Apostila de Pesquisa Operacional - Parte II.pdf

Download Apostila de Pesquisa Operacional - Parte II.pdf

Post on 07-Nov-2015

58 views

Category:

Documents

3 download

TRANSCRIPT

<ul><li><p> 1 </p><p>UNIVERSIDADE SO FRANCISCO </p><p>DISCIPLINA </p><p>PESQUISA OPERACIONAIOL </p><p>Parte II </p><p> Adalberto Nobiato Crespo 2015 Verso 4.0 </p></li><li><p> 2 </p><p>Sumrio </p><p>PROCESSOS ESTOCSTICOS ......................................................................................................... 3 </p><p>1 Processos Estocsticos ................................................................................................................... 3 </p><p>1.1 Classificao de Processos Estocsticos ................................................................................. 3 </p><p>Questes para Estudo ........................................................................................................................... 4 </p><p>2 Processos Markovianos .................................................................................................................. 5 </p><p>3 Conceitos Fundamentais .............................................................................................................. 11 </p><p>3.1 Cadeias de Markov................................................................................................................ 11 </p><p>3.2 Probabilidade de Transio ................................................................................................... 12 </p><p>3.3 Probabilidade de Transio de Passo 1 ................................................................................. 12 </p><p>3.4 Probabilidade de Transio de Passo n ................................................................................. 12 </p><p>3.5 Distribuio Inicial de Probabilidades .................................................................................. 14 </p><p>3.6 Distribuio de Probabilidades aps n Passos ................................................................... 16 </p><p>3.7 Classificao dos Estados de Uma Cadeia de Markov ......................................................... 20 </p><p>3.8 Classificao de Matrizes Estocsticas ................................................................................. 26 </p><p>Primeira Lista de Exerccios - Cadeias de Markov ......................................................................... 28 </p><p>4 Aspectos Fundamentais sobre Filas ............................................................................................. 34 </p><p>4.1 Conceito de Fila .................................................................................................................... 34 </p><p>4.2 Dimensionamento de Filas .................................................................................................... 35 </p><p>4.3 Aspectos Histricos............................................................................................................... 36 </p><p>5 Fundamentos Bsicos de Filas ..................................................................................................... 37 </p><p>5.1 - Elementos de Uma Fila .......................................................................................................... 37 </p><p>5.2 Caractersticas de Uma Fila .................................................................................................. 38 </p><p>5.3 Distribuio do Tempo de Atendimento ............................................................................... 41 </p><p>5.4 Dinmica de uma Fila ........................................................................................................... 42 </p><p>5.5 Conceitos Bsicos de Fila .................................................................................................... 47 </p><p>5.5.1 Variveis Aleatrias Fundamentais ....................................................................................... 48 </p><p>5.5.2 - Postulados Bsicos.................................................................................................................. 53 </p><p>Segunda Lista de Exerccios ............................................................................................................ 54 </p><p>6 O Sistema de uma Fila e um Atendente ....................................................................................... 55 </p><p>6.1 Equaes do Modelo ................................................................................................................. 55 </p><p>Terceira Lista de Exerccios ............................................................................................................ 57 </p><p>Quarta Lista de Exerccios .............................................................................................................. 59 </p></li><li><p> 3 </p><p>PROCESSOS ESTOCSTICOS </p><p>1 Processos Estocsticos </p><p>Um Processo Estocstico definido como uma coleo de variveis aleatrias Xt </p><p>indexadas por um parmetro t pertencente a um conjunto T. Normalmente, T um </p><p>conjunto de nmeros inteiros no negativos e Xt representa uma caracterstica </p><p>qualquer mensurvel de interesse e que varia com o tempo t. </p><p>Exemplo 1: </p><p> Xt: Nvel de estoque de um produto no fim de cada semana t. </p><p> t = 1, 2, 3... </p><p> X1 = 20 significa que na semana 1 o estoque era de 20 unidades. </p><p> X2 = 13 significa que na semana 2 o estoque era de 13 unidades. </p><p> X5 = 28 significa que na semana 5 o estoque era de 20 unidades. </p><p>Processos Estocsticos so de interesse para descrever o procedimento de um sistema </p><p>operando em algum perodo de tempo. Com isso, a varivel aleatria Xt representa o </p><p>estado do sistema no parmetro t. </p><p>O parmetro t representa o estado e o valor da varivel Xt representa o </p><p>comportamento do sistema no estado t. </p><p>Por exemplo, interessante para uma empresa observar o comportamento do estoque </p><p>de um determinado produto, durante 6 meses. Esta observao serve para a </p><p>programao dos estoques nos prximos perodos. </p><p>Portanto, a varivel Xt definida em um conjunto de estados denominado Espao de </p><p>Estados. </p><p>1.1 Classificao de Processos Estocsticos </p><p>Os Processos Estocsticos podem ser classificados como: </p><p>a) Em relao ao Estado </p><p> Estado Discreto: Xt definida sobre um conjunto enumervel finito. </p><p> Estado Contnuo: Xt caso contrrio </p><p>b) Em relao ao Tempo t (parmetro) </p><p> Tempo Discreto: t finito e enumervel </p><p> Tempo Contnuo: t caso contrrio </p></li><li><p> 4 </p><p>Exemplos: </p><p> 1 Nmero de usurios em uma fila de banco em um determinado instante t. </p><p> Estado discreto e Tempo contnuo </p><p> 2 ndice pluviomtrico dirio. </p><p> Estado contnuo e Tempo discreto </p><p> 3 Nmero de dias chuvosos. </p><p> Estado Discreto e Tempo discreto </p><p>Questes para Estudo </p><p>1 Suponha que Xt representa o nvel de estoque de um produto e t representa a semana de observao do estoque. </p><p>Qual a probabilidade do estoque ser zero no final desta semana, dado que na </p><p>semana anterior o estoque era de 10 unidades? </p><p>Matematicamente temos a equao: ?10|0 anterioratual XXP Fazendo: semana atual =1 </p><p> semana anterior = 0 </p><p>Ento teremos a seguinte equao: ?10|0 01 XXP Pode se tambm estar interessado na seguinte questo: </p><p> ?3,6...15,12,11|0 0178910 XXXXXXP </p><p>Onde: 10=semana atual; 9 = semana anterior; e assim por diante. </p><p>O valor desta probabilidade serve para tomada de decises sobre o estoque do </p><p>produto em questo. </p><p>2 Suponha que Xt representa o comportamento do tempo numa cidade de praia durante o vero. </p><p> Qual a probabilidade do tempo estar com sol nesta semana, dado que na semana </p><p>anterior o tempo esteve com chuva. </p><p> Matematicamente temos a equao: ?| chuvaXsolXP anterioratual Fazendo: semana atual =1 </p><p> semana anterior = 0 </p><p>Ento teremos a seguinte equao: ?| 01 chuvaXsolXP Pode se tambm estar interessado na seguinte questo: </p><p> ?,,| 1234 solXchuvaXchuvaXsolXP </p><p>Onde: 4 = semana atual; 3 = semana anterior; e assim por diante. </p><p>O valor desta probabilidade serve para tomada de decises sobre os eventos que </p><p>podero ser promovidos na cidade de praia, no perodo em questo. </p></li><li><p> 5 </p><p>Existem vrios "tipos" de Processos Estocsticos, porm neste curso ser abordado </p><p>apenas um tipo de Processo Estocstico denominado Processo Markoviano. </p><p>2 Processos Markovianos </p><p>Um Processo Estocstico dito ser um Processo Markoviano se: </p><p> kkkkkkkkkkkk yXyXPyXyXyXyXyXyXP |,...,,| 110011221111 </p><p>Onde k = 0, 1, 2, 3 ... </p><p>Essa expresso pode ser traduzida como: a probabilidade condicional de qualquer </p><p>evento futuro, dado qualquer evento passado e o estado presente Xk = yk, </p><p>independente do evento passado e depende somente do estado presente. </p><p>Em termos mais resumidos: Um processo Estocstico dito ser um Processo </p><p>Markoviano se o estado futuro depende apenas do estado presente e no depende dos </p><p>estados passados. </p><p>Este tipo de Processo Estocstico tambm denominado de processo sem Memria, </p><p>uma vez que o passado desprezado. </p><p>As probabilidades condicionais kkkk yXyXP |11 so denominadas </p><p>Probabilidades de Transio e representam a probabilidade do estado Xk+1 ser yk+1 </p><p>no instante k+1 dado que no instante k o estado Xk yk. </p><p>Exemplo 2: No ano de 1993, o estado do uso da terra em uma cidade de 50 </p><p>quilmetros quadrados de rea ra: </p><p>Tabela 1 Estado do uso da Terra em 1993 </p><p>I Uso Residencial 30% </p><p>II Uso Comercial 20% </p><p>III Uso Industrial 50% </p><p> Os valores da tabela 1 podem ser dispostos em um vetor T, denominado </p><p>Vetor de Estados: </p><p>T = [ I II III ]. </p><p> As probabilidades de cada Estado podem tambm serem dispostas em </p><p>um vetor , denominado Vetor de Probabilidades de Estado: </p><p> = [0,30 0,20 0,50]. </p><p> Supondo que as probabilidades de transio para intervalos de 5 anos </p><p>so dadas pela Tabela 2: </p></li><li><p> 6 </p><p>Tabela 2 Probabilidades de Transio em 5 anos </p><p> Para I Para II Para III </p><p>de I 0,8 0,1 0,1 </p><p>de II 0,1 0,7 0,2 </p><p>de III 0 0,1 0,9 </p><p>As probabilidades condicionais na Tabela 2 podem ser interpretadas </p><p>como: </p><p>de I para I: a probabilidade da cidade estar no estado I aps 5 anos, </p><p>dado que atualmente est no estado I 0,8, ou seja </p><p> 8,0|5 IXIXP tt . </p><p> Para t = 1993, tem-se: 8,0| )1993()1998( IXIXP </p><p>de I para II: a probabilidade da cidade estar no estado II aps 5 anos, </p><p>dado que atualmente est no estado I 0,1, ou seja </p><p> 1,0|5 IXIIXP tt . </p><p> Para t = 1993, tem-se: 1,0| )1993()1998( IXIIXP </p><p>de I para III: a probabilidade da cidade estar no estado III aps 5 anos, </p><p>dado que atualmente est no estado I 0,1, ou seja </p><p> 1,0|5 IXIIIXP tt . </p><p> Para t = 1993, tem-se: 1,0| )1993()1998( IXIIIXP </p><p>O mesmo raciocnio para os demais estados. </p><p>Os valores da Tabela 2 podem ser dispostos numa matriz denominada </p><p>Matriz de Transio. </p><p>9,01,00</p><p>2,07,01,0</p><p>1,01,08,0</p><p>III</p><p>II</p><p>I</p><p>P </p><p>Assim, a partir da matriz de transio P e do vetor de probabilidade de </p><p>estado para 1993, denominado (0), pode-se calcular o vetor de </p><p>probabilidades de estado para o ano de 1998 da seguinte forma, </p><p>denominado (1). </p><p>0,52] 0,22 26,0[</p><p>0,90,10</p><p>0,20,70,1</p><p>0,10,10,8</p><p>0,50] 0,20 [0,30P 01 </p></li><li><p> 7 </p><p>Este resultado pode ser interpretado como: </p><p>Em 1998, o estado de uso da terra na cidade ser dado pela Tabela 3: </p><p>Tabela 3 Estado do uso da Terra em 1998 </p><p>I Uso Residencial 26% </p><p>II Uso Comercial 22% </p><p>III Uso Industrial 52% </p><p>Exemplo 3: Um cliente pode adquirir uma das seguintes marcas de carro: Fiat, Ford e </p><p>Chevrolet. A prxima compra do cliente controlada pela marca do </p><p>carro que ele possui atualmente. Toda vez que um novo carro </p><p>comprado, ocorre um passo no processo de compra. Neste processo h, </p><p>portanto, apenas 3 Estados possveis (m=3): a compra de um Ford, a </p><p>compra de um chevrolet e a compra de um Fiat. </p><p> Isto pode ser representado como: </p><p>Estados do Processo Descrio </p><p>S1 O cliente compra um Ford </p><p>S2 O cliente compra um Chevrolet </p><p>S3 O cliente compra um Fiat </p><p> No presente momento (t = 0), os Estados S1, S2, S3 representam o estado </p><p>atual do processo, isto , a marca do carro que o cliente possui </p><p>atualmente. </p><p> No passo seguinte, (t = 1) os Estados S1, S2, S3 representam todos os </p><p>resultados possveis da prxima compra do cliente. </p><p> Assim, o Espao de estado { S1, S2, S3}. </p><p> Uma pessoa de mercado revela a seguinte situao: </p><p>Marca do Carro </p><p>Atual (t=0) </p><p>Prxima Compra (t = 1) </p><p>% que compra </p><p>Ford </p><p>% que compra </p><p>Chevrolet </p><p>% que compra </p><p>Fiat </p><p>Ford 40 30 30 </p><p>Chevrolet 20 50 30 </p><p>Fiat 25 25 50 </p></li><li><p> 8 </p><p> Essa mesma informao pode ser representada numa matriz de </p><p>probabilidades chamada Matriz de Transio. </p><p>50,025,025,0</p><p>30,050,020,0</p><p>30,030,040,0</p><p>P </p><p> Cada elemento dessa tabela representa uma probabilidade de se passar </p><p>de um Estado para outro em um passo. Isto , representa a probabilidade </p><p>de compra de uma marca de carro. </p><p> Ex: 0,20 representa a probabilidade de um cliente comprar um carro Ford </p><p>dado que atualmente ele possui um carro da marca Chevrolet. </p><p> Graficamente tem-se a seguinte situao: </p><p>Exemplo 4: A situao de uma mquina poderia ser descrita por um Processo de </p><p>Markov. Neste caso, o Estado pode descrever a condio da mquina: </p><p>em funcionamento; esperando reparo; sendo reparada. O espao de </p><p>Estado discreto e pelo menos em alguns casos a probabilidade da </p><p>situao da mquina na prxima observao depende de sua situao </p><p>presente. </p><p>Estados do Processo Descrio </p><p>S1 Mquina funcionando </p><p>S2 Mquina ociosa, esperando reparo </p><p>S3 Mquina ociosa, sendo reparada </p><p>S1 S2 </p><p>S3 </p><p>Ford </p><p>Fiat </p><p>Chevrolet </p><p>0,40 </p><p>0,30 </p><p>0,20 </p><p>0,25 </p><p>0,30 </p><p>0,25 0,30 </p><p>0,50 </p><p>0,50 </p></li><li><p> 9 </p><p>Exemplo 5: Um grupo de 4 crianas joga um jogo que consiste em passar uma bola </p><p>de um lado para outro. Em cada estgio do jogo, a criana que est com </p><p>a bola tem idntica chance de passar a bola para qualquer uma das </p><p>outras 3 crianas. Seja X0 a criana que est com a bola no incio do </p><p>jogo e Xn a criana que est com a bola depois que a mesma foi lanada </p><p>exatamente n vezes. </p><p> Este jogo consiste de um Processo de Markov com a seguinte Matriz de </p><p>Transio: </p><p>03</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>13</p><p>10</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>13</p><p>1</p><p>3</p><p>10</p><p>3</p><p>13</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>10</p><p>P </p><p> A matriz P chama-se Matriz de Transio ou Matriz de probabilidades. </p><p> Para que uma criana receba a bola em um dado momento, depende </p><p>apenas de quem est com a bola naquele momento e no depende das </p><p>demais crianas. </p><p> Com esta propriedade este jogo constitui-se numa cadeia de Markov. </p><p> O conjunto S = { 1, 2, 3, 4} chama-se espao de estados. </p><p> Algebricamente tem-se: </p><p> Seja k = 1 se a criana est com a bola num dado momento. </p><p> k = 0 se a criana no est com a bola num dado momento. </p><p> Logo, 3</p><p>10|1 01 XXP e ainda 01|1 01 XXP </p><p> Constitui-se numa Cadeia de Markov porque tem a propriedade que: </p><p> kXkXPXkXyXyXP nnnnn 1021 |1,...,| </p><p> Isto , o fato de Xn = k (uma criana estar ou no com bola depois de n </p><p>lanamentos) depende somente de Xn-1 = k e independe da trajetria </p><p>percorrida. Isto , independe de Xn-2, Xn-3, Xn-4, ... X0. </p></li><li><p> 10 </p><p>Exemplo 6: Jogo da Moeda </p><p> Um jogador paga R$ 10,00 ao banqueiro para lanar uma moeda e ganha </p><p>R$ 80,00 quando a diferena entre o nmero de Caras e Coroas for igual a </p><p>3. Qual deve ser a situao do jogador depois de n lanamentos da </p><p>moeda? </p><p> Situao: </p><p> O jogador paga R$10,00 por um lanamento e recebe R$80,00 quando </p><p>Z = | #Caras - #Coroas | = 3. </p><p> Onde: #Caras: nmero de caras e #Coroas: nmero de Coroas </p><p> Analisando tem-se: </p><p>Numero de Lanamentos Resultados #Caras #Coroas Z </p><p>0 </p><p>1 </p><p>2 </p><p>3 </p><p>4 </p><p>5 </p><p>6 </p><p>7 </p><p>0 </p><p>Ca </p><p>Ca </p><p>Co </p><p>Ca </p><p>Co </p><p>Ca </p><p>Ca </p><p>0 </p><p>1 </p><p>2 </p><p>2 </p><p>3 </p><p>3 </p><p>4 </p><p>5 </p><p>0 </p><p>0 </p><p>0 </p><p>1 </p><p>1 </p><p>2 </p><p>2 </p><p>2 </p><p>0 </p><p>1 </p><p>2 </p><p>1 </p><p>2 </p><p>1 </p><p>2 </p><p>3 </p><p> Graficamente, a probabilidade da funo Z assumir...</p></li></ul>