ATPS

Cálculo 1

Equipe

ANGÉLICA NASCIMENTO PEREIRA RA: 1158372198

ALEXANDRE AUGUSTO LOUREÇON RA: 1106274850

CAROLINE APARECIDA DE SOUZA RA: 1107305147

CARLA Mª RAMOS TOLENTINO RA: 2504089324

FERNANDO DA SILVA CARDOSO RA: 1106283363

FERNANDO ANTONIO DA SILVA RA: 1144395986

JOSÉ HUMBERTO RÊGO FERREIRA RA: 1108342005

Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO – 2° Semestre

Profs. Silviane Rigolon

Jundiaí

2011

2 PARTE ATPS – Cálculo 1

SEGUNDO DESAFIO

ETAPA 1:

Passo 1.

1. CONCEITO DE LIMITES...................................................................................5

2. PROPRIEDADES DE LIMITES........................................................................ 5

3. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES.......................................................................6

4. LIMITES NO INFINITO....................................................................................10

5. LIMITE EM OUTRAS ÁREAS.........................................................................11

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................12

CONCEITO DE LIMITES

Limite é o conceito mais fundamental do calculo; de fato, limite é o que distingue, no nível mais básico, o calculo de álgebra, geometria e o resto da matemática.

Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do calculo, limites devem vir primeiro. Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, tende para infinito.

Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

PROPRIEDADES DOS LIMITES

Muitas funções do cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos x a.

1. Se f(x)=C onde C é constante, então Lim f(x) = Lim C = C;

2. Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b;

3. Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:

1. Lim(f ± g)(x) = [Lim f(x)] ± [Lim g(x)] = A ± B

2. Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B

3. Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A

4. Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An

5. Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.

6. Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)

1. Se acontecer uma das situações abaixo:

1. Lim f(x) = 0

2. Lim f(x)>0 e n é um número natural

3. Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar

Então 

Observações sobre as propriedades:

1. As propriedades que valem para duas funções valem também para um número finito de funções;

2. As propriedades 3-a, 3-b e 3-e estabelecem que se existem os limites das parcelas, então, existirá o limite da operação, mas a recíproca deste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existir sem que existam os limites das parcelas.

Teorema do anulamento: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que Lim g(x)=0, quando x a, então: Lim f(x)·g(x) = 0. Este resultado é útil para podermos obter cálculos com limites.

Teorema do Confronto (regra do sanduiche): Se valem as desigualdades f(x)<g(x)<h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvez em x=a e se Lim f(x) = L = Lim h(x) então: Lim g(x) = L

Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:

cos(x) < sen(x)/x < 1 então, quando x 0: 1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1

Observações: Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites são válidas também para limites laterais e para limites no infinito. Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas, que são denominadas expressões indeterminadas,

 nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

   Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

 

Propriedade das Funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

 f(x) g(x) é contínua em a;

f(x) g(x) é contínua em a;

é contínua em a  .

Um conceito fundamental no Cálculo, no que diz respeito ao estudo de funções, é o de continuidade de uma função num ponto de seu domínio.

 

O conceito de continuidade de uma função em um ponto de seu domínio pode ser colocado na forma de uma definição precisa:

Definição: f é contínua num ponto a de seu domínio quando  . Quando f é contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua.

Observamos que para questionarmos se uma dada função é contínua em determinado ponto, precisamos tomar o cuidado de verificar se esse ponto pertence ao domínio da função. Se tal ponto não está no domínio, a função não é contínua nesse ponto.

Assim,  é uma função contínua em todos os pontos de seu domínio , porém não é contínua no conjunto R, pois não é contínua em x=0, uma vez que não está definida nesse ponto. Uma propriedade importante relaciona a continuidade de uma função num ponto de seu domínio com a derivabilidade dessa função, ou seja, com a existência de reta tangente ao gráfico nesse mesmo ponto. Se f é derivável num ponto

x0 de seu domínio, então f é contínua em x0. Dessa forma, a existência de reta tangente ao gráfico de uma função num ponto de seu domínio acarreta necessariamente na continuidade da função nesse ponto.

Obs.: A recíproca desse Teorema é falsa.

Para verificar esse fato, basta exibir um contra exemplo:

·. Essa função é evidentemente contínua em todo seu domínio, em particular, em x=0. Entretanto, não é derivável na origem.

LIMITES NO INFINITO

IDÉIA INTUITIVA DE LIMITE

Observaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R-{1} R definida por:

f(x)=

x²-1 x-1

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples:

f(x) = x + 1. Ao analisarmos o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x=1.

Pela esquerda de x=1

x 00,50,80,9

0,990,9991

f(x) 11,51,81,9

1,991,9992

Pela direita de x=1

x 21,51,21,1

1,011,0011

f(x) 32,52,22,1

2,012,0012

Neste caso, dizemos L=2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por: Limx 1f(x) = 2. Este resultado pode ser visto através da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:

ETAPA 2

Passo 1.

LIMITES EM OUTRAS ÁREAS

Limites são fáceis de serem colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para os todos os tipos de cálculos.

Limite não é utilizado apenas em matemática, e sim, em diversas outras áreas, como por exemplo, na Física. Temos como exemplo, o cálculo da velocidade instantânea. Para fazermos este cálculo, precisamos conhecer a posição y do objeto em cada instante x, e precisamos conhecer a função y = f(x). Munidos deste conhecimento, a velocidade em cada instante x é o valor para o qual se aproxima a velocidade média entre os instantes x e x + Δx (i.e. Δf/Δx ), quando o intervalo de tempo Δx se aproxima de 0, ou seja o limite do quociente anterior. A este tipo de limites chamamos derivada.

Podemos ver que a velocidade média se vai aproximando do declive da reta tangente no ponto x, pois a reta secante, que une os pontos f(x) e f(x + Δx), tende para a reta tangente quando Δx se aproxima de 0. No caso geral em que a variável y não é necessariamente a posição e a variável x não é necessariamente o tempo, chamamos derivada de f no ponto x à velocidade no ponto x, ou seja, o declive da reta tangente.