Exerccios 1.1

1. Sejam (, ) (x, y), com x cos e y sen .

CAPTULO 1

Para cada fixo, 1 2, transforma o segmento (, ), 0 2, nacircunferncia x2 y2 ( cos )2 ( sen )2 2. Assim, transforma o retngulo0 2, 1 2 na coroa circular 1 x2 y2 4.

2. Sejam (u, v) (x, y), x u v, y u v.

a) B {(u, 0) 2}(B) {(x, y) 2 x y}

b) B {(u, v) 2 0 u 1, 0 v 1}.

Para cada v fixo, 0 v 1, transforma o segmento (u, v), 0 u 1, no segmento(x, y) (u v, u v), 0 u 1, de extremidades (v, v) e (1 v, 1 v).

2(B) o quadrado de vrtices (0, 0), (1, 1), (2, 0), (1, 1).

3. Seja B {(u, v) u2 v2 r2}.

(u, v) (x, y) (u v, u v).

Temos:x

2 y2 (u v)2 (u v)2 2u2 2v2

2 2 22

( )u vr

1 24 34

Portanto,(B) {(x, y) x2 y2 2r2}.

5. Seja f(u, v) (u, v, 1 u v) com u 0, v 0 e u v 1A imagem de f coincide com o grfico da funo z 1 x y, x 0, y 0 e x y 1.

6. Seja (u, v) (x, y, z) com x u cos v, y u sen v e z u

a) a circunferncia x u1 cos v, y u1 sen v e z u1 contida no plano z u1 e comcentro no ponto (0, 0, u1), com u1 fixo e v .

b) a reta x u cos v1, y u sen v1 e z u, com v1 fixo e u .

3c) a superfcie lateral do cone circular reto gerada pela rotao, em torno do eixo z, dosegmento x u cos v, y u sen v e z u, 0 u 1 e 0 v 2, v fixo.

7. Seja (u, v) (x, y, z) com x u cos v, y u sen v e z u2.

Temos x2 y2 u2 cos2 v u2 sen2 v u2 x2 y2 z

Im () {(x, y, z) 3 x2 y2 z} que um parabolide

8. Seja (u, v) (cos v, sen v, u), com 0 u 1 e 0 v 2. Temos:

x vy v x y

cossen

2 2 1

ez u 0 z 1.

Im() {(x, y, z) 3 x2 y2 1 e 0 z 1} uma superfcie cilndrica.

10. Seja (, ) (2 cos , sen ).

x

y

2

cos

sen

cos2 2

1

2

2

2

24

sen

1 244 344

x y

4Quando o ponto (, 1) descreve a reta 1, o ponto (x, y) descreve a elipse

x y2 2

4 11

14.

12. Seja (u, v, w) (u cos v, u sen v, w), com 0 u 1, 0 v 2 e 0 w 1.Temos x u cos v e y u sen v. Ento, x2 y2 u2 (0 u 1)Im () {(x, y, z) 3 x2 y2 1 e 0 z 1} um cilindro.

5Temos:

r

cos ( ) ,

2sen

x r cos sen cos ,y r sen sen sen ,z cos ,

com 0, 0 2 e 0 .

15. a) Em coordenadas esfricas:

x 1 sen cos , y 1 sen sen e z 1 cos . Temos:

x y z2 2 2

12 2 2

12 2 2

12 2 sen sen sencos cos

12 2 2 2

12 2sen sen(cos ) cos

12 2 2 2 2 2

12( cos ).sen x y z

E, portanto, x y z2 2 2 12 .

(B) {(x, y, z) 3 x2 y2 z2 12 } uma superfcie esfrica de raio 1.

b) Seja B {(, , ) 3 0 1, 0 2 e 0 } um paraleleppedo.

(B) {(x, y, z) 3 x2 y2 z2 1} a esfera de raio 1.

Exerccios 1.2

1. a) r rv x y x j( , ) 2A funo vetorial

r

v associa a cada ponto (x, y) do plano o vetor x j2

r

.

A todos os pontos do eixo dos y,

r

v associa o vetor nulo, pois r

v (0, y) 02

r

j .A todos os pontos que esto sobre a reta x 1,

r

v associa o vetor

r

j .

6De forma geral,

r

v associa a todos os pontos que esto sobre uma mesma reta x a, ovetor

a j2

r

. A figura mostra este campo:

b)

r v r

h x y i j( , )

A funo vetorial

r

h associa a cada ponto (x, y) do plano o vetor

r r

i j . h x y( , ) 2 a intensidade do campo no ponto (x, y).

c) r r rF x y yi xj( , ) .

r

F x y y x( , ) . 2 2 A intensidade do campo a mesma nos pontos de uma mesmacircunferncia de centro na origem. A intensidade do campo no ponto (x, y) igual aoraio da circunferncia de centro na origem e que passa por este ponto. Alm disso,r

F x y( , ) perpendicular ao vetor xi yj

r r

de posio do ponto (x, y), pois,

( ) ( ) ,xi yj yi xjr r r r

0 logo, r

F x y( , ) tangente em (x, y) a tal circunferncia.

7d)

r

124 34

r

v x y x j( , ) ( )

1 20

com x 1.

2.

r r r

f x y i x y j ( , ) ( ) .c) y x 2, da

r r r

f x x i j( , ) . 2 2

3. r

r r

g x y i xy j( , ) .

Se xy 1 temos:r

r r

g x y i j( , )

86.

r

F f f x y z x y z onde ( , , ) .2 2 2

f(x, y, z) (2x, 2y, 2z).

Seja (x, y, z) um ponto da superfcie esfrica x2 y2 z2 1. Neste ponto(x, y, z) (2x, 2y, 2z) normal superfcie esfrica x2 y2 z2 1.

7. Seja rF f f x y z x y z onde ( , , ) .

r

1 24 34F x y z

f( , , ) ( , , ).

1 1 1

r

F f normal no ponto (x, y, z) superfcie de nvel de f que passa por esse ponto.Como x y z 1 uma superfcie de nvel de f, ento

r

F x y z( , , ) ( , , ) 1 1 1 normal,no ponto (x, y, z), ao plano x y z 1.

9. Sabemos que V(x, y) x2 y2, V(x, y) rF x y( , ) 0 e (t) r

F t( ( )),g onde(t) (x(t), y(t)), t I. Primeiro, vamos mostrar que g(t) V((t)) decrescente no intervaloI. De fato, g(t) V((t)) (t) V((t))

r

F t( ( ))g 0 em I; logo, g(t) decrescenteem I. De g(t) V((t)) x2(t) y2(t), segue que g(t) o quadrado da distncia da origemao ponto (t). De g(t) 0, segue que tal distncia decresce quando t cresce. Assim, se (t0) ponto do crculo x2 y2 r2, ento, para t t0, (t) permanecer em tal crculo.

10. a) De g(t) V((t))

r

F t( ( ))g 0, segue que g estritamente decrescente em [0, [,ou seja, a distncia do ponto (t) origem estritamente decrescente. Observe que, parat , duas situaes podero ocorrer: ou (t) tende para a origem ou (t) ir seaproximando mais e mais de uma circunferncia. De acordo?b) Como V(x, y)

r

F x y( , ) contnua e estritamente menor que zero no compactor2 x2 y2 R2, segue que M 0. Temos

g(t) V((t)) (t) M em [0, T].Da

g(t) g(0) Vt

g0

(t) (t)dt dt Mt, 0 t T

9e, portanto, para t em [0, T], V((t)) V((0)) Mt.

c) Se (t) permanecesse na coroa r2 x2 1 y2 R2 para todo t > 0, a desigualdade acimaseria verdadeira para todo t 0, que absurda, pois

lim

t Mt e V((t)) 0.

d) De g(t) 0 pata t 0, segue que g(t) estritamente decrescente em [0, [, alm disto,g(t) V((t)) 0 para todo t 0. Logo,

lim

t V((t)) existe e um nmero L 0. Se

tivssemos L 0, (t) permaneceria em uma coroa r2 x2 y2 R2, com 0 r R, quecontradiz o que vimos em c). Logo, L 0.

e) Dado 0, existe 0, tal que, para todo t , ||(t)|| (ou seja, para t , (t)permanece fora da coroa 2 x2 y2 R2), logo,

lim

t (t) (0, 0).

11. Tomando-se V(x, y) x2 y2 e

r r r

F x, y y x i x y j( ) ( ) ( )3 3 obtemos V x y F x y x y y x x y( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

r

2 2 3 3 ou seja, V x y F x y x y( , ) ( , ) ( )

r

2 04 4 para (x, y) (0, 0). Agora, s aplicar o item e) doExerccio 10.

Exerccios 1.3

1. a)

r r r r

F x y z yi xj zk( , , ) . Temos P(x, y, z) y, Q(x, y, z) x e R(x, y, z) z.

rotr r r r

F Ry

Qz

i Pz

Rx

j Qx

Py

k

ou seja rot r r

F k 2 .

d) r rF x y x y i( , ) ( ) . 2 2 De P(x, y) x2 y2 e Q(x, y) 0 segue

rot r r

F Qx

Py

k

, ou seja, rotr r

F y k 2 .

2. g(x, y) f r r( )

r r

onde f derivvel e r

r r

r xi yj .

Temos g(x, y) xf u i yf u j( ) ( )r r

onde

u x y 2 2 .

P(x, y) xf(u) e Q(x, y) yf(u). Temos

10

Py

xf u uvy

xy f ux y

( ) ( )

2 2 e

Qx

yf u ux

xy f ux y

( ) ( ) .

2 2

Ento,

rot

rr r

g Qx

Py

k

0.

3.

r r r

Fx

iy

j

.

P x y

xQ x y

y( , ) ( , ) . ,

e Ento

rot

r r r r

F Qx

Py

kx y y x

k

20 ( de classe C2).

rot

r r r

F F 0 irrotacional.

4. a)

rr

v x y x j( , ) . 192

b) O escoamento irrotacional pois rot rr

v 0 na regio .

6.

r

1 24 34

r

1 24 34

r

v x y yx y

i xx y

jP x y Q x y

( , ) ( ) ( ) , .( , ) ( , )

9 02 2 2 2 2 2

rot

rr

v x y Qx

x y Py

x y k( , ) ( , ) ( , ) .

Temos

11

ys

Qx

x y x yx y

( , ) ( )( )

1 2 2 2

2 2 1 e

Py

x y x yx y

( , ) ( )( ) .

2 2

2 2 12 1

Ento,

Qx

x y Py

x yx y

( , ) ( , ) ( )( ) .

2 12 2

Segue que para 1, teremos rot

r

v x y( , ) . 0

7. a) Seja

r r r

F Pi Qj , P e Q diferenciveis.Consideremos:

r r r

u i j cos sen e r

r r

v i j sen cos , onde e 0.De (x, y)

s u t vr r

, segue(x, y) (s cos t sen )

r

i (s sen t cos ) rj .

Temos: r r r

i u v cos sen er r rj u v sen cos .

r r r

F x y P x y i Q x y j( , ) ( , ) ( , ) P x y u v Q x y u v( , ) [cos ] ( , ) [ cos ].

r r r r

sen sen

Da,r r r

F x y P x y Q x y u Q x y P x y v( , ) [ ( , ) cos ( , ) ] [ ( , ) cos ( , ) ] . sen sen

b) Sejam P1(s, t) P(x, y) cos Q(x, y) sen ,Q1(s, t) Q(x, y) cos P(x, y) sen ,x s cos t sen ,

e y s sen t cos .

Temos

x

s

x

t

ys

yt

cos , ; cos .sen sen e

Segue que:

Qs

s tPt

s ts

Q x y P x y1 1( , ) ( , ) ( ( , ) cos ( , ) ) sen

tP x y Q x y( , ) cos ( , ) sen

cos

Qx

x

s

cos

Qy

ys

Pvx

x

s

Py

ys

sen sen

12

( ) cos ( ) cos

cos cos

sen sen

sen sen

a

Px

x

t

Py

yt

Qx

x

t

Qy

yt

( cos ) ( , ) ( cos ) ( , ).sen sen2 21

2 2

1

1 244 344 1 244 344Qx

x y Py

x y

Portanto,

Qs

s tPt

s tQx

x y Py

x y1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ). Isto significa que o rotacional invariante por uma rotao de eixos.

Exerccios 1.4

1. a) r

r r

v x y yi xj( , ) .

div

r

vy

x

x

y

( ).0

c) r r r r

F x y z x y i x y j z k( , , ) ( ) ( ) . 2 2 2 2sen arctg

div sen arctg

r

F x yx

x yy

z

z

( ) ( ( )) ( )2 2 2 2

div

r

F x y x yz

2 2 11

2 22cos ( ) .

d) r r

F x y z x y z x y z k( , , ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2arctg

div arctg

r

Fz

x y z x y z

[( ) ( )]2 2 2 2 2 2

2 2

12 2 2

2 2 2

2 2 2 2z x y zz x y z

x y zarctg ( ) ( )( )

2

12 2 2

2 2 2

2 2 2 2z x y zx y zx y z

arctg ( ) ( )( ) .

2. a) divr

F 0 b) div

r

F 0

3. Seja r

r

v x y z yj y( , , ) , . 0

a) Temos div rvy

y

( ) 1 (densidade do fluido est diminuindo com o tempo pois

div r

v 0).Pela equao da continuidade div

r

vt

0 ( a densidade do fluido). Da,

tv divr

(taxa de variao da densidade do fluido).

13

Como div r

v 1 ento constante. Logo o fluido no incompressvel (o fluidoest se expandindo).

b) div

rr

v y y j ddy

y y 0 0 0 div ( ( ) ) ( ( ) )

( )y y k (k constante). Da, ( ) , .y k

yy 0

c) Sejam (y, t) a densidade do fluido e r

r

v x y z yj( , , ) a velocidade do fluido.

Temos

div div

rr

v yjy

y yy

[ ( )] ( ) .

Substituindo na equao da continuidade div

r

vt

0 resulta

y

y t

0 e, portanto,

ty

y .

4. a) Suponhamos que

r

v derive de um pontencial, isto , existe : . com em

r

v

Temos r

r r r

v x y zx

iy

jz

k( , , )

As componentes de

r

vx y z

: ,

e so de classe C1.

Logo,

2 2 2 2 2 2

x y y x x z z x y z z y , .e

rotr

r r r

1 244 344

r

v

i j k

x y z

x y z

y z z yi

2 2

0

2 2

0

2 2

0

0z x x z

jx y y x

k1 244 344

r

1 244 344

r r

.

Se rot r

r

v 0 , ento r

v irrotacional.

14

b) Se

r

v incompressvel ento div r

v 0.

Mas div

r

v div () 2.

Logo, 2 0.

5. c) (x, y) arctg

x

yy, . 0

x

yx y x

xyx y

2 2

2

2 2 2 22

e ( ) .

yx

x y yxy

x y

2 2

2

2 2 2 22

e ( ) .

2

2

2

2

2 2 2 22 2 0

x yxy xy

x y( ) .

6. a) Seja (x, y) f x yu

( )2 2124 34

onde f(u) derivvel at 2. ordem.

x

dfdu

u

xxf u 2 ( ).

2

2 2 2 2x xx f u f u x

xf u ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2f u x d

duf u du

x( ) ( ) .( )

Da

2

222 4

xf u x f u ( ) ( ).

Analogamente,

2

222 4

yf u y f u ( ) ( ).

Temos que 2 0. Logo, 2 f (u) 4x2 f (u) 2 f (u) 4y2 f (u) 0.

Da,

4 2 2( )x yu

124 34

f (u) 4 f (u) e, portanto, u f (u) f (u), u 0.

b) De uf (u) f (u), u 0, e supondo f (u) 0, temos

f uf u u

( )( )

1 e da

(ln f (u)) (ln u), u 0. Segue que ln f (u) ln u C, C constante. Temos,ento,

ln ( ) ln ,f u k

u onde ln k C. Da,

f u k

u ( )

e, portanto, f(u) k ln u Acom k e A constantes, resolve o problema.

7. Devemos esperar div 0, ou seja, 2 0.

15

8. a) Seja

r r r

F Pi Qj com P e Q diferenciveisTemos

r r r

u i j cos sen e r

r r

v i j sen cos Da vem:

rr r

i u v cos sen e

rr rj v u cos sen .

Ento,

r r r r r

F x y P x y u v Q x y v u( , ) ( , ) (cos ) ( , ) (cos ) sen sen

r

1 244444 344444

r

1 244444 344444

r

F x y P x y Q x y u Q x y P x y vP s t Q s t

( , ) [ ( , ) cos ( , ) ] [ ( , ) cos ( , ) ] .( , ) ( , )

sen sen

1 1

b)

r r r

F s t P s t u Q s t v1 1 1( , ) ( , ) ( , )

( , ) cosx y su tv x s t r r

sen e y s t sen cos . Temos

x

s

x

tys

yt

cos ; ; ; cossen sen

Agora:

Ps

s ts

P x y Q x y1 ( , ) ( , ) cos ( , ) sen[ ]

cos cos

Px

x

s

Py

ys

Qx

x

s

Qy

ys

sen sen

cos cos cos2

Px

Py

Qx

Qy

sen sen sen2

Qt

s tt

Q x y P x y1 ( , ) ( , ) cos ( , ) sen[ ]

cos cos

Qx

x

t

Qy

yt

Px

x

t

Py

yt

sen sen

sen sen sen

cos cos cos

Qx

Qy

Px

Py

2 2

Somando e :

Ps

s tQt

s tPx

x y Qy

x y1 1 2 2 2 2( , ) ( , ) (cos ) ( , ) ( cos ) ( , ) sen sen1 1

1 244 344 1 244 344

Ps

s tQt

s tPx

x y Qy

x y1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ).

O que significa que o divergente invariante por uma rotao de eixos.

cos sen cos sen

cos cossensen

16

9. Sejam r r r

r

u Pi Qj Rk e

r

r r r

v P i Q j R k 1 1 1 .

a) Vamos supor que as componentes de

r

u e r

v admitam derivadas parciais. Temos

rot ( )( ) ( ) ( )

r r

r r r

u v

i j k

x y zP P Q Q R R

1 1 1

r r r r r r

i j k

x y zP Q R

i j k

x y zP Q R

1 1 1

rot

r

u rot

r

v .

b) Vamos supor que as componentes de

r

u e

r

v admitam derivadas parciais. Temos

div div( ) ( ) ( ) ( )r r

r r r

u v P P i Q Q j R R k 1 1 1[ ]

xP P

yQ Q

zR R( ) ( ) ( )1 1 1

xP

yQ

zR P

x

Qy

Rz

1 1 1

div r

u div r

v .

d) Vamos supor que e as componentes de ru admitam derivadas parciais. Temos rot rot

r r rr

u Pi Qj Rk ( )

r r r

r r

i j k

x y zP Q R

Ry

Qz

i Pz

Rx

j

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )Qx

Py

k Ry y

R Qz z

Q i

r r

Pz z

P Rx x

R j Qx x

Q Py y

P k

r r

Ry

Qz

i Pz

Rx

j Qx

Py

k

r r r

yR

zQ i

zP

xR j

xQ

yP

r r

17

r r r r r r

i j k

x y zP Q R

i j k

x y zP Q R

rotr r

u u . Portanto rot rot

r r r

u u u .

f) Vamos supor as componente de

r

u de classe C2 em . Temos

rot rot rot( )rr r r

u

i j k

x y zP Q R

rot

Ry

Qz

i Pz

Rx

j Qx

Py

k

r r r

.

Temos, tambm,

rot

Ry

Qz

i

i j k

x y zRy

Qz

r

r r r

0 0

2 2

2

2

2

2Rz y

Qz

j Ry

Qy z

k

r r

.

De modo anlogo,

rot

Pz

Rx

j Pz

Rz x

i Px z

Rx

k

r r r2

2

2 2 2

2

e

rot

Qx

Py

k Qy x

Py

i Qx

Px y

j

r r r2 2

2

2

2

2.

Segue que

rot rot( ) ...r

r

uR

x z

Qx y

Py

Pz

i

2 2 2

2

2

2

2

2

2 2 2

2

2

2

2

2P

x

Qx y

Rx z

Px

Py

Pz

i

r

...

18

De

2

2

2 2Px

Qx y

Rx z x

Px

Qy

Rz

xu( ),div r

2

2

2

2

2

2

2PP

x

Py

Pz

e com procedimento anlogo para as demais componentes de rot (rot

r

u ), resulta

rot rot div( ) ( )r r

r

ux

u P i

2

yu Q j( )div r

r

2

zu R k( )div r

r

2

ou seja, rot rot div onde( ) ,

r r r

u u u 2

2 2 2 2ru P Q R, ( , , ).

10. Sejam ru u u u ( , , ),1 2 3 com componentes de classe C2, e r

w w w w ( , , )1 2 3 camposvetoriais definidos no aberto de 3.Vamos provar que se rot

r r r

u w w ento div 0.

Pela propriedade e) do Exerccio 9, div rot r

u 0, logo, div r

w 0.

11. Vamos mostrar que div ( ) ( ) ( )r r r r r r

F G G F F G

Temos: r r

r r r

F Gi j kF F FG G G

1 2 31 2 3

, onde e

r r

F F F F G G G G ( , , ) ( , , ),1 2 3 1 2 3

e cujas componentes admitem derivadas parciais em .r r r r r

F G F G F G i F G F G j F G F G k ( ) ( ) ( ) .2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1div

( ) ( ) ( ) ( )r r r r

F G F Gx

F G F Gy

F G F G

2 3 3 2 3 1 1 3

zF G F G F G

x

Fx

G F Gx

Fx

G( )1 2 2 1 2 3 2 3 3 2 3 2

F G

yFy

G F Gy

Fy

G F Gz

Fz

G3 1 3 1 1 3 1 3 1 2 1 2

F G

z

Fz

G G Fy

Fz

G Fz

Fx

21 2

1 13 2

21 3

19

G F

x

Fy

F Gz

Gy

F Gx

Gz

32 1

12 3

23 1

F G

yGx

G G G Fy

Fz

Fz

Fx

Fx

Fy3

1 21 2 3

3 2 1 3 2 1

( , , ) , ,

( , , ) , ,F F F G

yGz

Gz

Gx

Gx

Gy1 2 3

3 2 1 3 2 1

r r r r

G F F G ( ) ( ).

Ento, div ( ) ( ) ( ).r r r r r r

F G G F F G

12) Seja

r r r

F x y P x y i Q x y j( , ) ( , ) ( , ) com P e Q de classe C1.

TemosP1 (, ) P(x, y) e Q1(, ) Q(x, y) com x cos e y sen .

a)

P Px

x Py

y1

P Px

x Py

y1

P Px

Py

P Px

Py

1

1

sen

sen

cos

cos

Multiplicando-se a primeira equao por sen , a segunda por cos e somandomembro a membro, obtemos::

Px

x y P P( , ) ( , ) cos ( , ) 1 1 1sen .

Procedendo de forma anloga, obtemos:

Qy

x y Q Q( , ) cos ( , ) ( , ) 1 1 1sen .

b) r r rF x y P x y i Q x y j( , ) ( , ) ( , )

div r

F x y Px

x y Qy

x y( , ) ( , ) ( , )

1 11 1 1 1r

sen ( , ) cos ( , ) cos ( , ) ( , )

P P Q Qsen .

sen cos

cos sen

20

Ento

div

r

F x y P Q P Q( , ) ( , ) ( , ) cos ( , ) ( , ) . sen

1 11 1 1 1

13. a) Seja (x, y) f xy

( ), y 0 onde f(u), u xy

, derivvel at 2. ordem. Temos

xf u u

x yf u

x yf u u

x yf u ( ) ( ) ( ) ( );1 1 1

2

2 2e

yf u u

yx

yf u

yx

yf u x

yf u ( ) ( ) ( ) ( ).2

2

2 3

2

42

e

Da, de u xy

e de

2

2

2

2

2 0

x y, segue

(1 u2) f (u) 2uf (u) 0.

b) Supondo f (u) 0 temos f uf uu

u

( )( )

21 2

que equivalente a

(ln f (u)) (ln (1 u2)). Da, [ln (1 u2) f (u)] 0e, portanto, ln(1 u2) f (u)) k, k constante. Segue que f u A

uA ek

( ) , .

1 2 Ento, a

funo f(u) A arctg u B (A e B constantes) resolve o problema.

Exerccios 1.5

1. Sejam F: A n m, P um ponto de acumulao de A e L m

a) lim ( ) ( ) ,x P

mF x

r r

0 0 0 0 o vetor nulo de R

tal que, X A, 0 X P F(X)

r

0 0, 0 tal que, X A, 0 X P F(x) 0

lim ( )X P

F x 0.

b) lim ( )X P

F x L

0, 0 tal que, X A,

0 X P F(X) L .

21

Mas F(X) L F(X) L 0

Logo,

0, 0 tal que, X A, 0 X P F(X) L 0

lim ( )

X PF X L 0

c) lim ( )

HF P H L

r

0 0, 0 tal que, H, com H P A,

0 0 Hr

F(P H) L

0, 0 tal que, H, com P H A,

0 (P H) P F(P H) L 0, 0 tal que, X A,

0 X P F(X) L 0 X P F(X) L

lim ( )X P

F X L .

2. Como F contnua em G(P) B

0, 0 tal que, Z B, Z G(P) 1 F(Z) F(G(P)) .

Como G contnua em P A, para o 1 0 acima, 0 tal que

X P G(x) G(P) 1.

Segue que 0, 0 tal que, X A,

0 X P F(G(x)) F(G(P)) . Logo,

H(X) F(G(X)) contnua em P.

3. dado que existe M 0 tal que, para todo X , F(x) L M X P .Assim,

0,

M tal que, X , 0 X P

M

22

F(X) L M

X P

M

1 24 34 F(X) L

lim ( )

X PF X L .

4. Primeiro vamos rever a desigualdade r r r r

u v v u que uma conseqnciada desigualdade triangular. Veja

r r r r r r r r

v v u v u u v u ( ) ( ) ; da

r r r r

u v v u .

Vamos ento ao exerccio.

lim ( ),

( ) .X P

F X L

Lr

X P r F x L L

-

"

Tomando se existetal que no domnio de ,

20

02

X F

Tendo em vista a desigualdade acima, F(X) L L F(X) . Da e de

F(X) L L2

, resulta L F(X)

L2

e, portanto, F(x)

L2

.

Assim, existe r 0 tal que

0 X P r F(x) L2

.