apostila vga - 01 - 2012

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VETORES

Tipos de Grandezas:

• *Escalares: Definidas por apenas um n.º real acompanhada

de uma unidade adequada, comprimento, área, volume,

massa, temperatura, densidade.

• *Vetorial: Ficam completamente definidas, necessitá-seconhecer o modulo, sua unidade correspondente.

Caracteristicas:

• *O módulo, a direção e o sentindo de qualquer um dos seus

representantes indica: o módulo de v, |v|.

• Dois vetores U || v são paralelos, quando tem a mesma

direção.

• Vetores iguais u=v ( mesmos módulos, direção e sentido).

• Vetores da mesma direção e sentido.

u I u +v l

v

• Vetores da mesma direção de sentidos opostos.

u l u – v l

v

• Vetor unitário: | u |=1

Um vetor u que tem o mesmo sentido de v é chamado de vetor de

v. Ele não é vetor de v somente, mas sim de todos vetores



paralelos a ele, mesmo sentido e unidade.

Vetores Ortogonais

Operações com Vetores:

• Adição:

Sendo u // v

a)

b) Atenção : soma vetorial de sentidos opostos

c)



d)

e) O vetor u + ( -v ) , escreve-se u - v

Conclusão:



Multipicação de um nº por vetor:

• módulo | αv| = |α| . |v|

α: é um nº real.

• Direção: αv || v

• Sentido: αv e v ( tem o mesmo sentido) se α > 0

• αv e v ( tem sentidos contrários) α < 0

• se α=0 ou v=0, então αv=0

Obs: Caso particular de vetores: Para cada vetor v, v≠0, é possível

associar dois vetores unitários paralelos a v. O vetor unitário→

→v

v

.1

ou .→

→

v

v do mesmo sentido de v é o vetor de v.

Exemplo:

Se→

v =5 o seu versor .

5→

→

v

|v|=10, o vetor de -v é .

10

→

− v



Exercício 01:

Representados os vetores u, v, w, como na figura, obtenhagraficamente o vetor x, tal que:

Solução:

Ângulos entre dois vetores

O angulo entre dois vetores não-nulos u e v é o angulo α formado

entre duas semi-retas da mesma origem.



Vetores no plano: considere dois vetores não paralelos

Os vetores u, v, w, t, x ,y representados na figura, são expressos

em função de→

1v e

→

2v



O conjunto B=( v1 ; v2 ) é chamado base no plano.

Podemos representar o vetor como base ortogonais, nesse caso

simbolizados por →

i e→

j , ambos com origem em O.

A simbologia C(→

i ;→

j ), será conhecida como base canônica.

Representação v = x i +y j na base canônica

x i: abscissa de v

y j : ordenada de v

então v=(x ; y).

O par (v , y) é chamado de expressão analítica de v.

Ex: 3 i – 5 j=( 3 ; -5 ) -4i = ( -4 ; 0 )

3j = ( 0 ; 3 ) 0 = ( 0 ; 0 )

Igualdade de vetores:

Dados os vetores u = ( x1 ; y1 ) e v = ( x2 ; y2 )

Os vetores u e v serão iguais se { x1 = x2 } e { y1 = y2 }

,isto é, u = v



Operações com vetores:

Sejam os vetores u = ( x1

; y1

) e v = ( x2 ;

y2

) e α∈

R. Define-se:

I- u+v = ( x1+x2 ; y1+y2 )

II- αu = ( αx1 ; αy1 )

Ex.01

Dados os vetores u=( 2 ; -3 ) e v = ( -1 ;4 ) determine

a) 3u + 2v

3 (2 ;-3) + 2 (-1;4) = (6;-9) + (-2;8) = (6-2 ; -9+8) = ( 4; -1)

b) 3u -2v

3 (2;-3) -2 (-1;4) = (6;-9) + (2 ; -8) = (6+2 ; -9 - 8) = ( 8 ; - 17 )

Ex.02

Determine o vetor "x" na igualdade dados

u=(3;-1) e v=(-2;4)

Solução:

3x - x = 1\2 v - 2u

2x = 1\2 v – 2u

2x = 1\2 (-2,4) - 2 (3,-1)

2x = (-1,2) + (-6, +2)

2x = (-1-6 ; 2+2)

2x = (-7, 4) → x = ( -7\2, 4\2) → x= ( -7 \ 2 ; 2 )



Vetor Definido por dois Ponto

Dados:OA=(x1;

y1

)e

OB=(x2 ;

y2

)

AB= OB - OA

AB=(x2 -x1) - (y2-y1)

Ponto médio:



Paralelismo de dois vetores:

Dois vetores u=(x1 ;y1) e v=(x2 ; y2)são paralelos, se existir um

numero real "α" tal que u= αv, isto é,

(x1 ;y1 ) = α (x2 ; y2)

Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois

vetores são paralelos quando suas componentes são

proporcionais



Módulo de um Vetor:

Dado o vetor v=(x ; y)

Obs: A distância entre dois pontos A(x1 ; y1), B(x2 ; y2), é o

complemento |modulo| do vetor AB, isto é.

dAB=|AB|

Vetor Unitário:

Já vimos que a cada vetor v; v≠0, é possível associar 2 vetores

unitários paralelos a v; .→

→

v

v( é o vetor de v ) e seu oposto .

→

→

−

v

v

Ex 01. Determine o versor de v = ( 3 ; -4 )

v = 525)4()3(22

==−+

u = .→

→

v

v=

( )

−=

−

5

4;

5

3

5

4;3↔ versor de v



Demonstração que é um vetor unitário :

12525

2516

259)

54()

53( 22 ==+=−+

Ex.02- Determinar o versor de 2 v ?

2 ( 3 ; -4 ) = ( 6 ; -8 )

u = .

2

2→

→

v

v=

( )

( ) ( )

−=

−=

−+

−

5

4;

5

3

10

8;

10

6

86

8;6

22

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