unidade 4 - números reais

Matemática Básica Unidade 4

1

Unidade 4

Números reais

Metas

Esta unidade é sobre a noção de números reais, conjunto numérico criado para a

representação matemática de grandezas contínua, e que amplia o conjunto dos números

racionais.

Objetivos

Ao final desta unidade você deve:

conhecer os números reais, assim como a sua representação em notação decimal e

geométrica;

conhecer a noção de ordem dos números reais;

conhecer a noção de módulo;

conhecer as duas operações básicas entre números reais;

saber resolver inequações.


2

Um pouquinho de história

A escola pitagórica acreditava que tudo que há no universo poderia ser descrito

pela Matemática. Mais precisamente, os pitagóricos pregavam que os números

formavam a base de todas as representações das ideias humanas, isto é, que os números

governavam o mundo. A noção de número, na época (século VI a.C.), representava as

quantidades inteiras positivas, e até as quantidades fracionárias.

Na base do conhecimento matemático desenvolvido pelos pitagóricos, havia

uma premissa que admitia que dois segmentos quaisquer são sempre comensuráveis, ou

seja, a e b são segmentos comensuráveis se existe um segmento u e números inteiros p e

q tais que a = pu e b = uq, ou seja, se a e b são múltiplos de uma mesma unidade fixada.

Contudo, a descoberta, feita pelos próprios pitagóricos, de que a diagonal de um

quadrado e seu lado não são comensuráveis (o que é equivalente ao fato de que 2 não

é racional) gerou a primeira crise matemática da história, pois invalidava todas as

demonstrações que haviam sido feitas usando essa premissa.

Esta dificuldade foi superada somente com um grande esforço por parte dos

gregos, quando Eudoxo (408-355 a.C.) apresentou sua teoria geométrica do contínuo.

Euclides, por volta de 300 a.C., apresentou uma compilação dos resultados da

Matemática conhecidos até então em seus Elementos. Para fugir das deficiências dos

números (para a época), Euclides passou a trabalhar questões numéricas a partir de

representações geométricas, ou seja, a partir do enfoque geométrico.

A necessidade de ampliar o conjunto dos números racionais

Este episódio da história da Matemática deixou marcas fortíssimas que são

percebidas até hoje em dia (passados mais de 2 mil anos). Reflexos desta crise

matemática e de como os gregos lidaram com ela influenciaram diretamente, por

exemplo, o ensino da Matemática até algumas poucas décadas atrás. Não é nosso

objetivo discutir este episódio, nem suas consequências, mas é interessante que o leitor

entenda melhor como ocorreu esta crise.

Nós já falamos sobre a questão de associar grandezas a números, o chamado

processo de quantificação. As grandezas que podem ser quantificadas são chamadas de

grandezas escalares. Em física, é comum fazer referência a grandezas discretas e

contínuas. (Você sabia que existem outros tipos de grandezas? Mas isto é conversa para

a Álgebra Linear.) Por exemplo, tempo, rapidez e comprimento são casos de grandezas


3

escalares contínuas. Já população e moléculas de um gás são exemplos de grandezas

escalares discretas. É claro que estes exemplos podem variar. Se quisermos medir o

tempo em termos de dias decorridos, podemos quantificar a grandeza tempo associando-

a aos números inteiros; o que a tornaria uma grandeza discreta neste caso.

Vamos, agora, nos preocupar com as grandezas contínuas. Só para fixar ideia,

vamos considerar a grandeza comprimento. Vimos, na unidade 2, que podemos obter

um bom processo de quantificação desta grandeza fazendo uma associação com os

números racionais. É uma boa quantificação porque os números racionais permitem

considerar submúltiplos da unidade. Em particular, permite medir comprimentos com

uma precisão tão grande quanto se queira. Para isto, basta escolher um submúltiplo da

unidade suficientemente pequeno. Por exemplo, você pode usar a unidade metro para

fazer medições. Se necessitar de mais precisão na medida, pode usar o centímetro,

unidade que é um centésimo do metro. Se quiser mais precisão na medida, pode, então,

escolher o milímetro, que é um milésimo do metro. Se ainda for necessário trabalhar

com maior precisão de medida, existem instrumentos capazes de medidas ainda mais

precisas, permitindo trabalhar com submúltiplos da unidade ainda menores. Em resumo,

os números racionais parecem formar um bom conjunto numérico para ser usado na

quantificação de grandezas contínuas.

Na prática, num processo de medição real, sem ser teórico, não é fácil

determinar o número racional exato que corresponde a um segmento dado. Por exemplo,

podemos medir um segmento com uma régua que tem marcação de centímetros e

milímetros e obter o valor 3,2 cm. Contudo, este valor pode não ser muito preciso, o

avaliador pode ficar na dúvida se a medida é mesmo 3,2 ou se não pode ser 3,3. Neste

caso, pode-se recorrer a instrumentos auxiliares. Por exemplo, com o auxílio de uma

lupa, ou de um microscópio, pode-se tranquilamente tirar esta dúvida, digamos que o

valor seja 3,2 mesmo. Ainda assim, com a melhoria do instrumento de medição, pode

aparecer outra dúvida, será que a medida mais precisa é 3,26 ou 3,27? Ainda do ponto

de vista prático, a evolução da forma de avaliação do tamanho de um segmento não

garantirá uma avaliação definitiva, pois sempre é possível ampliar a graduação da reta,

com novos submúltiplos obtidos a partir do novo instrumento de medição, o que causa o

aparecimento de uma nova casa decimal na representação numérica que mede o

segmento. Assim, sempre é possível encontrar um número racional que se aproxime

tanto quanto se queira da medida real. Mas, por outro lado, sempre fica a dúvida se esta

medida corresponde exatamente ao segmento avaliado.


4

Nesta nossa história, uma questão sobre a associação de grandezas a números

continua incompleta. Vimos que grandezas de natureza contínua não ficam

completamente determinadas por números inteiros. Por exemplo, nem todo segmento

pode ser representado por um número inteiro. Depois, vimos que grandezas contínuas

podem ser associadas a números racionais, pois, do ponto de vista prático, todo

processo de medição possui limitações de precisão, enquanto que sempre podemos

encontrar números racionais tão próximos quanto se queira. Contudo, não sabemos

realmente se qualquer estado de uma grandeza contínua pode ser sempre associado a

exatamente um número racional, ou, ainda, se cada número racional corresponde a um

único estado da grandeza. Por exemplo, será que todo segmento pode ser associado a

um número racional e vice-versa?

A história sobre esta pergunta é bastante conhecida e foi ela que deu origem a

primeira crise matemática. Este problema foi abordado pela escola pitagórica (século VI

a.C.) quando se perguntou sobre a medida da diagonal de um quadrado de lado 1. Na

época, eles perceberam que a diagonal de um quadrado de lado 1 não pode ser

representada por um número racional.

De fato, se a é um número então, pelo teorema de Pitágoras para triângulo

retângulo, vale que a2 = 1

2 + 1

2, donde a

2 = 2. Contudo, é um fato bem conhecido que

não existe um número da forma q

p que satisfaça tal equação. Ou seja, não existe um

número racional que represente o segmento a. Assim, instalou-se uma crise, pois a

utilidade da matemática neste processo de quantificação era limitada.

Observe que se a diagonal do quadrado de lado 1 fosse um número, ele

representaria o 2 , pois satisfaz a equação a2 = 2.

Atividade 1 Em um papel milimetrado, utilize um segmento grande como unidade

(utilize como unidade um segmento que seja 100 vezes o menor quadrado da folha).

Reproduza o desenho acima e meça o segmento que representa a diagonal do quadrado.

1

1

a

a 0 1


5

Você achará um número com duas casas decimais. Veja se esta aproximação coincide

com o valor obtido de uma calculadora para 2 . De outro modo, calcule o quadrado

do número que você obteve e eleve ao quadrado. Veja se o resultado faz sentido.

O conjunto dos números reais

Apesar da necessidade de um conjunto numérico que ampliasse os números

racionais ter sido percebida desde a verificação de que a medida da diagonal de um

quadrado de lado 1 não é um número racional, em torno do século VI a.C., foi

necessário cerca 2500 anos para que os matemáticos criassem um novo conjunto

numérico. Só em 1872, com a publicação de um ensaio sobre o assunto, por Richard

Dedekind, o conjunto conhecido como o conjunto dos números reais foi finalmente

formalizado. Enfim, completou-se a história da criação de uma extensão numérica do

conjunto dos racionais que pudesse oferecer uma associação completa às grandezas

contínuas.

O conjunto dos números reais, denotado por , é o conjunto criado pelos

matemáticos que estende o conjunto dos números racionais ( ) e está em completa

correspondência com as grandezas escalares contínuas. Uma definição precisa deste

conceito é assunto de estudo de uma disciplina mais avançada. Para o estudante

iniciante, basta conhecer bem as principais formas de representações de , assim como

as representações de suas operações.

O conjunto dos números reais tem uma peculiaridade no que diz respeito às suas

possíveis representações, nem todo número real possui uma representação numérica que

possa ser obtida a partir dos números racionais e que seja finita. Por exemplo, temos 0,5

como uma representação do número que representa a metade da unidade. Esta é uma

representação decimal finita. O número que representa um terço da unidade pode ser

representado como 0,3333... . Esta é uma representação decimal infinita. Contudo, a

mesma quantidade pode ser representada por 3

1, agora, sim, uma representação finita.

Para o conjunto dos números reais, existem elementos que só podem ser

representados finitamente se for através de símbolos não numéricos. Um exemplo disso

é o número , que representa o comprimento de um círculo de diâmetro 1. Outro

exemplo é o número e que está associado a várias aplicações importantes do nosso

cotidiano, como medição de resfriamento de um corpo, datação de objetos antigos


6

através de medição de desintegração radioativa e cálculo de juros contínuos. Como

exemplo também não podemos esquecer do número 2 . Só por curiosidade, a sua

representação decimal é parcialmente dada pela expressão

1,41421356237309504880116887242097... . Este é um dos problemas da representação

decimal para números reais que não são racionais. Só podemos fazer referência a eles de

forma parcial. Por exemplo, na sequência de casas decimais do número 2 , não tem

como saber, de imediato, qual será a próxima casa decimal. Este caso é bem diferente

do número cuja representação fracionária é 3

1, pois se consideramos uma representação

decimal parcial, por exemplo, 0,333..., sabemos que a próxima casa decimal é 3, e

depois dela também é 3, e assim sucessivamente.

Não é difícil entender que todo número real possui uma representação decimal.

Lembre-se, leitor, que o conjunto dos números reais foi criado para ser o conjunto

matemático que pode ser associado a grandezas escalares contínuas. Um exemplo deste

tipo de grandeza é o comprimento. Se o tamanho de um segmento não é múltiplo da

unidade, podemos encontrar uma medida inteira que aproxima do segmento, digamos a.

Mas, podemos melhorar, com a escolha de um submúltiplo da unidade, a medição do

segmento. Para isto, dividimos a reta graduada em dez partes e podemos, então, avaliar

melhor o segmento, digamos que a + 10

1a seja a melhor aproximação, mas que não seja a

medida exata. Assim, é preciso dividir o submúltiplo da unidade em dez partes para

obter uma medição melhor, digamos a + 10

1a +

100

2a. Se esta representação numérica não

for a medida exata, é preciso dividir novamente em dez partes a fim de buscar uma

medida mais aproximada, digamos, a + 10

1a +

100

2a +

1000

3a. Note que esta forma de

escrever um número é equivalente a notação decimal, a,a1a2a3. Se o segmento medido

não está associado a um número racional (e já vimos que isto é possível, é o caso de

2 ), o processo de subdivisão da unidade terá que ser repetido sempre,

indefinidamente, o que irá gerar uma representação decimal infinita, a,a1a2a3...an... .

Assim, todo número real pode ser representado através de uma notação decimal infinita.

Atividade 2 Determine se o número real dado é racional ou não.

a) 2,124 b) 0,1111111 c) 1,04237237237237...


7

d) 4,01001000100001... e) 9,1423684579454445677777732355654...

Assim como os números racionais, os números reais possuem uma representação

geométrica que funciona da seguinte maneira. Considere uma reta r e fixe uma unidade

de medida, OU. O conjunto dos números reais, denotado por , é representado pelo

conjunto dos segmentos da reta r da forma OA, isto é,

= {a = OA : Ar}.

Nesta representação geométrica, todo segmento com uma extremidade sobre o ponto O

representa um único número real.

O conjunto dos números reais diferentes de 0 e contidos na semi-reta OU é

chamado conjunto dos números reais positivos e denotado por +. O conjunto dos

números reais diferentes de 0 e contidos na semi-reta oposta a OU é chamado conjunto

dos números reais negativos e denotado por . Em linguagem simbólica,

+ = {a : a OU e a 0}

e

= {a : a OU e a 0}.

Observação: Com estas últimas notações, temos = +

{0}.

Observação: Parece que as notações + e

não são utilizadas no ensino básico. Neste

caso, pode-se escrever e

, respectivamente.

Atividade 3 Podemos facilmente obter outros segmentos que não podem representar

nenhum número racional. Veja o desenho a seguir.

r O U A

A = AO


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a) Verifique, via teorema de Pitágoras, que os dois novos segmentos obtidos

representam a raiz da equação x2 = 3 e x

2 = 4, respectivamente. Repita o processo

ilustrado na figura para obter segmentos que representem 5 e 6 . (Procure usar um

compasso.)

b) Reproduza o desenho anterior numa folha, sobre uma reta graduada pela unidade

dada pelo centímetro. Utilize uma régua com milímetros para medir os segmentos

obtidos. Utilize uma calculadora para obter valores aproximados de 2 , 3 , 5 e

6 . Verifique se estes valores coincidem com as medidas obtidas no seu desenho.

(Utilize régua, compasso e esquadro para construir os desenhos.)

Com a ampliação dos números racionais para os números reais, a reta graduada

passa a ter novas possíveis marcas. Veja um exemplo.

Leitor, é possível que você esteja incomodado com este novo conjunto

numérico. Realmente, no nosso cotidiano é muito difícil se deparar com um número real

que não é racional. Contudo, por mais incrível que pareça, existem muito mais números

reais que não são racionais do que os que são racionais. Podemos enumerar alguns

explicitamente, como , e, 2 , 3 , 5 e 6 , ou toda raiz n , onde n e n não é

o quadrado de um número. Na próxima seção você verá como produzir mais números

reais e, assim, verá que o conjunto destes números é maior do que o conjunto dos

números racionais. Inclusive, existe um nome para os números reais que não são

racionais, são os números irracionais.

As operações adição e multiplicação de

2 0 1 3 2


9

Provavelmente, o maior problema de se considerar as representações decimais

para os números reais seja na hora de definir as operações adição e multiplicação. Por

exemplo, se você considerar a representação decimal parcial, 1,41, no lugar de 2 ,

verá que esta representação decimal não satisfaz a equação x2 = 2. Neste momento a

representação geométrica se mostra muito útil. Veja, através de desenhos, como as

operações adição e multiplicação de números reais podem ser entendidas.

Representação geométrica da soma de dois segmentos.

Representação geométrica do produto de dois segmentos.

Veja como fica o desenho do produto 2 × 2 . O resultado é o esperado, 2.


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Apesar do que se costuma divulgar, o conjunto dos números irracionais é muito

maior do que conjunto dos números racionais. Para entender isto melhor, basta ver que

se a é racional e x é irracional então a + x é irracional. De fato, se a + x = b é racional

então temos x = b a como racional, pois a diferença de racionais é racional. Mas, isto

é um absurdo, pois um número não pode ser racional e irracional. Assim, por exemplo,

todos os números da forma a + 2 , onde a , é irracional.

Só por curiosidade, se fôssemos representar geometricamente só os números

racionais e depois só os números irracionais, teríamos algo parecido com os seguintes

desenhos.

Propriedades operacionais

No caso dos números reais, , nem sempre é adequado, ou viável, utilizar

representações numéricas ou geométricas nos cálculos operacionais. Nesta caso, a

melhor opção é fazer uso da Álgebra elementar. Isto significa que, para um estudo

inicial, a melhor maneira de se trabalhar com as operações é usar e abusar das

propriedades operacionais dadas a seguir.

a) (x + y) + z = x + (y + z);

Reta com todos os reais marcados

Reta só com os racionais marcados

Reta só com os irracionais marcados


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b) 0 + x = x + 0 = x;

c) x + (–x) = (–x) + x = 0;

d) x + y = y + x;

e) x + a = b x = b + (a);

f) a + x = a + y x = y;

g) (xy)z = x(yz);

h) 1.x = x.1 = x;

i) se x 0, xx1

= x1

x = 1;

j) xy = yx;

l) se a 0, ax = b x = a1

b;

m) se a 0, ax = ay x = y;

n) x(y + z) = xy + xz;

o) (x + y)z = xz + yz;

p) xy = 0 x = 0 ou y = 0;

q) (a)b = a(b) = ab.

Atividade 4

a) Estude o seguinte desenvolvimento de contas. Identifique as propriedades utilizadas

ao longo das contas.

3( 7 5 2) + 7 5 = 3 7 5 + 6 + 7 5 = 3 7 5 + 7 5 + 6 = 3. 7 5 + 1. 7 5 + 6 =

= (3 + 1). 7 5 + 6 = 2 7 5 + 6.

b) Desenvolva as contas dadas a seguir realizando o máximo de transformações

possível.

i)

2/32)32(2 ii) 3

5 + 5.3

4 2.3

3 + 12.3

2.

c) Encontre a média aritmética de 21, 21, 10, 28, 33, 33, 28, 10, 10, 28, 21 e 21 (soma

dos valores dividida por 12), mas evitando ao máximo de fazer contas grandes.

d) Resolva a equação 7 5 x + 2 = x .

e) Resolva o sistema de equações,

5 323

2

yx

yx .


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A relação de ordem em

O conjunto + permite definir uma relação de ordem entre os números reais, a

saber, dizemos que x < y (ou y > x) se y x +. Com esta notação, temos que x > 0 se,

e só se, x + e x < 0 se, e somente se, x

.

A relação x < y pode ser representada na reta da seguinte maneira.

É claro que a noção de ordem é um fato bastante intuitivo, mas devemos tomar

certo cuidado com a apresentação deste conceito. Dizer que x < y se “x está à esquerda

de y” é um pouco impreciso. Se uma pessoa virar a folha de cabeça para baixo ou olhá-

la pelo seu verso, verá a relação x < y mudar para y < x.

Juntando o significado de x < y com o significado de x > 0, temos que x < y se, e

só se, y x > 0. Esta última equivalência é muito útil para verificações.

Escreve-se x y para significar que x < y ou x = y.

Na verdade, o que torna esta relação de ordem especial é o fato de ela ser

compatível com as operações de . De fato, a relação de ordem que definimos goza das

seguintes propriedades.

Propriedades Básicas de ordem

O1) x > 0 e y > 0 x + y > 0 e xy > 0.

O2) Dado x , uma, e só uma, das três alternativas ocorre: ou x = 0, ou x > 0 ou x < 0.

Aluno, com a sua experiência adquirida neste curso, como você olha estas duas

propriedades? Estas aparecem para você apenas como um conjunto de regras?

Provavelmente seja difícil antever a importância das propriedades, mas certamente você

é capaz de interpretar e entender o significado das afirmações. Para isto, basta

identificar cada elemento dos enunciados. Por exemplo, em (O1), o que significa x > 0 e

y > 0? O que significa x + y? Sabemos, neste caso, que x e y estão contidos na semi-reta

OU , donde a justaposição dos segmentos x e y também está contido na semi-reta OU .

Ou seja, x + y > 0. Se estes argumentos não ficaram exatamente claros, faça uma

representação geométrica destas condições. Para ajudar a entender melhor ainda o

O U x y


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enunciado, pense no que poderia acontecer se x fosse menor do que zero. Ainda

podemos garantir que x + y é maior do que zero?

Procure argumentar sobre afirmações feitas no texto, caro aluno Tente não

aceitar propriedades matemáticas como regras a serem decoradas. Tente entendê-las.

Temos várias outras propriedades importantes que relacionam a noção de ordem

com as operações de . As seguintes propriedades decorrem das propriedades básicas

da noção de ordem.

a) x < y e y < z x < z.

b) Dados x, y , exatamente uma das seguintes possibilidades ocorre: x = y, x < y

ou y < x.

c) x < y e z x + z < y + z.

d) x < y e z + xz < yz.

e) x < y e z yz < xz.

f) x 0 x2 > 0.

g) x < 0 e y > 0 xy < 0.

h) x > 0 x1

> 0.

i) x, y > 0 e x < y y1

< x1

.

j) Dado x , x < x + 1.

k) 0 < x < y xn < y

n.

Como acabamos de falar, não é interessante decorar estas propriedades. É claro

que em primeiro lugar é importante saber que elas existem. No futuro, se fizer

manipulações algébricas em um inequação (expressão com desigualdade, em vez de

igualdade), você deve saber que existem certas regras a serem seguidas. Contudo,

também é importante ter uma noção da justificativa destas propriedades. A vantagem de

se entender e interpretar os fatos é que, precisando ou na dúvida do enunciado, pode-se

deduzir uma propriedade na hora, para não correr riscos de erro.

Veja dois exemplos de dedução de propriedade.

Verificação da propriedade (c): Se x < y e z , então

0 < y x = y + 0 x = y + z z x = y + z (x + z),

ou seja, (y + z) (x + z) > 0.

Assim, verificamos que x < y e z x + z < y + z.

Verificação da propriedade (a): Basta desenhar a propriedade.


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Pelo desenho, fica claro que se x < y e y < z então teremos também x < z.

Observação: Veja, na verificação da propriedade (c), como o conhecimento das

propriedades operacionais ajuda a montar argumentos de justificativas. Por outro lado,

veja, na verificação da propriedade (a), como que a representação geométrica pode ser,

em certos casos, extremamente útil, e de simples utilização. Atenção! Não é o objetivo

deste curso fazer verificações de todas as propriedades, muito menos verificações

rigorosas. Mas acreditamos que fazer algumas verificações, mesmo que de forma

intuitiva, pode ser uma boa oportunidade para preparar melhor o leitor para estudos

futuros. Para o aluno mais interessado, é um ótimo exercício tentar verificar todas as

propriedades anteriores.

O conhecimento das propriedades sobre desigualdade é muito útil para a

resolução de inequações.

Exemplo: Vamos resolver a inequação 3x + 1 < 2x. O procedimento é bastante parecido

com o de resolução de equações. (Mas não é igual!) Utilizando a propriedade (c) duas

vezes, temos:

3x + 1 < 2x 3x + 1 + (2x) < 2x + (2x) x + 1 < 0

x + 1 + (1) < 0 + (1) x < 1

Assim, 3x + 1 < 2x x < 1. Ou seja, a solução da inequação, 3x + 1 < 2x, é todo x

tal que x < 1.

Exemplo: Vamos resolver a inequação 4x < 3. Só precisamos isolar x. Para isto,

segundo a propriedade (d), basta multiplicar os dois lados da inequação por 4

1, para,

então, obter 4

1.4x <

4

1.3. Daí, x <

4

3.

Aluno, é preciso ter muita consciência no uso destas propriedades. Por exemplo,

a propriedade (c) não tem nenhuma restrição e o resultado tem uma certa simetria. Ele

afirma que se x < y então x + z < y + z. Já no caso do resultado (d), existe uma restrição,

x y z


15

ele só vale para z > 0. Contudo, ainda existe uma simetria. Quando x < y e z >0, temos

xz < yz. No caso da propriedade (e), a restrição é que se tenha z < 0 e existe uma

assimetria no resultado. Quando x < y e z < 0, temos xz > yz. Note como que o sinal

troca de lado.

Exemplo: Para resolver a inequação, 1 2x < 2, podemos proceder assim:

1 2x < 2 (1) + 1 2x < (1) + 2 2x < 1 2x < 1

(

). ( 2)x > (

).1 x >

.

Não deixe de notar a troca de sinal no momento da multiplicação dos dois membros por

um número negativo, aluno.

Atividade 5

a) Diga se é verdadeiro ou falso: a .

b) Resolva a inequação dada

1. 2x + 1 x + 6 2. 2 3x x + 14 3. x x

2

1

3 4. 2(x + 3) > 3(1 x)

5. 3(1 2x) < 2(x + 1) + x 7 6. 2 x + 1 < 2

3x

c) Existe um maior número inteiro que seja solução da inequação 1793

x

? E um

número real?

d) Justifique porque a implicação a < x e b < y a b < x y é falsa (utilize a

representação geométrica).

e) Justifique porque a equação x2 = a não tem solução quando a < 0.

f) Considere a inequação

2 Descubra a propriedade que foi desrespeitada no

desenvolvimento a seguir:

2 2

logo o conjunto solução é uma união de

intervalos, a saber S= ( ) (

).

Note que esse conjunto contém números que não resolvem a inequação, como x

= 2, x = 1/2. Onde está o erro???

Intervalo e módulo


16

Uma noção importante que decorre da relação de ordem é a de intervalo. Dados

a, b , com a < b, o subconjunto de formado pelos pontos que estão entre a e b é

chamado intervalo limitado. Para distinguir o intervalo que contém, ou não, os pontos

extremos, a e b, usa-se os termos fechado ou aberto, à direita ou à esquerda. Os quatro

tipos de intervalos limitados são:

[a,b] = {x | a x b} é dito um intervalo fechado;

(a,b) = {x | a < x <b} é dito um intervalo aberto;

[a,b) = {x | a x < b} é dito um intervalo fechado à esquerda e aberto à

direita;

(a,b] = {x | a < x b} é dito um intervalo aberto à esquerda e fechado à

direita;

O nome intervalo também pode ser associado a outros tipos de subconjuntos

conhecidos como intervalos ilimitados. Os cinco casos de intervalos ilimitados são:

(,b] = {x | x b} é dito um intervalo fechado à direita;

(,b) = {x | x < b} é dito um intervalo aberto à direita;

[a,+) = {x | a x} é dito um intervalo fechado à esquerda;

(a,+) = {x | a < x} é dito um intervalo aberto à esquerda;

(,+) = , o conjunto também é visto como um intervalo.

Notação: a < b < c significa que a < b e b < c.

Atividade 6

a) É sempre muito interessante trabalhar com a representação gráfica da noção de

intervalo. Por exemplo, um intervalo da forma (a,b] pode ser representado graficamente

por

Represente geometricamente cada tipo de intervalo.

b) Diga se é verdadeiro ou falso.

A interseção de dois intervalos é sempre um intervalo.

A união de dois intervalos é sempre um intervalo.

a b


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c) Escreva o conjunto X = {x | x 0} em termos de intervalos (você vai ter que usar

a união).

Desafio: Dados a, b , a média aritmética destes valores sempre pertence ao intervalo

aberto (a, b), pois a < 2

ba < b (você conseguiria verificar estas desigualdades?)

A primeira aplicação da notação para intervalos é na descrição de soluções de

inequações. Em exemplo anterior, sobre a inequação 3x + 1 < 2x, foi determinado que a

solução da inequação é dada por todo x tal que x < 1. Uma maneira de expressar

tal fato, usando a linguagem de conjuntos, é dizer que o conjunto, S, de soluções de 3x +

1 < 2x é dado por

S = {x | x < 1}.

Pela notação introduzida, este conjunto pode ser expresso de forma abreviada por

S = (, 1).

Se você quiser, a solução pode ser representada geometricamente, na reta graduada.

Neste caso temos S representado na reta da seguinte maneira.

Atividade 7 Dê a resposta de cada inequação do item (b) da atividade 5 em termos de

intervalo. Represente cada solução graficamente.

A noção de intervalo aparece com mais força quando se fala em sistema de

inequações. Vejamos um caso.

Exemplo: Vamos resolver o sistema de inequações

63

512

x

x. Lembre que resolver

um sistema de inequações significa determinar os números que são soluções de todas as

inequações ao mesmo tempo. Vejamos em detalhes.

A primeira inequação é simplificada para 2x < 4, donde x < 2. Assim, o conjunto

solução da primeira inequação é dado por S1 = (, 2).

0 1


18

A segunda inequação é simplificada para x < 3, donde x > 3. Assim, o

conjunto solução da primeira inequação é dado por S1 = (3, +).

E o conjunto solução do sistema? Sabemos que x é solução do sistema se, e só

se, é solução das duas inequações. Assim, x S, conjunto solução do sistema, se, e só

se, x S1 e x S2, ou seja, x S1 S2.

Vejamos isto numa representação gráfica. A seguir, temos os conjuntos S1 e S2

em destaque na reta graduada.

As soluções do sistema de inequações devem atender às duas condições

simultaneamente. Os pontos da reta que satisfazem esta condição são facilmente

determinados pelo desenho. Confira a seguir.

Assim, pelo desenho, o conjunto solução do sistema de inequações é dado por S

= (3, 2).

Para que não fique dúvidas sobre o que foi feito, verifique que S é o conjunto

solução. Pegue alguns pontos do intervalo e substitua no sistema. Veja se as relações

são atendidas. Só para ficar mais claro, pegue alguns pontos menores do que 3 e outros

maiores do 2 e veja o que acontece com as inequações do sistema para estes valores.

Atividade 8 Resolva os sistemas de inequações. Represente o conjunto solução

graficamente e em termos de intervalo.

1.

93

62

x

x 2.

143

914

xx

x 3.

1432

612

xx

xx

4.

43

012

x

x 5.

013

084

x

x

Vamos agora falar um pouco sobre uma situação bem mais rica onde a noção de

intervalo é bastante usada. Nós já conversamos sobre a noção de ordem. Do ponto de

0 2

0 3

0 2 3


19

vista geométrico, este conceito está mais relacionado com a posição do número real

sobre a reta do que com o tamanho do segmento que este número representa. Por

exemplo, o 5 é representado geometricamente por um segmento de reta bem maior do

que o segmento que representa o 2. Mas, levando em consideração a posição dos

números, a relação de ordem que conhecemos diz que o número 2 é maior do que 5. O

próximo conceito considera melhor esta questão.

Definição: Dado x , o valor absoluto (ou módulo) de x é o número |x| = máx{x, x}.

Observação: máx{a, b} significa o máximo, ou maior, de a e b. Note que a existência

deste máximo é garantida pela propriedade (b) de ordem.

Observação: A definição de módulo é equivalente a:

0 se ,

0 se ,

xx

xxx .

Interpretação geométrica: Dado x , o valor |x| representa o tamanho do número x.

Assim, 31 representa um número negativo, menor do que 3, 0 ou 2, por exemplo.

Mas, o comprimento da sua representação geométrica é maior do que o comprimento da

representação geométrica de 3, 0 e 2. De fato, o comprimento de 31 é |31| = 31 que

é maior do que |3| = 3, |0| = 0 e |2| = 2.

A manipulação da noção de módulo se relaciona com a noção de intervalos a

partir da seguinte propriedade.

Propriedade: Dados x, a , com a > 0, temos a seguinte equivalência:

a x a |x| a

Justificativa: Como entender que as duas relações são equivalentes? Podemos montar

um argumento baseado na representação geométrica das relações. Como seria o desenho

de uma reta com um número a > 0, com o número a e um número x satisfazendo a

x a? Agora, o primeiro desenho também representa a relação |x| a? É fácil verificar

que sim.

a a x 0 |x|


20

Pela interpretação geométrica da noção de módulo, podemos argumentar da

seguinte maneira. A relação a x a significa que o número x está entre os números

a e a, o que quer dizer que o tamanho de x está entre 0 e a, o que significa que |x| a.

Uma consequência direta desta última propriedade é que, dados a, x, , com

> 0, tem-se

|x a| a x a + .

Os resultados acima ainda valem com < no lugar de . Assim, vale a relação mais

completa e muito útil,

x (a , a + ) a < x < a + |x a| <

A razão de olhar com calma para uma expressão do tipo |x a| é que ela tem

uma interpretação geométrica muito importante. A saber, se os números reais forem

usados como marcadores de posição em uma reta, o valor |y x| pode ser visto como a

distância entre x e y. Notação: d(x, y) = |y x|.

Exemplo: Vamos resolver o sistema

4|1|

3|5|

x

x. Em vez de usarmos a definição

0 se ,

0 se ,

xx

xxx , como normalmente é feito, usando a relação com intervalos, temos

mais diretamente

|x 5| < 3 d(x, 5) < 3 x (2,8)

e

|x + 1| 4 d(x, 1) 4 x (5, 3).

Estas relações podem ser representadas graficamente pelo seguinte desenho. Na

primeira linha, temos os pontos cuja distância a 5 é menor do 3. Na segunda linha,

temos os pontos cuja distância a 1 é maior do que ou igual a 4.

No desenho, podemos ver que a solução é dada por todo x tal que 3 x < 8

(a interseção das duas soluções), ou seja, o conjunto solução é o intervalo [3, 8).

0 5 5 + 3 5 3

0 1 1 + 4 1 4


21

Atividade 9

a) Represente graficamente, sobre a reta, o conjunto solução da inequação:

i) |x 3| < 5 ii) |x 1| 1

b) determine uma inequação envolvendo módulo que seja representada graficamente

pelo conjunto de pontos destacado a seguir.

Desafio: Sejam x, y +. Mostre que

2

yxxy

. (A justificativa desta desigualdade é

uma técnica muito útil para vários exercícios de Matemática – dica: 0 (a + b)2.)

Raiz n-ésima – a solução da equação xn = a

Outra vantagem na construção dos números reais é saber que sempre existe uma

solução para equações do tipo xn = a, quando a > 0 e n *

. Vamos, a seguir, dar uma

ideia de porque este fato é verdadeiro. Entenda, leitor, que é apenas uma ideia. Os

argumentos apresentados aqui não são argumentos matemáticos, propriamente dito, e

um trabalho assim necessitaria de uma melhor fundamentação sobre o conjunto dos

números reais (o que é feito na disciplina de Análise). Isto aqui é apenas uma ideia do

porque os números reais devem incluir as raízes.

É fato que sempre existe um número real, b, tal que bn < a. Por exemplo, se b =

p10

1 então b

n =

np

n

p 10

1

10

1

= 0,000...01 (com np casas decimais). Ou seja, se p é

um número grande, muito grande, bn vai ser um número pequeno, muito pequeno (tão

pequeno quanto queiramos, é só pegar p suficientemente grande). Assim, escolhendo p

adequado podemos ter bn < a. Procedendo de forma análoga, podemos afirmar que

existe um número real, c, tal que a < cn (por exemplo, fazendo c = 10

p, com p bem

grande).

Temos que existe um número real, b, tal que bn < a e que existe um número real,

c, tal que a < cn. Note também que, quando x, y > 0, temos x

n < y

n x < y

(consequência da propriedade (k) sobre desigualdades).

0


22

Sejam X = { x : xn < a } e Y = { y : y

n > a }. Pelo que acabamos de ver,

X e Y são conjuntos diferentes de vazio e todos os elementos de X são menores do que

todos os elementos de Y, vice-versa. Veja, no desenho, como estes conjuntos podem

estar na reta.

Caso houvesse um espaço entre os conjuntos X e Y, como no desenho,

poderíamos pegar um elemento z > 0 tal que z X e z Y. Isto significa que não temos

zn < a, nem z

n > a. O que resta para z

n? Pela propriedade (O2), só resta z

n = a e, assim,

encontramos a solução da equação.

E se não existe o espaço entre os conjuntos X e Y? Neste caso, temos + = X

Y. Note que X e Y devem ser intervalos e X deve ser um intervalo limitado. Podemos ter

X = (0, d] e Y = (d, +) ou X = (0, d) e Y = [d, +).

Para se continuar esta linha de argumentação, não tem como deixar de ser

técnico. O máximo de intuitivo que podemos ser segue agora. Se X é da forma (0, d]

então d X, donde dn < a. Agora, se pegarmos um número só um pouco maior do que

b, com uma diferença muito pequena, digamos, d + , ainda pode se esperar que (d + )n

< a. (a explicação técnica para isto é obtida a partir da conhecida desigualdade de

Bernoulli, (1 + x)n 1 + nx). Vamos ficar com só com esta pequena ideia intuitiva.

Continuando, vimos que (d + )n < a, o que significa que d + X, o que é

absurdo, pois d era o maior elemento do conjunto X. Logo, só podemos ter X = (0, d).

De modo análogo, pode-se deduzir que Y tem que ser da forma Y = (d, +).

Neste caso, temos que d X e d Y. Ou seja, temos que ter um espaço entre os

conjuntos X e Y. Pelo que já foi analisado, fica garantido que existe uma solução para a

equação xn = a, quando a > 0 e n *

.

Se o leitor observar o argumento anterior, verá que garantimos a existência de

solução para a equação xn = a, quando a > 0 e n *

, e que esta solução é positiva. Na

verdade, podemos facilmente verificar que a solução positiva encontrada é única

(veremos isto na unidade 7). Em resumo, dada uma equação xn = a, com a > 0 e n *

,

existe um único número b + (isto é, b é real e b > 0) que satisfaz tal equação. Em

0 1

X Y


23

particular, dados a > 0 e n *, sempre podemos falar em n a , a única solução de x

n =

a. Quando a < 0 e n * é ímpar, é possível mostrar que o símbolo n a também faz

sentido, pois a equação xn = a também tem solução e esta é única. Quando a = 0 e n

*, o símbolo n a tem significado óbvio, pois 0

n = 0.

Quando estudar a disciplina Cálculo, o aluno verá uma nova explicação intuitiva

para a existência de raízes.

Gabarito das atividades

Atividade 2:

Solução:

a) e b)Racionais, pois possuem um número finito de casa decimais.

c) Racional, pois indica uma dízima periódica composta. A representação pode ser

escrita como 1,04 23 ̅̅ ̅̅ ̅.

d) Irracional, pois a representação decimal é infinita e não faz indicação de ser dízima

periódica.

e) É indeterminado. O fato da representação parcial não indicar padrão de repetição não

significa que depois da última casa decimal indica, 4, não teremos uma dizima

periódica.

Atividade 3:

a)

A figura acima mostra que ( 2) 2 3, logo o comprimento da

hipotenusa é a raiz positiva da equação x2 = 3 e é igual ao raio do arco da

circunferência tracejada. Assim, marcamos o comprimento 3 na reta orientada.


24

Analogamente, ( 3) 3 .

Para obtermos os segmentos e , observe a figura a seguir.

Atividade 4:

Soluções:

a) 3(

2 )

⏟ )

3

( 3) ( 2)

⏟ )

3

⏟ )

3

⏟ )

3

⏟ )

( 3 )

⏟ )

2

b) ) ( )

⁄

ii) 3 3 2 3 2 3 3 ( 3 )3 2 2 2

c) Média =

12

212128101028333328102121

12

33.228.310.321.4

228772

161414

4

)1114514(2

12

)11.228107.4(3

d)

2

2 (

) 2

2

e)

e

.


25

Atividade 5:

Solução:

a) Nada podemos afirmar. Se a > 0 então –a < 0. Mas, se a < 0 então –a > 0.

b)

1. 2x + 1 x + 6 2xx 6 1 x 5.

Assim, S = {x | x 5}.

2. 2 3x x + 14 x 3x 14 2 4x 12 x 4

12

x 3.

Assim, S = {x | x 3}.

3. 22233

1

23

1

2

xxx

xxxx.

Assim, S = {x | x 2}.

4. 2(x + 3) > 3(1 x) 2x + 6 > 3 – 3 x 5x>3 x>3/5.

Assim, S = {x | x>3/5}.

5. 3(1 2x) < 2(x + 1) + x 7 3 6x < 2x + 2 + x 7 9x < 8 x >

9

8

x >

9

8.

Assim, S = {x | x > 8/9}.

6. 2

2

( 2

)

(

)

(

)

, (note que a mudança de sinal ocorreu

porque 2 <

). Assim, { |

c) Temos que 1793

x

3

x< 8 x < 24. Assim, o maior número inteiro que é

solução da inequação 1793

x

é o maior número inteiro x tal que x < 24. Ou

seja, x = 23. No entanto, não existe um maior número real no interior do

intervalo ( , 24), que seja solução desta desigualdade. (Isso é uma

curiosidade, por enquanto. Em outras disciplinas mais para frente do curso você

irá ver o porquê. É consequência de uma propriedade do conjunto dos números


26

reais. Sempre existirá um número real maior do que qualquer outro que você

imaginar e menor que um outro que você imaginar no interior de um intervalo

aberto.)

d) Note que a b < x y . Portanto, se

tomarmos a < x tal que a distância de x a a, x a, seja menor ou igual à

distância de y a b, y b, teremos , portanto a

desigualdade do enunciado é falsa, pois não vale em geral.

Tome por exemplo a=2, x=3, b=1 e y=4, então a < x, b < y, porém 1= a b >

x y = 1. Há uma infinidade de outros exemplos, encontre outros. Acompanhe

a explicação a partir do desenho a seguir.

e) Observe que , , logo não existe x real cujo quadrado seja

negativo. Assim a equação dada não tem solução no conjunto dos números

reais.

f) Só podemos dizer que

2 2 quando x > 0.

Atividade 6:

Solução:

a)(a,b)

[a,b)

[a,b]

a b x y


27

)

( )

(

( )

( )

b)

A afirmação é verdadeira. Bom, isto considerando o caso em que a interseção é

diferente do conjunto vazio, é claro. Neste caso, a interseção de intervalos (a, b)

e (c, d) é o intervalo (m, n), onde m = máximo{a, c} e n = mínimo{b, d}. Faça

um desenho para ilustrar o narrado aqui. Para os outros tipos de intervalos a

afirmativa também é verdadeira. Faça esboços.

Esta afirmação é falsa. Por exemplo, a união de (2, 0) e (1, 5) não é um

intervalo. Verifique isto com um desenho.

c) Basta fazer X = (, 0) (0, +).

Desafio:

Solução:

Considerando o intervalo (a, b), está implícito que a < b. Assim, 2

2 , logo dividindo por 2 obtemos que

.

Atividade 7:

Solução:


28

1. (

2. (- ,-3]

3. [-2, + )

4. (

)

5. (

)

6. (

)

Atividade 8:

Solução:

1. 2 3 e 3 3. Fazendo a interseção entre os dois

intervalos, obtemos ( 3 ( 3 ) ( 3 3

2. 2 e 3 2 .

Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos ( 2

) 2

3. 2 e 2 3 2 3 .

Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos (

( 3 ( 3 .


29

4. 2 2

e 3

. Fazendo a

interseção entre os dois intervalos, obtemos (

] (

) (

.

5. 2 e 3 3

. Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos .

Atividade 9:

Solução:

a-i) ( 2 )

a-ii) ( 0] 2 )

b) |x (2)| < 3, isto é, |x + 2| < 3.

Desafio:

Solução:

Dados , temos que ( ) 2 2

. Em particular, para temos para e √ a

desigualdade √ √ ( ) ( )

.

OBS: A desigualdade acima significa que a média geométrica entre dois números reais

não negativos é menor do que ou igual à média aritmética entre os dois. Seguindo a

0 3 8 = 5 + 3 2 = 3 5

1 +1 = 0 1 2 = 1 + 1


30

demonstração acima, veja que a igualdade só vale quando a=b, isto é quando √ ,

donde quando x=y.

unidade 4 - números reais

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