; b) 190 mL; c) 72 mL 30) 2250 mL 31) 2000 frascos 32) a) 37000 L; b) 6000 L; c) 7500 L; d)
86 L; e) 200 L; f) 5 L 33) 16 minutos 34) a) 1,2 m3; b) 0,0684 m3; c) 0,1958 m3 35) 48/60 ou 4/5 36) 12
Links videoaulas – aula 11
Não possui.
Bibliografia - MORI, Iracema;ONAGA, Dulce Satiko. Mtemática: Idéias e Desafios. 6º, 7º, 8º e 9º ano. 17ª Edição. Ed. Saraiva, 2012. - Site: http://www.prof-edigleyalexandre.com /2012/09/visualizando-propriedades-algebric as.html Acesso em 25.08.2013