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Aula 10 - Revisão

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Lembrete:

31/08/17 - Prova 01

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• Escalares• Vetores

– Operações com vetores

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Vetores– Operações com vetores

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ATENÇÃOSomente a projeção ortogonal ao eixo (ou seja, perpendicular ao eixo) corresponde à componente do vetor.

Componente de um Vetor

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Componente de um Vetor

IMPORTANTE!Para cada coordenada temos um e somente um versor associado. O versor serve para indicar o sentido positivo da coordenada a qual o versor está associado.

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Multiplicação de Vetor por um escalar

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Produto escalar

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Produto Vetorial

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Produto Vetorial

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Condição de equilíbrio de uma partícula

Para manter o equilíbrio, é necessário satisfazer a primeira lei do movimento de Newton:

onde ΣF é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícula.

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Para satisfazer essa equação é necessário que:

ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣFz = 0

Sistemas de forças tridimensionais

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Vetor unitário

Qualquer vetor pode ser representado por um vetor unitário de mesma direção e sentido de magnitude igual a 1 multiplicado por um escalar de magnitude igual ao módulo do vetor de interesse.

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Momento de uma força – formação escalar

Quando uma força é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência de rotação do corpo em torno de um ponto que não estána linha de ação da força. Essa tendência de rotação algumas vezes é chamada de torque, mas normalmente é denominada momento de uma força, ou simplesmente momento.

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Intensidade

A intensidade do momento é: MO = Fd ,

onde d é o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha de ação da força.

As unidades da intensidade do momento consistem da força vezes a distância, ou seja, N ∙ m ou lb ∙ ft.

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Formulação do vetor cartesiano

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Formulação do vetor cartesiano

Para obter o produto vetorial de quaisquer vetores cartesianos A e B, é necessário expandir um determinante cuja primeira linha de elementos consiste dos vetores unitários i, j e k; e a segunda e terceira linhas são as componentes x, y, z dos dois vetores A e B, respectivamente.

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Podemos usar qualquer vetor posição r medido do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação da força F. Assim,

Princípio da transmissibilidade

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Formulação do vetor cartesiano

Se estabelecermos os eixos coordenados x, y, z, então o vetor posição r e a força F podem ser expressos como vetores cartesianos:

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Momento de uma força sobre um eixo especificado

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Análise escalar

Em geral, para qualquer eixo a, o momento é:

Ma = Fda

Análise vetorial

My = j ∙ MO = j ∙ (r × F)

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Essa combinação é chamada de produto triplo escalar.

Análise vetorial

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Uma vez que Ma é determinado, podemos expressar Ma como um vetor cartesiano, a saber,

Análise vetorial

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Momento de um binário

Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma intensidade, mas direções opostas, e são separadas por uma distância perpendicular d.

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Portanto, o momento do binário em relação a O é

M = rB × F + rA × –F = (rB – rA) × F

Entretanto, rB = rA + r ou r = rB – rA, tal que

M = r × F

Momento de um binário

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Simplificação de um sistema de forças e binários

Se F for aplicado perpendicularmente ao bastão, como na Figura 4.35a, então podemos conectar um par de forças F e –F iguais e opostas no ponto B (Figura 4.35b). A força F agora é aplicada em B, e as outras duas forças, F em A e –F em B, formam um binário que produz o momento de binário M = Fd (Figura 4.35c).

(a) (b)

(c)