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Logaritmos

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Logaritmos

1.Conceito de logaritmo

2.Antilogaritmo

3.Consequências da definição

4.Sistemas de logaritmos

5.Propriedades dos logaritmos

6.Mudança de base

3

Lembremos que no estudo de equações einequações exponenciais, feito anteriormente, sótratamos dos casos em que podíamos reduzir aspotências à mesma base.

Se quisermos resolver a equação 2x = 3,sabemos que x assume uma valor entre 1 e 2, pois21 < 2x = 3 < 22, mas com os conhecimentosadquiridos até aqui não sabemos qual é esse valornem o processo para determiná-lo.

A fim de que possamos resolver este eoutros problemas, vamos iniciar agora o estudo delogaritmos.

1. Conceito de logaritmo

4

Definição

Sendo a e b números reais e positivos, coma ≠ 1, chama-se logaritmo de b na base a oexpoente que se deve dar à base a de modo que apotência obtida seja igual a b.

Em símbolos: se a, b ∈ , 0 < a ≠ 1 e b > 0,então:


ℝ

log xa b x a b= ⇔ =

5

Em loga b = x, dizemos:

a é a base do logaritmo,

b é o logaritmando,

x é o logaritmo.


6

Exemplos


( )

( )

o 32

o 23

o 15

o 07

3 3o 2 32 2

4

22o 2

0,2

1 ) log 8 3, pois 2 8

1 12 ) log 2, pois 3

9 93 ) log 5 1, pois 5 5

4 ) log 1 0, pois 7 1

35 ) log 8 , pois 4 2 2 8

2

16 ) log 25 2, pois 0,2 5 25

5

−

−−

= =

= − =

= =

= =

= = = =

= − = = =

7

Com as restrições impostas (a, b ∈ , 0 < a≠ 1 e b > 0), dados a e b existe um único x = logab.

A operação, pela qual se determina ologaritmo de b (b ∈ e b > 0) numa dada base a(a ∈ e 0 < a ≠ 1), é chamada logaritmação e oresultado dessa operação é o logaritmo.


ℝ

ℝ

ℝ

8

Sejam a e b números reais positivos coma ≠ 1; se o logaritmo de b na base a é x, então b é oantilogaritmo de x na base a.

Em símbolos, se a, b ∈ , 0 < a ≠ 1 e b > 0,então:

2. Antilogaritmo

ℝ

log antiloga ab x b x= ⇔ =

9

Exemplos

2. Antilogaritmo

o3 3

o1 12 2

o2 2

1 ) antilog 2 9, pois log 9 2

1 12 ) antilog 3 , pois log 3

8 8

1 13 ) antilog ( 2) , pois log 2

4 4

= =

= =

− = = −

10

Exemplo 1: Calcule pela definição os seguinteslogaritmos:

2. Antilogaritmo

2

8

0,25

1a) log

8

b) log 4

c) log 32

11

Exercício 1: Calcule pela definição os seguinteslogaritmos:

2. Antilogaritmo

32

3 28

5 2 50,25

1 1a) log 2 2 2 3

8 82

b) log 4 8 4 2 2 3 23

1c) log 32 (0,25) 32 2 2 2

4

5 2 5

2

x x

x x

xx x

x x

x x x

x

x x

−

−

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ − = ⇒ = −

12

Decorrem da definição de logaritmos asseguintes propriedades para 0 < a ≠ 1, b > 0.

1o) O logaritmo da unidade em qualquer base é iguala 0.

2o) O logaritmo da base em qualquer base é igual a1.

3. Consequências da definição

log 1 0a =

log 1a a =

13

3o) A potência de base a e expoente logab é igual ab.

4o) Dois logaritmos em uma mesma base são iguaisse, e somente se, os logaritmandos são iguais.


loga ba b=

log loga ab c b c= ⇔ =

14

Exercício 2: Calcule o valor de:


( ) ( )22 2

3 3

3log 5log 5 log 53 3

1 log 4 log 41

a) 8 2 2 5 125

b) 3 3 3 3 4 12+

= = = =

= ⋅ = ⋅ =

15

Chamamos de sistema de logaritmos de basea ao conjunto de todos os logaritmos dos númerosreais positivos em uma base a (0 < a ≠ 1). Porexemplo, o conjunto formado por todos oslogaritmos de base 2 dos números reais e positivosé o sistema de logaritmos na base 2.

Entre a infinidade de valores que podeassumir a base e, portanto, entre a infinidade desistemas de logaritmos, existem dois sistemas delogaritmos particularmente importantes, que são:

4. Sistemas de logaritmos

16

a) sistema de logaritmos decimais é osistema de base 10, também chamado sistema delogaritmos vulgares ou de Briggs (Henry Briggs,matemático inglês (1556-1630), quem primeirodestacou a vantagem dos logaritmos de base 10,tendo publicado a primeira tábua (tabela) doslogaritmos de 1 a 1000 em 1617).

Indicaremos o logaritmo decimal pelanotação log10 x ou simplesmente log x.


17

b) sistema de logaritmos neperianos é osistema de base e (e = 2,71828… númeroirracional), também chamado de sistema delogaritmos naturais. O nome neperiano vem deJohn Napier, matemático escocês (1550-1617),autor do primeiro trabalho publicado sobre ateoria dos logaritmos. O nome natural se deve aofato de que no estudo dos fenômenos naturaisgeralmente aparece uma lei exponencial de base e.

Indicaremos o logaritmo neperiano pelasnotações loge x ou ln x. Em algumas publicaçõestambém encontramos as notações Lg x ou L x.


18

1o) Logaritmo do produto

Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmodo produto de dois fatores reais positivos é igual àsoma dos logaritmos dos fatores.

Em símbolos:

5. Propriedades dos logaritmos

( )< ≠ > >⋅ = +

Se 0 1, 0 e 0, então

log log loga a a

a b c

b c b c

19

Demonstração

Fazendo loga b = x, loga c = y e loga (b.c) = z,provemos que z = x + y.


( )

+

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = +⋅ = ⇒ = ⋅

log

log

log

xa

y z x y z x ya

za

b x a b

c y a c a a a a a z x y

b c z a b c

20

Observação

Esta propriedade pode ser estendida para ocaso do logaritmo do produto de n (n ≥ 2) fatoresreais e positivos, isto é:

Se 0 < a ≠ 1 e b1, b2, b3, …, bn ∈


( )⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + +… …1 2 3 1 2 3log log log log loga n a a a a nb b b b b b b b

ℝ

21

Exemplos


( )( )

⋅ = +

⋅ ⋅ = + +

o5 5 5

o4 4 4 4

1 ) log 3 4 log 3 log 4

2 ) log 2 3 5 log 2 log 3 log 5

22

2o) Logaritmo do quociente

Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmodo quociente de dois números reais positivos éigual à diferença entre o logaritmo do dividendo eo logaritmo do divisor.

Em símbolos:


< ≠ > >

= −

Se 0 1, 0 e 0, então

log log loga a a

a b c

bb c

c

23

Demonstração

Fazendo loga b = x, loga c = y e loga (b/c) = z,provemos que z = x - y.


−

= ⇒ == ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = −

= ⇒ =

log

log

log

xa x

y z z x ya y

za

b x a ba

c y a c a a a z x ya

b bz a

c c

24

Exemplos


( )

( ) [ ]

= −

⋅ = ⋅ − = + −

= − ⋅ = − + ⋅

= − −

o5 5 5

o

o

21 ) log log 2 log 3

3

2 32 ) log log 2 3 log5 log2 log3 log5

5

23 ) log log2 log 3 5 log2 log3 log5

3 5

log2 log3 log5

25

Cologaritmo

Chama-se cologaritmo de um número b(b ∈ e b > 0), numa base a (a ∈ e 0 < a ≠ 1), aooposto do logaritmo de b na base a.

Em símbolos:


< ≠ >= −

Se 0 1 e 0, então

colog loga a

a b

b b

ℝ ℝ

26

Exemplos


= −

= −

= − = +

o2 2

o2 2

o

1 ) colog 5 log 5

1 12 ) colog log

3 3

23 ) log log2 log3 log2 colog3

3

27

3o) Logaritmo da potência

Em qualquer base a (0 < a ≠ 1), o logaritmode uma potência de base real positiva e expoentereal é igual ao produto do expoente pelo logaritmoda base da potência

Em símbolos


Se 0 1, 0 e , então

log loga a

a b

b bα

αα

< ≠ > ∈= ⋅

ℝ

28

Demonstração

Fazendo loga b = x e loga b α = y, provemosque y = α . x.


( )log

log

xa y x y x

ya

b x a ba a a a y x

b y a b

α αα α

α⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

= ⇒ =

29

Exemplos


o 53 3

1o 3 3

5 5 5

o 42 2 24

1 ) log 2 5 log 2

12 ) log 2 log 2 log 2

31

3 ) log log 3 4 log 33

−

= ⋅

= = ⋅

= = − ⋅

30

As propriedades

válidas com as devidas restrições para a, b e c, nospermitem obter o logaritmo de um produto, de umquociente ou de uma potência, conhecendo somenteos logaritmos dos termos do produto, dos termosdo quociente ou da base de potência.

5.1. Observações

( )a

a

a

1 ) log log log

2 ) log log log

3 ) log log

a a a

a a a

a a

b c b c

bb c

c

b bα α

⋅ = +

= −

= ⋅

31

Notemos a impossibilidade de obter ologaritmo de uma soma ou de uma diferença pormeio de regras análogas às dadas. Assim, paraencontrarmos

loga(b + c) e loga(b - c)

devemos, respectivamente, calcular inicialmente(b + c) e (b – c).

5.1. Observações

32

As expressões que envolvem somente asoperações de multiplicação, divisão e potenciaçãosão chamadas expressões logarítmicas, isto é,expressões que podem ser calculadas utilizandologaritmos, com as restrições já conhecidas.Assim, por exemplo, a expressão

em que a, b, c ∈ , α, β ∈ e n ∈ , pode sercalculada aplicando logaritmos.

5.1. Observações

na bA

c

α

β⋅=

*+ℝ ℝ

*ℕ

33

Veja o exemplo abaixo:

5.1. Observações

( )

1

log log

log log log

log log log log

log log log log

1log log log log

n n

n

n

n

a b a bA A

c c

A a b c

A a b c

A a b c

A a b cn

α α

β β

α β

α β

α β

α β

⋅ ⋅= ⇒ =

= ⋅ −

= + −

= + −

= ⋅ + ⋅ − ⋅

34

Exercício 3: Desenvolva, aplicando aspropriedades dos logaritmos (a, b e c são reaispositivos):

5.1. Observações

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

3 23 2 4

3 3 34

3 2 43 3 3

3 3 3

2a) log log (2 ) log

log 2 log log log

1 log log log

b) log log ( ) log

log log log

3log 2log 4log

abab c

c

a b c

a b c

a ba b c

c

a b c

a b c

= − =

= + + − == + + −

= − =

= + − == + −

35

Exercício 3: Desenvolva, aplicando aspropriedades dos logaritmos (a, b e c são reaispositivos):

5.1. Observações

( )( )

33 2

2

3 2

13 2 2

c) log log log

log log log

log log log

1 3log 2log log

2

aa b c

b c

a b c

a b c

a b c

= − =

= − + =

= − − =

= − −

36

Exercício 4: Qual é a expressão cujo desenvol-vimento logarítmico é:

5.1. Observações

2 2 2

2 2 2 2

22 2 2

22 2

2 2

2

1 log log 2log

log 2 log (log 2log )

log (2 ) (log log )

log (2 ) log ( )

2log

2A expressão é

a b c

a b c

a b c

a bc

abc

abc

+ − − == + − + =

= − + =

= − =

=

2 2 21 log log 2log ( , e são reais positivos)a b c a b c+ − −

37

Há ocasiões em que logaritmos em basesdiferentes precisam ser convertidos para umaúnica base conveniente como, por exemplo, naaplicação das propriedades operatórias.

Vejamos o processo que permite converter ologaritmo de um número positivo, em uma certabase, para outro em base conveniente.

6. Mudança de base

38

Se a, b e c são números reais positivos e a ec diferentes de 1, então tem-se:

6. Mudança de base

loglog

logc

ac

bb

a=

39

Demonstração

Consideremos loga b = x, logc b = y e logc a =z e notemos que z ≠ 0, pois a ≠ 1.

Provemos que x = y/z.

6. Mudança de base

( )log

log

log

xa

xy z x yc

zc

b x a by

b y c b c a b c zx y xz

a z c a

= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = = = ⇒ = ⇒ == ⇒ =

40

Exemplos

6. Mudança de base

o3

23

2

o2

102

10

o100

10100

10

1 ) log 5 convertido para a base 2 fica:

log 5 log 5

log 3


log 7 log 7

log 2


log 3 l log 3

log 100

=

=

= = 1010

og 3 1log 3

2 2= ⋅

41

Exercício 5: Sabendo que e ,calcule .

6. Mudança de base

3030 30 30 30

1030 30 30

30

30 30Notando que 2 e 10 , temos:

3 5 3

30log

log 2 log 30 log 3 log 53 5log 2

30log 10 log 30 log 3log3

1

1a b

a

= =⋅

− −⋅ = = = =

−

− −=−

30log 3 a= 30log 5 b=10log 2

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