11

EQUAÇÕESEQUAÇÕES

A primeira referência histórica que temos sobre equações refere-se ao papiro de Rhind, um dos documentos matemáticos dos antigos egípcios.

Sabe-se que os egípcios não utilizavam a notação algébrica, o que tornava a solução de equações cansativas e complexas. Já os gregos resolviam equações através da Geometria.

22

EQUAÇÕES DO 1º GRAU - EQUAÇÕES DO 1º GRAU - DEFINIÇÃODEFINIÇÃO

Definição: Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais letras que representem números, é denomidada equação.

Cada letra que representa este número desconhecido é chamada de variável ou incógnita.

A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da equação (ou igualdade).

A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade (ou equação).

33

Matemática

Equações e Sistemas de 1º Grau

Aquelas equações que podem ser colocadas na forma:

ax + b = 0 com a 0,

são chamadas equações do 1º Grau.

 

Na solução de certos problemas a linguagem algébrica e as equações são instrumentos indispensáveis.

 

44

Matemática

Equações e Sistemas de 1º Grau

Exemplo:

 1) O triplo de um número natural, somado a seu antecessor, é igual ao dobro desse número. Qual é esse número?

 3x + (x - 1) = 2x

3x + x - 1 = 2x

4x - 2x - 1 = 0

2x = 1

x = ½

55

2) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:n + n/2 = 1502n/2 + n/2 = 300/22n + n = 3003n = 300n = 300/3n = 100Resposta: Esse número é 100.

66

Matemática

Sistemas de 1º Grau com duas variáveis

Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis, x e y, por exemplo,significa determinar o único par ordenado (x,y) que é a solução do sistema.

  Podemos encontrar a solução de um sistema usando os métodos da adição, substituição e comparação.

 

77

Matemática

Sistemas de 1º Grau com duas variáveis

 Qual o par ordenado (x,y) que é a solução do sistema ?

x 3y 1

2x 3y 2

88

Matemática

Equações e Sistemas de 2º Grau

Aquelas equações que podem ser reduzidas à forma :

ax2 + bx + c = 0, com a 0,

são chamadas Equações do 2º Grau.

A igualdade x2 = 9 é também uma equação. Como o expoente da variável x é 2, dizemos que é uma equação de 2º Grau.

 

99

    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

    

- a    é sempre o coeficiente de  x²;

   - b    é sempre o coeficiente de x,

   - c    é o coeficiente ou termo independente.

1010

MatemáticaEquações e Sistemas de 2º Grau

A fórmula resolutiva das equações de 2º Grau é chamada fórmula de Bháskara.

onde é o Discriminante da equação

= b2 - 4 . a . c

 

x =-b

2a

1111

Raízes de uma equação do Raízes de uma equação do 2º grau2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

1212

Exemplo:Exemplo:

Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px² - 2 = 0.

Solução:Substituindo a incógnita  x por 2,

determinamos o valor de p.

1313

1414

Resumindo

  Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:

  Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.  Para , a equação tem duas raízes reais iguais.  Para , a equação não tem raízes reais.

1515

RELAÇÕES ENTRE OS RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZESCOEFICIENTES E AS RAÍZES

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

1616

Observe as seguintes relações:

Soma das raízes (S)

1717

Produto das raízes (P)

1818

Exercícios:Exercícios:

1) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?

2) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

3) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

4) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

1919

5) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

6) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

7) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras?

8) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?

2020

9) Resolva as equações :a) x2 – 12x + 35 = 0b) x2 + 6x + 5 = 0 c) x2 – 10x + 24 = 0d) x2 – 14x = 0e) x2 – 169 = 0f) x2 – 5x = 0g) x2 – 3x – 4 = 0

2121

10) Uma mãe tem o triplo da idade de sua filha. Há dez anos, ela tinha sete vezes a idade da filha. Qual a idade da mãe e da filha?

11) Compramos 6 kg de chá e 4 kg de café por um preço total de 16,60 reais. Sabendo que 4 kg de chá mais 2 kg de café custam 9,40 reais, calcular o preço do kg de chá e o de café.

2222

FIM