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Teoria dos grafos
FATEC Carapicuíba
Augusto de Toledo Cruz Junior
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HISTÓRICO Teoria dos grafos
2 Setembro 2009 FATEC Carapicuíba – MQG - Augusto T. Cruz Jr.
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Origem • O artigo do matemático e físico
suiço Leonhard Euler, publicado em 1736, sobre o problema das Sete Pontes de Königsberg, é considerado o primeiro resultado da teoria dos grafos e não passava de uma especulação matemática. Era um jogo análogo aos atuais quebra-cabeças para crianças, baseados em um desenho cujas linhas devem ser percorridas sem que se tire o lápis do papel e sem passar duas vezes sobre a mesma linha.
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Desenvolvimento
• Em 1847 Kirchhoff iniciou o estudo de árvores (um tipo de grafo) quando estudava circuitos elétricos
• Em 1857 Cayley relacionou esta teoria com o estudo de isômeros na química
• Em 1859 Hamilton estudava problemas de caminhos e em 1869 Jordan procurava formalizar a teoria das árvores
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Desenvolvimento no século XX
• Muitos pesquisadores passaram a estudar, em particular os matemáticos
• Um grande número de aplicações para pesquisa operacional foi desenvolvida. Um dos mais extensos e importantes capítulos da teoria dos grafos foi desenvolvida em 1962 por Ford e Fulkerson
• Atualmente há tendência em considerar o estudo de fluxos em redes como o único de real interesse. Não é o único mas é considerado o capitulo mais importante da teoria para a pesquisa operacional
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CONCEITOS Teoria dos grafos
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Visão geral de grafo
• A Teoria dos Grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto.
• Grafo é uma estrutura G(V,A) onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices ou nodos e A é um conjunto de pares não ordenados de V, chamado arestas (arcos ou ramos).
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Vértice
Aresta
Grafo com 4 vértices e 6 arestas
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Visão geral de grafo
• Dependendo da aplicação, arestas podem ou não ter sentido, pode ser permitido ou não arestas ligarem um vértice a ele próprio e vértices e/ou arestas podem ter um peso (numérico) associado. Se as arestas têm um sentido associado (indicada por uma seta na representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou digrafo.
• Um grafo com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial ou "o ponto".
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Composição de um grafo
• Seja, por exemplo, o grafo G(V,A) dado por: – V = { p | p é uma pessoa } – A = { (v,w) | < v é amigo de w > }
• Esta definição representa toda uma família de grafos. Um exemplo de elemento desta família é dado por: – V = { Maria, Pedro, Joana, Luiz } – A = { (Maria, Pedro) , (Joana, Maria) ,
(Pedro, Luiz) , (Joana, Pedro) }
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• Neste exemplo estamos considerando que a relação <v é amigo de w> é uma relação simétrica, ou seja, se <v é amigo de w> então <w é amigo de v>. Como conseqüência, as arestas que ligam os vértices não possuem qualquer orientação
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Grafo orientado (Digrafo)
A relação definida por A não é simétrica pois se <v é pai/mãe de w>, não é o caso de <w é pai/mãe de v>. Há, portanto, uma orientação na relação, com um correspondente efeito na representação gráfica. Neste caso o grafo é dito ser um grafo orientado (ou digrafo) e as conexões entre os vértices de arcos
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Adjacência
• Em um grafo simples dois vértices v e w são adjacentes (ou vizinhos) se há uma aresta a=(v,w) entre os vértices v e w . Está aresta é dita ser incidente a ambos, v e w. É o caso dos vértices Maria e Pedro. No caso do grafo ser orientado, a adjacência (vizinhança) é especializada em: • Sucessor: um vértice w é sucessor de v se
há um arco que parte de v e chega em w. Por exemplo, diz-se que Emerson e Antonio são sucessores de Alfredo.
• Antecessor: um vértice v é antecessor de w se há um arco que parte de v e chega em w. Por exemplo, diz-se que Alfredo e Cecília são antecessores de Antonio.
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Grau
• O grau de um vértice é dado pelo número de arestas que lhe são incidentes. Por exemplo: grau(Pedro) = 3 e grau(Maria) = 2
• No caso do grafo ser dirigido orientado, a noção de grau é especializada em: – Grau de emissão: o grau de emissão de um
vértice v corresponde ao número de arcos que partem de v. Por exemplo: • grauDeEmissão(Antonio) = 1 • grauDeEmissao(Alfredo) = 2 • grauDeEmissao(Renata) = 0
– Grau de recepção: o grau de recepção de um vértice v corresponde ao número de arcos que chegam a v. Por exemplo: • grauDeRecepção(Antonio) = 2 • grauDeRecepção(Alfredo) = 0 • grauDeRecepção(Renata) = 1
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Fonte e sumidouro
• FONTE Um vértice v é uma fonte se grauDeRecepção(v) = 0. É o caso dos vértices Isadora, Alfredo e Cecília
• SUMIDOURO Um vértice v é um sumidouro se grauDeEmissão(v) = 0. É o caso dos vértices Renata e Emerson
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Laço
• Um laço é uma aresta ou arco do tipo a=(v,v), ou seja, que relaciona um vértice a ele próprio. Na figura há três ocorrências de laços para um grafo não orientado nos vértices A, C e B
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Grafos regular e completo
GRAFO REGULAR Um grafo é dito ser regular quando todos os seus vértices tem o mesmo grau. O grafo da figura abaixo, por exemplo, é dito ser um grafo regular-3 pois todos os seus vértices tem grau 3.
15
GRAFO COMPLETO Um grafo é dito ser completo quando há uma aresta entre cada par de seus vértices. Estes grafos são designados por Kn, onde n é a ordem do grafo.
Um grafo Kn possui o número máximo possível de arestas para um dados n. Ele é, também regular-(n-1) pois todos os seus vértices tem grau n-1.
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Grafo valorado
• Um grafo G(V,A) é dito ser valorado quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números. Para exemplificar, seja G(V,A) onde: – V = {v | v é uma cidade com
aeroporto}
– A = {(v,w,t) | <há linha aérea ligando v a w, sendo t o tempo esperado de vôo>}
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Florianópolis
Porto
Alegre
Curitiba São
Paulo
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Cadeia
• Uma cadeia é uma seqüência qualquer de arestas adjacentes que ligam dois vértices. O conceito de cadeia vale também para grafos orientados, bastando que se ignore o sentido da orientação dos arcos. A seqüência de vértices (x6, x5, x4, x1) é um exemplo de cadeia
• Uma cadeia é dita ser elementar se não passa duas vezes pelo mesmo vértice
• É dita ser simples se não passa duas vezes pela mesma aresta (arco)
• O comprimento de uma cadeia é o número de arestas (arcos) que a compõe
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Caminho e Ciclo
• CAMINHO Um caminho é uma cadeia na qual todos os arcos possuem a mesma orientação. Aplica-se, portanto, somente a grafos orientados. A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x6, x3) é um exemplo de caminho
• CICLO Um ciclo é uma cadeia simples e fechada (o vértice inicial é o mesmo que o vértice final). A seqüência de vértices (x1, x2, x3, x6, x5, x4, x1) é um exemplo de ciclo elementar
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Grafos Conexo e Desconexo
• GRAFO CONEXO Um grafo G(V,A) é dito ser conexo se há pelo menos uma cadeia ligando cada par de vértices
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• GRAFO DESCONEXO Um grafo G(V,A) é dito ser desconexo se há pelo menos um par de vértices que não está ligado por nenhuma cadeia
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Raiz e Anti-raiz
• RAIZ Se um vértice B é uma fonte e todos os demais vértices podem ser atingidos por um caminho partindo de B, então B é uma raiz
• ANTI-RAIZ Se um vértice A é um sumidouro e todos os demais vértices podem atingir A por um caminho, então A é uma anti-raiz
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Árvore e Arborescência
• ÁRVORE É um grafo conexo sem ciclos
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• ARBORESCÊNCIA
É uma árvore que
possui uma raiz.
Aplica-se, portanto,
somente a grafos
orientados
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Rede
• Uma rede é um grafo orientado e sem laços que possui exatamente uma raiz e uma anti-raiz. Na figura a rede é valorada
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Raiz Anti - raiz
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Grafo planar
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ALGUMAS APLICAÇÕES EM LOGÍSTICA DE TRANSPORTE
Teoria dos grafos
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Problema de ciclo
• Um transportador deseja verificar se é possível fazer um ciclo, ou seja, rodar por uma cadeia (seqüência qualquer de arestas adjacentes que ligam dois vértices) simples (não passa duas vezes pela mesma aresta) e fechada (o vértice inicial é o mesmo que o vértice final)
• No exemplo a seguir constata-se que não é possível fazer o ciclo, mas em muitos outros casos constata-se a possibilidade de fazê-lo e como
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Problema de ciclo: 7 pontes de Königsberg (enigma do Euler)
• O rio Pregel divide o centro da cidade de Königsberg (Prússia no século
XVII, atual Kaliningrado, Rússia) em quatro regiões. Essas regiões são
ligadas por um complexo de sete (7) pontes, conforme mostra a figura
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Problema de ciclo: grafo de Euler para 7 pontes de Königsberg
27
Os arcos
são as
pontes
Os vértices
são as
regiões
• Discutia-se nas ruas da
cidade a possibilidade de
atravessar todas as
pontes, voltando ao
lugar de onde se saiu,
sem repetir alguma.
Havia-se tornado uma
lenda popular a
possibilidade da façanha
quando Euler, em 1736,
provou que não existia
caminho possível para
estas restrições
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Caminho de custo mínimo • De forma a reduzir seus
custos operacionais, uma empresa de transporte de cargas deseja oferecer aos motoristas de sua frota um mecanismo que os auxilie a selecionar o melhor caminho (o de menor distância) entre quaisquer duas cidades por ela servidas, de forma a que sejam minimizados os custos de transporte
28
• Um possível modelo para este problema poderia ser:
– G (V,A) V = { x | x é cidade }
– A = { (xi, xj, d) | há uma conexão por estrada entre as cidades xi e xj, sendo d a distância
que as separa } Setembro 2009 FATEC Carapicuíba – MQG - Augusto T. Cruz Jr.
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Localização em função do custo de transporte: método dos momentos
29
Os vértices são as
localidades
valorados com o
peso da carga a ser
transportada
Os arcos são as
estradas valoradas
com a distância e o
custo por unidade de
distância
O momento M para cada localidade é o produto do custo unitário de
transporte pela quantidade a ser transportada e pela distancia a ser
percorrida
A localidade que tiver a menor soma de momentos será a escolhida
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Caminho crítico
• Considere que tenhamos uma rede R(V,A), ou seja, um grafo orientado, sem laços e valorado, que contém exatamente uma fonte e um sumidouro. Nesta rede, os vértices representem eventos, os arcos representem atividades e os valores associados aos arcos representem a duração das atividades
• A disposição dos eventos (vértices) e das atividades (arcos) no grafo exprimem uma relação de dependência: um evento não ocorre antes que todas as atividades a ele imediatamente precedentes (arestas incidentes) sejam encerradas; de forma similar, uma atividade não pode ser iniciada antes que ocorra o evento que representa o início da atividade
• Nesta rede, o interesse maior é o de determinar o(s) caminho(s) do vértice inicial ao vértice final cuja soma das durações das atividades seja máxima. Este(s) caminho(s) é chamado de caminho crítico, suas atividades têm folga zero, e determina o prazo de realização das atividades do vértice inicial ao vértice final
• As atividades do caminho crítico devem ser geridas para que não atrasem senão atrasa a realização da rede toda
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EXERCÍCIOS Teoria dos grafos
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Exercícios sobre conceitos
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• Identifique os grafos conforme seus vértices (V), arcos (A) e graus (g):
a. b.
c. d.
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Exercício de caminho de custo mínimo
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Exercícios sobre conceitos
• A partir dos dados [vértices (V), arcos (A) e graus (g)], monte os respectivos grafos:
a. G(6,8) e g=(1,3,3,3,3,3), conexo
b. G(6,2) e g=(0,0,1,1,1,1), desconexo
c. G(6,3) e g=(0,1,1,1,1,2), desconexo
d. G(6,9) e g=(3,3,3,3,3,3), conexo regular
e. G(5,8) e g=(3,3,3,3,4), conexo completo
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Exercício de localização
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Bibliografia utilizada
• BOAVENTURA NETTO, P. O. Teoria e modelos de grafos. São Paulo: Edgard Blucher, 1979. 249 p.
• LIMAD, W. G. N., , CARVALHO, A. C.. B. D. Teoria dos Grafos. Métodos Quantitativos de Gestão. MGQ - 3o. Ciclo FATEC Carapicuíba. [s.l.], [200-]. Posse dos professores autores.
• MARIANI, A. C. Livro eletrônico teoria dos grafos. Disponível em: <http://www.inf.ufsc.br/grafos/livro.html> Acesso em: 27 mai. 2009.
• PETRÔNIO, G. M., LAUGENI, F. P. Administração da produção. 2 ed. São Paulo: Saraiva, 2006. 562 p.
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