Cálculo I Professor Hans

Aula 2: Funções -Teoria

Funções Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-

se função (ou aplicação) de A em B, representada por

f : A B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que

associa a cada elemento de A, um único elemento de

B. Portanto, para que uma relação de A em B seja

uma função, exige-se que a cada x A esteja

associado um único y B, podendo entretanto

existir y B que não esteja associado a nenhum

elemento pertencente ao conjunto A.

Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é

imagem de x pela função f, ou seja:

y está associado a x através da função f.

Para definir uma função, necessitamos de dois

conjuntos (Domínio e Contradomínio) e de uma

fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do

domínio a um e somente um elemento do

contradomínio. Quando D(f) (domínio) R e

D(f)(contradomínio) R, sendo R o conjunto dos

números reais, dizemos que a função f é uma função

real de variável real.

Representação de Funções Dada uma função f : A B definida por y =

f(x), podemos representar os pares ordenados (x,y)

f onde xA e yB, num sistema de coordenadas

cartesianas. O gráfico obtido será o gráfico de f.

Assim:

a) a projeção da curva sobre o eixo dos x, fornece o

domínio da função.

b) a projeção da curva sobre o eixo dos y, fornece o

conjunto imagem da função.

c) toda reta vertical que passa por um ponto do

domínio da função, intercepta o gráfico da função em

no máximo um ponto.

Tipos de Funções Função Sobrejetora

É aquela cujo conjunto imagem é igual ao

contradomínio.

.

Exemplo:

Função Injetora

Uma função y = f(x) é injetora quando elementos

distintos do seu domínio, possuem imagens distintas,

isto é: x1 x2 f(x1) f(x2) .

Exemplo:

Função Bijetora

Uma função é dita bijetora, quando é injetora e

sobrejetora ao mesmo tempo.

Exemplo:

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Função de 1º grau Chama-se função polinomial do 1º grau, ou

função afim, a qualquer função f de IR em IR dada

por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são

números reais dados e a 0. A função afim y = ax + b

é uma reta.

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente

angular da reta e, como veremos adiante, a está

ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear

da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o

coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a

reta corta o eixo Oy.

Zero e Equação do 1º Grau

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º

grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x)

= 0.

Crescimento e Decrescimento

A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente

quando o coeficiente de x é positivo (a > 0).

A função do 1º grau f(x) = ax + b é

decrescente quando o coeficiente de x é

negativo (a < 0).

Equação da Reta

Dados dois pontos 1 1,x y e 2 2,x y a equação

da reta que passa por esses pontos é dada por

1 1

2 2

1

1 0

1

x y

x y

x y

Função Quadrática Chama-se função quadrática, ou função polinomial

do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax

2 + bx + c, onde a, b e c são números

reais e a 0. O gráfico de uma função polinomial do 2º

grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada

parábola.

Nota-se que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade

voltada para cima;

se a < 0, a parábola tem a concavidade

voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º

grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x

tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax2

+ bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 +

bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula

de Bhaskara:

2

bx

a

com 2 4b ac

A quantidade de raízes reais de uma função

quadrática depende do valor obtido para o radicando

, chamado discriminante, a saber:

Quando é positivo, há duas raízes reais e

distintas;

Quando é zero, há só uma raiz real (para ser

mais preciso, há duas raízes iguais);

Quando é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada

para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a

parábola tem concavidade voltada para baixo e um

ponto de máximo V. Em qualquer caso, as

coordenadas de V são ,2 4

b

a a

.

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Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax

2 + bx + c, a

0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há

duas possibilidades:

1ª - quando a > 0, Im4

y ya

2ª - quando a < 0, Im4

y ya

Função Modular Chamamos de função modular a função

definida por

Assim, a função modular é uma função definida

por duas sentenças.

Função Exponencial Chamamos de funções exponenciais aquelas

nas quais temos a variável aparecendo em expoente.

A função f:IR→IR+ definida por

( ) xf x a

com a IR+ e a1, é chamada função exponencial

de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR

(reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos,

maiores que zero).

Gráfico da Função Exponencial

Temos 2 casos a considerar:

quando a > 1.

f(x) é crescente e Im=IR

+ para quaisquer x1 e x2 do

domínio: x2>x1 y2>y1.

quando 0 < a < 1.

f(x) é decrescente e Im=IR

+para quaisquer x1 e x2 do

domínio: x2>x1 y2<y1.

Função Logarítmica A função f:IR

+→IR definida por

( ) logaf x x

com a1 e a>0, é chamada função logarítmica de

base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+

(reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio

é IR (reais).

Gráfico Cartesiano Da Função Logarítmica

Temos 2 casos a considerar:

quando a > 1

, se 0( ) ( )

, se 0

x xf x x ou f x

x x

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f(x) é crescente e Im=IR para quaisquer x1 e x2 do

domínio: x2>x1 y2>y1.

quando 0 < a < 1

f(x) é decrescente e Im=IR para quaisquer x1 e x2 do

domínio: x2>x1 y2<y1.

Podemos observar que

a) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;

b) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto

(1,0). A raiz da função é x=1;

c) y assume todos os valores reais, portanto o

conjunto imagem é Im=IR.

Propriedades dos Logaritmos

Sejam 0a , 1a e 0b

log x

a b x b a

log 1 0a

log 1a a

loga ba b

log x

a a x

log . log loga a ab c b c

log log loga a a

bb c

c

log logn

a ab n b

1log logn aa

b bn

loglog

log

ca

c

bb

a

10log logb b

ln logeb b

Funções Trigonométricas São funções angulares, importantes no estudo

dos triângulos e na modelação de fenômenos

periódicos. Podem ser definidas como razões entre

dois lados de um triângulo retângulo em função de

um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de

coordenadas de pontos na circunferência

trigonométrica.

Circunferência Trigonométrica

Consideremos uma semi-reta OA, tal que o

comprimento do segmento OA seja unitário.

Escolhemos também um referencial cartesiano tal

que o semi-eixo x positivo coincida com a semi-reta

OA e o semi-eixo y positivo seja obtido girando a

semi-reta OA no sentido anti-horário, de 90o ou

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radianos.

Dado um número real x, associamos a ele o ponto

P=P(x) no círculo unitário, de tal modo que o

comprimento do arco AP é x unidades de medida de

comprimento, ou seja, a medida do arco AP é x

radianos.

Logo, temos que ˆAOP vale

o180 x

Função Seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a

relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo

x, denotado pelo número real sen(x).

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A função é denotada por

( ) sen( )f x x

Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x),

é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.

Propriedades da função seno 1. Domínio: A função seno está definida para

todos os valores reais, sendo assim

Dom(sen)=R.

2. Imagem: O conjunto imagem da função seno

é o intervalo I={y em R: -1<y<1}.

3. Periodicidade: A função é periódica de

período 2 . Para todo x em R e para todo k

em Z.

Função Cosseno

Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a

relação que associa a cada x em R o número real

cos(x).

Esta função é denotada por

( ) cos( )f x x

Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a

projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal

OX.

Propriedades da função cosseno 1. Domínio: A função cosseno está definida para

todos os valores reais, assim Dom(cos)=R.

2. Imagem: O conjunto imagem da função

cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}.

3. Periodicidade: A função é periódica de

período 2 . Para todo x em R e para todo k

em Z.

Função Tangente

Como a tangente não existe para arcos da forma

(k+1) /2 onde k está em Z, estaremos considerando o

conjunto dos números reais diferentes destes valores.

Definimos a função tangente como a relação que

associa a este x real, a tangente de x.

A função é denotada por:

( ) ( )f x tg x

Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).

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Propriedades 1. Domínio: Como a função cosseno se anula

para arcos da forma /2+k , onde k em Z,

temos Dom(tan)={x em R: x diferente de

/2+k }.

2. Imagem: O conjunto imagem da função

tangente é o conjunto dos números reais,

assim I=R.

3. Periodicidade A função é periódica e seu

período é .

Função Cossecante

Como a cossecante não existe para arcos da forma k

onde k em Z, estaremos considerando o conjunto dos

números reais diferentes destes valores. Definir a

função cossecante como a relação que associa a este x

real, a cossecante de x.

A função é denotada por:

( ) cossec( )f x x

Gráfico: O segmento OU mede cossec(x).

Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2 ,

sen(x) se aproxima de zero e a fração 1/sen(x) em

valor absoluto, tende ao infinito.

Propriedades 1. Domínio: Como a função seno se anula para

arcos da forma k , onde k em Z, temos

Dom(cossec)={x em R: x diferente de k }.

2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio

da cossecante, temos que csc(x)<-1 ou

cossec(x)>1, assim o conjunto imagem da

cossecante é dado pelos conjuntos:

Im(cossec)={y em R: y < -1 ou y > 1}.

3. Periodicidade: A função é periódica e seu

período é 2 .

Função Secante

Como a secante não existe para arcos da forma

(2k+1) /2 onde k em Z, estaremos considerando o

conjunto dos números reais diferentes destes valores.

Definimos a função secante como a relação que

associa a este x real, a secante de x.

A função é denotada por:

( ) sec( )f x x

Gráfico: O segmento OV mede sec(x).

Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3

/2, cos(x) se aproxima de zero e a fração 1/cos(x) em

valor absoluto, tende ao infinito.

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Propriedades 1. Domínio: Como a função cosseno se anula

para arcos da forma /2+k , onde k em Z,

temos Dom(sec)={x em R: x é diferente de

(2k+1) /2}.

2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio

da secante, temos que sec(x) < -1 ou sec(x)

1, assim o conjunto imagem da secante é dado

pelos conjuntos: Im(sec)={y emR: y < -1 ou

y 1}.

3. Periodicidade A função é periódica e seu

período é 2 .

Função Cotangente

Como a cotangente não existe para arcos da forma

(k+1) onde k é um inteiro, estaremos considerando

o conjunto dos números reais diferentes destes

valores. Definimos a função cotangente como a

relação que associa a cada x real, a cotangente de x.

A função é denotada por:

( ) cotg( )f x x

Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).

Observando no gráfico o que ocorre quando a medida

do arco AM está próxima de (ou - ), podemos

verificar que o gráfico da função cotangente cresce

muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai

ficando cada vez mais horizontal e a sua intersecção

com a reta s vai se tornando muito longe.

Propriedades 1. Domínio: Como a função seno se anula para

arcos da forma +k , onde k em Z, temos

Dom(cotg)={x em R:x diferente de (k+1) }.

2. Imagem: O conjunto imagem da função

cotangente é o conjunto dos números reais,

assim I=R.

3. Periodicidade A função é periódica e seu

período é .

Relações Trigonométricas Importantes

2 2sen cos 1x x

2 2sec tg 1x x

2 2cossec cotg 1x x

sen(x)

tgcos(x)

x

1sec

cosx

x

1cossec

senx

x

1

cotgtg x

x

Função Arco-Seno

A função inversa do seno com 1,1Dom ,

denotada por arcsen, é definida como:

( ) ( ) ,2 2

y arcsen x x sen y e y

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Função Arco-Cosseno

A função inversa do cos com 1,1Dom ,

denotada por arccos, é definida como:

arccos( ) cos( ) 0,y x x y e y

Função Arco-Tangente

A função inversa da tangente com Dom ,

denotada por arctg, é definida como:

( ) ( ) ,2 2

y arctg x x tg y e y

Função Arco-Cotangente

A função inversa da cotangente com Dom ,

denotada por arccotg, é definida como :

arccotg( ) cotg( ) 0,y x x y e y

Função Arco-Secante

A função inversa da secante com

( , 1] [1, )Dom , denotada por arcsec, é

definida como:

sec( ) sec( ) 0, ,2 2

y arc x x y e y

Função Arco-Cossecante

A função inversa da cossecante com

( , 1] [1, )Dom , denotada por arccossec ,

é definida como:

arccossec( ) cossec( ) ,0 0,2 2

y x x y e y