unidade 6: a uma incógnita. ao longo da história da matemática encontramos várias referências a...
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Unidade 6:
a uma incógnita
Ao longo da história da Matemática encontramos várias referências a matemáticos que estudaram métodos de resolução de equações do 2º grau.
Os matemáticos da Babilónia já resolviam equações do 2º grau desde 2000 a.C.;
Os gregos resolviam também equações do 2º grau à base de problemas geométricos;
No século IX, os árabes desenvolveram vários trabalhos sobre a resolução de equações deste tipo. No entanto, todos eles consideravam apenas as soluções positivas.
No século XVI, os matemáticos Europeus começaram a resolver as equações do 2º grau por processos algébricos. Viéte foi o primeiro a usar letras para representar incógnitas.
Um Pouco de História
Depois de falarmos um pouco sobre alguns
matemáticos importantes na história das equações
do 2º grau, não poderíamos deixar de falar no
brilhante matemático Português Pedro Nunes.
Este matemático
Português do século XVI
realizou uma grandiosa obra
na área da Matemática,
Física, Astronomia e nas
suas aplicações à Náutica.
No que diz respeito às
equações, Pedro Nunes
resolvi-as com grande rigor
de raciocínio embora sem
usar linguagem simbólica.
Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda a
equação do tipo:
Com a, b e c números reais e
02 cbxax
0a
Equação na forma canónica
0cbxax2
Termo em x2 Termo em x Termo independente
Mas afinal o que é uma equação do 2º grau?
Complete a tabela:
Equação do 2º grau
Equação na forma canónica
a b c
082 x
523 2 xx
02 x
2
2
1xx
33
15 2 xx
0523 2 xx
082 x
02 x
02
1 2 xx
033
15 2 xx
1
1
1
0
0 0
0
8
3 2 5
2
1
53
1 3
Termo em x e/ou o termo independente são nulos.
Equações do 2º grau
Completas
Incompletas
Todos os termos são diferentes de zero.
0523 2 xx
033
15 2 xx
082 x
02 x
02
1 2 xx
EquaçõesIncompletas
Como vimos, existem três tipos de equações incompletas:
0 e com , 0 2 cacax1.
0 com , 0 2 aax2.
0 e com , 0 2 babxax3.
, a e c IR
, a IR
, a e b IR
Resolução de Equações
do 2º Grau Incompletas
“Quais são os números que elevados ao quadrado são iguais a 25?”
Um Problema…
O problema pode ser traduzido pela equação:
252 xAgora, resolvendo a equação vem:
252 x 25 x 5 x 55 xx
Portanto, 5,5.. SC
Resposta: Os números são o -5 e o 5.
Resolva a equação:
252 x
Equação impossível em IR, pois qualquer número real ao quadrado é maior ou igual a zero.
Exercícios: resolva as equações
02 cax 0 e ca
1) 22 56 xx 15
55556 22222 xxxxx
111 xxx 1,1.. SC
, a e c IR• Equações do tipo com
025x2
2)
3)
43)3( xxx
0328 2 x
4433433 222 xxxxxxx
Equação impossível em IR
448
32328 222 xxxx
22 xx
2,2.. SC
4) Página 185 do manual, exercício 5
Resolução de Equações do 2º Grau Incompletas• Equações do tipo , com02 ax 0a
Exercícios:Resolva as equações:
1)
2)
02 2 x
08 2 x
2
02 x 02x
0 x
8
02
x 02x
0 x
0.. SC
0.. SC
x
y
-2 -1 0 1 2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
y
-2 -1 0 1 2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
Resolução gráfica:
À representação gráfica destas equações chamamos parábolas.
e a IR
Então, de um modo geral, sendo , vem:
02 ax
0a
ax
02 02 x 0 x
Logo, 0.. SC
Uma equação de 2º grau do tipo , com
e a IR, tem uma única solução: o número 0.
02 ax 0a
Exercícios:
1)
2)
636 22 xx
xxx 39)6(3 2
663 22 xx
04 2 x4
02
x 02 x 0 x
0.. SC
xxx 39183 2
18339 2 xxx 189 2 x 9
182x
22 x 2 x
2,2.. SC
T.P.C.
Sumário: Rotações. Isometrias.
Apresentação em PowerPoint:
• Equações do 2º grau: nota histórica e definição.
• Resolução de equações incompletas do tipo:
02 cax 02 ax
Resolver os exercícios 3 da página 185 do
manual e 4.1, 4.2 e 4.5 da página 186.