9 séries de números reais

Análise Matemática I

Séries de Números Reais

Joana PeresJoana Peres

MIEQ – 2009/2010

FEUP / MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I

Introdução às séries de números reais

Uma série (infinita) de números reais é a soma de todos os (infinitos) termos de uma sucessão (ou sequência) de números reais, de termo geral {an}:

Será que esta série infinita tem um valor numérico?sucessão das somas parciais {Sn}, associada à sucessão de números reais {an}, definida através de:

Definição ∑∞

=

≡+++1

def

321 r

raaaa

ndefdef

Algumas das somas parciais associadas à sucessão {an}:

Definição ∑=

≡+++≡n

rrnn aaaaS

1

def

21

def

11 aS =

212 aaS +=

3213 aaaS ++=

21 nn aaaS +++=


A sucessão de termo geral {an} diz-se somável se e só se a correspondente sucessão das somas parciais {Sn} for convergente para um número real qualquer S quando n tender para infinito:

Séries convergentes e divergentes

Definição

{ } SaaSIRSar

r

n

rrnnnn =≡=∈∃⇔ ∑∑

∞

==∞→∞→ 1

def

1

def lim lim : somável

Se o limite existir é convergente para Sa série ∑∞

=1 r

ra

Se o limite não existir é divergente a série ∑∞

=1 r

ra


O 2º teorema é um teste de divergência que deve sempre ser aplicado a qualquer série antes de utilizar qualquer outro teste de convergência:

Propriedades mais importantes das séries de números reais

Teorema TSbaTbSa rr

rr

rr

r +=+⇒=∧= ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

) ( 111

IRcScacSar

rr

r ∈∀=⇒= ∑∑∞

=

∞

=

, 11

Teorema (Condição necessária de convergência, ou teste de divergência)

0lim onverge 1

=⇒∞→

∞

=∑ nnr

r aca

=−=⇒= −∞→∞→

∞

=∑ ) (lim lim 1

1nnnnnr

r SSaSa

0 lim lim 1 =−=−= −∞→∞→

SSSS nnnn

Demonstração:


diverge 0lim1∑∞

=∞→⇒≠

rrnn

aaConclui-se do Teorema que:


Exemplos de aplicação do teste de divergência

∑∞

= +1 1 r r

r ∑∞

=

−1

2)1( r

r r

Observação importante:Se 0lim =

∞→nn

a ∑∞

=1 r

raentão a série pode convergir ou divergir

Exemplo: A série chamada série harmónica

41

31

21 1 1

1++++=∑

∞

=r ré uma série divergente, embora o 0 1 lim =

∞→ nn

Contudo, a série harmónica diverge com extrema lentidão:

Sn ≥ 5 ⇒ n = 83


Sn ≥ 10 ⇒ n = 12 367

Sn ≥ 100 ⇒ n ≈ 1043


Teorema IRaaSaSar

rr

r ∈+=⇔= ∑∑∞

=

∞

=00

01 que desde ,

Definição ∑=

≡+++≡n

rrnn aaaaS

0

def

10

def

Redefinição da soma parcial Sn de forma a incluir o termo a0

A soma parcial Sn é sempre definida como sendo a soma de todos os termos da sucessão {a } até ao termo asucessão {an} até ao termo an

independentemente de o 1º termo da sucessão ser a0, a1, a2 ou outro termo qualquer.

Inserir ou remover um número finito de termos numa série convergente não altera a convergência da nova série assim obtida

que convergirá para um valor diferente daquele para que converge a série original.

Inserir ou remover um número finito de termos numa série divergente não altera a divergência da nova série assim obtida.


Generalização do teorema:

A aplicação directa da definição de série convergente

Estudo de séries directamente a partir da definição

Séries telescópicas (ou de Mengoli)

são séries cujo termo geral ar pode ser escrito como uma diferença de dois termos de outra sucessão {br}, em que a “distância” entre esses dois termos (isto é, a diferença dos seus índices) é constante, ou seja:

Exprimir Sn sob a “forma fechada”

rkrr bba −= + krrr bba +−= ou com INk ∈

Exemplo em que rrr bba 1 −= + e a série “começa em r = 1”


∑=

≡n

rrn aS

1

def

então

p q rrr 1+ ç

) ( 1132 +− +++++= nnn bbbbb

11 bbn −= +

111

def ) lim ( ) lim ( lim bbbbSS nnnnnn−=−=≡

∞→+

∞→∞→

Portanto esta série convergirá se e só se existir nnb lim

∞→

∑∑==

+ =−=n

rr

n

rr bb

1 1 1 ∑

=+ −=

n

rrr bb

1 1 ) (

=+++++− − ) ( 1321 nn bbbbb


0

def=≡ ∑

=

n

rrn aS

Séries telescópicas (ou de Mengoli)

tã

) ( 3210 −+++++= nbbbbb

) ( 2110 ++ +−+= nn bbbb

Exemplo em que e a série “começa em r = 0”2 +−= rrr bba

∑∑=

+=

=−n

rr

n

rr bb

0 2

0 ∑

=+ =−

n

rrr bb

0 2 ) (

=+++++ ++ ) ( 2132 nnn bbbbb

então

nnnnnnnbbbbbbbSS

∞→++

∞→∞→−+=+−+=≡ lim 2 ) ( lim lim 102110

def

Portanto esta série convergirá se e só se existir nnb lim

∞→

ExemploEstudar a convergência da série telescópica

)22( 1

1

11 r

r

r −∑∞

=

+



Séries geométricas

Uma série é uma série geométrica se cada termo depois do primeiro for um múltiplo fixo do termo precedente, isto é, se

0 , 1 ≥∀=+ raka rr

O número k chama-se razão da série geométrica.

Uma série geométrica é a série que está associada a uma “progressão” geométrica do tipo:

Representando o termo inicial da série geométrica por a0, vem que:

, , , , 30

2000 kakakaa

progressão geométrica do tipo:

IRkakakakaaka r

r∈++++=∑

∞

=

, com, 03

02

0000

0


Estudo de séries directamente a partir da definiçãoSéries geométricas

{ } { } ⇒=⇒−= , ,0 , ,0 , 1 000 aaaSk n

não existe e portanto a série é divergenteS⇒ lim

⇒+=++++=⇒= )1( 1 00000 anaaaaSk n

⇒∞±=+=⇒∞→∞→

)1( lim lim 0anSnnn

a série é divergente

Obtenção da “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n:

1=kCaso em que

nrn

rn kakaakaS 000

00 +++==∑

=

⇒−=− + )1( )1( 10

nn kakS

100

200 +++++= nn

n kakakakakS

Caso em que 1≠k

⇒−=− + 100

nnn kaaSkS )1(

1 10 +−−

= nn k

kaS

não existe, e portanto a série é divergentennS

∞→⇒ lim



)1( 1

10 +−−

= nn k

kaS

Aplicando a definição de série convergente, conclui-se o seguinte:

existe não lim existe não lim ,1 1nn

n

nSkk

∞→

+

∞→⇒> , e a série é divergenteSe

a1 é iS

A “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n quando 1≠k

kaSkk nn

n

n −=⇒=<

∞→

+

∞→ 1 lim 0 lim ,1 01 , e a série converge:Se

1 sse ,1

0

00 <

−=∑

∞

=

kk

aka r

r

Exemplos ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0

1 r

r

π ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

1 r

r

π ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

0 2

r

re



Exemplo de aplicação:

Exemplo de aplicação:

Diz-se que uma bola elástica tem um coeficiente de restituição r, com 0 < r < 1, se a bola ressaltar até à altura rh depois de ter sido deixada cair da altura h.

S d b l é d i d i d

Racionalizar na forma irredutível a dízima periódica infinita ......33333.0

Supondo que a bola é deixada cair de uma altura inicial a (ver figura junta) e depois ressalta infinitas vezes até parar, mostre que a distância total percorrida pela bola é finita, sendo dada por:

rraD

−+

=11


Séries de termos não-negativos

Se o termo geral de uma série for não-negativo, a correspondente sucessão das somas parciais é obrigatoriamente crescente:

INnan ∈∀≥ ,0 é crescente

Existem apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber:

1ª hipótese: {Sn} é crescente e limitada ⇒∞

{ }nS⇔01 ≥≡−⇔ − nnn aSS 1−≥⇔ nn SS

2ª hipótese: {Sn} é crescente mas não-limitada ⇒∑∞

=

⇒1

r

ra converge para sup {Sn}

∑∞

=

⇒1

r

ra diverge para ∞



Não existe nenhum teste universal de convergência para séries de termos não-negativos;

No entanto existem vários testes de convergência que, sem serem universais, permitem resolver o problema da convergência das séries de termos não-negativos na maior parte dos casos de interesse prático.

1. Teste de comparação directa

Desses testes, vamos estudar apenas os cinco mais importantes:

2. Forma limite do teste de comparação

3. Teste da razão (ou de d'Alembert)

4. Teste da raíz

5. Teste do integral (ou de Cauchy)



O teste de comparação directa pode ser utilizado para mostrar a convergência ou a divergência de séries de termos não-negativos:

Teorema (Teste de comparação directa)

converge também onverge 11∑∑∞

=

∞

=

⇒r

rr

r acb

Suponhamos que * , 0 rrba rr ≥∀≤≤ então:

diverge também diverge 11∑∑∞

=

∞

=

⇒r

rr

r ba

Estes resultados são igualmente válidos se as duas séries “começarem em r = 0”, ou em qualquer número inteiro positivo.

Se se pretender testar convergência utiliza-se br (o termo “maior”) como termo de comparação

rr ba 0 ≤≤ ∑∞

=1rrb ∑

∞

=1rradivergir convergirSe e ou

nada se pode concluir acerca da outra série

Se se pretender testar divergência utiliza-se ar (o termo “menor”) como termo de comparação


Séries de termos não-negativosTeste de comparação directa

Exemplo

Utilize o teste de comparação directa para mostrar que a série

2

2

1 2sen

rr

rr +∑∞

=

é convergente.


Séries de termos não-negativosForma limite do teste de comparação

então:

Teorema (Forma limite do teste de comparação)

∑∑∞

=

∞

= 11 e

rr

rr ab

Suponhamos que * ,0 e 0 rrba rr ≥∀>> e sejar

rr b

aL lim ∞→

=

⇒> 0L convergem ambas ou divergem ambas

∑∞

=1rrb 0=L ∑

∞

=

⇒1

r

raconvergir também converge

∑∞

rb0=L ∑∞

⇒ radivergir também diverge

e

e

Escolha de br : inspeccionar o termo geral ar da série que estamos a estudar, e verificar qual é a “parte dominante” de ar quando r se torna muito grande.

Neste caso fazemos uma comparação indirecta entre duas séries, isto é, utilizamos o cálculo do limite L para fazer a comparação entre duas séries.

A série de termo geral ar é aquela cuja convergência estamos a estudar, e a série de termo geral br é uma série conhecida, que é usada como termo de comparação

∑=1r

rb0L ∑=

⇒1

r

rad e g também divergee



Exemplo

Utilize a forma limite do teste de comparação para mostrar que a série

135

1 −∑∞

=r

r

é convergente.

Forma limite do teste de comparação


Séries de termos não-negativosTeste da razão (ou de D’Alembert)

então:

Teorema (Teste da razão, ou de D’Alembert)

∑∞

=

⇒1

r

ra

Suponhamos que * , 0 rrar ≥∀> e sejar

rr a

a 1 lim +

∞→=ρ

10 <≤ ρ converge

∞=∨> 1 ρρ ∑∞

=

⇒1

r

ra diverge

**

O teste da razão é, em geral, o teste mais indicado para séries cujo termo geral inclua factoriais.

Definição de factorial +∈∀+≡+ 0

def , ! )1( )!1( Zrrrr

1 !0def≡

este teste é inconclusivo, excepto se1=ρ **1 , rraa rr ≥∀>+

caso em que a série diverge, pois 0 lim ≠∞→

rra



Exemplo

Utilize o teste da razão para estudar a convergência da série

!

1 rr r

r∑∞

=

Teste da razão (ou de D’Alembert)


Séries de termos não-negativosTeste da raiz

então:

Teorema (Teste da raiz)

∑∞

=

⇒1

r

ra

Suponhamos que * , 0 rrar ≥∀> e seja rrr

a lim ∞→

=ρ

10 <≤ ρ converge

∞=∨> 1 ρρ ∑∞

=

⇒1

r

ra diverge

t t t é i l i t1 **1 rrar ≥∀>

O teste da razão e o teste da raiz estão intimamente relacionados, como se pode concluir do seguinte teorema:

este teste é inconclusivo, excepto se1=ρ ,1 rrarr ≥∀>

caso em que a série diverge, pois 0 lim ≠∞→

rra

Teorema ρρ lim lim 1 =⇒=∞→

+

∞→r

rrr

rr

aa

a

É aconselhável começar por tentar utilizar o teste da razão, por ser o mais fácil de aplicar.



Exemplo

Estude a convergência da série

rr

r5

1∑∞

=

pelo teste da razão e pelo teste da raiz.



O teste do integral permite relacionar a convergência de séries de termos positivos com a convergência de integrais impróprios do 1º tipo:

Teorema (Teste do integral, ou de Cauchy)

∑∞

Suponhamos que *1 , e 0 rraaa rrr ≥∀<> +

decrescente e integrável em [1, ∞ [, tal que

e seja, f (x) uma função positiva,

INraxf r ∈∀= ,)( então:

∫∞

Teste do integral (ou de Cauchy)

∑=1r

ra convergir

Generalizando, se a série não “começar em r = 1”, vem:

converge sse ∫∞

1 )( dxxf

∑∞

=krra convergirconverge sse ∫

∞

kdxxf )( +∈∀ 0 Zk



Para demonstrar este teorema, comecemos por mostrar que o integral impróprio do 1º tipo pode sempre ser escrito como uma série infinita de números reais:


∑ ∫∫∫∫∞

=

+∞⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=++=

1

13

2

2

11 )( )( )( )(

r

r

rdxxfdxxfdxxfdxxf

rr

rrr

radxxfarfdxxfrf <<⇔<<+ ∫∫

++

+ 11

1 )()( )()1(

Aplicando o teste de comparação àquela dupla desigualdade, conclui-se que

ou convergem ambos ou divergem ambos

∑∞

=1rra ∫

∞

1 )( dxxfe o integrala série



Exemplo

Utilize o teste do integral para estudar a convergência das séries

21

1 rr

∑∞

=


rr

1 1∑∞

=



As séries dos “pp” (ou de Riemann) são frequentemente utilizadas como termo de comparação ao estudar a convergência de outras séries.

Definição IRpr pp

rp ∈+++=∑

∞

=

com , 31

21 1 1

1

⇒≠⇒≤∞→

0 1 lim 0 pr rp que a série divergeSe

⇒=⇒>∞→

0 1 lim 0 pr rp que a série pode convergir ou

divergirSe

Aplicando directamente o teste do integral, compr

xf 1)( = definida em [1, ∞ [:

Como o ∫∞

1 )( dxxf converge sse p > 1, concluímos pelo teste do integral que:

A série dos “pp” (ou de Riemann) converge sse p > 1

41

31

21 1 1

1++++=∑

∞

=r rSe p = 1, temos a série harmónica que diverge.



Definição de resto de ordem n duma série convergente para S

∑∞

+=++ =++=−≡

121

def

nrrnnnn aaaSSR

Estimativa do resto a partir do teste do integral

Se o teste do integral puder ser aplicado a esta série convergente, não é difícil obter uma estimativa do resto Rn. De facto, como vimos acima:

⇒<<∧<< −−

++ ∫∫ )( )( 11

11 r

r

rrrr

rr adxxfaadxxfa

⇒<< ∫∫ −

+ )( )(

1

1 r

rrr

rdxxfadxxf ⇒<< ∑ ∫∑∑ ∫

∞

+=−

∞

+=

∞

+=

+ )( )(

11

11

1

nr

r

rnr

rnr

r

rdxxfadxxf

∫∫∞∞

+<<

nnndxxfRdxxf )( )(

1

∫∫∞∞

++<<+

nnnn dxxfSSdxxfS )( )( 1

estimativa do resto Rn

estimativa da soma da série



Exemplo

Calcular a soma da série dos “pp”

31

1 rr

∑∞

=

com erro inferior a 0.005.

Estimativa do resto a partir do teste do integral


Séries de termos não-positivos

Se o termo geral de uma série for não-positivo, a correspondente sucessão das somas parciais é obrigatoriamente decrescente:

{ }nnnnnnn SSSaSSINna ⇔≤⇔≤≡−⇔∈∀≤ −− 11 0,0 é decrescente

Temos então apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber:

1ª hipótese: {Sn} é decrescente e limitada ⇒∑∞

=

⇒1

r

ra converge para inf {Sn}

2ª hipótese: {Sn} é decrescente mas não-limitada ⇒∑∞

=

⇒1

r

ra diverge para -∞

Como ∑∑∞

=

∞

=

−−≡11

)( r

rr

r aa , se a série de termos não-negativos convergir para S, a correspondente série de termos não-positivos (isto é, a série simétrica da série dada) converge obrigatoriamente para - S


Séries alternadasSéries alternadas são séries cujos termos são alternadamente positivos e negativos

são particularmente importantes nas aplicações práticas. Os testes de convergência que estudámos atrás para séries de termos não-negativos não

podem ser aplicados directamente a estas sériesé necessário recorrer a outro teorema para estudar a convergência destas séries.

então as duas séries alternadas associadas a

Teorema (Teste das séries alternadas, ou de Leibniz)

Seja { }ra uma sucessão de termos positivos tais que:

0 lim =∞→

rra

*1 , rraa rr ≥∀<+

{ }

( i )

( ii )

então as duas séries alternadas associadas a

−+−=−∑∞

=

+321

1

1)1( aaaar

rr

são ambas convergentes.

{ }ra

+−+−=−∑∞

=321

1)1( aaaa

rr

re

Se a 1ª condição não for satisfeita, a série alternada pode convergir ou divergir.

Se a 2ª condição não for satisfeita, podemos concluir que a série alternada em causa é obrigatoriamente divergente.


Séries alternadas

Exemplo

Estude a convergência da série harmónica alternada

r

r

r

1

1

)1( +∞

=

−∑

e da série alternada


1)3()1(

1

1 ++− +∞

=∑ r

rr

r

Estimativa do resto de séries alternadas convergentes

∑∞

+=

+−=−≡1

1def

)1( nr

rr

nn aSSR

Para uma série alternada convergenteé sempre possível obter uma estimativa tão precisa quanto se quiser

do valor absoluto de R e/ou da soma da série:

Resto de ordem n

∑∞

+=

−=−≡1

def)1(

nrr

rnn aSSRou

TeoremaO valor absoluto do resto de ordem n de uma série alternada convergente é menor do que o valor absoluto do primeiro termo “desprezado” no cálculo de Sn :

10 +<< nn aR

do valor absoluto de Rn e/ou da soma da série:


Exemplo

Calcular a soma da série harmónica alternada

r

r

r

1

1

)1( +∞

=

−∑

com erro inferior a 0.1.

Séries alternadas

1 1 1

2 0.5 0.5

3 0.333333 0.83333333

4 0.25 0.58333333

5 0.2 0.78333333

6 0.166667 0.61666667

7 0.142857 0.75952381

8 0.125 0.63452381

9 0.111111 0.7456349210 0.1 0.64563492

arr Sn

.....6931471805.02ln)1( 1

1==

− +∞

=∑ r

r

r

Quando estudarmos a representação de funções por meio de séries de potências:


Séries de termos positivos e negativos

Se ar ≥ 0, as duas séries são coincidentes.Se ar ≤ 0, as duas séries são simétricas.

∑∞

=1rra

série dos valores absolutos

∑∞

=1

rra

for uma série de termos positivos e negativos, a correspondente série dos valores absolutos será uma série completamente distinta da série original.

Se ∑∞

=1rra

Como |ar |≥ 0, ∀r, a convergência da série dos valores absolutos pode sempre ser analisada recorrendo aos cinco testes de convergência atrás estudados.

Convergência absoluta e convergência condicional

Teorema (Teste da convergência absoluta)

∑∞

=1

rra convergeSe ∑

∞

=

⇒1

r

ra converge



Podemos classificar as séries de termos positivos e negativos da seguinte forma:

convergente convergenteabsolutamenteconvergente

convergente divergentecondicionalmenteconvergente

Tipo de convergência∑∞

=1

rra∑

∞

=1rra

Qualquer série convergente de termos não-negativos pode gerar infinitas séries de termos positivos e negativos que são absolutamente convergentes: basta para tal inserir sinais “menos” à sorte em qualquer ponto da série dada.

Para séries de termos positivos e negativos, os conceitos de “absolutamente convergente”, “condicionalmente convergente” e “divergente”, são mutuamente exclusivos: apenas uma destas três possibilidades poderá ser verdadeira.

divergente divergente divergente


então:

Teorema (Teste da razão para convergência absoluta)

∑∞

=

⇒1

r

ra

Suponhamos que * , 0 rrar ≥∀≠ e seja lim 1

r

rr a

a +

∞→=ρ

10 <≤ ρ converge absolutamente

∞=∨> 1 ρρ ∑∞

=

⇒1

r

ra diverge

este teste é inconclusivo1=ρ

Séries de termos positivos e negativosTestes de convergência absoluta

então:

Teorema (Teste da raiz para convergência absoluta)

∑∞

=

⇒1

r

ra

Suponhamos que * , 0 rrar ≥∀≠ e seja rrr

a lim ∞→

=ρ

10 <≤ ρ converge absolutamente

∞=∨> 1 ρρ ∑∞

=

⇒1

r

ra diverge

este teste é inconclusivo1=ρ


Exemplo

Analise a convergência da série


!2)1(

1 r

rr

r

−∑∞

=


Séries de termos positivos e negativosRearranjo dos termos de uma série

DefiniçãoUma sucessão de números reais {bn} diz-se um rearranjo de uma outra sucessão {an}, quando a sucessão {bn} contiver todos os termos da sucessão original {an}, mas colocados por uma ordem diferente.

Ao rearranjarmos a sucessão {an}, transformando-a na sucessão {bn}, também a correspondente série será rearranjada, transformando-se numa nova série

∑∞

=1rra

∑∞

rb

) ( lim lim 21

defdef

1nnnnr

r aaaSa +++≡≡∞→∞→

∞

=∑ ) ( lim lim 21

defdef

1nnnnr

r bbbSb +++≡≡∞→∞→

∞

=∑

Em princípio, se as duas séries forem ambas convergentes, elas poderãoconvergir para valores diferentes, pois por definição tem-se que:

=1r

Nada nos garante que estes dois limites sejam iguais.


Séries de termos positivos e negativosTestes de convergência absoluta

Teorema (Rearranjo das séries absolutamente convergentes)

Se série for absolutamente convergente para S, e se {bn} for um rearranjo

qualquer de {an}, a série também é absolutamente convergente para S.

∑∞

=1rra

∑∞

=1rrb

Ou seja, podemos alterar à vontade a ordem dos termos de uma série b l t t t i t t t l ti

As séries absolutamente convergentes e as condicionalmente convergentes têm um comportamento distinto no que concerne ao rearranjo dos seus termos:

absolutamente convergente, pois este teorema garante-nos que ela continua a ser absolutamente convergente para o mesmo número.

Teorema (Rearranjo das séries condicionalmente convergentes)

Se série for condicionalmente convergente para S, existe um rearranjo

{bn} de {an}, tal que a série converge para T, ∀T ∈ IR.

∑∞

=1rra

∑∞

=1rrb

Neste caso, portanto, já não é válido alterar a ordem dos termos da série, pois se o fizermos ela poderá convergir para um valor diferente (ou até divergir!).


9 séries de números reais

Education