arte iv coordenadas polares - … · eixo a 90º ou eixo ortogonal – a reta que passa pelo pólo...

PARTE IV – COORDENADAS POLARES

Existem vários sistemas de coordenadas planas e espaciais que, dependendo da área de

aplicação, podem ajudar a simplificar e resolver importantes problemas geométricos ou

físicos. Nesta parte, introduziremos um novo sistema de coordenadas planas que, para certas

curvas e problemas de lugar geométrico, apresenta algumas vantagens em relação às

coordenadas retangulares (cartesianas), além de facilitar, em alguns casos, o cálculo de

integrais (conteúdo que será estudado em outra disciplina).

Conteúdos

Sistema de coordenadas polares

Equações polares equivalentes

Conjunto abrangente e igualdade

Equação polar versus equação cartesiana

Reta e círculo

Gráficos de curvas dadas em polares

Intersecção de curvas em polares

Exercícios de Aprendizagem

PARTE IV – COORDENADAS POLARES – ERON 2

COORDENADAS POLARES

No sistema de coordenadas retangulares a localização de um ponto P do plano é dada

através da distância de P a duas retas perpendiculares fixas denominadas de eixos

coordenados. No sistema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto consistem de

uma distância e da medida de um ângulo, em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta

fixa.

Sistema de coordenadas polares. Fixados um ponto O , denominado pólo ou origem e uma

semi-reta de origem nesse ponto, denominada de semi-eixo polar podemos localizar qualquer

ponto P do plano se conhecermos a sua distância ao pólo e o ângulo que o segmento OP

faz com o semi-eixo polar.

semi-eixo polar

pólo

r

P

O

Neste sistema, as coordenadas de um ponto P são representadas pelo par ( , )P r no qual

r é denominado raio vetor ou raio polar e corresponde à distância de P ao pólo.

é denominado ângulo vetorial ou ângulo polar e corresponde ao ângulo de rotação

do semi-eixo polar até o segmento OP .

0 se a rotação for no sentido anti-horário.

0 se a rotação for no sentido horário.

pode ser medido em graus ou radianos.

Denominamos

eixo polar – a reta orientada que contém o semi-eixo polar.

eixo a 90º ou eixo ortogonal – a reta que passa pelo pólo e é ortogonal ao eixo polar.


semi-eixo polar

pólo

r

O

ângulo polar

raio polar

( , )P r

eixo a 90°

eixo polar

Exemplo

Marcar os pontos no sistema polar.

3,4

A

2,3

B

4,90ºC

3,0ºD

5 3,

2 4E

1,4

F

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

A

B

C

D

E

F

Observe que podemos considerar o raio vetor como distância orientada de um ponto P ao

pólo O da seguinte maneira: Se 0r giramos o semi-eixo polar de ângulo e na semi-reta

oposta marcamos r unidades, a partir do pólo. Como os pontos 3,0ºD e 1,4

F .

Conjunto abrangente. Observe o seguinte exemplo – representamos no sistema polar os

seguintes pontos: 1 1,6

P ; 27

1,6

P ; 35

1,6

P e 411

1,6

P .


–4 –3 –2 –1 0 1 2

1P

–4 –3 –2 –1 0 1 2

2P

–4 –3 –2 –1 0 1 2

3P

–4 –3 –2 –1 0 1 2

4P

Por este exemplo, podemos observar que um mesmo ponto P pode ser obtido por vários

pares de coordenadas polares.


De um modo geral, conhecidas as coordenadas de um ponto ( , )P r , r e em radianos,

P também pode ser representado por , 2r n ou , 2r n que resulta na única

expressão ( 1) , , nr n n . A menos que P seja o pólo, esta expressão representa

todas as possíveis coordenadas polares de P .

Definimos como abrangente ao conjunto de todas as curvas equivalentes de a uma dada

curva : ( , ) 0C f r , ou seja, ( ) ( 1) , , nE C f r n n .

Observe que em coordenadas polares não existe uma correspondência biunívoca entre pares e

pontos, como no caso das coordenadas cartesianas. É justamente este fato que leva a

resultados que, em alguns casos, diferem dos obtidos no sistema retangular.

Igualdade de dois pontos em coordenadas polares. Dados 1 1 1,P r e 2 2 2,P r então

1 2 1 2 0P P r r ou n tal que 2 1( 1)nr r e 2 1 n .

Note que se P é o pólo, então 0, representa P qualquer que seja .

Par principal (ou conjunto principal). Entre os infinitos pares de coordenadas polares de um

ponto P diferente do pólo, existe um único par com raio vetor 0r e 0,2 . A este

par 0 0,r tal que 0 0r e 00 2 denominamos par ou conjunto principal de

coordenadas polares do ponto P . Convencionamos que o par principal do pólo é (0,0)P .

Exemplos

1 – Dado o ponto, determine mais três pares de coordenadas polares que o represente:

a) 3,4

P . Solução. 1 3,4

P ; 25

3,4

P ; 37

3,4

P .

b) 1,Q . Solução. 1 1,0Q ; 2 1,3Q ; 3 1,2Q .

c) 2,0R

2 – Determine o par principal de coordenadas polares dos pontos dados:

a) 2, 870A


Solução. O par principal 0 0,A r onde devemos ter

0 0r e 00 2 .

Fazendo 870 2 360 150 , sabemos que 150 corresponde a 210 . Logo, as

coordenadas principais do ponto são 2,210 .

b) 51

3,3

B

c) 4,530C

Equações polares equivalentes. Uma equação polar é uma equação dada em coordenadas

polares, isto é, que contém como variáveis os parâmetros que representam o raio e o ângulo

vetorial do sistema polar. Assim, uma equação polar é escrita na forma

( , ) 0f r .

O lugar geométrico determinado por uma equação polar ( , ) 0f r é formado por todos os

pontos e somente aqueles que tiverem pelo menos um par de coordenadas polares que

satisfaça a equação polar. Assim, é possível que um ponto 0 0,P r esteja no lugar

geométrico sem que suas coordenadas satisfaçam a equação.

Observe os exemplos seguintes

1. A equação polar 2r corresponde à circunferência de centro no pólo e raio 2 . O

ponto 2,2

P pertence à circunferência, mas não satisfaz a equação. Este mesmo

ponto pode ser dado nas coordenadas 3

2,2

que satisfaz a equação. Por outro lado, a

equação 2r representa a mesma circunferência. As equações 2r e 2r são

ditas equivalentes.

2. A equação 0 é a equação do eixo polar. As equações , n n são equações

equivalentes do eixo polar.


Equação polar equação cartesiana. Dado um ponto P do plano tendo como coordenadas

polares ( , )P r e coordenadas cartesianas ( , )P x y , podemos utilizar a figura abaixo para

obter relações entre as variáveis coordenadas , , e x y r .

x

y

r

P

cos

sen

x r

y r

2 2 2

tg

x y r

y

x

Exemplos

1 – Determine o conjunto principal de coordenadas polares para o ponto 3,1P .

Solução. Das coordenadas cartesianas do ponto, temos 3x e 1y . Então,

23 1 2r e

1 1 1 5tg arctg

63 3 3.

Logo, o conjunto principal de coordenadas polares do ponto P é 5

2,6

.

2 – Escreva as coordenadas cartesianas do ponto 3

2,4

A .

Solução. O ponto foi dado em coordenadas polares, portanto, 2r e 3

4. Então,

3 2cos 2 cos 2 1

4 2

3 2sen 2 sen 2 1

4 2

x r

y r

Logo, o ponto A tem coordenadas cartesianas 1, 1 .

3 – Determine uma equação polar para as curvas que tem equações cartesianas dadas:

a) 1 2y x

Solução.

b) 2 2 4x y


Solução. Usando que cosx r e seny r e substituindo na equação cartesiana, temos

2 2cos sen 4r r que nos dá 2r e 2r , equações polares equivalentes da

circunferência de centro na origem e raio 2.

c) 3y x

d) 2 2 2x y x

4 – Determine uma equação cartesiana das curvas cuja equação na forma polar é dada por:

a) 2 2sen(2 )r

Solução. 2 2 2r x y e sen(2 ) 2sen cos implicam em

22 2 2 2

2 22 2 2 2

44 sen cos 4 4

x y xyx y x y xy

x yx y x y.

b) 6

2 3senr

Solução. 2 26 2 3 sen 6 2 3 6

2 3senr r r x y y , ou seja, a equação

procurada é dada por 2 24 5 36 36x y y .

Equação de algumas curvas em coordenadas polares

1. Reta

1.1 Reta que passa pelo pólo

A reta que passa pelo pólo é o lugar geométrico dos

pontos ( , )P r cujo ângulo vetorial é constante.

Portanto, a equação

k onde k é uma constante, representa uma reta que

passa pelo pólo.

O

k


1.2 Caso geral – reta que não passa pelo pólo

Seja uma reta e tracemos do pólo até a

normal ON , sendo ( , )N o ponto de

intersecção de com a reta ON de modo que o

triângulo ONP seja retângulo em N . Assim,

cos( )r

, logo, se ( , )P r é um ponto sobre

então a equação polar da reta é dada por

cos( )r

ou

cos sen 0x y .

O

( , )N

( , )P r

r

Casos particulares

Reta perpendicular ao eixo polar

cos , 0r – Reta à direita do pólo.

cos , 0r – Reta à esquerda do pólo.

Reta perpendicular ao eixo a 90

sen , 0r – Reta acima do eixo polar.

sen , 0r – Reta abaixo do eixo polar.

Exemplos – Escreva a equação cartesiana de cada reta dada em sua forma polar:

a) 4

3

b) 1 2 2

cos sen2 2r

c) 2 senr

2. Círculo


2.1 Círculo com centro no pólo

A equação polar do círculo com centro no pólo e raio a é dada

por:

r a ou

r a .

O

a

2.2 Círculo com centro 0 0,C r e raio a .

Usando a lei dos cossenos temos

0 0 0

2 2 2 2 cos( )a r r rr (I)

que é chamada equação padrão do círculo.

Casos particulares O

a

C

r

( , )P r

0r

0

0)

(

Círculo que passa pelo pólo e tem centro no eixo polar. Neste caso , 0 , 0C a a .

Substituindo em (I): 2 2 cosr ra . Uma vez que, para 0r o ponto é o pólo, que pertence

à circunferência, podemos simplificar e obter 2 cosr a .

Centro à direita do pólo Centro à esquerda do polo

Círculo que passa pelo pólo e tem centro no eixo a 90. Neste caso ,90 , 0C a a .

Substituindo em (I) temos 2 2 senr ra . Uma vez que para 0r o ponto é o pólo que

pertence à circunferência podemos simplificar e obter 2 senr a .

C O

2 cosr a

C O

2 cosr a

C

O

2 senr a

C

O

2 senr a


Centro acima do eixo polar Centro abaixo do eixo polar

3. Algumas curvas “clássicas” em coordenadas polares

3.1) 2 2cosr (cardióide) 3. 2) 3cos(2 )r (rosácea)

3.3) 2 4cos(2 )r (lemniscata) 3.4) r (espiral de Arquimedes)

Exemplos de gráficos de curvas em coordenadas polares

Circunferências. Considerando 2a .

r a 2 cosr a 2 senr a


Limaçons. Considerando 3a e 2b ( )a b .

cosr a b cosr a b

senr a b senr a b

Considerando 2a e 3b ( )a b .

cosr a b cosr a b

senr a b senr a b


Considerando 2a .

1 cosr a 1 cosr a

1 senr a 1 senr a

Rosáceas. Considerando 2a , 3, ímparn n .

cos( )r a n sen( )r a n

Considerando 2a , 4, parn n .


cos( )r a n sen( )r a n

Espirais. Considerando 2a .

ar ( 0)

ar ( 0)

ar e ( 0,1)a , 1r a a

r r


Intersecção de curvas em polares. Dadas duas curvas em coordenadas polares,

1 : ( , ) 0C f r e 2 : ( , ) 0C g r . Para determinar os pontos de intersecção dessas curvas

devemos

i) Obter o conjunto abrangente de uma das curvas;

ii) Resolver todos os sistemas formados por uma das equações fixadas e cada uma das

equações do conjunto abrangente;

iii) Verificar se o pólo está na intersecção.

Exemplos – Para cada par de curvas dadas, determinar o conjunto de pontos da intersecção:

a) 1 : 4 cos(2 )C r (rosácea de quatro pétalas) e

2 : 2C r (círculo de centro em (0,0) e raio 2).

Solução. Considerando os conjuntos abrangentes

de 1C e 2C , respectivamente, dados por

1( ) 4cos(2 ), 4cos(2 )E C r r e

2( ) 2, 2E C r r

A partir de 1( )E C e 2( )E C , os possíveis sistemas

formados e suas respectivas soluções são:

1 : 4 cos(2 )C r

2 : 2C r

De 1

4 cos(2 ):

2

rS

r tem-se que

12 4cos(2 ) cos(2 ) 2 ou 2 ou

2 3 3 6 6.

Logo, os pontos 1 2,6

P e 2 2,6

P pertencem a 1 2C C .

De 2

4 cos(2 ):

2

rS

r tem-se 3 2,

3P e 4

22,

3P .

De 3

4 cos(2 ):

2

rS

r tem-se 5 2,

3P e 6

22,

3P .

De 4

4 cos(2 ):

2

rS

r tem-se 7 2,

6P e 8 2,

6P .

Então, 1 2

2 22, , 2, , 2, , 2, , 2, , 2, , 2, , 2,

6 6 3 3 3 3 6 6C C .

b) 1 : 2(1 cos )C r (cardióide) e 2 :4

C (reta passando pelo pólo).


EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM – COORDENADAS POLARES

1 – Utilizando um papel de coordenadas polares, posicione os pontos no plano, dadas suas

coordenadas polares:

2,3

A 3,2

B 3

5,4

C

36,

4D

3 4,

2 3E 2,315F

4,3

G 2,6

H 3,15I

2 – Dados os pontos: 15

3,3

P 2 3,330P 3 1,3

P

4 2, 315P 5 0,53P 6 0,P e 7 1,3P .

Determine:

2.1. a representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar;

2.2. três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos 3P e 4P ;

2.3. as coordenadas retangulares dos pontos 1P , 5P e 7P ;

2.4. quais desses pontos coincidem com o ponto 3,2310P ?

3 – Identifique e faça o gráfico do lugar geométrico gerado pelo ponto P :

a) que se move de maneira que, para todos os valores de seu ângulo vetorial, seu raio vetor

permanece constante e igual a 4 ;

b) que se move de maneira que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo vetorial

permanece constante e igual a 45 .

4 – Um triângulo eqüilátero possui como vértices o pólo e o ponto (4,0)A . Determinar as

coordenadas do outro vértice. (observe que são dois casos).

5 – Um quadrado com centro na origem tem como um dos vértices o ponto 3,60A .

Determinar as medidas dos lados e as coordenadas dos outros vértices.

6 – Verifique se o ponto P pertence à curva C , quando:


a) 1,6

P e 2: 2cos(2 ) 0C r b) 1,2

P e : 1 3sen 4C r

c) 4,2

P e : 4 sen(3 )C r d) 0,11

P e : 3cos sen 0C r r

7 – Transforme a equação retangular (cartesiana) dada em sua forma polar:

a) 2 0x y b) 2 2 2 0x y y

c) 2xy d) 2 4 4x y

8 – Transforme a equação polar dada em sua forma retangular (cartesiana):

a) cos 2 0r b) 4

1 2cosr

c) 22sec2

r d) 2 4cos(2 )r

9 – Determine os pontos do eixo polar distando 5 unidades do ponto 4

4,3

P .

10 – Determine a equação polar da reta r que passa pelo ponto 3,60P , sabendo que o

segmento OP é normal à reta r .

11 – Determine a equação polar da reta r que passa ponto 2,330P e que:

a) é paralela ao eixo a 90º .

b) é perpendicular ao eixo polar.

c) é paralela à reta :6

s .

d) é perpendicular à reta 1 2

: cos sen2

t .

e) passa pelo ponto 1, 30Q .

f) passa pelo ponto 4,210R .

12 – Determine uma equação polar do círculo concêntrico com o círculo

21 : 4 3 cos 4 sen 7 0C e cujo raio é o dobro do raio de 1C .


13 – Esboce o gráfico das curvas cujas equações polares são:

a) 2secr b) 2 2sen(2 )r

c) 3 cosr d) 4senr

e) 2 8cos(2 )r f) 2sen(3 )r

g) 2r h) 4 2senr

i) 4cos(2 )r j) /2r e

14 – Determine as intersecções do par de curvas 1C e 2C dadas abaixo:

a) 1 : 2 2cosC r e 2 :4

C .

b) 1 : 3C r e 2 : 6 sen(2 )C r .

c) 1 : 4 2senC r e 2 : 2 2senC r .

15 – Sejam 1F e 2F dois pontos distintos do plano e seja k a metade da distancia de 1F a

2F . O lugar geométrico dos pontos P do plano tais que 21 2PF PF k denomina-se

lemniscata de focos 1F e 2F .

a) Tomando-se 1( ,0)F k e 2( ,0)F k , determine a equação, em coordenadas cartesianas da

lemniscata;

b) Passe para coordenadas polares a equação obtida no ítem a) tomando para pólo a origem

e x como eixo polar.

Equação polar das cônicas

arte iv coordenadas polares - … · eixo a 90º ou eixo ortogonal – a reta que passa pelo pólo...

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