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ARQUIVO EM EXECUÇÃO

MOSAICOS e

MALHAS ARQUIMEDIANAS

CATÁLOGO ILUSTRADO RICARDO SÁ e ASLA SÁ EDITORA LIVROBOM

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Índice

Parte I Malhas Arquimedianas

Malhas e mosaicos Nós Arquimedianos Identificação das Malhas Malhas de um nó Malhas de diversos nós Malhas Duais Arquimedianas Interpretações gráficas Malha Arquimediana + Dual Constelação de pontos Círculos tangentes Círculos Inscritos Coronas, anéis e frisos Simetrias internas Periodicidade cartesiana Periodicidade Polar Séries periódicas não regulares Unidade translacional Fragmento fundamental Decomposição e agrupamento de polígonos Transformações dos nós Famílias de Malhas Arquimedianas Famílias de malhas por decomposição de polígonos Arranjos de arestas complementares Justaposição de malhas Linhas de fratura Malhas de múltiplas famílias

Parte II Catálogo Ilustrado de Malhas Arquimedianas

Arquivo magnético com imagens e análise das leis de formação de 133 malhas e duais arquimedianas.

Parte III Famílias de Malhas Arquimedianas

Arquivo magnético com imagens de malhas agrupadas em famílias.

Prefácio Esta pesquisa começou em 1980 quando tive contato com o l ivro “Order in

Space” de Keith Critchlow, onde encontrei os conceitos básicos para a criação de malhas arquimedianas. Era um tempo sem computadores. Para desenhar as malhas usava papel transparente e grafite ou canetas coloridas. Ao buscar reproduzir as malhas descritas no l ivro deparei-me com a possibi l idade de formar diferentes de malhas arquimedianas a partir de uma mesma combinação de nós, o que ampliava um pouco a gama de malhas da coleção de malhas al i propostas.

Informações sobre malhas arquimedianas nem sempre são fáceis de encontrar, estudos sobre malhas costumam ser inseridos como parte de trabalhos mais gerais, mas pouco a pouco a pesquisa foi crescendo. Em 1982, ao publ icar o l ivro “Edros”, inclui algumas novas malhas uti l izando combinações de nós já conhecidas e algumas novas combinações de nós e propus a uti l ização de uma nomenclatura que permite identi ficar a malha com mais rapidez e segurança.

Após a introdução da computação gráfica vetorial as possibil idades de pesquisa se ampliaram muito, abrindo campos que não seriam possíveis sem o auxí l io do CAD. Ao manusear os desenhos vetoriais, coloridos e rápidos de montar, que podem ser superpostos para comparação, uma nova ordem surgiu da evidência de que dodecágonos podem ser subdivididos em hexágono, quadrados e triângulos e que hexágonos podem ser subdivididos em triângulos. Subdividindo ou agrupando dodecágonos e hexágonos, diversas malhas podem ser transformadas em outras, formando famílias com características próprias.

As simetrias, observação decorrente do uso de sistema CAD para desenhar as malhas, evidenciam estruturas internas de organização das malhas arquimedianas, com simetrias de 1, 2, 3, 4 ou 6 eixos e malhas sem simetria e enantiomorfas (com imagens à direita ou à esquerda).

Em 2004 a documentação da pesquisa estava avolumada e parecia um sem-fim, quando começou a parceria com a co-autora, que trouxe um olhar estrutural novo, e aqui lo que parecia um infindável emaranhado de figuras começou a se organizar. A nomenclatura das malhas foi aperfeiçoada e critérios para anál ise estrutural e a formação das famíl ias foram estabelecidos.

A cada malha arquimediana está associada sua malha dual e, além disso, as malhas arquimedianas também podem ser vistas como mosaicos de tesselas pol igonais, como arranjos planos periódicos de círculos tangentes e de mesmo diâmetro (centros nos nós e raio de meia aresta) ou de círculos tangentes e de diferentes diâmetros (inscritos nos pol ígonos da malha), ou ainda como constelações planas periódicas de pontos eqüidistantes de seus vizinhos mais próximos. A representação gráfica uti l izada neste l ivro busca explorar estas diversas maneiras de interpretar a estrutura, inclusive visual, das malhas.

As malhas estruturadas, arquimedianas ou não, sempre foram uti l izadas na decoração de cerâmicas, tecidos, arquitetura etc. definindo uma unidade translacional uti l izada como elemento de repetição por translação, que se confunde com o próprio período da malha. A anál ise dessas unidades translacionais revela que elas podem ser criadas através da adequada repetição, por simetria, deslocamento e rotação de uma estrutura gráfica ainda menor, o seu fragmento fundamental. Uma das contribuições desta publ icação é a anál ise sistemática, encontrando unidades translacionais e fragmentos fundamentais de cada malha e possibi l i tando sua rápida reprodução em desenhos vetoriais.

Resultado de quase 30 anos de coleta e organização de informações sobre malhas arquimedianas este Catálogo Ilustrado está dividido em 3 partes:

A primeira parte, impressa em formato l ivro, define as malhas e explora seus diversos aspectos gráficos, descreve os métodos algébricos e geométricos de anál ise, identi ficação e apl icação de unidades translacionais e fragmentos fundamentais, a transformação dos nós e a organização por famíl ias, i lustrando os concei tos em diversas imagens coloridas de malhas e mosaicos.

Na segunda parte, em formato digital, estão desenhadas 133 malhas, desde 1 até 6 tipos de nós, apresentadas em diferentes enquadramentos, com suas malhas duais, elementos translacionais e fragmentos fundamentais, arranjos de cí rculos e constelações de pontos.

Na terceira parte, em formato digital, estão desenhadas diversas famíl ias de malhas, evidenciando as transformações das malhas entre si .

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Embora seja freqüente a menção aos mosaicos, o foco desta pesquisa são as MALHAS ARQUIMEDIANAS em busca de um critério que permita seu estudo sistemático, sua identificação e classificação.

Malhas e Mosaicos

Uma malha consiste num conjunto de pontos (nós) interligados por fios (arestas) de natureza concreta ou abstrata, de forma a produzir um entrelaçado, ou uma espécie de tecido aberto. Alguns exemplos de malhas são vistos em redes de pesca e teias de aranha.

Um mosaico, por sua vez, é formado pelo grupamento de pequenos fragmentos - chamados tesselas - colocados lado a lado sobre uma superfície. Mosaicos aleatórios são infinitos e estão presentes a cada instante, diante de olhos atentos, numa calçada, num muro de pedras ou num casco de tartaruga.

Outra maneira, menos usual, de se referir a um arranjo de figuras planas que cobrem o plano é usando o termo tesselação. Eventualmente mosaicos e tesselações são considerados sinônimos, no entanto, a diferença entre eles é técnica e diz respeito à periodicidade e à restrições sobre o formato das tesselas. Malhas e seus respectivos mosaicos (ou tesselações) são entidades geométricas complementares que quando unidos preenchem todo o plano.

Podemos perceber este fato intuitivamente ao alternarmos o foco de atenção das tesselas de um mosaico para as arestas entre suas tesselas, ou seja, passando a pensar na rede ou malha de linhas que também definem o mesmo arranjo de figuras que cobrem o espaço, mas agora definidos pela borda entre as regiões e não propriamente pelas regiões. Portanto, estudar uma malha equivale a estudar o seu mosaico correspondente.

Formalmente temos as seguintes definições:

1 - Um mosaico é uma coleção de conjuntos abertos e disjuntos, chamados tesselas, organizados lado a lado sobre um plano.

2 - Uma tesselação é um mosaico periódico constituído de tesselas poligonais.

3 - Uma Tesselação Arquimediana formada por tesselas com formato de polígonos regulares convexos.

4 - Uma malha corresponde ao fecho de um dado mosaico. 5 - Uma Malha Arquimediana é o fecho correspondente a

uma tesselação arquimediana.

Das definições acima deduzimos que as malhas são entidades geométricas complementares aos mosaicos, ou seja, são entidades geométricas formadas pelos limites entre as tesselas de um mosaico.

Redes de pesca e teias de aranha são malhas de tesselas vazias. As arestas das tesselas poligonais regulares convexas formam uma

rede de iguais segmentos de reta que converge para os vértices, os nós de uma malha arquimediana.

As definições de mosaico, tessela, tesselação e malha podem ser generalizadas para dimensões mais altas. O presente contexto está focado apenas no plano.

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Nós Arquimedianos

Cada Malha Arquimediana é complementar a uma tesselação formada por polígonos regulares convexos, as arestas da malha coincidem com as arestas dos polígonos e os nós da malha coincidem com os vértices dos polígonos da tesselação.

As possíveis combinações de polígonos que permitem a formação de tesselações arquimedianas obedecem a leis de formação específicas e um fato de grande o importante para estudarmos essas leis é observar que os nós da malha são vértices de um conjunto de polígonos regulares com arestas em comum.

Chamaremos a estes tipos de nós de Nós Arquimedianos. Polígonos regulares têm a propriedade de ter todas as suas arestas

de mesmo comprimento. Como todos os polígonos da tesselação arquimediana são regulares e possuem arestas em comum, então todas as arestas de uma malha arquimediana são do mesmo comprimento e. conclui-se também que os nós de uma malha arquimediana são arranjos periódicos de pontos eqüidistantes de seus vizinhos mais próximos.

Como os nós se repetem para formar a malha, ao encontrarmos leis de formação para os nós arquimedianos podemos sistematizar o estudo das malhas. Uma análise dos possíveis tipos de nós arquimedianos é apresentada em muitos livros e repetiremos aqui a argumentação que leva a conclusão de que existem 21 tipos de nós arquimedianos dos quais apenas 15 dão origem a malhas.

Para determinar as possíveis combinações de polígonos regulares

convexos em torno de um nó devemos observar que: - o ângulo interno (ângulo entre duas arestas consecutivas) de um

polígono regular convexo de n lados é dado por ((n-2)180/n) - a soma dos ângulos internos dos polígonos em torno de um nó é

igual a 360. - o ângulo interno de um polígono regular convexo é sempre menor

que 180 e assim o menor número de polígonos em torno de um nó é 3. - o ângulo interno (ângulo entre duas arestas consecutivas) de um

polígono regular convexo de n lados é dado por - a soma dos ângulos internos dos polígonos em torno de um nó é

igual a 360º. - o menor ângulo interno de um polígono regular convexo é 60, para

n=2 (triângulo), e o maior número de polígonos em torno de um nó será 360/60 = 6.

Dessa forma, em cada nó podem chegar 3, 4, 5 ou 6 arestas e em torno de cada nó podem existir 3, 4, 5 ou 6 polígonos.

Se em torno de um nó temos 3 polígonos com n1, n2 e n3 lados, respectivamente, para saber quais os polígonos que podem ser combinados em torno de um nó temos de encontrar os valores inteiros de n1, n2 e n3 que atendam à equação

com 10 possíveis soluções).

Analogamente temos as expressões para 4, 5 e 6 polígonos em torno do nó:

com 7 soluções

Este total de 21 soluções possíveis de arranjos de polígonos regulares convexos em torno de um nó está descrito na tabela da página seguinte.

Uma das principais características gráficas de uma malha é sua

“densidade”, que está ligada às áreas dos polígonos em torno dos nós. A densidade de um nó pode ser expressa pelo inverso da soma das áreas dos polígonos ao redor do nó, calculada em função da aresta.

A densidade das malhas de um só nó é igual à densidade dos nós. Para estabelecer a densidade de malhas de mais de um nó é necessário fazer uma média ponderada entre as densidades dos diversos nós.

Áreas dos polígonos definidas em função das arestas.

TRIANG QUADR HEXAG OCTOG DODECA 0.4330 1.0000 2.5981 4.8284 11.1962 .

G H J K L área 22.8253 14.7942 10.6569 7.7942 13.0622

densidade 0.0438 0.0676 0.0938 0.1283 0.0766

M N P Q R área 13.0622 5.0311 5.0311 6.0622 6.0622

densidade 0.0766 0.1988 0.1988 0.1650 0.1650

S T U V W área 4.000 4.2990 4.2990 4.3301 2.5981

densidade 0.2500 0.2326 0.2326 0.2309 0.3849

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Nós Arquimedianos

As 21 soluções indicadas na página anterior são os Nós Arquimedianos - arranjos de polígonos regulares em torno de um ponto – indicados por letras na tabela ao lado (as letras I e O foram suprimidas).

Os nós de A até F não dão origem a malhas por levarem a superposição de polígonos, como se vê abaixo.

Os nós G, H e J são arranjos de 3 polígonos, os nós de L a S são arranjos de quatro polígonos, de T até V são arranjos de cinco e W é um arranjo de 6 polígonos.

Os nós K, S e W são os únicos formados por um só tipo de polígono.

Os Nós Arquimedianos válidos para a geração de malhas podem ser vistos na página ao lado.

Nós Arquimedianos válidos

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Identificação

Um modo eficiente de identificar e classificar as malhas arquimedianas

é através da análise dos tipos de nós contidos nela e, assim, se torna natural denominar as malhas indicando os nós nela presentes.

As malhas podem, então, ser identificadas por seus nós no formato #A(X,Y,Z,etc .) - onde X,Y,Z,etc. são os tipos de nó.

Dessa forma malhas com de um tipo de nó são referenciadas como #A(X) – onde X é o tipo de nó.

As malhas regulares são formadas por apenas um tipo de nó e um tipo de polígono e são apenas 3: #A(K), #A(S), #A(W).

As malhas #A(G), #A(H), #A(J) #A(P), #A(R), #A(U) #A(T), #A(V) são as oito conhecidas como semi-regulares, por ter um tipo de nó e mais de um tipo de polígono.

Malhas com mais de um tipo de nó (e, por conseguinte, mais de um tipo de polígono) podem conter os nós também #A(L) , #A(M), #A(N), #A(Q).

#A(X,Y) são malhas de dois tipos de nó, onde X e Y são os nós e assim por diante.

Combinações de mais de um tipo de nó podem gerar 2 (como no caso da #A(H,P), ou até mesmo 14 (No caso da #A(P,U,W) diferentes malhas arquimedianas. Para diferencia-las completamos o formato da identificação com um índice superior, #A(H,P)1 ,#A(H,P,)2 e #A(P,U,W)1, #A(P,U,W)1, #A(P,U,W)2,..., #A(P,U,W)14.

Não sabemos determinar quantas combinações são possíveis. Aqui são apresentadas malhas arquimedianas com até 7 tipos de nó –

sendo 11 de um nó, 29 de dois nós, 61 de 3nós, 20 de 4nós, 9 de 5nós, 2 de 6nós e 1 de 7 nós.

#A{P,U}1

#AN,P,S}

#A{G,L,U,W}

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Malhas de um nó - são apenas oito.

#A{G} #A{H}

#A{J} #A{P}

#A{R} #A{T}

#A{U} #A{V}

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Malhas de diversos nós

#A{P,U}1 #A{P,U}4

#A{T,U,W}4 #A{T,U,W}5

#A{K,Q,R,V} #A{L,M,P,T,U}2

#A{L,N,P,R,S,T} #A{H,L,M,N,Q,T,U}

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Malhas Duais

Associadas à cada Malha Arquimediana temos uma Malha Dual, que tem como nós os centros dos polígonos da malha de origem. As arestas das malhas duais são segmentos de retas que interligam os centros dos polígonos que possuem uma aresta em comum.

Como os nós arquimedianos que formam malhas são 15, também são 15 os polígonos capazes que formam as malhas duais.

A nomenclatura utilizada para as malhas duais é baseada na malha de origem e são identificadas no formato

#D(X,Y,Z,etc .) - onde X,Y,Z,etc. são os tipos de nó da malha original. Dessa forma malhas duais com de um tipo de nó são referenciadas

como #D(X) – onde X é o tipo de nó. As malhas #D(G), #D(H), #D(J) #D(P), #D(R), #D(U) #D(T), #D(V) são as

oito conhecidas como semi-regulares, por ter um tipo de polígono e mais de um tipo de nó.

A malha quadrada é dual dela mesma e as malhas hexagonais e

triangulares são duais uma da outra. São as únicas duais formadas por polígonos regulares e, portanto,

são também malhas regulares.

Malhas Duais de diversos polígonos

#D{P,U}1

#DN,P,S}

#D{G,L,U,W}

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Malhas duais de um poligono são apenas oito.

#D{G} #D{H}

#D{J} #D{P}

#D{R} #D{T}

#D{U} #D{V}

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Interpretação Gráfica

As malhas nem sempre são fáceis de identificar. A mesma malha, vista sob diferentes enquadramentos, ou em diferentes escalas, ou em diferentes cores pode tomar diversos aspectos.

Diferentes Enquadramentos

#A{T,U,W}9

Diferentes Números de Elementos Até mesmo o número de elementos pode fazer com que uma mesma malha tome

diferentes aspectos.

#A{P,U}3

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Arquimediana + Dual

Reunir a malha arquimediana com a sua dual gera uma nova malha muito r ica do ponto de vista gráfico que pode ser explorada de modo a obter diferentes resultados visuais.

#A{ G,L,U,W}

#A{ G,H,L,P,U}

#D{ G,L,U,W}

#D{ G,H,L,P,U}

#A+D G,L,U,W}

#A+D G,L,U,W

Constelação de Pontos

Ao remover as arestas de uma malha é possível ver a constelação de nós, pontos eqüidistantes de seus vizinhos mais próximos (uma vez que são vértices de polígonos com arestas iguais), espalhados de forma periódica sobre um plano.

#A{S,T,U}

#A{S,T,U,W}

#A{N,P,U,W}2

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CORONAS, ANÉIS E FRISOS

A Corona, em uma malha, é o conjunto de polígonos com vértices ou arestas comuns a um determinado polígono, escolhido como centro da corona.

#A{N,P,U,W}1

#A{N,P,U,W}1

#A{N,P,U,W}2

Um Anel, em uma malha, é uma região que se desenvolve em camadas a partir de um determinado nó, escolhido como centro.

#A{N,P,U,W}1

#A{N,P,U,W}2

#A{N,P,U,W}2

Os Frisos, em uma malha, são regiões que se estendem numa direção principal claramente marcada. Podem ser vistos como faixas verticais, horizontais ou diagonais.

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SIMETRIAS INTERNAS As malhas e os mosaicos podem conter simetrias internas com 1, 2,

3, 4 ou 6 eixos ou mesmo não ter simetria interna.

MALHAS SEM SIMETRIA

#A{V} #A{T,U}2 #A{L,M,U } #D{V} #D{T,U}2 #D{L,M,U }

Os eixos de simetria das malhas repetem-se a intervalos regulares, e uma mesma malha pode ter diferentes combinações de eixos de simetria.

MALHAS COM 1 EIXO DE SIMETRIA

#A{Q,V,W}2 #D{Q,V,W}2

#A{N,T,V}2 #D{N,T,V}2

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MALHAS COM 2 EIXOS DE SIMETRIA

As malhas com dois eixos de simetria são muitas. Algumas delas possuem mais de um, apresentando 2, 3 e até mesmo 4 possíveis pares de eixos de simetria


As malhas com 4 eixos de simetrias são apenas três e possuem dois possíveis conjuntos de 4 eixos, além de um outro par de eixos de simetria.

#A{J}

#A{S}

#A{G,M}

#D{G,M}

#A{N,P,U,W}1 #A{N,P,U,W}

1 #D{N,P,U,W}1

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As malhas com 3 eixos de simetrias são apenas duas e possuem dois possíveis conjuntos de 3 eixos.

As demais malhas com 3 eixos de simetrias possuem também um conjunto de 6 eixos e outro de 2 eixos de simetria

#A{N,P,U,W}1


As malhas com 6 eixos de simetrias possuem também conjuntos de 3 eixos e um par de eixos ortogonais.

#A{K}

#A{P}

#A{V}

#A{ P,U,W}1

#A{P,U,W}10 #D{P,U,W}

10

#A{L,M,P,U,W #D{L,M,P,U,W}2

.

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PERIODOS CARTESIANOS

Por serem periódicas, as malhas podem ser formadas a partir de adequados grupos de pontos, de arestas ou de tesselas.

A malha #A{P} por exemplo, é formada por 12 pontos organizados de forma adequada dentro de um retângulo. No caso de arestas, somam 24 dentro de cada retângulo, ou ainda, por tesselas de 2 hexágonos, 7 quadrados e 4 triângulos.

Existem várias maneiras de se agrupar os elementos e algumas dessas podem ser privilegiadas, como no caso de grupos sem arestas na borda do retângulo, ou estritamente dentro do retângulo, etc. Uma vez definido o período ele pode ser aplicado, na correta orientação, a partir de qualquer ponto da malha.

Nem sempre o elemento repetitivo é um retângulo, podendo ser

losango ou paralelogramo e as malhas podem ter mais de um tipo de período repetitivo.

Os elementos retângulos podem sempre ser deformados para paralelogramos e algumas malhas como a #A{T,U}3 podem ter o período repetitivo assim identificado .

A malha #A{T,U}3 é formada por 6 pontos, ou 14 arestas, 3 quadrados e 6 triangulos.

O elemento periódico da malha acima poderia ter sido definido como

um paralelogramo com uma aresta horizontal e a outra paralela à aresta dos quadrados.

A malha #A{V} tem período retangular, que pode ter uma aresta deslizada para formar um paralelogramo, que nunca será igual ao período em losango, uma outra maneira se formar a malha por repetição com justaposição organizada como deslocamento ao longo de 2 eixos.

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PERIODOS POLARES As malhas podem, também, ser formadas por cópia e rotação de

adequados grupos de arestas e, eventualmente, pontos e tesselas podem vir a permitir operações semelhantes

#A{T}

A formação das malhas por períodos polares nada tem a ver com as

simetrias, como fica claro na malha #A{V}, que pode ser formada por copia e rotação e não tem simetria interna.

#A{P,U}3

#A{G,M,P}

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MALHAS PERIÓDICAS NÃO REGULARES

Existem possíveis arranjos periódicos que não consideramos regulares, ou por não terem uma lei de formação clara ou por terem uma lei de formação muito complexa.

Regularidade é apenas um critério. No critério arquimediano puro As malhas #S{Q,V, W}, são aqui usadas como exemplo

Mosaicos de arranjos não regulares facilitam a identificação, assim como, e principalmente, os mosaicos de suas duais

#S{P,T,U,W}

#S{P,T,U,W}

as únicas malhas regulares são as de um tipo de nó e um tipo de polígono, ou seja: as malhas #A{K}, #A{S} e #A{W}.

Expandindo o critério de regularidade, consideramos como regulares malhas com mais de um tipo de nó e mais de um tipo de polígono, abrangendo um grande número de possibilidades.

As malhas #S{P,T,U,W}, são aqui usadas para exemplificar como muitas vezes é fácil confundir entre si diferentes malhas periódicas não regulares.

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