números negativos 7ºano escola ebi de insua. os números negativos operações com números...

Números Negativos

7ºAno

Escola EBI de

INSUA

Os Números Negativos

Operações com números inteiros relativos

11 de abril de 20233

Origem e Evolução dos Números

Os números nasceram da necessidade de contar coisas, sendo os símbolos numéricos usados para registar resultados de contagens.Podemos imaginar o homem primitivo a contar as cabras do seu rebanho e a registá-las através de marcações em ossos ou em troncos de árvores.

Desta forma se controlavam pequenas quantidades.


Origem e Evolução dos Números (cont.)

Com a evolução das sociedades, tornou-se necessário representar números maiores.

Por exemplo:

Significava 1 Significava 5

Significava 20(20 dedos de uma pessoa)


Origem e Evolução dos Números (cont.)

No sistema de numeração actual, usamos apenas 10 símbolos:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Estes símbolos (algarismos) ocupam as posições adequadas para formar os diferentes

números.

Com apenas 10 símbolos pode escrever-se qualquer número, por maior que seja, e mesmo os grandes números se escrevem com poucos algarismos.


Aperceber-te-ás, então, que os números naturais (1,2,...) não são suficientes para representar os movimentos do elevador, sendo necessário recorrer a outros números -

Os Números Negativos

Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar.

Apartamento 4

Escritórios 3

Cabeleireiro 2

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?os negativos.


Os Números Negativos (cont.)

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no

botão ...

Cabeleireiro ?2



Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Qual te parece ser o andar do ginásio?

Cabeleireiro 2

-1



Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem ?

LavagemAutomática

?

E o andar da garagem?

Cabeleireiro 2

-2



Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem -2

LavagemAutomática

?

E o da estação das lavagens automáticas?

Cabeleireiro 2

-3



Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem -2

LavagemAutomática

Cabeleireiro 2

-3

Serão os números naturais os mais adequados para os andares subterrâneos?

Algumas situações não se podem exprimir somente com os números naturais. A partir de agora utilizaremos uns novos números que nos resolvem o problema:

os números negativos

-3

-2

-1



Chamamos números negativos a todos os que estão abaixo de zero.Os números negativos escrevem-se com o símbolo menos antes.Assim os diferenciamos dos positivos.

-5, -4, -3, -2, -1...,

Quando um número não leva sinal nenhum antes, entendemos que é positivo:

5=+5

+16=16



Quando se efectuam operações com números negativos, estes escrevem-se entre parêntesis:

O número positivo 8 a somar com o número negativo –3.

8 + (-3)

(-5) x (-2) O número negativo –5 a multiplicar com o número negativo –2.

Mais adiante aprenderás a obter o resultado destas operações.



NOTA

Os números que se escrevem com o sinal + são os números positivos.

Exemplos: +3; +2; +1,99; ...

Os números que se escrevem com o sinal - são os números negativos.

Exemplos: - 2; - 4; - 3; - 6; ...

É costume chamar números relativos aos números positivos, aos números negativos e ainda ao zero.

Representa-se por Z o conjunto dos números inteiros relativos.


A Utilidade dos Números Positivos e Negativos

1. Do andar em que se encontra o elevador do edifício, posso subir a pisos superiores ou descer a outros pisos inferiores:

- 4

+5•Subo cinco andares:

•Desço quatro andares:



2. O saldo de uma conta do banco aumenta (+) com os depósitos e diminui (-) com os levantamentos.

+ € 20• A Carminho tem vinte euros:

• O Ernesto deve três euros: - € 3



3. O termómetro pode marcar uma temperatura acima de zero (+8) ou abaixo de zero (-5).



4. O número de pessoas que viajam num autocarro varia em cada paragem:

+ 10 pessoas•Sobem 10 pessoas:

•Descem 14 pessoas: - 14 pessoas


e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem.

Representação na RectaOs números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem ser representados numa recta por meio de pontos.Consideremos uma recta r

Escolhemos uma unidade de medida

O r1

e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita).

Desta maneira obtemos um eixo.

+-


Representação na RectaSe quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O.

Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.

+- O +1

+- O +1

+5

A

-3B


Representação na RectaO número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto.

+5

A+- O +

1-3B

A abcissa de A é +5A abcissa de B é -3

A origem tem abcissa zero.

Nota: O Eixo é uma recta orientada .


OrdenaçãoQuando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados.Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar.

2 3 4 50 1-1-2-3

Cada vez maior


OrdenaçãoVemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos:

2 3 4 50 1-1-2-3

+ 5 > + 2

Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever:

+ 2 < + 5

Isto é, a > b é o mesmo que b < a


OrdenaçãoDa observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes:

•Qualquer número positivo é maior do que zero.

•Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo.

+ 0,012 > 0

0 > - 35

+1 > - 35

+ 0,5 > - 100;

•Zero é maior que qualquer número negativo.


Valor Absoluto (ou Módulo)Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2.

A distância do ponto B à origem é 2.

2 3

A

4 50 1-1-2

B

-3

A distância do ponto A à origem é 3.

2 3

A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.


Valor Absoluto (ou Módulo)Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos:

Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse

número.

Portanto, temos ainda que

+3 = 3

-2 = 2

0 = 0

Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero:


Valor Absoluto (ou Módulo)NOTA

•O próprio número, se ele for positivo ou zero.

+3 = 3

-2 = 2

0 = 0

O valor absoluto de um número é:

•O seu simétrico, se ele for negativo.


Números SimétricosRelativamente à origem da recta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja,

- 4 = 4

Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.


Números Simétricos

Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo

valor absoluto.

Exemplos de números simétricos: - 0,3 = 0,3- 0,3 e 0,3 porque

1 e - 1 porque 1 = -1

Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero:

0 = 0



Observação

1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem).

Exemplos:

+ 100 > + 40

+ 0,5 > + 0,1

2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem).

Exemplos:

- 0,01 > - 10

- 3 > - 50



PropriedadeO simétrico do simétrico de um número é o próprio número.

Exemplos:

- (- a) = + a = a

- (- 3) = + 3

Esta propriedade permite simplificar expressões como:

- (- 8) = + 8 , o simétrico de – 8 é + 8

- (+ 8) = - 8 , o simétrico de + 8 é - 8



Simplificação da escritaNa recta também se escreve 1,2,3,..., em vez de +1,+2,+3,...

+ (- 8) = - 8+ (+ 8) = + 8

Também:

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Não é obrigatório escrever o sinal +



Concluindo

•Valor absoluto da abcissa de um ponto é a distância à origem.

•Dois números que têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários são números simétricos.

- (- a) = + a = a

+ (- a) = - a

; - (+a) = - a

; + (+a) = + a = a

•



Nota

Na recta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

-2 é maior que - 4 - 2 > - 4

2 é maior que - 1 - 1 é menor que 2

2 > - 1 - 1 < 2

> maior

< menor

ou


Números Inteiros RelativosNa Natureza encontramos 1 árvore, 2 árvores, 3 árvores, ...

Os números 1,2,3,... são os números naturais.

O conjunto dos números naturais representa-se pela letra maiúscula N com um traço, para distinguir da letra normal.

IN = {números naturais} = {1,2,3,4,5,...}

INo = {0,1,2,3,4,5,...} = IN U {0}

é o conjunto dos númerosinteiros não negativos.


IN C INo C

Z

Números Inteiros RelativosComo já sabes, existem números negativos, simétricos dos números naturais.Os números naturais, os seus simétricos e o zero, formam um novo conjunto:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}é o conjunto dos números

inteiros relativos.

IN

INo

ZZ INo

C

Significa

“está contido”

Significa

“contém”


1.Exemplo - 4 Z -1 IN

O símbolo Significa pertence

O símbolo Significa não pertence

2.Os símbolos (intersecção) e (reunião)

ZZZ 00 -={+1,+2,+3,...}={números inteiros positivos}Z

ZZ -INo

Z IN = IN

0 ZZ0

={...,-3,-2,-1}={números inteiros negativos}-Z

0 ZZ0;

onde,


Usando os símbolos ou completa:

Números Inteiros Relativos

Exercícios:

a) -1 IN ;

b) -3 Z ;c) 4 Z;d) -3 IN ; f) 0 Z.

e) 0 INo ;

2.2 Complete usando os símbolos C ou :

C

a) ;

Z Zb) ;

0Z-Z

C

C

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