PASSO 01 (Equipe) - Faam as atividades apresentadas a seguir.1. Leiam atentamente o captulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e clculo de reas. Pesquisem tambm em: livros didticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao da teoria de integrais indefinidas, definidas e clculo de reas.Resoluo:A integral indefinida pode ser chamada de antiderivada, uma vez que um processo que inverte a derivada de funes. Enquanto a integral definida, inicialmente definida como soma de Riemann, estabelece limites de integrao, ou seja, um processo estabelecido entre dois intervalos definidos, da o nome integral definida.O "Teorema Fundamental do Clculo" estabeleceu-se uma conexo entre os dois ramos do clculo: o Clculo Diferencial e o Clculo Integral.O Clculo Diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o Clculo Integral surgiu de um problema aparentemente no relacionado, o problema da rea.Isaac Newton descobriu que esses dois problemas esto de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivao e a integrao so processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relao e a utilizaram para transformar o clculo em um mtodo matemtico sistemtico. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular reas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessrio calcul-las como limites de soma (mtodo anteriormente descrito pelo matemtico Riemann,).Issac Newton publicou um livro com uma tabela de integrais de funes algbricas, e para curvas as quais no podia desenvolver formulas de integrao, inventou tcnicas geomtricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Calculo, Newton desenvolveu as tcnicas bsicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os mtodos de substituio e integrao por partes.Os avanos no clculo e uso de integrais foram baseados principalmente no uso dos mtodos de exausto e compresso para efetuar clculos de reas delimitadas por curvas.

2. Faam um levantamento sobre a histria do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel para a compreenso e realizao dos prximos passos.Histria da IntegralA histria mostra que o clculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura, resolvendo o problema de medio da rea de uma regio bidimensional.Para muitos matemticos, cientistas e engenheiros a integral simplifica os problemas complicados.Historicamente, existem inmeras contribuies dos matemticos no clculo, tais como:- Hipcrates de Chios (cerca de 440 a.C.): executou as primeiras quadraturas quando encontrou a rea de certas lunas;- Antiphon (cerca de 430 a.C.): afirmava que poderia "quadrar o crculo" ou encontrar sua rea, usando uma sequncia infinita de polgonos regulares inscritos;- Eudoxo (cerca de 370 a.C.): usou um mtodo chamado de exausto;- Arquimedes (287-212 a.C.): conhecido como o maior matemtico da antiguidade, usou o mtodo de exausto para encontrar a quadratura da parbola. Arquimedes primeiramente mostrou que a rea depende da circunferncia. Seu mais famoso trabalho, foi um tratado combinado de matemtica e fsica, Arquimedes empregou indivisveis para estimar o centro de gravidade;Outros matemticos surgiram, depois de Arquimedes, como o rabe Thabit ibn Qurrah (826-901) quem desenvolveu sua prpria cubatura. Assim tambm o cientista persa Abu Sahl al-Kuhi (sculo X) quem simplificou consideravelmente o processo de Thabit Ibn. O matemtico Al-Haytham (965-1039), mais conhecido no ocidente como Alhazen e quem chegou a ser famoso por seu trabalho em tica. E assim em diante, muitos outros matemticos, estudantes, cientistas, etc. trabalharam ao longo da histria para construir o caminho que hoje facilita o Clculo Integral em diversos ambientes, sendo usada como uma ferramenta de auxlio e de estudos.

PASSO 02 (Equipe) Leiam os desafios propostos:Desafio A:Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

Resoluo:1/3 a da + 3a-3 da + 31/a da= 1/3 . a4/4 - 3.a-2/2 + 3.ln/a/ + C= a4/12 3/2a2 + 3.ln/a/ + C

Resposta correta: Alternativa B

Desafio B:Suponha que o processo de perfurao de um poo de petrleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C (q) =1000 + 50q dlares por p, onde q a profundidade em ps. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q ps, :Resoluo:C(q) = 1000+50q= 1000 dq + 50q dq= 1000q + 25q2 + CC(0) = 1000 .0 + 25.02 + CC(0) = 10000C(q)= 10000 + 1000q +25q

Resposta correta: Alternativa ADesafio C:No incio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petrleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petrleo no instante t, onde t o nmero de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) dado por: C(t) = 16,1.e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petrleo consumida entre 1992 e 1994?Resoluo:1992: Ct = 16,1 . e0,07.2 = 18,52 bilhes de barris1993: Ct = 16,1 . e0,07.3 = 19,86 bilhes de barris1994: Ct = 16,1 . e0,07.4 = 21,30 bilhes de barrisAps os clculos individuais de cada ano, somam-se os resultados. A soma 59,68 bilhes de barris, sendo assim a alternativa correta (e) nenhuma das alternativas.Resposta correta: Alternativa EDesafio D:

ex/2 dxu = x/2du = x/2 dx 2.du = x dx2. eu du= 2. ex/2= 2.e(-3/2) - 2.e(2/2) = 0,446260320 5,436563657 = - 4,99 = 4,99Resposta correta: Alternativa APASSO 03 (Equipe) Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando atravs dos clculos realizados, o porqu de uma alternativa ter sido considerada.Desafio A, o nmero encontrado foi o 3Desafio B, o nmero encontrado foi o 0Desafio C, o nmero encontrado foi o 1Desafio D, o nmero encontrado foi o 9PASSO 04 (Equipe) Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome de Relatrio 1.Relatrio 1:Todos os clculos foram efetuados atravs dos clculos de integrais definidas, indefinidas, funes exponenciais e rea soba curva, os clculos englobam todo contedo estudado at o presente momento.Conforme as alternativas corretas de cada desafio encontramos o nmero 3019.ETAPA 02 Aula-tema: integrao por Substituio. Integrao por Partes.Esta etapa importante para voc fixe, de forma prtica, a tcnica de integrao por substituio e por partes, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Voc tambm ir aprender a resolver vrios tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades.Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.PASSO 01 (Equipe) 1. Leiam atentamente o captulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrao por partes e por substituio. Pesquisem tambm em: livros didticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao das tcnicas de integrao por partes e por substituio.2. Faam um levantamento sobre a histria do surgimento das tcnicas de integrao trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel para a compreenso e realizao dos prximos passos.

Mtodo da Substituio.Para resoluo de integrais mais complexas, utilizamos o mtodo de substituio, assim simplificamos a integral e aplicamos a Regra da Cadeia da derivao.Lembrando a Regra da Cadeia:[F(g(x))] = F.(g(x)).g(x)Ou seja, uma primitiva de f(g(x)).g(x).Desta forma podemos integrar f(g(x)).g(x) obtendo-se ento F(g(x)) + C conforme podemos observar abaixo:f(g(x)).g(x) dx = F(g(x)) + CPara simplificar a notao chama-se: u = g(x)Diferenciando obtm-se: du = g(x) dxf(u) du = F(u) + CNa prtica devemos definir uma funo u = g(x) conveniente de tal forma que a integral obtida seja mais simples, podendo ser resolvida atravs das funes bsica.PASSO 02 (Equipe) Considerem as seguintes igualdades:

Resposta: As funes so equivalentes verdadeiras, logo alternativa A.

PASSO 03 (Equipe) Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos clculos realizados, os valores lgicos atribudos.A alternativa correta a letra A pois ambas as alternativas esto corretas.PASSO 04 (Equipe) Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome de Relatrio 2.Relatrio 2:Encontramos como resposta ao passo 02, o nmero 4, pois resolvendo as integrais atravs do mtodo de substituio chegamos aos valores desejados.At o presente momento temos a seguinte sequncia numrica: 30194.