aprendizagem do conceito números fraccionários por augusto rasga

Autor: Augusto Moura Rasga Publicado por: Evaristo José das Mangas ISCED-HUILA/LUBANGO

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Introdução


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0- Introdução

A educação de um indivíduo é vista como um processo contínuo de construção

de conhecimentos e valores, apresenta-se através da leitura e intervenção que

o mesmo realiza no mundo que o cerca e nesse sentido a educação deve

possibilitar ao indivíduo uma completa inserção social e uso pleno de seus

direitos (Silva, 2004). A vida moderna exige, cada vez mais, o desenvolvimento

de habilidades como: lógica de raciocínio; saber transferir conhecimentos de

uma área para outra; saber se comunicar e entender o que lhe é comunicado;

trabalhar em equipa; interpretar a realidade; buscar, analisar, tratar e organizar

a informação; adoptar uma postura crítica, sendo consciente de que o

conhecimento não é algo terminado e deve ser construído; tomar decisões,

ganhar autonomia e criatividade. Logo aprender Matemática é mais do que

aprender técnicas de utilização imediata; é interpretar, construir ferramentas

conceituais, criar significados, perceber problemas, preparar-se para

equacioná-los ou resolvê-los, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de

compreender e imaginar (Lombardi, 1998).

Segundo Micotti (1999) educar é a principal função da escola, mas as

variações do modo de ensinar determinam diferenças nos resultados obtidos.

Até bem pouco tempo ensinar era sinónimo de transmitir informações, porém,

as ideias pedagógicas mudaram e busca-se uma aprendizagem que extrapole

a sala de aula, que o aluno consiga aplicar seus conhecimentos vida afora, em

benefício próprio e da sociedade. As possibilidades de aplicar o aprendido,

tanto na solução de problemas da vida prática, como em novas aprendizagens,

dependem do tipo de ensino desenvolvido.

O campo da didáctica em geral e da Educação Matemática em particular, vem

desenvolvendo um conjunto muito importante de concepções de ensino e

aprendizagem, que afectam directamente todas as áreas do conhecimento

científico, as quais encontraram uma grande receptividade nos educadores

matemáticos. Polya e Fredenthal citados por Silva (2004) deram um grande

impulso às discussões e ao desenvolvimento de novas concepções no campo

do processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Entre as mais

salientadas, pode-se mencionar: o ensino da Matemática pela sua própria


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génese, a Educação Matemática orientada pela resolução de problemas, o

ensino da Matemática orientado por objectivos formativos, Educação

Matemática do ponto de vista das aplicações e da modelagem, ensino baseado

em projectos, a aprendizagem livre e as novas tecnologias.

Essas concepções estão muitas vezes relacionadas umas com as outras e

podem ser aplicadas indistintamente pelos professores durante o

desenvolvimento de actividades de ensino e aprendizagem ao longo do ano

escolar. Autores como Guzmán (2002) incorporam outras estratégias como os

jogos, a história e a experimentação Matemática.

As tendências mais significativas, nesse momento, no Mundo, cuja aplicação

em sala de aula já apresentam resultados em diferentes artigos e relatos são:

resolução de problemas, modelagem Matemática, história da Matemática,

jogos e curiosidades e novas tecnologias. Os pontos comuns observados nas

tendências referidas são:

• Um ensino comprometido com as transformações sociais e a construção da

cidadania;

• Desenvolvimento contando com a participação activa do aluno no processo

de ensino e aprendizagem em um contexto de trabalho em grupo e individual;

• A busca de uma Matemática significativa para o aluno, vinculando-a à

realidade;

• Utilização de recursos específicos e um ambiente que propicie o

desenvolvimento de sequências metodológicas que levem o aluno a construir

seu próprio conhecimento.

Dentro dessas concepções de Educação Matemática a actuação do professor

adquire uma nova postura, o professor é um mediador do processo, tal como

apontam os estudos de Vygotsky (1991).

Assim pretende-se apresentar actividades metodológicas práticas, aplicáveis

em sala de aula do Ensino Básico, essas actividades incorporam elementos

das tendências em Educação Matemática. Cujo tema é:

“Uma Alternativa Metodológica para o Processo de Ensino-Aprendizagem do

Conceito Número Fraccionário na 6ª Classe do Ensino Primário.”


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0.1- Importância Social e Actualidade da Investigação

Esta dissertação visa elevar o grau de conhecimentos dos professores e

contribuir para identificação, diagnóstico dos problemas relacionados com o

ensino do conceito de números fraccionário que o ensino angolano enfrenta,

bem como na procura de solução dos mesmos com vista a elevar a qualidade

de ensino-aprendizagem. O tema escolhido incide sobre uma problemática

actual que está inserido nas linhas directrizes “Construção de domínios

numéricos” e “Conceitos e definições” que no ensino da Matemática ocupam

um lugar fulcral e, que não tem sido eficaz quanto se exige no Programa da 6ª

Classe.

0.2-Antecedentes

Estudando algumas investigações que confirmam o mau desempenho do aluno

nos aspectos relacionados com o ensino-aprendizagem dos números

fraccionários, encontra-se Silva (1997), discutindo uma pesquisa onde crianças

entre os 11 e 16 anos foram questionadas sobre vários tópicos de interpretação

das fracções, entre elas a leitura, a comparação e as diferentes operações com

fracções, concluiu que a maioria das crianças são incapazes de lidar com o tipo

de matemática que se ensina e que nessa situação parece inútil ensinar todas

as crianças como se elas tivessem a mesma base de conhecimentos e fossem

capazes de aprender os mesmos tópicos na mesma extensão.

No Brasil, Lima (2006), discute o critério histórico de iniciar o ensino das

fracções a partir do modelo parte/todo no contínuo, baseando-se em pesquisas

sobre génese das fracções e em Piaget, que indicam o conceito de fracção

como uma aquisição do estágio das operações concretas. Concluiu que as

crianças por volta dos 8 anos recusam-se a dividir as figuras geométricas em

partes e fazem uma fragmentação do todo, confundindo o número de partes e

o número de cortes para obter as partes.

Campos e outros (2004) trabalhando com 55 crianças da quinta Série (Brasil -

São Paulo) de 10 a 12 anos, mostraram que o ensino das fracções pela

apresentação de “todo” dividido em “ partes” onde algumas destas são


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diferenciadas das demais, encoraja os alunos a empregar um tipo de

procedimentos de dupla contagem (total de partes e as partes pintadas) sem

entenderem o significado deste novo tipo de número, confirmando que as

crianças podem usar a linguagem das fracções sem compreenderem a sua

natureza.

Em Angola encontramos Lopes (2007), que criou uma proposta para o ensino

dos números fraccionários na 5ª Classe do I Ciclo. Experimentou a mesma

proposta e concluiu que houve um “incremento de atitude positiva” pelo grupo

experimental em relação ao grupo de controlo, justificando tal afirmação com

base nas médias obtidas por cada grupo. Contudo, salienta que os alunos

continuaram a mostrar dificuldades na resolução de problemas que envolvem

fracções, propondo como solução o aumento dos tempos lectivos e a aplicação

de mais e diversificados exercícios.

Através dos resultados apresentados, pode-se observar que os alunos

apresentam diversas dificuldades em trabalhar com tal conceito. E mais, que

depois de anos de estudos não conseguem perceber a fracção nem como uma

quantidade, pois não a percebem como número; nem como quociente, pois não

a associam ao resultado de uma divisão, ao contrário, continuam trabalhando

simbolicamente com números naturais, só que escritos de uma forma

diferentes.

Assim acreditamos que essa aprendizagem é de facto importante e que

depende do ensino, pois não se concretiza espontaneamente.

0.3- Identificação do Problema

A proposta curricular cessante e a da Reforma educativa, o primeiro contacto

com os números fraccionários dá-se na 5 ª classe com o conceito de fracção,

embora já na 4ª classe apareçam exercícios onde se aplicam números

fraccionários na forma de fracção e outros na forma decimal.

Segundo Martini (2006), o termo fracções nunca foi visto com bons olhos pelos

alunos e também por professores. A complexidade com que se trabalha não

faz com que o aluno conceitue, represente, compare e opere com fracções.


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Tanto o aluno, quanto o professor enfrentam obstáculos no ensino e

aprendizagem deste conceito.

Para Ciscar (1998) o facto de os professores considerarem as fracções como

um dos tópicos do currículo mais difíceis de ensinar deve compreender-se pela

elevada abstracção que geralmente é exigida aos alunos nas actividades de

ensino – aprendizagem.

Castelnuovo (2006) afirma que o conceito de Fracção é dos mais difíceis para

o aluno, as dificuldades dos alunos resultam um ensino excessivamente formal,

desligado do concreto. Para vencer esta barreira propõe que as noções

fundamentais de fracção e de número fraccionário sejam introduzidas seguindo

a mesma necessidade histórica da sua criação, privilegiando a compreensão

do aluno da necessidade de ampliação do conjunto dos números naturais e

proporcionando uma visão de conjunto aos números fraccionários.

A importância do Conceito “número fraccionário” para Silva (1997), pode ser

vista como para melhorar a capacidade de lidar com problemas do dia-a-dia,

desenvolvendo e expandindo as estruturas mentais necessárias ao

desenvolvimento intelectual e facilitando o estudo das operações algébricas.

Em nossa constatação enquanto professor de Matemática da 6ªclasse do

ensino geral II nível do Lubango e em conversas formais com professores e

alunos, levou-nos a pensar que existem dificuldades (obstáculos) no ensino e

aprendizagem do tema relacionado com fracções.

Para podermos identificar tais obstáculos fizemos uma sondagem preliminar

com professores que leccionam a 6 ª classe e alunos em que colhemos as

seguintes opiniões:

a) Junto dos professores.

- Estrutura do conteúdo no manual é pouco clara quanto ao conceito em

estudo, a sua apresentação é pouco “ atraente” o que faz com que os alunos

não gostem de fracções, e tenham dificuldades em compreender o que se

ensina na aula.


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- A extensão do programa leva a que os professores debitem a matéria

porque preocupam – se com o maior cumprimento dos programas, em

consequência os alunos não fazem trabalhos práticos para a assimilação dos

mesmos.

b) Junto dos alunos.

Relativamente à aprendizagem de números fraccionários os alunos são da

seguinte opinião:

- Quanto à interpretação, uns dizem que, as fracções são difíceis de

interpretar e de trabalhar, outros têm a mesma ideia, dizendo, que é difícil

trabalhar com números fraccionários e encontrar a sua aplicação na prática.

- O livro como material didáctico. Segundo os alunos a noção de número

fraccionário no livro é muito complicada. Não se compreende bem a explicação

do mesmo.

- Relativamente ao professor como guia, os alunos dizem que alguns

professores não explicam bem esta matéria, as aulas cansam por se fazerem

muitos cálculos.

Fazendo uma análise interligada entre as dificuldades dos professores e

alunos, podemos fazer um agrupamento dos mesmos da seguinte forma:

- Factores de índole curricular.

- Factores internos aos alunos.

- Factores inerentes à metodologia usada pelos professores

Das opiniões referidas, pode-se verificar que existem inquietações, tanto para

os professores como para os alunos, contudo os alunos desta classe já têm um

domínio em trabalhar com números naturais nas quatro operações

fundamentais, mas apresentam dificuldades em compreender e trabalhar com

números fraccionários. Assim podemos formular o seguinte problema de

investigação:

Existem obstáculos relacionados com o ensino - aprendizagem do

conceito número fraccionário que levam os alunos a terem debilidade no

trabalho com o mesmo conceito.


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Este problema remete a algumas questões:

- Quais serão os obstáculos que os alunos e professores encontram no

processo de ensino - aprendizagem deste conceito?

- De que natureza são os obstáculos que os alunos e professores encontram

no ensino-aprendizagem deste conceito?

- Como podem ser minimizados os obstáculos que dificultam o ensino e a

aprendizagem dos números fraccionários de forma a elevar a qualidade de

ensino aprendizagem deste conceito?

0.4- Justificação da Investigação

O presente estudo visa identificar os obstáculos que os professores e alunos

encontram no ensino e aprendizagem dos números fraccionários e propor uma

solução para minimizar os efeitos dos mesmos de forma que os alunos sejam

capazes de compreender a necessidade de utilização e aplicação das fracções

em diversas situações do quotidiano e da prática escolar.

0.5- Objecto de Estudo

O Processo de ensino aprendizagem do Conceito números fraccionários.

0.6- Objectivos do Estudo

O objectivo deste trabalho é o de propor uma alternativa metodológica para

melhorar o processo de ensino-aprendizagem do conceito números fraccionário

nos alunos da 6ª classe do ensino primário e, contribuir para minimizar os

obstáculos que os alunos e professores enfrentam durante o processo de

ensino-aprendizagem do referido conceito.

0.7- Campo de Acção

A aprendizagem do conceito número fraccionário na 6ª classe das Escolas

(pública e privadas) do Ensino Primário do Ensino Geral da cidade do Lubango.


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0.8- Hipótese de Investigação

Tendo em conta as considerações feitas levantou-se a seguinte hipótese:

A criação de proposta didáctica – metodológica apoiada no modelo didáctico

Construtivista pode contribuir para melhorar o processo de ensino-

aprendizagem e minimizar os efeitos negativos dos obstáculos do conceito

números fraccionários na 6ª classe do ensino geral das escolas do Lubango.

0.8.1- Variáveis

Independente: A abordagem metodológica do conceito número fraccionário na

6ª classe do ensino primário, apoiada no modelo didáctico construtivista

assente na estrutura metodológica de Jungk (1979).

Dependente: O melhoramento do processo de ensino-aprendizagem e

minimização dos efeitos negativos dos obstáculos presentes no ensino-

aprendizagem do conceito número fraccionário.

0.9- Amostras

As amostras foram constituídas por 27 professores da 6ª Classe de diversas

escolas da cidade do Lubango e 293 alunos escolhidos aleatoriamente em

duas escolas públicas (Escola Mandume e 1º de Dezembro) e uma privada

(colégio O Sol), inseridos nas suas turmas naturais num total de dez (10).

0.10- Tarefas de Investigação

1- Estudar desde o ponto de vista epistemológico, pedagógico e psicológico o

processo de ensino - aprendizagem do conceito números fraccionários.

2- Apresentar os pressupostos teóricos para o aperfeiçoamento da Matemática

da 6ª Classe e em particular do processo de ensino do conceito número

fraccionário.

3- Diagnosticar o estado actual do processo de ensino – aprendizagem do

conceito número fraccionário.

4- Elaborar um modelo didáctico para o aperfeiçoamento do processo de

ensino aprendizagem do conceito número fraccionário.


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5- Elaborar uma estratégia metodológica sustentada no modelo didáctico com o

propósito de alcançar uma aprendizagem significativa do conceito número

fraccionário, nos alunos da 6ª classe do Ensino primário.

6- Submeter o modelo didáctico e a proposta de estratégia metodológica ao

critério de espertos com vista a sua avaliação e validação.

7- Propor recomendações com o propósito de minimizar as dificuldades que os

alunos e professores encontram no processo de ensino-aprendizagem do

conceito de número fraccionário.

0.11- Procedimentos da Investigação

0.11.1- Definição da Opção Metodológica

Do ponto de vista a investigação é considerado um design descritivo - analítico,

a mesma descreve e analisa os obstáculos que os professores e alunos

encontram, quais as suas particularidades e/ou como se manifestam.

0.11.2- Métodos

Para alcançar os objectivos propostos, utilizaram-se os seguintes métodos:

Métodos Empíricos:

- Análise Documental, do manual de Matemática relativamente à estrutura do

conteúdo sobre o modelo metodológico sugerido. Se se apresenta de forma

adequada para o nível em causa, se a estrutura apresentada nos manuais é a

mais indicada para a criação do conceito e seu entendimento por parte dos

alunos. E ainda do programa da 6ª classe, para estudar o escalonamento do

conteúdo e quais os seus objectivos.

- Consulta de Bibliografia referente ao assunto em estudo para:

a) Aumentar o conhecimento sobre a matéria;

b) Clarificar o problema investigado;

c) Mostrar o posicionamento dos cientistas relativamente ao problema a

investigar;

d) Encontrar a base teórica que servirá de fundamento ao nosso estudo;

- Técnica de Campo (teste) - avaliação do nível dos conhecimentos dos alunos

sobre a matéria em estudo (Aplicação de um teste de conhecimento);


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- Inquérito aos professores de Matemática da 6ª classe de várias escolas do

Lubango, acerca das forma de ensino que utilizam e quais os obstáculos que

encontram ao leccionarem o conceito de número fraccionário e sobre os seus

dados.

Métodos Teóricos:

Histórico – Lógico: utilizado na análise dos programas (vigente e da reforma

educativa), do currículo do ensino primário, dos manuais de apoio e de outra

bibliografia relacionada com o tema;

Análise e Síntese: Na determinação das características psico-pedagógicas dos

alunos e professores, bem como na caracterização do estado actual do

processo de ensino-aprendizagem do conceito de número fraccionário.

Métodos Estatísticos:

Análise Descritiva (frequências e percentagens) dos resultados da investigação

do Teste e Inquérito aplicado aos alunos e professores respectivamente;

O método de DELPHI utilizado na validação da proposta metodológica pelos

peritos.

0.12- Estrutura do trabalho

O trabalho é constituído por três capítulos, conclusões e recomendações.

Capitulo I- Caracterização do Processo de Ensino Aprendizagem do Conceito

Números Fraccionários, está subdividido em quatro partes:

A primeira parte onde se faz uma resenha histórica do surgimento dos

números fraccionários, das definições mais importantes que suportam o

conceito e analisa-se a abordagem didáctico-metodológico do conceito número

fraccionário proposto no programa e manuais utilizados como recurso didáctico

pelos professores que leccionam a 6ª classe.

Na segunda parte, caracterizam-se os diferentes obstáculos passíveis de

serem identificados no processo de ensino aprendizagem do conceito em

estudo.

A terceira parte caracteriza epistemológica, pedagógicas e psicologicamente o

processo de ensino aprendizagem do conceito número fraccionário.


12

Finalmente, na quarta parte, apresenta-se a situação actual do ensino


Capitulo II- Proposta Metodológica para o Ensino-Aprendizagem do Conceito

de Número Fraccionário. Exemplificação da Proposta

Apresenta-se neste capítulo a proposta metodológica e a estratégia de

aplicação de forma exemplificada.

Capitulo III- Apresentação e Análise de Dados. Validação da Proposta

Metodológica.

Caracteriza-se a amostra dos alunos participantes e apresentam-se os

resultados obtidos por questão no teste de conhecimentos. Também

caracteriza-se os professores da 6ª classe e os Peritos, inquiridos e

apresentam-se as respostas obtidas no Inquérito e na validação da proposta

metodológica.

Finalmente, apresentam-se algumas conclusões e recomendação deduzidas

dos resultados obtidos pela investigação realizada e recomendações cuja

aplicação contribuirá para a minimização dos efeitos dos obstáculos de ensino-

aprendizagem deste conceito contribuindo para a elevação da qualidade de

ensino.

Além disso, o trabalho tem as referências bibliográficas e os anexos.


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Capitulo I – Caracterização do Processo de Ensino

Aprendizagem do Conceito Números Fraccionários.


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Capitulo I - Caracterização do Processo de Ensino - Aprendizagem do

Conceito Números Fraccionário

Neste capítulo faz-se uma abordagem dos conceitos matemáticos relacionados

com os números fraccionários e sua história, faz-se uma análise e

caracterização do processo de ensino dos números fraccionários com base nos

programas do Ministério da Educação, bem como o fundamento teórico que

sustenta a abordagem do tema.

1.1-Breve Historia dos Números Fraccionários

No antigo Egipto, por volta do ano 1000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu

algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O

privilégio em possuir essas terras era porque todo o ano, no mês de Julho, as

águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os

campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em Setembro,

quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os

agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois

mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava

marcada.

Essas cordas eram esticadas e verificava-se quantas vezes a tal unidade de

medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados

do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo

número: o número fraccionário. Ele era representado com o uso de fracções,

porém os egípcios só entendiam a fracção como uma unidade (ou seja,

fracções cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas fracções com uma espécie de sinal oval escrito em cima

do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de

numeração que usavam no antigo Egipto os símbolos se repetiam muitas

vezes.

Só ficou mais fácil trabalhar com as fracções quando os hindus criaram o

Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas

pela razão de dois números naturais.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Egito

http://pt.wikipedia.org/wiki/1000_a.C.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fara%C3%B3

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ses%C3%B3stris

http://pt.wikipedia.org/wiki/Rio_Nilo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Terra

http://pt.wikipedia.org/wiki/Julho

http://pt.wikipedia.org/wiki/Rio_Nilo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Terreno

http://pt.wikipedia.org/wiki/Agricultor

http://pt.wikipedia.org/wiki/Setembro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Agrimensor

http://pt.wikipedia.org/wiki/Unidade_de_medida

http://pt.wikipedia.org/wiki/Terreno

http://pt.wikipedia.org/wiki/Eg%C3%ADpcio

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

http://pt.wikipedia.org/wiki/Numerador

http://pt.wikipedia.org/wiki/Denominador

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Antigo_Egito

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hindu

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_de_Numera%C3%A7%C3%A3o_Decimal&action=edit&redlink=1

http://pt.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural


15

Desde então, as fracções foram usadas para a resolução de diversos tipos de

problemas matemáticos. (www. Wikipedia.org- História da Fracções, 2009).

1.1.1-Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fracção de um número, representada

de modo genérico como b

a, designa este número a dividido em b partes iguais.

Neste caso, a corresponde ao numerador, enquanto b corresponde ao

denominador, que não pode ser igual a zero.

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e

o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas.

Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel entre quatro alunos,

como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4=4

3 da folha, ou seja vai dividir cada folha em 4

partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fracção 8

56 designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7,

pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em fracções são chamados de números racionais. O

conjunto dos racionais é representado por A Fracção é a representação da

parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim podemos considerá-la como

sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação

numérica, com ela pode-se efectuar todas as operações como: adição,

subtracção, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação. (Wikipedia.org

2009)

Dessa forma, toda a fracção pode ser representada em uma recta numerada

(numérica), por exemplo, 2

1 (um meio) significa que de um inteiro foi

considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma recta

numérica a fracção 2

1 estará entre os números inteiros 0 e 1.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

http://pt.wikipedia.org/wiki/Divis%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Numerador

http://pt.wikipedia.org/wiki/Denominador

http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero

http://pt.wikipedia.org/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto


16

0 1 2 3 4 5

fig.1: Recta numérica e representação de fracções

1.1.2-Tipos de Fracções

Própria: o numerador é menor que o denominador. Ex. 2

1;35

12;…

imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: 3

4;

8

15;…

mista: constituída por uma parte inteira e uma fraccionária. Ex.: 3

12 . Pode-se

encontrar uma fracção imprópria a partir do número misto: 3

7

3

132

3

12

(7=numerador e 3=denominador)

Aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Ex.: 4

4;

3

12

Equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fracção. Ex.:

2

2

4

4 ;

25

15

5

3

Irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo

a simplificação. Ex.: 5

2;

7

12 (não existe um divisor comum entre o numerador e

o denominador)

Unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.:

3

1;

9

1;…

Decimal: o denominador é uma potência base de 10. Ex.: 10

437;100

23 1000

5

Composta: fracção cujo numerador e denominador são fracções:

12

65

19

;

8

23

3;…

2

1

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o#Simplifica.C3.A7.C3.A3o_de_fra.C3.A7.C3.B5es


17

Egípcia: fracção que é a soma de fracções unitárias, distintas entre si. Ex:

5

3

15

1

5

1

3

1 (www.Wikipedia.org- 2009)

1.1.3- O Conceito de Número fraccionário

As diferentes interpretações de número fraccionário têm sido referidas por

vários autores, Mourão (2005) diz que Castelnuovo considera três

interpretações: A fracção como operador sobre grandeza, a fracção como o

quociente de uma divisão e a sua estrutura decimal, Behr (1993) consideram

seis subconstrutos: comparação de uma parte com um todo (contexto contínuo

e contexto discreto), decimal, razão, quociente, operador e medida. Dickson e

Gibson (1984) distinguem sete interpretações de fracção: fracção como

subárea de uma área unidade, fracção como subconjunto de um conjunto

discreto de objectos, fracção como ponto sobre uma linha recta, fracção como

resultado da operação divisão, fracção como métodos de comparação de dois

conjuntos ou de duas medidas (operador), decimal e percentagem.

O interesse de uma abordagem multifacetada do conceito de número

fraccionário (racional) reside numa melhor aprendizagem do conceito e numa

maior generalização do mesmo, A National Council of Teachers of Mathematics

(NTCM, 2007) destaca a importância da compreensão da representação e das

vantagens e desvantagens de cada uma delas. Aceitando as vantagens

pedagógicas de uma abordagem multifacetada do conceito de número

fraccionário, apresentaremos tal diversidade de interpretações.

1.1.3.1- Noção de fracção

A forma de Interpretar uma fracção como “ uma ou mais partes iguais da

unidade” está, segundo Oliveira (1996), directamente ligada ao significado real

que a palavra fracção possui. Fracção tem derivação latina “Frangere” e

significa quebrar.

1.1.3.2- Fracção como parte de um todo

A interpretação de uma fracção como parte de um todo baseia-se na partição

de uma quantidade em partes iguais (contínuo) ou de um conjunto de objectos


18

em subconjuntos equicardinais (discreto). A interpretação de uma fracção como

parte de um todo num contínuo e num contexto discreto estão relacionadas.

5

2

5

2

5

2

Contexto Contínuo Contexto discreto

fig. 2: Relacionamento entre a representação no modelo contínuo e discreto de fracções.

Nesta interpretação, recorre-se frequentemente a região geométrica do plano e

a conjuntos discretos de objectos para representar fracções. Este modelo para

a interpretação do conceito apresenta, contudo, uma limitação em relação às

fracções impróprias, parece existir alguma inconsistência entre o modelo e a

própria fracção como representação de um número maior do que a unidade, a

parte seria maior que o todo.

3

5

3

5

Contexto Contínuo Contexto discreto

fig. 3: Representação no modelo contínuo e discreto de fracções impróprias.

1.1.3.3- Fracção como quociente decimal

Nesta interpretação do significado de fracção, associa-se a uma fracção à

operação de divisão entre dois números inteiros, p q , é usado para referir

uma operação, assim a fracção 2

5 pode ser interpretada como 2 5 ou 0,4 .

A representação de uma fracção sob a forma de quociente é útil na passagem

para a escrita na forma decimal e apresenta vantagens no que respeita a

ordenação dos números, também é o sistema usado pelas calculadoras e

computadores, em grande uso nos dias de hoje. (Mourão, 2005)


19

1.1.3.4- Fracção como operador

O significado de uma fracção como operador baseia-se numa interpretação

algébrica da fracção. A fracção p

q é pensada como a função que transforma

um conjunto de n elementos num conjunto com ).(q

pn elementos.

Ex:. Tem-se 10 elementos (objectos) e pretende-se determinar 5

2 dos mesmos:

10 5

2de 10 são 4

Conjunto A de 10 Elementos Conjunto B que tem5

2 de 10

fig. 4: fracções como operador

Passando a forma operatória tem-se: 45

20

5

10210

5

2

Observe-se que n pode ser uma fracção.

Exemplo: Determinar 3

2 de

5

4:

3

2

5

4

15

8

fig. 5: A fracção como operador de uma fracção designado por Dickson (1984) como

operador/área.

Assim temos que 3

2 de

5

4 é

15

8

5

4

3

2

A B


20

A interpretação da fracção como operador é particularmente útil no estudo da

equivalência de fracções, trata-se de determinar que função realiza a mesma

transformação. (Mourão 2005)

1.1.3.5- Fracção como ponto sobre um eixo

Esta interpretação associa o número por ela representado a um ponto de um

eixo numérico. Segundo Mourão (2005), pode estabelecer-se uma forte ligação

entre a representação de fracção como subárea de uma área unidade e a

representação da mesma fracção como um sub-comprimento de um

comprimento unidade.

4

3

0 1

fig.6: Analogia entre a situação a duas dimensões (subárea de uma área) e a situação

unidimensional (sub-comprimento)

O modelo da recta numérica é apresentado algumas vezes como sendo

significativamente mais difícil relativamente ao modelo parte/todo. A

representação a duas dimensões (área) é mais acessível para os alunos na

medida em que é mais objectivável, perceptível e manipulável. O modelo da

recta numérica envolve experiências de representação e abstracção. Por isso,

no ensino aprendizagem defende-se a sua sequencialidade. (Mourão 2005)

A recta numérica apresenta facilidade de relacionar de imediato as fracções

(comparação), fracções equivalentes, classes de fracções e com as escalas

usadas em instrumentos de medida, as quais podem funcionar como ajudas

didácticas (réguas, esquadros graduados, etc.).

1.1.3.6- Noção de número fraccionário

Associada à noção de fracção, aparece o conceito número fraccionário, um

conceito superior, que é a classe (conjunto) de fracções equivalentes que

envolve também os números decimais.

4

3


21

representada por

constituem

fig.7:- Interpretação da noção de número fraccionário, criado pelo autor com base na

Interpretação de Vergnoud.

As diferentes interpretações do conceito de fracção para além de potenciar

uma melhor compreensão do conceito, também são usadas para introduzir e

desenvolver o conceito de número fraccionário como conjunto de fracções

equivalentes, que representam a mesma parte no todo, que têm o mesmo

quociente decimal e representam o mesmo ponto na recta numérica.

A compreensão de noção de número fraccionário possibilita a compreensão

dos processos aplicados nas operações com os mesmos nas suas diversas

formas de representação.

1.2- Abordagem Didáctico - Metodológico do Conceito de Número

Fraccionário Proposta no Programa e Manuais Utilizados como Recurso

Didáctico

1.2.1- A proposta curricular

Cabe ao Ministério da Educação, através do Instituto de Investigação e

Desenvolvimento da Educação (INIDE) a elaboração e supervisão dos

documentos reitores da actividade Docente - Educativa com base nas

orientações do Governo e de acordo com o desenvolvimento Científico -

Técnico da Sociedade.

Número Fraccionário

Parte /Todo Operador Quociente

decimal

Ponto sobre a

recta numérica

Fracção


22

1.2.1.1- Estrutura do Programa da Classe

O programa vigente, data de 1996 e o mesmo surgiu da necessidade de

realizar alguns reajustes ao programa anterior de 1984, a fim de possibilitar aos

professores maiores possibilidades de realizarem o processo de ensino com

êxito, segundo as explicações que o mesmo contém na introdução.

O presente programa está estruturado da seguinte forma:

1.Explicação Necessária; I. Fundamentação; II. Objectivos gerais do ensino da

Matemática; III. Objectivos do II Nível; IV. Considerações Gerais; V. Objectivos

Específicos da 6ª Classe; VI. Esquema Programático; VII. Distribuição das

Aulas por Trimestre; VIII. Indicações por Unidade.

1.2.1.2- Objectivos de Ensino/Aprendizagem do Conceito “Número

Fraccionário” na 6ª Classe

Todo o programa deve ter definido as metas a atingir com ele, ela são as suas

justificativas. Do programa de Matemática da 6ªclasse, deduzimos os seguintes

objectivos para o ensino do conceito de número fraccionário:

a) Objectivos Gerais:

- Compreender a estrutura do sistema numérico e desenvolver

habilidade de cálculo com as diferentes classes de número, de modo que

sejam capazes de aplicá-las à resolução de problemas.

- Desenvolver a capacidade de raciocínio dos alunos através da

aplicação da análise e síntese, a realização de processos indutivos e dedutivos

de pensamento, abstracções e generalizações.

- Aprender os conceitos matemáticos, compreender o sistema de

ciências.

- Desenvolver as formas de pensamento lógico e a capacidade de

utilizar correctamente os métodos dedutivos da lógica. Com isso contribui-se

para o desenvolvimento de importantes capacidades mentais, argumentação

correcta, lógica exacta, crítica de argumentação e decisão de proposições

falsas.

- Utilizar a terminologia e notação matemática correctas, explicar as suas

actividades e fundamentar oralmente o seu trabalho.


23

- Contribuir para o desenvolvimento da capacidade de expressão,

exprimindo-se com clareza, precisão e exactidão.

b) Objectivos Específicos:

- Dominar a definição e o conceito de “Número fraccionário” como

classe, indicar representantes de números fraccionários comuns ou como

fracções em notação decimal e compreender as considerações de isomorfismo

fundamentadas nas definições das operações de cálculo.

- Adquirir habilidades seguras no ordenamento: a adição, a subtracção,

a multiplicação e a divisão de números fraccionários.

Depois de descrever os objectivos gerais e específicos definidos pelo programa

da 6ª classe, segundo Jungk (1979) no ensino da Matemática os objectivos

estão enquadrados em três campos, estritamente relacionados:

- Campo da Instrução (Saber e poder específicos da Matemática);

- Campo do desenvolvimento das capacidades mentais;

- Campo da Educação;

1.2.2 - A Dosificação do Conteúdo no Programa da 6ª Classe

O Programa prevê duas aulas para revisão de todos estes temas: conceitos

fracção, simplificação e ampliação de fracções, o conceito de número

fraccionário como classe de fracções. A representação na recta numérica de

números fraccionários e da revisão das dízimas como representação de

números fraccionários sob a forma a,n 0, NnNa .

Seis aulas para a relação de ordem no Conjunto Q’, para introdução do símbolo

Q’ para o conjunto dos números fraccionários; Definição das relações “igual a”

(=), “menor que” (<) e “maior que (>) no conjunto Q’; Definição de noção de

“menor denominador comum” de duas fracções; Determinação do menor

denominador comum de duas ou mais fracções; Determinação do menor

denominador comum de duas fracções comuns; Comparação de números

fraccionários sob a forma de dízima (quociente decimal); Comparação de

números fraccionários dados sobre duas formas sobreditas; Utilizar a relação “


24

situada entre”; Estudo da Isomorfia entre o conjunto N dos números naturais e

o conjunto dos Números fraccionários, sob a forma 1

a N em relação a ordem

dos números.

Seguidamente propõe treze aulas para o ensino da Adição e Subtracção de

números fraccionários.

1.2.3– O Manual da 6ª Classe

O manual de Matemática da classe está estruturado da seguinte forma: Noção

de fracção; Noção de número fraccionário que inclui a ampliação, simplificação

de fracções e a representação na recta numérica de números fraccionários;

Fracções decimais e comparação dos números fraccionários.

Segundo, Jungk (1979), o manual da classe ocupa uma posição especial entre

toda a bibliografia a disposição do professor e alunos, pois apresenta o

conteúdo completo, estruturado metodologicamente e orientado estreitamente

pelo programa e é dele que o professor toma os valiosos detalhes sobre os

distintos passos no ensino do conteúdo mediante as explicações, os exemplos

e reconhece melhor as exigências do programa.

Verificando o programa e o manual facilmente chega-se a conclusão que os

mesmos não estão em consonância:

- O tempo indicado pelo programa não é suficiente para tratar tais

conteúdos.

- O manual inclui as noções de ampliação e simplificação como parte do

conceito número fraccionário, mas que o programa separa.

- O Manual não precisa o sistema de conhecimentos e habilidades.

-O Manual não referencia o sistema de tarefas com o propósito de

desenvolver habilidades de trabalho com números fraccionários.

1.2.4- O Ensino de Fracções nos Manuais Didácticos

Uma boa sequência de ensino deve proporcionar ao aluno a aquisição de um

novo conhecimento, que lhe dê competência para utilizá-lo sempre que estiver

diante de uma situação que solicite tal conhecimento (Sungo, 2007).

A partir dos livros didácticos, pode-se constatar que o primeiro contacto com o

conjunto dos números fraccionários dá-se na 5ª classe do ensino geral, através


25

do conceito de fracção. Muito embora encontremos no manual da 4ª classe

alguns exercícios com texto (Problemas) onde se utilizam palavras de leitura

fraccionária (vigésima parte, trigésima parte – página 159) para indicar a

divisão de um número por outro.

Na 5ª classe, as fracções aparecem como sendo representações de algumas

partes de um inteiro, simbolizados através de fracções e figuras divididas em

partes iguais. Aparecem neste momento do ensino a comparação de fracções

com igual denominador, a adição e subtracção de fracções de igual

denominador, os múltiplos de fracções, as fracções decimais, a noção de

fracções equivalentes deduzida da simplificação e ampliação de fracções e a

representação de fracções na recta numérica identificada como número

fraccionário.

Na 6ª classe, as fracções reaparecem a partir do conceito de fracção e

imediatamente o conceito de número fraccionário, fracções decimais,

comparação de números fraccionários, o mínimo denominador comum e a

relação entre os fraccionários e os números naturais. Em seguida aparecem as

operações com os números fraccionários.

1.2.5- Crítica aos Manuais sobre a Apresentação das Fracções

Feita a abordagem aos conteúdos que são leccionados nas classes onde é

introduzido e diga-se, onde é desenvolvido o conteúdo, agora far-se-á uma

observação aos dois manuais utilizados nessas classes quanto a forma como é

apresentado o conceito fracção e número fraccionário, para tal adoptou-se os

seguintes critérios:

I) Que situação é utilizada na apresentação das fracções,

II) Se as situações variam nas apresentações,

III) Que modelo é utilizado,

IV) Se os alunos são colocados frente a situações vividas no decorrer

da história para o desenvolvimento desse conceito,

Da observação feita aos manuais da 5ª e 6ª Classes pode-se inferir que:


26

1- São apresentadas algumas ilustrações, corte do abacaxi em quatro

partes (5ª classe – pág. 24), para a formação do conceito de fracção

seguida de outras representações como ilustração da forma

geométrica das fracções, contudo estas situações são simplesmente

ilustrações para mostrar o que se quer ensinar pois os alunos não

participam delas.

2- Não há variação de situação que permite ao aluno dar um significado

ao que está aprendendo, o modelo é estático, as ilustrações já estão

divididas em partes e com indicação da fracção correspondente, ao

aluno não é colocada outra situação de dividir objectos em partes

iguais e tomar algumas de modo a formar as fracções

correspondentes.

3- O modelo usado é o parte/todo no contínuo como ponto de partida

para o ensino, o modelo discreto não aparece, impedindo que se

perceba esse modelo.

4- Não se faz nenhuma referência à história do surgimento desta

importante forma de numeração, o aluno não é colocado frente a

uma situação de divisão, de medição de objectos em partes iguais

modelo que permitiu o surgimento das fracções.

5- Em nenhum dos manuais se faz referência à leitura das fracções o

que dificulta a aquisição de uma linguagem aceitável levando a um

desenvolvimento precário da linguagem e reconhecimento das

fracções

Tal como referido na introdução, quando se levantou o problema, deduziu-se a

existência de obstáculos que têm dificultado o ensino e aprendizagem do

conceito número fraccionário e assim, passa-se a abordagem de tais

obstáculos.


27

1.3 – Noção de Obstáculos no Processo de Ensino Aprendizagem

Os obstáculos são conhecimentos, em geral, satisfatórios durante um tempo

para a resolução de certos problemas, e que por esta razão se fixam na mente

dos alunos, como ideais úteis. Mas, posteriormente, quando o aluno enfrenta

problemas novos, este conhecimento resulta inadequado e de difícil adaptação

aos novos contextos (Silva, 1997).

O obstáculo está constituído por um conhecimento das relações, dos métodos

de aprendizagem, das previsões, das evidências, das ramificações

imprevisíveis, que resistirão a desaparecer, tenderão a estabilizar-se e

adaptam-se localmente na medida que tenham sido úteis (Brousseau, 1983).

Brousseau (1983) introduziu a noção de obstáculo como uma nova forma de

ver os erros dos alunos:

Para Perrin-Glorian (1986), os erros provocados por obstáculos podem ser

resistentes e reaparecem mesmo depois do sujeito rejeitar esse modelo do seu

sistema cognitivo consciente, pois o obstáculo tenta adaptar-se localmente

modificando-se com o mínimo de desgaste. Isto explica por que “transpor” um

obstáculo exige um trabalho da mesma natureza que a implantação de um

conhecimento, isto é, inteirações repetidas e dialécticas do aluno com o objecto

do seu conhecimento.

Um obstáculo tem as seguintes características:

- É um conhecimento, uma concepção, mesmo que seja falsa ou incompleta,

não é uma ausência de conhecimento.

- Tem um domínio de validade que produz respostas adaptadas a certos

problemas ou classes de problemas, mas que conduz a respostas erradas em

outros tipos de problemas.

“Um obstáculo manifesta-se pelos erros, mas estes não são devidos

ao acaso, não são transitórios, nem irregulares, eles são

reprodutíveis e persistentes. Além disso, esses erros, em um mesmo

sujeito, estão ligados entre si por uma causa comum; Uma maneira

de conhecer, uma concepção característica, um conhecimento antigo

e que tem êxito em todo um domínio de acções”.


28

- É resistente à modificação ou transformação e torna-se predominante em

certas situações, mesmo após ter sido substituído aparentemente por um novo

conhecimento.

- A rejeição desse conhecimento conduz a um novo conhecimento.

Segundo Brosseau (1993), eles podem ser classificados em:

Obstáculos Epistemológicos: São inerentes ao próprio saber, constitutivos

do próprio conhecimento. Podem ser percebidos nas dificuldades que os

próprios matemáticos encontram na História e por isso “não podemos nem

escapar deles nem deixá-los escapar”. Compreendemos estes obstáculos a

partir de pesquisas em Epistemologia e História da Matemática, percebendo

que as grandes questões da Matemática são igualmente obstáculos

epistemológicos para os alunos.

Obstáculos Didácticos: São os que dependem da escolha de um projecto do

sistema educacional, ou seja, são as dificuldades criadas pela escola, através

da estratégia de ensino escolhida que provoca posteriormente obstáculos ao

desenvolvimento da conceituação. Estes obstáculos são muitas vezes

inevitáveis e inerentes à necessidade da transposição didáctica, porém a

percepção de um obstáculo didáctico pelo professor, permite-lhe retomar a

apresentação original do conceito, para melhor explicitar a dificuldade vivida

pelo aluno.

Obstáculos Ontogénicos: São os que procedem a limitação do sujeito em

dado momento de seu desenvolvimento mental, normalmente aparecem

quando a aprendizagem está muito deslocada em relação à maturidade do

sujeito.

1.3.1- Obstáculos Epistemológicos no Processo de Ensino Aprendizagem

dos Números Fraccionários

A partir do estudo histórico e da análise epistemológica encontram-se os

seguintes obstáculos:


29

1) Representação Simbólica: A representação usada hoje foi

conquistada depois de séculos e a partir das representações individuais de

cada povo. Chegar a uma única representação, que não fosse ambígua, não foi

uma conquista simples. Os Egípcios firmaram-se nas fracções unitárias,

colocando um ponto sobre o símbolo do denominador; Os Babilónicos, mesmo

com um sistema de escrita numérica e posicional, não conseguiram resolver a

ambiguidade desse sistema; Os Gregos, por sua vez, com o seu sistema

alfabético tinham dificuldades de operar com as fracções representadas dessa

forma (Silva, 1997).

Campos e Outros (2006) observaram que existe mais facilidades de os alunos

trabalharem com as fracções unitárias. Outras pesquisas mostram que os

alunos reproduzem o símbolo sem entender o seu significado, o que

caracterizou-se como um obstáculo epistemológico, pelo facto de o aluno não

ser requisitado a obter efectivamente a representação da situação a que está

submetida, através da linguagem natural e da exploração de processos que

possam dar significado à representação de fracções.

2) Negação da Necessidade das Quantidades Fraccionárias: Umas das

situações que levou o homem a sentir necessidade dos números fraccionários

foi a questão da medida. No entanto, percebe-se a procura incessante de

unidades de medida que permitissem medir qualquer coisa e obter como

resultados números inteiros (unidades de medida como o Pé, a Polegada, a

Jarda, etc.) pois o conhecimento dos números naturais através da contagem

induzia a essa procura.

Os alunos, também, em algumas situações se negam a aceitar os números

fraccionários como resultado, porque não são colocados frente a situação em

que realmente percebam a necessidade desse tipo de número.

3) Dificuldade em aceitar as fracções como Números: Uma das grandes

dificuldades dos matemáticos foi aceitar as fracções como sendo números.

Euler, já no século XVII, era um deles e por isso apresentava duas vezes as

mesmas propriedades numéricas, uma para os números naturais e outra para

as fracções. Kronecker que já trabalhava com o corpo numérico formado pelo


30

conjunto dos números da forma 2a b , insistia que a aritmética e análise

deveria basear-se nos números inteiros e chegou a afirmar que: “ Deus fez os

inteiros e todo o resto é obra do homem”. (Silva, 1997)

Essa grande dificuldade é essencialmente devida ao facto de o número

fraccionário ser de natureza diferente da dos números naturais. Eles não

surgem de um processo de contagem, mas sim de um acto de partição de algo

que se toma como um inteiro. Facto que leva os alunos a interpretar as

fracções como um par de números naturais e não como um único número que

representa uma quantidade.

4) O Conhecimento dos números Naturais: O conhecimento dos

números naturais em si constitui um obstáculo ao aprendizado dos números

fraccionários. A maioria das crianças passa pelo mesmo processo dos

matemáticos da História, pois também para elas só os números naturais são

números. Os alunos ao iniciarem o trabalho com fracções tentam aplicar os

conhecimentos que já possuem, tratando as fracções como dois números

naturais, escritos uns em cima do outro.

À medida que os estudos se aprofundam permanece a dificuldade em aceitar

situações em que o dividendo seja menor que o divisor, sendo comum ao aluno

que não dá para dividir 2 por 6, sem nenhuma relação com o conhecimento

anterior que aconteceu (Campos, 2006).

5) O modelo de referência: O aluno, quando começa a trabalhar as

fracções, tem como modelo de referência os números naturais que tem um

modelo discreto. No entanto as fracções são introduzidas a partir de um

modelo contínuo com a concepção parte/todo, com a intenção de apresentar

ao aluno um novo conjunto numérico, que resolve algumas situações que os

números naturais não resolvem.

Na História, a origem dos fraccionários deu-se no modelo preferido pelo

Ensino, mas o aluno é levado a contar as partes, num movimento de

discretização da área envolvida em partes contáveis, fazendo com que volte ao

modelo original e perca o sentido do inteiro inicialmente considerado. Esse


31

processo provoca a concepção de que a fracção é o número de parte da

unidade. (Silva 1997)

1.3.2- Obstáculos Didácticos no Processo de Ensino-Aprendizagem dos

Números Fraccionários

Da análise e do estudo realizado relacionado com o ensino-aprendizagem do

conceito número fraccionário, podemos identificar os seguintes:

1- Ponto de vista único: - a concepção parte/todo no contínuo é

praticamente a única com que os alunos se deparam na introdução do conceito

de fracção e de número decimal. As outras concepções (razão, medida,

operador, quociente) não são apresentadas aos alunos, são apresentadas

formalmente desvinculadas de qualquer relação com a realidade.

2- Dupla contagem das partes: - o modelo parte/todo no contínuo, dado

a partir da contagem das partes, desenvolve a linguagem de fracção sobre um

modelo estático em que as figuras são apresentadas com todos os traços de

divisão aparentes, este padrão leva alguns alunos ao sucesso. Uma simples

alteração na representação induz ao erro, pois o aluno aplica sempre a

contagem para identificar as fracções. Isso mostra que a conceituação de

fracção desse aluno já está comprometida, por um procedimento mecânico de

identificação. (Silva 1997)

Além disso, este procedimento fortalece o obstáculo epistemológico dos

naturais sobre os fraccionários, pois, a medida que está sempre contando, o

aluno acaba interpretando a fracção como um par de números naturais

separados por um traço, o que faz que os alunos generalizem os conceitos

operatórios que tem os naturais para os fraccionários.

3- Discretização do Contínuo: - O modelo de referência que o aluno tem

é o de quantidade discreta representada pelos números naturais, o que cria

dificuldades para ele trabalhar com o modelo parte/todo no contínuo usado na

nos livros das classes (5ª e 6ª) e pelos professores na introdução de fracção.

Tal modelo, naturalmente, provoca esse obstáculo, pois o aluno é levado a


32

contar as partes de uma figura já dividida e pintada, permanecendo então o

processo de contagem, que induz a estar trabalhando com o discreto.

4- Visão deturpada no trabalho com quantidades discretas: - o uso de

quantidades discretas só aparece para trabalhar a fracção de quantidade

(operador sobre os naturais) e visto somente sob a concepção parte/todo. Este

tipo de trabalho leva o aluno a não perceber as características inerentes a cada

(o contínuo e o discreto) e a fracção de quantidade fica directamente atrelada

ao trabalho com números naturais, não se desenvolvendo a concepção de

transformação que o operador pode exercer sobre quantidades discretas

quanto contínuas.

1.3.3- Obstáculos Ontogénicos no Processo de Ensino Aprendizagem dos

Números Fraccionários

Existem dois pontos que provocam esse tipo de obstáculo no ensino do

conceito de número fraccionário:

1- O Formalismo abusivo com que é apresentado o conceito, que

embora esteja enquadrado na faixa etária (9 a 12 anos de idade), onde

predominam as operações concretas, em que os conhecimentos transmitidos

somente através de algoritmos não têm significado, os alunos precisam

experimentar e verificar o processo antes de chegar a generalizações.

2- O Modelo utilizado geralmente no ensino (Parte/todo) é apresentado

através da contagem sem que se verifique os pré-requisitos necessários como

a conservação do todo, área ou medida.

1.4- Caracterização Epistemológica, Pedagógica e Psicológica do

Processo de Ensino-Aprendizagem do Conceito Número Fraccionário

A matemática é uma disciplina que possui linguagem própria, facto que permite

a expressão clara e precisa de ideias, endossadas nos conhecimentos do

mundo que é o sujeito da educação apresenta e têm relação à interpretação de

problemas, símbolos, expressões, gráficos que permitem a estruturação do


33

pensamento e da linguagem, levando ao raciocínio do educando como do

educador, efectivando de modo significativo a construção do saberes (Dal

Medico, 2008).

Ao professor cabe exercer o papel de mediador do conhecimento, pois é ele

que vai estimular a aprendizagem, proporcionar questionamentos,

comparações e partilha de ideias e de saberes, como a criação de ambientes

favoráveis para o ensino por meio de diferentes caminhos que levam ao

mesmo resultado na resolução de situações e actividades matemáticas,

utilizando sempre um discurso coerente, uma linguagem adequada ao nível

dos alunos, respeitando a aprendizagem individual de cada um.

Para tanto, torna-se necessário estudar o processo de ensino-aprendizagem,

focalizando a atenção tanto no professor como no aluno, pois é o professor que

promove e organiza situações de ensino-aprendizagem e no aluno, porque é o

responsável pela construção ou ampliação do seu saber e, é nesta relação que

se dá a passagem do conhecimento pela comunicação e acção. Os

conhecimentos matemáticos requerem estimulação e orientação por parte do

professor. Pois para que haja aprendizagem é necessário que cada um crie

seus conceitos. Conceitos estes que por sua vez, se inter-relacionam e criam

esquemas mentais; Cada esquema mental é responsável pela aprendizagem

de conhecimentos, segundo Dal Medico (2008).

Cada novo conhecimento que o aluno possui, ou irá aprender, depende dos

esquemas mentais que ele já possui e da interacção entre o conhecimento

prévio e o novo saber, segundo Ausubel citado por Moreira (2005 pág. 38):

É essa interacção entre o novo conhecimento e o conhecimento prévio,

no qual o conhecimento novo adquire significado e o já adquirido se

torna mais diferenciado, mais rico e mais elaborado – que caracteriza a

aprendizagem significativa e, tais significados sejam correctos do ponto

de vista científico.

A aprendizagem mecânica baseia-se na mera repetição, treinamento,

resolução de séries de exercícios parecidos, citação de definições textuais sem

a devida compreensão conceitual, e ela precisa dar lugar aos avanços


34

cognitivos da aprendizagem que têm como princípio a interacção como objecto

de conhecimento e assim os saberes matemáticos serão aprendidos a partir de

falas, da observação de factos e actos, da experimentação, da classificação, da

resolução de exercícios diferenciados, do estabelecimento de relações e para a

elaboração de conclusões, mesmo que essas sejam temporárias, até que os

alunos, orientados pelo professor, busquem bases teóricas e explicações em

recursos materiais variados.

Assim, o conhecimento deixará de ter um acumulado de saberes decorados e

passará a ser aprendizagem construída activamente, com sentido e significado

a partir das condições criadas pela mediação intencional do educador. Dessa

forma, o educador (professor) precisa mudar a sua forma de agir, como sendo

o detentor do saber e permitir que ocorra a manifestação de ideias,

conhecimentos e saberes de forma bilateral, de modo que aconteçam

realmente trocas de conhecimentos o que se dará pela expressão dos

pensamentos, de raciocínio e compreensão matemática do mundo, (Martini

2006).

Com esse pensamento, Dal Medico (2008, p.20) afirma que “[…] O trabalho

docente não ocorre de modo arbitrário, mas pela interacção do professor

(marcada pela sua subjectividade - objectividade) que antevê e projecta

conscientemente sua acção pedagógica.”

1.4.1- Aprendizagem

Aprendizagem é, por excelência, construção; acção e tomada de consciência

da coordenação das acções. Na prática pedagógica é importante o professor

conhecer como ocorre a aprendizagem. No ensino existe um consenso de que

as actividades experimentais são essenciais para a aprendizagem, mas essas

actividades devem levar o aluno a ter acções eficazes, modificando suas

estruturas e, talvez até criando uma nova estrutura, sempre a partir de um

processo de desenvolvimento (Bordenave, 2006).

1.4.1.1- Conceito de Aprendizagem

Jesus (2001) afirma que a aprendizagem é uma modificação na disposição ou

na capacidade do homem, modificação que pode ser retirada e não pode ser

simplesmente atribuída ao processo de crescimento. O tipo de modificação a


35

que se dá o nome de aprendizagem manifesta-se como uma alteração no

comportamento, e infere-se que a aprendizagem ocorreu comparando-se o

comportamento possível antes de o indivíduo ser posto em uma situação de

aprendizagem, e o comportamento apresentado após essa circunstância.

Numa outra perspectiva, Alarcão (2006) afirmam que as condutas humanas

desde as mais simples às mais elaboradas são possíveis porque o homem

dispõe de mecanismos fisiológicos e psicológicos, que lhe permitem adquirir e

conservar modos de responder adequada e eficazmente ao que o rodeia,

acrescentam ainda, que uma vez adquiridos e conservados, o homem dispõem

deles, evocando-os ao longo do tempo e nas mais variadas situações. Isto

leva-nos a afirmar que a aprendizagem constitui um processo, sem o qual seria

difícil o homem adaptar-se as mudanças do meio; ou seja é uma actividade que

modifica as possibilidades de um ser vivo de maneira duradoura, esta ideia se

aproxima a evocada por Alarcão (2006), quando dizia que sem aprendizagem o

homem estaria ainda no seu ponto de partida eterna e infrutiferamente

tentando desprender-se das amarras que o impedem de ascender ao estatuto

superior próprio da espécie humana.

Na perspectiva de Pozo (1994), a aprendizagem é um processo de aquisição

de qualquer modificação relativa permanentemente no comportamento, como

resultado da prática ou da experiência, por outro lado é um processo de

aquisição de respostas como resultado da prática social.

Segundo Vygotsky (1991), com quem o autor concorda inteiramente, a

aprendizagem é uma mudança relativamente estável e duradoura do

comportamento e do conhecimento. Esta mudança do comportamento está

relacionada com o exercício e a experiência, com a descoberta, podendo

ocorrer de forma consciente ou inconsciente, num processo individual ou

interpessoal. Pois tudo o que o homem aprende ocorre no contexto da sua

cultura.

1.4.2- A Aprendizagem Cognitiva e sua Dimensão

Ausubel (1982) desenvolveu uma teoria de aprendizagem, segundo a qual a

aprendizagem é significativa à medida que o novo conteúdo é incorporado às

estruturas de conhecimento de um aluno e adquire significado para ele a partir


36

da relação com seu conhecimento prévio. Ao contrário, ela se torna mecânica

ou repetitiva, uma vez que não se produziu essa incorporação e atribuição de

significado e o novo conteúdo passa a ser armazenado isoladamente ou por

meio de associações arbitrárias na estrutura cognitiva. Para esclarecer como é

produzida a aprendizagem escolar, Ausubel propõe distinguir dois eixos ou

dimensões diferentes:

• Aprendizagem significativa

• Aprendizagem Mecânica

fig.8: Dimensões fundamentais do processo de aprendizagem atribuídas por Ausubel. Extraído

de Monteiro (2006)

O primeiro é o eixo relativo à maneira de organizar o processo de

aprendizagem e a estrutura em torno da dimensão aprendizagem por

descoberta/aprendizagem receptiva. Essa dimensão refere-se à maneira

como o aluno recebe os conteúdos que deve aprender: quanto mais se

aproxima do pólo de aprendizagem por descoberta, mais esses conteúdos são

recebidos de modo não completamente acabado e o aluno deve defini-los ou

“descobri-los” antes de assimila-los; inversamente, quanto mais se aproxima do

pólo da aprendizagem receptiva, mais os conteúdos a serem aprendidos são

dados ao aluno em forma final, já acabada.

Ao contrário, o segundo eixo remete ao tipo de processo que intervém na

aprendizagem e origina um continuum delimitado pela aprendizagem

significativa, por um lado, e pela aprendizagem mecânica ou repetitiva, por

outro. Nesse caso, a distinção estabelece a relações substanciais entre os

conceitos que estão presentes na sua estrutura cognitiva e o novo conteúdo

que é preciso aprender. Quanto mais se relaciona o novo conteúdo de maneira

substancial e não arbitrária com algum aspecto da estrutura cognitiva prévia

que lhe for relevante, mais próximo se está da aprendizagem significativa.

Aprendizagem

por Percepção

Aprendizagem Significativa

Aprendizagem

por Descoberta

Aprendizagem Mecânica


37

Quanto menos se estabelece esse tipo de relação, mais próxima se está da

aprendizagem mecânica.

Ausubel (1982) enfatiza a aprendizagem de significados (conceitos) como

aquela mais relevante para seres humanos. Ele ressalta que a maior parte da

aprendizagem acontece de forma receptiva, e desse modo a humanidade tem

se valido para transmitir as informações ao longo das gerações. Uma de suas

contribuições foi de marcar claramente a distinção entre aprendizagem

significativa e a aprendizagem mecânica.

Existem três requisitos essenciais para a aprendizagem significativa:

- A oferta de um novo conhecimento estruturado de maneira lógica;

- A existência de conhecimentos na estrutura cognitiva que possibilite a sua

conexão com o novo conhecimento;

- A atitude explícita de apreender e conectar o seu conhecimento com aquele

que pretende absorver.

Esses conhecimentos prévios são também chamados de conceitos sub -

sessores ou conceitos âncora. Quando se dá a aprendizagem significativa, o

aluno transforma o significado lógico do material pedagógico em significado

psicológico, na medida que esse conteúdo se insere de modo peculiar na sua

estrutura cognitiva, e cada pessoa tem um modo específico de fazer essa

inserção, Ausubel (1982).

Quando duas pessoas aprendem significativamente o mesmo conteúdo, elas

partilham significados comuns sobre a essência deste conteúdo. No entanto

têm opiniões pessoais sobre outros aspectos deste material, tendo em vista a

construção peculiar deste conhecimento.

A aprendizagem significativa requer um esforço do aluno em conectar de

maneira não arbitrária e não literal o novo conhecimento com a estrutura

cognitiva existente. É necessária uma atitude proactiva, pois numa conexão,

uma determinada informação liga-se a um conhecimento de teor

correspondente na estrutura cognitiva do aprendiz; Desse modo pode-se ter

uma aprendizagem receptiva significativa em uma sala de aula convencional,

onde se usam recursos tradicionais tais como giz e quadro negro, quando

existir condições do aluno transformar significados lógicos de determinado


38

conteúdo potencialmente significativo, em significados psicológicos, em

conhecimento construído e estruturado. (Silva 1997)

A aprendizagem mecânica ou memorística dá-se com a absorção literal e não

substantiva do novo material. O esforço necessário para esse tipo de

aprendizagem é muito menor, que não exige do aluno uma capacidade de

articulação entre os tópicos do conteúdo em questão. A aprendizagem

memorística é volátil, com um grau de retenção baixíssimo na aprendizagem

de médio e longo prazo. (Dal Medico, 2008).

envolve a aquisição de um

contribuem para envolve

através da sua

por meio da

à

fig.9: Aprendizagem significativa e Aprendizagem Mecânica, adaptado de esquema de Dal

Medico (2008).

Para Dal Medico (2008), o resultado da interacção que acontece na

aprendizagem significativa com o novo material a ser aprendido e a estrutura

cognitiva existente é uma assimilação dos antigos e dos novos significados que

contribui para diferenciar essa estrutura.

Sob esse enfoque o ensino de fracções e números fraccionários a partir de uso

de material concreto em sala de aula é realmente significativo, visto que os

Aprendizagem

Significativa

Produção

criativa

Estrutura Cognitiva

Incorporação à Estrutura

Cognitiva

Ligação a conceitos de

ordem superior Relação a conhecimentos prévios

Novo conhecimento

Aprendizagem

Significativa

Incorporação

não substantiva

Não há interligação de

conhecimentos

Nenhum esforço para

integrar

conhecimentos

A maior parte da

aprendizagem se dá

na Escola

Prática,

exercícios e

réplicas

reflexivas

Aprendizagem

Mecânica


39

mesmos são muito utilizados na resolução de problemas em várias esferas da

ciência e da vida em si.

1.4.3- O Construtivismo e a Aprendizagem

Segundo Jesus (2005), construtivismo é uma teoria de aprendizagem que parte

do pressuposto de que todos construímos a nossa própria concepção do

mundo a partir de reflexões sobre as nossas próprias experiências, cada um,

utiliza regras e modelos mentais próprios, onde a aprendizagem consiste no

ajustamento desses “modelos” a fim de poder acomodar as novas

experiências.

O construtivismo como teoria de aprendizagem está fundamentado em vários

princípios (Jesus, 2005):

- A aprendizagem é uma constante procura de significados das coisas,

isto é, deve começar pelos acontecimentos em que os alunos estão envolvidos

e cujo significado procuram construir.

- Aprender é construir o seu próprio significado.

- Para se ensinar bem é necessário conhecer os modelos mentais que

os alunos utilizam na apreensão do conhecimento e os pressupostos que

suportam esses modelos.

- A construção do significado não requer só a compreensão da

globalidade, mas também das partes que o constituem. O processo de

aprendizagem deve centrar-se nos “ conceitos Primários” e não nos factos

isolados.

Desta perspectiva construtivista, a aprendizagem constitui o superar de

modelos cognitivos e sublinha o papel essencialmente activo de quem aprende,

este papel está baseado nas seguintes características:

- A importância dos conhecimentos prévios e das motivações dos

alunos.

- O estabelecimento de relações entre os conhecimentos para a

construção de conceitos e a ordenação semântica dos conteúdos de memória.

- A capacidade de construir significados à base de reestruturação dos

conhecimentos que se adquirem de acordo com as concepções básicas do

sujeito; os alunos auto-aprendem dirigindo as suas capacidades para certos


40

conteúdos, construindo eles mesmos os significados que vão aprendendo do

professor.

Estas características assentam na teoria de aprendizagem de Vygotsky

(1991) as quais o autor deste trabalho assume como pressupostos teóricos

para a mudança do modelo tradicional do ensino-aprendizagem para uma

ensino inovador e significativo para o aluno.

1.4.4- O Papel do Conceito na Aprendizagem

Os conceitos jogam um papel importante na construção e uso do conhecimento

na aprendizagem da matemática. No quotidiano o homem é caracterizado pela

sua capacidade de classificar e categorizar os diferentes estímulos do meio e

sistemas conscritos e designá-los em categorias.

Os investigadores e teóricos colocam os conceitos como a fonte do

conhecimento humano (Ausubel 1982, Novak 1998).

Segundo Jesus (2005) citando Piaget, o desenvolvimento da capacidade

humana de raciocínio em termos de progresso da criança é feito através de

uma série de estágios de desenvolvimento. Os estágios são hierárquicos,

estruturas características do conhecimento de cada estágio sucessivos se

subordinam a uma síntese mais elevada do comportamento cognitivo no

estágio seguinte e nele se incorporam. Todos os indivíduos evoluem passando

pelos mesmos estágios e pela mesma ordem, mas podem atingi-los e sair

deles em tempo diferente. O modelo postula que indivíduos operando a níveis

concretos são incapazes de desenvolver o conhecimento de conceitos

abstractos e concretos. Assim, pelo mesmo facto da hierarquização, não é

possível passar de um estádio de desenvolvimento sensório – motor para um

estádio de operações formais, sem passar pelo estádio de operações

concretas. Os estádios são cumulativos, a medida que a adaptação tem lugar,

cada tipo de pensamento da fase anterior é incorporado e integrado na etapa

seguinte (Piaget e Inhelder, 1982).

Desta perspectiva, o conceito número fraccionário torna – se acessível quando

abordado a partir da representação em objectos (figuras) divididas em partes


41

iguais e onde diferentes objectos divididos em números diferentes de partes

tenham valores iguais.

A aprendizagem de conceitos definidos é mais complexa do que a de conceitos

concretos, Alarcão (2006) quando afirmou que no ensino de conceitos é vulgar

os professores ditarem as definições para os alunos e estes simplesmente as

memorizarem. É um processo possível, mas os alunos simplesmente limitam a

repetir as palavras, desprovidas de significado. Opinião corroborada por Silva

(1997) quando afirmou que não há utilidade em definir se não se sabe

reconhecer, aplicar em certos conteúdos a noção definida ou expressa.

Piaget (1982) chamou a este processo de aprendizagem de memorizada ou

mecânica, onde o aluno tem como função repetir da mesma forma como o

professor ensinou.

As condições para a aprendizagem de conceitos precisam ser dispostas com

cuidado para se tornarem partes realmente significativas da estrutura cognitiva,

porque a aprendizagem de conceitos depende muito da instrução verbal e,

como o seu significado deriva de relações entre conceitos (parte, numerador,

denominador), é indispensável que os conceitos subordinados tenham sido

aprendidos significativamente.

A utilidade dos conceitos é definida por vários autores, Jungk (1979), Silva

(1997) e Magina (2005), para quem a categorização confere ao aluno a

capacidade de organizar uma vasta quantidade de informações que se

encontram em unidades de significado, de agrupar os objectos que possuem

diferenças, mas que ficam classificados conjuntamente em virtude das suas

propriedades.

1.4.5- A Construção do Significado Como Base da Aprendizagem de

Conceitos

Em matemática, cada termo tem um significado preciso, que se deve conhecer.

As experiências que proporcionam em relação a um objecto (Estimulo), devem

ser tão variadas que o aluno seja capaz de determinar se outros objectos estão

logicamente ligados, associados a ele. Tal experiência deve proporcionar


42

bases significativas para determinar se certo objecto difere de algum modo de

outro ou se representa uma classe de objectos, Martini (2006).

A aquisição de significado é o que normalmente se subentende quando se diz

que um conceito foi aprendido. Aprende-se o conceito quando o aluno

demonstra que pode identificar um objecto pelas suas características gerais e

quando pode definir as características ou propriedades importantes do objecto

e suas relações recíprocas, Jungk (1979)

1.5- O Ensino de Conceitos em Matemática

O Ensino pressupõe organizar as condições exteriores próprias à

aprendizagem. Tais condições devem ser organizadas por níveis, tendo em

conta, em cada etapa, as habilidades previamente adquiridas, a necessidade

de retenção dessas habilidades e a situação estimuladora específica exigida

pela etapa seguinte. Assim, ensinar implicará consequentemente uma

frequente comunicação verbal com o sujeito da aprendizagem.

Vergnaud (1985) explanou os mecanismos da construção de conceitos

propriamente matemáticos em um contexto escolar, baseado em uma

concepção interactiva da formação de um conceito, concentrou-se não só nos

aspectos práticos como nos teóricos e afirma que o conhecimento emerge de

problemas a serem resolvidos e de situações a serem dominadas, as situações

de ensino devem levar os alunos a descobrir relações.

Dentro da concepção interactiva, Vergnaud (1985) considera um conceito como

um agrupamento (S, I, @) onde S é o conjunto de relações que tornam o

conceito significativo, I é o conjunto de invariantes operatórios que são

subjacentes aos procedimentos dos sujeitos frente a uma situação e @ é o

conjunto de representações simbólicas usadas para representar o conceito,

suas propriedades e situações as quais se refere. Os invariantes operatórios

são os meios psicológicos ou operações do pensamento que permitem ao

sujeito trabalhar com as situações; os significantes são o conjunto de símbolos

usados para representar os invariantes e os procedimentos de ensino.

A representação é fundamental para a formação de um conceito. Por

representação entende-se a estreita ligação entre significante e significado,

entre aquilo que sustente a linguagem natural (fala, símbolos, desenho) e


43

aquilo que compõe o próprio significado (invariantes de diferentes níveis,

inferências)

Vergnaud estabelece uma ligação directa entre o sistema de representação e a

acção sobre o meio ou o real, pois a representação só pode ser funcional a

medida que regula a acção, a representação tem função adaptativa ao real. A

formação de um conceito é de carácter operatório porque este mesmo conceito

é o resultado da estruturação do real e da acção do sujeito sobre o real. Dando

ênfase ao papel das representações, Vergnaud faz algumas colocações que

podem nortear os métodos de ensino:

1) O desenvolvimento de um conceito é lento e todo o currículo,

baseado na construção de conceitos deve prever estudos com

aperfeiçoamentos sucessivos;

2) A colecta e classificação de situações - problema que tornem um

conceito matemático funcional e significativo deve ser ampla;

3) As ideias dos alunos só podem mudar frente a situações - problema

e, portanto, o ensino não parte de definições, por melhores que elas sejam;

4) As generalizações de propriedades relevantes de situações simples

das variáveis só devem acontecer depois que estas se tornem óbvias;

5) O ensino de algoritmos não deve ser independente dos problemas;

6) Os professores devem conhecer os conceitos prévios dos alunos e

também os erros e prováveis dificuldades na resolução de problemas, dominar

o conjunto de situações que propiciem a acomodação das ideias e dos

procedimentos a novas relações e, também descobrir os processos através dos

quais conceitos prévios podem tornar-se desenvolvidos.

Com base nestes pressupostos, o autor assume esta opinião de formação e

desenvolvimento de conceitos. Pois há um encaminhamento das acções dos

alunos para a obtenção de novos conhecimentos sustentados pelos

conhecimentos anteriores até a sua generalização, pressuposto básico da

teoria construtivista.


44

1.5.1 – Construção do Conceito de Número Fraccionário

O número fraccionário, para Piaget (1982), apresenta o problema das relações

entre a acção operatória e a representação perceptual. Este problema acaba

por desencadear a discussão sobre a origem dos números fraccionários, isto é,

se os mesmos derivam a partir da acção (abstracção reflexionante) ou a partir

do objecto (Abstracção empírica). O facto do número fraccionário ter surgido da

necessidade de expressar numericamente a medição de terras propiciou a

acreditar que a origem do número fraccionário seja mais espacial que

aritmética e mais perceptual que operatória, assim o número fraccionário teria

sua origem na experiência física do fraccionamento de objectos contínuos.

No processo de desenvolvimento de conceito de fracção, o aluno quantifica as

partes em relação ao todo, compreendendo que o todo é a soma das partes,

deste modo, a construção do conceito depende de duas relações

fundamentais: A relação parte com o inteiro, onde se reconhece que a parte

está contida no todo que tem de ser dividido e a relação parte – parte onde os

tamanhos das partes de um único inteiro são comparados ao daquela primeira

parte.

Segundo Piaget e Inhelder (1982) a noção de fracção quer seja relativa à

quantidade contínua (área, comprimento, …) ou à quantidade discreta

(bolinhas, grão, …) constrói-se no nível das operações concretas e decorre na

articulação entre os seguintes elementos: Existência de uma totalidade

divisível, existência de um número determinado de partes, esgotamento da

divisão do todo, relação entre o número de partes e o número de cortes,

igualdade das partes, compreensão de que cada fracção pode também ser um

todo sujeita a novas divisões.

Para Vergnuad (1985)” “O conceito de número fraccionário é definido como

sendo uma classe de equivalência”.

O entendimento pelas crianças de fracções e razões como números que

podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados e divididos deve ser

precedido pelo entendimento das fracções como quantidade e relação. A

divisão de um bolo ou um conjunto de figurinhas é envolvida em seu início por

uma operação (partir de uma quantidade inicial e chegar a um conjunto de


45

quantidades finais que acabam sendo as partes). Assim, partir um inteiro em

partes é uma primeira experiência com fracções e essa acção envolve uma

proporção directa entre as partes e a quantidade ou grandeza a ser dividida.

Uma importante diferença entre grandeza discreta e contínua é que dificilmente

a medida desta última é conhecida, enquanto no caso discreto tal medida pode

ser contada. Consequentemente no caso contínuo, o valor da unidade é

necessariamente expresso como uma quantidade fraccionária (meio, um terço,

quinto, …) no caso discreto, esta mesma quantidade pode ser expressa como

um número de elementos (1

4ou 3 bolas para um todo de 12 bolas).

Para Vergnaud (1985), quando se toma um conjunto discreto como 1 (um)

inteiro, a criança que tem intenção de parti-lo em 4 (quatro) partes, tem que

reconhecer que é necessário dividir a unidade por 4. Este é um problema para

a escola, pois os números inteiros podem ser directamente associados a

quantidade através de um procedimento de contagem, as fracções não podem

ser directamente associadas a quantidade porque estas expressam relações

entre duas quantidades. Outro problema conceitual principal para os alunos é

que as fracções podem ser quantidades, operadores ou razão.

Em relação à formação de conceito número fraccionário, o autor coloca a

necessidade de síntese entre fracções como um número (quantidade) e

fracção com razão, mas deixa claro que esta síntese é, por si mesma, difícil e

esta dificuldade é aumentada por dificuldades próprias do conceito, tais como a

equivalência de fracções e dos diferentes significados das fracções.

Oliveira (1996) afirma que a ideia de número fraccionário é um conceito

sofisticado, pois necessita de maturidade e base matemática bem maior que á

necessárias aos números Naturais, pois o número natural é propriedade de um

determinado conjunto, o número fraccionário é associado à partilha de um

conjunto determinado, um número associado à partilha de um conjunto

contínuo e/ou um número que representa o quociente de dois números

naturais, sendo o divisor diferente de zero.

Castelnuovo (2006) e outros examinaram as causas das dificuldades

encontradas para o Ensino-Aprendizagem do conceito número fraccionário,

entre outras causas, apontaram a inadequação da metodologia utilizada pelos


46

professores, pois os mesmos se atêm à definição dos conceitos e aos

mecanismos de cálculo, levando os alunos a perder o significado dos símbolos

e o porquê das operações.

Oliveira (1996) destaca a necessidade da apresentação de experiências nas

quais a ideia de fracção e de relação entre fracções sejam construídas pelas

crianças com uso de material didáctico concreto, levando o aluno a tomar

aleatoriamente as quantidades utilizadas como unidades.

Referindo-se ao ensino dos números fraccionários, Bezuk (2007) enfatiza que a

aprendizagem destes números é uma das tarefas mais difíceis para os alunos

e, por isso:

Esta interferência do conhecimento de números inteiros (positivos) aparece

bem na questão de ordenação, comparação e da representação matemática.

Devido à complexidade dos números fraccionários, esta autora, propõe maior

tempo nos programas para o desenvolvimento do conceito de número

fraccionário e que este desenvolvimento deveria ser repetido em classes

sucessivas para um entendimento quantitativo, que consiste em conhecer o

tamanho relativo, comparar e ordenar os números fraccionários baseada nas

experiências com modelos concretos.

Bezuk (2007) sugere que as operações com fracções só deveriam ser

introduzidas depois que os alunos tivessem o entendimento conceptual, bem

como as questões de ordem e equivalência dos mesmos e deixa algumas

recomendações quanto ao ensino dos números fraccionários:

1) O Uso manipulativo (materiais concretos) é fundamental para o

entendimento das ideias fraccionárias por parte dos alunos, pois que os

manipulativos ajudam na construção de referências mentais que capacitam os

alunos a desempenhar significantemente as suas tarefas com números

fraccionários.

“…não deveria haver surpresa quanto a esta dificuldade já que além

da existência dos diversos conceitos envolvidos no conceito número

fraccionário, os alunos têm que conciliar as novas regras estabelecidas

para os números fraccionários com os seus bem estabelecidos

conhecimentos para números naturais”.


47

2) O desenvolvimento de conceito e relação entre fracções, dízimas e razão é

essencial com vista às operações sobre as mesmas.

3) As operações com os fraccionários deveriam ser adiadas até que os

conceitos e as ideias sobre equivalência, ordem e comparação estivessem

solidamente estabelecidos.

Como no início do estudo das fracções, o aluno está na faixa etária entre os 9 a

12 anos, está na idade onde a sua experiência pessoal e concreta prevalece

em relação à experiência alheia no que diz respeito à aprendizagem. Como as

variações que levam a familiarização das propriedades de fracções não se

encontram em seu ambiente natural, o autor propõe que o ensino de fracções

nas suas diversas interpretações deve ser da responsabilidade da escola, cabe

ao ambiente escolar apresentar tais variações, partindo de acções com

apresentação de modelos (material concreto em sala de aula).

1.6 – Modelo de Ensino de Conceitos em Matemática

Para perceber qualquer ciência em geral, a Matemática em particular, é

necessário que se perceba antes de tudo os seus conceitos, sobretudo os

básicos, essenciais, porque sem a percepção dos conceitos não há

fundamento do pensamento.

No ensino da Matemática, o ensino de conceitos constitui um problema

fundamental. No ensino geral, a Matemática é apresentada num sistema de

conceitos necessários a fim de apetrechar o aluno com bases para o

pensamento matemático. Assim, pode-se notar o quão importante é a

elaboração e consolidação dos conceitos para o ensino e a necessidade da

sua estruturação cuidadosa.

Segundo Jungk (1979), as razões pelas quais deve se estruturar

cuidadosamente o ensino dos conceitos são:

- O entendimento das relações matemáticas tem como fundamento a

compreensão dos conceitos e definições, que é uma condição importante para

desenvolver a capacidade de aplicação do aprendido de forma segura e

criadora.


48

- A elaboração de conceitos e definições constitui um aspecto essencial

para o adestramento lógico - verbal dos alunos.

- Através do ensino dos conceitos, familiariza-se o aluno com

importantes noções da teoria do conhecimento.

Para que os alunos entendam, para que o ensino seja significativo, os

professores devem conhecer a metodologia de ensino, em particular do ensino

de conceitos, ou seja:

- Como se elabora e se consolida um conceito na escola.

- Quais são os seus passos.

- Se o conceito deve ser introduzido ou definido.

Muitas são as sugestões metodológicas que aparecem nas bibliografias

propostas por eminentes teóricos, Zilmer, citados por Augusto (1996). Jungk

(1979) Ausubel (1982). Estes metodólogos revelam importantes ideias que na

sua maioria são convergentes. Contudo, existem diferenças que residem no

facto de que, segundo Zilmer, o ensino de conceitos se baseia na elaboração e

consolidação. Enquanto para Jungk e Ausubel baseia-se na obtenção do

conceito (considerações e exercícios preparatórios), formação e assimilação,

modelo com o qual o autor deste trabalho corrobora.

A obtenção do conceito, muita das vezes começa antes da introdução do

conceito, quando em classes (aulas) anteriores o aluno é colocado frente a

exercícios de divisão com resto, quando o aluno tem de dividir um objecto em n

partes iguais, mediante estas actividades os alunos familiarizam-se com as

formas de trabalho.

A elaboração dum conceito, Jungk (1979), é o realce das suas propriedades

essenciais, separação das características comuns e não comuns e até chegar

a definição da explicação do conceito. Existem duas vias para a elaboração de

conceitos: A via dedutiva e a via indutiva.

Na via Indutiva, o ponto de partida são os exemplos. Recorre-se à

determinação das características comuns dos objectos, reconhece-se as

características essenciais e a definição é elaborada paulatinamente. Por esta

via se elaboram os conceitos do particular ao geral.


49

Na via Dedutiva, parte-se da definição do conceito. Mediante a investigação de

uma série de exemplos, descobre-se o conteúdo e a extensão do conceito, o

conceito elabora-se do geral ao particular.

Antes de ensinar um novo conceito aos alunos, deve-se responder a duas

questões de grande significado didáctico, pois é importante que o contacto com

o novo conceito tenha uma influência decisiva na assimilação, estas questões

são:

- Necessita este conceito de ser definido ou introduzido?

- Qual das vias se deve utilizar para introduzir o novo conceito?

A decisão quanto à definição ou introdução do conceito, não é tomada pelo

professor, visto que já foi tomada na elaboração do programo de ensino.

Quanto à segunda questão, no ensino dos conceitos pode-se utilizar tanto a via

Indutiva como a via dedutiva. A aplicação de uma ou outra a criação do

conceito e definição do conceito depende de uma série de condições, tais

como a estrutura da matéria, o objectivo da assimilação, o nível de

desenvolvimento mental dos alunos e as particularidades da sua idade.

Recomenda-se a utilização da via indutiva, se a elaboração do conceito

favorece aos alunos a compreensão da definição, por outro lado, a via dedutiva

torna-se vantajosa quando estão reunidos os seguintes requisitos:

- Os alunos conhecem os conceitos prévios para a definição do novo

conceito.

- O conteúdo da formulação corresponde à definição do conceito e deve

ser compreensível para os alunos.

- A capacidade de pensamento dos alunos deve ser desenvolvida de tal

forma que os alunos vão passando das formas de pensamento concreto para

os níveis de abstracção.

É necessário considerar que os alunos não devem memorizar os conceitos de

uma maneira formal, deve-se, faze-los compreender, mostrar as propriedades

ou características do conceito.

Dal Medico (2008) diz que terminada a elaboração do conceito, é importante

que os alunos o classifiquem num sistema de conceitos que já possuem, esta

fase é alcançada através da sistematização que deve ser a primeira acção da


50

consolidação. Na sistematização visualizam-se as relações entre os diferentes

componentes do saber adquirido.

A consolidação de um conceito é entendida como o processo que tem como

objectivo a fixação do conteúdo do conceito mediante actividades práticas e

intelectuais orientadas para o aluno.

Além da sistematização, a consolidação de um conceito envolve outras acções

como: identificação do conceito, realização do conceito e aplicação do

conceito.

A identificação do conceito consiste em estabelecer, a partir da definição, se os

objectos, relações e as operações pertencem ou não ao conceito elaborado. As

possíveis formas de identificação do conceito estão indicadas no quadro

seguinte:

Exercícios Simples Exercícios Compostos

Dados - Um exemplo

- Um Conceito

- Um exemplo

- Vários conceitos

- Vários Exemplos

- Um conceito

- Vários exemplos

- Vários conceitos

Questão

Decidir se o conceito se refere

ao exemplo (representante) ou

não.

Decidir a que conceito

se refere o

representante.

Decidir a que

exemplos se

refere o conceito.

Decidir a que

conceitos se

referem os

exemplos e vice-

versa.

Fundamentar estas decisões

Tabela 1: Formas de fixação de conceitos, extraído de Jungk (1987)

A realização do conceito consiste em produzir, completar, relacionar ou

transformar objectos para que surjam representantes do conceito dado.

A aplicação do conceito, em geral, encontra-se relacionada com situações de

ensino, aplicar um conceito significa ter a capacidade de utilizá-lo na resolução

de problemas de ensino ou do quotidiano.

1.7 – Situação Actual do Problema de Investigação

A fim de dar maior consistência à investigação e conhecer qual é a situação

actual do problema objecto de estudo, realizou-se um inquérito aos professores

que leccionam a 6ª classe e uma prova diagnóstico aos alunos de duas escolas

públicas e um colégio do Lubango.


51

1.7.1- Concepções Espontâneas dos Professores

O inquérito foi aplicado a 27 professores de Matemática da 6ª classe de várias

escolas situadas na cidade do Lubango, os mesmos têm uma experiência de

trabalho na docência de Matemática que vai de 3 a 26 anos e uma grande

parte deles frequenta o Ensino superior.

O inquérito foi formado por Quinze (15) questões com questões abertas com

espaço para opinião ou fundamentação da resposta. Tal como mostrado no

anexo 1.

Analisadas as opiniões dos professores nos inquéritos, elaboraram-se as

seguintes conclusões:

Aspectos Negativos:

1- Não existe um guia metodológico que sirva de apoio e

orientação dos professores na preparação das suas aulas,

somente a realização de reuniões onde é distribuído conteúdo

a leccionar num determinado intervalo de tempo e que alguns

professores confundem tal reunião com guia metodológico.

2- Falta de preparação metodológica dos professores que se

reflecte em não utilizar meios ou matérias concretos nas aulas

de introdução do conceito de fracção, na explicação da

necessidade de introdução do conceito números fraccionários

pois limitaram-se em indicar o mínimo múltiplo comum (m.d.c)

como causa dos erros cometidos pelos alunos na

soma/subtracção de fracções.

3- O livro didáctico da 6ª classe não apresenta claramente os

conceitos de fracção e número fraccionário, dá mais ênfase a

resolução de exercícios com base em teoremas e exercícios

variados.

4- O modelo de ensino em que o professor debita a matéria

ainda é o mais utilizado, cabendo ao aluno a reprodução do


52

conhecimento e resolução de exercícios como forma de

assimilação do conteúdo.

5- Existência de professores que não tem uma formação

adequada para o ensino, pois existem professores vindos da

Escolas médias de Economia, agronomia, pescas e da

faculdade de economia como docentes de matemática.

Aspectos Positivos

1- O grau de sinceridade com que muitos professores responderam ao

inquérito e deram sugestões muito valiosas permitiu um melhor

enquadramento do problema de investigação.

2- O reconhecimento da existência de dificuldades (obstáculos) no ensino

das fracções e de suas aplicações.

1.7.2- Resultados do Teste aplicado aos alunos

A prova teve como objectivo comprovar os conhecimentos dos alunos sobre

fracções e o conceito de número fraccionário. Constituída por 13 questões

(questões de identificação, realização e de aplicação do conceito) apresentada

no Anexo 2.

A prova foi aplicada a 293 alunos das escolas do I ciclo Mandume (4 turmas

com 120 alunos), 1º de Dezembro (4 turmas com 134 alunos) e do Colégio O

Sol (2 turmas com 39 alunos), numa amostra aleatória seleccionada por sorteio

onde o critério foi de ter duas turmas do período da manhã e outras duas do

período da tarde, exceptuando-se no colégio onde foram utilizadas todas as

turmas (duas).

a) Questão relacionada com divisão de objectos (1ª): 87% dos alunos

respondeu acertadamente o que mostra que os alunos já têm a

capacidade de reconhecer a operação de divisão.


53

b) Questões de Identificação em diferentes formas (perguntas 2;3;4:5;6;7 e

8) de forma global obtiveram-se os seguintes resultados:

fig.10: Nível de acertos dos alunos nas questões de identificação das fracções em diferentes

formas.

Grande parte dos alunos tem dificuldades de identificar os números

fraccionários representados na forma de fracção e como número decimal.

Questões de definição do conceito (realização), perguntas 9 e 10: somente

1,7% acertou e 25% deixou em branco a mesma.

fig. 11: Respostas dos alunos nas questões de definição do conceito.

c) Questões de Aplicação do conceito (perguntas 11; 12 e 13),

Comparação, aplicação na resolução de problemas e soma/subtracção

de fracções.


54

Neste item verifica-se um nível de erros na ordem de 69% do total dos

alunos que responderam e apenas 7% de acerto.

Um dado que chama atenção nestas questões é o grau de acertos estar

concentrado na questão de soma e subtracção de fracções, o que indica haver

maior empenho nas questões de cálculo puro do que, da ordenação ou

aplicação a problemas do quotidiano dos números fraccionários.

1.7.3-Conclusões retiradas do Teste

Os alunos reconhecem a necessidade de aplicação dos números fraccionários

pois já os conhecem, contudo não têm domínio para os identificar a partir de

questões relacionadas com situações do dia-a-dia e da sua interpretação. Por

outro lado, coexiste a dificuldade de definir o que é o número fraccionário,

confundido - o com o conceito de fracção e a sua aplicação a exercício. Assim

podemos concluir que, embora os alunos tenham dado os conteúdos referentes

ao tema, não o dominam quando apresentado em outros contextos ou formas.

Acreditamos que este facto deve-se ao ensino meramente formal onde o

professor apresenta os conteúdos e as formas de resolução já de forma

acabada (ensino tradicional) não levando os alunos a ultrapassar as

dificuldades que têm em compreender os novos mecanismo de actuação e

interpretação das fracções e números decimais (números fraccionários), um

pouco diferentes dos já conhecidos e trabalhos, números naturais, reforçando

os obstáculos na sua aprendizagem.

Desta forma, a pesquisa busca o entendimento dessa realidade e procura

buscar uma estratégia que ajuda a melhorar e minimizar os efeitos de tais

obstáculos.


55

Conclusões do Capitulo I

• Neste capítulo se expôs os principais fundamentos que se tiveram em

conta para desenvolver a direcção do processo de ensino aprendizagem

da Matemática, em particular a formação do conceito de número

fraccionário.

• Os referentes teóricos que o autor assume estão apoiados nos

princípios, leis e categorias da Didáctica Geral e da Matemática e

assume como pressuposto psico-pedagógico o enfoque histórico-cultural

no contexto de um ensino-aprendizagem desenvolvedor como base para

estudar o processo de ensino aprendizagem do conceito de número

fraccionário.

• O teste de conhecimentos aos alunos prova que os alunos têm

dificuldades em trabalhar com os números fraccionários, como mostram

os seguintes resultados: 57% das respostas ao teste estavam erradas e

apenas 13% correctas.

• Mediante o teste e o inquérito aplicados no levantamento do problema,

verifica-se que existe a acção dos obstáculos de ensino-aprendizagem o

que aumenta o grau de dificuldades de ensino-aprendizagem do

conceito de número fraccionário.


56

Capítulo II- Alternativa Metodológica para o Ensino-

Aprendizagem do Conceito de Número Fraccionário.


57

Capítulo II- Alternativa Metodológica para o Ensino do Conceito de

Número Fraccionário.

2.0-Introdução

Para a solução do problema identificado nesta investigação, como referenciado

na introdução deste trabalho, que consiste na existência de Obstáculos

relacionados com o ensino - aprendizagem do conceito número fraccionário

que levam os alunos a terem debilidade no trabalho com os números

fraccionários e com base nos objectivos propostos, o autor propõe uma

alternativa metodológica que considera a combinação de métodos e

procedimentos da Matemática usados no ensino construtivista. Na actualidade

e no contexto da investigação, os professores utilizam predominantemente o

método expositivo como forma de transmissão dos conteúdos, que consiste em

apresentar as definições, os teoremas, os exemplos e as formas de resolução

dos exercícios. Os alunos limitam-se a interiorizar o conteúdo sem entenderem

como surge, o porquê da forma de resolução ou seja, os alunos são elementos

passivos no processo de ensino-aprendizagem, fazendo com que os

obstáculos de compreensão dos números fraccionários e seu conceito

perdurem.

Com a alternativa metodológica pretende-se uma transformação do modelo

tradicional de ensino-aprendizagem ao modelo Construtivista de ensino, onde

os alunos são elementos activos do processo prestando atenção à obtenção e

elaboração do conceito de fracção quer no contexto contínuo, como no

discreto, na representação de fracções na recta, nas equivalências de fracções

e na elaboração do conceito número fraccionário como classe de números.

Os referentes teóricos que o autor assume estão baseados nos princípios, leis

e categorias da Didáctica, quer a Geral quer a da Matemática e assume-se

como pressuposto psico-pedagógico o enfoque histórico-cultural e no contexto

de um ensino-aprendizagem desenvolvedor como base para estruturar

cientificamente o processo de ensino-aprendizagem do conceito números

fraccionários. As exigências pedagógicas que o autor tem em consideração

para o trabalho são propostas por Zilbertein e Silvestre (2003) e são:


58

2.1-Exigências Pedagógico-Metodológica para a Elaboração do modelo

em que se apoia a Alternativa

Os requisitos que se devem levantar para a implementação da proposta, são:

1º- Diagnosticar a preparação do aluno para as exigências do processo de

ensino-aprendizagem do conceito que se deseja formar.

O diagnóstico dá a possibilidade de conhecer onde estão as dificuldades de

cada aluno e trabalhar de forma pontual para assegurar o nível de partida

necessário para enfrentar o tema, que conhecimentos prévios possuem, tais

como a divisão com resto ou as limitações da divisão nos números naturais, a

necessidade de existência dos fraccionários, construção de figuras geométricas

e sua divisão em partes tidas como recurso para mostrar as partes do todo em

objectos.

Além disso, o diagnóstico orienta o professor para o nível de profundidade que

dará a cada tarefa ou actividade do sistema, na forma de perguntar e de

apresentar o conteúdo e na ajuda necessária a dar em cada uma das

actividades para que possam ser resolvidas de forma independente pelos

alunos. Também deve proporcionar ao professor informações para diferenciar

os alunos e trabalhar por um ensino que atende as diferenças individuais.

(Zilberstein, 2003).

2º - Estabelecer a relação entre os conceitos do sistema.

Um conhecimento adequado por parte do professor do conceito que se quer

formar nos estudantes resulta de grande importância para a direcção bem

sucedida do processo de ensino-aprendizagem, para tal é necessário uma

análise detalhada do conceito a formar que deve consistir em:

a) Identificar o conteúdo e extensão do conceito (Jungk, 1979):

O conteúdo abarca todas as características essenciais comuns tomadas para a

formação da classe. Para o caso de números fraccionários o conteúdo abarca

o conceito de fracção, o conceito de número decimal, a representação na recta

e a formação de classes de equivalência.


59

A extensão compreende todos os objectos que pertencem ao conceito de

acordo com o seu conteúdo. Grupo de fracções equivalentes e números

decimais que representados na recta numérica indicam o mesmo ponto.

b) Determinar os conceitos que conformam o sistema e estabelecer as

relações entre eles;

As relações entre os conceitos do sistema e deste com outros fora dele,

permite planear o sistema de tarefas de tal forma que o aluno descubra estas

relações e com isso, um conhecimento mais exacto da realidade.

Os conceitos que conformam o sistema referente ao conceito de número

fraccionário são: divisão de números naturais, conceito de fracção e de dízima

(números decimais), fracções equivalentes.

O conceito de divisão com resto permite definir as fracções e os números

decimais. É um conceito que o aluno tem de ter formado como condição prévia

para compreender a necessidade das fracções, o conceito de fracção e o

conceito de dízima.

O conceito de número fraccionário está subordinado ao de fracções

equivalentes que por sua vez lhe subordina o conceito de fracção cuja

concepção depende do conceito de divisão de números naturais e das suas

limitações nos mesmos.

No programa de Matemática da 6ªclasse não aparece previsto o conceito de

fracções equivalentes, no entanto, resulta conveniente que se trate do mesmo

para se poder formar o conceito de número fraccionário, pois o mesmo está

presente em todas as ordens da vida e é base para compreender muitos

fenómenos da realidade (comparação, soma/subtracção de fracções, …)

compreender propriedades e relações que se estudarão em classes posteriores

quer seja do campo da matemática, como das ciências.

3º- Determinar os elementos do conhecimento que se precisa revelar ao

aluno

Para organizar a modelação do sistema de tarefas e obter uma maior

independência cognitiva dos alunos é necessário determinar os elementos do


60

conhecimento que o aluno precisa ter. Para isso deve-se elaborar um esquema

onde se indicam os conhecimentos prévios que têm de ser revelados, assim

pode-se recorrer a um mapa conceitual (Novak ,1998):

representa-se

expressas

podem ser

pertencem

dão origem

formam

obtidas por

representa

aplica-se

fig. 12: - Mapa conceitual de conhecimentos que o aluno precisa revelar, elaborado

pelo autor.

Classes

Número fraccionário

Operações com fracções

Fracções equivalentes

Simplificação Ampliação

Próprias )( bab

a Impróprias )( ba

b

a

Divisão de Números Inteiros

Com resto zero

(0)

Com resto diferente de zero

(0)

Número natural

Fracções )0( bb

a

Números decimais

Analítica

Gráfica


61

De acordo com o mapa conceitual verifica-se que o aluno deve possuir os

seguintes conhecimentos, necessidade das fracções, sua interpretação

analítica ou gráfica e representação na recta numérica, sua classificação, o que

são fracções equivalentes e como se obtêm. Só após estes conhecimentos

passar-se-á à noção de Classe que é formada quer pelos números decimais,

quer pelas fracções que formam o número fraccionário.

4º- Conceber indicações que conduzem o aluno a uma busca activa e

reflexiva.

As tarefas devem propiciar a independência cognitiva dos alunos na busca do

conhecimento, sempre que possível, deve-se propor tarefas onde o aluno

tenha que procurar informação (respostas) para solucioná-las. Nas tarefas que

o requeiram, ir dando informações ou ajuda aos alunos para que possam as

resolver, independentemente de cada tarefa. (Zilberstein, 2003).

Cada actividade deve assegurar um nível de partida para as tarefas

subsequente de maneira que cada aluno atribua significado ao que vai

aprendendo. As orientações devem propiciar a reflexão e a argumentação.

A solução das tarefas deve estimular a comunicação professor/aluno e

aluno/aluno, onde se estimule a aluno a aprender, valorizar e ajustar as metas,

escutá-los, respeitar seus pontos de vista e atender aos seus problemas. Deve-

-se propor tarefas onde o aluno tenha a na alternativa de tomar decisões do

caminho a seguir e explicar-se; por outro lado, o professor deve utilizar o maior

número possível de tarefas vinculadas com a prática de que se revele ao aluno

a importância do que está aprendendo. (Ausubel, 1982).

Por exemplo, fazer várias representações em desenhos gráficos de forma que

os alunos construam o conceito de fracções equivalentes, de representação de

números em forma de fracção e decimal e seu agrupamento em classes para

que os alunos construam o significado de número fraccionário.

5º Definir uma linha de desenvolvimento e as vias a utilizar para formar o

conceito

Para a formação e o desenvolvimento do sistema de conceitos, é necessário

assumir determinada linha de desenvolvimento (Marques, 2009). A linha de


62

desenvolvimento possibilita determinar de que forma, através da solução das

tarefas, se vai formar e desenvolver os conceitos previamente determinados.

O conceito número fraccionário é subordinado pelos conceitos de classe de

fracções e concorrem para este os conceitos de fracções equivalentes que por

sua vez está subordinado, dependendo dos conhecimentos do conceito e das

acções de ampliação, que pode ser simples ou com utilização do mínimo

múltiplo comum, ou da acção de simplificação que por sua também pode ser

simples ou com determinação do máximo divisor comum. Para tal o professor

deve seguir uma linha de desenvolvimento de ampliação do volume de dados e

inclusão de novas classificações.

Para formar os conceitos é necessário determinar a via (Jungk,1987), pois

permite organizar as tarefas dirigidas ao objectivo. A via indutiva é a

aconselhada para a formação deste conceito, caracterizado pela formação de

classes de fracções equivalentes e utilizando a recta numérica onde cada

ponto corresponde a uma e só uma classe, os alunos criam o conceito e

chegarão a definição do conceito.

7º - Valorizar o vínculo que tem o conteúdo com a vida prática

A Matemática é um meio eficaz no desenvolvimento científico-técnico da

humanidade e uma ferramenta poderosa para a formação da concepção

correcta dos fenómenos. Para tal, deve-se elaborar tarefas onde se tragam

para a sala de aula a realidade do que ocorre na vida e desta forma o aluno

atribui significado ao que está aprendendo (Álvarez, 1992).

Partindo de problemas com questões do dia-a-dia dos alunos, o professor pode

criar actividades onde o aluno descubra a importância do conceito de fracção e

sua extensão ao de número fraccionário.

8º - Determinar os valores da personalidade e os processos lógicos do

pensamento e desenvolver e conceber a forma em que se estimulará este

desenvolvimento.

É imprescindível o contributo da escola no desenvolvimento de valores. É

tarefa do professor preparar as futuras gerações para enfrentar as situações do

quotidiano, para tal, na elaboração do sistema de actividades, o professor deve


63

determinar as possibilidades que brindam o conteúdo para a formação de

desenvolvimentos de valores como a exactidão, clareza e limpeza do material

de estudo, a pontualidade às aulas, a responsabilidade, a sinceridade e

honestidade, a solidariedade com os demais colegas ajudando-os quando têm

dificuldades em realizar alguma actividade. (Zilberstein, 2003).

De acordo com os elementos dos conhecimentos que se propõe, será

necessário estimular neles os processos de análise, síntese, comparação,

abstracção e generalização através de actividades onde os alunos procurem as

características dos objectos, feitos ou processos, o que permite encontrar

aquelas que são gerais a todos e outras que sejam particulares a um grupo.

2.2- Alternativa metodológica para minimizar os efeitos dos obstáculos e

melhorar a formação do conceito de número fraccionário

Tendo em conta as exigências expostas anteriormente, o autor propõe uma

alternativa metodológica para a formação do conceitos de número fraccionário

caracterizada por:

fig.13: Estrutura do modelo da alternativa metodológica de ensino do conceito de número

fraccionário.

Objectivos

Avaliação

Exigências

Problema

Métodos e

Meios de Ensino

Conteúdo

Obtenção do

Conceito

Fixação/Controlo

Orientação e

Motivação

Fases de Implementação

Avaliação

Exigências

Problema

Métodos e

Meios de Ensino

Conteúdo

Obtenção do

Conceito

Fixação/Controlo

Orientação e

Motivação

Fases de Implementação


64

2.2.1- O problema

O problema que a proposta pretende resolver é minimizar os efeitos dos

obstáculos de Ensino-Aprendizagem do conceito número fraccionário para

contribuir para o melhoramento da sua compreensão e aplicação.

2.2.2- Objectivos

O Objectivo representa o elemento orientador de todo o acto didáctico e o

modelo do resultado esperado. Assim, são objectivos desta proposta melhorar

a compreensão do conceito de número fraccionário e a capacidade de aplicá-lo

na resolução de problemas quer de fórum estritamente científico, como do

quotidiano, na capacidade de raciocinar e analisar os contextos em que os

mesmos podem aparecer.

2.2.3- Os métodos

O método é a via que toma o professor e o aluno para atingir os objectivos

fixados no plano de ensino, para ensinar ou assimilar o conteúdo desse plano.

O método não diz respeito aos vários saberes que são transmitidos, mas sim

ao modo como se tem realizado a sua transmissão e assimilação por parte dos

alunos.

Para a implementação da nossa proposta na perspectiva construtivista

identificamos os seguintes métodos como os mais adequados:

- De elaboração conjunta:

É a forma intermédia em que o professor e os alunos participam juntos na

elaboração do conhecimento, a sua forma básica é a conversão orientada pelo

primeiro adquirindo uma forma inquisitiva que exige resposta por parte dos

alunos o leva a sua participação, estimulando os processos lógicos do

conhecimento.

Assim, na aula de elaboração do conceito de número fraccionário o professor

deve propor um conjunto de actividades e questões de forma que ao agirem no

sentido de realizarem a actividade são solicitados a responderem as perguntas.

- O trabalho independente

Esse método consiste na aplicação de tarefas para serem resolvidas de forma

independente pelos alunos, porém dirigidas e orientadas pelo professor. A


65

maior importância do trabalho independente é o desenvolvimento da actividade

mental dos alunos, para que isso ocorra de forma adequada é necessário que

as tarefas sejam claras, compreensíveis e à altura dos conhecimentos e da

capacidade de raciocínio dos alunos, tendo o professor que assegurar

condições para que o trabalho seja realizado e acompanhar de perto a sua

realização.

2.2.3.1- Os Meios

Os meios são todos os componentes do processo docente educativo que

actuam como suporte material dos métodos com o propósito de se alcançarem

os objectivos.

Para as aulas que propomos serão utilizados como meios de ensino os

objectos da sala de aula (quadro, giz), o material escolar (cadernos, lápis, lápis

de cores, réguas, pedaços de cartolina em varias cores) e outros materiais

auxiliares do quotidiano (bolas de berlinde, botões, fitas ou tiras de tecido) que

servirão como manipulativos, ou seja, são os meios que os alunos utilizarão

como demonstrativos de cada actividade e/ou tarefa.

2.2.4- O conteúdo

O conteúdo é um conjunto de conhecimentos acumulados pela sociedade ao

longo do seu desenvolvimento que os alunos precisam acatar e que são

manifestos na forma de conceitos, habilidades, hábitos, métodos das ciências e

normas de relação com o mundo e valores que respondem a um meio sócio

histórico concreto.

Para o nosso caso e proposta esses conteúdos são:

a) Conteúdo do sistema de conhecimentos:

- Noção de fracção, quer para modelos contínuos, como discretos. Aulas 2 e 3.

(ver páginas 76 e 80).

- Transformação de fracções em números decimais e vice-versa. Aula 4. (ver

página 81).

- Simplificação e Ampliação de Fracções e fracções equivalentes. Aula 5. (ver

página 85).


66

- Representação das fracções e dos números decimais na recta numérica. Aula

6. (ver página 87).

- Obtenção do conceito de número fraccionário e suas aplicações. Aula 7 e 8.

(ver páginas 91 e 92).

b) Conteúdo do sistema de habilidades:

- Calcular fracções equivalentes. Aulas 5 e 8.

- Resolver problemas que envolvem fracções. Aula 8.

- Representar números fraccionários na recta numérica. Aula nº 6.

- Definir e demonstrar proposições em envolvem números fraccionários. Não se

apresenta uma aula como exemplo desta tarefa pois é algo que acontece ao

longo do ensino.

Para a implementação das acções o professor deve antes satisfazer as

exigências que nele se colocam e só assim passará às etapas da proposta.

2.2.5- Características fundamentais da alternativa metodológica. Etapas

da proposta

A proposta apresenta como características:

1 - Está baseada na teoria construtivista de ensino e assume um enfoque

histórico – lógico;

2 - Usa a manipulação de objectos como procedimento capaz de lavar os

alunos a interpretarem as diferentes concepções do conceito;

3 - Apresenta um carácter sistemático e acessível dos conteúdos de forma que

os próprios alunos nas interacções professor-aluno e aluno-aluno elaboram o

conhecimento;

4 - Utilização de acções que permitem a assimilação e fixação de

conhecimentos nas diferentes etapas de sua elaboração;

5 - As diferentes formas de controlo permitem que o professor avalie em cada

momento o grau de assimilação do conteúdo de formação dos diversos

conceitos subordinados ao conceito número fraccionário.


67

1ª Etapa: Fase de Orientação e Motivação.

Esta etapa é muito importante pois é nela que o professor vai despertar a

curiosidade e interesse dos alunos e por isso deve ser bem orientada e

aproveitada. A mesma tem dois momentos:

a) Motivar os alunos para o tema conceito de número fraccionário. As

funções do professor nesta fase são:

1º- Apresentar problemas que se resolvem com aplicação de números

fraccionários.

Da prática quotidiana. Por exemplo: Tenho uma pizza para dividir por

três amigos. Com quantos pedaços ficará cada um?

Da Economia. Exemplo: Tinha 200,00kz, gastei 5

1 do mesmo. Quanto

dinheiro tenho agora?

Da Matemática e dos temas em estudo. Por exemplo: a mãe do João

comprou goiabas e ele comeu 7

3 , sua irmã, Maria comeu 3

2 das

goiabas e restaram 7.

a) Quantas goiabas comprou a mãe do João?

b) Quem comeu mais goiabas, o João ou a Maria?

Segundo Sungo (2007), uma das dificuldades que se encontra na prática dos

professores no modelo actual é a não realização da motivação dos alunos em

relação ao objecto de ensino, limitando-se na transmissão das informações de

forma acabada.

Os problemas seleccionados e apresentados pelo professor devem cumprir o

requisito de que os alunos tenham dificuldades em resolvê-los com os

conhecimentos que possuem até esse momento, contudo não sendo

totalmente novos os conteúdos, alguns alunos podem arriscar a sua solução

com utilização da operação de divisão ou até outras formas.


68

2º- Declarar o objectivo do tema e a sua importância quer para o estudo

como para a vida.

Os alunos, ao finalizar o tema, devem ser capazes de resolver exercícios e

problemas que envolvem os números fraccionários, utilizando qualquer método

e procedimento de estudo. Para cumprir esse objectivo deve-se ter em conta

as habilidades gerais que o aluno deve desenvolver:

- Transformar as expressões em números (fracções ou números decimais);

- Simplificar ou ampliar as fracções com cálculo do máximo divisor comum ou

do mínimo múltiplo comum;

- Determinar classes de fracções equivalentes (número fraccionário);

- Representar números fraccionários na recta numérica com rigor e exactidão;

- Calcular expressões ou resolver problemas onde intervenham números

fraccionários;

- Escolher o método e o procedimento correspondente, tendo em conta o tipo

de exercício.

Para o desenvolvimento destas acções, aumenta-se sistematicamente o grau

de dificuldades dos exercícios e problemas apresentados.

3º- Fazer referência à história da descoberta dos números fraccionários.

Um certo conhecimento de história da Matemática deveria ser parte

indispensável da bagagem de conhecimentos de qualquer matemático em

geral e do professor de qualquer nível. Isso, não somente com a intenção de

utilizá-la como um instrumento em seu ensino, mas principalmente porque a

história pode proporcionar uma visão verdadeiramente humana da Matemática,

o que é difícil de se imaginar, pois a imagem que os alunos possuem dessa

disciplina está totalmente desvinculada da realidade, Silva (1997) citando

Guzmán.

Existem vários livros de História da Matemática que realçam o surgimento das

fracções e os povos pioneiros na sua utilização. Para a aula, o professor pode

entregar aos alunos pequenos extractos de textos que os alunos podem ler

rapidamente, individualmente ou em grupos de 3 a 4 alunos e trocarem ideias

sobre tais informações, também pode orientar um trabalho em que os próprios


69

alunos podem procurar livros que referenciam o surgimento e uso das fracções

na antiguidade.

O enfoque histórico é uma proposta metodológica que permite ao aluno

descobrir a génese dos conceitos e métodos que aprenderá em aula. Em

outras palavras, este enfoque permitirá ao aluno fazer relação das ideias

matemáticas desenvolvidas em sala de aula com as suas origens. O

conhecimento da história da Matemática proporciona uma visão dinâmica da

evolução dessa disciplina, buscando as ideias originais em toda a sua

essência.

Destacamos aqui as obras História da Matemática, de Carlos Bayer de 1990 da

Editora Blucher; A Matemática na Antiguidade, de A. Struik de 1989 da editora

Gadiva e os sites Wikipedia.org e Somatematica.com.br, onde os professores

podem recorrer para extrair informações sobre a história dos números

fraccionários (números racionais).

b) -Diagnosticar integralmente o grau de conhecimentos que os alunos já

possuem.

O tema número fraccionário não é o início da abordagem dos números

fraccionários como conjunto numérico para os alunos, nem nos conteúdos da

disciplina de Matemática, assim o professor deve realizar um diagnóstico

valorativo dos alunos quanto ao grau cognitivo para poder encaminhar o seu

trabalho até ao desenvolvimento potencial dos alunos (Vigotsky, 1991).

Tarefas da Introdução:

Em relação aos aspectos cognitivos, o professor deve comprovar os

conhecimentos relacionados com:

- Divisão dos números com e sem resto;

- Representação das divisões com resto diferente de zero em expressões

fraccionárias (fracções ou numerais decimais);

- Representação gráfica e interpretação dos resultados (nos contextos contínuo

e discreto);

- Cálculo do máximo divisor comum (m.d.c) e do mínimo múltiplo comum

(m.m.c) de dois ou mais números naturais.


70

Estes constituem conhecimentos prévios importantes para o alcance de um

ensino com êxito. Os resultados do diagnóstico devem ser informados aos

alunos para que eles se engajem na sua superação e o professor deve

trabalhar para o nivelamento do grupo com a devida atenção diferenciada para

a superação dos erros.

2ª Etapa – Fase de Execução e Elaboração do Conceito

Nesta fase o professor deve cumprir com as tarefas:

a)- Reactivar os conhecimentos prévios dos alunos na introdução da aula,

mediante perguntas e exercícios sobre os conhecimentos prévios para

garantir um adequado nível de partida.

A ampliação e simplificação de fracções (com aplicação do m.d.c e m.m.c), a

transformação de fracções em números decimais e sua representação na recta

numérica são os conhecimentos que os alunos devem possuir para poderem

aprender o conceito em estudo.

b)- Introduzir o conceito novo, os teoremas e os procedimentos.

Nesta tarefa do processo de ensino aprendizagem, os alunos adquirem os

conhecimentos sobre os distintos procedimentos de determinação de fracções

equivalentes e seu agrupamento em classes, reconhece relações e desenvolve

as suas habilidades e capacidades na determinação de outras fracções

pertencentes a mesma classe e o número decimal correspondente.

O uso de meios de ensino facilita o alcance dos objectivos e é uma

possibilidade que o professor deve ter sempre em atenção, assim neste tema a

recta numérica e a representação dos números decimais e as fracções na

mesma, deve ser um recurso necessário. Outro pode ser a representação de

fracções equivalentes em esquemas gráficos (representação gráfica de

fracções em figuras geométricas).

Os esquemas-resumo das formas utilizadas para a determinação dos números

fraccionários são aqui utilizados como estratégia que facilitam ao aluno


71

recordar o essencial da matéria e permite-lhe a organização do seu estudo,

que devem ser elaborados em conjunto (em elaboração conjunta).

representam-se

dão origem

Fig.14: Esquema resumo de obtenção do Conceito de número fraccionário elaboração de

actividades para o aluno, elaborada pelo Autor.

Outra acção importante que o professor deve desenvolver é a elaboração de

um conjunto de actividades tendo em conta os objectivos, as habilidades e as

acções. O professor deve planificar que actividades os alunos devem realizar

em cada momento da aula, na introdução, na motivação, na elaboração do

novo conteúdo, na sistematização do conteúdo, na fixação e na avaliação.

As actividades para o aluno são muito importantes na proposta metodológica,

pois é intenção que os alunos assumam um papel activo na aula, para tal

devem desempenhar actividades (responder as perguntas, construir os

modelos, dividir,…) em todos os seus momentos.

Obtidas por Número fraccionário

Simplificaçãocb

ca

:

: Ampliação

cb

ca

Fracções Equivalentes

Fracção )0( bb

a Números decimais ba,

Divisão de números com resto diferente de zero


72

3ªEtapa – Fase de Fixação do conceito

Após a elaboração do conteúdo é preciso garantir a sua assimilação por parte

dos alunos recorrendo às tarefas de formação de acções mentais propostas

por Galperin (1967):

a) Formação da acção em forma materializada

Esta fase está estreitamente ligada a anterior, após a elaboração do esquema

conceptual, o professor apresenta uma fracção a qual os alunos seguindo o

esquema vão determinar outras fracções equivalentes (por simplificação ou

ampliação) e os números decimais correspondentes obtendo uma classe

chamada de números fraccionários, também representam os mesmos na recta

numérica como comprovação de que a um número corresponde um e só um

ponto na recta numérica.

b) Acção em forma verbal externa

Nesta fase materializa-se o conjunto das características necessárias e

suficientes reflectidas na definição de número fraccionário e, materializa-se

também a acção e a capacidade de determinar outras fracções pertencentes a

mesma classe.

Esta acção se utiliza para explicar o processo de obtenção de números

fraccionários, os elementos da acção devem ser representados em forma

verbal externa. Os alunos explicam por palavras o que são números

fraccionários e como se obtém ou se determinam, como se identificam e quais

as suas características.

c) Acção na linguagem externa para si

A acção se realiza em silêncio e não se escreve. Apresentam-se exercícios

onde os alunos buscam os representantes do conceito (vários representantes

de um número fraccionário, vários representantes de vários números

fraccionários), agrupam e generalizam as suas características. O professor

controla se cada resposta final está correcta.

d) Acção de linguagem interna ou mental


73

O próprio aluno cumpre e controla a acção, o processo de cumprimento de

acção está oculto, é completamente mental. O aluno deve recordar tudo o que

foi aprendido nas etapas anteriores, mas pouco a pouco vai reduzindo a acção,

passa algumas operações ao plano do inconsciente, mas cumpre a acção. A

forma mental de inclusão do conceito é produto da transformação da acção

externa.

3ª Etapa – Fase de Avaliação e controlo

A avaliação é uma tarefa didáctica necessária e permanente do trabalho

docente, que deve acompanhar passo a passo o processo de ensino -

aprendizagem. Através dela os resultados que vão sendo obtidos no decurso

do trabalho conjunto do professor e do aluno são comparados com os

objectivos propostos (Grelo, 2009).

A avaliação fornece ao professor o feedback da evolução da estrutura cognitiva

do aluno e se este é capaz de transferir os seus conhecimentos e estabelecer

relações com outros conteúdos anteriormente aprendidos e interiorizados.

A avaliação do aluno é contínua e são vários os factores que o professor deve

ter em conta:

Atitudes e comportamentos, tanto a nível individual como em grupo.

A participação e empenho, nomeadamente, participação oral, nas

tarefas e actividades da aula, a realização dos trabalhos de casa, a

organização do caderno diário.

Competências e conteúdos, nomeadamente, os testes escritos.

Atitudes e comportamento: neste item é analisado o comportamento do

aluno, isto é, a sua postura na sala de aulas, no que se refere à exposição do

professor, inter- ajuda com os colegas, trabalho em grupo, entre outros.

Para esta forma de avaliação o professor pode utilizar uma tabela que sintetiza

alguns dos parâmetros a analisar:

É pontual

É disciplinado

É falador e distraído

Ajuda os colegas


74


75

Participação e empenho: neste item são analisados não só a frequência dos

trabalhos de casa, organização do caderno diário, mas também a sua

participação oral nas aulas, isto é, se participa voluntariamente ou somente

quando é solicitado, se resolve os exercícios de uma forma organizada e com

um pensamento estruturado.

Procura-se que o aluno interiorize a forma de avaliação, para que lhe dê

alguma atenção e relevância, pois tais medidas serão essenciais para o resto

da vida.

Mediante uma tabela o professor poderá avaliar a postura do aluno na sala de

aulas tendo em conta os itens:

1- Participação oral:

Participa por sua iniciativa (de forma voluntária)

Responde só quando solicitado.

Utiliza linguagem Matemática adequada.

Intervém de forma organizada.

2- Para o caderno diário, pode proceder-se da seguinte forma:

Apresentação, ordem e limpeza.

Rigor na ordenação das lições.

Actividades completas.

Competência e conteúdo: para a avaliação deste item deve ser realizada pelo

menos uma prova semanalmente (chamada escrita) para avaliar até que ponto

o aluno assimilou os conteúdos ministrados

As provas escritas poderão apresentar quatro partes

Questões de respostas múltiplas.

Questões de verdadeiro falso.

Questões com lacunas.

Exercício de cálculo e exercícios com texto (problemas).

O controlo é a acção de verificação por parte do professor, das actividades que

os alunos realizaram ou realizam em cada acção ou tarefa proposta.


76

2.3- Exemplo da Aplicação da Alternativa Metodológica

No passado, quando as medidas eram expressas por fracções, as operações

com fracções eram bastante utilizadas. Hoje em dia, como usa-se os números

decimais para expressar as medidas, as operações com fracções são menos

usadas. Embora os livros didácticos apresentem vários problemas em que

essas operações são utilizadas, a maioria é constituída por operações bastante

artificiais. Isso não quer dizer que as operações com fracções sejam inúteis.

Elas são importantes e até mesmo essenciais na Matemática mais avançada

que envolve cálculos algébricos. Por isso, vale a pena o ensino das fracções.

Apenas ressaltasse que, primeiro, as crianças devem compreender bem as

ideias básicas e fazer apenas operações simples, sempre com o uso de

modelos concretos (desenhos, manipulação de objectos, …) e nunca

decorando regras.

A fundamentação teórica da necessidade de concretização das ideias

matemáticas, modelo que as aulas propostas seguem, decorre, em grande

medida, dos trabalhos de Piaget (1982) e Bruner (1976), ambos destacaram a

importância da acção, da percepção, da manipulação, do esforço de

concretização no processo de desenvolvimento cognitivo do indivíduo. No caso

de Bruner, a importância da concretização é defendida mesmo para aqueles

alunos que estão prontos a operar ao nível simbólico. Esta opção didáctica

apresenta vantagens, pois segundo este autor, uma abordagem concreta

permite ligar ideias abstractas com representações concretas, o que não só

facilita uma retenção mais eficaz como a consequente evocação da

informação, que em suma é o objectivo final da aprendizagem.

A seguir apresentam-se exemplos de aulas como explicação da aplicação da

proposta:

Aula 1- Introdução a Unidade Q dos números fraccionários

Objectivos: - motivar os alunos para os conteúdos que vão encontrar na

unidade;

- Criar o interesse dos alunos para a nova unidade;

Orientações metodológicas Gerais:


77

O professor pode começar por perguntar aos alunos sobre o que sabem dos

números fraccionários numa conversa formal.

Depois apresentar diversos problemas que para a sua solução os alunos

devem conhecer e saber aplicar os conceitos dos números fraccionários. Por

exemplos os apresentados nas páginas 67.

Apresentar para os alunos quais os objectivos (pág. 68) que se pretende com o

estudo destes números e o que os alunos deverão ser capazes de realizar com

os mesmos, alertando-os para os meios que deverão possuir para o bom

seguimento das aulas.

Em seguida, apresenta dados referentes à história do surgimento dos números

fraccionários, destacando os primeiros povos que se aplicaram na sua

estruturação.

Aplicar um teste que sirva de diagnóstico sobre os conhecimentos que já

possuem sobre fracções, números decimais, ampliação e simplificação de

fracções, etc.

Como tarefa, o professor pode orientar os alunos a elaborarem um trabalho

sobre a história da descoberta e necessidade dos números fraccionários.

Aula 2- Noção de fracção

a) Contexto contínuo

b) Contexto Discreto

Objectivos: - Que os alunos sejam capazes de identificar e transformar

expressões em fracções;

- Criar nos alunos a noção de fracção para um contexto contínuo

e para um contexto discreto;

- Criar a habilidade de divisão em partes iguais e de

contextualização das fracções.

Asseguramento do nível de partida e Motivação: - Revisão da noção de divisão

de números naturais.

Apresentação de exercícios, por exemplo: Efectuar as seguintes divisões:

a) 8:2=

b) A Maria cortou uma tira de papel para dividi-la bem certinho entre ela e uma

colega. Que parte cada uma recebeu?


78

c) Um menino tem um conjunto de 9 bolas de berlinde, 3 são vermelhas e as

demais brancas. Qual é a relação entre as bolas?

O primeiro exercício facilmente será resolvido, os outros dois, podem ser

capazes de os resolver, contudo terão dificuldade em explicar o resultado. Para

colmatar tal dificuldades o professor deve propor uma modelação (uso de

meios para concretizar as acções) com ilustração para cada situação.

Para tal distribuir uma tira de cartolina para dois alunos e solicitar que o

dividam igualmente e dizer que parte cada um recebe.

2

1

2

1

Assim, a tira dividida em duas partes iguais resulta meia fita para cada aluno,

isto é 2

1 da fita. Cada um recebe

2

1 da fita.

O segundo caso tem-se:

O professor deve orientar os alunos a contarem as bolas de cada cor e o total

de bolas, depois solicitar que estabeleçam a relação da parte sobre o todo:

No total são 9 bolas e 3 são coloridas assim a relação entre elas é 9

3.

Ou ainda solicitar aos alunos que agrupem as bolas em conjuntos iguais:

que corresponde a 3

1 entendendo que

foi dividido em três grupos com a mesma quantidade e foi considerado uma

bola em cada grupo.

Para o primeiro caso as meninas recebem parte da fita, uma metade2

1, e no

segundo a relação entre as bolas é 9

3 ou

3

1.


79

Os números 2

1 e

9

3,

3

1 representam partes de unidades e/ou a relação entre

uma parte e o seu todo, por isso são chamados de fracções.

As fracções são números que indicam a relação entre as partes que se divide o

todo (denominador) e as partes tomadas (numerador).

Em seguida, o professor pode propor aos alunos os seguintes casos:

a) A mesma fita pode ser dividida por 3 alunos de forma igual? Qual é a

expressão de cada parte?

3

1

3

1

3

1

- E a mesma fita também pode ser dividida em 5 partes iguais?

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

Os alunos devem ser capazes de reconhecer que a fita pode ser dividida em

tantas partes iguais quantas se quiserem.

b) O menino tem 9 bolas de berlinde (esferas) quer dividi-las de forma igual

para si e para um colega. Quantas bolas receberá cada um? Qual é

expressão?

c)

= + +

9

4 4 1

9:2= 2x4+1

Os alunos devem ser capazes de identificar que cada um vai receber 4 bolas,

mas restará uma, pois é difícil dividir uma bola em duas partes e se o fizer não

será uma bola.


80

- E a mesma quantidade de bolas de berlinde divida por 3 alunos, quantas

receberá cada? Qual é a expressão?

3 3 3

9:3=3

9=3, cada uma recebe três bolas.

3

9=3

Existem objectos (quantidades) que são possíveis de dividir em quantas partes

se queiram, são chamadas quantidades contínuas e outras só quando o

numerador é múltiplo do denominador - são chamadas de quantidades

discretas.

Exercícios:

1 - Que fracção representa as partes pintadas de cada figura?

a) b)

c) d)

2 – Pinta 8

2 da figura

3 - Observe a figura e responde:

a) O João ganhou 1/4 dos botões. Contorne os botões que ele ganhou.

b) O Luís ganhou 3

2 de botões. Quantos botões ganhou?


81

4 - O que são fracções e quais são as suas partes? O que indica cada parte

nos exercícios 1 e 3?

Após correcção dos exercícios o professor pode orientar o trabalho para casa

com exercícios semelhantes aos anteriores.

Aula 3- Classificação de fracções

Objectivo: Que os alunos sejam capazes de identificar e classificar os tipos de

fracções.

Após a correcção da tarefa o professor pode colocar as seguintes questões de

asseguramento do nível de partida:

1 - Representar as seguintes fracções:

a) 5

2

b) 2

5

O primeiro caso facilmente será resolvido pelos alunos, pois já o conhecem da aula anterior:

= 5

2

O segundo poderá gerar uma inquietação motivadora.

Para a resolução deste caso, o professor deve orientar os alunos a criar um

modelo em tiras de cartolina, dividir as tiras em duas partes iguais até

conseguir tomar cinco partes:

o que corresponde 2

5

Verifica-se o seguinte: as tiras foram divididas em duas partes e tomaram-se

cinco partes delas, ou seja tomaram-se na totalidade duas tiras e mais metade

de outra: 2

5= 2+

2

1


82

A partir daí o professor pode questionar aos alunos sobre a existência de

fracções que cabem numa unidade (tira de cartolina) e outras precisarem mais

de uma unidade.

A seguir, o professor deve orientar os alunos a compararem o numerador com

o denominador de cada fracção.

Fracções próprias: O numerador é menor que o denominador. babb

a );0(

Fracções Impróprias: o numerador é igual ou maior que o denominador

babb

a );0(

Depois o professor deve solicitar aos alunos que apresentem exemplos para

cada um dos casos.

As fracções em que o numerador é igual ou múltiplo do denominador são

chamadas fracções aparentes, pois resulta delas um número natural, ou seja,

tomam-se unidades completas.

Exemplos: 3

3 = 1 isto é : a unidade é tomada na totalidade.

Exemplo: 3

6=2 isto é: são duas unidades tomadas na

totalidade.

Para a consolidação, o professor pode apresentar exercícios onde os alunos

vão comparar os numeradores e denominadores e classificar. Sob orientação

do professor fazer um resumo da aula.

Aula 4- Transformação de fracções em números decimais e vice-versa Objectivo: - Que os alunos saibam que as fracções podem ser apresentadas

em forma de números decimais (dízimas).

- Que os alunos sejam capazes de transformar fracções em números decimais

e números decimais em fracções decimais.


83

Para asseguramento do nível de partida, o professor deve lembrar aos alunos

os procedimentos de divisão dos números naturais com resto zero e diferente

de zero que podem ser com números ou de forma geral:

a b

0 c isto é: 0 bcacba

e a b

d c isto é: dbcacba

Após isto o professor pode colocar uma situação problemática: “Uma costureira

tem 11cm de tecido e precisa dividir o mesmo em duas partes iguais. Quanto

medirá cada parte?”

5,52

11 isto é cada parte terá 5,5cm 11 2

1 0 5, 5

0

Os números que na sua escrita contêm uma vírgula entre os algarismos

chamam-se Números decimais ou Dízimas.

Parte Inteira Parte decimal (casa decimal)

e lê-se “cinquenta e cinco décimas”, lê-se o número todo como se fosse um

natural seguida da palavra “décimas” se tal número tem uma casa decimal. Se

tiver duas casas decimais lê-se “ Centésimas” e se tiver três de “Milésimas”.

Exemplo: 0, 3 - três décimas

1,25- Cento e vinte e cinco centésimas

24,069 – Vinte e quatro mil e sessenta e nove milésimas.

Estes aspectos devem ser elaborados por uma conversão socrática.

Os números decimais que têm o mesmo número de casas decimais chamam-

se dízimas da mesma Ordem.

Exemplo: 0,3 e 12,8 são da mesma ordem – decimal

0,05 e 2,86 são da mesma ordem – centesimal

5 , 5


84

12, 405 e 0,037 são da mesma ordem – milesimal

a) Transformação de fracções em números decimais: Divide-se o

numerador pelo denominador até obter resto zero ou a parte decimal

desejada.

Exemplo 1: 4

3 3 4 isto é 75,0

4

3

30 0, 75 20 0

Exemplo 2: 6

16 16 6

40 2,66… 40

4

Não sendo objectivo desta classe e de forma a poupar tempo o professor pode

autorizar os alunos a utilizarem máquinas calculadoras para a obtenção dos

números decimais.

b) Transformação de números decimais a fracções decimais.

- se o número é decimal multiplica-se por 10

10.

Exemplos 3: 10

3

10

103,0

- se o número é centesimal multiplica-se por 100

100

Exemplo 4: 100

75

100

10075,0

Daí os alunos podem generalizar, contudo o professor deve alertar para o caso

em que a dízima tem uma parte repetitiva (período), tal como visto no

exemplo2; 2,66…

c) Transformação de números decimais periódicos em fracções decimais.

Exemplo 5: 2,66… é o número decimal periódico (período 6), faz:


85

66,29

24

se- temequação a resolvendo 249

se-obtém 2,66 expressão desta subtraindo 26,6....10

se- temmembro cada 10por ndomultiplica

66,2

x

x

xx

x

Exemplo 6: Tem-se a dízima 78,3999999... , O período é o 9 e o 3 apareceu de

intrometido.

fazendo x = 78,3999999...

Multiplicar por 100 para levar o 3 intrometido e o primeiro 9.

tem-se 100x = 7839,99999...

Depois multiplicar por 10 para retirar a parte não periódica,

Logo tem-se 10x = 783,999999...

Fazendo 100x - 10x = 7839,99999... - 783,99999...

90x = 7056

A fracção será 90

7056

Observe-se que todas estas acções devem ser levadas em conjunto com os

alunos de forma que não percam a motivação, fazendo perguntas e deixando-

os fazer os cálculos.

A seguir, o professor deve apresentar exercícios variados de transformação de

fracções em dízimas, sua leitura e agrupamento na mesma ordem. Exercícios

de transformação de dízimas em fracções decimais quer sejam periódicos, ou

não.

Observação: atendendo ao grande volume de informação e actividades de

cálculo desta aula aconselha-se a sua planificação para uma aula de 90

minutos (aula dupla) respeitando o respectivo intervalo.


86

Aula 5- Fracções Equivalentes

a) Simplificação de fracções

b) Ampliação de Fracções

Objectivos: que os alunos saibam o que é a simplificação e ampliação e sejam

capazes de aplica-la na resolução de exercícios de obtenção de fracções

equivalentes.

Para asseguramento do nível de partida desta aula, o professor deve rever os

conhecimentos de cálculo do máximo divisor comum (m.d.c) e mínimo múltiplo

comum (m.m.c) de dois ou mais números e mediante perguntas lembrar os

procedimentos de transformação de fracções em dízimas e de, dízimas em

fracções.

Para a motivação dos alunos, o professor pode apresentar problemas do

quotidiano (motivação extra-matemática) ou em alguns exercícios da aula

anterior de transformação de dízimas em fracções e solicitar aos alunos que

transformem as fracções decimais e fracções ordinárias (motivação intra-

matemática)

A fracção 4

3 transformada em dízima é igual 0,75 e a dízima transformada em

fracção decimal é igual a 100

75. Como converter a fracção

100

75em

4

3?

Se se dividir 25375 e se se dividir 254100 significa que existe um

número (25) que é um divisor comum do numerador e do denominador

4

3

25100

2575

isto significa dizer que a fracção

100

75 foi reduzida a fracção

4

3.

Simplificação de fracção e a divisão do numerador e do denominador da

fracção por número 1)(nn : 1;0

nb

nb

na

b

a

Verifica-se que 75,0100

75 e 75,0

4

3 as fracções tem o mesmo valor.

Para simplificar as fracções determina-se em primeiro lugar o m.d.c do

numerador e do denominador (n).

Exemplo: Simplificar a seguintes fracções: 70

135 ;

20

8


87

5

2

420

48

20

84e20) m.d.c(8

e

14

27

570

5135

70

135570) e m.d.c(135

O valor de 0,420

8 e valor de 0,4

5

2 ;

O valor de ...9285,170

135 e o valor de ...9285,1

14

27

Dai o professor pode solicitar aos alunos para multiplicar as fracções dadas por

um determinado número 1)m e 0(m m .

28

21

74

73

4

3

, verifica-se que o valor de 75,0

4

3 e o valar de 75,0

28

21

Ampliação de fracções: é a multiplicação do numerador e do denominador da

fracção por número (m): 1;0;0

mmb

mb

ma

b

a o número (m) chama-se

factor de ampliação.

Para exemplo o professor pode fornecer fracções e solicitar aos alunos que as

ampliem e determinem os seus valores e em seguida apresentar outros

exercícios de ampliação, mas com um denominador ou numerador

determinado.

Exemplo: Ampliar as seguintes fracções de modos a obter fracções com

denominador igual a 48:

4

3 e

6

17 para tal o aluno tem que determinar o factor de ampliação para

fracção, assim, 48:4=12 e 48:6=8, logo: 48

36

124

123

4

3

e

48

136

86

817

6

17

75,048

36 75,0

4

3 e ...83,2

48

136 ...83,2

6

17 e

As fracções5

2

20

8 ;

4

3

100

75 ;

14

27

70

135 foram obtidas por simplificação e as

fracções 28

21

4

3 ;

48

36

4

3 ;

48

136

6

17 foram obtidas por ampliação.

As fracções obtidas a partir da simplificação ou da ampliação de uma fracção

dada (que têm o mesmo valor) chamam-se fracções equivalentes.


88

A seguir o professor pode apresentar exercícios para os alunos verificarem se

as fracções são ou não equivalentes.

Exemplo: Quais das seguintes fracções são equivalentes: a) 5

7e

10

9 b)

2

3e

10

15

O professor deve deixar os alunos trabalharem até apresentarem os resultados

e explicar a forma como os obtiveram, só depois o professor deve apresentar o

procedimento para comprovar se duas ou mais fracções são equivalentes ou

não.

Duas fracções são equivalentes se o seu produto cruzado é igual.

bcdad

c

b

a se só e só .

O professor pode solicitar para comprovar os exemplos anteriores utilizando

este procedimento.

Finalmente, o professor deve passar à fase de fixação do conteúdo com

exercícios de ampliação, simplificação, ampliação com numerador ou

denominador dado, verificação se as fracções dadas são equivalentes ou não e

a determinação de fracções equivalentes a partir de uma fracção dada.

Aula 6- Representação das fracções e números decimais na recta

numérica

Objectivos: - Que os alunos saibam como representar um número na recta

numérica e sua graduação.

- Que os alunos sejam capazes de construir e de representar as fracções na

recta numérica ou reconhecer que fracção indica cada ponto.

Para asseguramento do nível de partida, o professor deve lembrar a

representação das fracções, a sua transformação em números decimais.

O professor pode começar a aula distribuindo 3 tiras de cartolina com 4cm a

cada aluno, depois solicitar que as quantifiquem. Cada tira deve representar

uma unidade, depois solicitar que as juntem para formar uma tira única, o início

da primeira tira é o ponto de partida ou origem (0) e o seu fim, a unidade:


89

0 1 2 3

o professor deve realçar que cada rectângulo é uma unidade e que a figura tem

3 unidades.

A seguir, o professor solicita aos alunos que dividam a primeira tira ao meio e

representem o seu valor, seguindo o mesmo procedimento para as demais tiras

e representando o valor de cada parte,

0 2

1 1

2

3 2

2

5 3

a metade das unidades são os meios

Por analogia o professor solicita aos alunos que tracem uma linha recta e

representem os mesmos números representados na figura anterior, dividindo

cada unidade em duas partes iguais:

0 2

1 1

2

3 2

2

5 3

O professor orienta os alunos a dividirem cada unidade em 4 partes iguais e

indicarem o valor de cada parte nova marcada:

4

1

4

2

4

3

4

4

4

5

4

6

4

7

4

8

4

9

4

10

4

11

4

12

0 2

1 1

2

3 2

2

5 3

A metade da metade de cada unidade representa os quartos, representa-se

dividindo as unidades em 4 partes iguais. Se se tornar a dividir aos meio cada

novo segmento determinam-se os oitavos.

O mesmo procedimento pode ser feito dividindo primeiro em três partes iguais

(os terços) e tornando a dividir cada terço em duas partes iguais tem-se os

sextos.


90

Esta acção pode ser solicitada como uma actividade que os alunos farão como

uma actividade extra aula (tarefa).

Recta numérica é uma recta dividida em unidades iguais e que cada ponto

corresponde a um e só um número.

Para representar uma fracção na recta numérica divide-se a unidade

correspondente num número igual ao denominador e toma-se o numerador.

As fracções próprias );0( babb

a são sempre menores que a unidade, isto é,

encontram -se entre 0 e 1.

Exemplo: representar as fracções na recta numérica 5

4 e

15

7

Para o caso 5

4 divide-se a unidade em 5 partes iguais e toma-se a 4;

Para 15

7 a unidade em 15 partes iguais e tomam-se 7:

0 1 2 3

Para o caso de uma fracção imprópria a melhor forma é determinar a aparte

inteira e depois somar a parte fraccionária: Exemplos 4

21

4

6 ;

9

52

9

23

O que significa que cada fracção imprópria tem em si unidades completas e

uma parte fraccionária.

Para a fracção4

6 ela está entre 1 e 2, pois ela tem uma unidade e mais uma

parte fraccionária e a fracção9

23 está entre 2 e 3:

0 1 2 3

5

4

15

7

4

6

9

23


91

O procedimento utilizado para números decimais consiste em dividir as

unidades em dez partes iguais (os décimos) e se necessário os décimos em

dez partes iguais, os centésimos.

Exemplo: Representar na recta numérica os números 0,7 e 2,67:

0 1 2 3

Uma súmula da aula será feita fazendo perguntas aos alunos sobre as acções

que devem ser seguidas para construir e representar as fracções e números

decimais na recta numérica.

Exercícios:

1- Quais são os passos para representar um números na recta numérica?

2- Tendo como unidade um segmento de 3cm, traça uma recta numérica e

representa os seguintes números: 3

1;

9

12;

15

5;

3

4; 1,33 e 0,66

3-Que fracções representam os seguintes pontos?

a) b) c) d) e)

0 1 2 3 4 5

Finalmente, o professor orienta a tarefa que os alunos executarão como

actividade extra-aula.

2,6 2,7

2,67

7

0,7


92

Aula 7- Número Fraccionário.

Depois do ensino das fracções, fracções equivalentes, transformação de

fracções em números decimais e vice-versa e representação de números na

recta numérica estão criadas a condições para a aula de criação do conceito

números fraccionário e sugerimos que seja feita da seguinte forma:

Objectivos: - Que os alunos saibam o que são números fraccionários;

- Que os alunos sejam capazes de determinar e identificar os

números fraccionários nas suas diversas representações.

Asseguramento do nível de partida:

a) Revisão da noção e obtenção de fracção;

b) Revisão da noção de fracções equivalentes e a forma de sua

determinação;

c) Transformação de fracções em dízimas e de dízimas em fracções;

d) Representação de fracções e dízimas na recta numérica.

Após a revisão dos aspectos mencionados acima e a correcção da tarefa da

aula anterior, o professor coloca a seguinte questão:

- Como se chamam as fracções e dízimas que na recta numérica representam

o mesmo ponto?

Cada conjunto de fracções equivalentes e as suas respectivas formas decimais

formam uma classe.

0 1 2 3 4

Cada classe ou conjunto de fracções equivalentes e as suas respectivas

formas decimais chama-se Número Fraccionário.

;...66,0;15

5;

3

1 ;...33,1;

3

4;

9

12


93

Os números 3

1;

15

5; 0,66;… representam um número fraccionário, os números

9

12;

3

4; 1,33;… representam outro número fraccionário.

Consolidação: Uma fracção pode ser um representante de um número

fraccionário quando a mesma é irredutível.

1- Sejam as seguintes fracções: 9

1;

24

7;64

72

a) Determinar fracções equivalentes a elas.

b) Representar as fracções dadas e os seus equivalentes na recta

numérica.

2- O que significa número fraccionário?

3- Determinar números fraccionários equivalentes à 9

1; 5,8;

7

10.

Como resumo, o professor pode colocar questões que conduzam às seguintes

conclusões:

Cada fracção corresponde a um ponto e a um só da recta numérica.

Cada ponto da recta numérica corresponde a infinitas fracções chamadas de

fracções equivalentes.

As fracções equivalentes podem reunir-se numa classe chamada de número

fraccionário.

Observação: O professor deve orientar as actividades dos alunos e ir dando

impulsos sempre que os alunos apresentam dúvidas na resolução das

questões.

Aula 8- Exercícios

Objectivos: - Consolidar os conhecimentos adquiridos pelos alunos sobre os

números fraccionários.


94

- Que os alunos sejam capazes de identificar e determinar fracções,

fracções equivalentes e sua união em classes (número fraccionário)

- Ver o grau de assimilação e compreensão do conceito número

fraccionário.

Orientações metodológicas gerais.

O professor, mediante perguntas, deve lembrar os procedimentos estudados e

de que faz uso na aula. Depois de apresentar exercícios de consolidação e de

desenvolvimento. Sugerem-se os seguintes:

1- Assinalar a alternativa que melhor define uma fracção:

……… a) Um número sobre o outro

……… b) Uma quantidade tomada de um objecto que foi divido ou separado

em partes iguais.

……… c) Um pedaço que foi retirado de um objecto

2- A parte pintada da figura representa que fracção:

a) ……..3

1 b) ……..

9

1 c) ……

10

5 d) …….

15

5

3- No conjunto, as bolinhas coloridas representam a fracção:

…… a) 9

2 …….. b)

4

1 …..…c)

12

3 ……. d)

8

2

4- A parte pintada da figura representa que fracção ou valor :

…….. a) 1 ……..b) 4

1 ……..c)

4

2 …….d) 0,25 ……e) 1,4

5- Fazer a representação gráfica dos números:


95

a) 4

2 b)

5

7 c)

11

6 d)

3

16


96

6- A fracção 4

2é equivalente a:

…….. a) 40

20 ……. b)

6

3 ……. c)

8

5 ……d)

16

8 …….e)

2

1

7- As fracções 4

1;

8

2;

12

3;

16

4 e

40

10 representam:

…….. a) Números em ordem crescente.

…….. b) Quantidades diferentes tomadas do mesmo inteiro

…….. c) Quantidades equivalentes

8- Representar na recta numérica os números:

a) 4

2 b)

5

7 c)

12

6 d) 0,5 e)

15

21 f)5,33…

9- Agrupar as fracções em classes: 4

2;

5

7;

3

5;

2

1; 0,5;

15

21;

9

15; 1,66…

10- O que significa “número fraccionário”?

11- Podem fracções de classes diferentes representar o mesmo número

fraccionário?

12- Se tiveres de comparar as fracções 4

1 e

40

10, como o farias?


97

Conclusões do Capítulo II

• A alternativa metodológica que se propõe agrupada em acções dirigidas

ao desenho do processo de ensino – aprendizagem do conceito de

números fraccionários representa uma solução ao problema identificado

e potencializa a elevação da qualidade de ensino-aprendizagem do

mesmo conceito.

• A alternativa pode constituir um modelo a utilizar pelos professores de

Matemática dos distintos níveis de ensino, para leccionar outros

conceitos da disciplina, cumprindo assim com as exigências do ensino

da Matemática de forma geral e da reforma curricular, a respeito da

apresentação e abordagem dos conteúdos Matemáticos.

• Com a alternativa pretende--se uma transformação do modelo tradicional

de ensino-aprendizagem ao modelo construtivista de ensino onde os

alunos são elementos activos do processo, participando da obtenção e

elaboração do conceito fracção quer no contexto contínuo, como

discreto, a representação de fracções na recta numérica, a equivalência

de fracções e elaboração do conceito números fraccionários como

classe de números.

• A aplicação da alternativa metodológica vai contribuir para a

minimização dos efeitos negativos dos obstáculos de ensino-

aprendizagem do conceito números fraccionário e possibilitar a elevação

da qualidade de ensino-aprendizagem dos conceitos


98

CAPÍTULO III- APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS. VALIDAÇÃO DA ALTERNATIVA METODÓLOGICA


99

CAPÍTULO III- APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS. VALIDAÇÃO DA

ALTERNATIVA METODÓLOGICA

Neste capítulo apresentam-se e analisam-se os dados do teste aplicado aos

alunos, do inquérito aos professores e espertos. Para facilitar a sua

compreensão foram organizados em tabelas e gráficos distribuídos em

diferentes categorias.

Em cada gráfico apresenta-se a referida análise.

3.1- População e Amostra

Para averiguar o problema levantado no trabalho utilizou-se a população dos

alunos da 6ª Classe, numa amostra de 293 alunos de três escolas do Lubango,

sendo duas do ensino público (Escola Mandume e 1º de Dezembro) e uma do

ensino privado (Colégio O Sol), correspondendo a dez turmas sendo seis do

período da manha e quatro do período da tarde.

O estudo contou com uma amostra de 27 Professores de diferentes escolas do

Lubango que leccionam a 6ª classe.

3.1.1- Caracterização das Amostras

3.1.1.1- Caracterização da Amostra dos alunos

Tabela. 2 Idade dos alunos segundo o Género

Género

Faixa etária Total 10 11 12 13 ou mais

Masculino 22 58 35 19 134

Feminino 41 72 30 16 159

Total 63 130 65 35 293

A idade de 11 anos foi a predominante no número total de 81 sujeitos, ou seja,

44,4% dos sujeitos tinham 11 (0nze) anos de idade, enquanto 21,5% tinham 10

(dez) anos e 22,5% tinham 12 (doze) anos de idade. Esta idade de 11 anos é a

esperada para a 6ª Classe do ensino primário obrigatório, uma vez que as

crianças normalmente entram para a primeira classe do ensino primário com 5

(cinco) anos de idade, com base na lei 13/01 de 31 de Dezembro. Ainda

constata-se que o género feminino com 54,3% dos sujeitos (159 alunos) é o

mais frequente. (Anexo 4, Tabelas 9 e 10).


100

Verifica-se que o intervalo das idades é a que vai de 10 a 14 anos. Idades

inseridas em dois estágios de desenvolvimento, segundo Piaget citado por

Lombardi (1998), idades onde as operações concretas prevalecem e começa o

pensamento lógico. O pensamento é estritamente ligado à realidade física. Por

volta dos 12 anos a criança inicia o quarto nível, Operações Formais, o

raciocínio, antes concreto, vai-se tornando abstracto. Contudo tais mudanças

não acontecem automaticamente, mas sim tem de ser motivadas pelas acções

do pensamento que por sua vez são fruto da actividade realizadas dentro de

contexto histórico-cultural (Vygotsky, 1991).

3.1.1.2 – Caracterização da Amostra dos Professores

Relativamente a amostra produtora de dados é constituída por 27 professores

que leccionam nas escolas do 1º ciclo a 6ª classe, escolhidos aleatoriamente,

onde 19 são do sexo masculino e 8 do sexo feminino.

As principais características estão apresentadas nas tabelas que se seguem:

Tabela 3: Características da amostra dos professores em função do Género,

Idade e Experiência Docente

Género

Idades Experiência docente

18 a 28 29 a 39 + 39 1 a 5 6 a 10 11 a 15 + 16

M 19 8 8 3 4 2 6 7

F 8 2 3 3 2 0 2 3

N 10 11 6 6 2 8 10

Legenda: N= Total de professores, M= Masculinos, F= Feminino


101

Tabela 4: Características da amostra dos professores em função da formação académica e profissional

Formação Ensino Médio

Ensino Superior

Total

Instituto

12ª 1º 2º 3º 4º Lic.

IMNE/EFP 6 6

IME 3 3

IMA 1 1

IMP 1 1

ISCED 7 3 4 14

Fac. Economia 2 2

Total 11 9 3 4 27

Legenda: IMNE- Instituto Médio Normal de Educação; EFP- Escola de Formação de

Professores; IME – Instituto Médio de Economia; IMA – Instituto Médio Agrário; IMP – Instituto

Médio de Pesca; ISCED – Instituto Superior de Ciências da Educação; Fac. Economia

Faculdade de Economia

3.2-Instrumentos

De acordo com a natureza de dados recolhidos para a verificação do problema

optou-se em construir como instrumentos:

- Um Inquérito aplicado aos professores com vista a obter informações sobre

as dificuldades de ensino/aprendizagem do conteúdo em referência. O mesmo

está dividido em duas partes, 1º a parte da identificação do professor e a 2ª a

parte do questionário, com 15 questões abertas.

- Um teste de conhecimento para avaliar os níveis de conhecimentos e das

dificuldades que os alunos têm do conteúdo ao longo da escolaridade.

3.2.1-Teste de Conhecimento

Para avaliar os níveis de conhecimentos dos alunos sobre o conceito em

análise optou-se em aplicar um teste de conhecimento, o mesmo foi submetido

ao teste alfa de Cronbach, de acordo com Larson e Farber (2004), o coeficiente

de alfa de Cronbach é um coeficiente de confiabilidade ou de consistência

interna de um instrumento.


102

O coeficiente alfa de Cronbach pode ser calculado para verificar a consistência

interna dentro de um único teste (Larson e Farber, 2004). Na presente

pesquisa, o coeficiente alfa de Cronbach foi determinado para verificar a

consistência interna dos itens que compunham a prova, de acordo com os

resultados indicados no anexo 5, para as questões contidas no teste (anexo 3),

encontrou-se Alfa = 0,7189 e Alfa padronizado por item = 0,7443, para o nível

de significância igual 0,05.

Para a construção do teste, ocorreu um ajustamento das questões aos

objectivos do trabalho. O mesmo foi constituído na base nas questões cujo

conteúdo é habitualmente leccionado na 5ª e 6ª Classes do ensino Primário,

ex- IIº Nível.

O teste aplicado aos alunos encontra-se apresentado no anexo 3. Ele tem 13

itens do tipo aberto, subdividida em tipos: necessidade das fracções, escritas

de fracções associadas a situações do quotidiano, identificação de fracções e

exercícios de aplicação de fracções.

3.2.2 - Resultados dos Alunos ao Teste de Conhecimento

Os dados foram recolhidos por meio de um teste (Anexo 3), estes foram

organizados tendo em conta os diferentes itens do teste. Para facilitar a sua

interpretação os alunos foram distribuídos pelas categorias de respostas:

respostas correctas, respostas parcialmente correctas, respostas erradas e

sem resposta. A classificação das respostas, permitiu verificar até que ponto os

alunos aprende a noção de número fraccionário e suas aplicações.

Em seguida descreve-se os resultados. (Anexo 6, tabela 11):

Relativamente à primeira questão verifica-se que 5 estudantes não reponderam

(1,7%), 33 erraram (11,2) e 255 acertaram a divisão de 4 por 2 e apresentaram

a resposta.

A segunda questão estava relacionada com a divisão de 2 por 4 partindo da

apresentação de objectos (chocolates por meninos) e teve-se: 44 alunos não

responderam (15,0%), 182 erraram (62,1%) e 13 acertaram (22,9%).

A terceira questão era semelhante à segunda, houve alteração somente nos

valores da divisão 3 por 5: 38 alunos não responderam (12,9%), 242 alunos

erraram (82,5%) e 13 alunos acertaram (4,5%).


103

Estas questões (2 e 3) enquadram-se na necessidade e surgimento das

fracções ou números decimais como forma de apresentação de valores não

inteiros (partes de unidades).

As repostas mais frequentes foram de “não é possível dividir” e outros armaram

a operação, mas não a efectuaram, também existiram alunos que não

mostraram o procedimento de dividir a figura e distribuir as partes pelos alunos,

mas ligaram um chocolate às crianças, ficando implícita a intenção de repartir o

todo em partes.

Estes resultados enfatizam o obstáculo epistemológico do conhecimento dos

números naturais, pois os alunos têm dificuldades de aceitar divisões em que o

dividendo é menos que o divisor.

A segunda parte do Teste era composta por cinco questões de identificação de

fracções como representantes do conceito números fraccionários

Na quarta questão foi apresentado um rectângulo previamente divido em 9

partes iguais e solicitou-se que pintassem 8 e escrevessem a respectiva

fracção e os seus resultados foram: 13 alunos não responderam (4,4%), 246

alunos acertaram parcialmente a questão (83,9%), isto é, pintaram a figura mas

não escreveram a fracção correspondente ou ainda escreveram uma fracção

que não correspondia aos valores. 34 (11,6%) alunos acertam a questão.

Quanto à quinta questão, os resultados foram: Sem resposta (11%), respostas

erradas (70,9%), parcialmente correctas (4,0%) e respostas certas (15%).

A sexta questão produziu os seguintes resultados: Respostas correctas (4%),

respostas parcialmente correctas (45,3%), erradas (33,1%) e sem resposta

(17,6%).

Na sétima questão, de ligação de uma figura às suas fracções obteve-se:

Repostas certas (5,1%), parcialmente certas (38,9%), erradas (34,1%) e sem

reposta (21,9%).

A oitava questão consistia na interpretação, identificação e comparação das

partes feitas na figura. As respostas foram: 11 respostas certas (3,7%), 45

respostas parcialmente correctas (15,4%), 189 alunos com respostas erradas

(64,5%) e 48 alunos não responderam (16,3%).


104

Deste grupo de questões relacionadas com a identificação, podemos destacar

os seguintes tipos de erros:

- Para a figura previamente dividida os alunos tem dificuldades em associá-la a

um valor, em outros casos procuraram encontrar a figura totalmente divida em

partes iguais para associá-la a um valor de acordo com os resultados contados

na mesma, o que pressupõe que a relação entre a representação simbólica e

as representações geométricas não são percebidas pela maioria dos alunos

(Obstáculo epistemológico -representação simbólica).

- O modelo de ensino usual é o que apresenta as figuras já divididas em partes

iguais e quando se foge deste, os alunos têm dificuldades em determinar as

partes omitidas e não associam a figura a uma ou mais fracções que

representa essa figura (Obstáculo didáctico – dupla contagem das partes).

A seguir tem-se o grupo de questões de realização do conceito número

fraccionário composta de duas questões.

Quanto à nona questão que consistia na localização de números (fracções ou

decimais) na recta numérica, obtiveram-se os seguintes resultados: 5 respostas

correctas (1,7%), 52 respostas parcialmente correctas (17,7%), 153 respostas

erradas (52,7%) e 83 respostas em branco (28,3%)

A décima questão produziu os seguintes resultados: 5 alunos acertaram

(1,7%), 18 alunos acertaram parcialmente (6,1%), 206 alunos erraram

completamente a questão (70,3%) e 64 alunos não responderam (21,8%)

Pode-se verificar nestas questões que os alunos não dominam o conceito

números fraccionários pois acreditamos que, se as perguntas tivessem sido

feitas de outra forma: “Que número representa os pontos e quais destes

números são iguais?” as repostas teriam sido diferentes pois os alunos já têm

trabalhado com unidades de medida e com números decimais e a ampliação e

simplificação de fracções, contudo não os agrupam em classes de

equivalência.

A 11ª, 12ª e 13ª questões eram de aplicação do conceito. Quanto à décima

primeira, obtiveram-se os seguintes resultados:

6 alunos acertaram na totalidade da questão (2%), 11 alunos acertaram

parcialmente (3,8%) 233 erraram (79,5%) e 38 alunos não responderam


105

(14,7%). Nesta questão houve a tendência de indicar as fracções 14

15 e

8

6 como

as maiores, acreditamos que houve uma prevalência da comparação dos

números naturais (Obstáculo identificado como modelo de referência).

12ª questão: Nenhum aluno acertou, 16 alunos acertaram parcialmente (5,4%)

e 239 erraram (81,6%) e 38 não responderam (13%). Considerou-se como

respostas parcialmente correcta aquelas em que os alunos retiraram os dados

do problema e não indicaram a operação, ou não a realizaram.

13ª questão: questões de adição e subtracção de fracções (aplicação do

conceito número fraccionário), verificaram-se os seguintes resultados: 57

alunos acertaram na totalidade (20%), 62 alunos acertaram parcialmente (21%)

e 138 alunos erraram (47%). Nesta questão, em relação às outras duas de

aplicação do conceito, o número de acertos aumentou mostrando que o ensino

privilegia as questões de cálculo em relação às questões de compreensão, isto

é, seguem-se as regras de forma autómata. (Dados disponíveis no anexo 6)

3.3 - Inquérito de Opiniões para os Professores

Elaborou-se também um inquérito, aplicado aos professores, contendo 15

perguntas abertas afim inquerir aqueles agentes sobre os materiais que usam

nas aulas sobre ensino de números fraccionários, seus conhecimentos e as

dificuldades que encontram. (Anexo 1)

3.3.1-Apresentação e Análise dos Resultados ao Inquérito Aplicado aos

Professores

Para a análise dos resultados do inquérito aplicado aos professores (Anexo 1)

optou-se por apresentar o total de frequência das respostas organizadas em

grupos tipificados de acordo com a qualidade das respostas (Anexo 2, tabela

8):

Na primeira questão, que indagava o uso do guia metodológico na preparação

das aulas, 24 professores responderam que não pois não o possuíam, 2

disseram que sim, citando as reuniões pedagógicas e 1 não respondeu.


106

Quanto à segunda questão, todos os professores responderam que usam o

manual da classe e destes 3 (11%), indicaram também outros livros que também

usam como suporte.

Na terceira, grande parte aludiu ao modelo parte/todo como forma de

introdução das fracções e referiu o que o mesmo é feito na 5ª classe. Aqui

destacamos que os professores na 6ª classe já não procuram mostrar a

necessidade das fracções, seguindo directamente com o conteúdo da classe

de forma abstracta.

Na quarta pergunta, os professores disseram que sim, mas nem todos

fundamentaram porquê. Os que o fizeram realçaram o conhecimento por parte

dos alunos das operações com os números naturais como base.

Quanto à quinta pergunta, os professores foram unânimes em dizer que a

definição de fracção é clara, contudo a de número fraccionário não.

Quanto ao uso de material concreto nas aulas, sexta questão, 6 professores

disseram que sim e os demais não, justificando que os alunos já o fizeram em

classes anteriores.

Na sétima questão, relacionamento das fracções com alguma operação, os

professores responderam que sim, mas somente doze responderam ser a

divisão, mas também não explicaram o tipo de relação entre a divisão e as

fracções.

Como o professor introduz a equivalência de fracções, é o que se pedia oitava

questão. A que todos responderam que era a partir da simplificação e

ampliação de fracções.

O uso das fracções no dia-a-dia constitui a nona questão, alguns professores

responderam que sim e indicaram a leitura das horas (falta ¼ para ..., meia

hora) como o que mais utilizam. Contudo também houve professores que

disseram que não, por não ter aplicação directa.

Na décima questão, perguntou-se o que é o número fraccionário. As repostas

são fracções; são fracções equivalentes e são fracções da mesma classe,

foram as que mais apareceram.

Na décima primeira questão, todos os professores afirmaram que os alunos

tem dificuldades (Obstáculos) na aprendizagem de fracções e apontam a falta


107

de “bases” como a mais frequente, outros afirmam que os alunos não sabem

dividir e utilizar instrumentos como réguas e compassos.

As características dessas dificuldades (obstáculos) constituíam a décima

segunda questão, grande parte dos professores não respondeu a mesma,

somente dois apresentaram a compreensão e interpretação dos significados

dos elementos de uma fracção como dificuldades, “ os alunos não conseguem

reflectir rapidamente e que o denominador indica em quantas partes dividir a

unidades”.

Questionados de como procedem para superar tais dificuldades, grande parte

dos professores afirmou que fazem-no aplicando vários exercícios e tarefas

para casa.

Na décima quarta, todos os professores afirmam que diriam aos alunos que

estão errados e justificaram recordando as regras para a adição/ subtracção de

fracções e o cálculo do mínimo denominador comum.

Na décima quintas questão, os professores limitaram-se a dizer quais as

repostas apontadas considerariam como certas, os que justificaram apontam

apenas a primeira resposta do primeiro aluno como certa e as demais erradas

porque as divisões das figuras não correspondiam aos denominadores

apresentados.

Em síntese, os dados recolhidos permitem interpretar o seguinte:

Não existe um guia metodológico para a orientação dos professores na

preparação das aulas

Os professores apoiam-se fundamentalmente no manual da classe para

a preparação das aulas e afirmam que o conceito “número fraccionário”

não é claro.

Poucos são os professores que usam manipulativos para levar os alunos

a compreenderem as noções de fracção e número fraccionário,

alegando que o mesmo já foi feito em classes anteriores.

Os professores reconhecem que os alunos apresentam dificuldades no

trabalho e interpretação dos números fraccionários, embora não tenham

indicado as manifestações de tais dificuldades.


108

Os professores apresentam definições diversas de número fraccionário,

note-se que algumas delas nada têm a ver com a definição de número

fraccionário.

Os resultados demonstram que existe um acentuado grau de dificuldade na

interpretação do tema a partir da noção, definição e nas aplicações do conceito

de número fraccionário por parte dos professores e daí a justificação da

necessidade de apresentação da presente proposta como uma solução do

problema.

3.4-Validação da Alternativa Metodológica

A validação qualitativa da proposta metodológica foi feita pelo método de

Delphi (critério de Validação pelos peritos) tida como útil para investigações

pedagógicas, Sungo (2007).

Durand citado por Grelo (2009) definiu perito como:

Os peritos foram consultados individualmente, mediante inquérito (Anexo 7),

com o objectivo de obter uma valorizações e opiniões sobre as discrepâncias.

Para tal, metodologicamente, seguiram-se três fases:

1. A elaboração do questionário;

2. Selecção dos Peritos a inquirir;

3. A recolha, análise e interpretação dos dados.

Par que um profissional se assuma como perito numa dada temática, requer

um certo nível de competência demonstrada. Este nível de competência pode

ser dado pelo coeficiente K, calculado a partir da sua própria opinião sobre o

“É um indivíduo, um grupo de indivíduos ou uma organização capazes

de oferecer valorização conclusivas de um problema e fazer

recomendações a respeito dos seus momentos fundamentais com um

máximo de competência.”


109

seu grau de conhecimentos acerca do problema e das fontes que permitem

argumentar os seus critérios, dado pela fórmula )(2

1aC

KKK , onde:

C

K indica o coeficiente de conhecimentos do perito sobre o problema e cujo

valor é determinado multiplicando por 0,1, o valor do nível de informação

quanto ao problema tratado, dado pelo próprio perito numa escala de zero a

dez (onde zero indica o nível mais baixo e dez o pleno conhecimento do

assunto);

aK indica o coeficiente de argumentação ou informação do perito a partir das

fontes padronizadas (Anexo 8, tabela 12).

3.4.1- Selecção dos Peritos

Foram seleccionados dezoito (18) profissionais da educação das áreas de

Matemática e Pedagogia do Instituto Superior de Ciências da Educação

(ISCED), da Escola de Formação de Professores e coordenadores de

Matemática das escolas do I ciclo do Lubango.

Foram excluídos cinco (5), dois (2) por abstenção a respostas do inquérito e

três (3) por coeficiente de conhecimento baixo, ficando apurados treze (13)

peritos.

Esta selecção baseou-se nas respostas ao teste de auto-avaliação do perito

(Anexo 10 tabela 15), tendo em conta os seguintes aspectos:

(1) Anos de experiência e docência, (2) categoria do professor, (3) Grau

cientificam, (4) Centro onde trabalha, (5) cargo que ocupa e (6) coeficiente de

competência em relação ao tema da pesquisa (Anexo 8, tabela 13 e anexo 9,

tabela 14).

3.4.2- Caracterização dos peritos

Os peritos seleccionados apresentam as seguintes características:

- Tempos de experiência profissional – Doze (12) peritos, têm mais de 20 anos

de trabalho e um (1) com mais de 10 anos.

- Grau científico – Dois (2) são Doutorados, seis (6) são mestrados e cinco (5)

são licenciados em Ensino de Matemática.


110

- Coeficiente de competência – foi tomado o nível alto como revelam os valores

de todos os peritos, conforme a tabela seguinte:

Tabela 5 : Coeficiente de competência dos peritos

Perito Kc Ka K Nível de Competência

1 1,0 1,00 1,000 Alto

2 1,0 1,00 1,000 Alto

3 0,8 1,00 0,900 Alto

4 0,9 1,00 0,950 Alto

5 0,8 1,00 0,900 Alto

6 0,9 1,00 0,950 Alto

7 1,0 1,00 1,000 Alto

8 1,0 1,00 1,000 Alto

9 1,0 1,00 1,000 Alto

10 1,0 1,00 1,000 Alto

11 0,9 0,95 0,925 Alto

12 0,9 0,95 0,925 Alto

13 0,9 0,95 0,925 Alto

De realçar que os limites de avaliação da competência dos peritos são:

Se 5.00 K o coeficiente de competência é Baixo;

Se 8.05.0 K o coeficiente de competência é Médio;

Se 0.18.0 K o coeficiente de competência é Alto.

3.4.3- Valorização Teórica da Efectividade da Alternativa Metodológica

Foram seleccionados como critérios de qualidade para a avaliação da proposta

metodológica os seguintes indicadores:

Os Objectivos

O modelo

As exigências de aplicação do modelo

Os métodos e meios de ensino

O conteúdo

A estratégia

O sistema de avaliação


111

Sobre estes critérios foram formuladas oito questões às quais os peritos

deveriam responder com base nas categorias: MA – muito Adequada; BA –

bastante adequada; A – adequada; PA – pouco adequada e NA – não

adequada.

Tabela 6: Avaliação feita por cada perito aos indicadores da proposta.

Perito I.1 I.2 I.3 I.4 I.5 I.6 I.7 I.8 I.9 I.10

1 A A A BA BA BA MA MA MA BA

2 BA A A A A A MA BA BA A

3 PA PA A A A BA A A A BA

4 BA BA PA BA A MA A MA PA A

5 BA BA BA BA BA BA MA BA BA BA

6 BA BA BA BA BA A BA BA BA BA

7 MA MA MA NA PA BA A MA A PA

8 MA A A A A MA BA MA A MA

9 BA MA MA A MA MA MA MA MA MA

10 A MA BA BA A A MA MA A PA

11 MA MA BA MA A A BA MA BA A

12 MA BA MA A MA BA MA MA MA MA

13 BA BA A BA A BA BA A A A

Estes resultados foram organizados em tabelas de frequência absolutas

(Tabela 16), frequência absolutas acumuladas (Tabela 17) e frequências

relativas acumuladas (Tabela 18) todas do anexo 11.

Usando o critério de normalidade foram determinados os valores das

probabilidades numa distribuição normal que a seguir se apresentam:

Tabela 7: Limites de categoria e pontos de corte

Nº Aspectos MA BA A PA NA Soma P N-P

1 I.1 -0,50 0,73 1,43 3,90 3,90 9,46 1,89 0,03

2 I.2 -0,50 0,50 1,43 3,90 3,90 5,33 1,85 0,08

3 I.3 -0,74 0,10 1,43 3,90 3,90 4,69 1,72 0,21

4 I.4 -1,43 0,10 1,43 1,43 3,90 1,53 1,09 0,84

5 I.5 -1,02 -0,27 1,43 3,90 3,90 4,04 1,59 0,34

6 I.6 -0,74 0,50 3,99 3,90 3,90 7,65 2,31 -0,38

7 I.7 -0,10 0,73 3,99 3,90 3,90 8,52 2,48 -0,56

8 I.8 0,21 1,02 3,99 3,90 3,90 9,12 2,60 -0,68

9 I.9 -0,74 0,10 1,43 3,90 3,90 4,69 1,72 0,21

10 I10 0,74 0,10 1,43 3,90 3,90 6,17 2,01 -0,09

Soma -4,82 3,61 21,98 36,53 39,00 55,03

Pontos de Corte -0,48 0,36 2,20 3,65 3,90 1,93


112

Os pontos de corte a considerar são os pontos que se apresentam no gráfico

abaixo:

MA BA A PA NA

-0,48 0,36 2,20 3,65 3,90

Ao analisar cada uma das questões, verifica-se que dos dez indicadores dois

(2) estão na faixa Muito Adequada (I.7 e I.8), sete (7) indicadores estão na faixa

Bastante Adequada (I.1; I.2; I.3; I.5; I.6; I.9 e I.10) e um (1) indicador (I.4) na

faixa de Adequada.

Estes resultados provam que existem evidências suficientes para se considerar

a proposta metodológica válida para a sua aplicação no processo de ensino-



113

Conclusões do Capítulo III

Em relação aos alunos constatou-se que existem dificuldades na

compreensão de noção, necessidade, identificação e aplicação do

conceito números fraccionários nas suas diversas manifestações o que

prova que existe uma acção dos obstáculos identificados no processo de

ensino-aprendizagem deste importante conceito.

Em relação aos professores, constatou-se que não recorrerem ao uso de

manipulativos como forma de concretização dos temas propostos,

seguindo uma linha de ensino completamente abstracta o que reforça a

acções dos obstáculos de ensino-aprendizagem, por um lado. Por outro

verificou-se que os próprios professores apresentam dificuldades em

interpretar e aplicar o conceito.

A auto-avaliação dos peritos mostrou que possuem uma alta

competência para a validação da proposta metodológica.

As respostas e sugestões dos peritos permitem concluir que a

implementação da proposta metodológica contribuirá para o

melhoramento e diminuição da acção dos obstáculos do ensino-

aprendizagem do conceito número fraccionários.


114

CONCLUSÕES GERAIS

A busca dos problemas em relação às dificuldades de aprendizagem em

Matemática e as possíveis soluções para reverter o quadro que remete à baixa

qualidade do ensino, requerem uma atenção em verificar como se vem

processando o ensino dessa disciplina nas escolas e a consciencialização da

importância da Matemática na vida de cada aluno.

Aprender Matemática significa mais que aprender técnicas ou memorizar

regras. É além de tudo interpretar, construir ferramentas conceituais, criar

significados, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber e

projectar.

Para alcançar todas essas habilidades matemáticas, é necessário que ocorra

uma aprendizagem significativa por parte dos alunos. É por isso que as

actividades propostas pelo professor em sala de aula têm que ser significativas

a fim de promover a aprendizagem. Ao privilegiar um ensino que dê a

oportunidade ao aluno de participar do processo de aprendizagem de forma

activa e dinâmica, a partir de diferentes tipos de experiência, que o leve a

construir significados, este, por sua vez, é capaz de atribuir mais sentido as

actividades realizadas, constituindo um agente do seu processo de

aprendizagem.

É importante, pois, salientar que a aprendizagem de qualquer conteúdo por

parte do aluno requer uma fase inicial exploratória e concreta. Antes de adquirir

abstracções e generalizações matemáticas, a criança precisa manipular e

visualizar diferentes tipos de materiais, trabalhar com diferentes situações e

problemas que o levem a adquirir abstracções posteriores. Essa fase

exploratória e concreta é fundamental para a construção de significados e a

formulação de conceitos sobre os números fraccionários.

Concluído o estudo do tema “ Uma Alternativa Metodológica para o Processo

de Ensino-Aprendizagem do Conceito Número Fraccionário na 6ª Classe do

Ensino Primário” e de acordo com os resultados que se obtiveram, deduziram-

se as seguintes conclusões:


115

1- O conceito de fracção é bastante complexo e possui diferentes

interpretações que se relacionam e que tem por objectivo sustentar o

conceito de número fraccionário;

2- Com a aplicação dos métodos de investigação, pode-se saber que:

Há a tendência ao uso de algoritmos em detrimento de um trabalho

construtivo do conceito com representações de figuras;

O processo de ensino – aprendizagem do conceito de número

fraccionário, basea-se no método tradicional onde os alunos são

elementos passivos no processo de abordagem metodológica de

transmissão e recepção da informação;

Os fundamentos psico-pedagógicos e didácticos que influem no

processo de ensino-aprendizagem do conceito de número fraccionário

não são empregues;

3- Os obstáculos de ensino-aprendizagem estão presentes em todos os

temas relacionados com o conceito de número fraccionário, daí a

necessidade de investigar como transformar a aprendizagem formal

deste conceito numa aprendizagem consciente e desenvolvedora;

4- A alternativa metodológica que se apresenta, para elevar a qualidade de

ensino-aprendizagem e minimizar os efeitos dos obstáculos encontrados

no processo de ensino do conceito número fraccionário, fazendo uso de

métodos activos e procedimentos (uso de materiais concretos em sala

de aula), demonstrou ser exequível e pertinente segundo a avaliação

positiva realizada pelos peritos;

5- A alternativa metodológica possibilita que:

Os professores que leccionam a 6ª classe tenham um guia em que se

possam apoiar para a elaboração deste conceito, privilegiando a

participação activa dos alunos.

Os alunos podem desenvolver o pensamento reflexivo e abstracto

mediante a inclusão nas aulas do uso de manipulativos e de exercícios

complementares, sustentados pelas etapas de formação de acções

mentais.


116

RECOMENDAÇÕES

- Que no ensino do conceito de número fraccionário se faça o uso de

manipulativos (material concreto) pois é fundamental para o entendimento das

ideias fraccionárias por parte dos alunos, porque os manipulativos ajudam na

construção de referenciais mentais que capacitam os alunos a desempenhar

significativamente as tarefas.

- As escolas onde se lecciona a 6ª classe devem organizar aulas

metodológicas (uniformização dos métodos, procedimentos a utilizar…) para

professores de forma a superar e promover a qualidade de ensino-

aprendizagem da Matemática em geral e do conceito número fraccionário em

particular.

- Realizar experiências pedagógicas que permitam avaliar a eficácia da

proposta metodológica e sua possível generalização a nível do ensino em

Angola.


117

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127

ÍNDICE

0- INTRODUÇÃO ............................................................................................... 2

0.1- IMPORTÂNCIA SOCIAL E ACTUALIDADE DA INVESTIGAÇÃO .............................. 4

0.2-ANTECEDENTES .......................................................................................... 4

0.3- IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA .................................................................... 5

0.4- JUSTIFICAÇÃO DA INVESTIGAÇÃO ................................................................. 8

0.5- OBJECTO DE ESTUDO ................................................................................. 8

0.6- OBJECTIVOS DO ESTUDO ............................................................................ 8

0.7- CAMPO DE ACÇÃO...................................................................................... 8

0.8- HIPÓTESE DE INVESTIGAÇÃO ....................................................................... 9

0.8.1- VARIÁVEIS .............................................................................................. 9

0.9- AMOSTRAS ................................................................................................ 9

0.10- TAREFAS DE INVESTIGAÇÃO ...................................................................... 9

0.11- PROCEDIMENTOS DA INVESTIGAÇÃO ........................................................ 10

0.11.1- DEFINIÇÃO DA OPÇÃO METODOLÓGICA ................................................. 10

0.11.2- MÉTODOS ........................................................................................... 10

0.12- ESTRUTURA DO TRABALHO ...................................................................... 11

CAPITULO I - CARACTERIZAÇÃO DO PROCESSO DE ENSINO -

APRENDIZAGEM DO CONCEITO NÚMEROS FRACCIONÁRIO ................... 14

1.1-BREVE HISTORIA DOS NÚMEROS FRACCIONÁRIOS ....................................... 14

1.1.1-DEFINIÇÕES .......................................................................................... 15

1.1.2-TIPOS DE FRACÇÕES .............................................................................. 16

1.1.3- O CONCEITO DE NÚMERO FRACCIONÁRIO ............................................... 17

1.1.3.1- NOÇÃO DE FRACÇÃO .......................................................................... 17

1.1.3.2- FRACÇÃO COMO PARTE DE UM TODO .................................................... 17

1.1.3.3- FRACÇÃO COMO QUOCIENTE DECIMAL .................................................. 18


128

1.1.3.4- FRACÇÃO COMO OPERADOR ................................................................ 19

1.1.3.5- FRACÇÃO COMO PONTO SOBRE UM EIXO .............................................. 20

1.1.3.6- NOÇÃO DE NÚMERO FRACCIONÁRIO ..................................................... 20

1.2- ABORDAGEM DIDÁCTICO - METODOLÓGICO DO CONCEITO DE NÚMERO

FRACCIONÁRIO PROPOSTA NO PROGRAMA E MANUAIS UTILIZADOS COMO RECURSO

DIDÁCTICO ..................................................................................................... 21

1.2.1- A PROPOSTA CURRICULAR ..................................................................... 21

1.2.1.1- ESTRUTURA DO PROGRAMA DA CLASSE ............................................... 22

1.2.1.2- OBJECTIVOS DE ENSINO/APRENDIZAGEM DO CONCEITO “NÚMERO

FRACCIONÁRIO” NA 6ª CLASSE ......................................................................... 22

1.2.2 - A DOSIFICAÇÃO DO CONTEÚDO NO PROGRAMA DA 6ª CLASSE ................. 23

1.2.3– O MANUAL DA 6ª CLASSE ...................................................................... 24

1.2.4- O ENSINO DE FRACÇÕES NOS MANUAIS DIDÁCTICOS ............................... 24

1.2.5- CRÍTICA AOS MANUAIS SOBRE A APRESENTAÇÃO DAS FRACÇÕES ............. 25

1.3 – NOÇÃO DE OBSTÁCULOS NO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM ......... 27

1.3.1- OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS NO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM

DOS NÚMEROS FRACCIONÁRIOS ....................................................................... 28

1.3.2- OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS NO PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DOS

NÚMEROS FRACCIONÁRIOS .............................................................................. 31

1.3.3- OBSTÁCULOS ONTOGÉNICOS NO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM DOS

NÚMEROS FRACCIONÁRIOS .............................................................................. 32

1.4- CARACTERIZAÇÃO EPISTEMOLÓGICA, PEDAGÓGICA E PSICOLÓGICA DO

PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DO CONCEITO NÚMERO FRACCIONÁRIO .. 32

1.4.1- APRENDIZAGEM .................................................................................... 34

1.4.1.1- CONCEITO DE APRENDIZAGEM ............................................................ 34

1.4.2- A APRENDIZAGEM COGNITIVA E SUA DIMENSÃO ....................................... 35

1.4.3- O CONSTRUTIVISMO E A APRENDIZAGEM ................................................. 39

1.4.4- O PAPEL DO CONCEITO NA APRENDIZAGEM ............................................ 40

1.4.5- A CONSTRUÇÃO DO SIGNIFICADO COMO BASE DA APRENDIZAGEM DE

CONCEITOS .................................................................................................... 41

1.5- O ENSINO DE CONCEITOS EM MATEMÁTICA ................................................ 42

1.5.1 – CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO FRACCIONÁRIO ...................... 44

1.6 – MODELO DE ENSINO DE CONCEITOS EM MATEMÁTICA ............................... 47


129

1.7 – SITUAÇÃO ACTUAL DO PROBLEMA DE INVESTIGAÇÃO ................................. 50

1.7.1- CONCEPÇÕES ESPONTÂNEAS DOS PROFESSORES ................................... 51

1.7.2- RESULTADOS DO TESTE APLICADO AOS ALUNOS ...................................... 52

1.7.3-CONCLUSÕES RETIRADAS DO TESTE ........................................................ 54

CONCLUSÕES DO CAPITULO I ........................................................................... 55

CAPÍTULO II- ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA O ENSINO DO

CONCEITO DE NÚMERO FRACCIONÁRIO. .................................................. 57

2.0-INTRODUÇÃO ............................................................................................ 57

2.1-EXIGÊNCIAS PEDAGÓGICO-METODOLÓGICA PARA A ELABORAÇÃO DO MODELO

EM QUE SE APOIA A ALTERNATIVA ..................................................................... 58

2.2- ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA MINIMIZAR OS EFEITOS DOS OBSTÁCULOS E

MELHORAR A FORMAÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO FRACCIONÁRIO .................... 63

2.2.1- O PROBLEMA ........................................................................................ 64

2.2.2- OBJECTIVOS ......................................................................................... 64

2.2.3- OS MÉTODOS ........................................................................................ 64

2.2.3.1- OS MEIOS ......................................................................................... 65

2.2.4- O CONTEÚDO ........................................................................................ 65

2.2.5- CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTAIS DA ALTERNATIVA METODOLÓGICA. ETAPAS

DA PROPOSTA ................................................................................................. 66

A PROPOSTA APRESENTA COMO CARACTERÍSTICAS: ........................................... 66

2.3- EXEMPLO DA APLICAÇÃO DA ALTERNATIVA METODOLÓGICA ........................ 76

CONCLUSÕES DO CAPÍTULO II .......................................................................... 97

CAPÍTULO III- APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS. VALIDAÇÃO DA

ALTERNATIVA METODÓLOGICA .................................................................. 99

3.1- POPULAÇÃO E AMOSTRA .......................................................................... 99

3.1.1- CARACTERIZAÇÃO DAS AMOSTRAS ......................................................... 99

3.1.1.1- CARACTERIZAÇÃO DA AMOSTRA DOS ALUNOS ....................................... 99

3.1.1.2 – CARACTERIZAÇÃO DA AMOSTRA DOS PROFESSORES ......................... 100

3.2-INSTRUMENTOS ...................................................................................... 101

3.2.1-TESTE DE CONHECIMENTO ................................................................... 101


130

3.2.2 - RESULTADOS DOS ALUNOS AO TESTE DE CONHECIMENTO ..................... 102

3.3 - INQUÉRITO DE OPINIÕES PARA OS PROFESSORES .................................... 105

3.3.1-APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS AO INQUÉRITO APLICADO AOS

PROFESSORES ............................................................................................. 105

3.4-VALIDAÇÃO DA ALTERNATIVA METODOLÓGICA ........................................... 108

3.4.1- SELECÇÃO DOS PERITOS ..................................................................... 109

3.4.2- CARACTERIZAÇÃO DOS PERITOS ........................................................... 109

3.4.3- VALORIZAÇÃO TEÓRICA DA EFECTIVIDADE DA ALTERNATIVA METODOLÓGICA

................................................................................................................... 110

CONCLUSÕES DO CAPÍTULO III ....................................................................... 113

CONCLUSÕES GERAIS................................................................................ 114

RECOMENDAÇÕES ...................................................................................... 116

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 117


131

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Recta numérica e representação de fracções ………………………………….. 16

Figura 2: Relacionamento entre a representação no modelo contínuo e discreto de

fracções…………………………………………………………………………………………….

18

Figura 3: Representação no modelo contínuo e discreto de fracções impróprias …..…… 18

Figura 4: Fracção como operador …………………………………………………………… 19

Figura 5:Fracções como operador de uma fracção designada por Dickson como

operador/área……………………………………………………………………………………

19

Figura 6: Analogia entre a situação a duas dimensões e situação unidimensional………. 20

Figura 7: Interpretação da noção de número fraccionário com base na interpretação de

Vergnound ………………………………………………………………………………………

21

Figura 8: Dimensões fundamentais do processo de aprendizagem atribuídas por

Ausubel…………………………………………………………………………………………..

36

Figura 9: Aprendizagem significativa e aprendizagem mecânica, segundo Dal Medico... 38

Figura 10: Nível de acertos dos alunos as questões de identificação das fracções……… 53

Figura 11: Respostas dos alunos nas questões de definição do conceito número

fraccionário ………………………………………………………………………………………

53

Figura 12: Mapa conceitual de conhecimentos que os alunos precisam revelar…..…… 60

Figura 13: Estrutura do modelo da proposta metodológica de ensino do conceito

números fraccionário…………………………………………………………………………….

63

Figura 14: Esquema resumo da obtenção do conceito número fraccionário, elaboração

de actividades para os alunos ……………………………………………………...…………..

71


132

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1: Formas de Fixação do conceito segundo Jungk ………………………………… 50

Tabela 2: Idades dos Alunos segundo o género …………………………………………… 97

Tabela 3: Características da amostra dos professores em função do género, idade e

experiencia docente …………………………………………………………………………………

98

Tabela 4: Características da amostra dos professores em função da formação académica e

profissional ………………………………………………………………………………….

99

Tabela 5: Coeficiente de competência dos peritos ………………………………………… 108

Tabela 6: Avaliação feita por cada perito aos indicadores da proposta …………………… 109

Tabela 7: Limites de categoria e pontos de corte ………………………………………… 109

aprendizagem do conceito números fraccionários por augusto rasga

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