modelos black-litterman e garch ortogonal para uma carteira de

Modelos Black-Litterman eGARCH ortogonal para uma carteira

de títulos do Tesouro Nacional

Roberto Beier Lobarinhas

Dissertação apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Mestre em Ciências

Programa: EstatísticaOrientador: Prof. Dr. Pedro Alberto Morettin

São Paulo, março de 2012

Modelos Black-Litterman eGARCH ortogonal para uma carteira

de títulos do Tesouro Nacional

Esta versão definitiva da dissertaçãocontém as correções e alterações sugeridas pelaComissão Julgadora durante a defesa realizadapor Roberto Beier Lobarinhas em 02/03/2012.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Pedro Alberto Morettin (orientador) - IME-USP

• Profa. Dra. Airlane Pereira Alencar - IME-USP

• Prof. Dr. Ernesto Coutinho Colla - FGV-SP

Agradecimentos

Em primeiro lugar, gostaria de agradecer ao meu caro Professor Dr. Pedro Alberto Morettinque, com muita paciência, me ensinou, orientou e conduziu este trabalho.

Agradeço à minha família, que é a grande responsável por todas as minhas realizações. Emespecial à minha esposa, Han, que sempre está ao meu lado.

Gostaria também de fazer uma homenagem ao meu lindo filho Theo, cuja vinda à nossa famílianos enche de alegria e amor.

Agradeço aos amigos de mestrado Maurício Mazo, Manuel González, Mirian de Souza e TiagoMaia, que foram verdadeiros companheiros ao longo do mestrado, e aos colegas do Tesouro, pelascontribuições.

Agradeço também pelas valiosas contribuições do amigo e professor José Euclides, que genero-samente sempre coloca seu conhecimento à disposição.

À Secretaria do Tesouro Nacional, por ter me dado a oportunidade de fazer este mestrado.

"Believe those who are seeking the truth. Doubt those who find it."Andre Gide (1947 nobel prize for literature, 1869-1951)

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Resumo

Modelos Black-Litterman e GARCH ortogonal para uma carteirade títulos do Tesouro Nacional

Uma grande dificuldade da gestão financeira é conseguir associar métodos quantitativos às for-mas tradicionais de gestão, em um único arranjo. O estilo tradicional de gestão tende a não crer, nadevida medida, que métodos quantitativos sejam capazes de captar toda sua visão e experiência,ao passo que analistas quantitativos tendem a subestimar a importância do enfoque tradicional,gerando flagrante desarmonia e ineficiência na análise de risco. Um modelo que se propõe a dimi-nuir a distância entre essas visões é o modelo Black-Litterman. Mais especificamente, propõe-se adiminuir os problemas enfrentados na aplicação da teoria moderna de carteiras e, em particular, osdecorrentes da aplicação do modelo de Markowitz.

O modelo de Markowitz constitui a base da teoria de carteiras há mais de meio século, desdea publicação do artigo Portfolio Selection [Mar52], entretanto, apesar do papel de destaque daabordagem média-variância para o meio acadêmico, várias dificuldades aparecem quando se tentautilizá-lo na prática, e talvez, por esta razão, seu impacto no mundo dos investimentos tem sidobastante limitado.

Apesar das desvantagens na utilização do modelo de média-variância de Markowitz, a idéia demaximizar o retorno, para um dado nível de risco é tão atraente para investidores, que a busca pormodelos com melhor comportamento continuou e é neste contexto que o modelo Black-Littermansurgiu. Em 1992, Fischer Black e Robert Litterman publicam o artigo Portfolio Optimization[Bla92], fazendo considerações sobre o papel de pouco destaque da alocação quantitativa de ativos,e lançam o modelo conhecido por Black-Litterman.

Uma grande diferença entre o modelo Black-Litterman e um modelo média-variância tradicionalé que, enquanto o segundo gera pesos em uma carteira a partir de um processo de otimização, omodelo Black-Litterman parte de uma carteira de mercado em equilíbrio de longo prazo (CAPM).Outro ponto de destaque do modelo é ser capaz de fornecer uma maneira clara para que investi-dores possam expressar suas visões de curto prazo e, mais importante, fornece uma estrutura paracombinar de forma consistente a informação do equilíbrio de longo prazo (priori) com a visão doinvestidor (curto prazo), gerando um conjunto de retornos esperados, a partir do qual os pesos emcada ativo são fornecidos.

Para a escolha do método de estimação dos parâmetros, levou-se em consideração o fato de que

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matrizes de grande dimensão têm um papel importante na avaliação de investimentos, uma vez queo risco de uma carteira é fundamentalmente determinado pela matriz de covariância de seus ativos.Levou-se também em consideração que seria desejável utilizar um modelo flexível ao aumento donúmero de ativos. Um modelo capaz de cumprir este papel é o GARCH ortogonal, pois este podegerar matrizes de covariâncias do modelo original a partir de algumas poucas volatilidades univa-riadas, sendo, portanto, um método computacionalmente bastante simples. De fato, as variânciase correlações são transformações de duas ou três variâncias de fatores ortogonais obtidas pela esti-mação GARCH. Os fatores ortogonais são obtidos por componentes principais.

A decomposição da variância do sistema em fatores de risco permite quantificar a variabili-dade que cada fator de risco traz, o que é de grande relevância, pois o gestor de risco poderádirecionar mais facilmente sua atenção para os fatores mais relevantes. Ressalta-se também que aideia central da ortogonalização é utilizar um espaço reduzido de componentes. Neste modelo dedimensão reduzida, suficientes fatores de risco serão considerados, assim, os demais movimentos,ou seja, aqueles não capturados por estes fatores, serão considerados ruídos insignificantes paraeste sistema. Não obstante, a precisão, ao desconsiderar algumas componentes, irá depender de onúmero de componentes principais ser suficiente para explicar grande parte da variação do sistema.Logo, o método funcionará melhor quando a análise de componentes principais funcionar melhor,ou seja, em estruturas a termo e outros sistemas altamente correlacionados. Cabe mencionar queo GARCH ortogonal continua igualmente útil e viável quando pretende-se gerar matriz de cova-riâncias de fatores de risco distintos, isto é, tanto dos altamente correlacionados, quanto daquelespouco correlacionados. Neste caso, basta realizar a análise de componentes principais em gruposcorrelacionados. Feito isto, obtêm-se as matrizes de covariâncias utilizando a estimação GARCH.Em seguida faz-se a combinação de todas as matrizes de covariâncias, gerando a matriz de covari-âncias do sistema original.

A estimação GARCH foi escolhida pois esta é capaz de captar os principais fatos estilizadosque caracterizam séries temporais financeiras. Entende-se por fatos estilizados padrões estatísticosobservados empiricamente, que, acredita-se serem comuns a um grande número de séries tempo-rais. Séries financeiras com suficiente alta frequência (observações intraday e diárias) costumamapresentar tais características. Este modelo foi utilizado para a estimação dos retornos e, com isso,obtivemos todas as estimativas para que, com o modelo B-L, pudéssemos gerar uma carteira ótimaem um instante de tempo inicial. Em seguida, faremos previsões, obtendo carteiras para as semanasseguintes. Por fim, mostraremos que a associação do modelo B-L e da estimação GARCH ortogonalpode gerar resultados bastante satisfatórios e, ao mesmo tempo, manter o modelo simples e gerarresultados coerentes com a intuição.

Este estudo se dará sobre retornos de títulos de renda fixa, mais especificamente, títulos emitidospelo Tesouro Nacional no mercado brasileiro. Tanto a escolha do modelo B-L, quanto a escolha porutilizar uma carteira de títulos emitidos pelo Tesouro Nacional tiveram como motivação o objetivode aproximar ferramentas estatísticas de aplicações em finanças, em particular, títulos públicos fe-derais emitidos em mercado, que têm se tornado cada vez mais familiares aos investidores pessoasfísicas, sobretudo através do programa Tesouro Direto. Ao fazê-lo, espera-se que este estudo traga

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informações úteis tanto para investidores, quanto para gestores de dívida, uma vez que o modelomédia-variância presta-se tanto àqueles que adquirem títulos, buscando, portanto, maximizar re-torno para um dado nível de risco, quanto para aqueles que emitem títulos, e que, portanto, buscamreduzir seus custos de emissão a níveis prudenciais de risco.

Palavras-chave: Séries Temporais, Black-Litterman, Tesouro Nacional, Markowitz, Média-Variância,Alocação de Ativos, GARCH Ortogonal, Renda-Fixa .

Abstract

Black-Litterman and ortogonal GARCH models for a portfolio ofbonds issued by the National Treasury

One major challenge to financial management resides in associating traditional management withquantitative methods. Traditional managers tend to be skeptical about the quantitative methods’contributions, whereas quantitative analysts tend to disregard the importance of the traditionalview, creating clear disharmony and inefficiency in the risk management process. A model thatseeks to diminish the distance between these two views is the Black-Litterman model (BLM). Morespecifically, it comes as a solution to difficulties faced when using modern portfolio in practice,particularly those derived from the usage of the Markowitz model.

Although the Markowitz model has constituted the basis of portfolio theory for over half cen-tury, since the publication of the article Portfolio Selection [Mar52], its impact on the investmentworld has been quite limited. The Markowitz model addresses the most central objectives of aninvestment: maximizing the expected return, for a given level of risk. Even though it has had astandout role in the mean-average approach to academics, several difficulties arise when one at-tempts to make use of it in practice.Despite the disadvantages of its practical usage, the idea of maximizing the return for a given levelof risk is so appealing to investors, that the search for models with better behavior continued, andis in this context that the Black-Litterman model came out. In 1992, Fischer Black and RobertLitterman wrote an article on the Black-Litterman model.

One intrinsic difference between the BLM and a traditional mean-average one is that, while thesecond provides the weights of the assets in a portfolio out of a optimization routine, the BLMhas its starting point at the long-run equilibrium market portfolio(CAPM). Another highlightingpoint of the BLM is the ability to provide one clear structucture that is able to combine the longterm equilibrium information with the investor’s views, providing a set of expected returns, which,together, will be the input to generate the weights on the assets.

As far as the estimation process is concerned, and for the purpose of choosing the most appro-priate model, it was taken into consideration the fact that the risk of a portfolio is determined bythe covariation matrix of its assets and, being so, matrices with large dimensions play an importantrole in the analysis of investments. Whereas, provided the application under study, it is desirableto have a model that is able to carry out the analysis for a considerable number of assets. For thesereasons, the Orthogonal GARCH was selected, once it can generate the matrix of covariation of the

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original system from just a few univariate volatilities, and for this reason, it is a computationallysimple method. The orthogonal factors are obtained with principal components analysis.

Decomposing the variance of the system into risk factors is highly important, once it allowsthe risk manager to focus separately on each relevant source of risk. The main idea behind theorthogonalization consists in working with a reduced dimension of components. In this kind ofmodel, sufficient risk factors are considered, thus, the variability not perceived by the model willbe considered insigficant noise to the system. Nevertheless, the precision, when not using all thecomponents, will depend on the number of components be sufficient to explain the major part ofthe variability. Moreover, the model will provide reasonable results depending on principal compo-nent analysis performing properly as well, what will be more likely to happen, in highly correlatedsystems.

It is worthy of note that the Orthogonal GARCH is equally useful and feasible when one intendsto analyse a portfolio consisting of assets across various types of risk, it means, a system which isnot highly correlated. It is common to have such a portfolio, with, for instance, currency rates,stocks, fixed income and commodities. In order to make it to perform properly, it is necessary toseparate groups with the same kind of risk and then carry out the principal component analysisby group and then merge the covariance matrices, producing the covariance matrix of the originalsystem.

To work together with the orthogonalization method, the GARCH model was chosen becauseit is able to draw the main stylized facts which characterize financial time series. Stylized facts arestatistical patterns empirically observed, which are believed to be present in a number of time se-ries. Financial time series which sufficient high frequency (intraday, daily and even weekly) usuallypresent such behavior.

For estimating returns purposes, it was used a ARMA model, and together with the covariancematrix estimation, we have all the parameters needed to perform the BLM study, coming out,in the end, with the optimal portfolio in a given initial time. In addition, we will make forecastswith the GARCH model, obtaining optimal portfolio for the following weeks. We will show thatthe association of the BLM with the Orthogonal GARCH model can generate satisfactory andcoherent with intuition results and, at the same time, keeping the model simple.

Our application is on fixed income returns, more specifically, returns of bonds issued in the do-mestic market by the Brazilian National Treasury. The motivation of this work was to put togetherstatistical tolls and finance uses and applications, more specifically those related to the bonds issuedby the National Treasuy, which have become more and more popular due to the "Tesouro Direto"program. In conclusion, this work aims to bring useful information either for investors or to debtmanagers, once the mean-variance model can be useful for those who want to maximize return ata given level or risk as for those who issue bonds, and, thus, seek to reduce their issuance costs atprudential levels of risk.

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Keywords: Time Series, Black-Litterman, National Treasury, Markowtiz, Mean-Average, AssetAllocation, Orthogonal GARCH, Fixed Income.

Sumário

Lista de Abreviaturas xiii

Lista de Símbolos xv

Lista de Figuras xvii

Lista de Tabelas xix

1 Introdução 11.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Modelo Black-Litterman 32.1 Motivação: O Modelo Markowitz de Média-Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 O Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Carteira de Títulos do Tesouro Nacional 93.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Séries Temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Modelo GARCH Ortogonal 174.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Vários Fatores de Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Estimação GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Aplicação 235.1 Modelo GARCH Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1.1 Componentes Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.1.2 Ajuste do modelo GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Black-Litterman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2.1 Visões Subjetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2.2 Visões A Partir de um Modelo GARCH Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . 35

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xii SUMÁRIO

5.2.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Conclusões 416.1 Sugestões para Pesquisas Futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

A Parâmetros da distribuição posteriori do modelo Black-Litterman 43

B Transformação para Ω não Diagonal 45

Referências Bibliográficas 47

Índice Remissivo 48

Lista de Abreviaturas

B-L Black-LittermanBLM Modelo Black-Litterman (Black-Litterman Model)CAPM (Capital Asset Pricing Model)MV Média-Variância (Mean-Average)

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xiv LISTA DE ABREVIATURAS

Lista de Símbolos

ω Composição da carteiraΩ Matriz de covariâncias da visão do investidorδ Coeficiente de aversão a riscoΠ Retorno esperadoΣ Matriz de covariâncias dos retornosµ Média dos retornosr RetornosΣπ Matriz de covariâncias de µΣr Matriz de covariâncias dos retornos, considerando que µ também é uma variável aleatóriaτ Constante de proporcionalidadeP Combinações lineares das carteiras que compõem a informação que atualiza a a prioriQ Retornos das carteiras que compões a informação que atualiza a a prioriA Informação a prioriB Informação que atualiza a priori

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xvi LISTA DE SÍMBOLOS

Lista de Figuras

3.1 Retornos das séries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Histogramas com normal ajustada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Q×Q plot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Números índices das séries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1 Séries no espaço das componentes duas a duas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Séries no espaço das três primeiras compoentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Função de autocorrelação parcial dos retornos e dos retornos ao quadrado da com-

ponente 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.4 Função de autocorrelação e autocorrelação parcial dos resíduos ao quadrado do ajuste

da componente 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.5 Função de autocorrelação parcial dos retornos ao quadrado da componente 2 . . . . . 275.6 Função de autocorrelação e autocorrelação parcial dos resíduos ao quadrado do ajuste

da componente 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.7 Função de autocorrelação parcial dos retornos e dos retornos ao quadrado da com-


da componente 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.9 Função de autocorrelação parcial dos retornos e dos retornos ao quadrado da com-


da componente 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.11 Variâncias estimadas das variáveis originais pelo modelo GARCH ortogonal . . . . . 305.12 Correlações estimadas pelo modelo GARCH ortogonal de cada uma das variáveis

originais em relação às demais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.13 Variâncias Estimadas Diretamente e pelo Método Ortogonal. . . . . . . . . . . . . . 325.14 Comparação do retorno e da composição da carteira antes e após incorporar visão

subjetiva do investidor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.15 Carteira de longo-prazo (o) e carteira ótima (+) após incorporar visões de curto-prazo

do investidor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.16 Fronteira eficiente da previsão 275. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.17 Fronteira eficiente da previsão 276. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.18 Fronteira eficiente da previsão 277. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.19 Fronteira eficiente da previsão 278. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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xviii LISTA DE FIGURAS

5.20 Índice Sharpe das carteiras geradas por um modelo GARCH e da carteira de mercado. 39

Lista de Tabelas

3.1 Composição da carteira de mercado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Curtose das séries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Assimetria das séries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.1 Variância explicada pelas componentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Pesos das componentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Parâmetros do ajuste da componente 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4 Parâmetros do ajuste da componente 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.5 Parâmetros do ajuste da componente 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.6 Parâmetros do ajuste da componente 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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xx LISTA DE TABELAS

Capítulo 1

Introdução

O estilo tradicional de gestão tende a não crer, na devida medida, que métodos quantitativossejam capazes de captar toda sua visão e experiência, ao passo que analistas quantitativos tendema subestimar a importância do enfoque tradicional, trazendo dificuldades à análise de risco e outrasáreas de finanças.

Seja pela falta de intuição em seus resultados, seja pelo comportamento, muitas vezes indese-jado, o modelo de Markowitz não é exceção às dificuldades mencionadas. Apesar de ter constituídoa base da teoria de carteiras há mais de meio século, desde a publicação do artigo Portfolio Se-lection [Mar52], seu impacto no mundo dos investimentos tem sido bastante limitado. Em 1992,Fischer Black and Robert Litterman publicam o artigo Portfolio Optimization [Bla92] fazendo con-siderações sobre o papel de pouco destaque da alocação quantitativa de ativos, e lançam o modeloconhecido por Black-Litterman, que se propõe a diminuir a distância entre as visões quantitativae tradicional, diminuindo os problemas enfrentados na aplicação da teoria moderna de carteiras e,em particular, os decorrentes da aplicação do modelo de Markowitz. O modelo Black-Litterman,entretanto, apesar de sua funcionalidade em conciliar métodos quantitativos e visões intuitivas dogestor de carteiras, tem seu uso ainda limitado no mundo das finanças. Um dos objetivos destetrabalho é trazer contribuições ao uso prático do modelo Black Litterman.

Outro objetivo deste trabalho é utilizar séries temporais para modelar o comportamento de sé-ries financeiras, mais especificamente o comportamento de retornos de ativos de renda fixa. Para aaplicação, escolhemos títulos do Tesouro Nacional, conforme detalharemos mais à frente. Tendo-seem vista a natureza dos ativos selecionados, utilizaremos o modelo Garch Ortogonal para a es-timação dos parâmetros, conforme discutiremos no Capítulo 4. Sem dúvida, mostrar ser possívelestimar parâmetros para o modelo Black-Litterman, através da utilização de séries temporais foi amais importante motivação deste trabalho.

Por fim estudaremos os resultados obtidos com o modelo Black-Litterman para esta particularaplicação de montar uma carteira ótima com títulos do Tesouro Nacional. Ao fazê-lo, espera-se queeste estudo traga informações úteis tanto para investidores, quanto para gestores de dívida, umavez que o modelo média-variância presta-se tanto para aqueles que adquirem títulos, buscando,portanto, maximizar retorno para um dado nível de risco, quanto para aqueles que emitem títulos,e que, portanto, buscam reduzir seus custos de emissão a níveis prudenciais de risco. Se este trabalhopuder trazer contribuições a investidores e a emissores de dívida, que venham a estudar o assunto,este trabalho terá atingido plenamente seus objetivos.

1.1 Objetivos

Desenvolver a utilização do modelo Black-Literman para uma carteira de ativos de renda-fixa; e,por fim, montar uma carteira de títulos do Tesouro Nacional, utilizando recursos que aliem métodos

1

2 INTRODUÇÃO 1.3

quantitativos e intuição a respeito deste mercado são os principais objetivos deste trabalho.

1.2 Contribuições

As principais contribuições deste trabalho são as seguintes:

• 1. Realizar aplicação de séries temporais para estimar o risco de títulos emitidos pelo TesouroNacional.

• 2. Desenvolver a utilização do modelo Black-Literman para uma carteira de ativos de renda-fixa, apresentando seus principais aspectos assim como sua utilização.

• 3. Utilizar o modelo B-L com parâmetros estimados por modelos de séries temporais.

• 4. Montar uma carteira de títulos do Tesouro Nacional, utilizando recursos que aliem métodosquantitativos e intuição a respeito deste mercado.

• 5. Apresentar a investidores e gestores de dívida uma aplicação que envolva ferramentasestatísticas e títulos de seu interesse, ou similares.

1.3 Organização do Trabalho

No Capítulo 2, trataremos do modelo Black-Litterman em três etapas. Começamos fazendo con-siderações a respeito do modelo de Markowitz e chegamos ao modelo Black-Litterman, passandopelas motivações que nos levaram a utilizá-lo e, por fim, apresentaremos a estrutura do modelo.

No Capítulo 3, tratamos de pontos fundamentais relacionados a títulos de renda fixa e, emparticular, dos títulos do Tesouro Nacional, que escolhemos para trabalhar.

No Capítulo 4, tratamos dos conceitos do modelo GARCH Ortogonal e descrevemos todo oprocesso de estimação.

No Capítulo 5, apresentamos, em primeiro lugar, a análise de componentes principais (Sessão5.1.1), e em seguida, a estimação do modelo GARCH (Sessão 5.1.2). Na Sessão 5.2 realizamosduas aplicações do modelo B-L. A primeira utiliza visões subjetivas do investidor. A segunda uti-liza visões geradas por modelos de séries temporais. Na Sessão 5.2.3 fazemos uma comparação daperformance das carterias geradas por este último modelo com a carteira de mercado.

No Capítulo 6, faremos considerações acerca das ferramentas utlizadas, seus pontos positivos enegativos, assim como, considerações a respeito dos ativos utilizados.

Capítulo 2

Modelo Black-Litterman

2.1 Motivação: O Modelo Markowitz de Média-Variância

O modelo de Markowitz (1952) trata dos objetivos mais fundamentais de um investimento: ma-ximizar o retorno esperado, minimizando risco. Talvez por esta razão, constitui a base da teoria decarteiras há mais de meio século, desde a publicação do artigo Portfolio Selection em 1952 [Mar52].Entretanto, apesar do papel de destaque da abordagem média-variância para o meio acadêmico,várias dificuldades aparecem quando se tenta utilizá-lo na prática, e, de fato, seu impacto no mundodos investimentos tem sido bastante limitado.

Richard Michaud(1989) [Mic89] analisa prós 1 e contras, com foco nas limitações do modelo demédia-variância de Markowitz. No artigo mostrou que o modelo maximiza os erros de estimação dosparâmetros na medida em que se obtêm médias amostrais a partir de dados históricos e se substituio valor esperado pela média amostral. Michaud afirma que este procedimento não é recomendávelna maioria dos casos e que isto contribui em grande maneira para a maximização dos erros. Observaque, intuitivamente, médias amostrais são sub-ótimas porque ignoram a natureza intrinsecamentemultivariada do problema e que estatísticas mais poderosas são necessárias. Outra questão abordadapor Michaud é a instabilidade do modelo de média-variância, de forma que pequenas alterações nosdados de entrada podem causar alterações significativas na composição da carteira. De acordo comMichaud, isto pode ser dever principalmente à matriz de covariâncias condicionadas erroneamente,usualmente relacionada a insuficientes dados históricos. De fato, o problema empírico mais alar-mante ao usar o modelo de Markowtiz sem condições limitadoras é que a otimização quase semprerecomenda carteiras com enormes pesos negativos em diversos ativos, conforme também tratado porBlack and Litterman em sua publicação de 1992. Gestores de carteiras, fundos e investidores, emgeral, muitas vezes não têm permissão para tomar posições vendidas. Michaud menciona ainda osseguintes temas: não unicidade do equilíbrio, níveis de informação incompatíveis, otimização exataversus aproximada, inadequada potência de aproximações e definição padrão de parâmetros.

Apesar das desvantagens na utilização do modelo de média-variância de Markowitz, a ideia demaximizar o retorno, para um dado nível de risco é tão atraente para investidores 1 , que a buscapor modelos com melhor comportamento continuou. Em 1992, Fischer Black e Robert Littermanpublicam o artigo Portfolio Optimization [Bla92] fazendo considerações sobre o papel de pouco des-taque da alocação quantitativa de ativos, e lançam o modelo conhecido por Black-Litterman, quese propõe a diminuir os problemas enfrentados na aplicação da teoria moderna de carteiras e, emparticular, os decorrentes da aplicação do modelo de Markowitz. Posteriormente, Drobetz [Dro01],em seu artigo How to Avoid the Pitfalls in Portfolio Optimization? Putting the Black-LittermanApproach at Work.(2001) [Dro01], aborda as dificuldades em um modelo do tipo média-variânciade Markowitz, e como o modelo de Black-Litterman traz avanços à teoria moderna de portifólios.

1Ver vantagens do modelo média-variância em [Mic89], página 32 : Benefits of MV Optmizers

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4 MODELO BLACK-LITTERMAN 2.2

2.2 O Modelo

2.2.1 Introdução

O modelo Black-Litterman foi publicado por Fisher Black e Robert Litterman no Journal of Fi-xed Income em 1991 . Posteriormente, um texto mais completo foi publicado no Financial AnalystsJournal (1992) [Bla92].

Uma grande diferença entre o modelo Black-Litterman e um modelo média-variância tradicionalé que enquanto o segundo gera pesos em uma carteira a partir de um processo de otimização, omodelo B-L parte de uma carteira de mercado em equilíbrio de longo prazo (CAPM). 2 Enquantoo modelo MV, por conta da complexa relação entre retornos esperados e pesos da carteira resul-tante, gera na maioria das vezes carteiras cuja composição não parece fazer sentido, o modelo B-Lfornece um ponto de partida neutro e intuitivo, na medida em que este equilíbrio de longo prazopode ser considerado o comportamento de um investidor que representa o mercado como um todo.Black e Litterman argumentam que retornos neutros significam os retornos esperados que levariama demandar todos os títulos em mercado, caso todos os investidores tivessem a mesma visão. Esteponto de partida fornece uma informação a priori, que se origina em um equilíbrio de longo prazo.

Ao mesmo tempo que se pode acessar um equilíbrio de longo prazo, é natural que este equilíbrioesteja sujeito a se desfazer a todo instante, no sentido das hipóteses de eficiência de mercado fracae semi-forte. Os investidores e gestores podem ter suas próprias visões sobre o curto prazo, e,portanto, podem desejar se afastar do equilíbrio de mercado. É neste ponto que o modelo B-L trazsua segunda grande contribuição: ele fornece uma maneira clara para que investidores expressemsuas visões de curto prazo e, mais importante, uma estrutura para combinar de forma consistentea informação do equilíbrio de longo prazo (priori) com a visão do investidor (curto prazo), gerandoum conjunto de retornos esperados ( que é o resultado desta combinação (posteriori)), a partir doqual os pesos dos ativos são fornecidos.

2.2.2 Estrutura

Os retornos esperados a partir do equilíbrio de longo prazo (CAPM), podem ser obtidos porotimização reversa.Considere a maximização da função de utilidade que contrapõe retorno e variância, conforme em:3

Máxωω′Π− δω′Σω

2

cuja solução é dada por: (2.1)

ω∗ = (δΣ)−1 Π a partir da qual pode-se obter diretamente: (2.2)Π = δΣω (2.3)

Sendo:ω: Composição da carteira de mercado. δ: Coeficiente de aversão a riscoΣ: Matriz de covariâncias estimadaΠ: Retornos implícitos no equilíbrio de mercado

O resultado em (2.3) corresponde àquele obtido pelo método conhecido por "otimização reversa".Π em (2.3) traz os retornos esperados implícitos no equilíbrio de mercado, que servirão como ponto

2Sobre este conceito idealizado de equilíbrio de longo prazo, ver Modern Investment Management - An EquilibriumApproach [Bob03]

3A notação adotada neste trabalho busca seguir o padrão dos textos sobre o tema.

2.2 O MODELO 5

de partida neutro para incorporar as visões do investidor a respeito de retornos futuros. Conformeobservado por Wolfgan Drobetz [Dro01]:"Intuitivamente este procedimento está proximamente li-gado ao Capital Asset Pricing Model (CAPM). Este modelo prediz que preços vão se ajustar atéque, em equilíbrio de mercado, os retornos esperados serão tais que a demanda por estes ativos sejaexatamente a oferta disponível".

Inicialmente, assume-se que os retornos dos ativos são distribuidos segundo uma distribuiçãonormal, com média esperada µ e variância conhecidaΣ. Porém, µ também é uma variável aleatória,e, segundo a informação que temos a priori, é centrada em Π,

r ∼ N(µ,Σ) (2.4)

µ = Π + ε(e), (2.5)

sendo que por hipótese: ε(e) ∼ N(0,ΣΠ) (2.6)

Conforme apontado por Jay Walters(2009) [Wal09], uma concepção errônea comum do modeloBlack-Litterman é tomar (2.4) como o modelo de referência, considerando que µ não é aleatória.

Para definir ΣΠ, Black e Litterman assumem a hipótese simplificadora de que a estrutura damatriz de covariância de µ é proporcional à covariância dos retornos Σ. Para tanto, criaram umparâmetro τ , como constante de proporcionalidade. Com esta hipótese, tem-se que:

ΣΠ = τΣ. (2.7)

Com isto, obtemos todos os parâmetros para estimar a média da distribuição dos retornos, cha-mada no modelo B-L de distribuição a priori.

Em seguida, define-se a visão de curto prazo do investidor, que é expressa na forma de umadistribuição normal com média q e um desvio-padrão dado por w. Considerando k o número to-tal de visões, seja P uma matriz kxk cujas colunas contêm os pesos que montam cada uma dascarteiras(visões). Seja Q um vetor de tamanho k representando os retornos esperados em cadacarteira(visão). Assim, a visão do investidor pode ser expressa conforme:

Pµ = Q+ ε(v), (2.8)

em que ε(v) é uma variável não observável com distribuição normal com média zero e matriz decovariâncias Ω. Supõe-se que ε(e) de (2.6) e ε(v) de (2.8) são independentes. Usualmente tambémsupõe-se que Ω seja uma matriz diagonal, ou seja, que as visões não são correlacionadas. He e Lit-terman [Bla99] argumentam que esta hipótese não é estritamente necessária. 4 . Ainda sobre estahipóteses, Jay Walters [Wal09] menciona que estimar a relação entre as visões pode ser complicadoe que há a tendência de se incorporar erros. Outra observação do mesmo autor sobre o tema éque não há problema que as visões sejam conflitantes, pois o processo de combiná-las irá levar emconsideração o nível de confiança nas visões, assim como o nível de confiança na informação a priori.

Na restrita literatura sobre o tema, a combinação das informações a priori e visão do investidorsão feitas majoritariamente sob a perspectiva da teoria bayesiana. Entretanto, a idéia de tratar oproblema sob uma perspectiva frequentista (estatística clássica) também foi sugerida por Black eLitterman (1992) [Bla92], no trecho: "Uma maneira de pensar em representar a informação é agircomo se tivéssemos estatísticas obtidas a partir de uma amostra dos dados obtidas da distribuiçãodos retornos futuros". Charlotta Mankert(2006) [Man06] apresenta o modelo sob esta perspectiva

4Ver Apêndice B


de uma maneira bastante completa e intuitiva.

Sob a ótica da teoria Bayesiana, o modelo é assim construído, a partir do Teorema de Bayes:

P (A|B) =P (B|A)P (A)

P (B)(2.9)

Considera-se:

• P (A) a distribuição a priori, que corresponde às hipóteses construídas sobre a distribuição damédia dos retornos, conforme em (2.4), (2.5), e (2.6). Assim, tem-se que:

P (A) ∼ N(Π, τΣ). (2.10)

Vale ressaltar neste ponto que a distribuição a priori está ligada à incerteza em se estimar asmédias dos retornos e não a variância dos retornos propriamente dita. 5 Se conhecessemos comexatidão a distribuição dos retornos, ainda sim, eles apresentariam sua própria variância. Variânciaesta, que não está contemplada diretamente na informação P (A). A variância dos retornos, propri-amente dita, será introduzida posteriormente.

• P (B|A) a visão do investidor, dada a informação obtida do equilíbrio de longo prazo CAPM:

P (B|A) ∼ N (Q,Ω) . (2.11)

É justo dizer que há uma boa quantidade de hipóteses obtidas no campo das finanças para aconstrução desta definição. 6 Satchell e Scowcroft em A demystification of the Black-Littermanmodel [Ste00] contribuem para o entendimento das hipóteses por trás desta definição. Na prática,quer dizer que os retornos de equilíbrio condicional às escolhas individuais são iguais à visão doinvestidor, em média. Esta idéia é intimamente ligada àquela mencionada anteriormente sobre oequilíbrio de longo prazo. Intuitivamente, pode-se pensar na relação das escolhas individuais e noresultado agregado do mercado em um universo de investimentos do tipo CAPM.

• P (B) é a distribuição marginal da visão do investidor e esta não será modelada, pois no mo-delo desaparecerá como constante de integração.

Aplicando o teorema de Bayes, chega-se à distribuição a posteriori: 7

P (A|B) ∼ N([

(τΣ)−1 + P TΩ−1P]−1 [

(τΣ)−1 Π + P TΩ−1Q],[(τΣ)−1 + P TΩ−1P

]−1).

(2.12)

Uma vez encontrada a variância da distribuição resultante, cabe-nos voltar ao ponto em que5Isto está mencionado em He and Litterman [Bla99]6Ver Hiemstra (1997): For a construction of CAPM model based on heterogeneous expectations by investors7Ver Apêndice A. A demonstração seguiu os passos indicados em Satchell and Scowcroft(2000) [Ste00]

2.2 O MODELO 7

mencionamos o fato de que as hipóteses de P (A) não incluiam a variância dos retornos. Assim, paraa variância total da posteriori, há que se somar a variância dos retornos:

Σp = Σ +[(τΣ)−1 + P TΩ−1P

]−1. (2.13)

Esta é a variância a posteriori do chamado modelo referência de Black-Litterman. Vários autoresdesconsideram as considerações sobre P (A) (na página anterior), montando o que se chamou demodelo alternativo.

Capítulo 3

Carteira de Títulos do Tesouro Nacional

3.1 Motivação

Tanto a escolha do modelo B-L, quanto a escolha por utilizar uma carteira de títulos emitidospelo Tesouro Nacional tiveram como motivação o objetivo de aproximar ferramentas estatísticas deaplicações em finanças, em particular, títulos públicos federais emitidos em mercado, que têm setornado cada vez mais conhecidos pelos investidores pessoas físicas, sobretudo através do programaTesouro Direto. Ao fazê-lo, espera-se que este estudo traga informações úteis tanto para investidores,quanto para gestores de dívida, uma vez que o modelo média-variância presta-se tanto para aquelesque adquirem títulos, buscando, portanto, maximizar retorno para um dado nível de risco, quantopara aqueles que emitem títulos, e que, portanto, buscam reduzir seus custos de emissão a níveisprudenciais de risco. De fato, muitos emissores de dívida buscam encontrar uma carteira ótima emtermos de risco e custo. É o caso da Itália, Suiça, Brasil, dentre outros. Para conhecer a experiênciabrasileira de na busca de uma carteira ótima na gestão de dívida, ver Alves(2009) [Alv09]. Se estetrabalho puder trazer contribuições a estes ou a qualquer outro emissor que venha a estudar oassunto, este trabalho terá atingido plenamente seus objetivos.

3.2 Metodologia

Conforme mencionado anteriormente, nesta aplicação optou-se por montar uma carteira de tí-tulos de renda fixa, mais especificamente, de títulos emitidos pelo Tesouro Nacional no mercadobrasileiro. A inclusão de títulos emitidos no exterior também seria uma opção, porém, estes, alémde apresentarem no passado recente um diferencial de taxas (para menor) bastante considerável,apresentam pouca liquidez e, portanto, certa ineficiência em termos de precificação diária. Em con-clusão, para o propósito de montar uma carteira ótima em termos de retorno e risco, não agregariaao trabalho - sem prejuízo de que estas considerações deixem de ser verdadeiras em um futuropróximo, e que eles possam vir a ser considerados.

Atualmente, no chamado mercado doméstico, o Tesouro realiza emissão de títulos prefixados,com e sem cupom, pós-fixados vinculados à taxa referencial SELIC, pós-fixados vinculados ao ín-dice de inflação IPCA. Por sua característica de repactuação diária, a remuneração dos pós-fixadosvinculados à SELIC poderia cumprir a função de taxa livre de risco. Entretanto, por peculiaridadesdo mercado nacional, estes títulos oferecem remuneração desproporcional ao risco e ao prazo (umdia) dos mesmos, fazendo com que este título seja sempre preferível em termos de risco x retorno,quando comparados com os demais. Por conta disso, serão excluídos do roll de títulos a seremestudados. Na prática, de fato há uma preferência por tais títulos, e, quando o mercado adquirepapéis de outra natureza, o que se faz é uma proteção (hedge) no mercado de derivativos, contrao risco dos pré-fixados, de tal sorte que uma grande parcela do mercado local esteja sempre ativaem taxas pós-fixadas, de baixo risco portanto. Exceção pode ser feita, em alguns casos, para in-vestidores estrangeiros, investidores institucionais e algumas estruturas de hedge funds. Em suma,

9

10 CARTEIRA DE TÍTULOS DO TESOURO NACIONAL 3.3

consideraremos os títulos: LTN (prefixados sem cupom), NTN-F(prefixados com cupom) e NTN-B(vinculados a índice de preço IPCA), em suas diversas maturações, que vão de alguns poucosmeses a aproximadamente 30 anos.

Neste ponto cabe ressaltar que, por força de tais características de nosso mercado, e porquebuscamos montar uma carteira sujeita a risco de taxas, nossa carteira de equilíbrio de longo prazo(CAPM) não será dada pela carteira em mercado propriamente dita, e sim, pela carteira do seg-mento de investidores que se expõem ao risco da variação de taxas em nosso mercado local, ouseja, principalmente investidores estrangeiros. Para a obtenção desta carteira (composição e pra-zos) analisamos os dados publicados no Relatório Anual da Dívida Pública Federal de 2010 e fizemosaproximações e assumimos hipóteses simplificadoras. A composição obtida segue abaixo:

Pré1A IPCA2A Pré2A IPCA3A Pré3A IPCA5A Pré5A IPCA10A IPCA20A IPCA30A

36% 5% 20% 5% 3% 4% 23% 2% 1% 1%

Tabela 3.1: Composição da carteira de mercado.

Uma vez que nossa análise se estende por perído relativamente longo, enfrentamos a dificuldadede utilizar os títulos diretamente, pois à medida que o tempo passa, seus prazos para vencimento(maturações) se reduzem, alterando as características dos mesmos. Diferentemente de um títuloperpétuo ou ação, que não possuem prazo de vencimento, os títulos em estudo são emitidos comvencimento pré definido. Assim, mais do que utilizar títulos, precisamos de benchmarks que repre-sentem tanto determinado tipo de remuneração, quanto determinada maturação, de forma consis-tente ao longo do tempo.

Por conta de tais dificuldades, o mercado já sentia a necessidade de construir índices de referência(benchmarks) que cumpram a função de representar títulos (ou a remuneração dos títulos) emprazos definidos e constantes. Para atender esta necessidade, a Anbima (Associação Brasileira dasEntidades dos Mercados Financeiros e de Capitais) criou os índices de duração constante (IDkA),que passaram a ser publicados em 2009, com série histórica iniciando-se em 2006. Os índices sãocalculados em vértices da estrutura a termo da taxa de juros (ETTJ) publicada pela Anbima,construídas com base no mercado secundário de títulos emitidos pelo Tesouro Nacional. No segmentode prefixados, são divulgados índices com duração de 3 meses, 1, 2, 3 e 5 anos. Para os indexados aoIPCA, as durações disponíveis são: 2, 3, 5, 10, 20 e 30 anos. Para mais detalhes sobre a composição econstrução do índice, ver Índice de Duração Constante Ambima - Metodologia [Anb]. Vale ressaltarque o índice prefixado de 3 meses não será incluído em nossa base de dados, pois sua negociação nomercado secundário reflete, de certa forma, a baixa incerteza e a baixa diversidade de visões até oseu vencimento em função da proximidade de sua data de maturação, de forma que sua rentabilidadediária acaba refletindo a média das taxas de emissão daqueles títulos, e, portanto, não apresentavariações de preço oriundas de assunção de risco significativas a ponto de valer a pena incluí-lo emnosso estudo. Assim, trabalharemos com 10 séries temporais.

3.3 Séries Temporais

Nossas séries de retornos diários se estendem de janeiro de 2006 a julho de 2011. Entretanto,para a finalidade de montar uma carteira e rebalanceá-la, a frequência diária não faria sentido, poisseria impraticável fazê-lo, seja por questões de mercado, operacionais e de custos. Assim, optamospor tranformar nossos retornos diários em semanais. Outro fator igualmente importante a respeitoda frequência dos dados é aquele observado no Capítulo 4.4, a respeito do fato estilizado sobrecaudas pesadas.

3.3 SÉRIES TEMPORAIS 11

Pré1A IPCA2A Pré2A IPCA3A Pré3A IPCA5A Pré5A IPCA10A IPCA20A IPCA30A7.35 6.77 7.75 6.99 8.28 7.67 8.60 7.79 7.31 6.49

Tabela 3.2: Curtose das séries.

Pré1A IPCA2A Pré2A IPCA3A Pré3A IPCA5A Pré5A IPCA10A IPCA20A IPCA30A0.72 0.26 0.24 - 0.20 - 0.04 - 0.89 - 0.28 - 0.61 - 0.38 - 0.30

Tabela 3.3: Assimetria das séries.

Assim, inicialmente fizemos a agregação, transformando os retornos de todas as semanas emtaxa expressa em período de 5 dias, com a equação (3.1), para que todas sejam expressas em pe-ríodos de igual duração. Sendo Pf(t,i) o número índice da série i ao fim da semana t e Pf(t−1,i) onúmero índice ao fim da semana anterior, calcula-se o retorno expresso em taxa expressa em períodosemanal. Posteriormente, calculam-se os log-retornos com a equação ( 3.2). 1

rsemanal(t,i) =

(Pf(t,i)

Pf(t−1,i)

)(5/diasnasemanat)

− 1, (3.1)

logrsemanal(t,i) = log(1 + rsemanal(t,i)), (3.2)

Procedendo desta forma obtivemos 278 observações em cada uma das 10 séries temporais. Quatroséries do segmento de prefixados nas durações de 1, 2, 3 e 5 anos; seis séries de índices indexados aoIPCA, com maturações de 2, 3, 5, 10, 20 e 30 anos, conforme Figura 3.1. Destacamos que apesarde termos obtido 278 observações, utilizaremos 274 para a estimação do modelo, e guardaremos as4 últimas para verificar o resultado das previsões realizadas na Sessão 5.2.2.

Na Figura 3.2 apresentamos os histogramas que, juntamente com a função densidade de proba-bilidade normal, evidenciam a presença de caudas pesadas nas distribuições. Além disso, ao fazero gráfico QxQ plot das séries versus distribuição normal, fica ainda mais evidenciada a presençade retornos na extremidade da distribuição. Além disso, ao executar o teste de Bera e Jarque 2 ,temos a confirmação de que as distribuições não são normais.

De fato, ao calcular a curtose, vemos claramente na Figura 3.3 a presença de caudas pesadas.Vale observar que os dados diários apresentam curtose bastante superior. Estes valores foram redu-zidos ao adotarmos a frequência semanal, conforme observação no Capítulo 4.4 a respeito do fatoestilizado caudas pesadas. Segue também na Tabela 3.3 a assimetria das séries, que mostram valoresnão desprezíveis.

Por último, nesta sessão, apresentamos o gráfico dos retornos acumulados na Figura 3.4, ou,de forma equivalente, do número índice de cada uma das 10 séries sob análise. Conhecer o com-portamento do retorno acumulado será particularmente útil para a análise dos resultados finais domodelo. De pronto, vemos que algumas séries se destacam. O IPCA de 30 anos apresenta o maiorretorno acumulado, ao mesmo tempo que também apresenta a maior volatilidade de todas. O ín-dice IPCA de 20 anos vem logo abaixo em termos dessas duas grandezas. Com menores diferenças,porém com uma igualmente alta correlação vêm os demais vértices da curva, nos papéis prefixadose vinculados a índice de preços. O desafio deste trabalho é verificar se o modelo é capaz de dar uma

1Para retornos de séries financeiras, ver Morettin (2011), pg 6 [Mor11]2Para teste de normalidade, ver Morettin (2011), pg 24 [Mor11]


06 08 10 12−0.02

0

0.02

Pré1A

06 08 10 12−0.02

0

0.02

IPCA2A

06 08 10 12−0.05

0

0.05

Pré2A

06 08 10 12−0.02

0

0.02

IPCA3A

06 08 10 12−0.05

0

0.05

Pré3A

06 08 10 12−0.05

0

0.05

IPCA5A

06 08 10 12−0.1

0

0.1

Pré5A

06 08 10 12−0.1

0

0.1

IPCA10A

06 08 10 12−0.1

0

0.1

IPCA20A

06 08 10 12−0.2

0

0.2

IPCA30A

Retornos das Séries

Figura 3.1: Retornos das séries.

resposta satisfatória otimizando a relação retorno x risco e conseguir encontrar a melhor composiçãode carteira em cada momento. Para tanto, em primeiro lugar, dependeremos de o modelo GARCHser capaz de estimar adequadamente as covariâncias e sua evolução à luz dos fatos estilizados cita-dos anteriormente. Em segundo, uma boa resposta também dependerá de o modelo B-L conseguirestimar a carteira que maximize os objetivos do investidor.


−5 0 5 10 15

x 10−3

0

50

Pré1A

−0.02 −0.01 0 0.01 0.020

50

IPCA2A

−0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.030

50

100

Pré2A

−0.04 −0.02 0 0.02 0.040

50

100

IPCA3A

−0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.060

50

100

Pré3A

−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.040

50

100

IPCA5A

−0.1 −0.05 0 0.05 0.10

50

100

Pré5A

−0.1 −0.05 0 0.05 0.10

50

100

IPCA10A

−0.1 −0.05 0 0.05 0.10

50

100

IPCA20A

−0.2 −0.1 0 0.1 0.20

50

100

IPCA30A

Histogramas das Séries

Figura 3.2: Histogramas com normal ajustada.


Figura 3.3: Q×Q plot.


0 200 400 600 800 1000 1200 1400500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Pré1A

Pré2A

IPCA2A

Pré3A

IPCA3A

Pré5a

IPCA5A

IPCA10A

IPCA20A

IPCA30A

Figura 3.4: Números índices das séries.

Capítulo 4

Modelo GARCH Ortogonal

4.1 Introdução

Porque o risco de uma carteira é fundamentalmente determinado pela matriz de covariâncias deseus ativos, matrizes de grande dimensão têm um papel importante na avaliação de investimentos.No centro de quase todos os modelos de risco, há uma matriz de covariâncias que captura variânciase covariâncias entre fatores de risco. A obtenção de matrizes não negativas definidas representa umgrande desafio para analistas, pois o seu cálculo é complexo e, frequentemente, medidas muito sim-ples são utilizadas nesta matriz de covariâncias. Por exemplo, o método Riskmetrics desenvolvidopelo JP Morgan utiliza médias móveis ponderadas exponencialmente, com a mesma constante desuavização para todos os retornos.

Os modelos GARCH multivariados, por sua vez, têm sido objeto de extensa pesquisa, entretanto,a implementação destes ainda é bastante complexa. Uma, de várias boas razões para a continuidadedos estudos, decorre de o modelo GARCH normalmente levar a estruturas a termo de volatilidadee correlações reversíveis à média, com uma forma analítica simples. Tem havido extensa pesquisasobre diferentes maneiras de se parametrizar o GARCH multivariado, de forma que a matriz decovariâncias seja positiva definida - ver Engle e Mezrich (1996). Entretanto, à medida em que adimensão se amplia, chega-se a um ponto em que o GARCH multivariado não pode ser utilizadopara estimar diretamente grandes matrizes de covariâncias, que são necessárias para avaliar o riscode uma grande carteira. Com tantos parâmetros, a função de verossimilhança se torna muito plana,fazendo com que problemas de convergência numérica sejam comuns nas rotinas de otimização.

Assim, a escolha do método GARCH ortogonal se deve ao fato de que este pode gerar matrizesde covariâncias do modelo original a partir de algumas poucas volatilidades univariadas, sendo, por-tanto, um método computacionalmente bastante simples. De fato, sendo k o número de váriáveis,as k(k + 1)/2 variâncias e covariâncias são transformações de duas ou três variâncias obtidas pelaestimação GARCH. O modelo é uma generalização do modelo GARCH de um fator introduzidopor Engle, Ng e Rothschild (1990) [Eng01] para um modelo multifatorial com fatores ortogonais.

Neste trabalho os fatores ortogonais são obtidos por meio de componentes principais. A idéiade utilizá-las em um modelo GARCH multivariado iniciou-se com Ding(1994), em sua tese de dou-torado. Ding utilizou o número total de componentes e seus resultados não foram satisfatórios. Aidéia de utilizar um espaço reduzido de componentes principais foi apresentado por Alexander eChibumba (1996), e posteriormente desenvolvido por Alexander (2000) e Klaassens (2000). Engle(2000) mostra que o GARCH ortogonal tem resultados bons. Neste modelo de dimensão reduzida,suficientes fatores de risco serão considerados, assim, os demais movimentos, ou seja, aqueles nãocapturados por estes fatores, serão considerados ruídos insignificantes para este sistema. Expurgaro que se pode considerar ruído torna as medidas de risco mais robustas ao longo do tempo e permitea utilização do modelo em mercados pouco líquidos e em novas emissões, ou seja, situações em que

17

18 MODELO GARCH ORTOGONAL 4.2

existe considerável presença de ruído, conforme considerado por Wilmott em Carol Alexander’s TheExorcist [Wil01]. Em outras palavras, controlar o número de componentes principais para capturarapenas as variações mais relevantes, ao invés de incluir variações pequenas de movimentos insigni-ficantes ou "ruído", faz com que as estimativas das correlações sejam mais estáveis do que aquelasestimadas diretamente.

Ao mesmo tempo, quantificar a variabilidade que cada fator de risco é de grande relevância, poiso gestor de risco poderá direcionar mais facilmente sua atenção para os fatores mais relevantes. Aredução da dimensionalidade é outra propriedade do modelo ortogonal, que não seria possível semrestrições na parametrização direta em um GARCH multivariado.

O modelo GARCH ortogonal apresenta a vantagem de as variâncias dos ativos e as covariânciascom os outros ativos do sistema serem derivadas das variâncias das componentes principais, que sãocomuns a todos os ativos e dos pesos dos fatores que são específicos de cada ativo em particular.

4.2 Estrutura

Seja a matriz de dados X com T observações e k variáveis. Na análise de componentes princi-pais, primeiramente padroniza-se variável a variável, fazendo xi = (yi− µi)/σi, com i = 1, ..., k, emque µi e σi são, respectivamente, a média e o desvio padrão da série i. Supondo X com dimensãoT × k, X ′X será (k × k), simétrica e com 1’s na diagonal principal. Cada componente principalserá combinação das colunas de X ′X. Seus pesos serão obtidos a partir da matriz de autovetoresde X ′X, de tal forma que a primeira componente principal explica o máximo da variância total, asegunda explica o máximo da variância remanescente e assim por diante, sendo que as componentessão não correlacionadas.

Sejam W e λ as matrizes de autovetores e autovalores de X ′X, respectivamente. Assim, temosque:

X ′XW = Wλ (4.1)

Sendo P a matriz com as componentes principais, temos:

P = XW, (4.2)X = PW ′, (4.3)

ou seja,

Xi = wi1P1 + wi2P2 + ..+ wikPk (4.4)

X, portanto, pode ser escrita como combinação linear das componentes principais. O montantede variabilidade de X que é explicado pela i-ésima componente principal é λi/(Σk

i=1λi)

Da mesma forma, as variáveis originais podem ser representadas por :

Yi = µi + w∗i1P1 + w∗i2P2 + ..+ w∗iuPu + εi, (4.5)

4.3 VÁRIOS FATORES DE RISCO 19

Sendo que εi representa o erro da aproximação por utilizar um número de componentes princi-pais menor do que o número de variáveis (u ≤ k) e w∗ij = wijσi.

Tomando a variância de (4.5) obtem-se:

V = ADA′ + Vε, (4.6)

sendo A a matriz dos pesos dos fatores (w∗ij), D uma matriz diagonal contendo as variâncias dascomponentes principais e Vε a matriz de covariâncias dos erros por estarmos utilizando um númerode componentes u, inferior ao número total de variáveis. Com isso, o modelo permite gerar matrizesde covariâncias a partir da estimação univariada da variância de algumas componentes principais.

No modelo GARCH ortogonal, a estimação da série temporal de variâncias é feita por um mo-delo GARCH. Uma vez obtidas as séries, pode-se gerar matrizes de covariâncias a partir de (4.6),para cada instante no tempo, obtendo:

Vt = ADtA′ (4.7)

A precisão ao se desconsiderar Vε irá depender de o número de componentes principais ser sufici-ente para explicar grande parte da variação do sistema. Logo, o método funcionará melhor quando aanálise de componentes principais funcionar melhor, isto é, em estruturas a termo e outros sistemasaltamente correlacionados. Em um sistema com alta correlação, apenas algumas poucas componen-tes são necessárias para representar toda a variação do sistema com um alto grau de precisão - oque é bem melhor do que calcular k(k + 1)/2 variâncias e correlações diretamente.

Outra observação importante é que as componentes principais são apenas incondicionalmentenão correlacionadas, portanto, a matriz de covariâncias GARCH não é necessariamente diagonal,mas esta hipótese tem que ser assumida, caso contrário, perde-se o grande objetivo do modelo degerar grandes matrizes de covariâncias a partir de variâncias GARCH univariadas, conforme obser-vado por Alexander(2001) [Ale01a]

4.3 Vários Fatores de Risco

Neste ponto, vale ressaltar que o modelo GARCH ortogonal continua igualmente útil e viávelquando pretende-se gerar matriz de covariâncias de diferentes fatores de risco, ou seja, tanto dosaltamente correlacionados, quanto daqueles pouco correlacionados. Não é raro ter em uma carteirariscos diversos, tais como, taxas de câmbio, ações, commodities, renda fixa e outros. Conforme postopor Wilmott em [Wil01], basta dividir os ativos em categorias de acordo com o tipo de instrumento,região geográfica, em suma, todas as divisões razoáveis para agrupar tais ativos. Feito isto, igual-mente utiliza-se componentes principais para extrair os fatores de risco chave para cada categoria,obtendo-se as matrizes de covariâncias usando GARCH, por exemplo. Posteriormente, os pesos dosfatores são utilizados para combinar todas as matrizes de covariâncias obtidas, gerando a matriz decovariâncias do sistema original.

A título de ilustração, considere um sistema com r componentes principais e outro com s. Se-jam suas componentes: P = (P1, .., Pr) e Q = (Q1, .., Qs), respectivamente. Sejam ainda A(n × r)e B(m× s) as respectivas matrizes de fatores padronizados e D1 e D2 as respectivas matrizes dia-


gonais das variâncias de cada um dos dois sistemas. Com isso, temos que a matriz de covariânciasem cada um dos sistemas será, respectivamente: AD1A

′, BD2B′.

Para gerar a matriz de covariâncias do sistema total, toma-se C = COV (Pi, Qj) para todas ascomponentes, obtendo:

[AD1A

′ACB

′

(ACB′)′ BD2B′

]

A ilustração serve para pontuar acerca do escopo e da flexibilidade do sistema ao tratar dequaisquer conjuntos de fatores de risco. Uma vez que os fatores sejam divididos em categorias comativos com alta correlação, a análise de componentes principais será capaz de extrair fontes impor-tantes de fatores de risco não correlacionados, para que posteriormente sejam combinados em umaúnica matriz de covariâncias para todos os ativos da carteira.

4.4 Estimação GARCH

O modelo ARCH foi proposto por Engle (1982) e sua generalização (GARCH) se deve a Bollers-lev (1986). Conforme posto em Morettin(2011) [Mor11], da mesma forma que um modelo ARMApode trazer menos parâmetros do que um modelo AR ou MA, o modelo GARCH pode representara volatilidade com menos parâmetros. O modelo GARCH é expresso como uma função linear dosquadrados da série(retornos) e da própria variância condicional. Neste modelo a variância condici-onal é o conceito chave e sua especificação é capaz de capturar os principais fatos estilizados quecaracterizam as séries temporais financeiras.

Entende-se por fatos estilizados padrões estatísticos observados empiricamente, que, acredita-se serem comuns a um grande número de séries temporais. Séries financeiras com suficiente altafrequência (observações intraday, diárias e até semanais) costumam apresentar tais características.

Um primeiro fato estilizado digno de nota é a estacionariedade fraca ou de segunda or-dem dos retornos 1 . Este padrão denota a livre variação da magnitude dos retornos, entretanto,com a manutenção da média muito próxima de zero. Um segundo fato estilizado é a ausência deautocorrelação dos retornos. Variações de preços usualmente mostram baixa autocorrelação,tornando-as comparáveis a um ruído branco. Um outro padrão conhecido é a presença de auto-correlação dos retornos ao quadrado, o que não invalida a hipótese de ruído branco para osretornos, porém, mostra que o ruído branco não é do tipo forte. O clustering da volatilidade éuma outra característica bastante encontrada em séries de retornos. Trata-se da presença de sub-períodos de alta volatilidade e outros de baixa, ou seja, a presença de persistência de retornos dealta magnitude e, em outros momentos, a persistência de retornos de baixa magnitude. A presençade caudas pesadas na função densidade também é bastante comum, sobretudo em dados de maiorfrequência. À medida que o intervalo de tempo no qual os retornos são calculados aumenta, a lepto-curticidade tende a desaparecer e a distribuição tende a se aproximar de uma normal. O chamadoefeito de alavancagem, ou assimetria da volatilidade, foi notado por Black(1976) e denota oefeito de retornos positivos e negativos na volatilidade. Retornos negativos tendem a criar impactosna volatilidade maiores do que retornos positivos de mesma magnitude. Por último, vale ressaltar asazonalidade, que trata do efeito de eventos de calendário que afetam as séries de retornos (feriados,safras, dias da semana, eventos climáticos, etc..).

1Para definição de processo estocástico fracamente estacionário, ver Morettin (2011), pg 30 [Mor11]

4.4 ESTIMAÇÃO GARCH 21

Sem dúvida os fatos estilizados presentes em séries financeiras impõem um grande desafio asua modelagem. A não predição dos retornos, a leptocurticidade e a autocorrelação dos retornos aoquadrado são de particular interesse neste tipo de série temporal em estudo.

Um modelo GARCH(m,n) é definido por:

rt =√htεt (4.8)

ht = α0 +m∑i=1

αir2t−i +

n∑j=1

βjht−j , (4.9)

em que εt são v.a. i.i.d., com média zero, α0 > 0, αi ≥ 0, i = 1, ...,m−1, βj ≥ 0, j = 1, ..., n−1,αm > 0, βn > 0,

∑qi=1(αi + βi < 1), q = max(m,n).

É possível observar no modelo que variâncias altas, assim como retornos ao quadrado altos,dão origem a valores estimados de volatilidade também altos (clustering da volatilidade). Outraavaliação que pode ser feita do modelo é que se a série segue um modelo GARCH, em sua distri-buição haverá a presença de caudas pesadas. Conforme em Morettin (2011) [Mor11], a respeitoda curtose, mais especificamente, a respeito da leptocurticidade, é possível mostrar que:

K =E(r4

t )

[E(r2t )]

2=

3[1− (α1 + β1)2]

1− (α1 + β1)2 − 2α21

> 3. (4.10)

Interessante observar que o parâmetro α corresponde à magnitude da "reação do mercado",enquanto o parâmetro β representa a "persistência da volatilidade". Quanto aos estimadores detais parâmetros, estes são obtidos pela máxima verossimilhança condicional. Conforme em Moret-tin (2011) [Mor11], supondo normalidade dos εt, tem-se que a log-verossimilhança condicional àsprimeiras m observações é dada por:

l(rm+1, ..., rT |α, β, r1, ....rm) ∝ −1

2

T∑t=m+1

ln(ht)−1

2

T∑m+1

r2t

ht. (4.11)

Com isso, observa-se que os padrões conhecidamente presentes em séries temporais financeirasestão contemplados na estrutura deste modelo original, exceção feita ao fato estilizado efeito dealavancagem, ou assimetria da volatilidade. De fato, o modelo GARCH trata de forma simé-trica o efeito de retornos positivos e negativos sobre a volatilidade, quando, na verdade, sabemosque a assimetria deste impacto é o que mais se verifica. Para dar conta desta característica, Nelson(1991) introduziu os modelos EGARCH. Nestes, retornos negativos terão impacto sobre a volati-lidade superior, quando comparados com o impacto de retornos positivos de mesma magnitude.2

Assim como nos modelos ARCH, previsões de volatilidade podem ser calculadas no modeloGARCH. Consideremos um modelo GARCH(1,1) com origem t. Utilizando (4.9), temos:

ht(1) = α0 + α1r2t + β1ht,

2Ver Morettin (2011)[Mor11], pg 139, para modelos EGARCH


para um l > 1,

ht(l) = α0 + α1 r2t (l − 1)︸︷︷︸

ht(l−1) ε2t (l − 1)︸︷︷︸E(ε2

t+l−1)=1

+β1ht(l − 1),

obtendo-se

ht(l) = α0 + (α1 + β1)ht(l − 1), l > 1. (4.12)

Utilizando (4.12) sucessivamente, pode-se construir:

ht(l) = α0 + (α1 + β1)ht(l − 1),

= α0 + (α1 + β1)[α0 + (α1 + β1)ht(l − 2)],

= α0 + α0(α1 + β1) + (α1 + β1)2ht(l − 2),

= α0 + α0(α1 + β1) + α0(α1 + β1)2 + (α1 + β1)3ht(l − 3), para l − 1

= α0 + α0(α1 + β1) + . . .+ α0(α1 + β1)l−2 + (α1 + β1)(l−1)ht(1),

Finalmente obtendo uma equação fechada para previsão em qualquer passo l, sem precisar conhecerexplicitamente as previsões intermediárias:

ht(l) =α0(1− (α1 + β1)l−1)

(1− (α1 + β1))+ (α1 + β1)(l−1)σ2

h(1). (4.13)

Capítulo 5

Aplicação

5.1 Modelo GARCH Ortogonal

5.1.1 Componentes Principais

Fazendo a análise de componentes principais, conforme equação 4.1, observamos, a partir dosvalores ordenados dos autovalores, que com quatro componentes conseguimos explicar 96.8% davariabilidade das séries, conforme Tabela 5.1 abaixo.

Autovalor λ/Σλ

7.4920 0.7492

1.2780 0.8770

0.5625 0.9332

0.3473 0.9680

Tabela 5.1: Variância explicada pelas componentes.

A Tabela 5.2 mostra os pesos de cada um dos fatores. A primeira componente apresenta pesosmuito parecidos para todas as séries. Pesos parecidos e altos mostram a alta correlação deste sistema.A primeira e a última séries são as que apresentam menor correlação com o resto do sistema. Umdeslocamento positivo da componente 1 causará um deslocamento paralelo na curva de retornos, aolongo de todos os índices. Por esta razão, a componente 1 é chamada de componente de tendência dacurva. Esta componente de tendência explica aproximadamente 75% da variação do sistema. Paraanalisar a segunda componente, observemos os prazos e os índices separadamente. Se olharmos osprefixados, vemos que seus fatores são monotonicamente crescentes, assumindo valores negativos epositivos. Com exceção do IPCA20A, os fatores dos índices de preços também são monotonicamentecrescentes. Um deslocamento positivo na componente 2 implica mudança de inclinação na curva,fazendo com que os retornos nos prazos mais curtos se reduzam e nos mais longos se elevem. Estacomponente, de inclinação, explica 12, 78% da variação do sistema. Os fatores das componentes 3e 4 são mais difusos e não aparentam representar claramente algum fato estilizado. Ainda assim,podemos ver em ambas (muito mais na 4 do que na 3) uma certa tendência de os valores cres-cerem até o meio da curva e depois decrescerem do meio para o final. Um deslocamento nestascomponentes mudaria a convexidade da curva, portanto. As componentes 3 e 4 conjuntamente sãoresponsáveis por explicar 9, 1% da variabilidade. Para observar estes e outros comportamentos dascomponentes ver a Figura 5.1, que mostra os pesos das séries no plano das componentes, duas a duas.

Uma outra forma de visualizar as séries no espaço das componentes é rotacionando as componen-tes, para que elas estejam alinhadas com a máxima variação das séries. Fazendo isso, e apresentandoum gráfico com as três primeiras componentes, temos a Figura 5.2 abaixo. Nota-se que a compo-nente 3, quando rotacionada, explica em grande maneira, as séries de prefixados. A componente 2,as séries de índices de preços de longa duração e a componente 1 as séries de índices de preços decurta duração. Mesmo após a rotação segundo o critério VARIMAX, as séries de índices de preços

23

24 APLICAÇÃO 5.1

CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 CP6 CP7 CP8 CP9 CP10

Pré1A 0.2860 - 0.3844 - 0.2146 - 0.6661 - 0.2629 - 0.7070 - 0.2084 - 0.3765 - 0.1173 0.1464

IPCA2A 0.3145 - 0.1958 - 0.5341 0.1745 0.3278 0.4504 - 0.2727 0.2662 0.3023 - 0.1256

Pré2A 0.3339 - 0.2906 0.2126 - 0.2347 - 0.4701 - 0.9363 0.3231 0.4849 0.5751 - 0.5943

IPCA3A 0.3420 - 0.1101 - 0.3421 0.2940 0.1610 - 0.1562 0.3029 - 0.1942 - 0.6981 0.1884

Pré3A 0.3349 - 0.2053 0.4203 0.3338 0.1050 0.9289 0.1611 0.2884 0.3631 0.7392

IPCA5A 0.3476 0.5610 - 0.1315 0.3772 - 0.2332 - 0.5153 0.1492 - 0.2183 0.5711 - 0.1997

Pré5A 0.3192 - 0.1226 0.5587 0.2338 0.2220 0.2017 - 0.3616 - 0.4656 - 0.2850 - 0.2791

IPCA10A 0.3199 0.3271 0.1422 0.1564 - 0.6606 0.1255 - 0.3984 0.2876 - 0.2689 0.1093

IPCA20A 0.2881 0.5083 0.1643 - 0.2256 - 0.4100 0.5091 0.5139 - 0.2538 0.1354 - 0.3641

IPCA30A 0.2657 0.5400 - 0.1149 - 0.3331 0.4925 - 0.4216 - 0.2902 0.1412 - 0.4695 - 0.2997

Tabela 5.2: Pesos das componentes.

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Pré1A

IPCA2APré2A

IPCA3APré3A

IPCA5A

Pré5A

IPCA10A

IPCA20AIPCA30A

componente 1

com

pone

nte

2

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Pré1A

IPCA2A

Pré2A

IPCA3A

Pré3A

IPCA5A

Pré5A

IPCA10AIPCA20AIPCA30A

componente 1

com

pone

nte

3

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Pré1A

IPCA2A

Pré2A

IPCA3A

Pré3A

IPCA5A

Pré5A

IPCA10A

IPCA20A

IPCA30A

componente 1

com

pone

nte

4

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Pré1A

IPCA2A

Pré2A

IPCA3A

Pré3A

IPCA5A

Pré5A


componente 2

com

pone

nte

3

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Pré1A

IPCA2A

Pré2A

IPCA3A

Pré3A

IPCA5A

Pré5A

IPCA10A

IPCA20A

IPCA30A

componente 2

com

pone

nte

4

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Pré1A

IPCA2A

Pré2A

IPCA3A

Pré3A

IPCA5A

Pré5A

IPCA10A

IPCA20A

IPCA30A

componente 3

com

pone

nte

4

Figura 5.1: Séries no espaço das componentes duas a duas.

com prazo intermediário (IPCA10A e IPCA20A) aparentam ser explicadas por uma composição dascomponentes 1 e 2.

Conhecidas as componentes, podemos estimar um modelo GARCH univariado para cada umadas quatro primeiras componentes(ordenadas de forma decrescente por seus autovalores). Antes defazê-lo, observemos os gráficos da FAC e FACP das componentes.

Abaixo seguem os modelos ajustados para as quatro componentes em análise.

5.1 MODELO GARCH ORTOGONAL 25

−1−0.8

−0.6−0.4

−0.20

0.20.4

0.60.8

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

IPCA2A

Component 1

IPCA3A

IPCA5A

Pré3A

Pré5A

Pré2A

Pré1A


Component 2

Co

mp

on

en

t 3

Figura 5.2: Séries no espaço das três primeiras compoentes.

5.1.2 Ajuste do modelo GARCH

Componente 1

Observamos na Figura 5.3 a presença de autocorrelação entre os retornos e entre os retornos aoquadrado. Em relação aos retornos, vemos que a um nível de significância de 5%, há correlaçõessignificativas até a segunda defasagem. Quanto aos retornos ao quadrado, há autocorrelações e au-tocorrelações parciais signficativas mesmo após a defasagem 10.

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le A

uto

co

rre

latio

n

FAC COMP 1

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le A

uto

co

rre

latio

n

FAC COMP 12

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

LagSa

mp

le P

art

ial A

uto

co

rre

latio

ns

FACP COMP 1

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

LagSa

mp

le P

art

ial A

uto

co

rre

latio

ns

FACP COMP 12

Figura 5.3: Função de autocorrelação parcial dos retornos e dos retornos ao quadrado da componente 1 .

Ao fazermos o ajuste dos coeficientes do modelo no MATLAB, maximizando a função de veros-similhança, conforme equação 4.11, e buscando o melhor ajuste, segundo o critério de informaçãode Akaike e o critério de informação Bayesiano, chegamos aos coeficientes para o modelo ARMA-GARCH da Tabela 5.3. Apesar de a função de autocorrelação do retorno ao quadrado sugerir ordens

26 APLICAÇÃO 5.1

altas para a parte GARCH do modelo, as ordens que minimizam os critérios mencionados são estaspostas em nosso resultado. 1 Ressalta-se que a distribuição que melhor promoveu este ajuste foia t-Student com 4 graus de liberdade.

Parâmetro Estimativa Erro padrão Est. TAR(1) 0,6888 0,1762 3,9092MA(1) -0,5309 0,2077 -2,5555

GARCH(1) 0,8056 0,0617 13,0429ARCH(1) 0,1943 0,0774 2,5097

Tabela 5.3: Parâmetros do ajuste da componente 1.

Para testar as autocorrelações dos resíduos e dos resíduos ao quadrado estimados, realizamos oteste Box-Pierce-Ljung proposto por Ljung e Box (1978). Ao fazê-lo, com o Matlab, obtemos ump-valor que denota não podermos rejeitar a hipótese de que se trata de um ruído branco. Por fim,apresentamos na Figura 5.4 os gráficos da função de autocorrelação e autocorrelação parcial dosresíduos ao quadrado da componente 1, que mostram não haver mais heterocedasticidade condi-cional. Observando o gráfico dos resíduos, verificou-se não haver autocorrelações significativas nosresíduos ajustados.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion

Sample Autocorrelation Function (ACF)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

LagSam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio

ns Sample Partial Autocorrelation Function

Figura 5.4: Função de autocorrelação e autocorrelação parcial dos resíduos ao quadrado do ajuste dacomponente 1 .

Componente 2

Observamos na Figura 5.5 a presença de autocorrelação entre os retornos na defasagem 1. Nosretornos ao quadrado, há autocorrelações significativas a 5% nas defasagens 1 e 12. Ao fazermos oajuste dos coeficientes e buscarmos as ordens do modelo, que atendam aos critérios mencionadosno ajuste da primeira componente, obtemos o resultado da Tabela 5.4. O modelo obtido é coerentecom a informação das funções da Figura 5.5. Exceção feita à ordem da parte GARCH, que ficouem (1), pois, a exemplo do que ocorreu anteriormente, ao aumentar o número de parâmetros, fazcom que os critérios de Akaike e Bayesiano penalizem sobremaneira o aumento da quantidade deparâmetros, de tal sorte que tal efeito não se sobreponha ao aumento do valor do estimador demáxima verossimilhança. 2

1Ver [Ped06], pg. 166, para métodos de identificação baseados em uma função penalizadora.2Ver [Ped06], pg. 167, para correções que buscam melhorar o comportamento do AIC


0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le A

uto

co

rre

latio

nFAC COMP 2

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le A

uto

co

rre

latio

n

FAC COMP 22

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

LagSa

mp

le P

art

ial A

uto

co

rre

latio

ns

FACP COMP 2

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

LagSa

mp

le P

art

ial A

uto

co

rre

latio

ns

FACP COMP 22

Figura 5.5: Função de autocorrelação parcial dos retornos ao quadrado da componente 2 .

Parâmetro Estimativa Erro padrão Est. TAR(1) 0,2557 0,0577 4.4322

GARCH(1) 0,7678 0,0939 8,1759ARCH(1) 0,1684 0,0851 1,9791


Ao realizar o teste Box-Pierce-Ljung, para testar as autocorrelações dos resíduos estimadostambém não podemos rejeitar a hipótese de que se trata de um ruído branco. Abaixo apresentamosna Figura 5.6 os gráficos da função de autocorrelação e autocorrelação parcial dos resíduos aoquadrado da componente 2, que mostram ter sido um bom ajuste. Graficamente também verificou-se não haver mais autocorrelação nos resíduos.

28 APLICAÇÃO 5.1

0 5 10 15 20 25 30

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le A

uto

corr

ela

tion


0 5 10 15 20 25 30

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le P

art

ial A

uto

corr

ela

tion

s Sample Partial Autocorrelation Function


Componente 3

Observamos na Figura 5.7 a presença de autocorrelação entre os retornos ao quadrado, apenas,o que sugere ordem zero na parte ARMA do modelo. De fato, ao fazermos o ajuste, chegamos acoeficientes signficantes na parte GARCH, conforme Tabela 5.5. O teste Box-Pierce-Ljung tambémindicou adequação do modelo ajustado para esta componente. A Figura 5.8 apresenta a funçõesde autocorrelação e autocorrelação parcial dos resíduos ao quadrado. Verifica-se não haver coefi-cientes significativos. Poder-se-ia consider diminuir o coeficiente da defasagem 6(sobre a linha designificância) com um modelo GARCH(1,6), porém, em nome de ter um modelo o mais simplespossível e, sobretudo por conta de o modelo GARCH(1,1) ter se verificado adequado segundo oteste Box-Pierce-Ljung, o materemos desta forma.

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le A

uto

co

rre

latio

n

FAC COMP 3

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le A

uto

co

rre

latio

n

FAC COMP 32

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

LagSa

mp

le P

art

ial A

uto

co

rre

latio

ns

FACP COMP 3

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

LagSa

mp

le P

art

ial A

uto

co

rre

latio

ns

FACP COMP 32


Componente 4


Parâmetro Estimativa Erro padrão Est. TGARCH(1) 0,8879 0,0551 16,1252ARCH(1) 0,0815 0,0393 2,0759


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le A

uto

co

rre

latio

n


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le P

art

ial A

uto

co

rre

latio



Observamos na Figura 5.9 a presença de autocorrelação entre os retornos ao quadrado e auto-correlações dos retornos apenas a partir de ordens mais altas. Aqui, fez-se o ajuste de forma análogaao que foi feito nas três primeiras componentes, tentando sempre deixar o modelo com o menornúmero possível de parâmetros. Abaixo os resultados do modelo ajustado:

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le A

uto

co

rre

latio

n

FAC COMP 4

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Lag

Sa

mp

le A

uto

co

rre

latio

n

FAC COMP 42

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

LagSa

mp

le P

art

ial A

uto

co

rre

latio

ns

FACP COMP 4

0 5 10 15 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

LagSa

mp

le P

art

ial A

uto

co

rre

latio

ns

FACP COMP 42


30 APLICAÇÃO 5.1

Parâmetro Estimativa Erro padrão Est. TAR(1) 0,8898 0,0473 18,7834AR(2) 0,9037 0,0403 22,4007AR(3) -0,8888 0,0426 -20,8539MA(1) -0,8907 0,0284 -31,2653MA(2) -0,9304 0,0110 -84,0797MA(3) 0,9589 0,0265 36,0943

GARCH(1) 0,8411 0,0863 9,7472ARCH(1) 0,0944 0,0492 1,9186


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Lag

Sam

ple

Aut

ocor

rela

tion


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

LagSam

ple

Par

tial A

utoc

orre

latio



0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5

6x 10

−3

Figura 5.11: Variâncias estimadas das variáveis originais pelo modelo GARCH ortogonal .

Finalizada esta etapa, temos todos os parâmetros para construir as matriz de covariâncias Vtem todos os passos , conforme em 4.7. Na Figura 5.11 vemos as variâncias das variáveis originais, ou


0 50 100 150 200 250 300−1

0

1Pré1A

0 50 100 150 200 250 300−1

0

1IPCA2A

0 50 100 150 200 250 300−1

0

1Pré2A

0 50 100 150 200 250 300−1

0

1IPCA3A

0 50 100 150 200 250 300−1

0

1Pré3A

0 50 100 150 200 250 300−1

0

1IPCA5A

0 50 100 150 200 250 300−1

0

1Pré5A

0 50 100 150 200 250 300−1

0

1IPCA10A

0 50 100 150 200 250 300−1

0

1IPCA20A

0 50 100 150 200 250 300−1

0

1IPCA30A

Figura 5.12: Correlações estimadas pelo modelo GARCH ortogonal de cada uma das variáveis originaisem relação às demais.

seja, a diagonal da matriz Vt em todos os passos. Analogamente, na Figura 5.12 temos as correlaçõesde cada uma das séries com as demais. Observando cada uma delas, vemos, em primeiro lugar, quede fato se trata de um sistema altamente correlacionado. Vemos tambem que as séries de IPCA20A

e IPCA30A são as menos correlacionadas com o restante do sistema, o que vai ao encontro do queocorre de fato com estes títulos.

32 APLICAÇÃO 5.1

0 50 100 150 200 250 3000

1

2x 10

−5 Pré1A

GARCH DiretamenteGARCH Ortogonal

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1x 10

−4 IPCA2A


0 50 100 150 200 250 3000

1

2x 10

−4 Pré2A


0 50 100 150 200 250 3000

1

2x 10

−4 IPCA3A


0 50 100 150 200 250 3000

2

4

x 10−4 Pré3A


0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1x 10

−3 IPCA5A


0 50 100 150 200 250 3000

1

2x 10

−3 Pré5A


0 50 100 150 200 250 3000

1

2x 10

−3 IPCA10A


0 50 100 150 200 250 3000

0.005

0.01IPCA20A


0 50 100 150 200 250 3000

0.01

0.02IPCA30A


Variâncias Estimadas

Figura 5.13: Variâncias Estimadas Diretamente e pelo Método Ortogonal.

No Gráfico 5.13, temos as variâncias condicionais estimadas diretamente nas séries e aquelasestimadas pelo método ortogonal. Vemos que pelo fato de as séries IPCA10A, IPCA20A e IPCA30A

serem menos correlacionadas com o resto do sistema, o modelo GARCH Ortogonal funcionou menoseficientemente ao estimar a volatilidade destas três séries. Por conta disso, seria interessante lançarmão da técnica tratada no Capítulo 4.3 em que se segmenta o sistema em categorias e buscar ummelhor desempenho deste modelo ortogonal, criando uma categoria para os títulos com prazo igualou superior a 10 anos. Nas demais séries, observa-se uma semelhança muito grande entre a variânciacondicional estimada diretamente e a estimada através do método ortogonal.

5.2 BLACK-LITTERMAN 33

5.2 Black-Litterman

5.2.1 Visões Subjetivas

Confome exposto no Capítulo 2, as visões de curto prazo do investidor podem ser expressas naforma da equação (2.8). Cada linha do vetor P contém uma visão do investidor. Cabe observar queas visões podem se dar em termos de relações absolutas ou relativas. Em um primeiro exemplo,supondo que as visões sigam uma distribuição normal, pode-se imaginar que o investidor contempleas seguintes visões hipotéticas:

• Visão 1: A carteira de títulos vinculados ao IPCA supera o retorno da carteira de prefixadosde 1% a 3% ao ano, com 95% de confiança.

• Visão 2: O conjunto dos 5 títulos mais longos superam o conjunto dos 5 mais curtos em 2% a3% ao ano, com 90% de confiança.

• Visão 3: O retorno do título de 30 anos vinculado ao IPCA fica entre 10% a 14% ao ano, com68% de confiança.

A visão 1 é expressa na forma de uma relação entre dois grupos de ativos. Espera-se que o re-torno do grupo de títulos vinculados ao IPCA (grupo 1) supere o retorno do grupo 2, formado portítulos prefixados, em 2% na média. Ou seja: E[(Retornogrupo1 −Retornogrupo2)] = 2%. O retornodo grupo 1 é dado pela soma dos retornos dos títulos vinculados ao IPCA, poderados pela proporçãode cada um dos títulos neste grupo. Da mesma forma, as proporções dos títulos prefixados no grupo2 podem ser encontradas (estes valores estão na linha 1 de P ) e o retorno deste grupo calculado. Aestes valores atribiu-se sinal negativo para construir a diferença entre retornos. Na visão 2, o grupo1 será compostos pelos 5 títulos mais longos e o grupo 2 pelos 5 títulos mais curtos. A segundalinha de P contém as proporções dos ativos em cada grupo, sendo que as proporções do grupo 2estão com o sinal negativo para que: E[(Retornogrupo1 −Retornogrupo2)] = 2, 5%. A terceira visãoindica a crença no retorno esperado do título de 30 anos em 12% ao ano.

As proporções em cada grupo podem ser obtidas a partir da Tabela 3.1. A título de exemplo,tomemos a visão 1. A partipação do IPCA2anos no grupo 1 (títulos vinculados ao IPCA) é a razãoentre sua partipação na carteira total (2%), e a partipação total dos títulos vinculados ao IPCA(18%). Analogamente, as demais proporções podem ser obtidas. Basta considerar a partipação dotítulo e do grupo ao qual faz parte em cada visão. A visão 1 considera como grupo 1 os títulosvinculados ao IPCA, cujo total na carteira é de 18%, e, grupo 2, os prefixados, cuja partipação éde 82%. A visão 2 estabelece a divisão de grupos segundo o critério de maturação. No grupo 1, ostítulos mais curtos, cuja partipação é de 69%, e os mais longos no grupo 2, com partipação de 31%.As duas visões anteriores são do tipo relativa. A terceira é do tipo absoluta, pois expressa a crençana rentabilidade de um único ativo ou grupo.

A incerteza na visão 1 implica a crença em um intervalo de 1% a 3% ao ano, com 95% deconfiança, tem implicito desvio padrão de 0, 5%, pois dois desvios representam um retorno de 1%.Analogamente, a visão 2 tem implícito um desvio-padrão de 0, 31%, pois 1, 667 desvio representaum retorno de 0, 5%. Analogamente a terceira visão tem desvio padrão implícito de 2, 0%. Assim,temos a equação (2.8), para nosso caso hipotético:

P.

E(RPre1A)E(RIPCA2A

)...E(RIPCA30A

)

=

2, 00%2, 50%

12, 00%

+

0, 50%2

0, 31%2

2, 00%2

34 APLICAÇÃO 5.2

Sendo:

P =

(−0, 44 0, 28 −0, 24 0, 28 −0, 04 0, 22 −0, 28 0, 11 0, 06 0, 06−0, 52 −0, 07 −0, 29 −0, 07 −0, 04 0, 13 0, 74 0, 06 0, 03 0, 03

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1, 00

)

Com visões relativas ou absolutas, o investidor pode estabelecer de zero a k visões para expressarsua visão de curto prazo.

Vemos na Figura 5.14 que a carteira se alterou de forma coerente com as visões de curto-prazo.Em primeiro lugar, em função da visão 1, os retornos dos prefixados tenderam a se reduzir, oucrescer menos, comparativamente aos retornos dos títulos vinculados à inflação. Vemos tambémque os títulos mais longos apresentaram incremento no retorno superior aos de menor prazo. Isto sedá por conta da visão 2. A visão 3 apenas faz aumentar o retorno do título de 30 anos. O retornodo título prefixado de 5 anos aumentou moderadamente por conta das visões 1 e 2, que trouxe-ram a este título impactos com sentidos contrários. Com magnitudes diferentes, o mesmo ocorreucom os títulos prefixados de prazo inferior. Ressalta-se que nas rotinas de otimização incluímos arestrição de não pode haver posição vendida. Ao analisar os pesos da carteira após incluir a visãode curto prazo do investidor, é necessário lembrar que além dos retornos também está em jogo amatriz de covariâncias da carteira. Assim, por conta das correlações e da diversificação da carteira,o aumento na participação de um ativo pode implicar o aumento da participação de outro, mesmoque o retorno deste segundo não tenha se alterado.

Ainda na Figura 5.14, vemos a composição da carteira antes e após incorporar as visões subjeti-vas do investidor, com a restrição de não ser permitido criar posições vendidas, isto é: 0 ≤ wi ≤ 1 eΣi=1k wi = 1. Devido ao fato de o sistema ser todo positivamente correlacionado, certamente teríamos

posições vendidas se retirássemos esta restrição. A confiança nas visões, as constantes τ e δ tambéminfluenciam na concentração nos vencimentos. Ao mesmo tempo, sabemos que a composição dacarteira só se altera para aqueles ativos sobre os quais existem visões a respeito, fazendo com que oresultado do modelo B-L seja muito mais estável do que aquele obtido com os modelos tradicionaisde média-variância. Em nossa aplicação todos os percentuais variaram pois as Visões 1 e 2 incluemtodos os títulos.

A Figura 5.15 apresenta a relação de retorno e risco da carteira antes e após incorporar visões decurto prazo. Apresenta também a fronteira eficiente dos ativos antes e depois. A fronteira eficientedenota os pontos de mínima variância para um determinado retorno, obtido com uma certa com-posição w de ativos. Os pontos no interior da região delimitada são composições da carteira cujarelação retorno x risco é inferior aos da fronteira. Os pontos externos à região não são factíveis paraos possíveis valores de w, dadas as restrições impostas pela otimização. Vemos que, ao incorporaras visões, a fronteira se moveu para cima e para a direita, deslocando-se, portanto, no sentido doaumento da utilidade do investidor.


Pré_1A IPCA_2A Pré_2A IPCA_3A Pré_3A IPCA_5A Pré_5A IPCA_10A IPCA_20A IPCA_30A0

0.1

0.2

0.3

0.4Retornos implícitos no equilíbrio de longo prazo e após inclusão da visões subjetivas em % a.a.

Pré_1A IPCA_2A Pré_2A IPCA_3A Pré_3A IPCA_5A Pré_5A IPCA_10A IPCA_20A IPCA_30A0

0.1

0.2

0.3

0.4Carteira de mercado e carteira após a inclusão das visões subjetivas

Figura 5.14: Comparação do retorno e da composição da carteira antes e após incorporar visão subjetivado investidor.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10−4

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

−5 Plot of estimation 274

carteiraótima apósincluir visãode curtoprazo doinvestidor

carteira demercadoequilíbrio delongo prazo

fronteira eficiente apó incluir visão decurto prazo do investidor

fronteira eficiente do equilíbrio de mercado

Figura 5.15: Carteira de longo-prazo (o) e carteira ótima (+) após incorporar visões de curto-prazo doinvestidor.

5.2.2 Visões A Partir de um Modelo GARCH Ortogonal

Após verificarmos na Sessão 5.2.1 como as visões de curto prazo podem ser expressas, e comosão combinadas com a carteia de mercado em equilíbrio, nesta sessão nosso objetivo é utilizar omodelo de séries temporais para gerar visões de curto prazo, e verificar se os resultados obtidos sãoconsistentes com o resultado esperado, ou seja, verificar se o modelo GARCH Ortogonal é capaz degerar visões(previsões) que levem a carteiras cujo desempenho, em termos de risco e retorno, sejasuperior ao desempenho da carteira de equilíbrio de mercado. Uma experiência similar, de obtervisões a partir de um modelo de séries temporais, pode ser encontrada em Beach e Orlov(2006)[Ste]. A expectativa de que tal modelo leve a desempenho superior reside no fato de o modeloGARCH ser uma reconhecida ferramenta capaz de capturar a dinâmica de retornos em suas diver-sas propriedades, que usualmente se traduzem nos fatos estilizados observados em séries financeiras,tais como a heterocedasticidade, a assimetria, o cluster de volatilidade, dentre outros. Ver Sessão 4.4

36 APLICAÇÃO 5.2

Para tanto, na Equação (2.8), Pµ = Q+ ε(v), as visões de curto prazo do investidor serão subs-tituídas por retornos e matrizes de covariância estimadas por modelo de séries temporais, conformeestimação GARCH ortogonal, tratada no Capítulo 4, e modelo GARCH ajustado na Sessão 5.1.2.

Com o modelo previamente ajustado para uma série de 274 observações, partiremos da carteirade mercado estimada na observação de número 274 e faremos previsões dos retornos e variânciaspara as quatro semanas seguintes (275, 276, 277 e 278). As previsões das variâncias foram obtidasutilizamos o modelo GARCH ajustado para as quatro componentes e transformando-as nas vari-âncias das variáveis originais, com a Equação (4.6),da mesma forma que realizado na estimaçãoGARCH ortogonal, conforme descrito no Capítulo 4.2. Aproveitando a estrutura de ortogonaliza-ção, fizemos, com o modelo ajustado, previsões das quatro componentes principais consideradas eas transformamos nas previsões dos retornos das variáveis originais através da Equação (4.5).

Os retornos e variâncias previstos serão as visões geradas pelo modelo GARCH ajustado. Taisvisões, uma vez mescladas com o equilíbrio de mercado existente na observação 274 através domodelo Black-Litterman, resultarão no vetor de retornos e matriz de covariâncias a posteriori. Emposse destas, poderemos conhecer a composição da carteira ótima em cada uma das quatro semanas,para as quais fizemos previsões. Tendo em vista que cohecemos os retornos efetivamente realizadosnas semanas em análise, podemos verificar se o resultado das carteiras obtidas têm desempenhosuperior ao equilíbrio de mercado. Para fazer esta verificação, calcularemos a razão do retorno e dodesvio padrão das carteiras em cada uma das previsões. Esta razão, conhecida por índice de Sharpe,é uma difundida ferramenta para avaliar se o desempenho da mesma está adequado, isto é, se oretorno é compatível com o risco da mesma. Naturalmente, a interpretação deste índice é bastantedireta: quanto maior o índice, mais favorárel para o investidor a relação risco x retorno. Para estee outros índices de avaliação de carteiras, ver Sharpe(2007) [Sha07]. Em seguida, agruparemos osresultados das carteiras estimadas com os resultados da carteira de mercado em todos os passos eobservaremos se o índice de Sharpe das carteiras geradas pelo modelo GARCH é superior ao índicede Sharpe da carteira de mercado.

5.2.3 Resultados

Da teoria de finanças, sabe-se que superar consistentemente a carteira de mercado não é tarefatrivial, pois, dentre outras razões, o mercado tende a incorporar, mais cedo ou mais tarde, todasas informações e modelos disponíveis, tornando a carteira de equilíbrio de mercado mais eficienteà medida em que o faz. Outra importante consideração a ser feita, antes de interpretar o resultadopropriamente, é a respeito da curva de juros no mercado brasileiro. Há muitos anos esta curva seapresenta invertida, isto é, juros mais altos na parte inicial da curva do que no restante da mesma.Este formato se contrapõe à intuição de que o emissor tem que compensar o investidor pela liquidez,volatilidade, em suma, pelos riscos de mercado, que são crescentes com a duração do título mas,ao mesmo tempo, reflete fielmente a expectativa dos agentes em relação ao futuro da inflação edas taxas de juros. Assim sendo, muitas vezes a estratégia de se concentar no curto prazo é umaestratégia dominante em relação às demais, ao oferecer maior retorno e menor volatilidade, e, porconta disso, não é surpesa que a carteira de mercado tenha uma razoável concentração nos prazosmais curtos.

Apesar das considerações acima, há outros elementos presentes em uma curva de juros quetornam o seu estudo bastante rico e trazem oportunidades além da construção de carteiras con-centradas no curto prazo. Um desses elementos é a segmentação de mercado em partes específicascurva. Tesourarias, investidores estrangeiros, indústria de fundos e investidores institucionais costu-mam se concentrar em partes específicas da curva. Dado que cada um destes grupos tem mandatosdistintos e, muitas vezes, expectativas distintas, uma vez que se especializam em seu segmento de


mercado, um mesmo evento econômico pode trazer reações distintas nos diversos segmentos deinvestidores e, consequentemente, impactos distintos ao longo da curva. Em outras palavras, porcausa da segmentação, o impacto de uma nova informação não necessariamente causa sempre maiorvolatilidade à ponta longa da curva. Há ainda eventos que, por si só, afetam partes específicas dacurva. Da mesma forma, a evolução do formato da curva pode permitir que a parte longa ou in-termediária também ofereçam retornos superiores aos retornos da parte curta, em alguns momentos.

O objetivo das considerações acima é esclarecer que superar a carteira de mercado em termos dorisco e retorno é naturalmente difícil. Fazê-lo em um mercado com as particularidades do mercadobrasileiro, pode ser ainda mais difícil, mas que, todavia, há oportunidades que podem ser explora-das. Por conta da existência de tais condições e oportunidades, surgiu a idéia de utilizar o modeloGARCH para gerar as visões (retorno e variância) e verificar o desempenho das carteiras geradaspelas previsões deste modelo. Este é o objetivo desta sessão.

Seguindo os passos da sessão anterior, pudemos encontrar a carteira eficiente em cada uma dasprevisões, segundo as visões de curto-prazo dadas pelo modelo GARCH, conforme exposto nas Fi-guras 5.16, 5.17, 5.18 e 5.19. Nas quatro previsões do modelo GARCH, observarmos que a carteirade equilíbrio resultante ganha em retorno, mantendo praticamente constante o desvio padrão, o quegraficamente já indica a melhoria no índice de Sharpe. Além disso, por acaso, os títulos mais longosapresentaram retornos inferiores nas semanas em estudo (Ver Gráfico 3.4), o que foi corretamenteprevisto pelo modelo e, consequentemente, as carteiras ótimas resultantes excluíram tais títulos desua composição (basta observar que estes títulos estão fora da fronteira eficiente). Por fim, com ascarteiras encontradas, e com os reais retornos em cada uma das semanas, pudemos calcular o índicede Sharpe nas semanas 275, 276, 277 e 278 da carteira gerada pelo modelo em análise, e compararcom o índice de Sharpe da carteira de mercado nas mesmas semanas. O resultado segue na Figura5.20.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10−4

−6

−4

−2

0

2

4

6x 10


Figura 5.16: Fronteira eficiente da previsão 275.

38 APLICAÇÃO 5.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10−4

−4

−2

0

2

4

6x 10



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6x 10



Sem dúvida houve uma melhora considerável em relação à carteira de mercado nas quatro pre-visões do modelo. Não obstante, não temos a expectativa de que o modelo GARCH possa gerarvisões, cujas carteiras resultantes tenham sempre desempenho superior. Tal expectativa careceria derazoabilidade. É possível que em algumas previsões o desempenho da carteira seja inferior à carteirade mercado, sem tirar o mérito do modelo de fazer boas previsões. Entretanto, o que seria desejávelobservar é que, em média, o resultado fosse superior ao da carteira de mercado, fato que pudemosconstatar em nos resultados das previsões do modelo. Sobretudo, à luz das considerações sobresuperar a carteira de mercado, acreditamos que o modelo fora capaz de captar adequadamente adinâmica dos retornos sob os aspectos de seus fatos estilizados e, por esta razão, as carteiras geradastiveram melhor desempenho.

Para fins desta dissertação, montamos uma estrutura que permite o funcionamento conjunto dosmodelos aqui estudados e, para a estimação dos parâmetros do modelo, utilizamos 274 observações,que somadas às 4 últimas observações utilizadas para verificar o resultado do modelo, totalizamas 278 observações disponíveis até a conclusão deste trabalho. Pretende-se, entretanto, verificar deforma contínua, semana a semana, a capacidade do modelo GARCH para gerar visões de curto prazono contexto do modelo Black-Litterman, à medida que mais dados das séries em estudo estiverem


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10−4

0

1

2

3

4

5

6

7x 10



275 276 277 2780

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9Índice Sharpe da Carteira de Mercado e da Carteira Gerada por Previsões do Modelo GARCH

Carteira de MercadoVisões a partir das previsões do Modelo GARCH

Figura 5.20: Índice Sharpe das carteiras geradas por um modelo GARCH e da carteira de mercado.

disponíveis. Isto permitirá ampliar o conhecimento a respeito dos modelos e das séries temporaisde títulos de renda-fixa.

40 APLICAÇÃO 5.2

Capítulo 6

Conclusões

O resultado do modelo Black-Litterman, além de coerente com aquilo que se propõe a fazer, trazpossibilidades úteis e adequadas para gestores de dívida e gestores de carteiras, na medida em quepermite expressar visões subjetivas e provê uma estrutura estatística para combinar informaçõesquantitativas e subjetivas de forma consistente. Em particular, para o mercado de renda-fixa, queintrinsecamente possui uma relevante componente atribuída a visões e interpretações subjetivas,tais como, por exemplo, na formação de expectativas sobre a condução das políticas monetária efiscal, o modelo se faz particularmente atrativo. O modelo resolve também os problemas decorrentesda aplicação direta dos modelos de média-variância tradicionais, como o modelo de Markowitz, umavez que permite ao investidor assumir risco exclusivamente em posições sobre as quais tenha visõesa respeito, mantendo os demais ativos em proporções neutras, isto é, em linha com a carteira demercado, tornando o modelo mais estável e seus resultados mais coerentes com a intuição econômica.Seu resultado é composto por visões do investidor e da carteira de equilíbrio de longo prazo. Os re-sultados apresentados na Sessão 5.2.1 atestam todas essas propriedades. Nesta sessão apresentamoscomo expressar as visões, os resultados do modelo Black-Litterman, e fizemos considerações a res-peito da coerência de seus resultados. Assim sendo, acreditamos ter atingido o objetivo de realizaruma aplicação que alie métodos quantitativos com intuição, de uma forma estatisticamente coerente.

Quanto à estimação de parâmetros, a aplicação de séries temporais realizada na Sessão 5.1 dosmodelos propostos no Capítulo 4 se mostraram adequadas para a carteira em estudo, muito embora,conforme observado em 5.1.2, para uma melhor estimação teria sido necessário excluir algumas sé-ries ou lançar mão do método exposto na Sessão 4.3 sobre vários fatores de risco. Alexander(2006)[Ale01b]também encontrou dificuldades para aplicar o método ortogonal em séries menos correlaci-onadas com o restante do sistema. Feita esta importante ressalva, o modelo foi capaz de estimar amatriz de covariâncias de uma carteira composta por dez ativos, a partir da estimação da variânciade apenas quatro componentes principais, fazendo com que o modelo tenha se mantido compu-tacionalmente bastante simples, mesmo para uma carteira com tantos ativos. Interessante pensarque se tivéssemos mais ativos(15, 30 ou mais), o número de componentes, muito provavelmente, semanteria o mesmo. Portanto, para gestores de dívida que tipicamente se defrontam com estruturasa termo, o modelo se apresenta como uma solução viável para gerar as matrizes de covariânciasdo sistema, seja para utilizá-las em aplicações semelhantes à proposta no presente trabalho, sejapara realizar outras medidas de risco, tal como o VaR, ou qualquer outra medida de interesse. Paraas vantagens do GARCH ortogonal em relação ao EWMA do JP Morgan, ver Alexander(2001)[Ale01b].

Por último, além de estimar matrizes de covariâncias, este trabalho propôs a utlização do modeloGARCH também para gerar visões de curto prazo para títulos de renda fixa. O exercício realizadona Sessão 5.2.2 apresentou bons resultados, o que traz perspectivas positivas para esta aplicação domodelo GARCH, apesar das dificuldades apontadas para se superar a carteira de mercado. Beach eOrlov(2006) [Ste] testaram a capacidade do modelo GARCH para gerar visões sobre ativos no mer-

41

42 CONCLUSÕES

cado internacional, também chegando a resultados positivos. Com isso, atingiu-se um dos objetivosdeste trabalho de realizar uma aplicação do modelo Black-Litterman com parâmetros cujas estima-ções sejam coerentes com a natureza das séries em estudo, fato que nem sempre ocorre na aplicaçãodo modelo Black-Litterman. O modelo GARCH, além de, obviamente, levar em consideração a na-tureza heterocedástica da série, é reconhecidamente uma ferramenta capaz de captar a dinâmicada evolução de séries financeiras em seus diversos aspectos, e os bons resultados reforçam esta visão.

Por último, acreditamos ter atingido o objetivo de apresentar a gestores de dívida uma ferra-menta capaz de estimar o risco de uma carteira, expressar suas visões de forma consistente paraconstruir sua carteira de referência (benchmark). Da mesma forma, oferecer a investidores uma fer-ramenta que seja capaz de otimizar a gestão de carteiras com grande número de ativos financeiros.

6.1 Sugestões para Pesquisas Futuras

Como sugestão para pesquisa de temas relacionados a esta dissertação, sugerimos algumas fren-tes de trabalho:

• 1. Verificar o desempenho do GARCH ortogonal fazendo ortogonalização com componentesindependentes.

• 2. Testar o modelo para outras frequências de dados.

• 3. Testar o modelo de forma contínua e verificar seu desempenho em prazos mais longos,conforme sugerido no último parágrafo da Sessão 5.2.3.

Apêndice A

Parâmetros da distribuição posteriori domodelo Black-Litterman

Construção da distribuição priori e obtenção de seus parâmetros, seguindo as hipóteses intro-duzidas no Capítulo 2:

P (E(r)/Π) =kexp− 1

2(Π− E(r))′(Στ)−1(Π− E(r))− 12(PE(r)−Q)′(Ω)−1(PE(r)−Q)

P (Π)

Sendo: k =1

|2πτΣ|1/21

|2πΩ|1/2

E fazendo:

P (E(r)/Π) =kexp(− 1

2Φ)P (Π)

Temos:

Φ = E(r)′(τΣ)−1E(r)− 2Π(τΣ)−1E(r) + Π′(τΣ)−1Π + E(r)′P ′Ω−1PE(r)

− 2Q′Ω−1PE(r) +Q′Ω−1Q

= E(r)′((τΣ)−1 + PΩ−1P )E(r) +Q′Ω−1Q+ Π′(τΣ)−1Π

− 2(Π′(τΣ)−1 +Q′Ω−1P )((τΣ)−1 + P ′Ω−1P )−1((τΣ)−1 + P ′Ω−1E(r)))

= E(r)′((τΣ)−1 + PΩP )((τΣ)−1 + P ′Ω−1P )−1((τΣ)−1 + PΩ−1P )E(r) +Q′Ω−1Q+ Π′(τΣ)−1Π

− 2(Π′(τΣ)−1 +Q′Ω−1P )((τΣ)−1 + P ′Ω−1P )−1((τΣ)−1 + P ′Ω−1E(r)))

Seja:

H = (τΣ)−1 + P ′Ω−1Q

A = Q′Ω−1Q+ Π′(τΣ)−1Π

N = (τΣ)−1π + P ′Ω−1Q

43

44 APÊNDICE A

Temos:

Φ = E(r)′H ′H−1HE(r)− 2N ′H−1HE(r) +A

= E(r)′H ′H−1HE(r)−N ′H−1HE(r)︸︷︷︸=E(r)′H′H−1N

−N ′H−1HE(r) +N ′H−1N −N ′H−1N +A

= (E(r)′H ′H−1 −N ′H−1)(HE(r)−N) +A−N ′H−1N= (E(r)′ H ′︸︷︷︸

=H

H−1 −N ′ H−1︸︷︷︸=(H−1)′

)H(E(r)−H−1N) +A−N ′H−1N

= (E(r)−H−1N)′H(E(r)−H−1N) +[A−N ′H−1N

][A−N ′H−1N

]desaparece como constante na integração em E(r)

Assim:

P (E(r)/Π) ∝ exp− 1

2(E(r)−H−1N)′H(E(r)−H−1N)

Desta forma, a média de E(R)/Π é H−1N e variância H.

Reescrevendo, a média da distribuição posteriori é[(τΣ)−1 + P ′Ω−1P )

]−1 [(τΣ)−1π + P ′Ω−1Q

]e a va-

riância:[(τΣ)−1 + P ′Ω−1P )

]−1, conforme anteriormente apresentado na Equação (2.12).

Apêndice B

Transformação para Ω não Diagonal

Conforme posto por He e Litterman(1999) [Bla99], a matriz Ω não precisa ser necessariamente diagonal,pois a matriz Ω pode ser decomposta em V ΩV −1, em que Ω é diagonal. Para tanto, as visões expressas naEquação 2.8 também sofrerão transformações, de tal forma a termos uma matriz Ω diagonal, da seguinteforma: P µ = Q+ εv. Sendo P = V −1P e Q = V −1Q.

45

46 APÊNDICE B

Referências Bibliográficas

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http://www.blacklitterman.org/

http://www.wilmott.com/

Índice Remissivo

área do trabalhoModelo Black-Litterman, 3

Ajuste do modelo GARCH, 25

Black-Litterman, 33

Componentes Principais, 23

Estimação GARCH, 20Estrutura, 4, 18

Introdução, 4, 17

Metodologia, 9Modelo GARCH Ortogonal, 23Motivacao, 9

O Modelo, 4O Modelo Markowitz de Média-Variância, 3

Resultados, 36

Series Temporais, 10

Vários Fatores de Risco, 19visoesgarchortogonal, 35visoessubjetivas, 33

48

modelos black-litterman e garch ortogonal para uma carteira de

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