Apostila de Pesquisa Operacional - Parte II.pdf

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  • 1

    UNIVERSIDADE SO FRANCISCO

    DISCIPLINA

    PESQUISA OPERACIONAIOL

    Parte II

    Adalberto Nobiato Crespo 2015 Verso 4.0

  • 2

    Sumrio

    PROCESSOS ESTOCSTICOS ......................................................................................................... 3

    1 Processos Estocsticos ................................................................................................................... 3

    1.1 Classificao de Processos Estocsticos ................................................................................. 3

    Questes para Estudo ........................................................................................................................... 4

    2 Processos Markovianos .................................................................................................................. 5

    3 Conceitos Fundamentais .............................................................................................................. 11

    3.1 Cadeias de Markov................................................................................................................ 11

    3.2 Probabilidade de Transio ................................................................................................... 12

    3.3 Probabilidade de Transio de Passo 1 ................................................................................. 12

    3.4 Probabilidade de Transio de Passo n ................................................................................. 12

    3.5 Distribuio Inicial de Probabilidades .................................................................................. 14

    3.6 Distribuio de Probabilidades aps n Passos ................................................................... 16

    3.7 Classificao dos Estados de Uma Cadeia de Markov ......................................................... 20

    3.8 Classificao de Matrizes Estocsticas ................................................................................. 26

    Primeira Lista de Exerccios - Cadeias de Markov ......................................................................... 28

    4 Aspectos Fundamentais sobre Filas ............................................................................................. 34

    4.1 Conceito de Fila .................................................................................................................... 34

    4.2 Dimensionamento de Filas .................................................................................................... 35

    4.3 Aspectos Histricos............................................................................................................... 36

    5 Fundamentos Bsicos de Filas ..................................................................................................... 37

    5.1 - Elementos de Uma Fila .......................................................................................................... 37

    5.2 Caractersticas de Uma Fila .................................................................................................. 38

    5.3 Distribuio do Tempo de Atendimento ............................................................................... 41

    5.4 Dinmica de uma Fila ........................................................................................................... 42

    5.5 Conceitos Bsicos de Fila .................................................................................................... 47

    5.5.1 Variveis Aleatrias Fundamentais ....................................................................................... 48

    5.5.2 - Postulados Bsicos.................................................................................................................. 53

    Segunda Lista de Exerccios ............................................................................................................ 54

    6 O Sistema de uma Fila e um Atendente ....................................................................................... 55

    6.1 Equaes do Modelo ................................................................................................................. 55

    Terceira Lista de Exerccios ............................................................................................................ 57

    Quarta Lista de Exerccios .............................................................................................................. 59

  • 3

    PROCESSOS ESTOCSTICOS

    1 Processos Estocsticos

    Um Processo Estocstico definido como uma coleo de variveis aleatrias Xt

    indexadas por um parmetro t pertencente a um conjunto T. Normalmente, T um

    conjunto de nmeros inteiros no negativos e Xt representa uma caracterstica

    qualquer mensurvel de interesse e que varia com o tempo t.

    Exemplo 1:

    Xt: Nvel de estoque de um produto no fim de cada semana t.

    t = 1, 2, 3...

    X1 = 20 significa que na semana 1 o estoque era de 20 unidades.

    X2 = 13 significa que na semana 2 o estoque era de 13 unidades.

    X5 = 28 significa que na semana 5 o estoque era de 20 unidades.

    Processos Estocsticos so de interesse para descrever o procedimento de um sistema

    operando em algum perodo de tempo. Com isso, a varivel aleatria Xt representa o

    estado do sistema no parmetro t.

    O parmetro t representa o estado e o valor da varivel Xt representa o

    comportamento do sistema no estado t.

    Por exemplo, interessante para uma empresa observar o comportamento do estoque

    de um determinado produto, durante 6 meses. Esta observao serve para a

    programao dos estoques nos prximos perodos.

    Portanto, a varivel Xt definida em um conjunto de estados denominado Espao de

    Estados.

    1.1 Classificao de Processos Estocsticos

    Os Processos Estocsticos podem ser classificados como:

    a) Em relao ao Estado

    Estado Discreto: Xt definida sobre um conjunto enumervel finito.

    Estado Contnuo: Xt caso contrrio

    b) Em relao ao Tempo t (parmetro)

    Tempo Discreto: t finito e enumervel

    Tempo Contnuo: t caso contrrio

  • 4

    Exemplos:

    1 Nmero de usurios em uma fila de banco em um determinado instante t.

    Estado discreto e Tempo contnuo

    2 ndice pluviomtrico dirio.

    Estado contnuo e Tempo discreto

    3 Nmero de dias chuvosos.

    Estado Discreto e Tempo discreto

    Questes para Estudo

    1 Suponha que Xt representa o nvel de estoque de um produto e t representa a semana de observao do estoque.

    Qual a probabilidade do estoque ser zero no final desta semana, dado que na

    semana anterior o estoque era de 10 unidades?

    Matematicamente temos a equao: ?10|0 anterioratual XXP Fazendo: semana atual =1

    semana anterior = 0

    Ento teremos a seguinte equao: ?10|0 01 XXP Pode se tambm estar interessado na seguinte questo:

    ?3,6...15,12,11|0 0178910 XXXXXXP

    Onde: 10=semana atual; 9 = semana anterior; e assim por diante.

    O valor desta probabilidade serve para tomada de decises sobre o estoque do

    produto em questo.

    2 Suponha que Xt representa o comportamento do tempo numa cidade de praia durante o vero.

    Qual a probabilidade do tempo estar com sol nesta semana, dado que na semana

    anterior o tempo esteve com chuva.

    Matematicamente temos a equao: ?| chuvaXsolXP anterioratual Fazendo: semana atual =1

    semana anterior = 0

    Ento teremos a seguinte equao: ?| 01 chuvaXsolXP Pode se tambm estar interessado na seguinte questo:

    ?,,| 1234 solXchuvaXchuvaXsolXP

    Onde: 4 = semana atual; 3 = semana anterior; e assim por diante.

    O valor desta probabilidade serve para tomada de decises sobre os eventos que

    podero ser promovidos na cidade de praia, no perodo em questo.

  • 5

    Existem vrios "tipos" de Processos Estocsticos, porm neste curso ser abordado

    apenas um tipo de Processo Estocstico denominado Processo Markoviano.

    2 Processos Markovianos

    Um Processo Estocstico dito ser um Processo Markoviano se:

    kkkkkkkkkkkk yXyXPyXyXyXyXyXyXP |,...,,| 110011221111

    Onde k = 0, 1, 2, 3 ...

    Essa expresso pode ser traduzida como: a probabilidade condicional de qualquer

    evento futuro, dado qualquer evento passado e o estado presente Xk = yk,

    independente do evento passado e depende somente do estado presente.

    Em termos mais resumidos: Um processo Estocstico dito ser um Processo

    Markoviano se o estado futuro depende apenas do estado presente e no depende dos

    estados passados.

    Este tipo de Processo Estocstico tambm denominado de processo sem Memria,

    uma vez que o passado desprezado.

    As probabilidades condicionais kkkk yXyXP |11 so denominadas

    Probabilidades de Transio e representam a probabilidade do estado Xk+1 ser yk+1

    no instante k+1 dado que no instante k o estado Xk yk.

    Exemplo 2: No ano de 1993, o estado do uso da terra em uma cidade de 50

    quilmetros quadrados de rea ra:

    Tabela 1 Estado do uso da Terra em 1993

    I Uso Residencial 30%

    II Uso Comercial 20%

    III Uso Industrial 50%

    Os valores da tabela 1 podem ser dispostos em um vetor T, denominado

    Vetor de Estados:

    T = [ I II III ].

    As probabilidades de cada Estado podem tambm serem dispostas em

    um vetor , denominado Vetor de Probabilidades de Estado:

    = [0,30 0,20 0,50].

    Supondo que as probabilidades de transio para intervalos de 5 anos

    so dadas pela Tabela 2:

  • 6

    Tabela 2 Probabilidades de Transio em 5 anos

    Para I Para II Para III

    de I 0,8 0,1 0,1

    de II 0,1 0,7 0,2

    de III 0 0,1 0,9

    As probabilidades condicionais na Tabela 2 podem ser interpretadas

    como:

    de I para I: a probabilidade da cidade estar no estado I aps 5 anos,

    dado que atualmente est no estado I 0,8, ou seja

    8,0|5 IXIXP tt .

    Para t = 1993, tem-se: 8,0| )1993()1998( IXIXP

    de I para II: a probabilidade da cidade estar no estado II aps 5 anos,

    dado que atualmente est no estado I 0,1, ou seja

    1,0|5 IXIIXP tt .

    Para t = 1993, tem-se: 1,0| )1993()1998( IXIIXP

    de I para III: a probabilidade da cidade estar no estado III aps 5 anos,

    dado que atualmente est no estado I 0,1, ou seja

    1,0|5 IXIIIXP tt .

    Para t = 1993, tem-se: 1,0| )1993()1998( IXIIIXP

    O mesmo raciocnio para os demais estados.

    Os valores da Tabela 2 podem ser dispostos numa matriz denominada

    Matriz de Transio.

    9,01,00

    2,07,01,0

    1,01,08,0

    III

    II

    I

    P

    Assim, a partir da matriz de transio P e do vetor de probabilidade de

    estado para 1993, denominado (0), pode-se calcular o vetor de

    probabilidades de estado para o ano de 1998 da seguinte forma,

    denominado (1).

    0,52] 0,22 26,0[

    0,90,10

    0,20,70,1

    0,10,10,8

    0,50] 0,20 [0,30P 01

  • 7

    Este resultado pode ser interpretado como:

    Em 1998, o estado de uso da terra na cidade ser dado pela Tabela 3:

    Tabela 3 Estado do uso da Terra em 1998

    I Uso Residencial 26%

    II Uso Comercial 22%

    III Uso Industrial 52%

    Exemplo 3: Um cliente pode adquirir uma das seguintes marcas de carro: Fiat, Ford e

    Chevrolet. A prxima compra do cliente controlada pela marca do

    carro que ele possui atualmente. Toda vez que um novo carro

    comprado, ocorre um passo no processo de compra. Neste processo h,

    portanto, apenas 3 Estados possveis (m=3): a compra de um Ford, a

    compra de um chevrolet e a compra de um Fiat.

    Isto pode ser representado como:

    Estados do Processo Descrio

    S1 O cliente compra um Ford

    S2 O cliente compra um Chevrolet

    S3 O cliente compra um Fiat

    No presente momento (t = 0), os Estados S1, S2, S3 representam o estado

    atual do processo, isto , a marca do carro que o cliente possui

    atualmente.

    No passo seguinte, (t = 1) os Estados S1, S2, S3 representam todos os

    resultados possveis da prxima compra do cliente.

    Assim, o Espao de estado { S1, S2, S3}.

    Uma pessoa de mercado revela a seguinte situao:

    Marca do Carro

    Atual (t=0)

    Prxima Compra (t = 1)

    % que compra

    Ford

    % que compra

    Chevrolet

    % que compra

    Fiat

    Ford 40 30 30

    Chevrolet 20 50 30

    Fiat 25 25 50

  • 8

    Essa mesma informao pode ser representada numa matriz de

    probabilidades chamada Matriz de Transio.

    50,025,025,0

    30,050,020,0

    30,030,040,0

    P

    Cada elemento dessa tabela representa uma probabilidade de se passar

    de um Estado para outro em um passo. Isto , representa a probabilidade

    de compra de uma marca de carro.

    Ex: 0,20 representa a probabilidade de um cliente comprar um carro Ford

    dado que atualmente ele possui um carro da marca Chevrolet.

    Graficamente tem-se a seguinte situao:

    Exemplo 4: A situao de uma mquina poderia ser descrita por um Processo de

    Markov. Neste caso, o Estado pode descrever a condio da mquina:

    em funcionamento; esperando reparo; sendo reparada. O espao de

    Estado discreto e pelo menos em alguns casos a probabilidade da

    situao da mquina na prxima observao depende de sua situao

    presente.

    Estados do Processo Descrio

    S1 Mquina funcionando

    S2 Mquina ociosa, esperando reparo

    S3 Mquina ociosa, sendo reparada

    S1 S2

    S3

    Ford

    Fiat

    Chevrolet

    0,40

    0,30

    0,20

    0,25

    0,30

    0,25 0,30

    0,50

    0,50

  • 9

    Exemplo 5: Um grupo de 4 crianas joga um jogo que consiste em passar uma bola

    de um lado para outro. Em cada estgio do jogo, a criana que est com

    a bola tem idntica chance de passar a bola para qualquer uma das

    outras 3 crianas. Seja X0 a criana que est com a bola no incio do

    jogo e Xn a criana que est com a bola depois que a mesma foi lanada

    exatamente n vezes.

    Este jogo consiste de um Processo de Markov com a seguinte Matriz de

    Transio:

    03

    1

    3

    1

    3

    13

    10

    3

    1

    3

    13

    1

    3

    10

    3

    13

    1

    3

    1

    3

    10

    P

    A matriz P chama-se Matriz de Transio ou Matriz de probabilidades.

    Para que uma criana receba a bola em um dado momento, depende

    apenas de quem est com a bola naquele momento e no depende das

    demais crianas.

    Com esta propriedade este jogo constitui-se numa cadeia de Markov.

    O conjunto S = { 1, 2, 3, 4} chama-se espao de estados.

    Algebricamente tem-se:

    Seja k = 1 se a criana est com a bola num dado momento.

    k = 0 se a criana no est com a bola num dado momento.

    Logo, 3

    10|1 01 XXP e ainda 01|1 01 XXP

    Constitui-se numa Cadeia de Markov porque tem a propriedade que:

    kXkXPXkXyXyXP nnnnn 1021 |1,...,|

    Isto , o fato de Xn = k (uma criana estar ou no com bola depois de n

    lanamentos) depende somente de Xn-1 = k e independe da trajetria

    percorrida. Isto , independe de Xn-2, Xn-3, Xn-4, ... X0.

  • 10

    Exemplo 6: Jogo da Moeda

    Um jogador paga R$ 10,00 ao banqueiro para lanar uma moeda e ganha

    R$ 80,00 quando a diferena entre o nmero de Caras e Coroas for igual a

    3. Qual deve ser a situao do jogador depois de n lanamentos da

    moeda?

    Situao:

    O jogador paga R$10,00 por um lanamento e recebe R$80,00 quando

    Z = | #Caras - #Coroas | = 3.

    Onde: #Caras: nmero de caras e #Coroas: nmero de Coroas

    Analisando tem-se:

    Numero de Lanamentos Resultados #Caras #Coroas Z

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    0

    Ca

    Ca

    Co

    Ca

    Co

    Ca

    Ca

    0

    1

    2

    2

    3

    3

    4

    5

    0

    0

    0

    1

    1

    2

    2

    2

    0

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    3

    Graficamente, a probabilidade da funo Z assumir os valores 0, 1, 2, 3,

    so:

    Matricialmente tem-se a seguinte Matriz de Transio:

    10002

    10

    2

    10

    02

    10

    2

    10010

    P

    0 1 2 3

    1/2 1/2 1/2

    1/2 1/2 1 1

  • 11

    Logo, tem-se:

    Seja Zn a varivel aleatria que pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 no

    tempo t = n.

    Espao de Estados: S = {0, 1, 2, 3}

    Isto , antes do incio do jogo, tem-se:

    Tempo t = 0 Tempo t = 1

    P[Z0 = 0] = 1; P[Z1 = 0] = 1/2;

    P[Z0 = 1] = 0; P[Z1 = 1] = 0;

    P[Z0 = 2] = 0; P[Z1 = 2] = 1/2;

    P[Z0 = 3] = 0. P[Z1 = 3] = 0.

    Para saber a situao do jogador no tempo t = n, ou seja, depois de n

    lanamentos, deve-se calcular:

    Pn = P.P.P.P...P

    Isto , multiplica-se a matriz P n vezes.

    3 Conceitos Fundamentais

    3.1 Cadeias de Markov

    Um Processo Markoviano dito ser uma Cadeia de Markov quando as variveis

    aleatrias Xt esto definidas em um espao de Estados discreto.

    De acordo com a forma de representao dos estados e do tempo, os Processos

    Markovianos podem ser:

    Estados Tempo Classificao

    Contnuo Contnuo Processo Markoviano em tempo contnuo

    Contnuo Discreto Processo Markoviano em tempo discreto

    Discreto Contnuo Cadeia de Markov em tempo contnuo

    Discreto Discreto Cadeia de Markov em tempo discreto

    Desta forma, uma cadeia de Markov um Processo Markoviano onde o espao de

    estados um conjunto discreto.

    Quando o tempo t discreto, a Cadeia de Markov dita ser uma Cadeia de Markov

    em Tempo Discreto. Note tambm que existem cadeias de Makov de tempo

    contnuo.

  • 12

    No caso de tempo discreto, tem-se:

    kkkkkkkkkkkk yXyXPyXyXyXyXyXyXP |,...,,| 110011221111

    Uma maneira simples de visualizar um tipo especifico de cadeia de Markov atravs

    de uma mquina de estados finitos. Se voc est no estado y no tempo n, ento a probabilidade de que voc se mova para o estado x no tempo n+1, no depende de n, e somente depende do estado atual y em que voc est.

    3.2 Probabilidade de Transio

    Numa Cadeia de Markov, chamam-se Probabilidades de Transio a probabilidade do

    Estado Xk+1 ser yk+1 no tempo k+1 dado que o Estado Xk yk no tempo k.

    Isto : kkkk yXyXP |11 .

    Se para cada xk+1 e xk, tem-se: 001111 || yXyXPyXyXP kkkk .

    Ento, as Probabilidades de Transio so ditas Estacionrias.

    Se as Probabilidades de Transio so Estacionrias, ento isto significa que as

    Probabilidades de Transio no mudam em relao ao tempo.

    3.3 Probabilidade de Transio de Passo 1

    As Probabilidades de Transio so denominadas Probabilidades de Transio de

    Passo 1 se:

    001111 || yXyXPyXyXP kkkk .

    3.4 Probabilidade de Transio de Passo n

    Se a Probabilidades de Transio de Passo 1 for Estacionrio (no muda com o

    tempo) implica que para cada xk+n e yk e n (n=0,1, 2, ...), tem-se:

    00|| yXyXPyXyXP nnkknknk

    Essas probabilidades condicionais so chamadas Probabilidades de Transio de

    Passo n.

    Notao:

    Para facilitar a notao ser adotada a seguinte alterao: yk+1 = j; ou yk+n = j e yk =i

    Logo, se tem: iXjXPp kkij |1 e iXjXPp knkn

    ij |)(

  • 13

    Propriedades:

    Como os valores )(nijp so probabilidades, ento precisam satisfazer as seguintes

    propriedades:

    a) 0)( nijp (i, j); n = 0, 1, 2,...

    b) 10

    )(

    M

    j

    n

    ijp i: n = 0, 1, 2, ...

    Uma maneira de mostrar todas as Probabilidades de Transio de Passo n :

    Estados 0 1 ... M

    0 )(00

    np )(01np ... )(0

    n

    Mp 10

    )(

    0

    M

    j

    n

    jp

    1 )(10

    np )(11

    np ... )(1n

    Mp 10

    )(

    1

    M

    j

    n

    jp

    . . . ... .

    M )(0

    n

    Mp )(

    1

    n

    Mp ... )(n

    MMp 10

    )(

    M

    j

    n

    Mjp

    Ou atravs de uma matriz de probabilidades:

    )()(

    1

    )(

    0

    )(

    1

    )(

    11

    )(

    10

    )(

    0

    )(

    01

    )(

    00

    )(

    ...

    ............

    ...

    ...

    n

    MM

    n

    M

    n

    M

    n

    M

    nn

    n

    M

    nn

    n

    ppp

    ppp

    ppp

    P

    A matriz P(n)

    denominada Matriz de Transio de Passo n.

    Quando n = 1 denominada apenas Matriz de Transio.

    Exemplo 7: Supe uma mquina que em um determinado momento pode estar

    funcionando ou parada. Seja Xn a varivel aleatria que denota o estado

    da mquina no tempo n (ou tempo t).

    Espao de Estados: S = { parada, funcionando} = {0, 1}

    O tempo n pode representar um dia (por exemplo).

  • 14

    0 1

    Graficamente tem-se:

    Assim tem-se:

    P[Xn+1 =1 | Xn = 0] = p e P[Xn+1 =0 | Xn = 1] = q

    Consequentemente tem-se:

    P[Xn+1 =0 | Xn = 0] = 1 - p e P[Xn+1 = 1 | Xn = 1] = 1 - q

    A Matriz de Transio de Passo 1 dada por:

    qq

    ppP

    1

    1

    1

    0

    3.5 Distribuio Inicial de Probabilidades

    Seja S um espao de Estados.

    Chama-se distribuio inicial ao vetor das probabilidades no incio do processo. Isto

    , so as probabilidades associadas a cada estado do sistema no incio do processo (no

    tempo t =0).

    Notao:

    0(x) = P[X0 = x] a probabilidade de o sistema iniciar no Estado x.

    n(x) = P[Xn = x] a probabilidade de o sistema estar no Estado x, no tempo n (ou seja, aps n passos).

    A distribuio inicial 0(x) = P[X0 = x] tal que:

    a) 0(x) 0 xS.

    b)

    Sx

    x 1)(0

    q

    p

    0

    1

    0

    1

    Tempo n+1 Tempo n

    1 - q

    1 - p

  • 15

    Exemplo 8: Se no exemplo 2, 0 = [0,30 0,20 0,50] significa que no ano de 1993 o uso da terra pode estar no estado I, II, ou III, respectivamente com as

    probabilidades 0,30; 0,20; e 0,50.

    0(I) = P[X0 = I] = 0,30 probabilidade da cidade usar a terra para uso residencial.

    0(II) = P[X0 = II] = 0,20 probabilidade da cidade usar a terra para uso comercial.

    0(III) = P[X0 = III] = 0,50 probabilidade da cidade usar a terra para uso industrial.

    Exemplo 9: Se no exemplo 3, 0 = [0 0 1], significa que o sistema inicia no Estado S3, ou seja no incio o cliente possui um automvel Fiat.

    0(1) = P[X0 = 1] = 0 probabilidade de o cliente ter um carro Ford.

    0(2) = P[X0 = 2] = 0 probabilidade de o cliente ter um carro Chevrolet.

    0(3) = P[X0 = 3] = 1 probabilidade de o cliente ter um carro Fiat.

    Exemplo 10: Se no exemplo 4, 0 = [0 1 0], significa que o sistema inicia no Estado S2, ou seja, a maquina est ociosa esperando reparo.

    0(1) = P[X0 = 1] = 0 probabilidade de a mquina estar funcionando

    0(2) = P[X0 = 2] = 1 probabilidade de a mquina estar ociosa esperando reparo.

    0(3) = P[X0 = 3] = 0 probabilidade de a mquina estar ociosa sendo reparada.

    Exemplo 11: Se no exemplo 5, 0 = [0 1/3 0 2/3], significa que no inicio do jogo a bola pode estar com a criana no. 2 ou com a criana no. 4,

    respectivamente com probabilidades 1/3 e 2/3 (no tempo 0).

    0(1) = P[X0 = 1] = 0 probabilidade de a criana 1 estar com a bola.

    0(2) = P[X0 = 2] = 1/3 probabilidade de a criana 2 estar com a bola.

    0(3) = P[X0 = 3] = 0 probabilidade de a criana 3 estar com a bola.

    0(4) = P[X0 = 4] = 2/3 probabilidade de a criana 4 estar com a bola.

  • 16

    3.6 Distribuio de Probabilidades aps n Passos - Distribuio Estacionria

    Sejam:

    0(x) a distribuio inicial de probabilidades de um processo, isto , no incio do processo.

    n(x) a distribuio de probabilidades do processo aps n passos.

    P a Matriz de Transio de Passo 1, ou simplesmente Matriz de transio.

    Pn

    = P.P.P....P (multiplicao da matriz P n vezes)

    Ento a distribuio de probabilidades aps n passos pode ser obtida como:

    n(x) = 0(x)Pn

    Isto : 0(x) = 0(x)

    1(x) = 0(x)P

    2(x) = 0(x).P.P = 0(x).P2

    3(x) = 0(x).P.P.P = 0(x).P3

    ...

    n(x) = 0(x).P.P...P = 0(x).Pn

    Exemplo 12: No exemplo 2 da cidade que utiliza a terra tem-se:

    9,01,00

    2,07,01,0

    1,01,08,0

    P

    Assim, a partir da matriz de transio P e do vetor de probabilidade de

    estado para 1993, denominado (0), pode-se calcular o vetor de

    probabilidades de estado para o ano de 1998, denominado (1).

    0,52] 0,22 26,0[

    0,90,10

    0,20,70,1

    0,10,10,8

    0,50] 0,20 [0,30P 01

    Este resultado pode ser interpretado como:

    Em 1998, o estado de uso da terra na cidade ser dado pela Tabela 3:

    Tabela 3 Estado do uso da Terra em 1998

    I Uso Residencial 26%

    II Uso Comercial 22%

    III Uso Industrial 52%

  • 17

    0 1

    Exemplo 13: No exemplo 7 da utilizao das maquinas, tem-se:

    qq

    ppP

    1

    1

    1

    0

    Supondo que (0) = [ 0 1], ou seja que a mquina est funcionando, ento pode-se calcular a distribuio de probabilidades da mquina no

    prximo dia como:

    1 = 0.P =

    qq

    pp

    1

    1 10 = [ q 1-q ]

    A distribuio de probabilidades da mquina no segundo dia pode se

    calculada como:

    2 = 0.P2 =

    22

    22

    )1(2

    2)1( 10

    qpqqpqq

    pqpppqp=

    [2q pq - q2 pq + (1 - q)2]

    Lembrando que: 0: representa o estado maquina parada

    1: representa o estado maquina funcionando

    Logo: 2(0) = 2q - pq - q2 e a probabilidade da mquina estar parada

    no segundo dia.

    2(1) = pq + (1- q2) e a probabilidade da mquina estar

    funcionando no segundo dia.

    Observao: Pode ser demonstrado que, num tempo n infinitamente grande tem-se:

    qp

    qXP n

    nn

    ]0[lim)0()( a probabilidade da mquina estar parada.

    qp

    pXP n

    nn

    ]1[lim)1()( a probabilidade da mquina estar funcionando.

    Logo:

    qp

    p

    qp

    qn a distribuio de probabilidades no

    tempo n, ou seja, aps n passos.

  • 18

    Exemplo 14: Se no exemplo 5, (crianas com a bola) a distribuio inicial for

    0 = [0 1/3 0 2/3] e a matriz de transio de probabilidades dada pela matriz P,

    03

    1

    3

    1

    3

    13

    10

    3

    1

    3

    13

    1

    3

    10

    3

    13

    1

    3

    1

    3

    10

    P

    Ento, a distribuio de probabilidades depois de 2 lanamentos da bola

    (n = 2) ser calculada como: 2(x) = 0(x).P.P = 0(x).P2 , Ou seja,

    27

    8

    27

    6

    27

    7

    27

    6

    9

    3

    9

    2

    9

    2

    9

    29

    2

    9

    3

    9

    2

    9

    29

    2

    9

    2

    9

    3

    9

    29

    2

    9

    2

    9

    2

    9

    3

    3

    20

    3

    10).()( 202 Pxx

    Ou seja,

    27

    8

    27

    6

    27

    7

    27

    6)(2 x

    Exerccio de Fixao: O problema do Rato e o Labirinto

    Um rato colocado num labirinto conforme a figura abaixo:

    O rato se movimenta atravs dos compartimentos aleatoriamente, isto , se existem k

    meios de sair de um compartimento ele escolhe cada um deles com probabilidade 1/k.

    O rato faz uma mudana de compartimento a cada minuto. Seja X0 a posio inicial

    do rato e para n 1, seja Xn o compartimento onde se encontra o rato no n-simo minuto (ou aps n minutos).

    1 2

    4

    7

    5

    3

    6

    8 9

  • 19

    Pede-se:

    a) Descreva o espao de estados do sistema

    b) Calcule a matriz de probabilidades de transio para cadeia de Markov

    {Xn; n = 0, 1, 2, 3,...}.

    c) Calcule a Matriz P2.

    d) Supondo que o rato seja colocado inicialmente no box no. 9, ou seja,

    0(x) = [0 0 0 0 0 0 0 0 1], calcule (2), isto a Distribuio de Probabilidade do Passo 2.

    Soluo:

    a) Espao de Estados: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

    b)

    010000000

    3/103/103/10000

    02/10002/1000

    000000100

    010000000

    001000000

    0002/10002/10

    0000002/102/1

    000000010

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    P

    c)

    3/103/103/10000

    06/50006/1000

    6/106/406/10000

    0002/10002/10

    3/103/103/10000

    02/10002/1000

    0000002/14/14/1

    00000004/34/1

    00000002/12/1

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    .2 PPP

    d) 2 = 0.P2 = [0 0 0 0 1/3 0 1/3 0 1/3]

  • 20

    3.7 Classificao dos Estados de Uma Cadeia de Markov

    Seja S = {s1, s2, s3, ...} o Espao de Estados de uma cadeia de Markov.

    a) Estado Alcanvel (Acessvel)

    Seja si e sj dois estado de S.

    O estado sj dito ser alcanvel a partir do estado si se existe n 0 tal que 0)( nijp .

    Isto implica que possvel o sistema entrar no estado sj eventualmente quando

    o sistema comea no estado si.

    Notao: si sj

    Exemplo 15: No exerccio do rato e o labirinto tem-se s1 s3 uma vez que 0)2(

    31 p .

    Exemplo 16: Um jogador tem R$ 1,00 e a cada vez que joga ganha R$ 1,00 com

    probabilidade p > 0 ou perde R$ 1,00 com probabilidade 1 p. O jogo termina quando o jogador acumula R$ 3,00 ou R$ 0,00.

    Este jogo uma Cadeia de Markov cujos estados representam a

    quantia esperada de dinheiro que o jogador possui a cada vez

    que joga. O Espao de estados S = { 0, 1, 2, 3} e a

    matriz de transio dada por:

    1000

    010

    001

    0001

    3

    2

    1

    0

    pp

    ppP

    Nesta Cadeia de Markov, o estado 2 no alcanvel a partir do

    estado 3. Isto pode ser observado a partir do contexto, uma vez

    que se o jogador alcanar o estado 3, ele nunca deixar este

    estado, o que implica que 0)(32 np para qualquer n 0.

    Entretanto o estado 3 alcanvel a partir do estado 2, uma vez

    que 0)1(23 p .

    b) Estados Comunicantes

    Um estado sj dito comunicante com o estado si se o estado sj alcanvel a

    partir de si e o estado si alcanvel a partir de sj.

    Notao: si sj

    Obs.: si sj ento si sj e sj si.

  • 21

    Relao de Equivalncia

    i) si si

    ii) si sj sj si

    iii) Se si sj e sj sk ento si sk

    Nota: Se dois estados se comunicam entre si, diz-se que eles pertencem mesma

    classe de estados.

    Se todos os estados so comunicantes ento os estados pertencem a uma nica

    classe. Neste caso tem-se uma Cadeia de Markov Irredutvel.

    c) Estado Transiente

    Um estado dito ser transiente (transitrio) se, entrando neste estado, o

    processo pode nunca retornar novamente para este estado.

    Portanto, o estado si transiente se e somente se existe um estado sj (i j) que alcanvel a partir de si mas no vice versa, isto o estado si no alcanvel

    a partir de sj.

    Assim, se o estado si transiente e o processo visita este estado, h uma

    probabilidade positiva que o processo ir mover para o estado sj e assim nunca

    ir retornar para o estado si.

    Consequentemente, um estado transiente ser visitado somente um nmero

    finito de vezes.

    Definies

    i) Seja iif = a probabilidade condicional de que o processo iniciando em si,

    retorne alguma vez em si.

    ii) Seja ijf = a probabilidade condicional de que o processo iniciando em si,

    visite alguma vez o estado sj.

    iii) Seja nijf = a probabilidade condicional de que o processo iniciando em si

    visite sj pela primeira vez no tempo n (no n-simo passo).

    nijf = P[Xn= sj, Xn-1 sj, Xn-2 sj, ....., X1 sj / X0=si ]

    Nota: Um estado si transiente se e somente se iif < 1.

  • 22

    d) Estado Recorrente

    Um estado dito ser recorrente se, entrando neste estado, o processo

    definitivamente ir retornar para este estado.

    Portanto, um estado recorrente, se e somente se no transiente.

    Nota: Um estado si recorrente se e somente se iif = 1.

    e) Estado Absorvente

    Um estado dito absorvente se o sistema aps ter entrado nele no pode mais

    sair dele. Isto , se um estado k absorvente ento 1kkp . Uma vez que o

    processo visita o estado k no mais sai deste estado.

    f) Estado Peridico e Aperidico

    Um estado i Peridico com perodo t se um retorno a este estado possvel

    somente em t, 2t, 3t, ......passos para t > 1 e t o maio nmero inteiro com esta

    propriedade (Mximo Divisor Comum). Isto significa que 0)( niip sempre que n

    no divisvel por t.

    Se um estado i de uma classe tem perodo t ento todos os estados desta classe

    tambm tm perodo t.

    Exemplo 17:

    Todos os Estados so Peridicos. Todos os Estados so Aperidicos

    Exemplo 18: Comeando no estado 1 da matriz P possvel retornar ao estado 1

    somente nos tempos 2, 4, 6, ..... Logo o estado 1 tem perodo t = 2.

    Isto pode ser verificado calculando )(niip para todo n e observar que

    0)( niip quando "n" impar.

    S1 S6

    S3

    0,5

    0,5 0,5

    0,5

    0,5

    0,5

    S1 S6

    S3

    1

    1 1

  • 23

    1000

    010

    001

    0001

    3

    2

    1

    0

    pp

    ppP

    Se t = 1 ento o estado i chamado Aperidico. Isto , existem dois nmeros

    consecutivos s e s+1 tal que o processo pode estar no estado i nos tempos s e

    s+1.

    g) Estado Ergdico

    Em uma Cadeia de Markov de estados finitos, os estados recorrentes que so

    aperidicos so chamados de estados Ergdicos.

    Uma Cadeia de Markov dita ser Ergdica se todos os estados so Ergdicos,

    ou seja todos os estados so recorrentes e aperidicos.

    h) Classes de Comunicao ou Conjunto Fechado

    Seja S um Espao de Estados.

    Seja C = {sk tal que sk sj}, diz-se que C uma classe de comunicao (ou um conjunto fechado) do estado sj.

    Isto , um conjunto C dito ser uma classe de comunicao se o processo ao

    entrar em um desses estados de C, este ir permanecer nos estados de C

    indefinidamente, ou seja, C um conjunto tal que nenhum estado fora de C

    alcanvel a partir de qualquer estado de C.

    Pode-se afirmar que C um conjunto formado por estados recorrentes.

    Se dois estado se comunicam entre si ento pertencem mesma classe.

    Observao: Se C1 e C2 so duas classes de comunicao, ento C1 = C2 ou

    C1 C2 = .

    Se todos os estados so comunicantes, isto , todos os estados

    pertencem a uma nica classes, ento a cadeia de Markov dita

    ser Irredutvel.

    S3

  • 24

    Exemplo 19: Classes de Comunicao da matriz de transio do problema do rato e o

    labirinto.

    As classes so C1 e C2.

    C1 ={s1, s2, s3, s6} uma classe recorrente, ou seja formada por estados

    recorrentes

    C2 ={s4, s5, s7, s8, s9} uma classe recorrente, ou seja formada por

    estados recorrentes.

    Nenhum estado de C1 consegue alcanar qualquer estado de C2.

    Exemplo 20: Classifique os estados e decomponha em classes a Cadeia de Markov

    representada pela seguinte Matriz de Transio.

    00001

    03/23/100

    00100

    0002/12/1

    0004/34/1

    P

    C1

    s1 s2 s3 s6

    C2

    s9

    s8

    s7 s4

    s5

    C1

    S2 S1

    C3

    S5

    S4

    S3 C2

  • 25

    C1 ={s1, s2} uma classe recorrente, ou seja, formada por estados recorrentes

    C2 ={s3} uma classe absorvente, ou seja, formada por estados absorventes

    C3 ={s4, s5} uma classe transiente

    Exemplo 21: Classifique os estados e decomponha em classes a Cadeia de Markov

    representada pela seguinte Matriz de Transio.

    05,00005,00

    0000100

    007,0003,00

    5,0005,0000

    00009,001,0

    0010000

    02,000008,0

    P

    C1 ={s1, s2, s6} uma classe recorrente, ou seja formada por estados recorrentes

    C2 ={s4, s7} uma classe transiente

    C3 ={s2, s5} uma classe recorrente, ou seja formada por estados recorrentes

    i) Estados Estveis

    Se existir j = lim j(k) onde j(k) = P[Xk = j], para um dado estado j, ento j um estado estvel ( ou de equilbrio estacionrio).

    Se j existe para todos os estados j, ento = [0, 1, 2, ......] o vetor de probabilidade de estados estacionrios.

    Nota: Quando a cadeia de Markov for irredutvel e no peridica ento o valor de obtido resolvendo-se o sistema de equaes = P, onde 0 + 1 + 2 + .... = 1.

    C1

    S1 S6

    S3

    C3

    S2

    S5

    C2

    S7

    S4

    S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

    S1

    S2

    S3

    S4

    S5

    S6

    S7

  • 26

    3.8 Classificao de Matrizes Estocsticas

    a) Matrizes Ergdicas

    Uma matriz estocstica P Ergdica se a matriz n

    nPL

    lim existe, isto ,

    se cada )(nijp tem limite quando n. Isto , todos os estados so

    aperidicos.

    No limite, a Matriz L tem todas as linhas iguais.

    A matriz L a matriz com as distribuies limites e independe da

    distribuio inicial 0.

    b) Matrizes Regulares Uma das mais importantes caractersticas exibidas por muitas cadeias de

    Markov um comportamento de equilbrio em longo prazo. Em outras

    palavras, depois de um longo tempo, a distribuio da cadeia de Markov permanece aproximadamente a mesma de perodo em perodo de tempo. Isso

    significa que, em longo prazo, as probabilidades de o sistema estar em cada um

    dos vrios estados pouco ou nada variam medida que o tempo passa.

    Uma matriz estocstica Regular se uma das suas potncias contm apenas

    elementos positivos (no contm elementos nulos).

    Exemplo 21:

    7,02,01,0

    1,08,01,0

    1,03,06,0

    P

    A matriz P contm somente valores positivos. Logo P uma matriz Regular.

    85,015,0

    2,00P

    A matriz P contm um valor nulo. Entretanto a segunda potncia de P tem

    somente valores positivos. Logo P uma matriz Regular.

    3,07,00

    010

    8,02,00

    P

    A matriz P contm valores nulos e suas potencias continuaro com valores

    nulos. Logo P no uma matriz Regular.

  • 27

    A propriedade fundamental das matrizes Regulares a de possurem uma distribuio

    de equilbrio. Isso significa que, a longo prazo, as probabilidades de o sistema estar

    em cada um dos vrios estados estabilizam-se em determinados valores positivos. Em

    particular, ento, aps um perodo de tempo suficientemente longo, haver uma

    probabilidade positiva de estar em qualquer um dos estados da cadeia de Markov.

    Teorema: Uma matriz Regular tambm uma matriz Ergdica.

    Observaes:

    a) Se P uma matriz Regular com matriz L, ento as linhas de L so todas idnticas, tendo a soma de seus componentes igual a 1.

    b) Se P uma matriz Regular ento P uma matriz Ergdica e assim existe a matriz limite L.

    c) A Matriz L obtida resolvendo-se o sistema L = LP, com a condio de que

    )(nijp =1.

    Exemplo 22: Seja a matriz estocstica P, determine a matriz L com as distribuies

    limites.

    85,015,0

    12,088,0P

    Soluo:

    Como a matriz P contm todos os elementos positivos ento P uma matriz

    regular e por isso uma matriz Ergdica. Logo existe a matriz L.

    Clculo da matriz L:

    Seja L1 a primeira linha da matriz L onde L1 = [x1 x2]. Ento L1 = L1P.

    Isto :

    [x1 x2] = [x1 x2].

    85,015,0

    12,088,0

    1

    85,012,0

    15,088,0

    21

    221

    121

    xx

    xxx

    xxx

    1

    015,012,0

    015,012,0

    21

    21

    21

    xx

    xx

    xx

    Eliminando uma das redundncias teremos:

    1

    015,012,0

    21

    21

    xx

    xx

    Resolvendo o sistema em x1 e x2, teremos a seguinte soluo:

    x1 = 0,55 e x2 = 0,45

    Logo L1= [0,55 0,45]

    Com isso a matriz com os valores limite L ser:

    45,055,0

    45,055,0L .

  • 28

    Exemplo 23: Seja a matriz estocstica P, determine a matriz L com as distribuies

    limites.

    01

    10

    1

    0P

    Se o processo comea no estado 0 no tempo 0, o processo retornar ao

    estado 0 nos tempos 2, 4, 6, .... e entrar no estado 1 nos tempos 1, 3, 5, ....

    Portanto, o n

    nP

    lim no existe. Esta matriz no Ergdica.

    c) Matrizes Absorventes Diz-se que uma matriz absorvente se ela tem um estado absorvente e se

    de cada estado no absorvente possvel ir para algum estado absorvente.

    Esta ltima condio significa que para cada estado i no absorvente existe

    um estado absorvente j tal que, para algum n, 0)( nijp .

    Numa matriz absorvente, qualquer que seja a distribuio inicial, aps um

    nmero finito de passos, o sistema estar em um dos estados absorventes.

  • 29

    Primeira Lista de Exerccios - Cadeias de Markov

    1. O fabricante da pasta dental HIGLO controla atualmente 60% o mercado de uma determinada cidade. Dados do ano anterior mostram que 88% dos consumidores

    de HIGLO permaneceram leais marca, enquanto 12% mudaram para outras

    marcas. Alm disso, 85% dos consumidores das marcas da concorrncia

    permaneceram leais concorrncia, enquanto que os outros 15% mudaram para

    HIGLO. Assumindo que essa tendncia se mantm, resolva:

    a) Formule o processo seguinte como uma cadeia de Markov, e determine a

    Matriz de Probabilidades de transio.

    b) Determine a quota de mercado de HIGLO daqui a 5 anos.

    c) Determine a quota de mercado de HIGLO a longo prazo.

    2. O programa de formao de supervisores de produo de uma determinada companhia consiste em duas fases. A fase 1, a qual envolve 3 semanas de aulas,

    seguida da fase 2, que envolve 3 semanas nas de aprendizagem prtica sob a

    direo de supervisores experimentados. Da experincia anterior, a companhia

    espera que apenas 60% dos candidatos que comeam as aulas venham a passar

    fase seguinte, verificando-se a desistncia dos restantes 40%. Dos que passam

    fase prtica, 70% sero graduados como supervisores, 10% tero de repetir esta

    fase e 20% abandonaro o programa. Quantos supervisores pode a companhia

    esperar formar no seu programa de formao atual, sabendo que h 45 pessoas na

    primeira fase e 21 na fase prtica.

    Formule o processo seguinte como uma cadeia de Markov, identificando a matriz

    de probabilidades de transio.

    3. Resolva os itens b) e c) do problema formulado no exerccio 1, assumindo que a quota atual de mercado da HIGLO igual a 90%.

    4. Construa o diagrama de transio de estados da cadeia de Markov do exerccio 2.

    5. Os dados de um recenseamento familiar dividem as famlias em populaes economicamente estveis e economicamente deprimidas. Num perodo de 10

    anos, a probabilidade de que uma famlia estvel assim permanea de 0,92,

    enquanto a probabilidade de ela ficar em depresso de 0,08. A probabilidade de

    que uma famlia em depresso se torne estvel de 0,03, enquanto a probabilidade

    de que ela assim permanea de 0,97. Se designarmos a estabilidade econmica

    como o estado 1 e a depresso econmica como o estado 2, ento podemos

    representar este processo por uma cadeia de Markov com dois estados.

    a) Determine a matriz de probabilidades de transio do processo de

    Markov.

  • 30

    b) Faa uma interpretao fsica dos elementos 2

    ijp da matriz P2 encontrada, que representa a probabilidade de passagem do estado i para o estado j em

    dois perodos de tempo.

    6. Assumindo que os dados do exerccio 5 permanecem vlidos a longo prazo, determine a proporo de famlias que, a longo prazo, sero classificadas como

    economicamente estveis.

    7. A ala geritrica de um hospital classifica os seus pacientes como acamados ou ambulatrios. Dados histricos indicam que durante o perodo de uma semana,

    30% de todos os pacientes em ambulatrios tm alta, 40% permanecem em regime

    ambulatrio e 30% tm de ser acamados para repouso completo. Durante o mesmo

    perodo, 50% dos pacientes acamados vo para o ambulatrio, 20% permanecem

    acamados e 30% morrem. Atualmente, o hospital tem 100 pacientes na sua ala

    geritrica, com 30% dos pacientes acamados e 70% em ambulatrios.

    a) Formule o sistema como uma cadeia de Markov, e determine a matriz de

    probabilidades de transio.

    b) Determine o estado dos pacientes atuais aps 2 semanas.

    c) Determine o estado dos pacientes atuais a longo prazo.

    (O estado de um paciente com alta no muda se o paciente morrer).

    8. Numa cadeia de Markov, um estado dito ser absorvente se o sistema aps ter entrado nele no pode mais sair dele.

    Determine todos os estados absorventes para as cadeias de Markov definidas pelas

    seguintes matrizes:

    a)

    79,021,0

    01

    b)

    001

    2,03,05,0

    100

    c)

    7,003,00

    0100

    5,005,00

    0001

    d)

    6,02,02,0

    1,009,0

    1,08,01,0

    e)

    48,035,017,0

    079,021,0

    001

  • 31

    9. Num pas, existem 4 principais fabricantes de automveis : FD, VW, GM, FT. Os market shares destes fabricantes so, respectivamente : 10%, 35% , 25 % e 30 %. A matriz de transio que representa a probabilidade de mudana de marca

    dada a seguir:

    0.35 0.25 0.35 0.05

    0.05 0.75 0.05 0.15

    0.1 0.1 0.7 0.1

    0.1 0.2 0.1 .60

    P P P P

    P P P P

    P P P

    P P P

    FTFT,GMFT,VWFT,FDFT,

    FTGM,GMGM,VWGM,FDGM,

    FTVW,GMVW,VWVW,,

    FTFD,GMFD,VWFD,,

    FDVW

    FDFD

    P

    P

    P

    Supondo que o instante inicial t =0 calcule:

    a) Os market shares nos instantes t = 1 e t = 2.

    b) A matriz de transio de 2, 3, 10, 20 e 30 estgios.

    c) Baseado nos resultados de b, voc consegue fazer alguma conjectura a

    respeito da existncia de um limite para Pn ?

    10. O tempo num dia qualquer pode ser classificado como sol ou chuva. Suponha que o tempo hoje depende das condies dos ltimos 2 dias. Mostre como este sistema

    pode ser analisado como uma cadeia de Markov. Quantos estados so necessrios

    para esta representao?

    11. Um fabricante de disquetes usa cadeias de Markov para ter uma idia da lealdade dos consumidores a diversas marcas. Dados de uma pesquisa foram usados para

    estimar a seguinte matriz de transio que representa a probabilidade de mudana

    de marcas a cada ms. Suponha que existem 3 marcas principais, A, B e C.

    P

    P

    P

    P

    AA

    BA

    CA

    P P

    P P

    P P

    0.10 0.10

    0.03 0.95 0.02

    0.20 0.05 0.75

    AB AC

    BB BC

    CB CC

    080.

    A diviso de mercado das marcas A, B e C no instante inicial t = 0 so 45%, 25% e

    30%, respectivamente.

    a) Qual ser a diviso de mercado das marcas A, B e C aps 2 meses

    (isto , em t = 2)?

    b) Qual a previso para o equilbrio de mercado das marcas A, B e C, isto ,

    aps um grande nmero de transies?

    12. Classifique todas as classes de estados da matriz de transio P do problema do Rato e o Labirinto.

    13. Classifique todas as classes de estados da matriz de transio P2 do problema do Rato e o Labirinto.

  • 32

    14. Seja P uma matriz de transio, calcule a matriz P().

    001

    2,03,05,0

    100

    P

    15. Classifique os estados das Cadeias de Markov abaixo, de acordo com as suas respectivas Matrizes de Transio.

    a)

    02/12/1

    2/102/1

    2/12/10

    2

    1

    0

    P

    b)

    000001

    000001

    000001

    3/13/13/1000

    3/13/13/1000

    0002/12/10

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    P

    c)

    001

    100

    010

    2

    1

    0

    P

    16. Um treinador de futebol na moda acredita na polivalncia dos seus jogadores. Considera trs tipos de jogadores na sua equipe: Atacantes, Defesas, e Goleiro.

    Aps cada jogo reavalia os jogadores de forma a que no jogo seguinte possa us-

    los de acordo com as suas tcticas para o ataque/defesa. Alm disso, sempre que

    um jogador incorre numa falta disciplinar coloca-o, de castigo, como goleiro no

    jogo seguinte. Depois de ter experimentado este sistema uma poca observou que

    a probabilidade que, de um jogo para o outro:

    um atacante continue atacante 1/2;

    um atacante passe a defesa zero;

    um defesa passe a atacante zero;

    um defesa fique defesa 1/2;

    um goleiro passe a atacante 3/4;

    um goleiro passe a defesa zero. No nicio do campeonato classificou o seu plantel da seguinte forma: doze atacantes, onze defesas e dois goleiros. Depois pensou num modelo de cadeia de

    Markov para a evoluo da sua equipa. Os alunos de USF vo ajud-lo a entender

    o que lhe vai acontecer com este esquema, estudando a cadeia de Markov

    subjacente ao modelo.

  • 33

    1 - Identifique os seguintes itens.

    a) O espao de estados S.

    b) Um grafo dirigido correspondente s transies.

    c) A matriz de transio de estados P.

    d) A distribuio inicial .

    2 - Determine, para este modelo, os seguintes resultados.

    e) A matriz de transies de ordem superior Pn para n 1, Ex. n = 2 e n = 3.

    f) As classes de estados comunicantes.

    g) As classes fechadas e os estados absorventes.

    3 - Diga o que vai acontecer no fim do campeonato, isto , ao fim de 35 jogos.

    Se no puder efetuar o clculo exatamente proponha um resultado que ache

    plausvel.

    4 - Determine os estados transientes, recorrentes e os estados peridicos.

    5 - Determine a distribuio estacionria, se esta existir.

  • 34

    TEORIA DAS FILAS

    4 Aspectos Fundamentais sobre Filas

    4.1 Conceito de Fila

    O que so filas?

    Qualquer pessoa sabe exatamente o que so filas em decorrncia das experincias que

    o dia-a-dia nos coloca. Todos nos conhecemos o que so filas pela vivncia do dia-a-

    dia.

    Ns entramos em uma fila para descontar um cheque em um banco, pagar pelas

    compras em um supermercado, comprar um ingresso em um cinema, pagar o pedgio

    em uma estrada e tantas outras situaes. Filas existem tambm em ambientes de

    produo.

    Algumas vezes as filas so algo abstrato, tais como uma lista no computador

    referente a pedidos de manufatura em uma fbrica de geladeiras, ou uma pilha de

    papis referentes a solicitaes de reparos em mquinas estragadas dentro de uma

    fbrica, que devem aguardar a disponibilidade do reparador. Outras vezes a fila no

    vista enfileirada, mas sim, dispersa, como, por exemplo, pessoas em uma barbearia,

    esperando pela vez de cortar o cabelo, avies sobrevoando um aeroporto, esperando

    pela vez para aterrissar, ou navios parados no mar, esperando pela vez de atracar no

    porto para descarregar.

    Exemplos de Problemas de Filas:

    Chamadas Telefnicas

    Salo de Barbeiro

    Caixas de Supermercados

    Pedgios

    Posto de Gasolina

    Atracao de Navios em um Porto

    Consultrio Mdico

    Hospitais

    Bancos

    Aeroportos

    Banheiros

    Computador, etc.

  • 35

    Filas no so Simpticas

    Certamente no agradvel entrar em uma fila e esperar pelo servio e quando a

    espera longa, ficamos aborrecidos. Se estivermos em uma fila, passamos a

    comparar o desempenho da nossa fila com o desempenho das outras filas e,

    geralmente, somos levados a pensar como uma das leis de Murphy.

    Filas so Dispendiosas

    Alm de no serem simpticas, as filas tm ainda o lado desfavorvel do custo. Isto

    vlido em qualquer ambiente, indo de fbricas a um supermercado. Por exemplo, nas

    fbricas a existncia de fila em um determinado equipamento pode ocasionar um

    aumento nos tempos do ciclo de produo. As conseqncias disto podem ser

    aumento nos custos, e atrasos no atendimento aos pedidos dos clientes.

    Medidas de Efetividade de um Sistema de Filas

    1. Percentual de tempo ocioso ou ocupado

    2. Tempo mdio que cada cliente gasta na fila de espera

    3. Tempo mdio gasto pelo cliente no sistema

    4. Nmero mdio de clientes na fila

    5. Nmero mdio de clientes no sistema

    6. Probabilidade de existir um nmero n de clientes no sistema.

    4.2 Dimensionamento de Filas

    Do ponto de vista do cliente, o ideal seria dimensionar sistemas para a no existncia

    de filas e, se isto realmente fosse possvel, certamente no teramos clientes

    aborrecidos.

    Em muitas situaes na vida real, apesar de no serem simpticas e de causarem

    prejuzos, temos que conviver com as filas na vida real, visto ser antieconmico

    superdimensionar um sistema para que nunca existam filas. O que se tenta obter um

    balanceamento adequado que permita um atendimento aceitvel pelo melhor custo e

    melhor benefcio.

    Lei de Murphy:

    A fila que anda a outra, mas no adianta trocar de fila, pois a fila que anda a outra.

  • 36

    O melhor dimensionamento de um sistema de filas pode estar fundamentado nos

    seguintes itens:

    - Na demanda histrica mdia;

    - Na expectativa de qualidade de atendimento por parte dos clientes;

    - Na necessidade de oferecer uma melhor renda aos funcionrios;

    - Na percepo, pelo proprietrio, da fidelidade dos clientes;

    - Na percepo, pelo proprietrio, de que no existe nenhuma ameaa de

    surgimento de um novo concorrente na vizinhana.

    O dimensionamento de sistemas pode ser feito por duas abordagens inteiramente

    diferentes entre si:

    - Teoria das Filas;

    - Simulao de Funcionamento dos Sistemas.

    A Teoria das Filas um mtodo analtico que aborda o assunto por meio de

    frmulas matemticas.

    A Simulao uma tcnica que, utilizando um computador, procura montar um

    modelo que melhor represente o sistema em estudo. A simulao uma tcnica que

    permite imitar o funcionamento de um sistema real. Pode-se visualizar o

    funcionamento de um Banco, uma Fbrica, um Pedgio, etc.

    4.3 Aspectos Histricos

    Teoria das Filas

    A abordagem matemtica de filas se iniciou no princpio do sculo XX (1908) em

    Copenhague, Dinamarca, com A. K. Erlang, considerado o pai da Teoria das Filas,

    quando trabalhava em uma companhia telefnica estudando o problema de

    redimensionamento de centrais telefnicas. Foi somente a partir da segunda guerra

    mundial que a teoria foi aplicada a outros problemas de filas. Apesar do enorme

    progresso alcanado pela teoria, inmeros problemas ainda no so adequadamente

    resolvidos devido a complexidades matemticas.

  • 37

    Simulao

    Com surgimento do computador na dcada de 50, a modelagem de filas pode ser

    analisada pelo ngulo da simulao, em que no mais se usam frmulas matemticas,

    mas apenas tenta-se imitar o funcionamento do sistema real. As linguagens de

    simulao apareceram na dcada de 60 e hoje, graas aos microcomputadores, podem

    ser facilmente usadas. A tcnica de simulao visual, cujo uso se deu a partir da

    dcada de 80, por causa de sua maior capacidade de comunicao, teve uma aceitao

    surpreendente. Por causa do seu menor nvel de complexidade, seu uso cresceu

    enormemente.

    5 Fundamentos Bsicos de Filas

    5.1 - Elementos de Uma Fila

    A Figura 1 ilustra os elementos que compem uma fila.

    Num sistema de filas tem-se que, de certa populao, surgem os clientes que formam

    uma fila e que aguardam por algum servio.

    O termo cliente usado de uma forma genrica e pode representar tanto uma pessoa,

    um navio, ou um produto numa linha de produo.

    O atendimento constitudo de um ou mais servidores (que podem ser chamados de

    atendentes ou canais de servio) e tanto podem representar um barbeiro, um cais de

    atrao ou uma mquina numa linha de produo.

    Servidor

    Servidor

    Servidor

    Atendimento

    Fila

    Clientes

    Populao

    Figura 1: Elementos de uma fila

  • 38

    5.2 Caractersticas de Uma Fila

    5.2.1 - Clientes e Tamanho da Populao

    Um cliente proveniente de uma populao. Quando a populao muito grande

    dizemos que a populao infinita para efeitos prticos. Em populao muito grande

    a chegada de um novo cliente numa fila no afeta a taxa de chegada dos clientes

    subseqentes e, assim, conclumos dizendo que as chegadas so independentes.

    Como exemplo, a chegada de um novo passageiro numa fila de um metr no afetar

    a taxa de chegada dos demais clientes. Quando a populao pequena isto no

    acontece, como exemplo, se numa populao de 3 caminhes para serem carregados

    por uma carregadeira, se os 3 caminhes j esto na fila, a partir deste momento a

    taxa de chegada ser zero, porque no h mais caminhes para chegar na fila.

    5.2.2 - Processo de Chegada

    Consideremos um posto de pedgio com 5 atendentes. Podemos constatar, por

    exemplo, que o processo de chegada de veculos entre 7 e 8 horas da manh pode ser

    definido por 20 veculos por minuto, ou 1 veculo a cada 3 segundos. Trata-se de um

    valor mdio, pois no significa que em todo intervalo de 1 minuto chegaro 20

    veculos. Em alguns intervalos de 1 minuto pode-se constatar a chegada de 10, 15, 25

    ou at mesmo 30 veculos. Igualmente, o intervalo de 3 segundos entre chegadas no

    rgido e podemos constatar valores desde zero segundo (2 veculos chegando

    juntos) at 20 segundos. O nmero 3 segundos representa o intervalo mdio entre

    chegadas no perodo de 7 s 8 horas da manh.

    Resumindo: Podemos quantificar o processo de chegada dizendo que:

    - A taxa mdia de chegadas de 20 veculos por minuto, ou que

    - O intervalo mdio entre chegadas de 3 segundos.

    No entanto existem variaes em torno da mdia e, portanto, para caracterizar

    corretamente um processo de chegada devemos lanar mo de uma distribuio de

    probabilidades, tal como a distribuio normal, a distribuio de Poisson, ou a

    Distribuio Exponencial.

    Quando se estudam filas, o ritmo de chegada uma importante varivel aleatria e a

    seguinte notao ser adotada:

    A letra grega ser adotada para representar o ritmo de chegada.

    A sigla IC ser adotada para representar os intervalos de chegada dos clientes.

    Assim, no exemplo anterior temos:

  • 39

    Ritmo de chegada (ou taxa de chegada): = 20 clientes/minuto

    Intervalo entre chegadas: IC = 3 segundos

    5.2.3 - Processo de Atendimento

    Continuando com o exemplo do pedgio e observando um atendente em servio,

    podemos constatar, por exemplo, que ele atende 6 veculos por minuto ou que gasta

    10 segundos para atender um veculo. Estes valores so mdios e, para descrev-los

    corretamente devemos tambm utilizar uma distribuio de probabilidades.

    Resumindo: Podemos quantificar o processo de atendimento dizendo que:

    - A taxa mdia de atendimento de 6 veculos por minuto, ou que

    - O Tempo mdio de atendimento de 10 segundos.

    O processo de atendimento tambm quantificado por uma importante varivel

    aleatria e a seguinte notao ser adotada:

    A letra grega ser adotada para representar o ritmo de atendimento.

    A sigla TA ser adotada para representar os tempos de atendimento dos clientes.

    Assim, no exemplo anterior temos:

    Ritmo de atendimento (ou taxa de atendimento): = 6 clientes/minuto

    Tempo de Atendimento: TA = 10 segundos

    5.2.4 - Nmero de Servidores

    O mais simples sistema de filas aquele de um nico servidor que pode atender um

    nico cliente de cada vez. Conforme aumenta o ritmo de chegada dos clientes,

    podemos manter a qualidade do servio aumentando convenientemente o nmero de

    servidores. A figura 1 representa um sistema de filas com 3 servidores.

    5.2.5 - Disciplina da Fila

    Trata-se da regra que define o prximo cliente a ser atendido e o processo comum de

    atendimento aquele em que o primeiro da fila atendido ou, de uma maneira mais

    ampla, o primeiro a chegar o primeiro a ser atendido (FIFO: first In First Out).

    Outras disciplinas podem existir tais como ultimo a chegar o primeiro a ser atendido (LIFO: Last In First Out), ou ento atendimento por ordem de prioridade, ou atendimento aleatrio.

  • 40

    5.2.6 - Tamanho Mdio da Fila

    O tamanho mdio da fila a caracterstica que mais se considera ao se defrontar com

    a opo de se escolher uma fila. Considera a situao de um cliente em um

    supermercado procurando efetuar o pagamento no caixa de menor fila: o ideal

    chegar ao caixa e ser logo atendido, ou seja, fila zero.

    Quando a fila de tamanho razovel (por exemplo 10 clientes) intuitivamente

    sabemos que o tempo de espera na fila ser longo. Assim, o supermercado

    dimensiona a quantidade de caixas de modo que, a qualquer momento, os clientes no

    sintam um grande desconforto ao pegar uma fila. Situaes atpicas certamente

    ocorrero, mas no devem afetar a credibilidade da instituio.

    5.2.7 - Tamanho Mximo da Fila

    Quando os clientes devem esperar, alguma rea de espera deve existir (por exemplo:

    as cadeiras de uma barbearia). Observa-se, na vida real,que os sistemas existentes so

    dimensionados para certa quantidade mxima de clientes em espera. Esse

    dimensionamento geralmente feito com base em experincia real. Quando existe

    um crescimento da demanda, se faz uma ampliao tambm baseada na experincia

    com o manuseio do referido sistema.

    H casos em que um novo cliente que chega pode ser recusado, devendo tentar

    novamente em outro instante. Exemplo: tentativa de conseguir uma linha telefnica,

    recebendo o sinal de ocupado ou de que no h linha disponvel.

    Essas condies referem-se ao que se chama de tamanho mximo da fila, que uma importante varivel de estudo em um sistema de filas.

    5.2.8 - Tempo Mdio de Espera na Fila

    O tempo mdio de espera na fila outra caracterstica capaz de causar irritaes nos

    clientes. O ideal que no haja tempo de espera na fila, mas nem sempre a melhor

    situao do ponto de vista econmico.

    Se entrarmos numa fila com 10 pessoas nossa frente, o tempo de espera ser igual

    ao somatrio dos tempos de atendimento de cada uma dos clientes na nossa frente ou,

    possivelmente, ser igual a 10 vezes a durao mdia de atendimento dos clientes.

    Tal como o tamanho mdio da fila, o tempo mdio de espera na fila depende do

    processo de chegada e do processo de atendimento.

  • 41

    5.3 Distribuio do Tempo de Atendimento

    Quando nos referimos a filas, precisamos recorrer s variveis aleatrias. Assim para

    as principais variveis existe um valor mdio e uma distribuio de freqncias que

    mostra as chances de ocorrncias dos valores.

    Quando se diz que a durao mdia de atendimento de 10 segundos, no se est

    afirmando que todo atendimento de 10 segundos. Em diferentes momentos de

    observao podem-se ter valores maiores ou menores que 10 segundos.

    Para exemplificar a varivel tempo de atendimento, se fosse coletada uma grande quantidade de dados sobre o atendimento poder-se-ia concluir que existe um padro

    de atendimento expresso por uma distribuio de freqncias, tal como mostrado na

    Figura 2.

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    Fre

    qu

    en

    cia

    Rela

    tiva (

    %)

    2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

    Pela Figura 2 pode-se concluir que:

    nula a probabilidade de atender um cliente em menos de 5 segundos

    A probabilidade de atender um cliente em 10 segundos 18% ou 0,18.

    A probabilidade de atender um cliente em 25 segundos 0,5% ou 0,05.

    A mesma observao pode ser feita para outras variveis tais como tamanho mdio

    da fila, etc.

    Figura 2: Tempo de Atendimento (segundos)

  • 42

    5.4 Dinmica de uma Fila

    Imagine um observador fazendo anotaes num sistema de filas num banco durante

    30 minutos, anotando o intervalo entre chegadas dos clientes no caixa eletrnico e

    anotando tambm o tempo de atendimento do cliente. Imagine que o observador

    obteve os seguintes resultados em minutos:

    Processo de Chegada

    Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2

    Momento 3 6 9 12 17 17 18 23 24 28 29 31

    No perodo de meia hora chegaram 12 pessoas em intervalos de minutos:

    Momento: significa o instante da chegada do novo cliente

    Intervalo: significa o tempo que levou para chegar um novo cliente

    Exemplo: O 1 cliente demorou 2 minutos para chegar, chegou no 3 minuto.

    O 5 e o 6 clientes chegaram juntos no 17. minuto.

    Neste sistema, as seguintes perguntas podem ser feitas:

    - Qual a mdia dos intervalos de chegada?

    - Qual a taxa de chegada dos clientes?

    IC = Intervalo de Chegada

    A soma de todos os intervalos igual a 30, logo, pode-se concluir que:

    Em mdia: IC = utosmin5,212

    30

    clientes de total

    intervalos dos soma

    Ou seja, pode-se concluir que em mdia a cada 2,5 minutos chega um cliente.

    Desta forma, pode-se concluir que a taxa de chegada de clientes por hora :

    horaporclientes24minutos 2,5

    minutos 60

    Graficamente temos:

    Minutos

    Clientes

    2. 1. 3. 6. 9. 12. 17. 18. 23. 31.

    1. 2. 3. 4. 7. 5.

    6. 8. 12.

  • 43

    Concluso: IC = 2,5 minutos ou

    = 24 clientes por hora ou

    = 0,4 clientes por minuto

    Processo de Atendimento

    O observador anotou o tempo de atendimento dos clientes no caixa eletrnico e

    obteve os seguintes resultados em minutos:

    Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    Tempo de

    Atendimento

    1

    2

    1

    1

    3

    2

    1

    4

    2

    3

    1

    3

    O tempo total de atendimento de todos os clientes foi de 24 minutos.

    O tempo mdio de atendimento dos clientes :

    minuntos212

    24

    12

    313241231121

    TA

    Ou seja, TA = 2 minutos por cliente

    Ou seja, o sistema tem capacidade de atender 30 clientes por hora. Logo, a taxa de

    atendimento =30.

    Concluso: = 30 clientes por hora

    TA = 2 minutos

    Parmetros do Sistema

    Taxa de Chegada dos Clientes:

    = 24 clientes por hora

    IC = 2,5 minutos

    Taxa de Atendimento dos Clientes:

    = 30 clientes por hora

    TA = 2 minutos

    Nota: Todos esses parmetros representam mdias.

  • 44

    Dinmica do Funcionamento de uma Fila

    Pela Figura 3, observa-se que:

    - O primeiro cliente chegou ao caixa eletrnico no incio do 3 minuto e seu

    atendimento durou 1 minuto, portanto se encerrou no final do 3 minuto.

    - O quinto cliente chegou ao caixa eletrnico no incio do 17 minuto e seu

    atendimento durou 3 minutos, portanto se encerrou no final do 19 minuto.

    - O 6 cliente chegou ao caixa eletrnico junto com o 5 cliente. Ento no incio do

    20 minuto foi iniciado o atendimento do 6 ciente que se estendeu at o final do 21

    minuto.

    - O 12 cliente saiu do atendimento no final do 35 minuto.

    De acordo com a Figura 3, os tempos fila foram:

    Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    Tempo de

    fila

    0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2

    10

    11

    12

    1 2 3 4 5

    6

    7

    8

    9

    10

    7

    6 9

    11

    12

    5 10 15 20 25 30 35

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

    Tempo de

    Atendimento

    Tempo de

    Espera na Fila

    Figura 3: Dinmica do Funcionamento de uma Fila

  • 45

    Portanto, os seguintes parmetros podem ser calculados:

    Total de clientes atendidos: 12

    Tempo Mdio de Fila:

    minutos 33,112

    16

    12

    231304300000

    clientes de total

    fila de totaltempoTMF

    Tamanho Mdio da Fila

    clientes 4,035

    16

    35

    231343

    oatendiment no gasto tempo

    fila de totaltempoTaMF

    Observao:

    Revendo os dados do sistema do banco, pode-se concluir que:

    = 24 clientes por hora (ou IC = 2,5 minutos)

    = 30 clientes por hora (ou TA = 2minutos)

    Observe que a capacidade de atendimento do sistema () superior ao ritmo de

    chegada dos clientes (), mas mesmo assim houve a formao de filas.

    Sistemas Estveis

    A abordagem matemtica de filas pelo uso da Teoria das Filas exige que exista

    estabilidade no fluxo de chegada e no processo de atendimento, ou seja, os valores

    e devem se manter constantes no tempo. Do contrrio deve ser utilizada a tcnica

    de simulao de sistemas.

    Por exemplo, observando-se o funcionamento de um banco, poderamos verificar que

    o fluxo de chegada de clientes varia durante o dia na seguinte forma:

    Perodo 10 s 12 horas 12 s 14 horas 14 s 16 horas

    Fluxo Mdio Alto Mdio

    Ou seja, no existe uma estabilidade para o ritmo de chegada dos clientes e neste caso

    o uso da Teoria das Filas s pode ser aplicado se o perodo global de chegada for

    retalhado em perodos parciais estveis.

  • 46

    Condies para sistemas Estveis:

    O fluxo mdio de chegada constante ( constante).

    O fluxo mdio de atendimento constante ( constante).

    O ritmo de atendimento maior que o ritmo de chegada (

  • 47

    b) Tempo mdio de carregamento

    horasmdia 5,512

    66

    Taxa de carregamento dos navios horapornavios18,05,5

    navio 1

    h

    c) Funcionamento do Sistema

    Navios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    Intervalo 10 02 13 07 02 08 08 08 10 09 01 14

    Momento 11 13 26 33 35 43 51 59 69 78 79 93

    d) Tamanho Mdio da Fila

    079,0101

    413

    TaMF

    e) Tempo Mdio de Fila

    filanahoras66,012

    413

    TMF

    5.5 Conceitos Bsicos de Fila

    Seja um sistema de filas, numa situao estvel, na qual clientes chegam e entram na

    fila onde existe um nmero c de atendentes.

    Portanto, tem-se:

    = Ritmo mdio de chegada dos clientes

    = Ritmo mdio de atendimento dos clientes

    c = Capacidade de atendimento do sistema

    Dentre as variveis aleatrias num sistema de filas, algumas so fundamentais e esto

    ilustradas na Figura 4.

    11 13 16 21 26 29 33 35 36 42 49 51 57 59 67 69 71 78 79 83 91 93 101

    1 2 3 7 4 6 5 8 9 10 11 12

    2 11 5

    Atendimento

    Filas

  • 48

    Sistema de filas

    5.5.1 Variveis Aleatrias Fundamentais

    Variveis Referentes ao Sistema

    TS = Tempo Mdio de Permanncia no Sistema

    NS = Nmero Mdio de Clientes no Sistema

    Variveis Referentes ao Processo de Chegada

    = Ritmo Mdio de Chegada

    IC = Intervalo Mdio Entre Chegadas

    Por definio IC

    1ou

    1IC

    Variveis Referentes Fila

    TF = Tempo Mdio na Fila

    NF = Nmero Mdio de Clientes na Fila

    Clientes na Fila

    Ent

    rada

    Sa

    da

    Cliente no atendimento

    Chegada IC

    Fila TF NF

    Atendimento C TA NA

    Figura 4: Sistema de Filas

  • 49

    Variveis Referentes ao Processo de Atendimento

    TA = Tempo Mdio de Atendimento (ou servio)

    C = Capacidade de Atendimento (n de atendentes)

    NA = Nmero Mdio de Clientes em Atendimento

    = Ritmo Mdio de Atendimento de Cada Atendente

    Por definio: TA

    ouTA11

    Relaes Bsicas

    NS = NF + NA

    TS = TF + TA

    IC

    TA

    TA

    1IC

    1

    NA

    Taxa de Utilizao dos Atendentes

    Para o caso de uma fila com um atendente:

    A taxa de utilizao

    Para o caso de uma fila com um nmero c de atendentes:

    A taxa de utilizao

    .C

    Exemplo de taxa de utilizao dos atendentes

    Chegada dos clientes: = 4 clientes por hora

    Ritmo de atendimento: = 10 clientes por hora

    Ento 4,010

    4

    Concluso: 40% do tempo o atendente fica ocupado e 60% do tempo fica ocioso.

    Nota: Se =, ou seja, o ritmo de chegada igual ao ritmo de atendimento, ento

    1

    Isto significa que os atendentes ficam 100% do tempo ocupados.

  • 50

    Frmulas Derivadas

    Frmula de Litlle:

    NF = . TF

    NS = . TS

    Nmero Mnimo de Atendentes

    Exemplo:

    Se 5,0

    ento i = 1

    Se 3,1

    ento i = 2

    Se 4,3

    ento i = 4

    Exemplos:

    Em uma fabrica observou-se o funcionamento de um dado setor em que = 20 clientes por hora, = 25 clientes por hora e TS = 0,3 horas. Pedese o tamanho mdio da fila.

    Dados: 20 NF = ?

    25

    horaTS 3,0

    TATFTS horasTA 04,025

    11

    TATSTF ==> 04,03,0 TF ==> horasTF 26,0

    TFNF . ==> 26,0.20NF ==> horaporclientesNF 2,5

    eiroint nmeroprximoorepresentaonde,

    i

  • 51

    Exerccio:

    Em uma minerao cada caminho efetua um ciclo onde carregado de minrio por

    uma das carregadeiras, desloca-se para o britador para o descarregamento e retorna as

    carregadeiras. Verificar se que o tempo mdio (TS) dos caminhes percorrerem o

    sistema de 12 minutos. Sabe-se que em mdia existem 6 caminhes no britador

    (NS). Qual a taxa de chegada dos caminhes?

    Frmula de Little

    TFNF .

    TSNS .

    Ciclo

    Chama-se ciclo o tempo que um caminho gasta, partindo de um ponto e chegando ao

    mesmo ponto.

    Durao do ciclo = /populao

    Suponha que a populao seja de 30 caminhes, calcule a durao do ciclo.

    utosciclo min605,0

    3030

    Pode-se calcular o ciclo como:

    Ciclo = TS + TFS (tempo no sistema + tempo fora do sistema)

    Neste exemplo: TS = 12 minutos Ciclo = 60 minutos

    Ciclo = TS + TFS ===> TFS = Ciclo - TS

    TFS = 60 12 ===> TFS = 48 minutos

    Carregadeiras

    Caminhes

    Britador

    Sis

    tem

    a de

    Fil

    as

    utominporhominca5,012

    6

    TS

    NS

  • 52

    Resumo das frmulas

    Taxa de Chegada

    Taxa de Atendimento

    Intervalo Ente Chegadas IC = 1/

    Tempo de Atendimento TA = 1/

    Taxa de Utilizao dos Atendentes = /(c.)

    Nmero Mnimo de Atendentes

    i

    Relao Entre Fila, Sistema e Atendimento NS = NF + NA

    NA = /

    NS = NF + / = NF + TA/IC

    TS = TF + TA

    Formulas de Little NF = TF

    NS = TS

    Ciclo Ciclo = TS + TFS

    Ciclo = (Populao)/

  • 53

    5.5.2 - Postulados Bsicos

    A. Em qualquer sistema estvel, o fluxo que entra igual ao fluxo que sai.

    B. Em qualquer sistema estvel, o fluxo de entrada se mantm nas diversas sees do sistema, desde que no haja juno ou desdobramento.

    C. Em qualquer sistema estvel a juno de fluxos equivale s suas somas aritmticas, 3 = 1 + 2.

    D. Num sistema estvel, o desdobramento percentual de um fluxo igual ao desdobramento aritmtico do mesmo fluxo. Assim se aps a estao A 80% do

    fluxo se deslocou para a estao B, ento o ritmo de chegada em B de

    0,8x20 =16 clientes por minuto.

    => =>

    A B C

    B

    A

    C

    1

    2

    3 3

    C

    A B 1=20

    2=16

    3=16 80%

    20%

    3=4

    3=4

  • 54

    Segunda Lista de Exerccios

    1) Em uma pizzaria que faz entregas em casa, chegam a mdia 4 entregadores por minuto para pegar o produto a ser entregue. Sabe-se ainda que o nmero mdio

    de entregadores dentro da pizzaria de 6 (NS). Qual o tempo mdio no

    sistema?

    2) No mesmo sistema anterior, existem 40 entregadores. Qual o tempo mdio da entrega (TFS)?

    3) Em um sistema de computao tem-se: Tempo mdio para calcular e fornecer dados (TFS) = 15 seg. Nmero de

    terminais ativos igual a 40. A taxa de chegada de transaes = 2 por segundo. Pede-se o tempo de resposta do computador.

    4) Em uma minerao tem-se 12 caminhes efetuando um ciclo no qual consomem 4 minutos entre fila e carregamento pela escavadeira (TS) e a

    seguir, gastam 8 minutos para levar a carga at o britador e voltar (TFS).

    Calcular , o ritmo de chegada dos caminhes e NS, o nmero de caminhes no sistema.

    5) Em um sistema de computao tem-se 21 terminais. O tempo mdio de resposta do computador (TS) de 2 segundos e existem em mdia 6 transaes

    (NS) dentro do sistema. Pede-se:

    a) Qual a taxa de chegada das transaes? b) Qual a durao de um ciclo? c) Qual o tempo mdio de calcular e fornecer dados (TFS)?

    6) Na figura seguinte, representativo do fluxo de peas de um setor de uma fbrica, calcule o fluxo de chegada de peas em cada equipamento.

    A

    B

    C

    D

    E

    F =20

    =10

    30%

    70%

  • 55

    6 O Sistema de uma Fila e um Atendente

    Pode ser mostrado que a distribuio de probabilidades de Poisson se ajusta bem para

    o processo de chegada de muitos sistemas na vida prtica. Assim, no processo de

    chegada de clientes em sistemas de filas a distribuio de probabilidades de Poisson

    se ajusta perfeitamente.

    Quando o processo de chegada de clientes segue uma distribuio de probabilidades

    de Poisson, pode ser mostrado que os intervalos entre as chegadas dos clientes

    seguem uma distribuio de probabilidades Exponencial Negativa.

    Com a utilizao destas distribuies de probabilidades pode-se calcular uma srie de

    dados que caracterizam um sistema de filas.

    Consideremos um sistema de filas com uma nica fila e um nico atendente com os

    seguintes parmetros do sistema:

    = taxa de chegada dos clientes

    = taxa de atendimento dos clientes

    n = nmero de clientes no sistema

    Desta forma, os seguintes resultados podem ser estabelecidos:

    6.1 Equaes do Modelo

    a) Probabilidade de haver n clientes no sistema:

    1

    nXP

    n

    b) Probabilidade de que o nmero de clientes no sistema seja superior a um certo

    nmero k.

    1K

    KXP

    c) Probabilidade de que o sistema esteja ocioso (parado).

    10XP

    d) Probabilidade de que o sistema esteja ocupado.

    0XP

  • 56

    e) Nmero mdio de clientes no sistema

    NS

    f) Nmero mdio de clientes na fila.

    NF2

    g) Tempo mdio de espera na fila.

    TF

    h) Tempo mdio gasto no sistema

    1TS

  • 57

    Terceira Lista de Exerccios

    1 - Clientes chegam a uma barbearia em um ritmo de 3 por hora e o servio demora,

    em mdia, 16 minutos. Qual o tempo mdio de espera na recepo?. Qual o

    tempo mdio no sistema?

    2 Pessoas chegam a uma bilheteria de um teatro a um ritmo de 25 por hora. O tempo mdio de atendimento da bilheteria de 2 minutos. Calcule o tamanho da

    fila, o tempo mdio de espera e a frao de tempo em que a bilheteria no

    trabalha.

    3 Em um sistema no qual =4 clientes/hora e =6 clientes/hora, qual a probabilidade de existir no sistema:

    a) nenhum cliente

    b) um cliente

    c) 3 ou 4 clientes

    d) 5 ou mais clientes

    4 No mesmo sistema anterior, admitindo-se que o custo do cliente parado seja de R$ 10,00 por hora, pede-se o custo por hora de clientes no sistema.

    5 Uma empresa deseja comprar um equipamento para efetuar manuteno em suas mquinas, que estragam a um ritmo de 12 falhas por semana. A empresa possui

    duas opes: o equipamento A custa R$ 20.000,00 e capaz de efetuar 15

    consertos por semana; o equipamento B custa R$ 80.000,00 e capaz de efetuar

    50 consertos por semana. Sabe-se que o custo semanal de uma mquina parada

    de R$ 550,00 e que o tempo til de vida de ambos os equipamentos de 5 anos.

    Pergunta-se: Qual equipamento deve ser adquirido de modo que o custo total

    anual (52 semanas) seja mnimo?

    Observaes:

    - Para calcular o custo total do valor do equipamento, efetue a operao:

    (Custo Anual)=(custo do equipamento)x(fator de recuperao do capital)

    - Considere uma taxa de juros de 15% ao ano. Assim, temos que o fator de

    recuperao de capital de 0,2984.

    6 Em um sistema de filas seqenciais, conforme figura, no qual as peas fluem pela linha de produo, temos: 1=10; 2= 5; 1=15; 2=30 e 3=20. Calcule:

    a) NF, TF,NS e TS para cada um dos servidores.

    b) NS e TS para o sistema como um todo.

    B

    A

    C

    1

    2

    3 3

  • 58

    7 Em um setor de uma fbrica, o produto que est sendo fabricado chega para receber componentes adicionais, trabalho este realizado por um operrio. Aps

    instalados os componentes, o produto inspecionado por um profissional

    qualificado. Os produtos que passam na inspeo vo para outro setor da fbrica e

    os que so rejeitados (20%) vo para uma rea de reparo existente no prprio

    setor. Atualmente os dados so os seguintes:

    - A cada 40 minutos chega um novo produto ao setor;

    - O instalador gasta 25 minutos para instalar os componentes;

    - O inspetor gasta 5 minutos para inspecionar o trabalho realizado;

    - O reparador gasta 10 minutos para efetuar os reparos necessrios;

    - Os tempos de deslocamentos do produto entre as estaes de trabalho so iguais

    a 1 minuto.

    Pede-se:

    a) NF, NS, TF e TS para cada servidor. b) NS e TS para o sistema como um todo.

  • 59

    Quarta Lista de Exerccios

    1) Os clientes chegam a uma loja de convenincia de um posto de gasolina a uma

    taxa de = 40 clientes/hora, segundo uma distribuio de Poisson. O nico caixa da loja pode atend-los a uma taxa de = 60 clientes/hora, segundo uma distribuio exponencial.

    Pede-se:

    1. A taxa de ocupao do funcionrio;

    2. P comprimento mdio da fila;

    3. O nmero mdio de clientes no sistema;

    4. O tempo mdio despendido esperando na fila;

    5. tempo mdio no sistema.

    2) Existe apenas uma mquina copiadora na sala dos alunos da faculdade. Os alunos

    chegam a uma taxa de = 40 alunos/hora, segundo uma distribuio de Poisson. Uma cpia leva um tempo mdio de 40 segundos, ou = 90 alunos/hora, segundo uma distribuio exponencial.

    Pede-se:

    1. A taxa de ocupao da mquina;

    2. O comprimento mdio da fila;

    3. O nmero mdio de alunos no sistema;

    4. O tempo mdio despendido esperando na fila;

    5. Tempo mdio no sistema.

    3) Devido a um recente aumento de negcios, o secretrio de uma firma de advocacia

    agora precisa digitar com um editor de textos uma mdia de 20 cartas por dia,

    segundo uma distribuio de Poisson. Ele leva aproximadamente 20 minutos para

    digitar cada carta, segundo uma distribuio exponencial.

    Supondo que o secretrio trabalha 8 horas por dia.

    Pede-se:

    1. A taxa de utilizao do secretrio;

    2. O tempo mdio de espera para que o secretrio digite uma carta;

    3. O nmero mdio de cartas no sistema;

    4. O nmero mdio de cartas esperando digitao;

    5. A probabilidade de que o secretrio tenha mais de 5 cartas para digitar.

    4) Numa clnica veterinria, vacina-se um co a cada 3 minutos. Os ces chegam a

    uma taxa de 1 co a cada 6 minutos, de acordo com uma distribuio de Poisson.

    Pede-se:

    1. A taxa de utilizao da clnica;

    2. A taxa de ociosidade da clnica;

    3. O tempo mdio de espera para um co ser vacinado;

    4. O nmero mdio de ces na clnica;

    5. O nmero mdio de ces esperando para serem vacinados;

  • 60

    6. A probabilidade de que a clnica possua mais de 3 ces para vacinar.

    5) Uma empresa de elevadores mantm uma equipe de atendimento para consertar

    elevadores defeituosos que ocorrem uma mdia de = 3 elevadores por dia. A equipe pode atender a uma mdia de = 8 mquinas por dia. Pede-se:

    1. A taxa de utilizao da equipe;

    2. O tempo mdio de espera de um elevador defeituoso;

    3. O nmero de elevadores aguardando reparo num dado momento qualquer;

    4. Qual a probabilidade de que mais de 1 elevador esteja esperando por reparo;

    5. Qual a probabilidade de que mais de 3 elevadores estejam esperando por reparo;

    6) Num complexo de 4 salas de cinemas, cada uma das salas com um filme diferente

    e com horrios de incio dos filmes alternados para evitar tumulto, existe apenas

    uma bilheteria capaz de atender 280 clientes por hora. Clientes chegam a uma taxa

    de 210 clientes por hora. Para determinar a eficincia da atual operao de venda

    de ingressos, deseja-se examinar algumas caractersticas de operao da fila.

    Pede-se:

    1. O numero mdio de espectadores esperando na fila para comprar um ingresso;

    2. A taxa de ocupao da bilheteria;

    3. Tempo mdio de fila de um espectador;

    4. Qual a probabilidade de mais de 15 pessoas estejam esperando na fila;

    7) A estao de colheita no centro-oeste curta, e os fazendeiros entregam suas

    cargas de caminho fechado de soja a um gigantesco silo de armazenagem central

    em um perodo de tempo de 2 semanas. Por causa disso, os caminhes carregados

    com soja, que esperam para descarregar e retornar ao campo, tem de estacionar a

    uma quadra do silo de armazenagem. O silo central pertence cooperativa e do

    interesse de todos os fazendeiros tornar o processo o mais eficiente possvel. O

    custo da deteriorao dos gros provocada pelos atrasos na descarga e o custo do

    aluguel dos caminhes e do tempo ocioso dos motoristas so preocupaes

    significativas para os membros da cooperativa. Embora os fazendeiros tenham

    dificuldade em quantificar o prejuzo em gros, fcil estabelecer que o custo da

    espera e da descarga para caminhes e motoristas de R$18, 00 a hora. Durante a

    temporada de 2 semanas, o silo de armazenagem permanece aberto e funciona 16

    horas por dia, 7 dias por semana, podendo descarregar 35 caminhes por hora. Os

    caminhes carregados chegam durante todo o dia a uma taxa de 30 caminhes por

    hora. Para ajudar a cooperativa a tratar o problema de perda de tempo enquanto os

    caminhes esperam na fila ou descarregam no silo, encontre:

    1. O nmero mdio de caminhes no sistema;

    2. O tempo mdio por caminho no sistema;

    3. A taxa de utilizao da rea do silo;

    4. A probabilidade de que mais de 3 caminhes estejam esperando na fila;

  • 61

    5. O custo dirio total de os fazendeiros terem seus caminhes presos por causa do

    processo de descarga;

    6. A cooperativa s utiliza intensamente o silo durante 2 semanas por ano. Os

    fazendeiros estimam que o aumento do silo reduziria os custos de descarga em

    50% no ano seguinte. Custaria R$ 9.000,00 para fazer isso fora da temporada da

    colheita. Vale a pena efetuar a despesa para aumentar a rea de armazenagem?

    8) Uma loja mantm um bem-sucedido callcenter no qual um funcionrio recebe os

    pedidos por telefone. Se o funcionrio estiver ocupado em um linha, as demais

    chamadas so transferidas para um atendimento automtico que solicita o cliente a

    esperar. Assim que o funcionrio se desocupa, a chamada que estiver esperando ha

    mais tempo transferida e atendida em primeiro lugar. As chamadas chegam a

    uma taxa de 12 por hora. O funcionrio pode atender um pedido a cada 4 minutos.

    O funcionrio recebe R$ 5,00 por hora. A perda de boa vontade e de vendas devido

    espera do cliente por um atendimento de R$ 25,00 por hora.

    Pede-se:

    1. Qual o tempo mdio que os clientes de catlogo devem esperar para que suas

    chamadas sejam transferidas para o funcionrio?

    2. Qual o nmero mdio de chamadas aguardando a anotao de um pedido?

    3. A loja est cogitando a contratao de um segundo funcionrio para atender

    chamadas. A loja pagaria a esse funcionrio os mesmos R$ 5,00 por hora. A loja

    deve fazer essa contratao? Explique.

    9) Numa clnica de beleza, sabe-se que cada cliente esperando custa R$ 60,00 em

    vendas perdidas, e que cada atendimento custa R$ 2,50. Um levantamento

    estatstico constatou que o nmero mdio de clientes no sistema de 5 por hora.

    Pede-se:

    1. O custo total do sistema por ms, 22 dias teis de 8 horas cada;

    2. Se melhorar a taxa de atendimento em 1 unidade a um custo de R$ 30.000,00,

    vantajoso promov-lo?

    3. A taxa de ocupao.

    10) Numa loja de troca de leo mediu-se 2 parmetros para estudar a sua

    performance: i) o nmero mdio de clientes na fila igual a 2; ii) tempo mdio

    gasto por atendimento igual a 12 minutos. So conhecidos os seguintes dados

    adicionais: (iii) custo unitrio por atendimento de R$ 10,00; (iv) custo unitrio de

    permanncia no sistema de R$ 60,00. Sabe-se que o custo de ampliao do

    servio de R$ 900,00 por ms (melhorar o atendimento em uma unidade). A

    empresa considera a ampliao desde que haja uma economia mensal de 10%

    superior ao custo de fazer a ampliao. Considere 22 dias por ms, 8 horas por

    dia.

    Nestas condies, a ampliao deve ser feita?

  • 62

    11) Um banco est tentando determinar qual das opes alugar para o processamento

    de cheques. Opo 1 possui uma mquina que processa 1.000 cheques por hora e

    tem um aluguel de R$ 10.000,00 por ano. A opo 2 processa 1.600 cheques por

    hora e tem um aluguel de R$ 15.000,00 por ano. A jornada de trabalho de 8

    horas por dia, 5 dias por semana, 50 semanas no ano. O banco deve processar

    atualmente 800 cheques por hora, sendo que o valor mdio de um cheque

    processado de R$ 100,00. Assumindo uma taxa de juros de 220% ao ano,

    determine o custo total do banco, considerando a desvalorizao por cheque

    parado. Qual das opes o banco deve escolher?

    12) Num sistema de 1 fila e 1 atendente, foram medidos os seguintes dados:

    Tempo Gasto no

    Sistema por Cliente (h)

    Probabilidade

    (%)

    No. de Atendimentos

    por Hora

    Freqncia

    0,5 15 10 5

    0,6 20 11 15

    0,7 35 12 30

    0,8 15 13 30

    0,9 10 14 15

    1 5 15 5

    Pergunta-se:

    1. Qual a probabilidade de que o nmero de clientes no sistema seja igual a 2?

    2. Qual taxa de ociosidade?

    3. Qual o nmero de clientes no sistema?

  • 63

    Trabalho Prtico

    Este trabalho deve ser elaborado em grupo de no mximo x alunos.

    Escolha um lugar onde ocorra um processo de filas, tal com: bancos, Xerox, cantinas,

    salo de barbeiro, posto de gasolina, etc.

    De posse de um cronmetro, mea o tempo entre chegadas dos clientes e o tempo de

    atendimento dos clientes. Observe que duas medidas devero ser coletadas: o tempo

    entre chegadas dos clientes e o tempo de atendimento dos clientes. Colete dados at o

    ponto em que se observe uma estabilidade no sistema.

    Com posse dos dados coletados, resolva os seguintes itens:

    1. Faa uma tabela para os intervalos de chegadas dos clientes e uma tabela para os tempos de atendimentos dos clientes;

    2. Calcule a taxa de chegada dos clientes e a taxa de atendimento dos clientes;

    3. Calcule a taxa de ocupao e a taxa de ociosidade do sistema;

    4. Calcule o nmero mdio de clientes no sistema

    5. Calcule o nmero mdio de clientes na fila

    6. Calcule o tempo mdio dos clientes na fila

    7. Calcule o tempo mdio dos clientes no sistema

    8. Calcule a probabilidade de haver mais de 4 clientes na fila

    9. Calcule a probabilidade de que o sistema esteja ocioso;

    10. Elabore um relatrio fazendo uma anlise e tecendo comentrios sobre o sistema em estudo.

    A avaliao do trabalho estar baseada no relatrio apresentado, onde deve constar o

    nome do sistema avaliado e os componentes do grupo.

  • 64

    Respostas de Alguns Exerccios

    Primeira Lista de Exerccios:

    1- a) 85,015,0

    12,088,0P ; 4,06,00

    b) 5 = 0P5, ou seja,

    4352,05648,05 . Cota de mercado: 56,48%

    c) Cota de mercado em longo prazo:

    55,56% para o fabricando da HIGLO

    44,44% para o concorrente

    2-

    1000

    7,01,002,0

    06,004,0

    0001

    P . 066

    21

    66

    4500 . 1 = 0P = [0,34 0 0,44 0,22]

    Formatura: 0,22 x 66 = 14,5 aproximadamente 15 alunos vo se formar.

    3- b) 3730,06370,05 ; Aproximadamente 63% do mercado.

    c) 9

    4

    9

    51 L

    4-

    5- a)97,097,008,03,003,097,092,003,0

    97,008,008,092,003,008,092,092,02

    xxxx

    xxxxP

    6- Resolver o sistema L1=L1xP, onde 211 xxL

    7- 8- a) O estado 1 absorvente

    b) Nenhum estado absorvente

    c) Os estados 1 e 2 so absorventes

    d) Nenhum estado absorvente

    e) O estado 1 absorvente

    9- 10- 11- 12- C1 = {S1, S2, S3, S6 } uma classe recorrente.

    C2 = { S4, S5, S7, S8, S9} uma classe recorrente.

    13-

    C1

    S1

    S2 S3

    S6

    S9

    S8

    S5

    S7

    S4

    C2

  • 65

    14-

    3/13/13/1

    3/13/13/1

    3/13/13/1)(P

    15- a) Todos os estados so Ergdicos b) Todos os estados so recorrentes, peridicos (perodo m = 3) e no nulos

    c)Todos os estados so comunicantes. A cadeia Irredutvel.

    Segunda Lista de Exerccios:

    1- TS = 1,5 minutos 2- TFS = 8,5 minutos 3- TS = 5 segundos 4- = 1; NS = 4 5- = 3; Ciclo = 7; TFS = 5 6- A = 10; B = 20; C = 10; D = 30; E = 9; F=21.

    Terceira Lista de Exerccios:

    1- = 3; = 3,75; TF = 1,07h; TS = 1,33h 2- = 25; = 30; NF = 4,16; TF = 0,167h ; Tempo Ocioso: 17% 3- P[X=0] = 0,33; P[X=1] = 0,22; P[X=3] + P[X=4] = 0,15; P[X5] = 0,1307 4- NF x TF x R$10,00 = R$4,44 5- Custo anual de A: R$ 101.968,00 Custo anual de B: R$ 32.036,00 6-

    Servidor NF TF TS NS

    1 10 15 1,33 0,13 0,20 2

    2 5 30 0,03 0,007 0,04 0,2

    3 15 20 2,25 0,15 0,20 3

    Para o sistema como um todo, temos NS = 2 + 0,2 + 3 = 5,2

    Para o TS temos:

    a) Para quem entra pelo servidor 1: TS=TS(1) + TS(3) = 0,20 + 0,20 = 0,40 b) Para quem entra pelo servidor 2: TS=TS(2) + TS(3) = 0,04 + 0,20 = 0,24

    7- Os clculos foram feitos tomando a hora como unidade de tempo.

    Servidor NF TF NS TS(hora) TS(minuto)

    Instalador 1,5 2,4 1,04 0,69 1,67 1,1 66

    Inspetor 1,5 12 0,02 0,01 0,14 0,09 5,4

    Reparador 0,3 6 0,002 0,009 0,05 0,18 10,9

    Para o sistema como um todo, temos:

    - NS = 1,67 + 0,14 + 0,05 = 1,86

    - Para quem no passa pelo reparo: TS = 66 + 5,4 + 1+1 = 73,4

    - Para quem passa pelo reparo: TS = 66 + 5,4 + 10,8 +1+1 = 85,2

    - Efetuando a mdia ponderada, temos: TS = 0,8x73,8 + 0,2x85,2 = 75,76

  • 66

    Quarta Lista de Exerccios:

    1- 1) = 0,66 ou 66% 2) NF = 1,33 clientes

    3) NS = 2 clientes

    4) TF = 1,8 minutos

    5) TS = 3 minutos

    2- 1) = 0,44 ou 44% 2) NF = 0,355

    3) NS = 0,8

    4) TF = 0,008h

    5) TS = 0,02h

    3- 1) = 0,837 ou 83,7% 2) TF = 1,667h

    3) NS = 5 cartas

    4) NF = 4,17 cartas

    5) P[X > 5] = 0,335

    4- 1) = 0,50 ou 50% 2) P[X = 0] = 0,50 ou 50%

    3) TF = 3,22 minutos ou 0,053h

    4) NS = 1 co

    5) TF = 0,5 ces

    6) P[X > 3] = 0,063

    5- 1) = 0,375 ou 37,5% 2) TF = 0,075 dias

    3) P[X = 1] = 0,23

    4) P[X > 1] = 0,14

    5) P[X > 3] = 0,019

    6- 1) NF = 2,25 clientes 2) = 0,75

    3) TF = 0,0107h

    4) P[X > k] = [/k]K+1 = 0,01

    7-

  • 67

    8- 1) TF = 0,27h 2) NF = 3,2 chamadas

    3) A contratao do funcionrio aumenta o custo para R$ 10,00 por hora,

    porm a perda de vendas devido a espera dos clientes por atendimento

    diminuir, pois se um funcionrio atende 15 chamadas por hora, com 2

    funcionrios a capacidade aumentar para 30 chamadas por hora no

    atendimento, diminuindo a espera de atendimento dos clientes.

    9-