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Teoria dos grafos

FATEC Carapicuíba

Augusto de Toledo Cruz Junior

HISTÓRICO Teoria dos grafos

2 Setembro 2009 FATEC Carapicuíba – MQG - Augusto T. Cruz Jr.

Origem • O artigo do matemático e físico

suiço Leonhard Euler, publicado em 1736, sobre o problema das Sete Pontes de Königsberg, é considerado o primeiro resultado da teoria dos grafos e não passava de uma especulação matemática. Era um jogo análogo aos atuais quebra-cabeças para crianças, baseados em um desenho cujas linhas devem ser percorridas sem que se tire o lápis do papel e sem passar duas vezes sobre a mesma linha.

Setembro 2009 FATEC Carapicuíba – MQG - Augusto T. Cruz Jr. 3

http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sete_Pontes_de_K%C3%B6nigsberg

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sete_Pontes_de_K%C3%B6nigsberg

Desenvolvimento

• Em 1847 Kirchhoff iniciou o estudo de árvores (um tipo de grafo) quando estudava circuitos elétricos

• Em 1857 Cayley relacionou esta teoria com o estudo de isômeros na química

• Em 1859 Hamilton estudava problemas de caminhos e em 1869 Jordan procurava formalizar a teoria das árvores


Desenvolvimento no século XX

• Muitos pesquisadores passaram a estudar, em particular os matemáticos

• Um grande número de aplicações para pesquisa operacional foi desenvolvida. Um dos mais extensos e importantes capítulos da teoria dos grafos foi desenvolvida em 1962 por Ford e Fulkerson

• Atualmente há tendência em considerar o estudo de fluxos em redes como o único de real interesse. Não é o único mas é considerado o capitulo mais importante da teoria para a pesquisa operacional


CONCEITOS Teoria dos grafos


Visão geral de grafo

• A Teoria dos Grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto.

• Grafo é uma estrutura G(V,A) onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices ou nodos e A é um conjunto de pares não ordenados de V, chamado arestas (arcos ou ramos).

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Vértice

Aresta

Grafo com 4 vértices e 6 arestas

Setembro 2009 FATEC Carapicuíba – MQG - Augusto T. Cruz Jr.

Visão geral de grafo

• Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter sentido, pode ser permitido ou não arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso (numérico) associado. Se as arestas têm um sentido associado (indicada por uma seta na representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou digrafo.

• Um grafo com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial ou "o ponto".


Composição de um grafo

• Seja, por exemplo, o grafo G(V,A) dado por: – V = { p | p é uma pessoa } – A = { (v,w) | < v é amigo de w > }

• Esta definição representa toda uma família de grafos. Um exemplo de elemento desta família é dado por: – V = { Maria, Pedro, Joana, Luiz } – A = { (Maria, Pedro) , (Joana, Maria) ,

(Pedro, Luiz) , (Joana, Pedro) }

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• Neste exemplo estamos considerando que a relação <v é amigo de w> é uma relação simétrica, ou seja, se <v é amigo de w> então <w é amigo de v>. Como conseqüência, as arestas que ligam os vértices não possuem qualquer orientação


Grafo orientado (Digrafo)

A relação definida por A não é simétrica pois se <v é pai/mãe de w>, não é o caso de <w é pai/mãe de v>. Há, portanto, uma orientação na relação, com um correspondente efeito na representação gráfica. Neste caso o grafo é dito ser um grafo orientado (ou digrafo) e as conexões entre os vértices de arcos


Adjacência

• Em um grafo simples dois vértices v e w são adjacentes (ou vizinhos) se há uma aresta a=(v,w) entre os vértices v e w . Está aresta é dita ser incidente a ambos, v e w. É o caso dos vértices Maria e Pedro. No caso do grafo ser orientado, a adjacência (vizinhança) é especializada em: • Sucessor: um vértice w é sucessor de v se

há um arco que parte de v e chega em w. Por exemplo, diz-se que Emerson e Antonio são sucessores de Alfredo.

• Antecessor: um vértice v é antecessor de w se há um arco que parte de v e chega em w. Por exemplo, diz-se que Alfredo e Cecília são antecessores de Antonio.


Grau

• O grau de um vértice é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes. Por exemplo: grau(Pedro) = 3 e grau(Maria) = 2

• No caso do grafo ser dirigido orientado, a noção de grau é especializada em: – Grau de emissão: o grau de emissão de um

vértice v corresponde ao número de arcos que partem de v. Por exemplo: • grauDeEmissão(Antonio) = 1 • grauDeEmissao(Alfredo) = 2 • grauDeEmissao(Renata) = 0

– Grau de recepção: o grau de recepção de um vértice v corresponde ao número de arcos que chegam a v. Por exemplo: • grauDeRecepção(Antonio) = 2 • grauDeRecepção(Alfredo) = 0 • grauDeRecepção(Renata) = 1


Fonte e sumidouro

• FONTE Um vértice v é uma fonte se grauDeRecepção(v) = 0. É o caso dos vértices Isadora, Alfredo e Cecília

• SUMIDOURO Um vértice v é um sumidouro se grauDeEmissão(v) = 0. É o caso dos vértices Renata e Emerson


Laço

• Um laço é uma aresta ou arco do tipo a=(v,v), ou seja, que relaciona um vértice a ele próprio. Na figura há três ocorrências de laços para um grafo não orientado nos vértices A, C e B


Grafos regular e completo

GRAFO REGULAR Um grafo é dito ser regular quando todos os seus vértices tem o mesmo grau. O grafo da figura abaixo, por exemplo, é dito ser um grafo regular-3 pois todos os seus vértices tem grau 3.

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GRAFO COMPLETO Um grafo é dito ser completo quando há uma aresta entre cada par de seus vértices. Estes grafos são designados por Kn, onde n é a ordem do grafo.

Um grafo Kn possui o número máximo possível de arestas para um dados n. Ele é, também regular-(n-1) pois todos os seus vértices tem grau n-1.


Grafo valorado

• Um grafo G(V,A) é dito ser valorado quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números. Para exemplificar, seja G(V,A) onde: – V = {v | v é uma cidade com

aeroporto}

– A = {(v,w,t) | <há linha aérea ligando v a w, sendo t o tempo esperado de vôo>}


Florianópolis

Porto

Alegre

Curitiba São

Paulo

60

20

50

45

30

Cadeia

• Uma cadeia é uma seqüência qualquer de arestas adjacentes que ligam dois vértices. O conceito de cadeia vale também para grafos orientados, bastando que se ignore o sentido da orientação dos arcos. A seqüência de vértices (x6, x5, x4, x1) é um exemplo de cadeia

• Uma cadeia é dita ser elementar se não passa duas vezes pelo mesmo vértice

• É dita ser simples se não passa duas vezes pela mesma aresta (arco)

• O comprimento de uma cadeia é o número de arestas (arcos) que a compõe


Caminho e Ciclo

• CAMINHO Um caminho é uma cadeia na qual todos os arcos possuem a mesma orientação. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados. A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x6, x3) é um exemplo de caminho

• CICLO Um ciclo é uma cadeia simples e fechada (o vértice inicial é o mesmo que o vértice final). A seqüência de vértices (x1, x2, x3, x6, x5, x4, x1) é um exemplo de ciclo elementar


Grafos Conexo e Desconexo

• GRAFO CONEXO Um grafo G(V,A) é dito ser conexo se há pelo menos uma cadeia ligando cada par de vértices

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• GRAFO DESCONEXO Um grafo G(V,A) é dito ser desconexo se há pelo menos um par de vértices que não está ligado por nenhuma cadeia


Raiz e Anti-raiz

• RAIZ Se um vértice B é uma fonte e todos os demais vértices podem ser atingidos por um caminho partindo de B, então B é uma raiz

• ANTI-RAIZ Se um vértice A é um sumidouro e todos os demais vértices podem atingir A por um caminho, então A é uma anti-raiz


Árvore e Arborescência

• ÁRVORE É um grafo conexo sem ciclos

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• ARBORESCÊNCIA

É uma árvore que

possui uma raiz.

Aplica-se, portanto,

somente a grafos

orientados


Rede

• Uma rede é um grafo orientado e sem laços que possui exatamente uma raiz e uma anti-raiz. Na figura a rede é valorada

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Raiz Anti - raiz


Grafo planar


ALGUMAS APLICAÇÕES EM LOGÍSTICA DE TRANSPORTE

Teoria dos grafos


Problema de ciclo

• Um transportador deseja verificar se é possível fazer um ciclo, ou seja, rodar por uma cadeia (seqüência qualquer de arestas adjacentes que ligam dois vértices) simples (não passa duas vezes pela mesma aresta) e fechada (o vértice inicial é o mesmo que o vértice final)

• No exemplo a seguir constata-se que não é possível fazer o ciclo, mas em muitos outros casos constata-se a possibilidade de fazê-lo e como


Problema de ciclo: 7 pontes de Königsberg (enigma do Euler)

• O rio Pregel divide o centro da cidade de Königsberg (Prússia no século

XVII, atual Kaliningrado, Rússia) em quatro regiões. Essas regiões são

ligadas por um complexo de sete (7) pontes, conforme mostra a figura


Problema de ciclo: grafo de Euler para 7 pontes de Königsberg

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Os arcos

são as

pontes

Os vértices

são as

regiões

• Discutia-se nas ruas da

cidade a possibilidade de

atravessar todas as

pontes, voltando ao

lugar de onde se saiu,

sem repetir alguma.

Havia-se tornado uma

lenda popular a

possibilidade da façanha

quando Euler, em 1736,

provou que não existia

caminho possível para

estas restrições


Caminho de custo mínimo • De forma a reduzir seus

custos operacionais, uma empresa de transporte de cargas deseja oferecer aos motoristas de sua frota um mecanismo que os auxilie a selecionar o melhor caminho (o de menor distância) entre quaisquer duas cidades por ela servidas, de forma a que sejam minimizados os custos de transporte

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• Um possível modelo para este problema poderia ser:

– G (V,A) V = { x | x é cidade }

– A = { (xi, xj, d) | há uma conexão por estrada entre as cidades xi e xj, sendo d a distância

que as separa } Setembro 2009 FATEC Carapicuíba – MQG - Augusto T. Cruz Jr.

Localização em função do custo de transporte: método dos momentos

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Os vértices são as

localidades

valorados com o

peso da carga a ser

transportada

Os arcos são as

estradas valoradas

com a distância e o

custo por unidade de

distância

O momento M para cada localidade é o produto do custo unitário de

transporte pela quantidade a ser transportada e pela distancia a ser

percorrida

A localidade que tiver a menor soma de momentos será a escolhida


Caminho crítico

• Considere que tenhamos uma rede R(V,A), ou seja, um grafo orientado, sem laços e valorado, que contém exatamente uma fonte e um sumidouro. Nesta rede, os vértices representem eventos, os arcos representem atividades e os valores associados aos arcos representem a duração das atividades

• A disposição dos eventos (vértices) e das atividades (arcos) no grafo exprimem uma relação de dependência: um evento não ocorre antes que todas as atividades a ele imediatamente precedentes (arestas incidentes) sejam encerradas; de forma similar, uma atividade não pode ser iniciada antes que ocorra o evento que representa o início da atividade

• Nesta rede, o interesse maior é o de determinar o(s) caminho(s) do vértice inicial ao vértice final cuja soma das durações das atividades seja máxima. Este(s) caminho(s) é chamado de caminho crítico, suas atividades têm folga zero, e determina o prazo de realização das atividades do vértice inicial ao vértice final

• As atividades do caminho crítico devem ser geridas para que não atrasem senão atrasa a realização da rede toda


EXERCÍCIOS Teoria dos grafos


Exercícios sobre conceitos

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• Identifique os grafos conforme seus vértices (V), arcos (A) e graus (g):

a. b.

c. d.


Exercício de caminho de custo mínimo


Exercícios sobre conceitos

• A partir dos dados [vértices (V), arcos (A) e graus (g)], monte os respectivos grafos:

a. G(6,8) e g=(1,3,3,3,3,3), conexo

b. G(6,2) e g=(0,0,1,1,1,1), desconexo

c. G(6,3) e g=(0,1,1,1,1,2), desconexo

d. G(6,9) e g=(3,3,3,3,3,3), conexo regular

e. G(5,8) e g=(3,3,3,3,4), conexo completo


Exercício de localização


Bibliografia utilizada

• BOAVENTURA NETTO, P. O. Teoria e modelos de grafos. São Paulo: Edgard Blucher, 1979. 249 p.

• LIMAD, W. G. N., , CARVALHO, A. C.. B. D. Teoria dos Grafos. Métodos Quantitativos de Gestão. MGQ - 3o. Ciclo FATEC Carapicuíba. [s.l.], [200-]. Posse dos professores autores.

• MARIANI, A. C. Livro eletrônico teoria dos grafos. Disponível em: <http://www.inf.ufsc.br/grafos/livro.html> Acesso em: 27 mai. 2009.

• PETRÔNIO, G. M., LAUGENI, F. P. Administração da produção. 2 ed. São Paulo: Saraiva, 2006. 562 p.


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