aspectos matemáticos das equações, níveis de formulação

Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia

10

CAPÍTULO 2

Aspectos Matemáticos das Equações,

Níveis de Formulação dos Modelos,

Equações Diferenciais Parciais

Este capítulo apresenta os principais conceitos referentes aos aspectos matemáticos das

equações diferenciais parciais (EDPs). Primeiramente, são definidos os níveis de formulação dos

modelos para a solução dos problemas físicos. Na seqüência, discute-se os três tipos básicos de

EDPs, salientando-se a diferença entre eles, tanto do ponto de vista físico como matemático.

2.1 Níveis de Formulação dos Modelos.

A obtenção da solução de qualquer problema físico requer a habilidade da criação do

modelo matemático correspondente. O modelo matemático deve ser tal que possa ser resolvido

com tempos de computação não proibitivos e que os resultados obtidos representem

corretamente o fenômeno físico em questão.

O sistema de equações gerado pelo modelo matemático pode ser obtido tanto a nível

molecular, ou seja, uma equação para cada molécula, como a nível de volumes de controle, onde

se supõe um valor médio da propriedade dentro desse volume.

Para o caso de escoamento de fluido newtoniano, as equações de conservação da massa,

da quantidade de movimento e da energia, para sistema cartesiano de coordenadas são:

0jj

xt x

(2.1)

iuii i j

j i j j

uPu u u St x x x x

(2.2)

Tj

j j p j

k TT u T St x x c x

(2.3)


11

sendo a massa especifica, t a variável do tempo jx , ju representam a componente do

sistema de coordenada e do vetor velocidade nas direções 1,2,3j respectivamente, a

viscosidade dinâmica, T a temperatura, k o coeficiente de condutividade térmica do material e

pc o calor especifico.

A Figura 2.1 apresenta de forma sucinta os três métodos de solução de problemas de

engenharia, com os respectivos requisitos associados ao emprego de cada método.


12

PR

OB

LEM

A F

ÍSIC

O

MÉ

TOD

OS

EX

PE

RIM

EN

TAIS BA

NC

ADA

DE

TE

STE

S E

M

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ulta

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dos

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os

Figura 2.1 Métodos de Solução (Maliska,1995)


13

As equações (2.1) (2.2) e (2.3) podem ser escritas para um campo escalar geral f :

u v w

t x y z

Sx x y y z z

(2.4)

Os significados de f , e S para cada equação são dados na Tabela 2.1. O fechamento

do problema é obtido com a equação de estado:

,P T (2.5)

O problema tridimensional representado pelas Eqs. (2.4) e (2.5), possui 6 equações e 6

incógnitas: , , , ,u v w Pr e T .

2.2 Equações Diferenciais Parciais (EDPs).

Os métodos numéricos tratam da obtenção de soluções numéricas para equações

diferenciais parciais ou ordinárias. Para podermos aplicar técnicas computacionais a problemas

que envolvem essas equações, é importante primeiro identificar suas características gerais. As

EDPs que descrevem os fenômenos de interesse da dinâmica de fluidos computacional podem

ser classificadas em três categorias básicas.

1. Elípticas.

2. Parabólicas.

3. Hiperbólicas.

Essa classificação não é meramente acadêmica, uma vez que cada classe de equações está

associada a uma categoria diferente de fenômenos físicos. Além disso, métodos numéricos que

funcionam para uma categoria de equações podem não funcionar para as demais.


14

Tabela 2.1 Valores de , e S

Equação de conservação

Massa global

Quantidade de movimento em x

Quantidade de movimento em y

Quantidade de movimento em z

Energia*

Massa de um componente

* é o termo de dissipação viscosa.

Uma equação diferencial pode ser classificada sob diferentes aspectos. A ordem de uma

equação diferencial parcial é a ordem da maior derivada parcial presente na equação. Considere-

se a equação diferencial de segunda ordem em duas variáveis x e y , que não necessariamente

representam coordenadas espaciais:

2 2 2

2 2A B C D E F Gx x y y x y

(2.6)


15

Quando , , , ,,A B C D E F e G forem constantes ou funções de x , y apenas, a equação

(2.6) é dita linear. Em função dos valores de ,A B e C , pode-se classificar a equação (2.6) nos

três tipos mencionados acima:

Elíptica, se 2 4 0B AC

Parabólica, se 2 4 0B AC

Hiperbólica, se 2 4 0B AC

Equações de ordem superior a dois podem ser classificadas nas três damílias anteriores,

se forem reescritas como um sistema de equações de primeira ordem. Uma discussão mais

detalhada sobre a classificação de EDPs pode-ser encontrada em Fletcher (1992).


16

Tabela 2.2 Níveis de Formulação dos Modelos (Maliska,1995)

Nivel em que osbalanços de conservação

são efetuados

Informaçõesnecessárias

Tipo de equação resultante

Conservação para cada molécula

Balanços onde:

Balanços onde:

Balanços onde ovolume de controle

coincide com o domíniode solução em alguma(s)

direção(ões)

Fornecer as condições de contorno nas direções onde

o volume de controle coincide com o domínio

de solução

Equações diferenciais, parciais, ordinárias

ou algébricas

Conjunto de equações

diferenciais parciais

Conjunto de equações

diferenciais parciais

Equação para cada molécula

Massa molecular,leis de troca de QM,campos de forças:

eléricos, magnéticos, etc.

Propriedades refletindo o comportamento molecular

etc.

etc. e asFornecertensões de Reynolds,

relações de transferênciade calor e massa

turbulenta

tempo médio sobre os quais os balanços de conservação são realizados

tempo entre colisões moleculares

escala de tempo para turbulência

comprimento médio sobre os quais os balanços de conservação são realizados

livre caminho médio entre as moléculas

escala de comprimento para turbulência


17

2.2.1 Problemas de Equilíbrio

Problemas de equilíbrio são aqueles nos quais a propriedade de interesse não se altera

como o passar do tempo. Matematicamente, esses problemas são, em geral, representados por

equações diferenciais parciais elípticas, cuja equação modelo é a equação de Laplace. Em

coordenadas cartesianas, essa equação pode ser escrita como:

2 2

22 2 0

x y

(2.7)

sendo a variável dependente e 2 o operador laplaciano que, em coordenadas cartesianas

bidimensionais, é dado por

2 2

22 2x y

(2.8)

A solução única para problemas envolvendo equações diferenciais parciais é obtida

especificando-se condições sobre a variável dependente na fronteira R da região R , em que se

quer resolver o problema. Problemas que exigem condições ao longo da fronteira (contorno)

R de toda a região são denominados de problemas de valor de contorno (PVC). Ver Figura 2.2.

R

R

Figura 2.2 Região R com fronteira R na qual resolvemos problemas de equilíbrio. As

condições sobre a variável dependente são aplicadas ao longo de toda a fronteira da região.

Uma característica dos problemas regidos por equações elípticas é que toda a região R é

imediatamente afetada por qualquer mudança no valor da variável dependente em um ponto P

no interior de R , ou em sua fronteira R (ver Figura 2.3). Isso equivale a dizer que

perturbações deslocam-se em todas as direções dentro de R , afetando todos os demais pontos

internos, embora essa influência diminua como o aumento da distância ao ponto P . Portanto,

as soluções numéricas de problemas de equilíbrio variam suavemente em R . No caso da chapa,

qualquer mudança de temperatura em P altera a distribuição estacionária de temperatura em

todos os pontos da região R , sendo as mudanças menores conforme nos afastamos de P .


18

Fisicamente, observamos esse efeito quando colocamos ao fogo uma panela que está

inicialmente em equilíbrio térmico. Após a panela atingir novamente o equilíbrio térmico, toda a

panela está quente e não só a parte em contato com a chama.

Elíptico

Px

Parabólico

Px

Hiperbólico

Px

Figura 2.3 Problemas Elípticos, Parabólicos e Hiperbólicos

O método numérico empregado para resolver o problema de equilíbrio deve levar em

conta que cada ponto da fronteira R afeta a solução global.

2.2.2 Problemas Transientes.

Os problemas transientes, ou de propagação, envolvem a variação temporal das

grandezas físicas de interesse. A partir dos valores iniciais dessas grandezas em um certo tempo

0t , calculam-se pela solução numérica da EDP (quando não se dispõe da solução analítica), seus

novos valores em sucessivos intervalos de tempo t , até alcançarmos o instante final ft .

0 0 0, 2 , 3 ,..., ,f ft t t t t t t t t


19

Note que caminha-se (marcha) na dimensão temporal em “passos” de comprimento t ,

desde 0t até ft . Por isso, problemas transientes são também denominados “problemas em

marcha”.

Os fenômenos transientes são modelados por equações diferenciais parabólicas ou

hiperbólicas. Quando apresentam mecanismos de dissipação de energia (por exemplo, na

difusão de calor e no escoamento de fluidos viscosos), os fenômenos ditos dissipativos são

descritos por equações parabólicas. Caso contrário, são representados por equações

hiperbólicas.

Equações Parabólicas

A equação modelo para problemas parabólicos é a equação transiente de difusão de

calor:

2

2

1 T Tt x

(2.9)

na qual T é a temperatura e é o coeficiente de difusividade térmica do material. Como

exemplo, considere-se a barra delgada de comprimento 10 cm, mostrada na Figura 2.4, isolada

termicamente ao longo de seu comprimento, mas que tem suas extremidades mantidas às

temperaturas de 0 1 50T T C .

T0 T1

Figura 2.4 Barra termicamente isolada

Supondo a barra inicialmente a temperatura de 0T C , deseja-se conhecer sua

evolução temporal ao longo da barra. A Figura 2.5 mostra o gráfico da temperatura da barra em

diferentes instantes de tempo. A partir do estado inicial, passa-se por uma sucessão de

distribuições de temperaturas transientes. Após um tempo suficientemente longo, o equilíbrio

térmico (estado estacionário) é alcançado e a temperatura da barra não mais varia. Obtém-se,

então, uma distribuição uniforme de temperatura.


20

0 2 4 6 8 101 3 5 7 9x (cm)

0

20

40

60

10

30

50

Tem

pera

tura

(oC

)

Estacionária

Transientes

Figura 2.5 Distribuição da temperatura em uma barra para diferentes instantes de tempo

Para se poder estudar a evolução temporal da temperatura é necessário que, o valor

inicial da temperatura ao longo de toda a barra seja especificado. Com essa informação, e

sabendo que a temperatura nos extremos da barra é mantida a 50 C (condição de fronteira),

obtem-se a distribuição de temperatura ao longo da barra para diferentes instantes de tempo. As

condições de fronteira, combinadas (quando apropriado) com condições iniciais, são

denominadas condições auxiliares.

Ao contrário dos problemas de equilíbrio, os problemas transientes necessitam de

valores para a variável dependente em 0t (condições iniciais), além de condições de

fronteira para 0t . Problemas desse tipo são denominados problemas de valor inicial (PVI). A

necessidade de condições iniciais fica clara quando observa-se que a equação (2.9) só relaciona

variações espaciais e temporais de T , mas não especifica o valor de T . Deve-se especificar o

valor inicial de T para, sabendo sua variação temporal e espacial (dadas pela equação (2.9)),

obter os novos valores de T para 0t . Pode-se, então escrever:

Valor inicial de T +Variação espacial e temporal de T , dada

pela equação diferencial

Condições de fronteira+ Novo valor

de T=

Essa relação é válida para os problemas de valor inicial em geral.

Finalmente, nota-se que, a princípio, é possível marchar indefinidamente no tempo, isto

é, calcular a temperatura da barra em qualquer instante de tempo 0t . Portanto, ao contrário


21

daquela dos problemas elípticos, a região R de solução de problemas parabólicos é aberta. (ver

Figura 2.3)

Equações Hiperbólicas

Equações hiperbólicas estão relacionadas a problemas de vibração ou de convecção, em

que os fenômenos dissipativos são mínimos ou podem ser desprezados. Situações descritas por

equações hiperbólicas necessitam tanto de condições iniciais como, em geral, de condições de

fronteira (ver Figura 2.3). Portanto, são também problemas de valor inicial. E da mesma forma

em que problemas parabólicos, a região R da solução é aberta.

A equação modelo do problema hiperbólico é a equação de convecção que, para uma

dimensão especial, é escrita como:

vt x

(2.10)

Essa equação representa o transporte de para a direita ao longo de x com velocidade

0v . Como essa equação não possui um termo dissipativo 2 2x , o valor de deve ser

apenas transportado ao longo de x , sem alteração, entre os instantes 0t e 0t t (ver Figura

2.6). O produto

vx

(2.11)

é denominado termo convectivo ou inercial.

v

Figura 2.6 Perfil senoidal transportado sem dissipação com velocidade 0v por uma equação

hiperbólica

A ausência de mecanismos dissipativos faz com que quaisquer descontinuidades

presentes nas condições iniciais se propaguem para a solução em 0t . Isso implica que as

equações hiperbólicas admitem soluções descontínuas, e que o método numérico utilizado deve

ser capaz de lidar com elas.


22

Um processo de convecção que possua mecanismos dissipativos obedece à equação

parabólica de convecção-difusão, também denominada equação de transporte.

2

2vt x x

(2.12)

em que v é a velocidade de propagação de e é o coeficiente de difusão de .

Para ilustrar os efeitos que a presença ou ausência de mecanismos de dissipação têm

sobre a solução numérica de problemas de convecção, a Figura 2.7 mostra a propagação com

dissipação do perfil senoidal da Figura 2.6. Os efeitos dissipativos são claramente visíveis: o

perfil senoidal foi “espalhado” (difundido) para pontos adjacentes e teve sua amplitude reduzida.

v

Figura 2.7 Perfil senoidal transportado com dissipação. Em relação ao perfil inicial, note a

redução da amplitude e difusão do perfil para pontos adjacentes.

Finalmente, convém mencionar outra equação hiperbólica importante, a equação da

onda de segunda ordem:

2 2

22 2c

t x

(2.13)

Essa equação descreve, por exemplo, o deslocamento transversal de uma corda sob

tensão. A constante c é a velocidade de propagação da onda na corda. Uma expressão

semelhante modela a vibração de uma chapa de espessura desprezível, fixa pelas extremidades.

A Tabela 2.3 adaptada de Versteeg & Malalasekera (1995), resume a classificação dos

fenômenos físicos e as equações vistas até aqui.

Tabela 2.3 Sumário das características dos problemas físicos


23

Problema Tipo de

equação

Equação

Modelo

Condições Região Admite

solução

descontínua?

Equilíbrio Elíptica 2 0 Fronteira Fechada Não

Transientes com

dissipação Parabólica 2

t

Fronteira e

iniciais Aberta Não

Transientes sem

dissipação Hiperbólica v

t x

Fronteira e

iniciais Aberta Sim


24

Lista de Exercícios 2

1) No contexto de métodos numéricos para a solução de EDPs (Equações Diferenciais Parciais),

qual a importância de se conhecer a categoria (classificação) a que pertence uma dada EDP?

2) Explique as diferenças entre problemas elípticos, parabólicos e hiperbólicos. Exemplifique.

3) Verifique se as funções abaixo são soluções da equação de Laplace:

02

2

2

2

yx

(a) xy

(b) 22 yx

(c) )ln( 22 yx

4) Suponha que as funções 1 e 2 sejam duas soluções da equação de Laplace. Mostre que, se 1c

e 2c forem constantes, então: 3 1 1 2 1c c também é solução.

5) Considere a Equação de Burger dada por: 2

2

xu

xuu

tu

onde u é o componente x da velocidade, t é o tempo, x é a coordenadas espacial e a

viscosidade cinemática do fluido. Discuta a natureza desta equação.

6) Considere a seguinte equação diferencial:

02

2

2

2

yT

xTx

Esta equação pode ser elíptica, parabólica ou hiperbólica, dependendo se 0x , 0x ou 0x .

Explique quando está equação é elíptica, parabólica ou hiperbólica.

aspectos matemáticos das equações, níveis de formulação

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