números reais (1)

André Gustavo Campos Pereira

Viviane Simioli Medeiros Campos

Análise Real

Números reais

Autores

aula

03

D I S C I P L I N A

Material APROVADO (conteúdo e imagens)( g ) Data: ___/___/___

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Secretária de Educação a DistânciaVera Lucia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância – SEDIS

Pereira, André Gustavo Campos.

Análise real / André Gustavo Campos Pereira, Viviane Simiolli de Medeiros Campos. – Natal, RN: EDUFRN, 2009.

196 p.

ISBN:

Conteúdo: Aula 01 – Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções; Aula 02 – Conjuntos fi nitos e enumeráveis; Aula 03 – Números reais; Aula 04 – Sequências de números reais; Aula 05 – Desigualdades, operações com sequências e limites infi nitos; Aula 06 – Séries numéricas; Aula 07 – Limite de funções; Aula 08 – Funções contínuas; Aula 09 – Funções deriváveis; Aula 10 – Máximos e mínimos.

1. Análise matemática. 2. Enumerabilidade. 3. Limite. 4. Continuidade. 5. Derivadas. I. Campos, Viviane Simiolli de Medeiros. II. Título.

CDD 515RN/UF/BCZM 2009/66 CDU 517

Aula 03 Análise Real 1

Apresentação

N a aula 02 - Conjuntos Finitos e Enumeráveis estudamos várias propriedades dosconjuntos , e , por exemplo, que eles são infinitos e enumeráveis. Nesta aulairemos estudar o conjunto dos números reais . Vamos entender o que significa

ser um corpo ordenado completo. Será que , e também são corpos ordenadoscompletos? E é infinito e enumerável? Resumindo, qual a diferença e qual a relação entreesses conjuntos?

ObjetivosEsperamos que ao final desta aula você seja capazde argumentar o que significa ser um corpo serordenado completo. Saiba demonstrar e aplicar al-gumas propriedades dos números reais bem como

VERSÃO DO PROFESSOR

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Aula 03 Análise Real2

Definições e operaçõesNo conjunto dos números reais, que indicaremos por estão definidas duas oper-

ações:

1. Adição: Que a cada par de elementos x, y ∈ faz corresponder x + y ∈ .

2. Multiplicação: Que a cada par de elementos x, y ∈ faz corresponder x.y ∈ .

E estas operações definidas em satisfaçam aos seguintes axiomas:

Associatividade: Para quaisquer x, y, z ∈ tem-se:

(x + y) + z = x + (y + z) e (xy)z = x(yz);

Elementos neutros: Existem em dois elementos distintos 0 e 1 tais que:

x + 0 = x e x.1 = x;

Comutatividade: Para quaisquer x, y ∈ , tem-se:

x + y = y + x e x.y = y.x;

Inversos: Todo x ∈ possui inverso aditivo −x ∈ tais que x + (−x) = 0 e se x �= 0,existe também um inverso multiplicativo x−1 ∈ tal que x.x−1 = 1.

Distributividade: Para quaisquer x, y, z ∈ , tem-se x(y + z) = xy + xz.

A todo conjunto que tem bem definida estas duas operações satisfazendo todas as pro-priedades acima chamamos de corpo, sendo assim, é um corpo.

Atividade 1Verifique se no conjunto dos números naturais as operações de adição e multiplicação

estão bem definidas e conclua se N é um corpo ou não.

Atividade 2Verifique se o conjunto dos números inteiros Z é um corpo.

Atividade 3Verifique se o conjunto dos números racionais Q é um corpo.



Vamos demonstrar, nos exemplos a seguir, usando o fato de que é um corpo, váriaspropriedades dos números reais, todas conhecidas e muito utilizadas.

Exemplo 1Mostre que x.0 = 0,∀x ∈ .

Seja x ∈ . Temos x = x.1, pela existência do elemento neutro na multiplicação, ex.1 = x(1 + 0), pela existência do elemento neutro na adição. Pela distributividade, temosx(1 + 0) = x.1 + x.0 = x + x.0 ⇒ x = x + x.0. Somando (−x) em ambos os membros,temos x + (−x) = x + (−x) + x.0 ⇒ 0 = x.0. Logo, x.0 = 0,∀x ∈ .

Exemplo 2Mostre que se xy = 0, então ou x = 0 ou y = 0.

Suponhamos y �= 0. Assim, ∃y−1 ∈ tal que yy−1 = 1. Logo,

xy = 0 ⇒ (xy)y−1 = 0y−1 ⇒ x(yy−1) = 0 ⇒ x = 0.

O caso é análogo para x �= 0.

A soma x + (−y) será indicada por x − y e chamada diferença entre x e y. Se y �= 0,o produto xy−1 será representado por x

y e chamado quociente de x por y.

A operação que a cada par x, y ∈ associa x−y será chamada subtração, e a operaçãoque a cada par x ∈ , y ∈ − {0} associa

x

yserá chamada divisão.

Observação 1

Note quex

ysó fará sentido se y �= 0, pois

x

y= xy−1, e só existe y−1 para y �= 0.

Exemplo 3Mostre que o inverso aditivo de um número real é único.

Suponha que x ∈ possua dois inversos aditivos y, z ∈ . Logo, x + y = 0 ex + z = 0. Assim,

x + y = 0 = x + z ⇒ (x + y) + y = (x + z) + y

⇒ 0 + y = (x + y) + z = 0 + z

⇒ y = z.

∴ o elemento inverso aditivo é único.




Exemplo 4Mostre que o inverso multiplicativo de um número real é único.

Seja x ∈ , x �= 0 e y, z ∈ tais que xy = 1 e xz = 1. Assim,

xy = xz ⇒ (xy)y = (xz)y ⇒ y = xyz = z.

∴ o elemento inverso multiplicativo é único.

Exemplo 5Mostre que x(−y) = −(xy).

xy+x(−y) = x(y+(−y)) = x0 = 0, ou seja, xy+x(−y) = 0. Logo, pela unicidadedo elemento inverso, temos x(−y) = −(xy).

Exemplo 6Mostre que −(−x) = x.

Note que −(−x) é o inverso aditivo de −x. Como −x + x = 0, temos x = −(−x),pela unicidade do inverso aditivo.

Exemplo 7Mostre que x = y ⇔ −x = −y.

Inicialmente, mostremos que x = y ⇒ −x = −y.

x + (−x) = 0 ⇒ y + (−x) = 0 ⇒ y + (−y) + (−x) = 0 + (−y) ⇒ −x = −y.

Para mostrar que −x = −y ⇒ x = y, basta observar que

−x = −y ⇒ −(−x) = −(−y) ⇒ x = y.

Exemplo 8Mostre que (x − y)(x + y) = x2 − y2.

x2 − y2 = xx− yy = xx + xy − xy − yy = x(x− y) + y(x− y) = (x− y)(x + y).

Exemplo 9Mostre que se x2 = y2, então x = y ou x = −y.

x2 + (−y2) = y2 + (−y2) = 0 ⇒ x2 − y2 = 0 ⇒ (x − y)(x + y) = 0.

Disso, temos (x − y) = 0 ⇒ x = y ou (x + y) = 0 ⇒ x = −y.



OrdenaçãoNo conjunto dos números reais existe um subconjunto, que denotaremos por + chama

conjunto dos números reais positivos que cumpre as seguintes condições:

i. A soma e o produto de números reais positivos são positivos, ou seja, se x, y ∈ +,então x + y ∈ + e xy ∈ +.

ii. Dado x ∈ , exatamente uma das três situações abaixo ocorre:

1. x = 0;

2. x ∈ +;

3. −x ∈ +.

Indicando − = {−x ∈ |x ∈ +} = {x ∈ |−x ∈ +}, pela propriedade 2 temos= − ∪ + ∪ {0}, e essa união é disjunta. − é chamado conjunto dos números reais

negativos, ou seja, os números y ∈ − são chamados números reais negativos.

Exemplo 10Mostre que todo número real x �= 0 tem quadrado positivo.

x ∈ − {0} ⇒ x ∈ + ou x ∈ −.

Se x ∈ +, então x.x ∈ +, ou seja, x2 ∈ +.

Se x ∈ −, então −x ∈ + e, conseqüentemente, (−x)(−x) = x.x = x2 ∈ +.

Garantida a existência de +, temos bem definida em a seguinte relação de ordem:

Dizemos que x é menor que y e escrevemos x < y quando x−y ∈ +, isto é, quandoexiste z ∈ + tal que y = x + z; neste caso, escreveremos também y > x e dizemos que y

é maior que x.

Em particular,x > 0 significa que existe z ∈ + tal que x = 0 + z = z ∈ +,isto é, se x > 0, então x é positivo, enquanto x < 0 significa que ∃z ∈ + tal que0 = x + z ⇒ 0 + (−z) = x + z + (−z) ⇒ −z = x + (z + (−z)) = x + 0 = x, isto é, sex < 0, então x é negativo.

Valem as seguintes propriedades da relação de ordem x < y em :

Transitividade: Se x < y e y < z, então x < z.




Tricotomia: Dados x, y ∈ , ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: x = y,x < y ou x > y.

Monotonicidade da adição: Se x < y, então, para todo z ∈ , tem-se x + z < y + z.

Monotonicidade da multiplicação: Se x < y, então, para todo número real z > 0, tem-sexz < yz; porém, se z < 0, tem-se xz > yz.

Vamos demonstrar duas dessas propriedades:

Monotonicidade da adição

Demonstração

Se x < y, então, para todo z ∈ , tem-se x + z < y + z.

Hipótese: x < y ⇒ ∃w ∈ + tal que y = x + w.

Tese: z ∈ ⇒ x + z < y + z ⇔ ∃z′ ∈ tal que y + z < x + z + z′.

Por hipótese, temos x < y, ou seja, ∃w ∈ + tal que y = x + w. Assim, y + z =x + w + z ⇒ y + z = x + z + w ⇒ x + z < y + z.

Monotonicidade da multiplicação

Demonstração

Se x < y, então, para todo número real z > 0, tem-se xz < yz; porém, se z < 0,tem-se xz > yz.

Caso 1: z > 0.

Hipóteses: x < y e z > 0.

Tese: xz < yz.

De x < y, existe w ∈ + tal que y = x + w, e de z > 0, existe p ∈ + taisque z = 0 + p. Assim, y − x ∈ + e z ∈ +, que implicam z(y − x) ∈ +, isto é,zy − zx ∈ + ⇒ zy − zx > 0 ⇒ zy > zx.

Caso 2: z < 0.

Hipóteses: x < y e z < 0.

Tese: xz > yz.

De x < y e z > 0, temos y − x ∈ R+ e −z ∈ + ⇒ (y − x)(−z) ∈ + ⇒−yz + xz ∈ + ⇒ xz − yz ∈ + ⇒ xz > yz.



Atividade 4Mostre que a relação de ordem x < y é transitiva.

Atividade 5Mostre que vale a tricotomia da relação de ordem x < y.

Exemplo 11Mostre que se x < x′ e y < y′, então x + y < x′ + y′.

De x < x′ e y < y′, temos x′ − x ∈ + e y′ − y ∈ +. Assim,

x′ − x + y′ − y ∈ + ⇒ x′ + y′ − (x + y) ∈ + ⇒ x′ + y′ > x + y.

Exemplo 12Mostre que se 0 < x < x′ e 0 < y < y′, então xy < x′y′.

Por hipótese, temos as seguintes informações:

De x ∈ + e y′ − y ∈ +, temos x(y′ − y) ∈ +, e de y′ ∈ + e x′ − x ∈ +,temos y′(x′ − x) ∈ +. Logo,

x(y′ − y) + y′(x′ − x) ∈ + ⇒ xy′ − xy + y′x′ − y′x ∈ +

⇒ y′x′ − xy ∈ + ⇒ y′x′ > xy.

Exemplo 13Mostre que se x > 0, então

1x

> 0.

Sabemos que x > 0 ⇒ x �= 0 ⇒ x2 ∈ +. Assim,

x−1 = 1.x−1 = xx−1x−1 = x(x−1)2 ∈ + ⇒ x

x2∈ + ⇒ 1

x∈ + ⇒ 1

x> 0.

Atividade 6Mostre que se x < 0, então

1x

< 0.




Exemplo 14Mostre que se 0 < x < y, então 0 <

1y

<1x

.

De x > 0, temos x−1 > 0, ou seja, x−1 ∈ +. Analogamente, de y > 0, temosy−1 ∈ +. Assim, x−1y−1 ∈ +.

Como x < y, por hipótese, temos:

x(x−1y−1) < y(x−1y−1) ⇒ (xx−1)y−1 < (yy−1)x−1 ⇒ y−1 < x−1.

Vamos mostrar que o conjunto dos números reais contém outros conjuntos numéri-cos conhecidos.

O exemplo 10 afirma que o quadrado de qualquer número real diferente de zero é posi-tivo portanto 1 = 12 ∈ +, ou seja, 1 é positivo. Note que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < · · · ,ou seja, 1 + 1 ∈ +, 1 + 1 + 1 ∈ +,... , e podemos concluir que ⊂ +. Mas + ⊂ ,portanto ⊂ .

Sabemos que 0 ∈ e acabamos de ver que todo número natural é um número real, ouseja, n ∈ implica em n ∈ . Como é um corpo, temos que n possui um inverso aditivo−n ∈ e podemos concluir que ⊂ .

Também podemos afirmar que ={m

n| m ∈ , n ∈ − {0}

}⊂ . Acabamos de

ver que todo número inteiro também é um número real, portanto, m ∈ . Como n ∈ −{0},então n ∈ − {0}; assim, ∃n−1 ∈ e mn−1 ∈ o que implica em

m

n∈ . Logo, para

todo q =m

n∈ , temos q ∈ , isto é, ⊂ .

Com isso, concluímos que � � ⊂ . Mais adiante veremos que � .

Exemplo 15Desigualdade de Bernoulli

Para todo número real x ≥ −1 e todo n ∈ , tem-se (1 + x)n ≥ 1 + nx.

Seja x um número real qualquer tal que x ≥ −1, ou seja, x = −1 ou x > −1.

Inicialmente, mostremos por indução que, para x = −1, a desigualdade é verdadeira,



isto é, para todo n ∈ , tem-se:

(1 + (−1))n ≥ 1 + n(−1) ⇒ 0 ≥ 1 − n.

Para n = 1, temos 1 − 1 = 0 ≤ 0, isto é, a desigualdade é verdadeira. Suponhamosque para n = k a desigualdade é verdadeira, ou seja, 0 ≥ 1 − k. Para n = k + 1, temos:

1 − (k + 1) = 1 − k − 1 < 1 − k ≤ 0 ⇒ 1 − (k + 1) ≤ 0.

Logo, a desigualdade também vale para n = k + 1 e, portanto, 0 ≥ 1 − n, ∀n ∈ .

Agora, mostremos a desigualdade para x > −1, também por indução.

Para n = 1, temos (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1.x, ou seja, a desigualdade é válida.Suponhamos que a desigualdade é válida para n = k, isto é, (1 + x)k ≥ 1 + kx. Paran = k + 1, temos:

(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x)

= 1 + x + kx + kx2 = 1 + (k + 1)x + kx2

> 1 + (k + 1)x.

Logo, (1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x, ou seja, a desigualdade também é válida paran = k + 1. Assim, para x > −1, tem-se (1 + x)n ≥ 1 + nx,∀n ∈ .

Portanto, concluímos que

(1 + x)n ≥ 1 + nx,∀n ∈ , x ≥ −1.

Agora que sabemos o que significam x > 0 e x < 0, podemos definir o valor absoluto(ou módulo) de um número real:

|x| =

⎧⎪⎨⎪⎩

x, se x > 0;0, se x = 0;−x, se x < 0.

Note que |x| = max{x,−x}, pois:

a. se x > 0, então −x < 0 e max{x,−x} = x = |x|;

b. se x < 0, então −x > 0 e max{x,−x} = −x = |x|;

c. se x = 0, então −x = 0 e max{x,−x} = 0 = |0|.




Proposição 1

Para x ∈ , tem-se −|x| ≤ x ≤ |x|.

Demonstração

De |x| = max{x,−x}, temos:

|x| ≥ x e |x| ≥ −x ⇒ |x| ≥ x e − |x| ≤ x ⇒ −|x| ≤ x ≤ |x|.

Exemplo 16|x| é o único número maior que ou igual a zero tal que |x|2 = x2.

Que |x| ≥ 0 segue da definição. Para mostrar que |x|2 = x2, basta observar que

|x|2 = |x||x| =

{xx, se x ≥ 0;−x(−x), se x < 0.

De qualquer maneira, temos |x|2 = x2,∀x ∈ .

Agora, suponha que exista y ≥ 0, tal que y2 = x2. Logo,

y2 = x2 ⇒ y2 = x2 = |x|2 ⇒ y2 = |x|2 ⇒ y = |x| ou y = −|x|.

Não pode ocorrer y = −|x| ≤ 0 (para y �= 0) pois y ≥ 0. Portanto, y = |x|, ou seja,|x| é o único número maior que ou igual a zero tal que |x|2 = x2´.

Atividade 7Mostre que se x, y ≥ 0 e x2 = y2, então x = y.

Teorema 1

Se x, y ∈ , então |x + y| ≤ |x| + |y| e |xy| = |x||y|.

Demonstração

Sejam x, y ∈ . Sabemos que |x| = max{x,−x} ⇒ |x| ≥ x e que |y| = max{y,−y}|y| ≥ y. Assim, |x|+ |y| ≥ x+y. De modo análogo, temos |x| ≥ −x e |y| ≥ −y, e também|x| + |y| ≥ −x − y = −(x + y). Logo,

|x|+ |y| ≥ x + y e |x|+ |y| ≥ −(x + y) ⇒ |x|+ |y| ≥ max{x + y,−(x + y)} = |x + y|.



Agora, vamos mostrar que |xy| = |x||y|. Note que |x| ≥ 0 e |y| ≥ 0 ⇒ |x||y| ≥ 0 eque |xy| ≥ 0. Sabemos também que:

|xy|2 = (xy)2 = (xy)(xy) = x2y2 = |x|2|y|2 = (|x||y|)2 ⇒ |xy| = |x||y|.

Teorema 2

Sejam a, x ∈ e δ ∈ +. Tem-se:

|x − a| < δ ⇔ a − δ < x < a + δ.

Demonstração

Parte 1. |x − a| < δ ⇒ a − δ < x < a + δ.

Hipóteses: a, x ∈ , δ ∈ + e |x − a| < δ.

Tese: a − δ < x < a + δ.

Da hipótese, temos:

|x − a| < δ ⇒ max{x − a,−(x − a)} < δ

⇒ x − a < δ e − (x − a) < δ

⇒ x − a < δ e x − a > −δ

⇒ x < δ + a e x > a − δ

⇒ a − δ < x < a + δ.

Parte 2. a − δ < x < a + δ ⇒ |x − a| < δ.

Hipóteses: a, x ∈ , δ ∈ + e a − δ < x < a + δ.

Tese: |x − a| < δ.

Da hipótese, temos:

a − δ < x < a + δ ⇒ a − δ < x e x < a + δ

⇒ x − a > −δ e x − a < δ

⇒ −(x − a) < δ e x − a < δ

⇒ max{x − a,−(x − a)} < δ

⇒ |x − a| < δ.



Aula 03 Análise Real

x

12

Atividade 8Mostre que se a, x ∈ e δ ∈ +, então

|x − a| > δ ⇒ x < a − δ ou x > a + δ.

Usaremos as seguintes notações para representar tipos especiais de conjuntos de númerreais chamados intervalos:

1. [a, b] = {x ∈ |a ≤ x ≤ b}.

2. (a, b] = {x ∈ |a < x ≤ b}.

3. [a, b) = {x ∈ |a ≤ x < b}.

4. (a, b) = {x ∈ |a < x < b}.

5. (−∞, b] = {x ∈ |x ≤ b}.

6. (−∞, b) = {x ∈ |x < b}.

7. [a,+∞) = {x ∈ |x ≥ a}.

8. (a,+∞) = {x ∈ |x > a}.

9. (−∞, +∞) = .

Os intervalos 1, 2, 3 e 4 são limitados com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado,[a, b) é fechado à esquerda e aberto à direita, (a, b] é fechado à direita e aberto à esquerda, e(a, b) é aberto. Os intervalos 5, 6, 7, 8 e 9 são ilimitados. Quando a = b, o intervalo fechado[a, b] = {a} é chamado intervalo degenerado.

Com relação aos intervalos, o teorema 2 diz que x fatisfaz |x − a| < δ se, e somentese, x satisfaz a − δ < x < a + δ, ou seja, x ∈ (a − δ, a + δ).

Interpretação geométrica deImagine como uma reta e cada elemento x ∈ como um ponto desta reta.



Aula 03 Análise Real

x y

distância = |y-x |

aa –s a +sx

|x-a |

|(a +δ) –a| = |s| = s

13

Vimos que = + ∪ − ∪ {0}, que x > 0 ⇒ x ∈ + e x < 0 ⇒ x ∈ −.Utilizaremos a relação de ordem para representar os pontos na reta, dizendo que x < y

significa que a posição ocupada por y é à direita de x. Assim, os intervalos são segmentosdessa reta e |y − x| representa a distância do ponto x ao ponto y.

Atividade 9Mostre que se a distância de x a y é δ, então a distância de −x a −y também é δ. Como

corolário, conclua que a distância de x a 0 é a mesma que de −x a 0.

Pelo teorema 2, temos que x ∈ (a − δ, a + δ) é equivalente a |x − a| < δ, ou seja, ointervalo (a − δ, a + δ) é formado pelos elementos cuja distância até a é menor que δ.

Até o momento, vimos que quaisquer que sejam x, y ∈ , temos x < y, x > y oux = y. A um corpo com esta propriedade chamamos corpo ordenado, isto é, somos ca-pazes de dizer quem é maior que quem. Em outras palavras, existe uma relação de ordembem definida entre seus elementos.




Atividade 10Podemos concluir que é um corpo ordenado?

O conjunto é um corpo ordenado completoQuando estudamos os números naturais vimos que X ⊂ é limitado se existe b ∈

tal que x ≤ b, para todo x ∈ X . Não nos preocupávamos, até então, com a parte inferior, jáque o 1 é o menor elemento de e, portanto, 1 ≤ x, para todo x ∈ X ⊂ . No conjunto

não existe um menor elemento, pois se x ∈ , então x − 1 ∈ e x − 1 < x (pois existe1 ∈ + tal que x = x − 1 + 1).

Atividade 11Mostre que não existe y ∈ tal que x ≤ y, ∀x ∈ .

Para falar de limitação em , precisamos falar de dois tipos de limitação: superior einferior.

Dizemos que X ⊂ é limitado superiormente se existe b ∈ tal que b ≥ x,∀x ∈ X .Neste caso, b é dito ser uma cota superior de X .

Exemplo 17O conjunto X = (−∞, 7) é limitado superiormente?

Sim, pois existe 8 ∈ tal que x ≤ 8,∀x ∈ X . Logo, 8 é cota superior de X . Note que10 também é cota superior de X , já que x ≤ 10,∀x ∈ X .

Atividade 12Seja X ⊂ limitado superiormente. Mostre que se b é cota superior de X , então

qualquer número real c ≥ b também é cota superior de X .

Se c é cota superior de X ⊂ , então podemos afirmar que qualquer número real b < c

também é cota superior de X? Não! Considere X = (−∞, 4] = {x ∈ |x ≤ 4}. O número4 é cota superior de x, mas 2 < 4 não é cota superior de X , pois existe 3 ∈ X tal que 2 < 3.



Definição 1

Seja X ⊂ limitado superiormente e não-vazio. Chama-se supremo de X ao númerob ∈ que é a menor das cotas superiores de X , e denota-se b = supX . Mais explicita-mente:

S1. b é cota superior de X , ou seja, para todo x ∈ X , tem-se x ≤ b.

S2. Se c ∈ é tal que x ≤ c,∀x ∈ X , então b ≤ c. Isso significa que qualquer outra cotasuperior de X é, obrigatoriamente, maior que ou igual a b.

Podemos escrever a condição S2 da seguinte maneira:

S2′. Se d < b, então d não é cota superior de X , ou seja, existe x ∈ X tal que x > d. Issosignifica que nenhum número menor que b pode ser cota superior de X .

Podemos ainda reescrever S2′ da seguinte maneira:

S2′′. Qualquer que seja ε > 0, b− ε não é mais cota superior de X , ou seja, ∃x ∈ X tal quex > b − ε.

Dizer que é completo significa dizer que todo subconjunto X de limitado superior-mente possui supremo.

Exemplo 18Considere X = (−∞, 4]. Encontre b = supX .

Note que X �= ∅ e X é limitado superiormente, pois existe 10 ∈ tal que x ≤ 10,∀x ∈X . Mostremos que b = 4 satisfaz S1 e S2.

Para todo x ∈ X , temos x ≤ 4. Assim, 4 é cota superior de X , isto é, 4 satisfaz S1.Seja c ∈ tal que c ≥ x,∀x ∈ X . Temos c ≥ 4, pois 4 ∈ X . Logo, c ≥ b, isto é, c satisfazS2. Portanto, b = 4 = supX .

Podemos também mostrar que 4 satisfaz S2′ e S2′′, e o faremos a seguir.

Seja d < 4 e considere x =d + 4

2. Assim, d < x < 4 e x ∈ X . Como d < 4 foi

qualquer, para todo d < 4 existe x ∈ X tal que x > d. Logo, 4 satisfaz S2’.

Seja ε > 0. Tome x = 4 − ε

2. Note que:

ε > 0 ⇒ ε

2> 0 ⇒ 4 − ε

2< 4 ⇒ 4 − ε

2∈ X.




Também:ε >

ε

2⇒ −ε < −ε

2⇒ 4 − ε < 4 − ε

2= x.

Logo, 4 − ε não é mais cota superior de X .

Como ε > 0 tomado foi qualquer, 4−ε não é mais cota superior de X , para todo ε > 0.Portanto, 4 satisfaz S2′′.

Atividade 13Seja X = (1, 2) ∪ (2, 4] ∪ [7, 9]. Encontre b = supX .

Dizemos que X ⊂ é limitado inferiormente se existe d ∈ tal que, para todox ∈ X , tem-se d ≤ x. Neste caso, d é dito ser uma cota inferior de X.

Se d é cota inferior de X ⊂ , então qualquer número real c ≤ d também é cotainferior de X . De fato, temos d ≤ x,∀x ∈ X . Como c ≤ d, por transitividade, temosc ≤ d ≤ x,∀x ∈ X . Logo, c é cota inferior de X . Porém, não podemos afirmar quequalquer número real c′ > d é cota inferior de X . De fato, considereX = (0,∞). −1 é cota

inferior de X , mas 1 > −1 não é cota inferior de X , pois existe12∈ X tal que

12

< 1.

Definição 2

Seja X ⊂ limitado inferiormente e não-vazio. Chama-se ínfimo de X ao númerod ∈ que é a maior das cotas inferiores de X , e denota-se d = inf X . Em outras palavras,ao número d ∈ que satisfaz:

I1. d é cota inferior de X , ou seja, para todo x ∈ X , tem-se d ≤ x.

I2. Se c ∈ é tal que c ≤ x,∀x ∈ X , então c ≤ d. Isso significa que qualquer outra cotainferior de X é, obrigatoriamente, menor que ou igual a d.

Podemos escrever a condição I2 da seguinte maneira:

I2′. Se c > d, então c não é cota inferior de X , ou seja, existe x ∈ X tal que x < c. Issosignifica que nenhum número maior que d pode ser cota inferior de X .

Podemos ainda reescrever I2′ da seguinte maneira:

I2′′. Qualquer que seja ε > 0, d + ε não é mais cota inferior de X , ou seja, ∃x ∈ X tal quex < d + ε.



Exemplo 19Seja X = (−3, 7). Encontre d = inf X .

d = −3 é cota inferior de X , pois x ∈ X ⇒ x > −3 ⇒ x ≥ d, ∀x ∈ X . Agoravamos mostrar que −3 é a maior das cotas inferiores de X . Seja c uma cota inferior de X ,ou seja, c ≤ x,∀x ∈ X . Temos duas possibilidades para tal c: ou c ≤ −3 ou c > −3. Casoocorresse c > −3 (c ≤ 7), teríamos:

−3 <c + (−3)

2< c ⇒ x =

c + (−3)2

∈ X e x < c,

isto é, c não seria cota inferior de X . Logo, c ≤ −3 e, portanto, d = −3 = inf X .

Atividade 14Mostre que se X é limitado superiormente, então −X = {y ∈ |− y ∈ X} é limitado

inferiormente.

Atividade 15Mostre que se b = supX , então −b = inf(−X).

Os próximos teoremas 3 e 4 a seguir serão utilizados no teorema 5, o qual garante quenão é enumerável.

Teorema 3

São verdadeiras as seguintes afirmações:

1. ⊂ não é limitado superiormente;

2. Se X ={

1n|n ∈

}, então inf X = 0;

3. Dados a, b ∈ +, existe n ∈ tal que na > b.

Demonstração

Item 1.

Hipótese: ⊂ .

Tese: não existe cota superior para .

Demostraremos este item por contradição.

∼Tese: existe cota superior para , isto é, ∃c ∈ tal que n ≤ c,∀n ∈ .




Sabemos que �= ∅ e ⊂ . Logo, pela completude de , existe d ∈ tal qued = sup . Assim, d − 1 não é supremo de , ou seja, ∃x ∈ tal que x > d − 1. Pelamonotonicidade de “ > ”, temos x + 1 > d − 1 + 1 = d, o que é absurdo, pois x + 1 ∈pelos axiomas de Peano (x + 1 é o sucessor de x).

Portanto, é ilimitado superiormente.

Item 2.

Hipótese: X ={

1n

, n ∈}

={

1,12,13, ...

}.

Tese: inf X = 0.

Inicialmente, devemos mostrar que 0 é cota inferior de X . Sabemos que n > 0,∀n ∈⇒ 1

n> 0,∀n ∈ ⇒ x > 0,∀x ∈ X . Logo, 0 é cota inferior de X .

Agora, mostremos que para todo c > 0, c não é cota inferior de X . Dado c > 0, temos1c

> 0, isto é1c

não é cota superior de , pois é ilimitado superiormente. Assim,

∃n ∈ tal que n >1c⇒ nn−1c >

1cn−1c ⇒ c >

1n

,

ou seja, existe x ∈ X , x =1n

, tal que x < c. Logo, c não é cota inferior de X .

Como c > 0 tomado foi qualquer, temos que, para todo c > 0, c não é cota inferior deX . Portanto, inf X = 0.

Item 3.

Hipótese: a, b ∈ +.

Tese: existe n ∈ tal que na > b.

Dados a, b ∈ +, temos a−1, b−1 ∈ +. Também a−1b ∈ + e a−1b não é cotasuperior de , pois é ilimitado superiormente. Assim, ∃n ∈ tal que n > a−1b, isto é,na > a−1ba, que implica na > b.

Atividade 16Demostre a equivalência entre os itens do teorema anterior, ou seja, mostre que 1 im-

plica 2, 2 implica 3 e 3 implica 1.



Teorema 4

Intervalos encaixados

Dada uma seqüência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · de intervalos fechados [an, bn] = In,então existe pelo menos um número real e tal que e ∈ In,∀n ∈ , isto é, e ∈

⋂n

In.

Demonstração

Hipótese: I1 ⊃ I2 ⊃ · · · .

Tese: ∃e ∈ tal que e ∈ In,∀n ∈ , ou equivalentemente, ∃e ∈ tal que e ∈⋂n

In.

I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⇒ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ · · · ⇒ a1 ≤ a2 ≤ · · · e b1 ≥ b2 ≥ · · · .

Será que aj ≤ bk,∀j, k ∈ ? Note que aj > bk não ocorre para nenhum j, k ∈ .Caso ocorresse, teríamos j > k, pois para j ≤ k temos a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ aj ≤ ak ≤ bk.Entretanto, se aj > bk para algum j > k, então bj ≥ aj ≥ bk, e isso é absurdo, pois dahipótese temos bj ≤ · · · ≤ bk ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1. Logo, aj ≤ bk,∀j, k ∈ .

Considerando X = {bj |j ∈ }, temos X �= ∅, X ⊂ e X é limitado inferiormente.Assim, ∃e ∈ tal que e = inf X .

Considerando Y = {aj |j ∈ }, temos Y �= ∅, Y ⊂ e X é limitado superiormente.Assim, ∃f ∈ tal que f = supY .

Note que f ≤ e, pois como já vimos aj ≤ bk,∀j, k ∈ . Fixando j, temos aj ≤bk,∀k ∈ . Logo, aj é cota inferior de X ⇒ aj ≤ e = inf X . Note também que isso valepara todo j ∈ , ou seja, aj ≤ e,∀j ∈ . Logo, e é cota superior de Y ⇒ supY = f ≤ e.

Observe que [f, e] ⊂⋂n

In. De fato,

x ∈ [f, e] ⇒ f ≤ x ≤ e

⇒ aj ≤ supY = f ≤ x,∀j ∈ , e

x ≤ e = inf X ≤ bj ,∀j ∈⇒ aj ≤ x ≤ bj ,∀j ∈⇒ x ∈ [aj , bj ],∀j ∈⇒ x ∈

⋂n

In.

Note que [f, e] �= ∅, pois no mínimo [f, e] = {e} é um intervalo degenerado. Portanto,∃e ∈ tal que e ∈ In,∀n ∈ .




Teorema 5

não é enumerável.

Demonstração

Mostraremos que não existe uma função f : → sobrejetiva e, conseqüentemente,�f : → bijetiva.

Hipótese: f : → é uma função.

Tese: f não é sobrejetiva.

De fato, considerando f(1) ∈ , podemos construir um intervalo [a1, b1] tal quef(1) /∈ [a1, b1] = I1. Para f(2), temos duas prossibilidades: f(2) /∈ I1 ou f(2) ∈ I1.

Se f(2) /∈ I1, temos I2 = I1.

Se f(2) ∈ I1, temos:

[a2, b2] = I2 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

[a1,

a1 + f(1)2

], se f(2) �= a1;[

f(1) + b1

2, b1

], se f(2) = a1.

Para f(3), também temos duas possibilidades: f(3) /∈ I2 ou f(3) ∈ I2.

Se f(3) /∈ I2, temos I3 = I2.

Se f(3) ∈ I2, temos:

[a3, b3] = I3 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

[a2,

a2 + f(2)2

], se f(3) �= a2;[

f(2) + b2

2, b2

], se f(3) = a2.

Note que I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ · · · . Logo, existe x ∈⋂n

In. Se x ∈ In, então

f(1), f(2), ..., f(n) /∈ In e, conseqüentemente, f(1), f(2), ..., f(n) �= x. Como x ∈⋂n

In,

temos x �= f(n),∀n ∈ . Portanto, f não é sobrejetiva, demonstrando o teorema.

O próximo resultado nos dá uma infinidade de exemplos de conjuntos não enumeráveis.



Corolário 1

Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável.

Demonstração

Hipótese: I é um intervalo não-degenerado, isto é, I �= {c}.

Tese: I é não-enumerável.

Sabemos que se X é enumerável e Y ⊂ X , então Y é enumerável. Assim, se Y ⊂ X

é não-enumerável, então X é não-enumerável. Também,

I não-degenerado ⇒ ∃a, b ∈ I, a < b tais que (a, b) ⊂ I .

Considereϕ : (−1, 1) −→ (a, b)

x �−→ 12[(b − a)x + a + b]

Note que ϕ é bijetiva.

Considere tambémψ : −→ (−1, 1)

x �−→ x

1 + |x|

Vamos mostrar que ψ é bijetiva.

Note que x > 0 > y ⇒ ψ(x) > ψ(0) > ψ(y). Considere, agora, ψ(x) = ψ(y) (x e y

tem o mesmo sinal e x, y �= 0).

Se x, y > 0, temos:

ψ(x) = ψ(y) ⇒ x

1 + |x| =y

1 + |y| ⇒ x(1 + |y|) = y(1 + |x|)⇒ x + x|y| = y + y|x| ⇒ x + xy = y + yx

⇒ x = y.

Se x, y < 0, temos:

ψ(x) = ψ(y) ⇒ x

1 + |x| =y

1 + |y| ⇒ x(1 + |y|) = y(1 + |x|)⇒ x + x|y| = y + y|x| ⇒ x − xy = y − yx

⇒ x = y.

Logo, ψ é injetiva.




Para mostrar a sobrejetividade de ψ, devemos mostrar que ∀y ∈ (−1, 1), ∃x ∈ talque ψ(x) = y.

Se y = 0, então existe 0 ∈ tal que0

1 − 0= ψ(0) = 0 = y.

Se y > 0, procuremos x ∈ , x > 0 tal que ψ(x) = y. Assim,

x

1 + |x| = y ⇒ x

1 + x= y ⇒ x = (1 + x)y ⇒ x = y + xy

⇒ x − xy = y ⇒ x =y

1 − y.

Se y < 0, vamos procurar x ∈ , x < 0 tal que ψ(x) = y. Assim,

x

1 + |x| = y ⇒ x

1 − x= y ⇒ x =

y

1 + y.

Logo, ψ é sobrejetiva.

Portanto, ψ é bijetiva ⇒ (−1, 1) é não-enumerável ⇒ (a, b) é não-enumerável (pois ϕ

é bijeção). Como I ⊃ (a, b), então I é não-enumerável.

Exemplo de um número irracionalVamos encerrar esta aula mostrando que

√3 não é um número racional, ou seja, é irra-

cional e assim estaremos mostrando que Q � .

Suponha que√

3 é racional, isto é, existem m ∈ e n ∈ − {0} tais que√

3 =m

n.

Assim,√

3n = m ⇒ 3n2 = m2 ⇒ m|3n2 ⇒ 3|m2. Isto significa que 3 é fator primo dedecomposição de m2. Logo, 3|m e, conseqüentemente, a quantidade de 3 na decomposiçãode m2 é par. Temos então duas possibilidades para 3: (a) 3 é fator primo de n ou (b) 3 não éfator primo de n.

Se (a) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de n2 também é par. Logo,3n2 tem uma quantidade ímpar de 3. Isto é absurdo, pois 3n2 = m2.

Se (b) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de 3n2 é 1, e isto também éabsurdo.

Portanto,√

3 é irracional.



ResumoNesta aula aprendemos que é um corpo ordenado completo e não enumerável. Apli-

camos vários dos axiomas de corpo e a relação de ordem para demonstrar propriedadesinteressantes e bem conhecidas dos números reais. Estudando a completeza de aprende-mos os conceitos de supremo e ínfimo de conjuntos.

AutoavaliaçãoUsando o fato de ser um corpo, prove:

1) a unicidade do elemento neutro da adição, ou seja, se x + a = x para todo x ∈ entãoa = 0.

2) a unicidade do elemento neutro da muliplicação, ou seja, se x.u = x para todo x ∈então u = 1.

3) a unicidade do elemento inverso aditivo, ou seja, se x + y = 0 então y = −x.

4) a unicidade do elemento inverso multiplicativo, ou seja, se x.y = 1 então y = x−1.

Usando o fato de ser um corpo ordenado, prove que:

5) para quaisquer x, y, z ∈ vale: |x − z| ≤ |x − y| + |y − z| .

6) para quaisquer x, y ∈ vale: ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Usando o fato de ser um corpo ordenado completo, prove que:

7) se A e B são subconjuntos limitados de , satisfazendo A ⊂ B então supA ≤ supB einfA ≥ infB. Construa um exemplo que ilustre essas afirmações

8) Dados A e B subconjuntos limitados de e c ∈ . Mostre que:

a) o conjunto A + B = {x + y; x ∈ Aey ∈ B} é limitado.

b) sup(A + B) = sup(A) + sup(B)




c) inf(A + B) = inf(A) + inf(B)

d) sup(cA) = c.sup(A) se c ≥ 0

e) inf(cA) = c.inf(A) se c ≥ 0

f) sup(cA) = c.inf(A) se c ≤ 0

g) inf(cA) = c.sup(A) se c ≤ 0

10) Mostre que√

2 não é um número racional.

ReferênciasFIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1996.

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1. São Paulo:Atual, 1993.

LIMA, Elon Lages. Análise Real, Volume 1.Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura eAplicada, Coleção Matemática Universitária, 1989.

MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Um convite à Matemática. Campina Grande: EDUFCG,2007.



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EMENTA

> André Gustavo Campos Pereira

> Viviane Simiolli de Medeiros Campos

Conjuntos fi nitos, enumeráveis e não-enumeráveis. Números reais. Cortes de Dedekind. Sequências e séries de números reais. Topologia da reta. Limites de funções. Funções contínuas. Sequências e séries de funções. Panorama histórico.

Análise Real – MATEMÁTICA

AUTORES

AULAS

01 Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções

02 Conjuntos fi nitos e enumeráveis

03 Números reais

04 Sequências de números reais

05 Desigualdades, operações com sequências e limites infi nitos

06 Séries numéricas

07 Limite de funções

08 Funções contínuas

09 Funções deriváveis

10 Máximos e mínimos

12

números reais (1)

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