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3ª edição FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II

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3ª edição

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II

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FUNDAMENTOSDA

MATEMÁTICA II

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SOMESBSociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda.

Presidente � Gervásio Meneses de OliveiraVice-Presidente � William Oliveira

Superintendente Administrativo e Financeiro � Samuel SoaresSuperintendente de Ensino, Pesquisa e Extensão � Germano Tabacof

Superintendente de Desenvolvimento ePlanejamento Acadêmico � Pedro Daltro Gusmão da Silva

FTC-EADFaculdade de Tecnologia e Ciências – Ensino a Distância

Diretor Geral � Reinaldo de Oliveira BorbaDiretor Acadêmico � Roberto Frederico Merhy

Diretor de Tecnologia � Jean Carlo NeroneDiretor Administrativo e Financeiro � André Portnoi

Gerente Acadêmico � Ronaldo CostaGerente de Ensino � Jane Freire

Gerente de Suporte Tecnológico � Luís Carlos Nogueira AbbehusenCoord. de Softwares e Sistemas � Romulo Augusto Merhy

Coord. de Telecomunicações e Hardware � Osmane ChavesCoord. de Produção de Material Didático � João Jacomel

EQUIPE DE ELABORAÇÃO / PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO

� Produção Acadêmica �

Autor � Adriano Pedreira Cattai

Rui de Jesus Santos

Gerente de Ensino � Jane Freire

Supervisão � Ana Paula Amorim

Coordenador de Curso � Geciara da Silva Carvalho

Revisão Final � Adriano Pedreira Cattai

Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

� Produção Técnica �

Edição em L ATEX 2ε � Adriano Pedreira Cattai

Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

Revisão de Texto � Carlos Magno

Coordenação � João Jacomel

Equipe Técnica �

Alexandre Ribeiro, Cefas Gomes, Clauder Filho, Delmara

Brito, Diego Doria Aragão, Diego Maia, Fábio Gonçalves,

Francisco França Júnior, Hermínio Filho, Israel Dantas,

Lucas do Vale, Marcio Serafim, Mariucha Ponte, Ruber-

val Fonseca e Tatiana Coutinho.

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Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98.É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da

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Sumário

Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas 6

Funções Afins e Quadráticas 6

Definições Elementares 6

1.1 Função Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Função Ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Função Crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Função Decrescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Função Sobrejetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Função Injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Função Bijetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9 Função Periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

A Função Afim 11

1.11 O Gráfico da Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.12 Sinal de uma Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.13 A Inversa da Função Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.14 Apêndice 1: Modelagem Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.15 Apêndice 2: Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.16 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

A Função Quadrática 20

1.17 A Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.18 Raízes de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.19 Extremo de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.20 Sinal de uma Função Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.21 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.22 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Funções Exponenciais e Logarítmicas 28

Função Exponencial 28

2.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Potência de Expoente Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Propriedades das Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Equações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 A Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Inequações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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Fundamentos da Matemática II

Função Logarítmica 36

2.8 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.9 Logaritmos: Definição e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.9.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.10 Equações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.11 A Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.12 Gráfico da Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.13 Inequações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.14 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Funções Trigonométricas e Outras Elementares 43

Funções Trigonométricas 44

Trigonometria 44

3.1 Relações Trigonométricas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Arcos Côngruos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Funções Trigonométricas 48

3.3 As Funções Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Outras Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Outras Funções Elementares 53

Outras Funções Elementares 53

4.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 Funções Definidas por mais de uma Sentença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5 Função Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6 Função Recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Atividade Orientada 605.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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Apresentação de Disciplina

Caro aluno,

Damos-lhe boas vindas ao curso de Fundamentos de Matemática II.

Ao colocarmos este material à disposição de educadores e de alunos

que se preparam para o magistério, é nossa intenção destacar alguns

dos temas usualmente vistos no ensino médio, a exemplo das funções

elementares: afim, quadrática, exponencial e logarítmica. Buscamos,

tanto quanto possível, ilustrá-los mediante exemplos e interessantes apli-

cações que, sem dúvida alguma, tornarão mais instigantes e agradáveis

de estudá-los. Conforme verá, adotamos uma abordagem bem simples

e elementar. Evitamos o emprego de fórmulas, mesmo nas demon-

strações, preferindo, ao invés disso, um constante apelo ao raciocínio

lógico-dedutivo na obtenção de nossos resultados.

Ao longo do texto, inserimos questões para reflexão. Sugerimos

que pare, ao encontrá-las em sua leitura, e as considere com bastante

atenção. Incluímos, também, exercícios resolvidos e atividades comple-

mentares, bem como, no final deste trabalho, um bloco de atividades

orientadas como parte de sua de avaliação individual.

E, é claro, registramos nossa gratidão, ainda que previamente, por

quaisquer observações ou comentários sobre o trabalho, para que pos-

samos aprimorá-lo continuamente. Uma boa leitura, portanto, e boa sorte

na carreira que escolheu.

Prof. Rui Santos

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Fundamentos da Matemática II

Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais

e Logarítmicas

Funções Afins e Quadráticas

Definições Elementares

Na disciplina Fundamentos de Matemática I, a definição de uma função real a uma variável foi apresen-

tada da seguinte forma:

Uma função real é um objeto matemático que, a cada número x de um subconjunto A dos

números reais, associa um único número f (x) de um subconjunto B dos números reais.

Em outras palavras:

f : A → B é função ⇔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B; y = f (x).

O conjunto A é chamado de domínio da função f ; o conjunto dos números reais contido em B que

estão associados por f é chamado o conjunto imagem (ou simplesmente, a imagem) de f ; e o conjunto B

é chamado de contradomínio da função.

As seguintes notações foram estabelecidas:

1. f : A → B para dizer que se trata da função real cujo domínio é o conjunto A.

2. x 7→ f (x) para dizermos que f associa o número f (x) ∈ B ao número x ∈ A.

3. Dom(f ) representa o domínio de f , e CD(f ) o contra-domínio.

4. Im(f ) representa a imagem de A, e se C ⊂ A, indicaremos por f (C ) o conjunto dos números f (x),

com x ∈ C , que é chamado de imagem de C .

Neste primeiro tema, detalharemos duas funções especiais, a saber: a Função Afim e a Função

Quadrática. Antes disto, vejamos as seguintes definições:

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1.1 Função Par

Dizemos que uma função f : (−c , c) → R é uma função par, se

f (−x) = f (x), ∀ x ∈ (−c , c).

Um exemplo bem simples de função par é f (x) = x2. Seu gráfico é

exibido ao lado. x

y

aa-

f a = f a( ) ( )-

y = f(x)

De fato, o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Ou ainda:

f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x).

1.2 Função Ímpar

Dizemos que uma função f : (−c , c) → R é uma função ímpar, se

f (−x) = −f (x), ∀ x ∈ (−c , c)

A função g(x) = x3 é um exemplo de função ímpar, pois, g(−x) = (−x)3 = −x3 = −g(x).

Nota 1. Uma função pode não satisfazer uma destas duas definições. De fato, seja a função

definida por h(x) = x − x2. Assim,(h(−x) = −x − (−x)2 = −x − x2 6= h(x)

h(−x) = −x − x2 6= −x + x2 = −h(x)

Nota 2. Qualquer função com domínio simétrico em relação à origem pode ser escrita como

soma de uma função par com uma função ímpar:

f (x) = fP(x) + fI (x) =f (x) + f (−x)

2| {z }fP (x)

+

fI (x)z }| {f (x) − f (−x)

2,

em que a função fP(x) é uma função par e fI (x) é uma função ímpar. Verifique!

Se considerarmos a função h(x) = x − x2, exibida acima, então,8>><>>: fP(x) =x − x2 − x − x2

2= −x2

fI (x) =x − x2 − (−x − x2)

2= −x2 =

x − x2 + x + x2

2= x ,

ou seja, h(x) = fP(x) + fI (x).

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Fundamentos da Matemática II

1.3 Função Crescente

Uma função f é crescente

se ∀ a, b ∈ Dom(f ), a < b, então f (a) < f (b).

x

y

ba

f a( )

f(x)

f(b)

1.4 Função Decrescente

Uma função f é decrescente

se ∀ a, b ∈ Dom(f ), a < b, então f (a) > f (b).

x

y

ba

f a( ) f(x)

f(b)

1.5 Função Sobrejetora

Uma função é sobrejetora quando todo o contradomínio possui um elemento correspondente em seu

domínio, isto é, o conjunto imagem e o contradomínio são coincidentes. Em símbolos, se f : A → B, então:

∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A; y = f (x).

1.6 Função Injetora

Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, elementos distintos no domínio possuem, como

imagem, elementos distintos no contradomínio. Em símbolos:

x1, x2 ∈ A, x1 6= x2,⇒ f (x1) 6= f (x2).

Nota 3. Uma outra maneira de exibir esta mesma condição é a através da sua contra-positiva,

ou seja,

f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.

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x

y

y = f(x) Esta expressão afirma que cada elemento y da imagem da

função f provém de um único elemento x do seu domínio. Uma

maneira visual de interpretar este fato é pelo chamado teste da

linha horizontal. Se a linha interceptar o gráfico da função em

mais de um ponto, então existem pontos distintos no domínio tal

que suas imagens são iguais.

1.7 Função Bijetora

Uma função é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Deixamos a representação sim-

bólica deste conceito como exercício.

1.8 Função Inversa

Este é um conceito aplicável somente às funções bijetoras. Seja f : A → B uma função bijetora, ou

seja, para cada y ∈ B, existe exatamente um valor x ∈ A tal que y = f (x). Assim, podemos definir uma

função g : B → A tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f , a

qual denotaremos por f −1. Em outras palavras:

f −1 : B → A

y 7→ x = f −1(y)

y

xa1 a2

b1

b2

A

B

f : A → B

a 7→ b = f (a)

y

x

a1

a2y=x

b1 b2B

A

f −1 : B → A

b 7→ a = f −1(b)

1.9 Função Periódica

Dizemos que uma função f é periódica se existe um número real p 6= 0 tal que f (x + p) = f (x) para

todo x ∈ Dom(f ). O menor número p que satisfaz f (x + p) = f (x) é chmado de período da função f . O

gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento |p|.9

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Fundamentos da Matemática II

Na disciplina Fundamentros da Matemática III, veremos que as

funções f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são funções periódicas

de período 2π.

A figura ao lado ilustra o gráfico de uma função periódica de

período 4.

2

y

x6-2-6

6

1.10 Exercícios Propostos

1.1. Para que valor de x , f (x) =√

x + 2 é igual a 6? e 0?

1.2. Verifique que a correspondência entre os valores x e y = f (x), dados pelos conjuntos abaixo, não

definem uma função.

(a) R1 = {(x , y) ∈ Z × Z; x2 + y2 = 4}(b) R2 = {(x , y) ∈ N × Z; x − y2 = 0}

(c) R3 =

�(x , y) ∈ Z × Z;

x2

9+

y2

4= 1

�(d) R4 = {(x , y) ∈ N × Z; x2 − y2 = 0}

1.3. Exiba os domínios das seguintes funções:

(a) f (x) =x

3+ 1

(b) f (x) =1

x

(c) f (x) =

√1 − x

2

(d) f (x) =2√

1 − x

(e) f (x) =2x − 1

x2 − 4

(f) f (x) =

√x −

√x2 − 25

x

1.4. Decida se cada função é par, ímpar ou nem par e nem ímpar.

(a) f (x) = x5 (b) f (x) =1

x2(c) f (x) = x3 − x (d) f (x) = 5 − x2

1.5. Mostre que as funções abaixo não são nem pares e nem ímpares, e expresse-as como uma soma de

uma função par com uma função ímpar.

(a) g(x) = x2 − x (b) h(x) = x2 +1

x

1.6. Dada uma função qualquer f : [−a, a] → R, mostre que:

(a) a função g definida por g(x) = f (x) + f (−x) é uma função par;

(b) função h definida por h(x) = f (x) − f (−x) é uma função ímpar.

1.7. Suponha f e g duas funções dadas. Então, definem-se as seguintes funções:

(f ± g)(x) = f (x) ± g(x), (f · g)(x) = f (x) · g(x) e�

f

g

�(x) =

f (x)

g(x)(g(x) 6= 0).

Considere agora, que f (x) =√

x − 2 e g(x) =√

16 − x2. Determine:

(i) (a) (f + g)(x); (b) (f · g)(x); (c)�

f

g

�(x)

(ii) os domínios das funções do item (i)

10

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1.8. Ao analisar a função real f definida por f (x) = x2 + 4x − 12, podemos afirmar que f é injetora?

Justifique a resposta.

Gabarito

Questão. 1.1. 34 e −2 Questão. 1.3. (a) R . (b) R−{0}. (c) {x ∈ R; x ≤ 1} . (d) {x ∈ R; x < 1}. (e) R−{±2}. (f) {x ∈ R; x ≥ 5}.

Questão. 1.4. (a) Par. (b) Par. (c) Ímpar. (d) Par. Questão. 1.7. (i.a)√

x − 2+p

16 − x2 . (i.b)p

(x − 2) · (16 − x2). (i.c)

qx − 2

16 − x2.

(ii.a) {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 4}. (ii.b) {x ∈ R; x ≤ −4 ou 2 ≤ x ≤ 4}. (ii.c) {x ∈ R; x < −4 ou 2 ≤ x < 4}. Questão. 1.8. Não, poisf (2) = f (−6) = 0.

A Função Afim

Chama-se função afim a toda função f : R → R definida por f (x) = ax + b, em que a e b são números

reais. Lembra-se de algo além deste conceito? Talvez se recorde que os coeficientes "a"e "b"são co-

mumente, e nesta ordem, chamados coeficientes angular e linear. E das condições de crescimento e

decrescimento desta função, sua inversa e condições de existência, e outras propriedades e aplicações?

Revisitaremos este e outros temas aqui - em parte porque vale a pena preencher possíveis lacunas ou,

eventualmente, corrigir uma ou outra imperfeição que assimilamos ao longo de nosso percurso; além disso,

este, afinal é o objeto de seu trabalho como educador. Começaremos com uma situação bem típica, como

escolher uma operadora de telefonia. Suponha - e isto não é mais que uma suposição - que as operadoras

Telemar e Embratel lançaram ao mercado os seguintes produtos:

TELEMAR

Aparelho Assinatura mensal

R$ 430, 00 R$ 70, 00

EMBRATEL

Aparelho Assinatura mensal

R$ 690, 00 R$ 50, 00

Qual destas opções é mais vantajosa?

Como resposta, experimente descrever cada um desses planos em termos de uma expressão que

forneça o montante pago em função do tempo de assinatura.

Você sabia?

A este trabalho, que busca uma expressão conveniente para a descrição de uma determinada

situação, chamamos modelagem matemática. E isto, em campos tão diversos quanto a Medic-

ina, a Engenharia de Tráfego, otimização, etc., tem sido um campo bem fértil para pesquisas.

Você deve ter obtido expressões do tipo: f (t) = 70t+430 e g(t) = 50t+690, respectivamente. É possível

que não se sinta seguro quanto a como se obtiveram estas expressões; neste caso, queira consultar o

Apêndice 1, “Modelagem matemática”. Apresentamos ali, um passo a passo com explicações um pouco

mais detalhadas sobre esse exemplo específico. Aliás, incluiremos, sempre que necessário, uma seção,

ou apêndice, com pormenores adicionais sobre certos cálculos, conceitos, etc. Sinta-se à vontade para

consultá-los.

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Fundamentos da Matemática II

Examinemos a primeira expressão.

X Observe que o coeficiente linear, 430, corresponde, precisamente, ao valor inicialmente pago, antes

sequer do primeiro mês de contrato. Em termos mais genéricos, isto nos fornece uma interessante

interpretação para o coeficiente linear numa função afim. Ele corresponde ao valor da função f (t)

avaliado em t = 0.

X Quanto ao coeficiente angular, suponhamos que após uma longa pechincha, o gerente da empresa

de telefonia concorda em alterar sua proposta, concedendo um coeficiente angular realmente pro-

mocional. Imagine, então, que a nossa nova função é:

f1(t) = 50t + 430.

Compare-a com a anterior, f (t) = 70t + 430. O que acha que muda no decorrer do contrato? Obvia-

mente, a taxa de crescimento de nosso montante é menor. E isto nos leva a uma óbvia, mas fundamental,

conclusão:

O coeficiente angular, numa função afim,

é o único fator que determina o seu crescimento ou decrescimento.

Nos exemplos que acabamos de ver, ambas as funções

f (t) = 70t + 430 e f1(t) = 50t + 430,

em que ambos os coeficientes angulares são positivos, são crescentes, porém, observe que a velocidade

ou taxa de crescimento mudou.

No apêndice 2, “Crescimento e Decrescimento”, ilustramos com mais detalhes a influência do coefi-

ciente angular sobre a taxa de crescimento ou decrescimento de uma função afim. Queira consultá-lo, se

necessário.

A propósito, o que você supõe que acontece se o coeficiente angular for negativo ou nulo?

Agora é a sua vez!

X O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se uniforme quando ele percorre espaços iguais em

tempos iguais. Sua velocidade é, por definição, o espaço percorrido na unidade de tempo. Formule

estas definições matematicamente, e obtenha explicitamente a posição f (t) do ponto em termos de

uma função de t e do ponto de partida.

X Uma corrida de táxi custa m reais por km rodado, mais uma taxa fixa de n reais, chamada bandeirada.

Formule, matematicamente, o custo de uma corrida como função do número x de quilômetros per-

corridos.

Um pouco de história

Foi por volta de 1.360 d.C. que um matemático parisiense chamado Nicole Oresme teve um pensamento

brilhante:

12

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“por que não traçar uma figura que representasse

a maneira pela qual as coisas variam?”

Ali estava um primeiro esboço do que conhecemos hoje como representação gráfica de funções. Este

processo era conhecido, então, como “a latitude das formas”. Oresme usava os termos latitude e longitude

dum modo equivalente à ordenada e à abscissa, e sua representação gráfica assemelhava-se à nossa

geometria analítica. Naturalmente, seu uso de coordenadas retangulares, ou cartesianas, não era novo,

mas a sua representação gráfica de uma quantidade variável, sim.

1.11 O Gráfico da Função Afim

Oresme sabia, já em 1.360 d.C., que a ‘latitude das formas’, ou gráfico, de uma função afim era uma

reta. Aliás, não apenas o gráfico de uma função afim é uma reta, mas, reciprocamente, a toda reta no

plano corresponde uma, e apenas uma, função.

O gráfico da função f (x) = ax + b é uma reta.

Prova: Suponhamos inicialmente que o gráfico não seja uma reta, ou seja, existem três pontos

A, B e C distintos dois a dois, do gráfico de f que não estão alinhados, conforme figura.

Sejam (x1, y1) , (x2, y2) e (x3, y3), respectivamente,

as coordenadas cartesianas destes pontos. Nestas

condições, temos8><>: y1 = a · x1 + b

y2 = a · x2 + b

y3 = a · x3 + b

Subtraindo membro a membro, obtemos:¨y3 − y2 = a(x3 − x2)

y2 − y1 = a(x3 − x2)⇒ y3 − y2

x3 − x2=

y2 − y1

x2 − x1= a. x

y

A

B

C

D

E

3xx1x 2

3y

2y

1y

a

b

Observe quey3 − y2

x3 − x2=

CE

BE= tg β e

y2 − y1

x2 − x1=

BD

AD= tg α.

e, então tg β = tg α, ou seja, devemos ter α = β e, portanto, os pontos A, B e C estão neces-

sariamente alinhados. Isso conclui a nossa prova.

Transcrevemos, agora, um resultado fundamental da Geometria Plana que, aplicado ao nosso trabalho,

simplifica, em muito, a representação de uma função.

Dados dois pontos distintos no plano, P1 e P2 existe uma única reta que os contém.

Temos, portanto, que dada uma função afim f (x) bastam dois pontos (x1, f (x1)) e (x2, f (x2)) para

representá-la graficamente. Naturalmente, podemos tomar uma seqüência de pontos, construindo uma

tabela e enumerando infinitos valores x1, x2, x3, . . . , xp , . . . , e suas respectivas imagens. É claro, porém,

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Fundamentos da Matemática II

que segundo o resultado acima, todos estes, não importa quais deles tomemos, estarão sobre a mesma

reta.

Uma dica

Lembre-se do que já dissemos sobre o coeficiente linear b: ele indica

o valor da função f (x) avaliado em x = 0.

Isto equivale a dizer que o gráfico de f (x) = ax +b passa pelo ponto (0, b).x

yy = ax + b

( )0,b

( ),ba

-- 0

Queremos, agora, chamar a atenção para o inverso deste processo; isto é, dado um gráfico - neste

caso, uma reta no plano - o nosso trabalho será obter a função afim correspondente. Isto tem numerosas

e interessantes aplicações. O exemplo seguinte ilustra este fato.

Sabe-se, com base em observações, que o peso de uma criança, na faixa de

zero a seis meses, varia linearmente, isto é, o gráfico da função peso P(t) é uma

reta. Suponha que aos dois e aos cinco meses a criança apresenta o quadro ao lado:

Mês Peso

2◦ 4.450 g

5◦ 6.700 g

4.450

6.700

31 5 t (meses)

P (peso em gramas)

P2

P1

Note que isto corresponde a dois pontos no plano, a

saber,

P1(2, 4.450) e P2(5, 6.700).

Se uma reta é bem determinada por dois de seus pon-

tos, obviamente, deve ser possível, com os dados que

temos, P1 e P2, obter a expressão

f (t) = at + b,

que representa a função. Observe como podemos fazê-lo.

Da seguinte identificação y = f (t) = at + b, escrevemos:¨4.450 = a · 2 + b

6.700 = a · 5 + b

resultando no seguinte sistema de equações:¨2a + b = 4.450

5a + b = 6.700

Observe que os valores a determinar, desta vez, são os coeficientes angular e linear da função. Ao resolvê-

lo, você terá obtido a expressão que fornece o peso ideal duma criança, em função de sua idade t e seu

peso ao nascer, que é:

f (t) = 750t + 2.950.

Há, de fato, inúmeras outras situações que podem ser modeladas em termos de funções afins. Al-

iás, todo e qualquer evento que apresente variação uniforme em função do tempo ou de qualquer outro

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parâmetro x pode ser expresso mediante uma expressão do tipo f (x) = ax + b. Veremos mais outras

aplicações oportunamente.

Até agora recapitulamos a definição de função afim. Vimos as implicações de seus coeficientes angu-

lar e linear sobre o valor inicial da função, bem como seu crescimento e decrescimento. Consideramos

algumas situações que envolvem modelagem matemática em termos destas funções e, por fim, relem-

bramos interessantes aspectos sobre como representá-la graficamente e, reciprocamente, como obter sua

expressão a partir de seu gráfico. Naturalmente, não esgotamos todo este tópico. Mas esta introdução ao

assunto deve servir como um bom ponto de partida para aplicações e conceitos adicionais.

1.12 Sinal de uma Função Afim

Nos parágrafos anteriores, examinamos o gráfico de uma função afim. Deste exame, obtemos infor-

mações importantes sobre o seu sinal, isto é, quanto aos intervalos em que a função é positiva, negativa

ou nula.

Em primeiro lugar, vimos que a raiz de uma função do primeiro grau f (x) = ax + b, que corresponde ao

valor de x que anula a função, é dado pela solução da equação ax + b = 0, e corresponde a:

x = −b

a.

Para qualquer x diferente deste valor, temos que a função ou é positiva ou é negativa, conforme o

crescimento ou decrescimento da função. Considere o exemplo a seguir, em que temos uma função

crescente.

Seja f (x) = 2x − 6 uma função cuja raiz é, evidentemente, x = 3.

Seu gráfico exibimos ao lado.

Note como, para valores maiores do que x = 3, o gráfico da

função se encontra acima do eixo-x , portanto, a função é positiva.

Reciprocamente, para valores menores que 3, a função é negativa.

3 x

y

-6

3

-6

x

y

O gráfico ao lado representa desta vez, uma função decrescente:

f (x) = −2x+6; note como isto afeta a distribuição de sinais da função.

Temos que, para valores maiores do que 3 a função é, desta vez,

negativa. Isto naturalmente decorre de esta ser uma função decres-

cente.

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Fundamentos da Matemática II

O estudo do sinal de uma função afim de modo algum exige sua representação gráfica. O conhecimento

da raiz da função, e do efeito do sinal do coeficiente angular sobre seu crescimento ou decrescimento é o

bastante.

AV

A

AppletJAVA

Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de

uma função afim.

1.13 A Inversa da Função Afim

No Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) de Fundamentos de Matemática I, no capítulo sobre

funções, vimos um fato fundamental sobre funções bijetoras: elas, e apenas elas, possuem inversa. Con-

forme deve lembrar, funções bijetoras são aquelas que estabelecem uma

correspondência biunívoca entre seu domínio e seu contra-domínio. Observe como é este o caso de

uma função afim, desde que, naturalmente, não seja constante.

O modo como obtemos a inversa de uma função afim y = f (x) pode ser descrito como a seguir.

Seja y = ax + b. Desejamos, em primeiro lugar, escrever x em função de y . Isto corresponde a isolar a

variável x no primeiro membro, e pode ser feito assim:

ax + b = y

ax = y − b

x =y − b

a=

y

a− b

a.

Obtivemos, aqui, uma nova função x(y) dada pela expressão:

x(y) =1

a· y − b

a.

Não é comum escrever x como função de y . É meramente uma questão de costume entre nós. Portanto,

uma vez obtida a inversa de uma função, intercambiamos as variáveis x e y , de modo a termos y como

função de x , como se costuma escrever.

Assim, escrevemos a inversa em sua forma final:

y(x) =1

a· x − b

a.

Evidentemente, não convém decorar esta expressão. Ao contrário, em cada caso, basta que se façam

as manipulações algébricas necessárias, como ilustramos abaixo:

Seja a função f (x) = 2x + 4. Para obter sua inversa, isolamos a variável x , no primeiro membro, assim:

2x + 4 = y ⇔ 2x = y − 4 ⇔ x =y

2− 4

2.

donde

x =y

2− 2.

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Efetuando, por fim, a substituição sugerida, obtém-se:

y =x

2− 2,

que é a função inversa desejada.

1.14 Apêndice 1: Modelagem Matemática

Consideremos o caso das operadoras de telefonia, proposto inicialmente em nosso roteiro. Naquele

exemplo, ambas as operadoras cobram um valor inicial pela aquisição do aparelho, de R$ 430, 00 (Telemar)

e R$ 690, 00 (Embratel). O montante pago, no decorrer do contrato é, evidentemente, uma função do

tempo de assinatura. E, no caso das duas operadoras, varia conforme a tabela a seguir, onde indicamos

os valores até o terceiro mês; observe que, em cada coluna, na segunda linha, o valor indicado entre

parênteses corresponde precisamente ao que foi pago no mês precedente. Observe também o modo

como agrupamos e reescrevemos estes valores, na terceira linha. Queremos, com isso, tornar evidente a

expressão genérica que indica o valor da função ‘Montante’ num tempo t qualquer.

TELEMAR

Compra do aparelho 1◦ mês 2◦ mês 3◦ mês

430 430 + 70 (430 + 70) + 70 (430 + 70 + 70) + 70

430 70 + 430 70 · 2 + 430 70 · 3 + 430

Pare um pouco e pense em como completaria a tabela com os valores do 4◦ e do 5◦ mês. Qual seria o

valor obtido para o 12◦ mês?

Se você percebeu que, em cada mês, há um valor fixo (430), se observou que o valor da assinatura

mensal (70) é, em cada mês, multiplicado pelo correspondente tempo de assinatura t e, por fim, se notou

como esses valores são somados para se obter o montante respectivo, concordará com a expressão que

obtivemos para a nossa função:

f (t) = 70t + 430.

Faremos o mesmo para a operadora Embratel. Observe cuidadosamente a tabela e compare as duas

expressões obtidas.

EMBRATEL

Compra do aparelho 1◦ mês 2◦ mês 3◦ mês

690 690 + 50 (690 + 50) + 50 (690 + 50 + 50) + 50

690 50 + 690 50 · 2 + 690 50 · 3 + 690

f (t) = 50t + 690.

1.15 Apêndice 2: Crescimento e Decrescimento

Em nosso roteiro, comparamos as duas expressões:

f (t) = 70t + 430 e f1(t) = 50t + 430

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Fundamentos da Matemática II

e afirmamos que a velocidade ou taxa de crescimento ou decrescimento da primeira, em função do tempo,

é maior. Embora pareça evidente, vamos, inicialmente, ilustrar este fato de um modo bem simples. Con-

sidere a tabela abaixo, em que registramos os valores correspondentes à primeira e à segunda expressão.

f (t) = 70t + 430

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

430 500 570 640 710

f1(t) = 50t + 430

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

430 480 530 580 630

Comparando mês a mês os valores calculados em cada expressão, vemos,

conforme ilustrado na tabela ao lado, que a sua diferença aumenta em função

do tempo. Isto parece confirmar a nossa suposição de que o coeficiente angu-

lar é o que determina a taxa ou, noutras palavras, o modo de crescimento ou

decrescimento de uma função afim. Nos casos que examinamos aqui, em que

o coeficiente angular é positivo, ambas as funções são crescentes.

t |f (t) − f1(t)|0 0

1 20

2 40

3 60

4 80

Agora é a sua vez!

Preencha numa tabela seguinte, os valores correspondentes à função,

f (t) = −50t + 430,

em que mantivemos o coeficiente linear, mas tornamos o coeficiente angular negativo. Por

fim, experimente representar as três funções que examinamos aqui num mesmo sistema de

coordenadas.

Em resumo, os dados e informações obtidos ilustram e confirmam um resultado que vimos diversas

vezes no ensino médio: enquanto o coeficiente linear ‘b’, numa função afim f (x) = ax + b, indica o valor

‘inicial’ da função, avaliado em x = 0, o coeficiente angular determina o seu crescimento ou decrescimento,

isto é, a função será crescente, decrescente ou constante conforme ‘a’ seja positivo, negativo ou nulo,

respectivamente.

1.16 Exercícios Propostos

1.9. Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f , g , h, p : R → R dadas por:

f (x) = x , g(x) = 4x , h(x) = 2x e p(x) =x

2.

1.10. Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f , g , h, p : R → R dadas por:

f (x) = −x , g(x) = −4x , h(x) = −2x e p(x) = −x

2.

1.11. Construir o gráfico cartesiano das funções de R em R dadas por:

(a) y = 2x − 1

(b) y = x + 2

(c) y = 3x + 2

(d) y =2x − 3

2

(e) y = −3x − 4

(f) y = −x + 1

(g) y = −2x + 3

(h) y =4 − 3x

2

1.12. Resolver analítica e graficamente os sistemas de equações:

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(a)

¨x + y = 5

x − y = 1

(b)

¨3x − 2y = −14

2x + 3y = 4

(c)

¨2x − 5y = 9

7x + 4y = 10

(d)

¨4x + 5y = 2

6x + 7y = 4

(e)

¨x + 2y = 1

2x + 4y = 3

(f)

¨2x + 5y = 0

3x − 2y = 0

1.13. Obter a equação da reta que passa pelos pontos

(a) (1, 2) e (3,−2) (b) (2, 3) e (3, 5) (c) (1,−1) e (−1, 2) (d) (3,−2) e (2,−3)

1.14. Obter a equação da reta que passa pelo ponto:

(a) (−2, 4) e tem coeficiente angular igual a −3;

(b) (−3, 1) e tem coeficiente angular igual a −1

2;

(c) (−2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4;

(d) (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2.

1.15. Especificar, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em R.

(a) y = 1 + 5x (b) y = x + 2 (c) y = −3x − 2

1.16. Das alternativas abaixo, está correta apenas:

(a) Uma função constante é ao mesmo tempo crescente e decrescente;

(b) Se uma função afim não é crescente, então ela é decrescente.

(c) Se uma função afim não é decrescente, então ela é crescente.

(d) Se o conjunto das raízes de uma função constante não é vazio, então é infinito.

1.17. Estudar os sinais das funções, ou seja, para que valores de x a função é positiva, negativa ou nula:

(a) y = 2x + 3 (b) y = −3x + 2 (c) y = 4 − x (d) y = 5 + x

1.18. Dada a função f (x) = −2x − 5, é correto dizer que:

(a) f não tem raiz, pois o coeficiente de x é negativo;

(b) Seu gráfico intersecta o eixo 0x no ponto (−2, 0);

(c) Esta função é decrescente;

(d) Sua inversa é f −1(x) = − 1

2x− 1

5.

1.19. Para que valores de x ∈ R a função f (x) =2

3− x

3é negativa?

1.20. Determine m de modo que o gráfico da função f (x) = −2x + 4m + 5, intercepte o eixo-x no ponto de

abscissa 3.

1.21. A unidade de um certo produto fabricado por uma indústria tem custo unitário de R$ 11, 00 e sua

produção tem um custo fixo de R$ 300, 00, devido a taxas de transporte. Qual o custo de 100 unidades

desse produto?

1.22. Construa o gráfico da função:

f (x) =

(3x + 1 , se x ≥ 1

1 , se x < 1

1.23. Paulo resolveu montar uma fábrica de bolsas. Calculou que teria uma despesa de R$ 4.000, 00 com

aluguel, manutenção, máquinas, etc., e que o preço de custo de cada bolsa seria R$ 200, 00. Resolveu,

então, fixar o preço em R$ 250, 00, para a venda de cada bolsa. Determine:

(a) O menor número de bolsas que Paulo deve fabricar para não ter prejuízo

19

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Fundamentos da Matemática II

(b) A quantidade de bolsas que Paulo deverá fabricar para ter um lucro de R$ 110.000, 00

1.24. Sejam as funções f (x) = 2x + 3, g(x) = 2− 3x e h(x) =4x − 1

2definidas em R. Para que valores de

x ∈ R, tem-se:

(a) f (x) ≥ g(x)?

(b) g(x) < h(x)?

(c) f (x) ≥ h(x)?

(d) Ilustre cada item acima graficamente.

Gabarito

Questão. 1.12. (a) (3, 2). (b)�− 34

13,40

13

�. (c) (2,−1). (d) (3, 2). (e) ∅. (f) (0, 0). Questão. 1.13. (a) y = −2x + 4. (b) y = 2x − 1. (c)

y = − 3

2+

1

2. (d) y = x − 5. Questão. 1.14. (a) y = −3x − 2. (b) y = −1

2x − 1

2. (c) y = 4x + 9. (d) y = 2x + 1. Questão. 1.15. (a)

crescente. (b) crescente. (c) decrescente. Questão. 1.16. d.

Questão. 1.17. (a)

8><>: y = 0 ⇒ x = −3

2

y > 0 ⇒ x > − 3

2

y < 0 ⇒ x < − 3

2

. (b)

8><>: y = 0 ⇒ x =2

3

y > 0 ⇒ x <2

3

y < 0 ⇒ x >2

3

. (c)

(y = 0 ⇒ x = 4

y > 0 ⇒ x < 4

y < 0 ⇒ x > 4

. (d)

(y = 0 ⇒ x = −5

y > 0 ⇒ x > −5

y < 0 ⇒ x < −5

.

Questão. 1.18. c. Questão. 1.19. x > 2. Questão. 1.20. m =1

4. Questão. 1.21. R$ 1.400, 00. Questão. 1.23. (a) 80. (b) 2.280

Questão. 1.24. (a) x ≥ − 1

5. (b) x >

1

2. (c) ∀ x.

A Função Quadrática

O aparelho ao lado chama-se osciloscópio. Ele permite visualizar grafi-

camente sinais elétricos tais como voltagem e corrente elétrica.

a b t

I Suponha que ele forneça, num ponto em determinado circuito, o

seguinte sinal representado graficamente ao lado.

Este é um sinal conhecido como ‘dente de serra’ e tem diversas apli-

cações em televisão e outras formas de tratamento de imagens. Observe

atentamente o seu gráfico. Localmente, isto é, tomando-se um intervalo

adequado - digamos [a, b] - ele representa uma função afim, cujo estudo

fizemos no capítulo precedente.

Técnicos e engenheiros, em laboratório, ao lidarem com sinais alternados, isto é, variáveis como este,

buscam, freqüentemente, um sinal constante - contínuo - que forneça a mesma potência do sinal original.

Isto corresponde a obter uma equação quadrática conveniente, do tipo que já examinamos, no ensino

médio, há alguns anos. Oportunamente, em seus estudos de cálculo diferencial e integral, você aprenderá

como tratar este exemplo específico. Por ora, relembraremos alguns conceitos básicos sobre essa função

e veremos algumas de suas aplicações mais comuns.

20

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1.17 A Função Quadrática

Chamamos função quadrática à relação definida por

f (x) = ax2 + bx + c

sendo a, b e c , constantes reais, com a 6= 0.

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Embora se possa provar este fato, não o faremos

aqui. Apresentamos, porém, uma interessante propriedade que lhe serve de definição:

F

d

P

P ∈ Parábola ⇔ di st(P , d) = di st(P , F )

Considere, no plano, uma reta d e um ponto F

fora dela. Uma parábola é precisamente o conjunto

dos pontos no plano que são eqüidistantes do ponto

F e da reta d . O ponto F e a reta d são, respectiva-

mente, o foco e a diretriz da parábola. A reta perpen-

dicular à diretriz, que passa pelo foco, chamamos de

Eixo da parábola.

Como fizemos no capítulo precedente, vejamos como os coeficientes a, b, c , numa função quadrática,

determinam o seu comportamento.

Diferentemente dos coeficientes angular e linear duma função afim, as constantes a, b e c não

possuem, na teoria de funções quadráticas, uma designação especial. Elas são comumente

chamadas coeficiente de x2, coeficiente de x e termo independente, respectivamente.

A interpretação geométrica do termo independente é de to-

das, a mais evidente e, portanto, é a que trataremos agora.

Tomemos uma função f (x) qualquer, por exemplo

f (x) = x2 + 2x + 1.

Observe que ao avaliarmos o valor da função em x = 0, obte-

mos:

f (x) = (0)2 + 2(0) + 1 = 1.

-3 -1-2 x

y

1 2

1

4

y

x1

1

-1 2-2

3

5

7

Tomando uma segunda função f (x) = 2x2 + 3x + 7, e

avaliando em x = 0, temos:

f (0) = 2 · 02 + 3 · 0 + 7 = 7.

Podemos, portanto, verificar que se f (x) = ax2 + bx + c ,

então,

f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c .

21

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Fundamentos da Matemática II

Se você percebeu, nestes casos, que as duas primeiras parcelas, em x , na expressão, se anulam

em x = 0, deve-se concluir que o termo independente, ’c ’, corresponde precisamente ao valor da função

avaliado na origem. Em termos mais simples, o gráfico da função f (x) = ax2 + bx + c corta o eixo-y no

ponto (0, c). Observe, abaixo, os gráficos das duas primeiras funções.

O coeficiente de x2 tem uma interpretação um tanto mais significativa. Compare os gráficos das duas

funções e f (x) = x2 e g(x) = −x2.

Observamos que o sinal de x2 deter-

mina a concavidade do gráfico da função.

Também seu valor absoluto nos fornece

uma interessante informação: quanto

maior, mais fechada será a parábola que

a representa, e reciprocamente.x

y

f (x) = x2

x

y

g(x) = −x2

Uma vez entendida a interpretação geométrica dos coeficientes a e c numa função do segundo grau, e

sua relação com o seu gráfico, examinemos, agora os zeros, ou raízes, dessa função.

1.18 Raízes de uma Função Quadrática

Em Fundamentos de Matemática I, relembramos um algoritmo antigo, fórmula de Bhaskara, que nos

permite obter a solução de uma equação do segundo grau. Neste parágrafo, o que antes chamávamos

solução, chamaremos zeros ou raízes da função que, geometricamente, correspondem aos pontos onde o

gráfico corta o eixo-x .

Como exemplo, consideremos a função f (x) = x2 − 5x + 4. Suas raízes são obtidas resolvendo-se a

equação x2−5x +4 = 0, donde x1 = 1 e x2 = 4. Portanto, o gráfico dessa função corta o eixo-x nos pontos

(1, 0) e (4, 0).

Estas informações são, certamente, valiosas. Porém, não são suficientes para se fazer, de forma mais

precisa, o gráfico de uma função do 2◦ grau.

Outros elementos são necessários para esta construção. Um destes, bastante relevante, é o estudo

dos pontos de máximos e mínimos de uma função quadrática que, juntamente com as informações que

obtivemos acima, nos fornecerá uma idéia mais precisa de sua representação gráfica.

1.19 Extremo de uma Função Quadrática

É bastante intuitivo, ao examinarmos o gráfico de uma função f (x) do segundo grau, que seu ponto de

máximo ou mínimo ocorre quando o correspondente valor de x , que chamaremos xv se encontra no ponto

médio de suas raízes x1 e x2, isto é, quando

xv =x1 + x2

2

Recordemos as expressões de x1 e x2, dadas pela fórmula de Bhaskara:

x1 =−b +

√∆

2ae x2 =

−b −√

2a.

22

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Temos, portanto, que, em função dos coeficientes a, b e c da função, o valor de xv é dado por

xv = − b

2a.

Avaliando-se a função neste ponto, obtemos f (xv ), que corresponde ao valor de máximo ou mínimo da

função, conforme o sinal de a seja positivo ou negativo:

f (xv ) = −∆

4a

O ponto de máximo - ou mínimo - dessa função, dado por�− b

2a,−∆

4a

�é chamado vértice da parábola.

Até aqui, examinamos a expressão de uma função do 2◦ grau, e obtivemos alguns resultados que

fornecem indicações úteis sobre o seu gráfico. Condensemos, agora, essas informações no seguinte

exemplo:

Seja f (x) = x2 − 2x − 3. Do exame de seus coeficientes,

observamos que:

• Interseções com os eixos coordenados:

1. Oy : (0,−3);

2. Ox : (−1, 0) e (3, 0);

• Concavidade: voltada para cima.

• Ponto de mínimo: (1,−4).

x

y

1

1

-1 2-2

3

2

4

-4

-2

-3

-1

Para pensar

É possível que o gráfico de uma função do segundo grau não

intersecte algum dos eixos coordenados? Em que casos isso pode

ocorrer?A

VA

AppletJAVA

Observe que este conjunto de informações sobre o gráfico de uma função do 2◦ grau orienta-nos,

similarmente, quanto à sua imagem. Com efeito, se yν = f (xν) é o valor mínimo de uma função, isto, por

si, subentende o fato de que todos os demais valores assumidos pela função são maiores que yν , donde

escrevemos Im(f ) = {y ∈ R; y ≥ yν}. Claramente, se yν = f (xν) é o valor máximo da função, seu conjunto

imagem é dado por Im(f ) = {y ∈ R; y ≤ yν}.

1.20 Sinal de uma Função Quadrática

Estudar o sinal de uma função quadrática, basicamente, significa determinar o conjunto de valores de

seu domínio para os quais a função assume valor positivo, negativo ou nulo. No parágrafo acerca de zeros

ou raízes de uma função, examinamos parte desta questão. Restam, portanto, os dois outros casos. Isto,

conforme veremos, resume-se a observar a concavidade da parábola que a representa.

23

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Fundamentos da Matemática II

Considere a função f (x) = x2 − 4 cujo gráfico está exibido ao

lado.

Note, em primeiro lugar, que sua concavidade é voltada para cima

e, portanto, para valores de x situados entre as duas raízes, o valor

da função é negativo, sendo positivo nos demais intervalos.

Esta breve observação é a base da resolução de inequações do

2◦ grau, conforme veremos abaixo:

x

y

1

1

-1 2-2

3

2

4

-4

-2

-3

-1

Seja a inequação −x2 + 6x − 5 ≤ 0. O gráfico da função f (x) = −x2 + 6x − 5 pode ser visto a seguir.

x

y

1

2

4

-2

3 5

+

-- x

1 5+

--

Note as raízes desta função, bem como os intervalos onde ela assume valor negativo. Isto nos fornece

o seguinte conjunto solução para a inequação:

S = {x ∈ R ; x ≤ 1 ∨ x ≥ 5}

1.21 Aplicações

Há muitos problemas que podem ser formulados em termos de equações e funções quadráticas. Con-

sidere os seguintes:

Exemplo 1.1. Um garoto chuta uma bola obliquamente. Sabendo-se que a trajetória da bola é dada pela

função f (x) = −x2 + 9x − 8, determine a altura máxima atingida pela bola.

Solução: Apenas como ilustração, esboçamos o

gráfico da função ao lado, embora não seja isso um

requisito inicial para a resolução da questão.

O que se requer, nesse caso, é apenas determi-

nar o valor máximo da função, que pode ser obtido

por se determinar f (xv ). x

y

1

2

4 5-1

-18

4

6

8

10

12

Como vimos,

f (xv ) = f

�−b

2a

�= f

�−9

−2

�= f (4, 5) = 12, 25.

Exemplo 1.2. Duas torneiras juntas enchem um tanque em 12 horas. Uma delas, sozinha, levaria 10

horas a mais que a outra para enchê-lo. Quantas horas leva cada torneira para encher esse tanque?

24

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Solução: Convencionemos que uma das torneiras leva x horas para encher o tanque, e que a outra o

faz em x + 10 horas. Assim, em uma hora, cada torneira contribui, respectivamente, com1

xe

1

x + 10do

volume total do tanque. Como, juntas, elas enchem o tanque em 12 horas, temos que, em uma hora, elas

enchem1

12do seu volume. Segue que, podemos escrever:

1

x+

1

x + 10=

1

12

Isto resulta na equação do 2◦ grau:

x2 − 14x − 120 = 0,

cujas soluções são 20 e −6. Uma vez que não há sentido em x = −6 temos que uma das torneiras enche

o tanque em 20 horas, enchendo-o a outra em 20 + 10 + 30 horas.

Propriedade Refletora da Parábola

Há uma interessante propriedade, conhecida já há muitos séculos como “propriedade refle-

tora da parábola”, e que explicaremos aqui da seguinte maneira:

Os raios que incidem na parábola, paralelamente ao seu eixo, são refletidos para seu foco

F ; e inversamente, os raios, partindo do foco F que são incididos na parábola, são refletidos

paralelamente ao seu eixo.

F

d

Eixo F

d

Eixo

Esta propriedade faz com que a parábola tenha várias aplicações práticas. Como exemplo,

citamos as conhecidas antenas parabólicas, que concentram num aparelho receptor os débeis

sinais vindos de um satélite de televisão. Encontramos uma outra aplicação nos faróis dos

automóveis e motocicletas, que são espelhados por dentro. Colocando-se a lâmpada no foco,

seus raios são refletidos em feixes paralelos e bem regulares.

1.22 Exercícios Propostos

1.25. Determinar os zeros reais, quando existir, das funções:

25

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Fundamentos da Matemática II

(a) f (x) = x2 − 3x + 2

(b) f (x) = −x2 + 7x − 12

(c) f (x) = 3x2 − 7x + 22

(d) f (x) = x2 − 2x + 2

(e) f (x) = x2 + 4x + 4

(f) f (x) = −x2 +3

2x + 1

(g) f (x) = x2 − 2x − 1

(h) f (x) = −x2 + 3x − 4

(i) f (x) = x2 −√

2x +3

2

(j) f (x) = x2 + (1 −√

3)x −√

3

(k) f (x) = 2x2 − 4x

(l) f (x) = −3x2 + 2

(m) f (x) = 4x2 + 3

(n) f (x) = −5x2

(o) f (x) = x4 − 5x2 + 4

(p) f (x) = −x4 + 5x2 + 36

(q) f (x) = x4 − x2 − 6

(r) f (x) = x4 − 4x2 + 4

(s) f (x) = 2x4 + 6x2 + 4

(t) f (x) = −x4 + 3x2 − 3

(u) f (x) = 3x4 − 12x2

(v) f (x) = x6 − 7x3 − 8

(w) f (x) = −x2 − 9

(x) f (x) = x2 − 9x + 8

(y) f (x) = −x2 + 9x − 8

(z) f (x) = 2x2 + x − 1

1.26. Determinar os valores de m para que a função

(a) f (x) = mx2 + (2m − 1)x + (m − 2) tenha dois zeros reais e distintos;

(b) f (x) = (m − 1)x2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos;

(c) f (x) = (m + 2)x2 + (3 − 2m)x + (m − 1) tenha raízes reais;

(d) f (x) = mx2 + (m + 1)x + (m + 1) tenha um zero real duplo;

(e) f (x) = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) = 0 tenha duas raízes reais iguais;

(f) f (x) = (m + 1)x2 + (2m + 3)x + (m − 1) não tenha zeros reais.

1.27. Obter uma equação do segundo grau de raízes:

(a) 2 e −3 (b)1

2e−3

2(c) 0, 4 e 5 (d) 1 e −

√2 (e) 1 +

√3 e 1 −

√3

1.28. Estude as seguintes funções, f1(x) = −x2 +2x −1, f2(x) = x2 +3x −2 e f3(x) = 3x2 +1

2x +4, quanto

a:

(a) Intersecção com o eixo-y ; (b) Suas raízes e intersecções com o eixo-x ;

(c) Concavidade e pontos de máximo ou mínimo.

1.29. Determinar o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das

funções abaixo definidas em R.

(a) y = 2x2 + 5x

(b) y = −2x2 − 4x

(c) y = 2x2 + 4x

(d) y = −3x2 + 12x

(e) y = 4x2 − 8x + 4

(f) y = x2 − 7x

2+

5

2

(g) y = −x2 + 5x − 7

(h) y = −x2

2+

4x

3− 1

2

1.30. Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo.

1.31. Dentre todos os números reais a e b tais que 2a + b = 8 determine aqueles cujo produto é máximo.

1.32. Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.

1.33. Dentre todos os números de soma 9, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima.

1.34. Determinar os vértices das parábolas:

(a) y = x2 − 4

(d) y = −x2 +1x

2+

3

2

(b) y = −x2 + 3x

(e) y = −x2 + x − 2

9

(c) y = 2x2 − 5x + 2

(f) y = x2 − 7x

3− 2

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1.35. Determinar a imagem das seguintes funções definidas em R:

(a) y = x2 − 3x

(d) y = −4x2 + 8x + 12

(b) y = −x2 + 4

(e) y = −x2 +3x

2+ 1

(c) y = 3x2 − 9x + 6

(f) y =x2

2+ x + 1

1.36. Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em R e determinar suas imagens:

(a) y = x2 − 2x − 3

(b) y = x2 − 2x + 3

(c) y = −x2 + 2x + 3

(d) y = 4x2 − 10x + 4

(e) y = −x2 − x

2+

1

2

(f) y = −3x2 + 6x − 3

(g) y = 3x2 + 5x − 12

(h) y = x2 − 3x +9

4

(i) y = 3x2 − 4x + 2

(j) y = x2 − 3x

(k) y = −x2 + 4

(l) y = 3x2 − 9x + 6

(m) y = −4x2 + 8x + 12

(n) y = −x2 +3x

2+ 1

(o) y =x2

2+ x + 1

1.37. Em cada item da questão anterior, determinar intervalos para x em que a função é maior do que

zero e em que a função é menor do que zero.

1.38. Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião

revelou que, por cada real de aumento no preço, o restaurante perderia 10 clientes, com o consumo médio

de 500 gramas cada um. Qual deve ser o preço do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior

receita possível?

Sugestão : Inicialmente, chamemos de x o aumento no preço do quilo, em relação ao seu valor atual.

Neste caso, o preço aumentado será 12 + x reais. Conforme os dados fornecidos pelo problema, se o

preço passar de 12 para 12 + x reais, o restaurante perderá 10x clientes, pois são 10 clientes a menos por

cada real de aumento. Uma vez que o consumo médio é de 500 gramas, a sua queda correspondente

seria de 10x · 500 gramas = 5x quilos. A venda diária, então, passaria a ser 100− 5x quilos, donde a receita

seria de

R(x) = (100 − 5x) · (12 + x).

Isto resulta na função do segundo grau

f (x) = −5x2 + 40x + 1200.

Note que seu coeficiente de x2 é negativo, donde ela tem um ponto de máximo, que é o que se pede para

determinar.

1.39. Determine a função quadrática que representa o

gráfico ao lado:

x

y

1

3

1

-2

3 5-1

27

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Fundamentos da Matemática II

Gabarito

Questão. 1.25. (a) 1 e 2. (b) −3 e −4. (c) ∅. (d) ∅. (e) −2. (f) − 1

2e 2. (g) 1 −

√2 e 1 +

√2. (h) ∅. (i) ∅. (j) −1 e

√3 (k) 0 e 2. (l)

±√

6

3. (m) ∅. (n) 0. (o) −2, −1, 1 e 2. (p) ±3. (q) ±

√3. (r) ±

√2. (s) ∅. (t) ∅. (u) −2, 0 e 2. (v) −1 e 2 (w) ∅. (x) 1 e 8. (y) 1 e 8. (z)

−1 e1

2. Questão. 1.26. (a) m > − 1

4. (b) m > − 9

16. (c) m ≤ − 17

16. (d) m = −1 ou m =

1

3. (e) m = −2 ou m =

2

5. (f) m < − 13

12.

Questão. 1.27. (a) x2 + x − 6. (b) 4x2 + 4x − 3. (c) x2 − 5, 4x + 2. (d) x2 + (√

2 − 1)x −√

2. (e) x2 − 2x − 2.

Questão. 1.28. f1: (a) (0,−1); (b) 1 e (1, 0); (c) para baixo, máximo (1, 0). f2 : (b) (0,−2); (b)−3 +

√17

2e

−3 −√

17

2;�

−3 +√

17

2, 0

�e

�−3 −

√17

2, 0

�(c) para cima, mínimo

�− 3

2,−17

4

�. f3: (c) (0, 4); (b) não possui raízes; (c) para cima, mín-

imo�− 3

12,− 191

48

�. Questão. 1.29. (a) mínimo

�− 5

4;− 25

8

�. (b) máximo(−1; 2). (c) mínimo(−1; −2). (d) máximo(2; 12). (e)

mínimo(1; 0). (f) mínimo�

7

4;− 9

8

�. (g) máximo

�5

2;− 3

4

�. (h) máximo

�4

3;

7

18

�. Questão. 1.30. 4 e 4. Questão. 1.31. 2 e 4.

Questão. 1.32. b = h = 5. Questão. 1.33.9

2e

9

2Questão. 1.34. (a) (0,−4). (b)

�3

2,9

4

�. (c)

�5

4,− 9

8

�. (d)

�1

4,25

16

�(e)�

1

2,

1

36

�. (f)�

7

6,− 121

36

�. Questão. 1.35. (a)

�y ∈ R y ≥ − 9

4

©. (b) {y ∈ R y ≤ 4}. (c)

�y ∈ R y ≥ − 3

4

©. (d) {y ∈ R y ≤ 16}.

(e)�

y ∈ R y ≤ 25

16

©. (f)

�y ∈ R y ≥ 1

2

©. Questão. 1.37. (a) y > 0 ⇒ x < −1 ou x > 3; y < 0 ⇒ −1 < x < 3. (b) . (c) . (d)

y > 0 ⇒ x <1

2ou x > 2; y < 0 ⇒ 1

2< x < 2. (e) y < 0 ⇒ x < −1 ou x >

1

2; y > 0 ⇒ −1 < x <

1

2. (f) y < 0, ∀ x 6= 1.

(g) y > 0 ⇒ x < −3 ou x >4

3; y < 0 ⇒ −3 < x <

4

3. (h) y > 0, ∀ x 6= 3

2. (i) y > 0, ∀ x ∈ R. (j) y > 0 ⇒ x < 0 ou x > 3;

y < 0 ⇒ 0 < x < 3. (k) y < 0 ⇒ x < −2 ou x > 2; y < 0 ⇒ −2 < x < 2. (l) y > 0 ⇒ x < 1 ou x > 2; y < 0 ⇒ 1 < x < 2. (m)

y < 0 ⇒ x < −1 ou x > 3; y > 0 ⇒ −1 < x < 3. (n) y < 0 ⇒ x < −1

2ou x > 2; y < 0 ⇒ − 1

2< x < 2. (o) y > 0, ∀ x ∈ R.

Questão. 1.38. r$ 16, 00 Questão. 1.39. −x2 + 2x + 3.

Funções Exponenciais e Logarítmicas

Função Exponencial

2.1 Apresentação

Em Fundamentos de Matemática I, consideramos grandezas que variam proporcionalmente entre si.

Talvez recorde que duas grandezas são proporcionais quando existe entre elas uma correspondência

x 7→ y satisfazendo as seguintes condições:

(a) Quanto maior for x , maior será y , e reciprocamente;

(b) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x , então o valor correspondente de y será dobrado,

triplicado, etc.

Este é o caso de grandezas tais como peso e volume, montante e capital investido, etc.

Considere, agora, o seguinte exemplo:

Segundo a lei de resfriamento de Newton, a temperatura de

um corpo, num ambiente mantido a uma temperatura constante,

varia proporcionalmente com a diferença de temperatura entre o

corpo e o ambiente.

CORPO SALA

1a Medição 36◦ 25◦

2a Medição 30◦ 25◦

3a Medição 26◦ 25◦

Para ilustrá-lo, suponha que um perito criminalista, medindo a temperatura de um corpo, num aposento

a 25◦, obteve os valores apresentados na tabela acima.

28

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A lei de resfriamento de Newton, aplicada a este exemplo,

nos diz que na primeira medição a taxa de variação da temper-

atura entre o corpo e o ambinete era maior do que se observou

na segunda, que, por sua vez, era maior que a taxa de variação

na terceira.

É evidente, portanto, que a temperatura do corpo decresceu

com a passagem do tempo, mas não proporcionalmente. Seu

comportamento pode ser ilustrado conforme o esboço gráfico

ao lado.

1

Medidas

DT

5

11

1 2 3

Funções com este comportamento são ditas exponenciais, e são da forma

f (x) = ax .

Ela aparece naturalmente na modelagem de problemas de crescimento e decrescimento de popu-

lações, em Matemática Financeira e em outros temas que encontram larga aplicação em Medicina, Engen-

haria, etc. Antes, porém, de alguns pormenores sobre essa função, convém fazer uma breve recapitulação

de potências.

2.2 Potências

Em nossos estudos, no ensino médio e no fundamental, lidamos com expressões do tipo

30, 4−7, 515 , 7

35 , 4

√3.

Curiosamente, não poucos de nós deixamos de nos certificar de que realmente entendemos o sentido

destas expressões. De fato, se a nossa noção de potência mn começa no universo dos Naturais, como

um produto de n fatores iguais a m, que sentido haveria numa potência de expoente negativo, irracional,

fracionário, etc.? É esta a questão que abordamos agora.

2.2.1 Potência de Expoente Natural

Dados dois números naturais, a e n, não nulos, definimos an como o produto

a · a · . . . · a| {z }n fatores

Assim,32 = 3 · 3 = 9

43 = 4 · 4 · 4 = 64.

Desta definição decorrem as familiares propriedades fundamentais das potências de expoente natural.

2.2.2 Propriedades das Potências

1. am+n = am · an

29

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Fundamentos da Matemática II

2. am·n = (am)n

3. Se m < n,, então am < an, desde que a seja um número natural. Partindo deste conceito e de suas

propriedades, passaremos a definir potência de um expoente real qualquer. Manteremos, no entanto,

a seguinte preocupação: qualquer que seja a definição que estabelecermos, desejamos adequá-la

às propriedades fundamentais acima. Assim, definimos:

4. a0 = 1. Esta definição é coerente com a propriedade 1, acima, pois, se an = a0+n, então

an = a0 · an,

donde a0 = 1. Note, embora isto não seja, de algum modo, uma demonstração, ilustra como esta

definição, para potências de expoente zero, é coerente com a estrutura de definição e propriedades

que estabelecemos.

5. a−m =1

am.

Note, com esta definição, a aplicação da propriedade 1, pois,

a−m · am = a0 = 1,

donde

a−m =1

am.

Mais uma vez, porém, nós lembramos: isto não é uma demonstração. Apenas ilustra a

adequação da definição.

Podemos, agora, estender a nossa noção de potência a um expoente racional qualquer. Desejamos

definir a1n de tal modo a adequá-la à propriedade 2, acima citada. Inicialmente, recordemos que,

dados dois números naturais a e n é sempre possível obter um número real r = n√

a. Este número é,

por definição, a raiz n-ésima de a, e é único. Além disso, vale rn = a.

Observemos, agora, a propriedade 2. Se vale essa propriedade, então

a = a1 = a1n·n =

�a

1n

�n,

donde faz sentido escrever:

a1n = n

√a

Isto nos permite escrever ax , para todo x racional, pois se x =m

n, então escrevemos:

6. ax = amn = (a

1n )m = n

√am

Note como tudo o que definimos verifica e obedece às propriedades fundamentais de potências de

expoente natural, que exibimos no início. Encerraremos este parágrafo com um breve comentário sobre

potências de expoente irracional.

Como exemplo, considere a potência aπ . O expoente aqui π é irracional e, portanto, não se pode

escrever em forma fracionária. Qual é, então, o significado de aπ?

Na verdade, não é necessária uma nova definição. Basta lembrar, neste caso, que todo número irra-

cional pode ser aproximado, de forma arbitrária, por números racionais.

30

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A aproximação arbitrária a que nos referimos pode ser ilustrada por√

2, cujas melhores aproxi-

mações racionais com 1, 2, 3, . . . casas decimais são, respectivamente,

1, 41; 1, 414; e etc.

Isto sugere que podemos aproximar qualquer número irracional por números racionais tanto

quanto quisermos.

Estas observações expandem a nossa definição para potências de um expoente real qualquer, e nos

deixa bem à vontade para trabalhar com expressões do tipo ax , para quaisquer a, x ∈ R, com a > 0, a 6= 1.

2.3 Equações Exponenciais

A equação exponencial caracteriza-se pela presença da incógnita no expoente. Assim, são exemplos

de equações exponenciais:

(a) 2x = 32 (b) 5−x2+4 = 25 (c) 3x + 3x+1 − 3x−1 =11

9

Em qualquer caso, utilizaremos um fato fundamental na resolução destas equações:

Se ax = ay , então x = y .

Qualquer que seja a equação, tentaremos, de algum modo, reduzí-la a uma igualdade de potências de

mesma base.

Assim, considere o primeiro exemplo:

2x = 32.

Note que o segundo membro pode ser reduzido a uma potência de 2, pois, de fato, 32 = 25. Segue que:

2x = 32 = 25,

donde x = 5.

Resolvendo o segundo exemplo, nós temos:

5−x2+4 = 125 ⇔ 5−x2+4 = 53,

donde obtemos

−x2 + 4 = 3.

Resolvendo esta equação do 2◦ grau, obtemos x = −1, ou x = 1, e isto conclui a resolução.

Alguns exemplos só podem ser resolvidos mediante o uso de algum artifício, como no caso

3x + 3x+1 − 3x−1 =11

9.

Em primeiro lugar, note que o termo 3x é comum a todas as parcelas do primeiro membro. Então,

trataremos de colocá-lo em evidência. Utilizando as propriedades de potências, obtemos:

3x + 3x · 3 − 3x · 3−1 =11

9.

É conveniente, aqui, efetuar a seguinte substituição: y = 3x , donde y + 3y − y

3=

11

931

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Fundamentos da Matemática II

Daí, resolvendo a equação do primeiro grau, acima, obtemos:

y =1

3.

E, portanto, se 3x = y , então

3x =1

3⇒ x = −1.

Todo e qualquer exemplo de equação exponencial pode ser resolvido, quer diretamente, por se igualarem

os expoentes no primeiro e segundo membros, quer pela utilização de algum artifício, como o que ilus-

tramos acima.

Voltemos, agora, às funções exponenciais.

2.4 A Função Exponencial

Chamamos função exponencial à função definida por

f (x) = ax

onde a > 0, e a 6= 1. São exemplos de funções exponenciais:

f (x) = 2x , f (x) = (√

3)x , f (x) = ex , etc .

2.4.1 Representação Gráfica

Considere a função f (x) = 2x . Para esboçar o seu gráfico,

observe os dados da tabela abaixo.

x f (x) = 2x

−2 2−2 = 14

−1 2−1 = 12

0 20 = 1

1 21 = 2

2 22 = 4

2

x

y

4

1

3

1 2-2 -1

f(x) = 2x

Podemos fazer as seguintes observações:

(I) Para valores negativos de x , o gráfico da função se aproxima do eixo 0x , embora sem nunca tocá-lo.

Dizemos que o eixo 0x é uma assíntota do gráfico desta função.

(II) Para valores positivos de x , a função assume valores progressivamente maiores, isto é, trata-se

duma função crescente.

Para pensar

Teria isto algo a ver com o fato de a base desta função ser maior que 1?

32

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Vejamos um outro exemplo, f (x) =

�1

2

�x

.

x f (x) = 2x

−2 12

−2= 4

−1 12

−1= 2

0 12

0= 1

1�

12

�1= 1

2

2�

12

�2= 1

4

f(x) =

x1

2( )

2

x

y

4

1

3

1 2-2 -1

Note como, agora, temos uma função decrescente, o que é bem natural, uma vez que a base desta

função é um número menor que 1.

Encerramos este parágrafo com esta importante observação:

Nota 4. Dada a função exponencial f (x) = ax , f é crescente se a > 1; f é decrescente se

0 < a < 1.

Estas considerações sobre o crescimento ou decrescimento de uma função exponencial são bastante

úteis ao resolvermos inequações exponenciais.

2.5 Inequações Exponenciais

Considere a seguinte inequação:

2x > 25.

Tendo o prévio conhecimento de que a função correspondente f (x) = 2x é crescente, torna-se bastante

óbvio que o conjunto de números reais x , tais que x > 5 é solução da inequação.

Por outro lado, considere o exemplo seguinte:�1

2

�x

>

�1

2

�4

.

Sendo a função f (x) =

�1

2

�x

decrescente, isto é, se ela cresce no sentido negativo do eixo Ox , então é

evidente que a solução do problema é o conjunto de reais x , tais que x < 4.

Em resumo, a resolução de uma inequação exponencial observa o mesmo padrão e os mesmos

critérios utilizados nas resoluções de equações. Podem-se utilizar dos mesmos artifícios que ilustramos

num parágrafo anterior, atentando-se apenas para o crescimento ou decrescimento da função correspon-

dente, conforme a base em ambos os membros seja maior ou menor que 1.

33

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Fundamentos da Matemática II

2.6 Aplicações

Poderíamos encher diversos volumes com aplicações da teoria de funções exponenciais.

Como afirmado no início, suas aplicações penetram campos tão diversos quanto a Engenharia,

Biologia, Medicina, Criminalística, Medicina veterinária, Economia, Arqueologia, etc.

Nos exemplos que seguem, sugerimos que não se concentre na modelagem do

problema. Em outros termos, não estaremos preocupados em entender como se chegou à

expressão que o representa matematicamente. Faremos isto oportunamente, numa disciplina

futura. Nosso objetivo, por ora, é ilustrar as suas muitas aplicações.

Assim, examine a seguinte situação:

Suponha que um poderoso anestésico seja utilizado em guepardos por veterinários nas savanas do

Serengueti. Isto, de fato, acontece em seu trabalho de prevenção de zoonoses. Considere que:

(a) um guepardo fica anestesiado quando a concentração em sua corrente sanguínea é de, pelo

menos, 45 mg de anestésico por quilo de peso do animal;

(b) a droga é eliminada exponencialmente, com uma meia vida de 5 horas (meia vida é o tempo

necessário para que a concentração de anestésico se reduza à metade da original).

(c) a equipe de veterinários tem apenas uma hora para examinar o animal antes que passem os efeitos

da droga.

Nestas condições, e supondo que se aplique uma dose única de 2.500 mg a um guepardo de 50 kg , a

equipe poderá trabalhar em segurança?

Solução: Em primeiro lugar, note que, em 1 hora, o nível de segurança de anestésico na corrente

sanguínea do animal deve ser de

(50 · 45) mg = 2.250 mg .

Designemos por f (t) a quantidade de anestésico no tempo t. Os dados acima nos permitem modelar

o problema e obter a seguinte expressão:

f (t) = 2500 · e−0,138t .

Avaliando o valor da função f em t = 1h, obtemos

f (1) ≈ 1.090, 95 g ,

que é uma concentração menor do que seria necessária para manter o animal anestesiado durante uma

hora.

Não nos preocuparemos, aqui, com o modo como modelamos este e outros problemas en-

volvendo exponenciais. Isto será abordado com mais pormenores oportunamente. O mais

importante, neste estágio, é perceber suas muitas aplicações.

Um Segundo Exemplo

Um perito criminalista chegou à 1 h da madrugada ao local dum assassinato, tomando imediatamente

a temperatura do corpo da vítima, que era de 34, 8◦C . Uma hora mais tarde, ele tomou novamente a

34

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temperatura do corpo, obtendo 34, 1◦C . Uma testemunha afirmou que a morte se deu, precisamente,

à meia-noite. Sabendo-se que a temperatura do aposento onde se encontravam era de 20◦C , e que a

temperatura normal de uma pessoa viva é de 36, 5◦C , verifique se a testemunha disse a verdade.

Solução: Chamemos de T (t) a temperatura do corpo num tempo t, qualquer. Os dados acima nos

permitem modelar o problema e obter a seguinte expressão:

T (t) = 20 + 14, 8 · e−0,048t .

Considerando o instante da chegada da equipe de investigação 1 hora da madrugada, como referência,

isto é, como t = 0, temos, naturalmente, que o horário alegado pela testemunha corresponde a t = −1.

Calculando a temperatura correspondente a t = −1, obtemos:

T (−1) ≈ 35, 53◦C ,

donde concluímos que a morte deve ter ocorrido em algum tempo antes da meia-noite. E, portanto, a

testemunha não disse a verdade.

2.7 Exercícios Propostos

2.1. Construir os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:

(a) y = 3x (b) y =

�1

3

�x

(c) y = 10x (d) y = 10−x

2.2. Construir os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:

(a) y = 21−x (b) y = 3x+12 (c) y = 2|x| (d) y =

�1

2

�2x+1

(e) y =

�1

2

�|x|

2.3. Resolva as seguintes equações:

(a) (2x)x−1 = 4 (b)�9x+1

�x−1= 3x2+x+4 (c) 23x+2 ÷ 82x−7 = 4x−1

2.4. Em cada caso, determine o valor de x .

(a) (0, 1)x−5 = 10 (b) 10x = 10−0,2 · 4√

10 (c) 33x−1 · 93x+3 = 273−x (d) 32x − 6 · 3x = −9

(e) 125x = 0, 04 (f) 72x + 52x = 2.35x (g) 4x + 6x = 2 · 9x

2.5. Determine o conjunto solução das inequações a seguir.

(a) 251−x <1

5(b) 0, 84x2−x > 0, 83x+3 (c) 2

2x−3x−1 ÷ 32

1x+1 > 4

2.6. Se y = 10x é um número entre 1.000 e 10.000, então x está entre:

(a) −1 e 0 (b) 2 e 3 (c) 3 e 5 (d) 5 e 10 (e) 10 e 100

2.7. Se f (x) = 4x+1 e g(x) = 4x , a solução da inequação f (x) > g(2 − x) é:

(a) x > 0 (b) x > 0, 5 (c) x > 1 (d) x > 1, 5 (e) x > 2

2.8. Considere as funções (f ) = 2x e g(x) = 2x .

(a) Esboce-as num mesmo sistema de coordenadas

(b) Baseado nos gráficos do item acima, resolva a inequação 2x ≤ 2x

(c) Qual é o maior destes números: 2√

2 ou 2√

2? Por quê?

35

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Fundamentos da Matemática II

2.9. Determine os domínios das funções f (x) =√

2x − 64 e g(x) =5√

25 − 5x.

2.10. Simplificando-se a expressão350 − 348

25 − 23, obtém-se

(a)3

2(b)

9

4(c) 347 (d)

349

24

2.11. Sobre a função exponencial f (x) = ax , é correto afirmar que:

(a) Seu domínio é o conjunto dos reais positivos;

(b) A função é decrescente se o valor de for negativo;

(c) O gráfico da função não intersecta o eixo−x ;

(d) O gráfico da função não intersecta o eixo−y .

2.12. Meia vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade.

Suponha que, hoje, temos 16 gramas de uma substância radioativa, cuja meia vida é de 5 anos. Supondo

que a concentração da substância tenha um decrescimento exponencial dado por C (t) = C0 · at , e que,

daqui a t anos, sua massa será 2−111 gramas, o valor de t é:

Sugestão : Note que em t = 0, C0 = 16 e que C (5) = 8. Obtenha então a = 5

É1

2. Em seguida

resolva

16

�5

r1

2

�t

= 2−111

2.13. Calcule o valor de x que satisfaz a equação 9x = 729√

3x .

Sugestão : Inicialmente, fatore o termo 729 e, então, escreva√

3x como 3x2 . Você recairá num

daqueles casos elementares que incluímos no texto como exercícios resolvidos.

Gabarito

Questão. 2.3. (a) S = {−1, 2}. (b) S = {−2, 3}. (c) S = {5}. Questão. 2.4. (a) 4. (b)1

20. (c)

1

3. (d) 1. (e) − 2

3. (f) 0. (g) 0 Questão.

2.5. (a) S =

�x ∈ R; x >

3

2

©. (b) S =

�x ∈ R; − 1

2< x <

3

2

©. (c) S =

�x ∈ R; x < −1 ou

2

3< x < 1

©. Questão. 2.6. c.

Questão. 2.7. b. Questão. 2.8. (b) S = {x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 2}. (c) 2√

2 > 2√

2. Como√

2 ∈ (1, 2) e pelo item (b) 2x< 2x, ∀x ∈ (1, 2).

Questão. 2.9. Dom(f ) = {x ∈ R; x ≥ 6}, Dom(g) = {x ∈ R; x < 2}. Questão. 2.10. c. Questão. 2.11. c. Questão. 2.12. 575.Questão. 2.13. x = 4.

Função Logarítmica

2.8 Apresentação

No capítulo precedente consideramos o seguinte problema:

Um perito criminalista chegou à 1 h da madrugada ao local dum assassinato, tomando imediatamente a

temperatura do corpo da vítima, que era de 34, 8◦C . Uma hora mais tarde, ele tomou novamente a temper-

atura do corpo, obtendo 34, 1◦C . Uma testemunha afirmou que a morte se deu, precisamente, à meia-noite.

36

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Sabendo-se que a temperatura do aposento onde se encontravam era de 20◦C , e que a temperatura nor-

mal de uma pessoa viva é de 36, 5◦C , verifique se a testemunha disse a verdade. Reexaminemos esta

questão. Desta vez, porém, suponha que desejamos saber o momento aproximado da morte da vítima.

Como vimos, na resolução do problema, a expressão que o descreve é:

T (t) = 20 + 14, 8 · e−0,048t

O que desejamos, portanto, é obter o valor de t tal que T (t) = 36, 5◦C , que é a temperatura normal de

uma pessoa viva. Isto resulta na seguinte equação exponencial:

20 + 14, 8 · e−0,048t = 36, 5,

que resolvemos assim:

e−0,048t =36, 5 − 20

14, 8=

16, 5

14, 8.

Nos deparamos aqui com uma equação exponencial em que as bases no primeiro e segundo membros

são diferentes, de modo que não podemos recorrer ao método costumeiro de igualar os expoentes, ou

mesmo aos artifícios que vimos no capítulo precedente, para resolvê-la.

Precisamos desenvolver uma teoria diferente, embora relacionada: a teoria dos logaritmos.

Um Pouco de História

Os logaritmos foram concebidos, inicialmente, com a intenção de simplificar cálculos, devido a suas

propriedades que permitem transformar produtos em somas. Isto é de grande valor quando se tratam

números muito extensos. Em especial durante o Renascimento, com o desenvolvimento da astronomia e

as grandes navegações, os logaritmos cumpriram bem sua finalidade. Durante muitos séculos, matemáti-

cos e profissionais de outras áreas mantinham tabelas extensas de logaritmos, cujo uso foi descontinuado

apenas em tempos recentes, com o advento das calculadoras eletrônicas. Particularmente, com o desen-

volvimento do Cálculo Diferencial e Integral, percebeu-se gradualmente o amplo espectro de aplicações da

teoria dos logaritmos nos mais diversos campos. Um dos matemáticos ligados à teoria dos logaritmos foi o

escocês Jonh Napier (1550-1617), a quem devemos a expressão logaritmos neperianos ou naturais, bem

como a designação de um dos números irracionais mais freqüentes nas mais diversas aplicações dentro

e fora da Matemática: o número e, cuja aproximação, com duas casas decimais, vale 2, 71.

2.9 Logaritmos: Definição e Propriedades

Dados dois números reais a e b, com a, b > 0, a 6= 1, definimos o logaritmo de b na base a como o

número x tal que ax = b, e o representamos por

x = logb a.

O número b é chamado a base do logaritmo, enquanto o número a é o logaritmando. Assim, segundo

esta definição, temos que: log2 8 = 3, pois, 23 = 8 e log3 1 = 0, pois, 30 = 1.

Desta definição, e do que sabemos sobre potências, decorrem as seguintes propriedades:

37

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Fundamentos da Matemática II

2.9.1 Propriedades

Introduzimos a primeira propriedade mediante o seguinte exemplo: Seja x = log2 24. Utilizando a

definição, temos: 2x = 24, donde x = 4. Mais geralmente, temos:

P1. Se x = loga ay , então ax = ay , donde x = y . Assim, log3 81 = log3 34 = 4; e log5 125 = log5 53 = 3.

Uma propriedade um pouco mais evidente é:

P2. Se a é um número real, então loga 1 = 0, ∀a ∈ R.

Sua demonstração é evidente.

P3. Se x = aloga b, então x = b.

De fato, segundo a definição, podemos escrever loga x = loga b, donde x = b.

Também em conseqüência da definição, temos:

P4. Logaritmo do produto: loga(m · n) = loga m + loga n.

Para demonstrá-la, usaremos a definição para provar que aloga m+loga n = m · n. Com efeito,

a(loga m+loga n) = aloga m · aloga n = m · n.

Assim:

log3 10 = log3(2 · 5) = log3 2 + log3 5.

Observe que, respeitadas as condições de existência, não existe qualquer restrição quanto à decom-

posição do logaritmando, isto é, vale

log3 30 = log3(3 · 10) = log3 3 + log3 10

ou

log3(5 · 6) = log3 5 + log3 6.

P5. Logaritmo do quociente: loga

�m

n

�= loga m − loga n.

A demonstração desta propriedade pode ser feita de forma direta, isto é, utilizando-se diretamente a

definição, para obter

a(loga m−loga n) =aloga m

aloga n=

m

n.

P6. Logaritmo de potência: loga mp = p · loga m.

Também aqui, utilizando a definição, podemos verificar que

ap·loga m =�aloga m

�p= mp.

Ainda outra propriedade fundamental, nos diz que:

P7. loga b =1

logb a

Sua demonstração também se faz utilizando-se a definição e demais propriedades fundamentais de

potências. Observe, em primeiro lugar, que a igualdade acima é equivalente a

(loga b) · (logb a) = 1,

que provaremos assim:

a(loga b·logb a) =�aloga b

�logb a= blogb a = a,

donde

(loga b) · (logb a) = 1

38

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P8. logam n =1

mloga n

Deixaremos a demonstração desta propriedade como exercício.

A última propriedade que apresentamos, na verdade, consiste em um procedimento bastante útil em

diversas aplicações.

P9. Mudança de base: logm n =loga n

loga m

Também neste caso, podemos fazer uma aplicação direta da definição e das demais propriedades

fundamentais de potências para provar que

mloga n

loga m = n.

Omitiremos os detalhes aqui.

Esta propriedade serve a um propósito bastante freqüente. As modernas calculadoras científicas

possuem teclas que permitem calcular logaritmos nas bases 10 e e. Considere, então, o problema

de calcular log9 2. Utilizando a propriedade acima, obtemos:

log9 2 =log 2

log 9,

que é uma razão dos logaritmos de 2 e 9 na base 10.

Uma sugestão é que não decore estas propriedades. Provavelmente notou como todas elas foram

testadas utilizando-se a definição e o que sabemos sobre as propriedades fundamentais de potências.

Suponha, como exemplo, que desejamos obter o valor de x em 3x = 5. Obviamente, temos que, por

definição,

x = log3 5.

Se, porém, nós dispomos, apenas, de uma tábua de logaritmos - ou mesmo uma máquina de calcular

- com logaritmos na base 10, podemos escrever

log 3x = log 5,

donde

x · log 3 = log 5

e, portanto,

x =log 5

log 3.

2.10 Equações Logarítmicas

Como fizemos no capítulo precedente, utilizaremos aqui tanto a definição quanto as propriedades op-

eracionais de logaritmos para resolver equações. Como verá, em alguns casos, uma mera aplicação da

definição é o bastante para fornecer-nos a solução. Note os exemplos:

(a) log6 2x = 2.

Observe como, neste caso, é suficiente escrever, por definição,

62 = 2x

39

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Fundamentos da Matemática II

e, então, obtemos x = 18.

Queremos, agora, chamar-lhe a atenção para um detalhe bastante freqüente na resolução de equações

logarítmicas. Com isto em mente, queira examinar o exemplo seguinte:

(b) logx(6 − 5x) = 2

Aqui, temos que, por definição, x2 = 6 − 5x , donde x2 + 5x − 6 = 0. A equação logarítmica acima

resultou numa equação do 2◦ grau, cujas raízes são x1 = 1 e x2 = −6. Atente, apenas, à seguinte

ressalva: as raízes que obtivemos acima satisfazem à equação do segundo grau x2 + 5x − 6 = 0,

podendo, talvez, não satisfazer à equação logarítmica. E é o que acontece aqui, pois, aplicando-

se à equação logarítmica a segunda raiz, x2 = −6, deixa-se de satisfazer uma condição básica de

existência dos logaritmos: tanto a base quanto o logaritmando devem ser positivos.

Assim, antes mesmo de iniciar a resolução duma equação logarítmica, convém estabelecer as

condições de existência que as soluções porventura encontradas devem satisfazer.

O exemplo abaixo, mais que a aplicação da definição, exige a utilização de algumas das propriedades

que examinamos:

(c) log5 x − log5(2x − 1) = 1

As condições de existência nos dizem que:

(I) x > 0;

(II) 2x − 1 > 0 e, portanto, x >1

2.

Note que qualquer solução que encontrarmos deve satisfazer a ambas as condições, acima. Por outro

lado, observe que a segunda condição verifica a primeira, donde concluímos que a condição de existência

é:

x >1

2.

Esta é a condição que qualquer solução que encontrarmos deve satisfazer. A diferença de logaritmos

de mesma base nos leva a pensar na propriedade P5., logaritmo do quociente. Aplicando-a, obtemos:

log5

x

2x − 1= 1 = log5 5.

dondex

2x − 1= 5.

Desenvolvendo esta igualdade, obtemos uma equação do primeiro grau, cuja solução é x =5

9.

Como é fácil de demonstrar,5

9>

1

2e, portanto, S =

5

9.

2.11 A Função Logarítmica

Definimos função logarítmica como a função

f : R∗+ → R; f (x) = loga x , a > 0, a 6= 1.

Deve ter notado que os conceitos de potência e logaritmo estão estreitamente relacionados. Aliás, por

definição, temos que, se y = ax , então x = loga y , donde concluímos que a função logarítmica é a inversa

da função exponencial. Isto ficará bem evidente ao examinarmos, num mesmo sistema de coordenadas,

os gráficos de ambas as funções.

40

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2.12 Gráfico da Função Logarítmica

Seja a função f (x) = log3 x . Como no capítulo prece-

dente, observe que colocando-se os dados obtidos da

tabela, com valores de x e log3 x , num sistema de coor-

denadas cartesianas, podemos esboçar o gráfico de f (x).

x 13 1 3 9

f (x) = log3 x −1 0 1 2

x

y

f(x) = log x3

1 3 5 7 9

1

3

-3

-1

Observe que o gráfico desta função não intersecta o eixo das ordenadas; isto se traduz dizendo-se

que a função não está definida para x = 0, e é compatível com a nossa definição. Note, também, o seu

crescimento.

Poderíamos estabelecer alguma relação entre o cresci-

mento ou decrescimento de uma função logarítmica e o

valor de sua base? Compare o gráfico do exemplo anterior

com o da função f (x) = log 13x . Tabelando-se os valores,

podemos obter o gráfico ao lado:

x 13 1 3 9

f (x) = log 13x 1 0 −1 −2

x

y

1 3 5 7 9

1

-3

-1

3 f(x) = log x13

Desta vez, note que, similarmente, o gráfico da função não intersecta o eixo Oy ; além disso, a função

é decrescente, o que evidentemente se deve ao valor da sua base. Generalizando, podemos afirmar que:

Numa função logarítmica f (x) = loga x , f é decrescente se, e somente se, 0 < a < 1, e é crescente se,

e somente se, a > 1.

Estas condições de crescimento e decrescimento de uma função logarítmica nos permite abordar a

resolução de inequações logarítmicas.

AV

A

AppletJAVA

Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, gráficos de

funções logarítmicas.

2.13 Inequações Logarítmicas

Resolver uma inequação logarítmica observa os mesmos métodos e critérios da resolução de equações.

Também aqui se devem estabelecer, previamente, as condições de existência, como no exemplo a seguir:

(a) log2 4x < 3

41

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Fundamentos da Matemática II

Aqui, observamos, em primeiro lugar, que o logaritmando deve satisfazer 4x > 0, donde x > 0.

Quanto à resolução propriamente dita, utilizamos inicialmente o seguinte artifício:

log2 4x < 3 ⇔ log2 4x < log2 23.

Observe que escrevemos o segundo membro como um logaritmo na base 2. E sendo esta base

maior que 1, temos que a função correspondente é crescente e, portanto,

4x < 23,

que é uma inequação do primeiro grau, cuja solução são os valores de x tais que x < 2. Como esta

solução deve satisfazer a condição de existência x > 0, temos que S = {x ∈ R; 0 < x < 2}.

(b) log3(x − 1) − log9(x − 1) ≤ 1

Aqui, a condição de existência é dada por x − 1 > 0, donde obtemos x > 1. Resolvendo a in-

equação, percebemos a impossibilidade de aplicar diretamente a definição. Recorrendo, porém, às

propriedades que examinamos acima, podemos reescrever a inequação como:

log3(x − 1) − log23(x − 1) ≤ 1.

Assim,

log3(x − 1) − 1

2log3(x − 1) ≤ 1.

Pondo log3(x − 1) em evidência, temos:�1 − 1

2

�· log3(x − 1) ≤ 1

1

2log3(x − 1) ≤ 1

log3(x − 1) ≤ 2.

Logo, log3(x − 1) ≤ log3 32, donde x − 1 ≤ 9 e, portanto, x ≤ 10.

Uma vez que, pela condição de existência, x > 1, temos que a solução da inequação logarítmica é

dada pelos valores de x pertencentes ao intervalo (1, 10].

2.14 Exercícios Propostos

2.14. Calcular, pela definição, os seguintes logaritmos:

(a) log4 16

(b) log3

1

9(c) log81 3

(d) log 128

(e) log7

1

7(f) log27 81

(g) log125 25

(h) log 1432

(i) log9

1

27

(j) log0,25 8

(k) log25 0, 008

(l) log0,01 0, 001

2.15. Calcular, pela definição, os seguintes logaritmos:

(a) log2

√2

(b) log 3√7 49

(c) log1003√

10

(d) log√8

√32

(e) log√254√

125

(f) log√273√

9

(g) log 1√3

√27

(h) log 3√4

1√8

(i) log 4√

3

33√

3

2.16. Calcular a soma de S nos seguintes casos:

(a) S = log100 0, 001+ log1,549 − log1,25 0, 64

(b) S = log8

√2 + log√2 8 − log√

28

(c) S = log 3√9

È127 − log 3

√0,5

√8 + log 3√100

6√

0, 1

(d) S = log4(log3 9) + log2(log81 3) + log0,8(log16 32)

42

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2.17. Calcular o valor de.

(a) 3log3 2 (b) 4log2 3 (c) 5log25 2 (d) 8log4 5

(e) 21+log2 5 (f) 32−log3 6 (g) 81+log2 3 (h) 92−log3

√2

2.18. Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos (a > b > c > 0):

(a) log2

�2a

a2 − b2

� (b)

log3

�a2√

bc

5

È(a + b)3

�(c) logc

�c · 3

Êa(a + b)2√

b

� (d)

log

�5

Èa(a − b)2√

a2 + b2

�2.19. Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo (a > b > c > 0)?

(a) 1 + log2(a + b) − log2(a − b)

(b) 2 log(a + b) − 3 log(a) − log(a − b)

(c) 2 log(a − b) + log a − log(a + b)

(d) 2 log(a2 + b2) − 3 log(a + b) − log(a − b)

(e) 3 log(a − b) − 2 log(a + b) − 4 log b5

2.20. Calcular A = log3 5 · log4 27 · log2 5√

2.

2.21. O pH de uma solução é definido por pH = log

�1

H+

�, onde H+ é a concentração de hidrogênio em

ions-grama por litro de solução. O pH de uma solução tal que H+ = 1, 0 · 10−8 é:

(a) 7 (b) 10−8 (c) 1, 0 (d) 8 (e) 0

2.22. Sabendo que log20 2 = a e log20 3 = b, calcular log6 5.

2.23. Se logab a = 4, calcule logab

�3√

a√b

�.

2.24. Se log12 27 = a, calcule log6 16.

2.25. Para todo natural n ≥ 2, a expressão logn

�logn

n

Èn√

n�

não depende de n. Determine o valor desta

expressão.

Gabarito

Questão. 2.14. (a) 2. (b) −2. (c)1

4. (d) −3. (e) −1. (f)

4

3. (g)

2

3. (h) − 5

2. (i) − 3

2. (j) −3

2. (k) −3

2. (l)

3

2. Questão. 2.15. (a)

1

2. (b) 6.

(c)1

6. (d)

5

3. (e)

3

4. (f)

4

9. (g) −3. (h) − 9

4. (i) − 8

3. Questão. 2.16. (a) S =

�− 11

2

©. (b) S =

�1

6

©. (c) S = {2}. (d) S =

�−5

2

©.

Questão. 2.17. (a) 2. (b) 9. (c)√

2. (d) 5√

5. (e) 10. (f)3

2. (g) 216. (h)

81

2. Questão. 2.18. (a) 1 + log2 a− log2(a + b)− log2(a− b). (b)

2 log3 a +1

2log3 b +

1

2log3 c − 3

5log3(a + b). (c) 1 +

1

3logc a +

2

3logc (a + b)− 1

6logc b. (d)

1

5log a +

2

5log(a − b)− 1

2log(a2 + b2).

Questão. 2.19. (a) log2

�2

�a + b

a − b

��. (b) log

h(a + b)2

a3(a − b)

i. (c) log

ha(a − b)2

a + b

i. (d) log

h(a2 + b2)2

(a + b)2(a2 − b2)

i. (e) log

h(a − b)3

b20(a + b)2

i.

Questão. 2.20. A ∼= 9, 81. Questão. 2.21. d. Questão. 2.22.1 − 2a

a + b. Questão. 2.23.

17

6. Questão. 2.24.

12 − 4a

3 + a. Questão. 2.25.

−2.

Funções Trigonométricas e Outras

Elementares

43

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Fundamentos da Matemática II

Funções Trigonométricas

Trigonometria

A presença das funções periódicas nas nossas vidas é percebida quando, por exemplo, observamos

um eletrocardiograma, o lançamento de uma pedra no lago e sinais de ondas de rádio, etc. Estas funções

geralmente possuem em suas expressões as funções:

f (x) = sen(x), f (x) = cos(x), f (x) = tg(x),

que definem, respectivamente, as funções seno, cosseno e tangente.

Convém fazer uma breve revisão desses temas.

3.1 Relações Trigonométricas Fundamentais

Vimos, no ensino médio e fundamental, que as relações do seno, do cosseno e da tangente de um

ângulo derivam de um triângulo retângulo. Recordemos estes conceitos apenas ao ponto de podermos

introduzir as funções trigonométricas correspondentes.

Dois triângulos são semelhantes, se e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congru-

entes e os lados homólogos proporcionais, ou seja,

∆ABC ∼ ∆A′B ′C ′

m(α ≡ α′, β ≡ β′, γ ≡ γ′) ∧

�AB

A′B′= AC

A′C ′= BC

B′C ′

�em que o símbolo ‘∼’ é usado pra indicar a relação de semelhança.

a b

g

a’ b’

g’

A B

C

A’ B’

C’

Consideremos os triângulos retângulos semelhantes abaixo:

A B

C

a‘

‘‘A B

C

a

Pela semelhança escrevemos:AB

A′B ′ =AC

A′C ′ =BC

B ′C ′

ou ainda:AB

AC=

A′B ′

A′C ′ ,BC

AC=

B ′C ′

A′C ′ eBC

AB=

B ′C ′

A′B ′

44

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Observe que estas relações dependem apenas do ângulo α, e não dos comprimentos envolvidos. São,

portanto, funções de α, a que atribuímos, respectivamente, os nomes cosseno, seno e tangente.

Assim, dado um ângulo α, em que 0 < α < 90◦, definimos:

cos(α) =AB

AC, sen(α) =

BC

AC, tg(α) =

BC

AB

Portanto, as razões entre estes segmentos definem, no triângulo retângulo, as relações

trigonométricas. Os segmentos de reta AB e BC são chamados de cateto adjacente e cateto oposto

ao ângulo α e o segmento AC é chamado de hipotenusa.

Durante muito tempo, tabelas trigonométricas com os valores de cossenos, senos, e tangentes de diver-

sos arcos ou ângulos, foram utilizadas para consulta. Graças a estas tabelas que entusiastas conseguiam

estimar as medidas de segmentos que não se poderia obter de maneira direta. Por exemplo, os gregos

fizeram uma estimativa para o raio da terra, utilizando-se o raciocínio a seguir:

De uma torre bem alta com base em A e topo em B, de altura h, construía-

se, de forma imaginária, uma reta t que passava por B e um ponto C

qualquer do horizonte. Então, era feita uma estimativa da medida do ân-

gulo α formado pelas retas r e a que passa pelos pontos A e B. Como

o prolongamento do segmento AB passa pelo ponto O (centro da Terra),

obtemos assim o triângulo ∆OBC , retângulo em C , conforme ilustração ao

lado.

B

O

C

h

r

r

a

A

t

Sendo (OC = r

OB = r + h

em que r corresponde ao raio da terra. Portanto,

sen(α) =r

r + he então r =

h · sen(α)

1 − sen(α).

Desejamos, agora, estender estes conceitos a ângulos de medida qualquer. Observe que as nossas

definições, até aqui, baseiam-se todas em ângulos internos de um triângulo retângulo e, portanto, referem-

se única e exclusivamente a ângulos agudos.

Considere, então, um círculo orientado unitário, isto é, de raio r = 1, a

cujos pontos faremos corresponder à medida do ângulo α nele inscrito,

e cujo centro faremos coincidir com a origem dum sistema cartesiano de

coordenadas, como na figura ao lado.

O triângulo AOB é retângulo em A, donde podemos escrever as seguintes

relações:

sen(α) =AB

OB, cos(α) =

OA

OB, tg(α) =

AB

OA

O

B

x

a

y

A

1

45

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Fundamentos da Matemática II

Nota 5. Note que:

(i) A hipotenusa OB coincide com o raio do círculo, que possui medida 1 uc (unidade de com-

primento). Desta forma, podemos escrever, simplesmente, o seno e o cosseno do ângulo

α como:

sen(α) = AB, cos(α) = OA

(ii) Os comprimentos AB e AO coincidem com as coordenadas do ponto B, no plano, de modo

que faz sentido, então, definir:

cos(α) = xB (abscissa do ponto B)

sen(α) = yB (ordenada do ponto B)

tg(α) = sen(α)cos(α) se cos(α) 6= 0.

Isto estende os conceitos do seno, do cosseno e da tangente para ângulos de qualquer medida. No que

consideramos acima, deve ter ficado evidente que o sentido positivo, no círculo, corresponde ao sentido

anti-horário, e que o ponto A, de intersecção com o eixo das abscissas, corresponde ao ângulo α = 0.

Comumente é adotado no círculo orientado, uma outra medida para ângulos: o radiano (rad) que, a

rigor, pode ser assim definido:

A medida de um ângulo α em radianos é dada pela razão entre o

comprimento do arco ℓ determinado pelo ângulo, em um círculo

cujo centro corresponde ao vértice do ângulo, e o comprimento

do raio deste círculo, ou seja,

α =ℓ

r.

a

r

l

Num círculo de raio unitário, podemos simplificar esta definição, simplesmente, dizendo que um radiano

corresponde, no círculo, a um arco de comprimento 1.

O comprimento C de uma circunferência é dado em função de seu raio r através da seguinte relação:

C = 2πr .

Segue que a medida do ângulo em radianos correspondente a uma volta completa em torno de um

círculo é 2π, pois:

α =ℓ

r=

2πr

r= 2π.

Através de uma regra de três simples e direta, estabelecemos:

180◦ ⇔ π rad

Agora é sua vez

Pense em como escreveria, em radianos, os ângulos de 30◦, 45◦ e 60◦.

Deve ter ficado evidente haver uma correspondência entre os pontos no círculo orientado e os pontos

da reta real compreendidos entre 0 e 2π. Seria interessante estender esta correspondência de modo a

46

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abranger toda a reta. Isto, intuitivamente, pode ser conseguido fazendo-se tantas voltas no círculo quanto

necessário. Como exemplo, obter um arco de 4π rad equivale a dar duas voltas completas no círculo; 3π

rad corresponde a uma volta e meia, e assim sucessivamente.

3.2 Arcos Côngruos

Naturalmente, a correspondência que estabelecemos acima não é, de modo algum, biunívoca. De fato,

enquanto a cada número real corresponde um único ponto no círculo, temos, em contrapartida, que, a

cada ponto no círculo, estão associados infinitos números sobre a reta. Como exemplo, considere o ponto

P , abaixo.

O

P

x

y

1

p6-a=

Observe que a este ponto ficam associados todos os números reais da

formaπ

6± 2kπ,

sendo k = ±1,±2, . . ..

Veja a seguir dois arcos côngruos ao arcoπ

6, são eles:

π

6+ 2π e

π

6+ 4π.

P

x

y

1

p6-a= + 2p

P

x

y

1

p6-a= + 4p

Exprimimos este fato dizendo que a expressãoπ

6± 2kπ fornece todas as “determinações” do arco bOP .

Mais genericamente, ao arco de medida x rad correspondem todas as suas determinações (x + 2kπ) rad.

Diz-se, neste caso, que os arcos x e x + 2kπ são côngruos.

Exemplo 3.1. A primeira determinação positiva de um arco x é um arco côngruo de x que está na

primeira volta, ou seja, α é a primeira determinação positiva de x se: 0 ≤ α < 2π e x = α + 2kπ, k ∈ Z. De

acordo com esta definição, calcule a primeira determinação positiva dos arcos (a) 820◦ e (b) −4200◦.

Solução:

(a) Para o arco de 820◦ devemos obter quantas voltas completas este arco possui, pois 820◦ > 360◦. Do

algoritmo da divisão de Euclides, temos:

820◦ = 2 · 360◦ + 100◦,

obtido através do seguinte dispositivo:820◦ 360◦

100◦ 2

47

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Fundamentos da Matemática II

Isto significa que precisaremos dar duas voltas completas e mais 100◦ para completarmos o arco de

820◦. Assim, a primeira determinação positiva será 100◦.

(b) Novamente, utilizando-se o algoritmo de Euclides, temos que:

−4200◦ = −12 · 360◦ + 120◦.

Isto significa que precisaremos dar doze voltas completas, no sentido horário, mais 120◦ para com-

pletarmos o arco de −4200◦. Assim, a primeira determinação positiva será 120◦.

Exemplo 3.2. Verifique se os arcos de medidas7π

3e

19π

3são arcos côngruos.

Solução: Calculemos, portanto, a diferença D entre as medidas dos dois arcos dados:

D =7π

3− 19π

3= 4π.

Como D é um múltiplo de 2π, concluímos que os arcos dados são côngruos.

Exemplo 3.3. Marcar no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos de medidas:

xk =π

4+

2kπ

3, k ∈ Z.

Solução: Para cada valor de k , temos que

x0, x1, x2, x3, . . . são as medidas dos arcos, logo:

x0 =π

4

x1 =π

4+

3=

11π

12

x2 =π

4+

3=

19π

12

x3 =π

4+

3=

π

4+ 2π

p4

x0

2p3

2p3

x1

x2

Funções Trigonométricas

3.3 As Funções Seno e Cosseno

Começamos esta consideração examinando as relações entre os lados e ângulos de um triângulo

retângulo. Destas relações emergiram os conceitos de seno, cosseno e tangente. Estendemos, então,

estes conceitos, inicialmente, a ângulos compreendidos entre 0 e 2π e, em seguida, a arcos côngruos de

qualquer valor. Uma vez estabelecida esta correspondência entre os pontos da reta e os pontos no círculo,

podemos, então, definir, as funções seno e cosseno,

f (x) = sen(x) e f (x) = cos(x),

que atribuem a cada número real x os valores do seno e cosseno do arco correspondente, no círculo

orientado.

Para obtermos uma idéia do comportamento global destas funções, é conveniente esboçar o seu grá-

fico. Antes, porém, vale a pena lembrar que, para valores de x maiores que 2π, obtemos, no círculo, arcos

48

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côngruos da forma x +2kπ, isto é, pontos coincidentes no círculo que, naturalmente, fornecem os mesmos

valores para o seno e cosseno. Isto define as funções seno e cosseno como periódicas, de período 2π. Em

termos simples, dizemos que, a cada intervalo de comprimento 2π, os valores destas funções se repetem.

Matematicamente, escrevemos

sen(x) = sen(x + 2kπ) e cos(x) = cos(x + 2kπ)

Podemos, portanto, ter uma boa idéia do comportamento global destas funções se examinarmos seu

comportamento no intervalo [0, 2π].

Consideremos a função seno, f (x) = sen(x). Atribuindo-se valores 0,π

4,

π

2, π,

4,

2e 2π para x ,

temos a tabela de pontos:

x 0 π

2 π 5π

43π

2 2π

f (x) = sen(x) 0√

22 1 0 −

√2

2 −1 0

O seu gráfico, para valores restritos a esse intervalo é:

1

-1

f(x) = sen (x)

x2ppp2 .

3p2 .

2pPeríodo

p4 .

p4-

{sen( )p

4-

5p4 .{

sen( )5p4-

Fazendo o mesmo para a função cosseno, obtemos seu gráfico:

1

-1

f(x) = cos (x)

x2p

p

p2 .

3p2 .

2pPeríodo

49

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Fundamentos da Matemática II

Nota 6 (Paridade das funções seno e cosseno). Considere um ângulo α com extremidade no

primeiro quadrante. Naturalmente, temos que o ângulo −α está localizado no quarto quadrante,

conforme ilustração abaixo.

Como os triângulos ∆AOM e ∆BOM são congruentes, temos

que: (sen(α) = yA = −yB = − sen(−α)

cos(α) = xA = xB = cos(−α)

Portanto, a função seno é uma função ímpar, enquanto que a

função cosseno é uma função par.

a

- a

A

B

O M

AV

A

AppletJAVA Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, gráficos de

algumas funções trigonométricas.

3.4 Outras Funções Trigonométricas

As funções seno e cosseno são, dentre as funções trigonométricas, as mais elementares no seguinte

sentido: todas as demais derivam delas a sua definição. Assim, definimos abaixo as funções: tangente,

cotangente, secante e cossecante, representando, em seguida, o gráfico correspondente.

1

-1

f(x) = tg(x)

x2ppp

2 .3p2 .

pPeríodo

f (x) = tg(x) =sen(x)

cos(x)

1

-1

f(x) = cotg(x)

x2ppp

2 .3p2 .

pPeríodo

f (x) = cotg(x) =1

tg(x)=

cos(x)

sen(x)

50

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1

-1

f(x) = cossec (x)

x2p

p

p2 .

3p2 .

-p

-2pp2 .

-

3p2 .

-

2pPeríodo2pPeríodo

sen (x)

f (x) = cossec(x) =1

sen(x)

1

-1

f(x) = sec (x)

x2p

p

p2 .

3p2 .

-p-2p

p2 .

-

3p2 .

-

2pPeríodo2pPeríodo

cos (x)

f (x) = sec(x) =1

cos(x)

51

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Fundamentos da Matemática II

Nota 7 (Paridade das outras funções trigonométricas). Da paridade das funções seno e

cosseno, deduziremos a paridade das outras funções trigonométricas.

tg(−x) =sen(−x)

cos(−x)=

− sen(x)

cos(x)= − tg(x) ⇒ f (x) = tg(x) é ímpar

cotg(−x) =cos(−x)

sen(−x)=

cos(x)

− sen(x)= − cotg(x) ⇒ f (x) = cotg(x) é ímpar

cossec(−x) =1

sen(−x)=

1

− sen(x)= − cossec(x) ⇒ f (x) = cossec(x) é ímpar

sec(−x) =1

cos(−x)=

1

cos(x)= sec(x) ⇒ f (x) = sec(x) é par

3.5 Exercícios Propostos

3.1. Determine o valor do seno e do cosseno dos ângulos 510◦, −3555◦ e 4290◦.

3.2. Determine o valor do seno e do cosseno dos ângulos17π

6,

4e−35π

4.

3.3. Esboce o gráfico das seguintes funções construindo a tabela de pontos:

(a) f (x) = − sen(x)

(b) f (x) = − cos(x)

(c) f (x) = 2 sen(x)

(d) f (x) = −3 cos(x)

(e) f (x) = sen(2x)

(f) f (x) = − cos(3x)

(g) f (x) = sen�−x

2

�(h) f (x) = cos

�x

2

�3.4. Expresse em rad cada ângulo a seguir:

(a) 60◦

(b) 210◦

(c) 350◦

(d) 12◦

(e) 2◦

(f) 25◦

(g) 150◦

(h) 2120◦

(i) 330◦

3.5. Expresse em graus:

(a)10π

9

(b)11π

8

(c)π

9

(d)π

10

(e)4π

3

(f)5π

12

3.6. Calcule a principal determinação dos arcos abaixo:

(a) 1550

(b) −2165

(c) 440

(d)23π

4

(e)46π

5

(f)17π

3

Gabarito

Questão. 3.1.1

2e −

√3

2;

√2

2e

√2

2; −

√2

2e

−√

2

2. Questão. 3.2.

1

2e −

√3

2;

√2

2e

√2

2; − 1

2e

√3

2. Questão. 3.4. (a)

π

3. (b)

6.

(c)35π

18. (d)

π

15. (e)

π

90. (f)

36. (g)

6. (h)

106π

9. (i)

11π

6. Questão. 3.5. (a) 200◦. (b) 247, 5◦. (c) 20◦. (d) 18◦. (e) 240◦. (f) 75◦.

Questão. 3.6. (a) 110◦. (b) 355◦. (c) 80◦. (d)7π

4. (e)

5. (f)

3.

52

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Outras Funções Elementares

Outras Funções Elementares

4.1 Apresentação

Apresentaremos algumas funções elementares e sues gráficos, como por exemplo a função modular,

que por sua vez, nada mais é do que uma função definida por mais de uma sentença que também é

um objeto de estudo desta seção. Iremos construir os gráficos de algumas funções importantes, que

servirão para a construção de outras funções. Lembramos que a investigação e esboço de outras formas

de função será estudo numa disciplina posterior, Cálculo Diferencial I. Solicitamos ainda que consulte o

AVA (Ambiente Virtual de Aprendizagem) para ampliarmos nosso rol de gráficos com auxílio dos Applets,

possibilitando-nos, em tempo real, manipulações capazes de analisarmos gráficos em diversas formas.

4.2 Função Potência

Para cada natural n, consideremos a função f : R → R, tal que, para cada x ∈ R associa o número real

xn. Dividiremos em dois casos, conforme n seja par ou ímpar. Vejamos cada um deles.

(1) f (x) = xn, n é um natural par. Para construção de gráficos de funções desta natureza, basta notar

que: 8><>: x6 < x4 < x2 ⇔ −1 < x < 1

x6 = x4 = x2 ⇔ x = ±1

x6 > x4 > x2 ⇔ x < −1 ou x > 1

A figura ao lado apresenta, num mesmo sistema de co-

ordenadas, os gráficos das funções:

f (x) = x2, g(x) = x4, h(x) = x6.

x

y

f(x) = x²

g(x) = x 4

h(x) = x6

Observe ainda que, neste caso, as funções não apresentam imagens negativas, ou seja, seu gráfico

encontra-se todo acima do eixo-x .

(2) f (x) = xn, n é um natural ímpar. A análise é análoga à construção anterior. Ou seja:

53

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Fundamentos da Matemática II

8><>: x7 < x5 < x3 ⇔ 0 < x < 1 ou x < −1

x7 = x5 = x3 ⇔ x = ±1

x7 > x5 > x3 ⇔ −1 < x < 0 ou x > 1

A figura ao lado apresenta, num mesmo sistema de co-

ordenadas, os gráficos das funções:

f (x) = x3, g(x) = x5 e h(x) = x7.

Observe que, neste caso, as imagens das funções po-

dem assumir valores negativos, fato que não é possível

quando a potência tem expoente par.

x

y

f(x) = x³

g(x) = x 5h(x) = x

7

AV

A

AppletJAVA

Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de

uma função potência qualquer.

4.3 Funções Definidas por mais de uma Sentença

Dizemos que as funções definidas por mais de uma sentença, são as funções da forma:

f (x) =

8>>><>>>: S1(x), C1

S2(x), C2

...

Sn(x), Cn

em que cada Si(x) é uma sentença sujeita à condição Ci , ou seja, cada condição será o domínio para a

respectiva sentença. Assim,

f (x) =

8><>: −1, x < −1

x , −1 ≤ x < 1

2, x ≥ 1

é um exemplo de uma função definida por três sentenças em que S1(x) = −1, S2(x) = x e S3(x) = 2, e

suas respectivas condições: C1 : x < −1, C2 : −1 ≤ x < 1 e C3 : x ≥ 1.

Seu gráfico é facilmente construído, se olharmos para ela como sendo três funções distintas, que serão

as sentenças, com seus respectivos domínios, as condições. Veja ilustração abaixo:

54

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y

x

y

x

y

x

Unindo os gráficos acima, num mesmo sistema de coorde-

nadas, temos o gráfico da função:

f (x) =

8><>: −1, x < −1

x , −1 ≤ x < 1

2, x ≥ 1

conforme ilustra a figura ao lado

x

y

1

1

4.4 Função Modular

A função módulo, f (x) = |x |, é a função f : R → R em que a cada x ∈ R associa um único número real

|x |. Da definição de módulo (ou valor absoluto) de um número real, escrevemos:

f (x) = |x | =

(x , x ≥ 0

−x , x < 0

Gráfico: Note que a função modular é uma função definida por

sentenças. Assim, seu gráfico é obtido a partir da construção das

funções

S1(x) = x , se x ≥ 0 e S2(x) = −x , se x < 0

como a figura ao lado. x

y

-a a

a

Exemplo 4.1. Consideremos a seguinte função f (x) =��x2 − 4

��. Pela definição de módulo, dada acima,

escrevemos:

f (x) =��x2 − 4

�� =

(x2 − 4, se x2 − 4 ≥ 0

−(x2 − 4), se x2 − 4 < 0=

(x2 − 4, se x2 ≥ 4

−x2 + 4, se x2 < 4

Para construirmos o gráfico desta função, é suficiente que construamos o gráfico das funções S1(x) = x2−4

e S2(x) = −x2 + 4, sujeitas às condições C1 : x2 ≥ 4 e C2 : x2 < 4, respectivamente. Assim, será preciso

obter os intervalos em x para essas duas condições, ou seja, a solução destas inequações serão os

domínios de cada sentença.

55

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Fundamentos da Matemática II

Como solução para as inequações

C1 : x2 − 4 ≥ 0 e C2 : x2 − 4 < 0

temos, respectivamente,

x ≤ −2 ou x ≥ 2 e − 2 < x < 2.

x

+

-

+-2 2

Desta forma, reescrevemos f (x) =��x2 − 4

�� =

(x2 − 4, se x ≤ −2 ou x ≥ 2

−x2 + 4, se −2 < x < 2

Segue o gráfico abaixo

y

x2-2

S1(x) = x2 − 4,

se x ≤ −2 ou x ≥ 2

y

x2-2

S2(x) = −x2 + 4,

se − 2 < x < 2

y

x2-2

f (x) =��x2 − 4

��A

VA

AppletJAVA

Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de

algumas funções modulares.

4.5 Função Polinomial

São exemplos de funções polinomiais, as funções afins e quadráticas. Uma função polinomial, ou

simplesmente um polinômio, tem a forma:

f (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0

em que n é um número natural, e os números a0, a1, a2, . . . , an são constantes denominadas coeficientes

do polinômio.

O domínio desta função é R. Se o coeficiente do termo de maior potência é não nulo, isto é, an 6= 0,

então o polinômio é dito de grau n. Assim, por exemplo, os polinômios p(x) = 7x − 3, f (x) = −x2 + x + 1 e

g(x) = 3x5 +√

2x3 − x + 2 são polinômios de graus 1, 2 e 5, respectivamente.

Vimos que não há dificuldades em esboçar gráficos de funções polinomiais de graus um e dois. O

mesmo não se pode dizer para um polinômio de grau n ≥ 3. Na disciplina Cálculo I, veremos algu-

mas técnicas (limites e derivadas) que nos são úteis para esboçar o gráfico de uma função polinomial

de grau qualquer. No entanto, além da função potência f (x) = x3, podemos construir facilmente gráficos

de algumas funções definidas por polinômios de grau três, fatorando-os num produto de fatores lineares.

Primeiramente, um polinômio de grau 3 tem a forma

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , a 6= 0,

56

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e é também chamada função cúbica. Vamos ao exemplo.

Exemplo 4.2. Seja f (x) = x3 − 4x . Observe que x3 − 4x = x(x2 − 4) = x(x + 2)(x − 2). Então as raízes

de f são os números 0, 2 e−2. Para esboçar o gráfico, analisemos a tabela abaixo, contendo o estudo de

sinal dos fatores lineares e, portanto, de f (x):

x − 2 x x + 2 f (x)

x < −2 − − − −−2 < x < 0 − − + +

0 < x < 2 − + + −x > 2 + + + +

Assim, o gráfico tem um ponto de máximo no intervalo

(−2, 0) e um ponto de mínimo no intervalo (0, 2), nos aju-

dando a esboçar seu gráfico, conforme a figura ao lado.

Atenção : Veremos, na disciplina “Cálculo Diferencial e In-

tegral I”, que estes pontos são de mínimo e de máximo

local da função f (x).

x

y

2-2

AV

A

AppletJAVA

Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de

algumas funções polinomiais.

4.6 Função Recíproca

Uma função f : R∗ → R recebe o nome de função

recíproca quando a cada elemento x ∈ R∗ associa o ele-

mento1

x, ou seja,

f (x) =1

x, ∀ x ∈ R

∗.

Para esboçar o gráfico desta função, (figura ao lado)

basta notar que os pontos (1, 1) e (−1,−1) pertencem ao

seu gráfico, e as seguintes importantes informações:

x

y

-1 1

1

-1

(i) À medida que x cresce indefinidamente, temos que f (x) tende para 0;

(ii) À medida que x decresce indefinidamente, temos que f (x) tende para 0;

(iii) À medida que x se aproxima de 0 pela direita, f (x) cresce indefinidamente;

57

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Fundamentos da Matemática II

(iv) À medida que x se aproxima de zero pela esquerda, f (x) decresce indefinidamente.

Nota 8.

(1) No gráfico de f (x), dizemos que os eixos coordenados são, neste caso, as assíntotas ver-

tical e horizontal. (Maiores detalhes, serão vistos em Cálculo I)

(2) No curso de Geometria Analítica, disciplina fu-

tura, veremos que a expressão:

y =1

x,

equivalentemente a xy = 1, é na verdade

uma hipérbole no plano sob rotação de eixos

de um ângulo 45o, veja a figura ao lado.

Mais geralmente, para quaisquer números

A, B, C , D, E e F , veremos que equações do

tipo

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

x

y

-1 1

1

-1

uv

45º

quando possuir lugar geométrico, será uma parábola, uma elipse, uma hipérbole, uma reta

ou um par de retas.

Para as funções g(x) =1

x + 1e h(x) =

1

x − 1, procedemos de modo análogo, desde que tenhamos em

mente os domínios destas funções, que são:

Dom(g) = {x ∈ R; x 6= −1} e Dom(h) = {x ∈ R; x 6= 1}.

Com esses domínios, em relação aos ítens (iii) e (iv), exibidos acima, escreveremos para g e h, respec-

tivamente,

(iii ′) À medida que x se aproxima de −1 pela direita, temos que x + 1 se aproxima de 0, por valores

positivos e, logo, g(x) cresce indefinidamente;

(iv ′) À medida que x se aproxima de −1 pela esquerda, temos que x + 1 se aproxima de 0, por valores

negativos e, logo, g(x) decresce indefinidamente.

(iii ′′) À medida que x se aproxima de 1 pela direita, temos que x +1 se aproxima de 0 por valores positivos

e, logo, h(x) cresce indefinidamente;

(iv ′′) À medida que x se aproxima de 1 pela esquerda, temos que x + 1 se aproxima de 0 por valores

negativos e, logo, h(x) decresce indefinidamente.

Abaixo estão exibidos os gráficos das funções g(x) =1

x + 1e h(x) =

1

x − 1, respectivamente.

58

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x

y

-2

1

-1

-1x

y

-2

1

-1

1

AV

A

AppletJAVA

Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de

algumas recíprocas.

4.7 Exercícios Propostos

4.1. Transforme as funções na forma de sentenças e, em seguida, esboce seus gráficos.

(a) f (x) = |2x − 1| + 2

(b) f (x) = |x | + 2

(c) f (x) = |x | − 2

(d) f (x) = |2x − x2|

(e) f (x) = x2 − 3|x | + 2

(f) f (x) = | sen(x)|(g) f (x) = | cos(x)|(h) f (x) = k − |x − k |, k > 0

(i) f (x) =��|x − 1| + x − 3

��(j) f (x) = |x + 1| + x − 2

4.2. Esboce os gráficos das seguintes funções polinomiais.

(a) f (x) = x3 − 3x2 + 2x

(b) f (x) = x4 − 5x3 + 6x2

(c) f (x) = x4 − x2

(d) f (x) = x3 − x2 − 9x + 9

4.3. Determine os domínios e esboce os gráficos das funções a seguir.

(a) f (x) =1

x2(b) f (x) =

1

(x − 1)2(c) f (x) =

1

(x + 1)2(d) f (x) =

1

|x |

Gabarito

Questão. 4.1. (a) f (x) =

(2x + 1, se x ≥ 1

2

−2x + 3, se x <1

2

. (b) f (x) =

nx + 2, se x ≥ 0

−x + 2, se x < 0. (c) f (x) =

nx − 2, se x ≥ 0

−x − 2, se x < 0.

(d) f (x) =

n2x − x2, se 0 ≤ x ≤ 2

x2 − 2x, se x < 0 ou x > 2. (e) f (x) =

nx2 − 3x + 2, se x ≥ 0

x2 + 3x + 2, se x < 0.

(f) f (x) =

nsen(x), se 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ, k ∈ Z

− sen(x), se x < 2kπ ou x > π + 2kπ, k ∈ Z. (g) f (x) =

¨cos(x), se − π

2+ 2kπ ≤ x ≤ π

2+ 2kπ, k ∈ Z

− cos(x), se x < −π

2+ 2kπ ou x >

π

2+ 2kπ, k ∈ Z

.

(h) f (x) =

n2k − x, se x ≥ k

x, se x < k. (i) f (x) =

n2x − 4, se x ≥ 2

4 − 2x, se x < 2. (j) f (x) =

n3x − 1, se x ≥ −1

−3, se x < −1. Questão. 3.3. (a) R − {0}.

(b) R − {1}. (c) R − {−1}. (d) R − {0}.

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Fundamentos da Matemática II

Atividade Orientada

O material que abrangemos neste volume consiste, basicamente, numa revisão de conceitos e pro-

priedades já explorados no ensino médio. Considerando as muitas lacunas deixadas quando se estudam

estes tópicos, pela primeira vez, entendemos válida e plenamente justificada esta revisão. Isto, certa-

mente, confere uma visão mais geral e abrangente destes temas, além de tornar mais claras as suas

inter-relações.

Entretanto, não seria, de modo algum, adequado limitarmo-nos a uma mera revisão de conceitos.

Com este propósito, concebemos um bloco de atividades que exigem, além de um razoável conhecimento

destes temas, uma cuidadosa reflexão para sua análise e resolução. Esclarecemos que estas atividades

têm caráter, acima de tudo, educativo, embora integrem o sistema de avaliação neste curso. Desejamos-

lhe boa sorte.

5.1 Etapa 1

5.1.1. Nosso primeiro trabalho consiste num exemplo bem simples de modelagem. A situação envolve

uma operadora de telefonia e seu sistema de tarifação. Suponha que desejamos formular matematica-

mente uma expressão que forneça o valor de uma conta em função dos chamados “pulsos além franquia”.

Considere que tudo o que temos são duas contas, cada uma delas contendo os “pulsos além franquia” e

o correspondente valor cobrado, conforme a tabela seguinte. Lembre-se que o valor total da conta equivale

ao custo relativo aos “pulsos além franquia”, mais uma assinatura mensal.

Pulsos além franquia Valor total da conta

Conta 1 35 R$ 75, 00

Conta 2 65 R$ 92, 00

Supondo que a relação entre pulsos e o correspondente valor cobrado seja dada por uma função afim,

pede-se:

(a) A função correspondente a este exemplo. (b) O valor da assinatura cobrado pela operadora.

5.1.2. Uma companhia de telefones celulares oferece a seus clientes duas opções: na primeira opção,

cobra R$ 38, 00 pela assinatura mensal e mais R$ 0, 60 por minuto de conversação; na segunda, não há

taxa de assinatura, mas o minuto de conversação custa R$ 1, 10.

(a) Qual a opção mais vantajosa para um cliente que utiliza em média 1 hora de conversação mensal?

(b) A partir de quanto tempo deve-se optar pela primeira opção?

5.1.3. Há muitos anos uma professora do ensino fundamental adotava o seguinte critério como nota

de participação no bimestre: todo aluno começava com 10; quando ele deixava de fazer uma tarefa ou

apresentava um comportamento inadequado em aula, recebia um negativo, perdendo 0, 4 na nota.

(a) Qual seria a nota de participação de um aluno que recebesse 7 negativos no bimestre?

(b) Em geral, como se expressaria a nota n de participação de um aluno que recebesse x negativos?

5.1.4. Para certo automóvel considere:

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I. O consumo de combustível C (número de litros necessários para percorrer 100 km).

II. A velocidade média v (em quilômetros horários).

Determinou-se que C é uma função de v ; dada por C (v) =v2

200− 3v

5+ 26; para v entre 45 km/h e

125 km/h. Nessas condições, qual é a velocidade média correspondente a um consumo igual a 10 litros?

5.1.5. Uma malharia familiar fabrica camisetas a um custo de R$ 2, 00 por peça e tem uma despesa fixa

semanal de R$ 50, 00. Sabe-se que são vendidas x camisetas por semana ao preço de22

3− x

30reais a

unidade. Nessas condições:

(a) Obtenha a lei que define o lucro L dessa malharia.

(b) Especifique quantas camisetas deverão ser vendidas por semana para se obter o maior lucro possível.

5.1.6. Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o

início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetros, dessas

plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A

é uma reta passando por (2, 3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei

matemática y =24x − x2

12. Um esboço desses gráficos está representado na figura abaixo. Sendo assim

determine:

(a) A equação da reta que representa o crescimento da planta

A.

(b) O dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e

qual foi essa altura.

x (dias)

(altu

ra)

yPlanta A

Planta B

2

3

5.2 Etapa 2

5.2.1. A lei seguinte representa o crescimento do número de pessoas infectadas por uma gripe, em

certa metrópole: N(t) = a · 2bt , em que N(t) é o número de pessoas infectadas t dias após a realização

desse estudo e a e b são constantes reais. Sabendo que no dia em que se iniciou o estudo já havia 3.000

pessoas infectadas e que; após 2 dias, esse número já era de 24.000 pessoas, determine:

(a) Os valores das constantes a e b.

(b) O número de pessoas infectadas pela gripe após 16 horas do início dos estudos.

5.2.2. Agora, trataremos das propriedades operatórias dos logaritmos. Realize a demonstração das

propriedades listadas abaixo:

I. loga(m · n) = loga m + loga n;

II. loga

�m

n

�= loga m − loga n;

III. logab m =1

bloga m

IV. loga b =logm b

logm a:

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Fundamentos da Matemática II

Como sugestão, considere a primeira propriedade. Em sua demonstração, escreva

loga m = x e loga n = y ,

e prove, utilizando as propriedade que você conhece, que

loga m · n = x + y .

Proceda desta maneira em relação às demais propriedades, e sucesso!.

5.2.3. Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em

relação ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação:

P(t) = P(0) · 2−0,25t .

Sendo P(0) uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população t anos

após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da

inicial.

5.2.4. Daqui a t anos o valor de um automóvel será V = 2.000 · (0, 75)t reais. A partir de hoje, daqui a

quantos anos ele valerá a metade do que vale hoje? Adote log(2) = 0, 3 e log(3) = 0, 48.

5.2.5. Segundo uma pesquisa, após x meses da constatação da existência de uma epidemia, o número

de pessoas por ela atingidas é

f (x) =20.000

2 + 15 · 4−2x.

Supondo log(2) = 0, 3 e log(3) = 0, 48; daqui a quanto tempo, aproximadamente, o número de pessoas

atingidas por essa epidemia será de 2.000?

5.2.6. Um medicamento dado a um paciente entra em sua corrente sangüínea. Ao passar pelo fígado

e pelos rins, é metabolizado e eliminado a uma taxa que depende da droga. Para o antibiótico ampicilina,

aproximadamente 40% da droga é eliminada a cada hora.

(a) Qual a quantidade de ampicilina (Q), em mg , na corrente sangüínea, após t horas desde que a droga

foi dada?

(b) Qual é a meia-vida da ampicilina no corpo? (Meia-vida de Q: tempo para o qual Q se reduz a metade).

5.2.7. Uma xícara de café contém cerca de 100 mg de cafeína. A meia-vida da cafeína no corpo é de

cerca de 4 horas. Isto significa que a cafeína decai a uma taxa de 16% por hora.

(a) Descreva uma fórmula para calcular a quantidade Q de cafeína no corpo como função do número de

horas t desde que o café foi tomado e confirme que a meia vida de uma substância que decai a uma

taxa de 16% por hora é de cerca de 4 horas.

(b) Quanto tempo levará até que o nível de cafeína no corpo atinja 20 mg?

5.3 Etapa 3

Resolva as questões 5.3.1, 5.3.2 e 5.3.3, utilizando a relação fundamental sen2(x) + cos2(x) = 1.

5.3.1. Se x pertence ao segundo quadrante e sen(x) =1√26

, calcule o valor de tg(x).

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5.3.2. Se x está no segundo quadrante e cos(x) = −12

13, determine valor de sen(x).

5.3.3. Determine os valores de y de modo que satisfaçam ambas as igualdades:

sen(x) =y + 2

ye cos(x) =

y + 1

y

5.3.4. Considere que as fases da Lua sejam regidas, aproximadamente, pela função

f (d) =1

2+

1

2· sen

�d · π14

�em que f (d) corresponde à fração (em porcentagem) da superfície lunar visível iluminada no “d-ésimo” dia

de uma observação. Nessas condições, pergunta-se:

(a) De acordo com a função dada, em que dia teremos 100% de visibilidade, ou seja, lua cheia?

(b) Que fração da superfície lunar estará visível no 49◦ dia de observação?

5.3.5. O gráfico, ao lado, se refere a função f (x) = b ·cos(mx),

em que 0 ≤ x ≤ π e m 6= 0. Nessas condições, determine os

valores de b e m.

Para responder as questões 5.3.6 e 5.3.7, considere:

x

y

π

4

π

2

3

−3

É comum observarmos em casas de xerox promoções do tipo: “Até 100 cópias: R$ 0, 10 por

cópia. Acima de 100 cópias (de um mesmo original): R$ 0, 07 por cópia excedente.”

5.3.6. Sendo assim determine:

(a) O valor pago por 130 cópias de um mesmo original.

(b) A lei que define a função preço p pago pela reprodução de x cópias de um mesmo original.

5.3.7. Suponha que, durante um certo mês, a promoção tenha se estendido do seguinte modo: até 100

cópias, R$ 0, 10 por cópia; de 100 a 200 cópias de um mesmo original, R$ 0, 07 por cópia excedente e,

acima de 200 cópias de um mesmo original, R$ 0, 05 por cópia excedente. Determine:

(a) O preço pago por 230 cópias de um mesmo original.

(b) A lei que define o preço p em função do número de cópias x .

5.3.8. Construa o gráfico da função

f : R → R

x 7→

8><>: −1 − x , se x ≤ 1

2 , se 1 < x < 2

|4 − x2| , se x ≥ 2

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Fundamentos da Matemática II

Referências Bibliográficas

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Elementar. 2a edição. Rio de Janeiro: SBM, 2.002.

[2] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática . 3a edição. Campinas: Editora da UNICAMP,

2.002.

[3] LIMA, Elon Lages. Logaritmos . 2a edição. Rio de Janeiro: SBM, 1.996.

[4] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar . Vol. 1. 8a edição. São

Paulo: Atual Editora Ltda, 2.004.

[5] LIMA, Elon Lages e outros. A Matemática do Ensino Médio .

[6] LIMA, Elon Lages e outros. Matemática e Ensino . Coleção do Professor de Matemática. 2a edição.

Rio de Janeiro: SBM, 2.003.

[7] SODRÉ, Ulysses. Matemática Essencial: Ensino Fundamental, Médio e Superio r.

URL: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica>

[8] PAULO, Marques. Matemática do Científico ao Vestibular .

URL: <http://www.terra.com.br/matematica>

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Anotações

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Democratizando a educação.www.ead.ftc.br

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