Apostila complementar de pesquisa operacional 2013 (1)

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UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO - UNINOVE Departamento: CINCIAS GERNCIAIS Apostila de Estatstica Aplicada 1 VERSO Elaborao: Prof. Paulo Sergio Pereira da Silva Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 2 APRESENTAO Caro aluno, Ao longo de nossa vida acadmica, so grandes as novidades e os desafios que se colocam diante de ns. As relaes entre professores e alunos so mediadas por linguagens e regras especficas, diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e profissional. Esse universo desconhecido desperta, a um s tempo, curiosidade e temor. A final ser que conseguiremos dominar todas essa novidades e sobreviver a eles? Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e linguagens e, assim, ajuda-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas que seguem oferecer-lhe algumas ferramentas teis para o seu desenvolvimento profissional e a acadmico. No pretendo fazer com que voc domine todo esse instrumental logo de sada, longe disso. Voc s aprender tudo o que aqui est contido medida que for empregando cada uma das ferramentas. No incio lhe parecero complexas, com o passar do tempo voc aprender a decodific-las e a utiliz-las corretamente, de modo que elas passaro a fazer parte tanto do seu vocabulrio quanto de seu repertrio de prticas. O objetivo deste material preparar o discente para a vida acadmica, despertando-lhe o desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos prticos, o conceito de estatstica e suas aplicaes, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fcil compreenso. Vele salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, artigos de jornais e apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreenso, dessa forma, no substitui, em hiptese alguma, a pesquisa em livros especficos. O autor, Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 3 INTRODUO A ESTATSTICA A Estatstica uma parte da matemtica Aplicada que fornece mtodos para a coleta, organizao, descrio, anlise e interpretao de dados e para a utilizao dos mesmos na tomada de decises, em situaes de incerteza, a partir de informaes numricas de uma amostra. Populao ou Universo: Conjunto de elementos (pessoas ou objetos) que interessam pesquisa. Amostra: - Parte da populao (universo) ou pequena parte de um todo (populao). OBS.: Que seja fiel a populao (amostra representativa). Ex.: Se o objetivo da pesquisa for verificar se houve aumento da aquisio de eletrodomsticos no ano de 2001 no Brasil, nas camadas populares, a amostra ser composta de pessoas de baixa renda, preferencialmente de vrias regies do Brasil; de ambos os sexos, diversas faixas etrias, etc. Variveis A cada fenmeno corresponde um nmero de resultados possveis. Assim por exemplo: - para o fenmeno sexo so dois os resultados possveis: sexo masculino e sexo feminino; - para o fenmeno nmero de filhos h um nmero de resultados possveis expresso atravs dos nmeros naturais: 0, 1, 2, 3, .... , n; - para o fenmeno estatura temos uma situao diferente, pois os resultados podem tomar um nmero infinito de valores numricos dentro de um determinado intervalo. Varivel - Substitui um elemento de uma srie que pode assumir n valores numricos ou no numricos (, convencionalmente, o conjunto de resultados possveis de um fenmeno). Por que estudar estatstica ? Por ora, consideramos o seguinte: 1. O raciocnio largamente utilizado no governo e na administrao; assim, possvel que, no futuro, um empregador venha contratar ou promover o leitor por causa de seu conhecimento de estatstica. 2. Os administradores necessitam do conhecimento da estatstica para bem tomar suas decises e para evitar serem iludidos por certas apresentaes viciosas. 3. Cursos subseqentes utilizam a anlise estatstica. 4. A maioria das revistas profissionais e outras contm experincias freqentes a estudos estatsticos. 5. A imprensa, tanto quanto muita experincia cotidiana, oferece amplas oportunidades para a interpretao estatstica. Aplicaes da estatstica No moderno ambiente administrativo e econmico global, dispe-se de uma vasta quantidade de informao estatstica. Os gerentes e tomadores de deciso de maior sucesso so aqueles capazes de entender a informao e us-la eficazmente. A seguir, fornecemos exemplos que ilustram alguns dos usos da estatstica em administrao e em economia. Contabilidade Firmas pblicas de contabilidade usam procedimentos de amostragem estatstica quando esto realizando auditorias para seus clientes. Por exemplo, suponha que uma firma de contabilidade queira determinar se a quantidade de contas a receber mostrada em um balancete do cliente representa honestamente a quantidade real de contas a receber. A prtica comum em tais situaes a equipe de auditores selecionar um subconjunto de contas, chamado amostra. Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 4 Finanas Os consultores financeiros utilizam uma srie de informaes estatstica para guiar recomendaes de investimentos. No caso das aes, os consultores revem diversos dados financeiros incluindo relaes preo/ganhos e rendimentos de dividendos. Comparando a informao para uma determinada ao com informaes sobre a mdia do mercado de aes, um consultor financeiro pode concluir se uma ao individual est sendo sobre ou subavaliada. Por exemplo, o Barrons ( 9 de novembro de 1998) reportou que a razo mdia de preo/ganhos para as 30 aes na Mdia Industrial Dow Jones foi de 22,0. A Phillip Moris apresentava uma razo preo/ganhos de 16,9. Neste caso, a informao estatstica sobre as razes preo/ganhos mostrou que a Phillip Morris estava subvalorizada naquele momento. Essa e outras informaes sobre a Phillip Morris poderiam auxiliar o consultor a recomendar a compra, a venda ou manter as aes. Produo Hoje, com a nfase dada qualidade, o controle da qualidade uma importante aplicao da estatstica produo. Umas sries de cartas estatsticas de controle da qualidade so usadas para monitorar a sada de um processo de produo. Um grfico de barras especialmente usado para monitorar a sada mdia. Apropriadamente interpretado, um grfico de barras pode auxiliar a determinar quando so necessrios ajustes para corrigir o processo de produo. Economia Os economistas so freqentemente solicitados a fornecer previses sobre o futuro da economia ou de algum aspecto dela. Eles usam uma srie de informaes estatsticas ao fazer tais previses. Por exemplo, na previso de taxas de inflao, os economistas usam informao estatstica de indicadores como o ndice de preos do produtor, a taxa de desemprego e a utilizao da capacidade de produo. Freqentemente esses indicadores estatsticos so inseridos em modelos de previso computadorizados que automaticamente calculam as taxas de inflao. OBS.: Tais exemplos fornecem uma introduo da amplitude das aplicaes da estatstica. TCNICAS DE LEVANTAMENTO ESTATSTICO: Distribuio de Freqncia Por meio de tcnicas estatsticas, possvel estudar os conjuntos de dados e, a partir de uma amostra, tirar concluses vlidas para conjuntos maiores (populao). Entre as vrias tcnicas adotadas em estatstica, abordaremos a de uma varivel, concentrando-nos na chamada estatstica descritiva, que consiste em organizar os dados coletados em tabelas de freqncia e exibindo o nmero de percentagem de observaes em cada classe, podendo ser a apresentado atravs de tabelas ou grficos correspondentes. De maneira geral, as tcnicas estatsticas so utilizadas em trs etapas principais do trabalho de pesquisa: a coleta de dados, incluindo o planejamento do trabalho e da pesquisa(questionrio ou teste); a apresentao dos dados coletados(tcnicas especficas); a anlise dos dados coletados, com a formulao de concluses e generalizaes. Simultnea a segunda, pois durante a prpria organizao dos dados j possvel ir percebendo a tendncia geral da pesquisa. Dados brutos Como primeiro resultado de uma pesquisa, obtm-se dados brutos, um conjunto de nmeros ainda sem nenhuma organizao. Esse material ento ordenado de forma crescente ou decrescente, com a indicao da freqncia, dando origem ao que chamamos de rol. Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 5 Um pesquisador, por exemplo, quer saber que idades predominam entre as pessoas economicamente ativas de determinada cidade. Para isso, entrevistou 100 pessoas e obteve os seguintes dados brutos: Idades predominantes 28 27 31 33 30 33 27 31 34 26 30 33 33 29 32 27 34 37 30 29 37 31 30 30 26 29 29 34 29 26 30 27 32 24 30 27 31 30 32 29 31 31 30 30 27 30 27 27 21 34 30 28 33 28 36 29 32 27 24 27 33 27 27 30 33 30 33 33 23 28 30 39 27 27 31 31 36 28 29 30 33 31 31 30 28 27 32 30 30 29 29 24 33 30 33 27 30 34 36 32 O rol desses dados brutos : IDADE(xi) FREQNCIA(fi) 21 1 23 1 24 3 26 3 27 16 28 6 29 10 30 21 31 10 32 6 33 12 34 5 36 3 37 2 39 1 Total(n) 100 xi: elementos da amostra (no caso, idade); fi : freqncia, repeties ou peso de cada valor da amostra. Tabulao de dados Continuando com a mesma pesquisa, depois de elaborar o rol necessrio determinar quantas faixas etrias ter a tabela de freqncia. O passo seguinte subdividir os dados por classe ou categoria (no caso, a faixa etria) e determinar o nmero de indivduos pertencentes a cada uma, resultando na freqncia de classe. k: nmero de classes que a tabela de classe dever conter n: nmero de elementos da amostra Como diretriz geral, recomendamos usar entre cinco e vinte classes (k). Os conjuntos de dados com um nmero maior de observaes usualmente exigem um nmero maior de classes. Conjuntos de dados com um nmero menor de observaes podem em geral ser facilmente sintetizados com apenas cinco ou seis classe. Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 6 Ento, se voc tem uma amostra com 100 dados, pode organiza-los em uma tabela de distribuio de freqncia com k = n = 10 classes. Encontrando o valor de k , preciso determinar o intervalo de classe, isto , o tamanho que cada classe dever ter. Chamaremos de h essa amplitude de classe, que ser constante, isto , todas as k classes devero ter a mesma amplitude. Para calcular h, fazemos: AT = Xmx. - Xmn. h = AT k h : amplitude do intervalo Xmx. : o maior valor de dados Xmn. : o menor valor de dados AT. : amplitude total, isto , a diferena entre o maior e o menor valor de dados Em nosso exemplo temos: AT = Xmx - Xmn. = 39 - 21 = 18 Logo, h = 18/10 = 1,8 Em seguida, o pesquisador determina os limites de cada classe: o limite superior (ls) e o limite inferior (li), aplicando um dos quatro conceitos de intervalo que j estudamos. Escolhe um ponto de partida, de acordo com os interesses da pesquisa. Pode decidir, por exemplo, que o limite inferior ser 20. A partir dele, sero construdas as classes da tabela de freqncia, que dever abranger todos os elementos do rol. Caso no ocorra a abrangncia de todos os elementos do rol deveremos aumentar a amplitude(h) ou o nmero de classes (k), aquele que melhor convier. Assim, se k = 10 e h = 2, com a primeira classe iniciada por 20, temos a adio de h, a cada classe: K Classes Freqncia(fi) li ls 1 20 ------| 22 1 2 22 ------| 24 4 3 24 -----| 26 3 4 26 -----| 28 22 5 28 -----| 30 31 6 30 -----| 32 16 7 32 -----| 34 17 8 34 -----| 36 3 9 36 -----| 38 2 10 38 -----| 40 1 --------------------- 100 Obs.: a primeira e ltima classe no pode ter freqncia igual a zero. Nota: importante observar se os elementos esto includos ou excludos. - O passo seguinte escolher um nmero para representar cada classe, em geral o ponto mdio (pm), ou seja, a mdia entre os valores dos limites de classe. pm = li + ls 2 Em seguida , preciso encontrar: - Freqncia relativa (fr): Indica proporo que cada classe representa em relao ao total (n) e obtida dividindo-se cada uma das freqncias absolutas (fi) pelo tamanho (n): Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 7 fr = fi n Obs.: A soma de sua coluna sempre dever ser igual a 1. caso isso no ocorra, arredonda-se algum valor de modo a obter 1. - Freqncia percentual (fp): Indica a porcentagem de cada classe. Para obt-la , multiplica-se fr por 100: fp = fr . 100 Obs.: a soma de sua coluna dever ser igual a 100% . - Freqncia acumulada (fa): Corresponde soma das freqncias absolutas(fi ) de sua classe, mais as anteriores caso haja: fa = fiat + faant Obs.: i = 1,2, ..., k O f acumulado da ltima classe dever ser igual a n. Com base em todos os clculos relacionados acima, podemos fazer uma nova tabela de freqncia, ainda para o exemplo das faixas etrias de pessoas ativas na cidade pesquisada. Suponhamos, a gora, que queiramos iniciar o primeiro limite inferior da primeira classe em 18. Teremos, ento, de recalcular todas as freqncias absolutas. A nova tabela ser: K Classes li ls Freqncia (fi) fr = fi/n fp = fr . 100 (%) Pm = (li + ls)/2 fa = fiat + faant 1 20 ------| 22 1 0,01 1% 21 1 2 22 ------| 24 4 0,04 4% 23 5 3 24 -----| 26 3 0,03 3% 25 8 4 26 -----| 28 22 0,22 22% 27 30 5 28 -----| 30 31 0,31 31% 29 61 6 30 -----| 32 16 0,16 16% 31 77 7 32 -----| 34 17 0,17 17% 33 94 8 34 -----| 36 3 0,03 3% 35 97 9 36 -----| 38 2 0,02 2% 37 99 10 38 -----| 40 1 0,01 1% 39 100 ------------- 100 1 100% -------- ------------ E X E R C I C I O S 1) O que voc entende por o termo rol? 2) A tabela abaixo indica o nmero de um grupo de 1550 funcionrios de determinadas faixas salariais de uma empresa. Complete as colunas em branco. Faixa salarial Nmero de pessoas (fi) Freqncia percentual (fp) Freqncia acumulada (fa) At 3 salrios mnimos 776 De 3 a 6 salrios mnimos 387 De 6 a 9 salrios mnimos 232 Acima de 9 salrios mnimos 155 1550 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 8 3) Para o Curso de Administrao uma classe de uma escola possui as seguintes notas: 36 40 54 31 32 34 43 49 50 56 40 42 44 33 54 55 56 59 65 67 50 68 51 54 61 44 39 66 60 36 44 49 a) maior nota; b) menor nota; c) amplitude total; d) tabela contendo: as notas, freqncia relativa, freqncia percentual e freqncia acumulada (sugesto: (K = 6 e h = 6,16 usar h = 7) exemplo: 31|------|37); e) as cincos melhores notas; f) as cinco piores notas; g) quantas notas esto acima de 75? h) quantas notas esto abaixo de 45? i) informe o percentual de notas entre 50 e 68 inclusive. Resposta 50% 4) Os dados da amostra abaixo representam as vendas dirias de um determinado aparelho eltrico, durante um ms, por uma firma comercial: 14 12 11 13 14 13 19 14 20 14 11 12 12 14 10 13 15 18 21 13 16 17 14 14 a) Elabore uma distribuio de freqncia comeando a primeira classe com o intervalo :10|----|12 b) Faa a anlise da penltima classe da distribuio 5) O corpo administrativo de um consultrio mdico estudou o tempo de espera dos pacientes que chegavam ao consultrio com uma solicitao de servio de emergncia. Os seguintes dados foram coletados no perodo de um ms (os tempos de espera esto em minutos): 2 5 10 12 4 4 5 17 11 8 9 8 12 21 6 8 7 13 18 3 a) Construa a distribuio de freqncia utilizando classes de 0|----|4, 5|----|9 etc. b) Que proporo de pacientes necessita de servio de emergncia enfrentam um tempo de espera de nove minutos ou menos? Resposta 60% 6) A MKT Image uma empresa de consultoria em marketing e iniciou um trabalho de pesquisa para a TDI, que pretende lanar um novo produto no mercado brasileiro. Foram aplicadas algumas pesquisas de mercado para verificar o potencial de compra por parte da populao. A tabela abaixo mostra os dados sobre uma amostra da populao pesquisada, referente renda familiar mensal (em salrio mnimo): Salrio Mnimo Nmero de pesquisados 0|-------5 734 5|-------10 526 10|-------15 205 15|-------20 140 20|-------25 60 TOTAL Considerando os dados acima, podemos afirmar que: a) 30% da amostra ganham 10 salrios mnimos ou mais; b) Somente 44,08% da amostra ganham abaixo de 10 salrios mnimos; c) Menos de 10% da amostra ganham 15 salrios mnimos ou mais; Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 9 d) Mais de 75% da amostra ganham abaixo de 10 salrios mnimos; e) Mais de 5% da amostra ganham 20 salrios mnimos ou mais. Resposta: (d) - 75,67% 7) Complete a tabela abaixo: K l L fi fr Pm ou X fa 1 0|-------8 4 2 8|-------16 10 3 16|-------24 14 4 24|-------32 9 5 32|-------40 3 TOTAL 8) Complete os dados que faltam na distribuio de freqncia: K l L fi fr Pm ou X fa 1 0|-------2 4 1 2 2|-------4 8 12 3 4|-------6 5 4 |------- 27 45 5 8|------- 15 6 |-------12 11 7 |-------14 10 77 TOTAL 77 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 10 GRFICOS Uma vez elaborada a tabela de freqncia, segue-se o desenho do grfico, um recurso de visualizao dos dados constantes na tabela. Os tipos de grficos so: histograma; polgono de freqncia; ogiva de Galton; e setograma. Histograma: utilizado para representar as freqncias absolutas (fi) em relao sua classe, construdo assim: 1. No eixo X (abscissas), marcamos, em escala, as classes dos dados. 2. No eixo Y (ordenadas), marcamos as freqncias de classe(fi). 3. Fazemos a correspondncia entre cada intervalo no eixo dos X (classes) e um valor no eixo vertical(fi), formando um desenho que lembra um conjunto de colunas paralelas( retangulares) ou um conjunto de prdios. Polgono de freqncia: utilizado para indicar o ponto mdio(p. m.) ou representante de classe com suas respectivas freqncias absolutas, construdo sobre o histograma. Para constru-lo, procedemos assim: 1. No eixo X (abscissas), colocamos o ponto mdio de cada intervalo de classe. 2. No eixo Y (ordenadas), permanecem as freqncias absolutas de classe (fi). 3. Ligamos os pontos por segmentos de reta. 4. Para completar o polgono, acrescentamos um ponto mdio com freqncia zero em cada uma das extremidades da escala horizontal. Setograma: Tambm conhecido como grfico de pizza, utilizado para representar os valores relativos (%). 1. Fazemos um crculo. 2. Cada Setor/Fatia regido pela frmula: TotalfiSetor.360 3. No crculo, distribumos os valores das freqncias percentuais. Ogiva de Galton: utilizado para representar as freqncias acumuladas de uma distribuio, construda assim: 1. No eixo X (abscissas), colocamos as classes dos dados, como no histograma. 2. No eixo Y (ordenadas), escrevemos uma das freqncias acumuladas, marcando o ponto com os limites superiores (ls) de cada classe. Iniciamos com freqncia zero e com limite inferior da 1a classe. Veja um exemplo: Numa cidade foram anotadas as idades de 64 pessoas aposentadas. Os dados obtidos esto dispostos no quadro a seguir: 79 75 67 74 81 69 67 79 66 80 64 57 67 65 90 64 77 80 58 73 70 46 58 71 91 78 67 68 73 71 78 72 76 43 84 47 81 65 72 76 87 65 53 75 66 83 95 58 90 51 73 72 78 69 78 74 70 77 75 74 99 78 62 77 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 11 Pede-se: a) O rol. b) O nmero de classes, a amplitude total (AT) e amplitude do intervalo de classes (h). c) A tabela completa, com o limite inferior da primeira classe comeando em 43. d) Os seguintes grficos: histograma, polgono das freqncias, ogiva de Galton e Setograma. Resoluo: a) Idade Freqncia(fi) Idade Freqncia(fi) 43 1 76 2 46 1 77 3 47 1 78 5 51 1 79 2 53 1 80 2 57 1 81 2 58 3 83 1 62 1 84 1 64 2 87 1 65 3 90 2 66 2 91 1 67 4 95 1 68 1 99 1 69 2 TOTAL 64 70 2 71 2 72 3 73 3 74 3 75 3 b) Estimaremos que a distribuio dever ter: K= 64 = 8 classes, mais utilizamos 9 classes para inserir todos os elementos da amostra. Amplitude Total: AT = 99 43 = 56 - Amplitude do intervalo de classes: h = 56/8 = 7. c) Idade dos aposentados fi Pm fr fp fa l L 43 |----| 49 3 46 0,0468 4,68% 3 50 |----| 56 2 53 0,0312 3,12% 5 57 |----| 63 5 60 0,0781 7,81% 10 64 |----| 70 16 67 0,25 25% 26 71 |----| 77 19 74 0,2968 29,68% 45 78 |----| 84 13 81 0,2031 20,31% 58 85 |----| 91 4 88 0,0625 6,25% 62 92 |----| 98 1 95 0,0156 1,56% 63 99 |----| 105 1 102 0,0156 1,56% 64 TOTAL 64 666 1,00 100% Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 12 d) fi 19 Histograma 16 13 Polgono de freqncia 5 4 3 2 1 43 49 56 63 70 77 84 91 98 105 Setograma: cada Setor/Fatia regido pela frmula: nfiSetor.360 1 classe: 43|--------| 49 >> osetor = (360 . 3)/64 = 1080/64 = 16,87 2 classe: 50|--------| 56 >> osetor = (360 . 2)/64 = 720/64 = 11,25 3 classe: 57|--------| 63 >> osetor = (360 . 5)/64 = 1800/64 = 28,12 4 classe: 64--------| 70 >> osetor = (360 . 16)/64 = 5760/64 = 90,14 5 classe: 71|--------| 77 >> osetor = (360 . 19)/64 = 6840/64 = 106,87 6 classe: 78|--------| 84 >> osetor = (360 . 13)/64 = 4680/64 = 73,12 7 classe: 85|--------| 91 >> osetor = (360 . 4)/64 = 1440/64 = 22,5 8 classe: 92|--------| 98 >> osetor = (360 . 1)/64 = 360/64 = 5, 62 9 classe: 99||--------| 105 >> osetor = (360 . 1)/64 = 360/64 = 5, 62 classes Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 13 SETOGRAMA/PIZZA4,68%3,12%7,81%25,01%29,69%20,32%6,25%1,56%1,56% fa Ogiva de Galton 64 63 62 58 45 26 10 5 3 classes incio freqncia = 0 43 49 56 63 70 77 84 91 98 105 h um salto Interpretao: Podemos notar pelo histograma, que na faixa de 64 a 77 anos h um pico, o qual indica a existncia de maior nmero de aposentados nessa faixa setograma de maior fatia. Se o objetivo do pesquisador saber qual a faixa etria com mais pessoas aposentadas na cidade, h indcios de que ser a faixa de 64 a 77 anos. Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 14 E X E R C C I O S 1) O faturamento de uma loja de brinquedos durante 40 semanas foi: 28 27 18 15 20 19 17 18 25 19 30 19 21 22 15 17 25 17 20 25 23 19 25 20 22 15 28 18 16 24 18 22 19 20 18 15 19 19 18 19 O gerente da loja deseja saber qual a faixa do faturamento que se repete menos. Para isso determine: a) As classes. b) As freqncias absolutas. c) As freqncias acumuladas. d) O histograma e a ogiva. 2) Numa fbrica foram tabulados os salrios dos funcionrios, resultando na tabela de distribuio de freqncia a seguir. A amostra foi de 380 funcionrios: Classe de salrios mensais Nmero de funcionrios 280 |------------ 320 150 320 |------------ 360 73 360 |------------ 400 40 400 |------------ 440 52 440 |------------ 480 36 480 |------------ 520 29 TOTAL 380 Pede-se : a) Complete o quadro acima, a partir do que foi estudado anteriormente. b) Elabore os quatro tipos de grficos. 3) Dado a tabela, construir um grfico de setores Quantidade de vendas, em uma empresa de informtica Tipo de vendas Percentual Computadores 35 Softwares 23 Assistncia tcnica 15 Redes 14 Outro servios 13 Total 100 4) O grfico abaixo representa o faturamento lquido de uma microempresa ao longo do 1 semestre de um ano. Entende-se por faturamento lquido o valor recebido pela empresa j descontadas todas as despesas. Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 15 01234567JAN FEV MAR ABR MAI JUNEm 1000 reais a) Indique o ms de maior faturamento lquido e o valor correspondente. b) Quando ocorreu maior queda no faturamento? c) Indique o ms de menor faturamento lquido e o valor correspondente. d) Segundo o grfico, a tendncia de faturamento, aps o ms de junho, da microempresa? 5)(ENEM/2005) Moradores de trs cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram indagados quanto aos tipos de poluio que mais afligiam as suas reas urbanas. Nos grficos abaixo esto representados as porcentagens de reclamaes sobre cada tipo de poluio ambiental. Considerando a queixa principal dos cidados de cada cidade, a primeira medida de combate a poluio em cada uma delas seria, respectivamente: R. (b) X Y Z (A) Manejamento de lixo Esgotamento sanitrio Controle emisso de gases (B) Controle de despejo industrial Manejamento de lixo Esgotamento sanitrio (C) Manejamento de lixo Esgotamento sanitrio Controle de despejo industrial (D) Controle emisso de gases Controle de despejo industrial Esgotamento sanitrio (E) Controle de despejo industrial Manejamento de lixo Controle emisso de gases 6) (ENEM/2005) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 16 De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluram o Ensino Mdio de aproximadamente: R. (c) (A) 54% (B) 48% (C) 60% (D) 14% (E) 68% 7)(ENEM/2005) Este grfico representa o resultado de uma pesquisa realizada com 1.000 famlias com filhos em idade escolar: R. (c) Considere estas afirmativas referentes s famlias pesquisadas: I ) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas famlias. II ) O pai e a me participam, juntos, da renda familiar em mais de 500 dessas famlias. Ento, CORRETO afirmar que (A) nenhuma das afirmativas verdadeira. (B) apenas a afirmativa I verdadeira. (C) apenas a afirmativa II verdadeira. (D) ambas as afirmativas so verdadeiras. Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 17 MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL OU MEDIDAS DE POSIO As mdias, denominadas medidas de tendncia central, so valores numricos que representam o centro de um conjunto de dados ou uma seqncia numrica. Podem ser de vrios tipos: mdia aritmtica, mdia geomtrica, mediana e moda. Mdia Aritmtica Simples (dados no agrupados) a medida utilizada com maior freqncia, por implicar um clculo extremamente simples. Consiste em adicionar os elementos e dividir a soma pelo nmero (n) de elementos adicionados. Numa seqncia de n elementos, temos a mdia, representada por x (x barra): x1, x2, x3, ...xn. x = x1 + x2 + x3 + ... + xn n Em notao somatrio, a mdia representada da seguinte forma: x = xi n Exemplo 1: Imaginemos que, numa pesquisa sobre atividades fsicas com mulheres de 5 faixas etrias, o resultado de uma amostra tenha sido: Quantos dias por semana andam a p? 16 a 20 anos 6 21 a 25 anos 5 26 a 29 anos 4 30 a 33 anos 2 34 a 37 anos 1 Se, a partir da amostra, quisermos saber quantos dias por semana, em mdia as mulheres andam a p, considerando como universo as mulheres de 16 a 37 anos, fazemos: x = 6 + 5 + 4 + 2 + 1 = 18 = 3,6 5 5 Ento, em mdia, as mulheres de 16 a 37 anos andam a p 3,6 dias por semana, ou 4 dias, arredondando. Mdia Aritmtica Ponderada Indicada por x p difere da mdia aritmtica vista anteriormente por apresentar multiplicaes(que representam freqncias, ponderaes) indicando quantas vezes cada elemento se repete: x p = (x1 . f1) + (x2 . f2) + .... + (xk . fk) f1 + f2 + .... + fk Exemplo 2: Calcular a mdia aritmtica ponderada das notas da turma de Administrao na disciplina matemtica, usando a amostra de 30 alunos. Nota(xi) 1 2 3 5 8 9 10 Total Nmero de repeties(fi) 1 6 5 2 7 3 6 30 Xi . fi 1 12 15 10 56 27 60 181 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 18 Note que nesta tabela de dados agrupados a soma de repeties igual ao nmero total de elementos da amostra (n = 30). Aplicando a frmula temos: x p = 181 = 6,03 30 Mdia Aritmtica para dados agrupados em classes Quando, numa distribuio por freqncia, os dados esto agrupados em classes, so considerados coincidentes com os pontos mdios das classes s quais pertencem. Para o clculo da mdia aritmtica, usaremos os produtos dos pontos mdios pelas freqncias de cada classe (pm . fi ). Exemplo 3: Seja a tabela que nos d a altura (x) dos estudantes de uma classe de Ensino Fundamental: Altura x(cm) fi Pm li ls 150 |---- 155 6 152,5 155 |---- 160 9 157,5 160 |---- 165 16 162,5 165 |---- 170 5 167,5 170 |---- 175 3 172,5 175 |---- 180 1 177,5 TOTAL 40 --- Pede-se: A partir da tabela, calcular a mdia aritmtica. Soluo: Completando a tabela, com a coluna Pm . fi, temos: Altura x(cm) fi Pm Pm . fi 150 |---- 155 6 152,5 915,0 155 |---- 160 9 157,5 1417,5 160 |---- 165 16 162,5 2600,0 165 |---- 170 5 167,5 837,5 170 |---- 175 3 172,5 517,5 175 |---- 180 1 177,5 177,5 TOTAL 40 -------- 6465,0 x = Pm . fi = 6465 = 161,625 fi 40 Mediana para dados no agrupados A mediana corresponde ao valor que ocupa a posio central numa seqncia de nmeros e representada por md. Na seqncia numrica x1,x2,...xk,...xn, o elemento xk a md se o nmero de elementos que o antecedem for igual ao nmero de elementos que o sucedem. Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 19 Para obter a mediana, primeiro coloca a seqncia numrica em ordem crescente ou decrescente. Depois, verificamos se a amostra par ou mpar e adotamos um dos procedimentos a seguir. 10 caso. Se o nmero de elementos (n) for mpar, a mediana corresponder ao termo central da srie. Exemplo 1: Calcular a mediana da seqncia 2, 4, 1, 5 e 6. Resoluo: fazemos o ordenamento: 1, 2, 4, 5 e 6 Como o nmero de elementos mpar: Portanto, a mediana : md = 4 20 caso. Se o nmero de elemento (n) for par, a mediana, nesse caso, corresponde a media aritmtica dos dois valores centrais: Exemplo 2 : Encontrar a mediana da seqncia 82; 79; 70; 20; 33; 46. Resoluo: fazemos Ordenao 20; 33; 46; 70; 79; 82 md = 46 + 70 = 58 2 OBS.: Geralmente o valor da mediana bem prximo da mdia aritmtica, quando os valores so uniformes. Mediana para dados agrupados I Calcula-se a ordem n/2. Como a varivel contnua, no se preocupe se n par ou mpar. II Pela fa identifica-se classe que contm a mediana(classe mediana). III Utiliza-se frmula: n Md = li + 2 - faant . h fi em que: li = limite inferior da classe mediana; n = tamanho da amostra ou nmero de elementos; faant = frequncia acumulada anterior; h = amplitude da classe; fi = frequncia absoluta da classe mediana. Exemplo 3: Dada a distribuio amostral, calcular a mediana. K Classes li ls fi fa 1 35|----------45 5 5 2 45|----------55 12 17 3 55|----------65 18 35 a 29o posio encontra-se nesta classe 4 65|----------75 14 49 5 75|----------85 6 55 6 85|----------95 3 58 ------------------ 58 ---- Resoluo: I n/2 = 58/2 = 29o (posio) II identificar a classe mediana: procura-se a posio 29o atravs da coluna fa. III fazer o clculo da mediana md = 55 + (29-17) . 10 18 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 20 md = 55 + (12) . 10 18 md = 55+ 120 18 md = 55 + 6,66 md = 61,66 Moda para dados no agrupados A moda o valor que apresenta maior freqncia no conjunto de nmeros em questo, ou seja, que se repete mais vezes. representado por mo. Uma seqncia de nmeros pode no ter valor modal ou apresentar vrios tipos de repeties, recebendo ento vrias denominaes: unimodal, quando um nico valor se repete; por exemplo: { 1, 2, 3, 2}: a moda 2 bimodal, quando dois valores se repetem (com a mesma freqncia); por exemplo: { 3, 2, 5, 4, 8, 2, 4}: a moda 2 e 4. multimodal, quando trs ou mais valores se repetem (com a mesma freqncia). por exemplo: { 3, 6, 7, 6, 4, 5, 4, 3, 1}: a moda 3, 4 e 6. Moda para dados agrupados I Identifica-se a classe modal(aquela que possue maior frequncia). II encontrar os valores de 1 e 2, onde: 1 = fimodal fianterior 2 = fimodal - fiposterior III Aplica-se a frmula: mo = li + 1 . h 1 + 2 Exemplo: Determine a moda para a distribuio a seguir: Classes fi 0|-------1 3 1|-------2 10 2|-------3 17 3|-------4 8 4|-------5 5 TOTAL 43 Resoluo: I classe modal : 3a classe: 2 |---------3 II - 1 = 17 10 = 7 2 = 17 8 = 9 III calculando a moda: mo = 2 + 7 . 1 7 + 9 mo = 2 + [(7/16) .1] mo = 2 + [0,43750 . 1] >>>>>> mo = 2, 43750 aproximadamente 2,44 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 21 E X E R C C I O S 1) Calcule a mdia aritmtica e a mediana dos elementos: 5, 3, 8,10,15. R. mdia = 8,2 e md = 8 2) Calcule a mdia aritmtica da turma de 18 alunos na prova de estatstica: R. mdia = 7,5 8,2 8,7 6,1 7,5 5,6 7,3 7,0 7,2 5,9 7,8 8,0 6,5 8,5 7,5 9,0 9,0 7,4 7,8 3) A distribuio de freqncia abaixo representa o nmero de carros que quatro revendedoras venderam durante 1 ms. Determine a mdia aritmtica ponderada. R. x p = 4,75 nmero de carros vendidos por dia (Xi) 5 3 6 4 fi 4 3 4 1 4) Em 20 nmeros, quatro so 2, trs so 4, cinco 1 e os restantes so 3. Ache: a) a tabela de freqncia b) a mdia aritmtica ponderada.R. x p = 2,45 5) Fornecemos a seguir uma distribuio de freqncia do tempo em dias gasto por uma firma de contabilidade para completar auditorias de fim de ano. A distribuio de freqncia dos tempos de auditoria est baseada em uma amostra de 20 clientes. Qual o tempo mdio, a mediana e a moda da amostra? R. mdia = 19; md = 18,75; mo = 17,85 DISTRIBIO DE FREQUNCIA DOS TEMPOS DE AUDITORIA Tempo de auditoria (dias) fi Pm Pm . fi fa 10 |------| 14 4 15 |------| 19 8 20 |------| 24 5 25 |------| 29 2 30 |------| 34 1 TOTAL 20 ------- ------- 6) Calcule a mediana: a) 35; 98; 71; 2 ; 65 e 8 b) 8,2; 8,7; 4,1; 2,7; 3,3; 2,8 e 1,2 R. md= 50 R. md = 3,3 7) Ache a moda (se houver) de cada amostra: a) 2; 3; 6; 4 e 3 b) 2; 3; 2; 4; e 3 R. mo = 3 R. mo = 2 e 3 8) Considerando a distribuio abaixo, calcule a mdia aritmtica ponderada: R. Xp = 5,4 xi 3 4 5 6 7 8 fi 4 8 11 10 8 3 9) Imagine que a margem de lucro na venda de um produto varivel, mas que, ao longo de cinco meses, foram registrados os valores apresentados na tabela abaixo. Calcule a mdia. R. mdia = 40 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 22 Classe Pm freqncia 15|-----25 20 30 25|-----35 30 45 35|-----45 40 150 45|-----55 50 45 55|-----65 60 30 TOTAL 10) Os salrios-hora de cinco funcionrios de uma companhia so:R$75, R$90, R$83, R$142, $ 88. Determine: a) a mdia dos salrios-hora; R. mdia = R$ 95,60 b) o salrio-hora mediano. R. md = R$ 88,00 11) A MKT Image uma empresa de consultoria em marketing e iniciou um trabalho de pesquisa para a TDI, que pretende lanar um novo produto no mercado brasileiro. Foram aplicadas algumas pesquisas de mercado para verificar o potencial de compra por parte da populao. A tabela abaixo mostra os dados sobre uma amostra da populao pesquisada, referente renda familiar mensal (em salrio mnimo): R. (a) Salrio Mnimo Nmero de pesquisados(fi) 0|-------5 734 5|-------10 526 10|-------15 205 15|-------20 140 20|-------25 60 TOTAL Considerando os dados da tabela, podemos afirmar que: a) A mdia aritmtica da amostra um valor maior que 7 salrios mnimos; b) O valor mediano est estimado entre 4 e 5 salrios mnimos; c) A mdia aritmtica da amostra est estimada entre 4 e 5 salrios mnimos; d) O valor mediano da amostra o um valor maior que 7 salrios mnimos; e) O valor mediano maior que a mdia aritmtica. Considere o texto a seguir para responder as questes 12, 13 e 14: Suponha que voc seja contratado pela MKT Image para desenvolver estratgias que visam ampliar a carteira de clientes, sua primeira reunio foi com os gerentes que reclamaram do nmero no suficiente de consultores para atender a atual carteira, ampliar seria a ao que poderia ocasionar a perda de atuais clientes em razo do no cumprimento dos prazos. Aps a reunio voc solicitou a sua secretria Srta. Rita um relatrio contendo a carteira e o respectivo nmero de dias que foram utilizados para a realizao dos trabalhos, aps dois dias voc recebe um e-mail: Segue abaixo, o relatrio solicitado contendo o tempo (em dias), para completar consultorias. Esta tabela est baseada em uma amostra de 30 clientes de empresas de pequeno porte. Tempo de Consultoria Nmero de clientes(fi) 10|-------14 4 14|-------18 10 18|-------22 6 22|-------26 5 26|-------30 3 30|-------34 2 TOTAL 30 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 23 12) Neste relatrio voc observou que o maior nmero de consultorias realizadas so completadas no perodo de 14 a 18 dias, conhecido como perodo modal. O valor exato da moda : R. (e) a)38 dias b)14,6 dias c)16 dias d)2,4 dias e)16,4 dias 13) Outra anlise realizada foi calcular a porcentagem de consultorias que levaram vinte e seis dias ou mais para serem concludas, sendo o valor correspondente a: R. (d) a) 83,33% das consultorias so concludas em vinte e seis dias ou mais; b) 33,33% das consultorias so concludas em vinte e seis dias ou mais; c) 86,67% das consultorias so concludas em vinte e seis dias ou mais; d) 16,67% das consultorias so concludas em vinte e seis dias ou mais; e) 6,67% das consultorias so concludas em vinte e seis dias ou mais. 14) Interprete (relate) a 4 Classe da tabela. Resposta pessoal 15) Este grfico descreve a freqncia das alturas dos recm-nascidos num mesmo dia, numa maternidade. Baseado no grfico CORRETO afirmar que a altura modal e a altura mdia das crianas so respectivamente iguais a: R. (d) (A) 48cm e 59,90cm (B) 51cm e 47,80cm (C) 49cm e 51,20cm (D) 47cm e 49,10cm (E) 47cm e 50,10cm 16) Observe as alturas de 10 crianas nascidas num mesmo dia, numa maternidade. Criana Altura (cm) Mariana 52 Jorge 48 Paulo 51 Mrio 47 Tarsila 47 Priscila 51 Silvana 53 Alberto 47 Vtor 47 Ricardo 48 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 24 Entre as alternativas abaixo a CORRETA em relao as alturas mdias das meninas e dos meninos respectivamente : R. (b) (A) 50,21cm e 46cm. (B) 50,75cm e 48cm. (C) 46cm e 50,28cm. (D) 50,75cm e 46cm. (E) 50,21cm e 50,75cm. 17) Dissertativa: Baseado no problema da questo anterior: Interprete o percentual que a diferena entre as alturas mdias das meninas e dos meninos representa em relao altura mdia dos meninos. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 18) Os 40 alunos de uma turma fizeram uma prova de Estatstica valendo 100 pontos. A nota mdia da turma foi de 70 pontos e apenas 15 dos alunos conseguiram a nota mxima. Seja M a nota mdia dos alunos que no obtiveram a nota mxima. Ento, CORRETO afirmar que o valor de M : R. (d) (A) 53 (B) 50 (C) 51 (D) 52 (E) 48 19) Durante um determinado ms de vero, os oito vendedores de uma firma de calefao central e ar-condicionado venderam os seguintes nmeros de unidades de ar-condicionado central: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 6. Considerando este ms como uma populao estatstica de interesse, o nmero mdio de unidades vendidas : R. (e) (A)18unidades (B)11unidades (C)8unidades (D)3unidades (E)9unidades 20) Uma pesquisa da ONU estima que, j em 2008, pela primeira vez na histria das civilizaes, a maioria das pessoas viver na zona urbana. O grfico a seguir mostra o crescimento da populao urbana desde 1950, quando essa populao era de 700 milhes de pessoas, e apresenta uma previso para 2030, baseada em crescimento linear no perodo de 2008 a 2030. De acordo com o grfico, a populao urbana mundial em 2020 corresponder em mdia, aproximadamente, a quantos bilhes de pessoas? R. 4,25 bilhes Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 25 SEPARATRIZES Alm das medidas de posio que estudamos, h outras que, consideradas individualmente, no so medidas de tendncia central, mas esto ligadas mediana relativamente sua caracterstica de separar a srie em duas partes que apresentam o mesmo nmero de valores. Vejamos, ento alguns quantis e seus nomes especficos: o quartil, o decil e o percentil - so, juntamente com a mediana, conhecida pelo nome genrico de separatrizes. QUARTIL Denominamos quartis os valores de uma srie que a dividem em quatro partes iguais. Precisamos, portanto de 3 quartis (Q1 , Q2 e Q3 ) para dividir a srie em quatro partes iguais. 0% 25% 50% 75% 100% | | | | | Q1 Q2 Q3 Obs: O quartil 2 ( Q2 ) sempre ser igual mediana da srie. Quartis em dados no agrupados O mtodo mais prtico utilizar o princpio do clculo da mediana para os 3 quartis. Na realidade sero calculadas " 3 medianas " em uma mesma srie. Exemplos: 1) Calcule os quartis da srie: {5, 2, 6, 9, 10, 13, 15} O primeiro passo a ser dado o da ordenao (crescente ou decrescente) dos valores: {2, 5, 6, 9, 10, 13, 15} O valor que divide a srie acima em duas partes iguais igual a 9, logo a Md = 9 que ser = Q2. Temos agora {2, 5, 6} e {10, 13, 15} como sendo os dois grupos de valores iguais proporcionados pela mediana (quartil 2). Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes iguais provenientes da verdadeira Mediana da srie (quartil 2). Logo em {2, 5, 6} a mediana = 5 . Ou seja: ser o quartil 1 em {10, 13, 15 } a mediana =13 . Ou seja: ser o quartil 3 2) Calcule os quartis da srie: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13} A srie j est ordenada, ento calcularemos o Quartil 2 = md = (5+6)/2 = 5,5 O quartil 1 ser a mediana da srie esquerda de md : {1, 1, 2, 3, 5, 5} Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 26 Q1 = (2+3)/2 = 2,5 O quartil 3 ser a mediana da srie direita de md : {6, 7, 9, 9, 10, 13} Q3 = (9+9)/2 = 9 Quartis em dados agrupados Determinao de Qi 10 passo: calcula-se (i . n) /4 20 passo: identifica-se a classe Qi pela Fa. 30 passo: aplica-se a frmula: i .n - faant Qi = li + 4 . h fi Determinao de Q3: 10 passo: calcula-se (3 . n) /4 20 passo: identifica-se a classe Q3 pela Fa. 30 passo: aplica-se a frmula: 3 . n - faant Qi = li + 4 . h fi em que: i = 1, 2, 3 li = limite inferior da classe encontrada h = amplitude do intervalo faant = freqncia acumulada anterior da classe fi = freqncia absoluta da classe encontrada DECIL A definio dos decis obedece ao mesmo princpio dos quartis, com a modificao da porcentagem de valores que ficam aqum e alm do decil que se pretende calcular. Indicamos os decis: D1, D2, ... , D9. Deste modo precisamos de 9 decis para dividir uma srie em 10 partes iguais. 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% | | | | | | | | | | | D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 27 De especial interesse o quinto decil, que divide o conjunto em duas partes iguais. Assim sendo, o quinto decil igual ao segundo quartil, que por sua vez igual mediana. Neste caso tambm semelhante as separatrizes anteriores . Ei-la: 10 passo: calcula-se (i . n) /10, em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 20 passo: identifica-se a classe Di pela Fa. 30 passo: aplica-se a frmula: i . n - faant Di = li + 10 . h fi PERCENTIL Denominamos percentis ou centis como sendo os noventa e nove valores que separam uma srie em 100 partes iguais. Indicamos: P1, P2, ... , P99. evidente que P50 = Md ; P25 = Q1 e P75 = Q3. O clculo de um centil segue a mesma tcnica do clculo da mediana, porm a frmula ser : 0% 1% 2% 3%.................... 50%....................97% 98% 99% 100% | | | | | | | | | P1 P2 P3 P50 P97 P98 P99 O clculo de um percentil dado por: 10 passo: calcula-se (i . n) /100 em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8............,98, 99. 20 passo: identifica-se a classe Pi pela Fa. 30 passo: aplica-se a frmula: i.n - faant Pi = li + 100 . h fi Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 28 EXEMPLOS: 1) Dada a distribuio, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana e a moda. K Classes fi pm fi . pm fa 1 7|----------17 6 12 72 6 2 17|----------27 15 22 330 21 Classe Q1 3 27|----------37 20 32 640 41 Classe Md 4 37|----------47 10 42 420 51 Classe Q3 5 47|----------57 5 52 260 56 56 --- 1722 --- Resoluo: 10 passo: n = 56 Q1=? md= ? Q3 = ? n/4 = 56/4 = 140 n/2 = 56/2 = 280 3n/4 = (3 . 56) / 4 = 420 20 passo: Pela fa identifica-se a classe Q1, classe Md e classe Q3 30 passo: Para Q1 temos : li = 17, n = 56, faant = 6, h = 10, fi = 15 Para Md temos: li = 27, n = 56, faant = 21, h= 10, fi = 20 Para Q3 temos : li =37, n = 56, faant = 41, h= 10, fi = 10 1 . 56 - 6 Q1 = 17 + 4 .10 = 22,33 15 56 - 21 Md = 27 + 2 .10 = 30,5 20 3 . 56 - 41 Q3= 37 + 4 .10 = 38 10 x = fi . pm = 1 722 = 30,75 fi 56 mo = ? 1 = 20 15 = 5 2 = 20 10 = 10 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 29 mo = 27 + 5 .10 5 + 10 mo = 27 + 5 .10 15 mo = 27 + [0,33 .10] mo = 27 + 3,33 = 30,33 Diante desses resultados, pode-se afirmar que: 22,33 deixa 25% dos elementos; 30,5 deixa 50% dos elementos; 38 deixa 75% dos elementos. 2) Calcular o 40 decil e o 720 percentil da seguinte distribuio: K Classes fi fa 1 4|-----------9 8 8 2 9|----------14 12 20 Classe D4 3 14|----------19 17 37 Classe P72 4 19|----------24 3 40 40 -------- Resoluo: Clculo do D4 : Clculo do P72 : 10 passo: in/10 = (4 . 40)/10 = 160 in/100 = (72 . 40)/100 = 28,80 20 passo: Identifica-se a classe D4 e P72 pela fa Para D4: li = 9; faant = 8; n = 40; h = 5; fiD4 = 12 4 . 40 - 8 D4 = 9 + 10 . 5 = 12,33 12 Para P72: li = 14; faant = 20; n = 40; h = 5; fiP72 = 17 72 . 40 - 20 P72= 14 + 100 . 5 = 16,59 17 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 30 Portanto, nesta distribuio o valor 12,33 divide a amostra em duas partes: uma com 40% dos elementos e a outra com 60% dos elementos. O valor 16,59 indica que 72% da distribuio esto abaixo dele 28% acima. E X E R C C I O S 1) Imagine que a margem de lucro na venda de um produto varivel, mas que, ao longo de seis meses, foram registrados os valores apresentados na tabela abaixo. Pede-se: o sexto decil e o trigsimo percentil. R. D6 = 43 e P30 = 36,5 Classes fi fa 15|---------25 30 25|---------35 45 35|---------45 150 45|---------55 45 55|---------65 30 65|---------75 25 TOTAL 325 2) Calcule o 10quartil, o 30decil e o 900percentil da distribuio de freqncia a seguir: R. Q1 = 27,081; D3 = 27,486 e P90 = 33,375 K Classes fi fa 1 18-----------|21 1 2 21-----------|24 4 3 24-----------|27 19 4 27-----------|30 37 5 30-----------|33 28 6 33-----------|36 8 7 36-----------|39 3 Total 100 -------- 3) A tabela a seguir contm rendimentos anuais dos funcionrios administrativos de uma empresa (em reais). Observe a e encontre: a) Q1; R. 6.825,00 b) D3; R. 7093,75 c)P35; R. 7296,87 K Classes fi fa 1 5000--------|6000 8 2 6000--------|7000 10 3 7000--------|8000 16 4 8000--------|9000 14 5 9000-------|10000 10 6 10000-----|11000 5 7 11000-----|12000 2 Total 65 -------- 4)Dada a distribuio de freqncia a seguir, pede-se: determinar o 1 e o 3 quartis. R. Q1 = R$ 630 Q3 = R$ 873 K CUSTOS (R$) fi fa 1 450|--------550 8 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 31 2 550|--------650 10 3 650|--------750 11 4 750|--------850 16 5 850|--------950 13 6 950|--------1050 5 7 1050|-------1150 1 Total 64 5) Pra a distribuio do exerccio anterior, determinar o 20 percentil. R. P20 = R$ 598 6) A pontuao nos testes de 15 empregados envolvidos em um curso de treinamento est disposta a seguir: 13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17. Obtenha: o primeiro, o segundo e terceiro quartil da pontuao dos testes. R. Q1 = 10; Q2 = 15 e Q3 = 18 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 32 MEDIDAS DE DISPERSO Desvio Mdio Poder-se-ia, por exemplo, calcular a distncia que separa cada dado Xi da mdia x e estabelecer a mdia de todos os valores. Tomando os valores absolutos. Obtm-se, assim, o desvio mdio. Para dados no agrupados: Para dados agrupados : Dm= | Xi - x | Dm = | Xi - x | . fi n n OBS.: Para calcular o desvio mdio em dados agrupados utiliza-se a frmula que determina a mdia aritmtica ponderada: Exemplo: Determine o desvio mdio para o seguinte conjunto de nmeros: 2, 4, 6, 8, 10 Soluo: Determinamos a mdia: x = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 6 5 Determinamos as diferenas: | Xi - x | = |2-6| + |4-6| + |6-6| + |8-6| + |10-6| = |-4| + |-2| + |2| + |4| =12 Desvio mdio Dm = | Xi - x | = 12 = 2,4 n 5 Varincia da amostra Define-se a varincia, e representa-se por S2, como sendo medida que se obtm somando os quadrados dos desvios das observaes da amostra, relativamente sua mdia, e dividindo pelo nmero de observaes da amostra menos um. Para calcular a varincia dados no agrupados Para calcular a varincia dados agrupados S2 = | Xi - x |2 n - 1 Exemplo: Calcule a varincia da amostra: 2, 4, 6, 8, 10 Soluo: J vimos que a mdia : x = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 )/5 = 6 S2 = | Xi - x |2 . fi n - 1 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 33 Eis os clculos necessrios: Xi |Xi - 6 | |Xi 6 |2 2 |-4| 16 4 |-2| 4 6 |0 | 0 8 |+2| 4 10 |+4| 16 30 12 40 S2 = | Xi - x |2 = 40 = 10 n - 1 5 - 1 Desvio Padro Amostral Uma vez que a varincia envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime no a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou disperso com as mesmas unidades que os dados, nada mais que a raiz quadrada da varincia e obtemos o desvio padro: O desvio padro uma medida que s pode assumir valores no negativos e quanto maior for, maior ser a disperso dos dados. Algumas propriedades do desvio padro, que resultam imediatamente da definio, so: o desvio padro sempre no negativo e ser tanto maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. se s = 0, ento no existe variabilidade, isto , os dados so todos iguais. S = 2s Calcule o desvio padro da amostra do exemplo anterior Soluo: S = 10 S = 3,162278 aproximadamente 3,2 Coeficiente de variao Trata-se de uma medida relativa de disperso til para a comparao em termos relativos do grau de concentrao em torno da mdia de sries distintas e expresso em porcentagens. dado por: CV = S . 100 x Para o exemplo anterior: Soluo: CV = (3,2 /6) . 100 CV= 53,33% Diz-se que a distribuio possui pequena variabilidade (disperso) quando o coeficiente der at 10%; mdia disperso quando estiver acima de 10% at 20%; e grande disperso quando superar 20%. 2) Determinar o desvio mdio (dm), a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao da distribuio amostral a seguir: Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 34 Soluo: Primeiramente calculamos a mdia aritmtica ponderada: x = xi . fi = 106 = 5,88 aproximadamente 5,9 n 18 X fi Xi . fi |dm| = | Xi x | . fi S2 = |Xi x |2 . fi 3 5 15 3 5,9 = |-2,9| . 5 = 14,5 |-2,9|2 = 8,41 . 5 = 42,05 4 2 8 4 5,9 = |-1,9| . 2 = 3,8 |-1,9|2 = 3,61 . 2 = 7,22 6 4 24 6 5,9 = |0,1| . 4 = 0,4 |0,1|2 = 0,01 . 4 = 0,04 7 2 14 7 5,9 = |1,1| . 2 = 2,2 |1,1|2 = 1,21 . 2 = 2,42 9 5 45 9 5,9 = |3,1| . 5 = 15,5 |3,1|2 = 9,61 . 5 = 48,05 18 106 36,4 99,78 Desvio mdio: dm = |dm| . fi = 36,4 = 2,02 n 18 Varincia: S2 = |Xi x |2 . fi = 99,78 = 99,78 = 5,87 n - 1 18 1 17 Desvio Padro: S = 2s S = 87,5 S = 2,43 Coeficiente de variao: CV = S . 100 = 2,43 . 100 = 243 = 41,18% x 5,9 5,9 E X E R C C I O S 1) Determine o desvio mdio para o conjunto de valores: 1, 2, 3, 4, 5 R. Dm = 1,2 2) Calcule a varincia e o desvio padro da amostra: 2, 5, 10, 5, 2 R. S2 = 10,7 e S = 3,27 3) Calcular o desvio-mdio, a varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao da seguinte distribuio amostral: R. Dm = 1,2; S2 = 2,85; S = 1,69 e CV = 20,96% Xi fi 5 2 7 3 8 5 9 4 11 2 16 4)Calcule a varincia para os dados do Conjunto A: 4, 6, 4, 6, 5, 5. R. S2 = 0,8 5) Os preos para a amostra de 6 modelos bsicos de mquinas de caf so apresentados a seguir (Consumer Reports 1995 Buying Guide). R. a) Dm = 9; b) S2 =138,4 c) S = 11,76 d) CV = 40,56% Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 35 Modelo Preo($) Mr. Coffee PR12A 27 Krups 50 Proctor 42301 20 Black & Decker 901 22 Black & Decker 900 20 West Bend 35 Determine: a) o desvio mdio b)a varincia c)o desvio padro d) o coeficiente de variao 6) Os dados da tabela abaixo representam a amostra para os dados de salrios-inicias dos funcionrios de uma determinada empresa. Salrio Mensal(xi)(R$) fi 350,00 2 450,00 4 250,00 3 380,00 1 255,00 2 Determine: a) a mdia b) o desvio mdio c)a varincia d) o desvio padro R. a) mdia = 345,00 b) Dm = 77,5 c) S2 = 8059,09 d) S = 89,77 7) Dada a tabela abaixo: Xi fi 4 2 2 4 6 3 3 2 Total 11 CALCULAR: a) o desvio-mdio R. 1,42 b) a varincia R. 2,85 c) o desvio-padro R. 1,68 d) o coeficiente de variao R. 46,28% 8) Para o conjunto de nmeros {3, 5, 2, 4}, determinar: a) a mdia R. 3,5 b) o desvio-mdio R. 1 c) a varincia R. 1,66 d) o desvio-padro R. 1,28 9) A altura mdia dos homens que trabalham em uma empresa 1,80m, com desvio-padro 1,40m e a altura mdia das mulheres 1,60m com desvio-padro 1,30m. Determine o coeficiente de variao para a altura dos homens e para altura das mulheres. R. CVh = 77,77% e CVm = 81,25% Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 36 PROBABILIDADE Os fenmenos estudados pela Estatstica variam de resultados de uma observao para outra, dificultando assim a previso de um resultado futuro. Por isso adota-se um modelo matemtico probabilstico. EXPERIMENTO ALEATRIO Experimentos aleatrios so aqueles que, mesmo repetidos vrias vezes sob condies semelhantes, apresentam resultados imprevisveis. Em uma afirmao do tipo: provvel que meu time ganhe a partida de hoje pode resultar: a) que o time perca; b) que o time ganhe; c) que ele empate. Como vimos, o resultado imprevisvel e depende do acaso. Fenmenos como esses so chamados fenmenos aleatrios ou experimentos aleatrios. ESPAO AMOSTRAL A cada experimento aleatrio (E) correspondem em geral a vrios resultados possveis a que chamamos de Espao Amostral (S). Exemplos: E = lanar um dado e observar o n da face de cima S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E = lanar uma moeda e observar o resultado S = {cara, coroa} EVENTOS qualquer subconjunto do espao amostral S de um experimento aleatrio. Exemplo: No lanamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento obter um n par na face superior temos: B = {2, 4, 6} CLCULO DAS PROBABILIDADES Dado um experimento aleatrio, sendo S o seu espao amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, chamamos de probabilidade de um evento A o n real P(A) tal que: P(A) = n(A) n(S) onde: n(A) = n de elementos de A ; n(S) = n de elementos de S. Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 37 Exemplos: Considerando o lanamento de um dado: - qual a probabilidade do evento A obter um nmero par na face superior. Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(S) = 6 A = {2, 4, 6}, logo n(A) = 3 Ento: P(A) = 2163 - qual a probabilidade do evento B obter um n menor ou igual a 6 na face superior Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6 Ento : P(B) = 166 - qual a probabilidade do evento C obter um nmero 4 na face superior Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 C = {4}, n( C ) = 1 Ento : P (C) = 61 - qual a probabilidade do evento D obter um nmero maior que 6 na face superior Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 D = vazio, n(D) = 0 Ento: P(D) = 060 Pelos exemplos acima temos: a) A probabilidade do evento certo igual a 1: P(S) = 1 b) A probabilidade do evento impossvel igual a zero: P() = 0 c) A probabilidade de um evento E qualquer um n real P(E) tal que: 1)(0 EP EVENTOS COMPLEMENTARES Sabemos que um evento pode ocorrer ou no. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele no ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relao: p + q = 1 q = 1 p Assim, se a probabilidade de se realizar um evento p = 1/5, a probabilidade de que ele no ocorra : p + q = 1 q = 1 1 = 4 5 5 Sabemos que a probabilidade de tirar 4 no lanamento de um dado p(4) = 1/6. Logo, a probabilidade de no tirar o 4 no lanamento de um dado : q = 1 1 = 5 6 6 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 38 EVENTOS INDEPENDENTES Dizemos que dois eventos so independentes quando a realizao ou a no realizao de um dos eventos no afeta a probabilidade da realizao do outro e vice-versa, ou seja, ento a probabilidade da ocorrncia de ambos igual ao produto de suas probabilidades individuais, ou marginais : P = P1 . P2 Exemplos: 1) No lanamento de dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado : P1 = 1/6 A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado : P2 = 1/6 Logo, a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado : Resoluo: P = 1/6 . 1/6 P = 1/36 2) Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem cara? Resoluo: razovel admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro. Alm disso, para moedas equilibradas, P(caras) = . Logo, P(cara, e coroa) ser: 1a jogada 2a jogada ambas . = 3) No caso de trs moedas. Qual a probabilidade de trs caras? Resoluo: 1a jogada 2a jogada 3a jogada ambas . . = 1/8 4) Em 25% das vezes John chega em casa para jantar. Por outro lado, o jantar atrasa 10% das vezes. Se no h qualquer relacionamento entre os atrasos de John e os atrasos do jantar, qual a probabilidade de ocorrerem ambos os casos? Resoluo: P(ambos atrasos) = P(John atrasado)P(jantar atrasado) P(ambos atrasos) = (0,25)(0,10) P(ambos atrasos) = 0,025 ou 2,5% EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dizemos que dois ou mais eventos so mutuamente exclusivos quando a realizao de um exclui a realizao do(s) outro(s). De modo geral, podemos dizer que se dois eventos so mutuamente exclusivo, a probabilidade de que um ou outro se realize igual a soma das probabilidades de ocorrncia de que cada um deles se realize: P = P1 + P2 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 39 EXEMPLOS: 1) No lanamento de um dado; a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 em uma jogada : Resoluo: p(3) = 1/6 p(5) = 1/6 logo p(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 2) Numa empresa 30% dos funcionrios so do primeiro turno, 35% do segundo, 20% do terceiro, e o restante do quarto turno. Um dos funcionrios ganhou R$ 1.000,00 numa loteria. Determine as probabilidades: a) de o funcionrio ser do quarto turno; b) de ser do primeiro turno; c) de no ser do primeiro turno. Resoluo: (a) 10 20 30 40 30 + 35 + 20 = 85 15 P(quarto) = 15/100 = 0,15 . 100 = 15% (b) 10 = 30 P(primeiro = 30/100 P(primeiro) = 0,30 . 100 = 30% (c) 20 30 40 20 + 35 + 15 = 70 P(no ser do primeiro) = 70/100 = 0,7 . 100 = 70% E X E R C C I O S 1) Determine o complemento de cada um dos seguintes eventos: a) ganhar num jogo de beisebol b) ganhar num jogo de futebol c) obter dois ou trs no lanamento de um dado 2) Relacione os resultados possveis do lance de um s dado. Ache a probabilidade de cada resultado e adicione-as. R. 1 3) Joga-se um dado equilibrado; determine a probabilidade de obter: a) um seis R. 1/6 ou 16,66% b) cinco, seis ou sete R. 2/6 ou 33,33% c) um nmero par R. 3/6 ou 50% d) um nmero menor que quatro R. 3/6 ou 50% 4) H 50 bolas numa urna, distribudas como segue: COR NMERO AZUL 20 VERMELHA 15 LARANJA 10 VERDE 5 TOTAL 50 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 40 Misturam-se as bolas e escolhe-se uma. Determine a probabilidade de a bola escolhida ser: a) verde R. 5/50 ou 10% b) azul R. 20/50 ou 40% c) azul ou verde R. 25/50 ou 50% d) no vermelha R. 35/50 ou 70% e) vermelha ou verde R. 20/50 ou 40% f) laranja R. 10/50 ou 20% g) no laranja R. 40/50 ou 80% 5) De um lote de 10 fusveis, testa-se um. Determine P(defeituoso) se: a) 1 fusvel defeituoso R. 1/10 b) 2 fusveis so defeituosos R. 2/10 c) 3 fusveis so defeituosos R. 3/10 6)Em um lote de 12 peas, 4 so defeituosas. Sendo retirada uma pea, calcule: a)A probabilidade dessa pea ser defeituosa . R. 1/3 b)A probabilidade dessa pea no ser defeituosa. R. 2/3 7) Considere uma populao de igual nmero de homens e mulheres, em que sejam daltnicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltnica selecionada ao acaso nessa populao. R. d a)12,50% b) 14,28% c) 23,80% d) 4,76% e)25% 8) Determine a probabilidade de Alexandre, Hamilton e Adriano terem nascido no mesmo dia da semana. R. 1/7 ou 14,28% 9) Numa sala de aula de um curso noturno, a distribuio das idades dos alunos dada pelo grfico seguinte: no de alunos 5 4 3 2 1 16 17 18 19 20 21 idade dos alunos Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de sua idade ser no mximo 18 anos : R. (c) a) 4/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 9/20 e) 1/4 10) Uma firma realizou um concurso para selecionar alguns universitrios que pretendem fazer estgio. A tabela apresenta as escolhas das carreiras dos estudantes inscritos, por sexo. SEXO Carreira masculino feminino Economia 8 6 Contabilidade 6 5 Administrao 11 4 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 41 Um desses estudantes escolhido ao acaso, e sabe-se que ele do sexo masculino. A probabilidade de este estudante ter escolhido Contabilidade de: R. (c) a) 6% b) 15% c) 24% d) 30% e) 19,05% 11)Baseado no problema da questo anterior, a probabilidade de este estudante ter escolhido Contabilidade ou Economia de: R. (a) a) 56% b) 32% c) 24% d) 80.95% e) 19,05% 12) Com referncia a tabela abaixo, qual a probabilidade de uma famlia aleatoriamente escolhida tenha renda familiar entre $ 8.000 e $ 12.999? R. (e) Tabela: Renda familiar anual de 500 famlias Categoria Nveis de renda No de Famlias 1 Menos do que $ 8.000 60 2 8.000 ------ 12.999 100 3 13.000 ------ 19.999 160 4 20.000 ------ 29.999 140 5 30.000 e mais 40 TOTAL -------------------------- 500 a) 0,18 b) 0,28 c) 0,12 d) 0,32 e) 0,20 13) (ENEM/2005 - modificada) As ex-alunas de uma turma que completou o curso de Cincias Contbeis h 10 anos se encontraram em uma reunio comemorativa. Vrias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuio das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, mostrada no grfico abaixo. Um prmio foi sorteado pela instituio onde as mulheres concluram o curso superior entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que cada criana premiada tenha sido um(a) filho(a) nico(a) : R. (e) Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 42 (A) 1/3 (B) (C) 7/15 (D) 7/23 (E) 7/25 MAIS EXERCICIOS.... 1) Determine a probabilidade de cada evento abaixo: a) Um n par aparecer no lanamento de um dado. b) No lanamento de um dado, qual a probabilidade de sair o n 6 ou um n mpar? R. a) ; b) 2/3 2) Uma loja dispe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam defeitos. Se um fregus vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa? R. 1/3 3) Um lote formado por 10 peas boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma pea escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) ela no tenha defeitos graves; R. 7/8 b) ela no tenha defeitos; R. 5/8 c) ela, ou seja, boa ou tenha defeitos graves. R. 3/4 4) Suponha que um gerente de um grande complexo de apartamentos fornea as seguintes estimativas de probabilidade sobre o nmero de vagas que haver no prximo ms: Vagas probabilidades 0 0,05 1 0,15 2 0,35 3 0,25 4 0,10 5 0,10 Fornea a probabilidade do evento. a) sem vagas R. 0,05 b) pelo menos quatro vagas R. 0,20 c) duas vagas ou menos R. 0,55 5) Determine a probabilidade de obter 3 ou menos pontos no lance de um dado. R. 1/2 6)Suponhamos uma urna com 10 bolas, 8 vermelhas e 2 verdes. Qual a probabilidade de escolher uma verde numa nica extrao? R. 1/5 7) Jim e Tim acham uma velha moeda. Um exame detido revela que a moeda foi alterada, de modo que uma face mais provvel que a outra. Jim decide verificar, e lana a moeda 40 vezes, obtendo cara 24 vezes. Em seguida, Tim lana a moeda 50 vezes, obtendo cara 28 vezes. a) Pode-se dizer que Jim ou Tim tenha obtido uma verdadeira experincia de freqncia relativa? Por qu? Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 43 b) Se o leitor tivesse de escolher um dos dois resultados, qual escolheria e por qu? 8) Um tero dos eleitores de certa comunidade constitudo de mulheres, e 40% dos eleitores votaram na ltima eleio presidencial. Supondo que esses dois eventos sejam independentes, determine a probabilidade de escolher aleatoriamente um eleitor da lista geral, que seja mulher e que tenha votado na ltima eleio presidencial. R. 13,33% 9) As falhas de diferentes mquinas so independentes umas das outras. Se h quatro mquinas, e se suas respectivas probabilidades de falha so 1%; 2%; 5% e 10% em determinado dia, calcule as probabilidades: a) de todas falharem em determinado dia R. 0,00010% b) de nenhuma mquina falhar R. 82,95% Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 44 FATORIAL DISTRIBUIO BINOMIAL Chama-se fatorial de um nmero natural n > 1 e se indica por n! ao produto dos n fatores decrescentes de n at 1. n! = n(n 1) ( n 2) ( n 3) ......3 . 2 . 1 onde n! l-se n fatorial EXEMPLOS 1. Calcule: a) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 b) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 c) 3!2! = (3 . 2 . 1) . (2 . 1) = 12 d) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 60 2! 2.1 e) 8! = 8 . 7 . 6 . 5! = 336 5! 5! OBS.: Por definio: 0! = 1 e 1! = 1 Nmeros Binomiais Chama-se nmero binomial de classe x do nmero n, onde n e x so nmeros naturais e x n, a expresso: n n! x = x!(n x)! o n o numerador e x o denominador do nmero binomial. EXEMPLOS 1. 8 = 8! = 8! = 8 . 7 . 6 . 5! = 56 5 5!(8 5)! 5!3! 5! 3 . 2. 1 2. 9 = 9! = 9! = 9 . 8! = 9 1 1!(9 1)! 1!8! 1. 8! 3. 3 = 3! = 3! = 3! = 1 3 3!(3 3)! 3!0! 3! . 1 4. 6 = 6! = 6! = 1 0 0!(6 0)! 1 . 6! Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 45 Distribuio Binomial Vamos imaginar fenmenos cujos resultados s podem ser de dois tipos, um dos quais considerado como sucesso e o outro insucesso. Este fenmeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condies. As provas repetidas devem ser independentes, isto , o resultado de uma no deve afetar os resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q (q =1- p) do insucesso, manter-se-o constantes. Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter x sucessos em n tentativas. Nessas condies X uma varivel aleatria discreta que segue uma distribuio binomial. Frmula: P(x) = xnq.xp.xn P(x) = a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas. n = n de vezes que o experimento aleatrio repetido x = n de sucessos em n tentativas p = a probabilidade de que o evento se realize em uma s prova = sucesso. q = a probabilidade de que o evento no se realize no decurso dessa prova = insucesso. n x o coeficiente binomial de n sobre x, igual a )!(!!xnxn Varincia - S2 = n.p.q Desvio padro S = 2s OBS: O nome binomial devido frmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento do binmio de Newton: Frmula do Termo geral (p + q)n = n pxqn-x + n p1qn-1 + n p2qn-2 + n p3 q n-3 + ... + n pnq0 0 1 2 3 n EXEMPLOS 1) Uma moeda lanada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas. Resoluo: n = 5 x = 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2 P(x=3) = 5 . ()3 . (1/2)5-3 3 P(x=3) = 5 . (1/8) . (1/4) 3 P(x=3) = 5 . (1/32) 3 P(x=3) = 5 = 5! . 0,03125 3 3!(5 3)! Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 46 P(x=3) = 5 = 5 . 4 . 3! 3 3! 2! P(x=3) = 5 = 5 . 4 = 20 = 10 3 2 . 1 2 P(x=3) = 10 . 0,03125 P(x=3) = 0,3125 . 100 = 31,25% 2) Uma empresa produz 10% de peas defeituosas. As peas so embaladas em caixas que contm 12 peas. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo: a) nenhuma pea defeituosa; b) uma pea defeituosa. Soluo: 1. E: examinar uma pea D P(D) = 0,1 N P(N) = 0,9 2. n = 12 repeties independentes de E. 3. Se convencionarmos D como sucesso, ento estamos interessados no item a na ocorrencia de 0 sucesso. P(x =0) = 12 (0,1)0 (0,9)12 = 0,2824 ou 28,24% 0 No item b estamos interessados na ocorrncia de 1 sucesso. P(x =1) = 12 (0,1)1 (0,9)11 = 12 (0,1 ) ( 0,3138106) = 0,37657 0u 37,66% 1 3) Um levantamento efetuado na carteira de uma agncia bancria indicou que 20% dos ttulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 ttulos da carteira, determine a probabilidade que: No mximo dois sejam pagos com atraso. Soluo: No mximo dois sejam pagos com atraso. E: Sem Atraso: SA P(SA) = 0,8 Com Atraso: CA P(CA) = 0,2 n = 20 repeties independentes de E. considerando como sucesso CA, estamos interessados na ocorrncia de 0,1 ou 2 sucessos. P[x < 2] = P[0] + P[1] + P[2] P[x < 2] = 20 (0,2)0 (0,8)20 + 20 (0,2)1 (0,8)19 + 20 (0,2)2 (0,8)18 0 1 2 P[x < 2] = 0,0115 + 20(0,2)(0,0144) + 190(0,0400)(0,01800) P[x < 2] = 0,01150 + 0,05760 + 0,13680 P[x < 2] = 0,2059 ou 20,59% OBS.: 20! = 190 2 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 47 E X E R C I C I O S 1) Calcule: a) 6! b) 3! 4! c) 5! + 2! d)4! 3! e)3! + 5! R. a) 720; b) 144; c)122; d) 18; e) 126; 2) Calcule: a) 9 b) 7 c) 3 R. a) 36; b) 21; c) 3 2 2 1 3) Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda. R. 0,3125 ou 31,25% 4) Considere um experimento binomial com dois ensaios e p = 0,4. a) Calcule a probabilidade de um sucesso, f(1). R. 48% b) Calcule f(0). R. 36% c) Calcule f(2). R. 16% d) Encontre a probabilidade de pelo menos um sucesso. R. 64% e) Encontre a varincia e o desvio padro. R. 0,48 e 0,6928 5) Considerando as decises de compra dos prximos trs cliente que entram na loja de roupas Leve Tudo. Com base em experincias passadas, o gerente da loja Leve Tudoestima que a probabilidade de qualquer um dos clientes comprar de 0,30.Calcular a probabilidade de que nenhum cliente faa uma compra; exatamente um cliente faz uma compra; exatamente dois clientes fazem uma compra e todos os trs clientes fazem uma compra. R. f(0) = 0,343; f(1) = 0,441; f(2) = 0,189; f(3) = 0,027 6) Considerando o problema com 3 clientes da loja Leve Tudo, vemos que a varincia e desvio-padro para o nmero de clientes que fazem uma compra so de? R. 0,63 e 0,79 7) Se considerarmos a estimativa de probabilidade que qualquer um dos clientes que entra na loja Leve Tudo seja de 0,30, a probabilidade de fazer exatamente 4 vendas a 10 clientes que entram na loja ? R. f(4) = 0,2001 ou 20,01% 8) Para os prximos 1000 clientes que entram na loja Leve Tudo, a varincia e o desviopadro para o nmero de clientes que fazem uma compra so de? R. 210 e 14,49 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 48 DISTRIBUIO NORMAL DE PROBABILIDADES f(x) x x = s possui um mximo para z = 0, e neste caso sua ordenada 0,39 f(x) x -s + s f(x) tem dois pontos de inflexo cujas abscissas valem -s e + s Clculo de Probabilidades A probabilidade de P[a < x < b] a rea da regio sob a curva definida pelo intervalo ]a,b[. f(x) x a b A determinao desta rea usando-se o clculo integral bastante complicada. Para superar esta dificuldade, uma particular distribuio normal z com mdia =0 e s (z) =1 foi utilizada. Uma tabela contendo os valores positivos de z e a rea compreendida sob a curva entre 0 e z foi construda. z: f(z) z 0 z Esta distribuio foi escolhida pelo fato de apresentar os parmetros mais simples. Qualquer outra distribuio normal x com mdia e desvio-padro s pode ser transformada, para efeito do clculo de rea, na distribuio normal padro z, atravs da mudana de varivel: Z = X S Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 49 onde: = np (mdia) S = 2s (desvio padro) Propriedades da distribuio normal 1 - A varivel aleatria X pode assumir todo e qualquer valor real. 2 - A representao grfica da distribuio normal uma curva em forma de sino, simtrica em torno da mdia, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 3 - A rea total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas igual a 1, j que essa rea corresponde probabilidade de a varivel aleatria X assumir qualquer valor real. 4 - A curva normal assinttica em relao ao eixo das abscissas, isto , aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcan-lo. 5 - Como a curva simtrica em torno da mdia, a probabilidade de ocorrer valor maior que a mdia igual probabilidade de ocorrer valor menor do que a mdia, isto , ambas as probabilidades so iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade. Conhecendo-se a rea especificada na tabela, qualquer outro tipo de rea poder ser calculada usando-se a simetria da curva. Uso de Tabela distribuio z Exemplo 01: Calcule a probabilidade de a varivel normal padro z assumir valores entre 0 e 1. Soluo: z: f(z) z 0 1 Note que a rea entre zero e um valor positivo exatamente a rea fornecida pela tabela. - Entra-se na tabela na 1a coluna z vai at o 1 tm-se o correspondente na 2a coluna 0,00 O valor da rea correspondente a z = 1,00 0,3413. Portanto, P(0 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 50 No entanto, pela simetria da curva, a rea direita de zero igual a 0,5. Portanto, P(z > 1) = 0,5 P(0 < z < 1) P(z >1) = 0,5 0,3413 P(z >1) = 0,1587 Exemplo 03: Calcule a probabilidade de a varivel normal padro z assuma o valor 1. Soluo: Como neste caso, o intervalo se reduz a um ponto, a rea zero. Assim, P(z = 1) = 0 De um modo geral, a probabilidade de a varivel z assumir um nico valor sempre zero. Exemplo 04: Calcule a probabilidade de a varivel normal padro z assumir um valor menor que 1. Soluo: z: f(z) z -1 0 Pela simetria a rea da esquerda 1 igual rea da direita de 1. Assim, P(z < - 1) = P(z > 1) P(z < - 1) = 0,5 0,3413 P(z < - 1) = 0,1587 Exemplo 05: Deseja-se a probabilidade P( -2,55 < z < 1,2). Soluo: z: f(z) z -2,55 0 1,2 Entra-se na tabela, com o valor 1,2 na 1a coluna(z) e 0,00 na 1a linha, obtendo 0,3849. Lembrando a propriedade da simetria em relao a z = 0, entra-se com 2,5 na 1a coluna e 0,05 na 1a linha, obtendo 0,4946. Portanto, P(-2,55 < z < 1,2) = 0,3849 + 0,4946 P(-2,55 < z < 1,2) = 0,8795 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 51 Exemplo 06: Uma varivel aleatria x normal apresenta mdia 20 e desvio-padro 3. Calcule P(20< x< 23). Soluo: x: f(x) x 20 23 Usando a mudana de varivel: z = x s Obtemos os valores de z correspondentes aos pontos 20 e 23: z = 20 20 = 0 3 z = 23 20 = 1,00 3 A rea entre os pontos 20 e 23 na distribuio de x a mesma rea entre os pontos 0 e 1 na distribuio de z. desta forma , P(20< x< 23) = P(0 < z < 1,00). Este valor obtido diretamente na tabela consultando-se o valor z = 1,00. Assim, P(20 < x Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 52 6. Uma fbrica de pneumticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuio normal, de mdia 48.000 km e desvio-padro 2.000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: a) dure mais que 46.000 km; R. 15,87% b) dure entre 45.000 e 50.000 km. R. 77,45% 7. A mdia dos dimetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa mquina 0,502 polegadas e o desvio padro 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas so fabricadas permite a tolerncia mxima, para dimetro, de 0,496 a 0,508 polegadas; se isso no se verificar, as arruelas sero consideradas defeituosas. Determinar a porcentagem de arruelas defeituosas produzidas pela mquina, admitindo-se que os dimetros so distribudos normalmente. R. 76,98% e 23,02% 8. Os salrios dos bancrios so distribudos normalmente, em torno da mdia R$ 10.000,00, com desvio padro de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um bancrio ter o salrio situado entre R$ 9.800,00 e R$ 10.400,00. R. 29,02% Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 53 TABELA : reas para a Distribuio Normal Padronizada x 0 z Cada casa na tabela d a proporo sob a curva inteira entre z = 0 e um valor positivo de z. As reas para os valores de z negativos so obtidos por simetria. z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549 0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3354 0,3357 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4606 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0.4975 0.4976 0.4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4986 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 4,0 0,49997 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 54 DISTRIBUIO DE POISSON Nesta distribuio consideramos uma varivel aleatria discreta que freqentemente til para estimar o nmero de ocorrncias sobre um intervalo de tempo ou espao especfico. Por exemplo:- Nmero de defeitos por metro em determinado tecido. - Nmero de defeitos na impresso de certo livro. - Nmero de pessoas que chegam ao caixa de um supermercado no intervalo de tempo de 3 minutos. - Nmero de carros que passam por um pedgio no intervalo de 30 minutos, etc. P(x) = !!)(xexnpe xxnp Onde: = np : representa o n mdio de eventos ocorrendo no intervalo considerado P(x) : a probabilidade de ocorrncia do evento desejado x = n de ocorrncias e = base do logaritmo natural (2,718281...) EXEMPLOS 1.Dez por cento das ferramentas produzidas por um certo processo de fabricao revelaram-se defeituosas. Determinar a probabilidade de, em uma amostra de 10 ferramentas escolhidas ao acaso, exatamente duas serem defeituosas. Soluo: Probabilidade de uma ferramenta ser defeituosa : p = 0,1 = np = 10(0,1) = 1 e x = 2 P(2 feramentas defeituosas em 10) = e- . x = e- . (1)2 = 0,367917587 . 1 = 0,1839 x! 2! 2 .1 2. Se a probabilidade de um indivduo sofrer uma reao nociva, resultante da injeo de um determinado soro, 0,001, determinar a probabilidade de, entre 2000 indivduos: (a) exatamente 3 sofrerem aquela reao; (b) nenhum indivduo sofrer aquela reao. Soluo (a): = np = 2000(0,001) = 2 e x = 3 P(3 indivduos sofrerem uma reao nociva) = e- . x = e-2 . (2)3 = 0, 13536335 . 8 = x! 3! 3 . 2 . 1 P(3 indivduos sofrerem uma reao nociva) = 1,0829068 = 0,180 6 Soluo (b): x = 0 P(nenhum sofrer aquela reao nociva) = e- . x = e-2 . (2)0 = 0,13536335 . 1 = 0,1353 X! 0! 1 3. Suponha que estamos interessados no nmero de chegadas a uma caixa automtica (tipo drive thru) de um banco durante um perodo de 15 minutos nas manhs de fins de semana. Se pudermos Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 55 considerar que a probabilidade de um carro chegar a mesma para quaisquer dois perodos de tempo de igual comprimento, e que a chegada ou no-chegada de um carro em qualquer perodo de tempo seja independente da chegada ou no-chegada do outro em qualquer perodo de tempo, a funo de probabilidade de Poisson aplicvel. Suponha que essas hipteses so satisfeitas e uma anlise de dados histricos mostra que o nmero mdio de carros que chegam no perodo de 15 minutos 10; ento a seguinte funo de probabilidade se aplica. a) Qual a probabilidade se a administrao queria saber cinco chegadas exatamente em 15 minutos? Soluo: P(x = exatamente 5 chegadas em 15 minutos) = e- . x = e-10 . (10)5 = x! 5! P(x = exatamente 5 chegadas em 15 minutos) = 0,000045447 . 100.000 = 4,54447 5 . 4 . 3 . 2 . 1 120 P(x = exatamente 5 chegadas em 15 minutos) = 0,0378 b) Suponha que os dados histrico revelasse que o nmero mdio de carros que chegam no perodo de 15 minutos 3; qual a probabilidade de uma chegada nesse perodo? Soluo: P(x = exatamente1 chegada em 15 minutos) = e- . x = e-3 . (3)1 = (2,718282)-3 . 3 x! 1! 1 P(x = exatamente 1 chegada em 15 minutos) = 0,0497871 . 3 = 0,149336 1 P(x = exatamente 1 chegada em 15 minutos) = 14,93% 4. O nmero mdio de acidente mensais em um determinado cruzamento trs. Qual a probabilidade de que em um determinado ms ocorram quatro acidentes no cruzamento? Soluo: P(x = 4) = e- . x = e-3 . (3)4 = 0,049802557 . 81 x! 4! 4 . 3 . 2 . 1 P(x = 4) = 4,034007117 24 P(x = 4) = 0,168 E X E R C C I O S 1. Uma loja atende em mdia 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora: a) atender 2 clientes R. 27,07% b) atender 3 clientes R. 18,04% 2. Suponha que 2% dos itens produzidos por uma fbrica sejam defeituosos. Encontre a probabilidade de existirem 3 defeituosos em uma amostra de 100. R . 18,04% 3. Certo posto de bombeiros recebe em mdia 3 chamadas por dia. Calcular a probabilidade de receber 4 chamadas num dia. R. 16,80% 4. Suponha que haja em mdia 2 suicdios por ano numa populao de 50.000 hab. Em uma cidade de 100.000 hab, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido: a) 0 suicdio R. 1,83% b) 1 suicdio R. 7,32% c) 2 suicdios R. 14,65% Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 56 5. Sabendo-se que a probabilidade de um indivduo acusar reao negativa injeo de determinado soro 0,001, determine a probabilidade de que, em 3000 indivduos, exatamente dois acusem reao negativa. R.22,40% 6. Supondo que o n de carros que chegam a uma fila de guich de um pedgio possua distribuio de Poisson a uma taxa de 3 carros por minuto, determine a probabilidade de chegarem 4 carros nos prximos 2 minutos. R. 13,39% 7. Se 3% das lmpadas eltricas fabricadas por uma companhia so defeituosas, determinar a probabilidade de, em uma amostra de 100 lmpadas, serem defeituosas: a) nenhuma lmpada; R. 4,98% b) uma lmpada ser defeituosa; R. 14,94% c) trs lmpadas serem defeituosas. R. 22,41% 8. Entre as 14 e 16 horas, o nmero mdio de chamadas telefnicas por minuto, atendidas pela mesa de ligaes de uma companhia, de 2,50. Determine a probabilidade de, durante um determinado minuto, haver: a) zero chamada; R. 8,21% b) uma chamada; R. 20,52% c) duas chamadas. R. 25,65% Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 57 CORRELAO Diagrama de Disperso Voc provavelmente j ouviu dizer que o aumento do nmero de crimes est relacionado com o aumento da taxa de desemprego. Voc tambm deve ter ouvido falar que os preos sobem quando a procura determinado produto aumenta. Estes exemplos mostram que, muitas vezes, o pesquisador procura uma relao entre duas variveis. At agora, analisamos distribuies de uma nica varivel, porm, a partir deste momento, vamos considerar as relaes entre duas ou mais variveis. Para isso as medidas de tendncia central e variabilidades estudadas anteriormente j no so suficientes, teremos que usar uma nova medida chamada de Correlao que descobre e mede as relaes, bem como outra chamada de Regresso que determina os parmetros da funo que descreve tais relaes. atravs do grfico denominado diagrama de disperso, que ele busca visualizar a relao entre as duas variveis. As relaes podem ser subdivididas em : Estatsticas : Altura X peso, Cor de pele X cor de olhos (Resultados de pouca preciso ou previsibilidade) . Funcionais : Permetro, rea, volume (Resultados obtidos atravs de frmulas 100% previsveis) Tomando uma amostra aleatria qualquer, relacionando duas grandezas, podemos dispor os resultados em forma de um grfico ( Diagrama de Disperso ) . Peso ( yi ) Idade ( xi ) Repare que os pontos esto dispersos, porm esta disperso se d em torno de uma reta que chamada de Reta Imagem ou Reta de Correlao Linear. Peso ( yi ) Reta Imagem Idade ( xi ) Dependendo do diagrama de disperso, temos . . . Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 58 Coeficiente de Correlao de Pearson r = 2222......iiiiiiiiyynxxnyxyxn Com n o n. de observaes. Este coeficiente mede o grau de intensidade da correlao entre duas variveis, bem como o sentido (Positivo ou Negativo ). r = 1 Correlao Perfeita e Positiva entre as variveis. Temos r [ -1, 1 ] da se r = 0 Correlao No Linear, ou No h correlao. r = -1 Correlao Perfeita e Negativa entre as variveis. NOTA: [ 0,6 ; 1 ] Intervalo que contm as melhores concluses. Ao usarmos Pearson temos | r | [ 0,3 ; 0,6 [ Correlao Linear Fraca . [ 0 ; 0,3 [ Correlao Linear Muito fraca . Dada uma amostra com n pares de valores Xi e Yi, para medir o grau de correlao entre elas, calcula-se o coeficiente de correlao de Pearson. Exemplo 01: Taxa de mortalidade infantil e taxa de analfabetismo no Brasil em 1997, segundo a regio. Regio Taxa de mortalidade infantil (Xi) Taxa de analfabetismo (Yi) Xi .Yi Xi2 Yi2 Norte 35,6 12,7 452,12 1267,36 161,29 Nordeste 59,0 29,4 1734,60 3481,00 864,36 Sudeste 25,2 8,6 216,72 635,04 73,96 Sul 22,5 8,3 186,75 506,25 68,89 Centro Oeste 25,4 12,4 314,96 645,16 153,76 167,7 71,4 2905,15 6534,81 1322,26 96,50974,7129,281237,1672222YX Substituindo na frmula, os somatrios pelos totais j calculados: Correlao Linear Positiva Correlao Linear Negativa Correlao No Linear Sem Correlao Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 59 9724,0856,524394,510668,302 . 152,910394,510592,101926,1322.658,562481,6534756,239415,2905596,509726,1322.529,2812381,653454,71.7,16715,2905rrrrr OUTRO EXEMPLO: Tabela B Biologia ( xi ) Qumica ( yi ) xi . yi xi2 yi2 7 8 56 49 64 9 8 72 81 64 8 7 56 64 49 3 4 12 9 16 4 6 24 16 36 5 5 25 25 25 36 38 245 244 254 Portanto temos n = 6 correlaes , logo . . . r = 80.168102]14441524].[12961464[13681470])38(254.6].[)36(244.6[38.36245.622 r 0,88 Correlao Linear Forte e Positiva . Exemplo 02: Pas n de carros (em milhes) (X) n de nascimentos (em milhes) (Y) EUA 12,00 3,80 Japo 11,00 1,30 Alemanha 5,00 0,80 Frana 3,80 0,70 Coria do Sul 2,80 0,68 Espanha 2,60 0,38 Canad 2,10 0,36 Brasil 2,10 3,20 Reino Unido 1,90 0,70 Itlia 1,80 0,50 Fonte: Agncia Auto Informe (1998) soma Dessa forma, existe alta correlao positiva entre as variveis. Isto significa que ocorrem mais mortes de menores nas regies que existem maior nmero de analfabetos Pois, r = 0,9724 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 60 Alguns cuidados na interpretao da correlao Veja o exemplo 2, apresentado tambm em diagrama de disperso. Os pases com maior nmero de nascimentos de crianas tem, em geral, maior nmero de veculos zero quilometro. Contudo o aumento da primeira varivel no causa o aumento da outra; o aumento da populao que faz aumentar tanto o nmero de nascimentos como o nmero de veculos zero quilometro nos pases. REGRESSO Ajustamento da Reta A anlise de Regresso tem como resultado uma equao matemtica que descreve o relacionamento entre duas variveis, partindo de n observaes das mesmas. Essas equaes so usadas em situaes em que se deseja: - estimar valores de uma varivel com base em valores conhecidos de outra; - explicar valores de uma varivel em termos de outra; - predizer valores futuros de uma varivel. A varivel sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de varivel dependente e a outra recebe o nome de varivel independente. Assim supondo X a varivel independente e Y a varivel dependente, vamos procurar determinar o ajustamento de uma reta relao entre essas variveis, ou seja, vamos obter uma funo definida por: Y = aX + b Onde a e b so os parmetros. Y : Varivel Dependente ( Aquela sobre a qual vamos fazer a Estimativa ) X : Varivel Independente Sejam duas variveis X e Y, entre as quais exista uma correlao acentuada, embora no perfeita, como, por exemplo a tabela a seguir: Xi 5 8 7 10 6 7 9 3 8 2 Yi 6 9 8 10 5 7 8 4 6 2 Cujo diagrama de disperso dado por: 0246810120 5 10 15 Podemos concluir, pela forma do diagrama, que se trata de uma correlao retilnea, de modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da funo definida por: Y = aX + b XY Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 61 Vamos, ento, calcular os valores dos parmetros a e b com a ajuda das frmulas: x.aybexxny.xy.x.na 22 onde: n o nmero de observaes x a mdia dos valores x nxx y a mdia dos valores y nyy Nota: Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parmetros, o resultado, na realidade, uma estimativa da verdadeira equao de regresso. Sendo assim, escrevemos: baXY Onde Y o valor Y estimado. Formemos ento a tabela de valores, com n = 10 Xi Yi Xi . yi xi2 5 6 30 25 8 9 72 64 7 8 56 49 10 10 100 100 6 5 30 36 7 7 49 49 9 8 72 81 3 4 12 9 8 6 48 64 2 2 4 4 65 65 473 481 Temos assim: 0,890,86XY:logo0,89b e ,a:donde,,,, x ,,bx.ayb:vem,1065y e ,x:como,....)(xxxa8608892061085565686320565656106586320585505225481042254730465481106565473102 Para traarmos a reta no grfico, basta determinar dois de seus pontos: X = 0 Y =0,89 X = 5 Y =0,86 x 5 + 0,89 = 5,19 Assim, temos: y = 0,8631x + 0,890246810120 5 10 15 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 62 OUTRO EXEMPLO Tabela B Biologia ( xi ) Qumica ( yi ) xi . yi xi2 yi2 4 6 24 16 36 9 8 72 81 64 7 5 35 49 25 8 7 56 64 49 10 8 80 100 64 3 4 12 9 16 8 10 80 64 100 1 2 2 1 4 50 50 361 384 358 Portanto temos n = 8 correlaes , logo . . . a = 2500307225002888)50(384.850.50361.82 a 0,68. b = _y - a_x = 850.68,0850 b 2,01. Logo temos Y = aX + b Y = 0,68X + 2,01. Equao da Reta Imagem ou Reta Ajustada E X E R C I C I O S 1) Considere as variveis (X,Y) onde as variveis representam respectivamente Y : indica nota de uma prova de matemtica X : Tempo de estudo para encarar essa prova (em horas) Tempo 3,0 7,0 2,0 1,5 12,0 Nota 4,5 6,5 3,7 4,0 9,3 Ache o coeficiente de correlao e monte o diagrama de disperso. R. 0,99; fazer o diagrama 2) Forme o esquema de clculo do coeficiente de correlao, para os valores das variveis Xi e Yi: Xi 4 6 8 10 12 Yi 12 10 8 12 14 R. r = 0,42 3) Determine a equao da reta para ajustamento dos dados da tabela: Xi 2 4 6 8 10 12 14 Yi 30 25 22 18 15 11 10 R. Y = -1,69x + 32,22 4) Um grupo de pessoas faz uma avaliao de alguns objetos. Com o peso real e a mdia dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela: Peso Real 18 30 42 62 73 97 120 Peso Aparente 10 23 33 60 91 98 159 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 63 a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlao retilnea. R. sim b) Em caso, afirmativo, calcule o coeficiente de correlao.R. r = 0,98 c) Escreva, em poucas linhas, as concluses a que chegou sobre a relao entre essas variveis. 5) Certa empresa, estudando a variao de demanda de seu produto em relao variao de preo de venda, obteve a tabela: Preo (xi) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110 Demanda (yi) 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208 a) Determine o coeficiente de correlao. R. r = -0,90 b) Estabelea a equao da reta ajustada. R. Y =-1,87x + 368,8 c) Estime Y para x = 60 e x = 120. R. 274,6 e 162,4 6) Dada a tabela a seguir ( xi ) 5 7 9 12 ( yi ) 8 9 10 11 a) Determine o coeficiente de correlao. R. r = 0,99 b) Estabelea a equao da reta ajustada. R. Y = 0,43x + 5,95 7) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra de ao varia conforme a temperatura: Temperatura ( C ) 10 15 20 25 30 Comprimento(m ) 103 105 110 112 116 Determine a) O coef. de correlao. R. 0,99 b) A reta ajustada a essa correlao. R. Y = 0,66x + 96 Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 64 EXERCICIOS SUPLEMENTARES Mdia/Mediana e Moda Os dados Nmero de garrafas (fi) 320 300 280 1) Os dados da tabela abaixo, referem-se aos salrios de 50 funcionrios da empresa X. Com base nesses dados determine: Salrios(R$) l L Funcionrios (fi) 100|---200 2 200|---300 15 300|---400 6 400|---500 7 500|---600 6 600|---700 2 700|---800 1 800|---900 2 900|---1000 3 1000|---1100 4 1100|---1200 2 TOTAL 50 a) A mdia salarial. R. R$ 514,00 b) A moda salarial. R. R$ 259,00 c) A mediana. R. R$ 428,57 d) A freqncia percentual dos funcionrios que recebem salrio inferior a R$ 600,00. R. 72% e) A porcentagem de funcionrios que recebem salrio abaixo de R$ 800,00. R. 78% f) A porcentagem de funcionrios que recebem salrio superior ou igual a R$ 500,00. R. 40% g) A freqncia percentual da 4a classe. R. 14% h) A amplitude da amostra. R. R$ 1100,00 i) A amplitude da classe. R. R$ 100,00 j) O valor numrico entre a mdia salarial e a moda. R. R$ 255,00 k) Interprete a 6a classe da tabela demonstrativa (tabela acima). Resposta livre 2) Cinco baldes contm 4L de gua cada um, trs outros contm 2L de gua cada um, e, ainda dois contm 5L de gua cada um. Se toda essa gua fosse distribuda igualmente entre esses baldes, com quantos litros ficaria cada um? R. 3,6 litros 3) Numa empresa, dez operrios tm salrios de R$ 2000,00 mensais; doze tm salrio de R$ 1.500,00 mensais e oito operrios tm salrio de R$ 1.400,00 mensais. Qual o salrio mdio ponderado desses operrios? R. R$ 1640,00 4) Entre sessenta nmeros, vinte so iguais a 5, dez so iguais a 6, quinze so iguais a 8, dez so iguais a 12, e cinco so iguais a 16. Determine a mdia aritmtica ponderada desses nmeros. R. 8 5) As idades dos jogadores de um time de basquetebol so 18, 23, 19, 20 e 21 anos. Qual a mdia de idade desses jogadores? R. 20,2 anos 6) O grfico mostra a distribuio de uma amostra de garrafas de refrigerantes e seus respectivos volumes em mililitros. Nmero de garrafas 400 200 100 0 a) Quantas garrafas compem essa amostra? R. 700 garrafas b) Qual a freqncia percentual da classe 300 ml? R. 57,14% aproximadamente c) qual a freqncia percentual da classe 280 ml? R. 14,28% aproximadamente d) qual a freqncia percentual da classe 320 ml? R. 28,57% aproximadamente. e) qual a diferena percentual entre a classe 300 ml e a classe 280 ml? R. 42,86% f) qual a classe modal? R. 300 7)Uma pessoa comprou 5 garrafas de suco de frutas, uma de cada tipo. A tabela mostra o preo de cada garrafa de suco. SUCOS MARACUJ LARANJA CAJU ABACAXI UVA PREO POR GARRAFA R$ 5,70 R$ 3,50 R$ 2,30 R$ 3,20 ? Sabendo que nessa compra o preo mdio de uma garrafa foi de R$ 3,80, pode-se concluir que o preo da garrafa de suco de uva : R. (c) a) R$ 3,80 b) R$ 4,20 c) R$ 4,30 d) R$ 4,70 e) R$ 4,90 Volume(ml) Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 65 Correlao e Regresso 1) Determine a equao de ajuste dos dados da tabela a seguir: R. Y = 0,108x 0,93 X 30 34 28 29 33 45 30 28 28 43 45 Y 2 3 2 3 4 4 3 1 1 4 3 2) Para saber se a temperatura de armazenagem influi na potncia do produto, 12 amostras foram guardadas a diferentes temperaturas. Depois de 20 dias, mediu-se a potncia de cada produto. Os resultados foram: Temperatura(X) 30 40 30 35 40 50 70 90 90 70 90 70 Potencia(Y) 39 40 43 37 39 26 18 20 17 27 15 23 Pede-se: a) A equao estimativa do ajustamento. R. Y = - 0,405x + 52,5 b) Faa a estimativa para X(temperatura) = 20 e X(temperatura) = 95 R. 44,40 e 14,02 3) Numa loja, o gerente resolveu verificar qual a tendncia referente s vendas. Para isso, coletou uma amostra de 12 vendas com seus respectivos preos em reais: Vendas(X) 30 25 32 20 15 18 25 30 18 23 25 32 Preos(Y) 200,00 150,00 210,00 110,00 90,00 105,00 180,00 210,00 110,00 140,00 170,00 230,00 a)Determine a reta de estimao. R. Y = 8,10492x 39, 1451 b)Se a loja vender 21 peas ou 35 peas, qual dever ser o preo estimado? R. R$ 131,06 e R$ 244,53 c)Construir o grfico de disperso. 4) Uma estudante de marketing conduz um estudo para determinar se existe relao linear entre o peso de uma pessoa (em libras) e o consumo dirio de gua (em onas). Os dados esto dispostos na tabela a seguir. Organize os dados em mapa (grfico) de disperso e descreva o tipo de correlao. PESO(X) 102 119 124 141 142 154 201 220 AGUA(Y) 50 32 82 64 54 21 86 39 R. ao construir o grfico nota-se que no existe correlao linear 5) Um administrador de marketing conduz um estudo para determinar se existe uma relao linear entre o dinheiro gasto em propaganda e as vendas de uma companhia. Os dados esto dispostos na tabela seguir: Gasto com propaganda (milhares de dlares), X Vendas da empresa (milhares de dlares), Y X . Y X2 Y2 2,4 225 1,6 184 2,0 220 2,6 240 1,4 180 1,6 184 2,0 186 2,2 215 SOMA= Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 66 Pede-se : a) Construir o mapa de disperso. b) Existe relao linear? R. Sim c) Calcule o coeficiente de correlao. R. aproxi. 0,913 d) O que voc pode concluir? Clculo de Probabilidade 1) Se extrairmos uma s bola de uma urna com 321 bolas, qual a probabilidade de extrair qualquer delas? R. 0,3115% 2) Os arquivos de uma companhia imobiliria revelam que, num perodo de 16 dias, a freqncia de casas vendidas por dia foi: Nmero vendido Nmero dias 0 3 1 2 2 5 3 6 TOTAL 16 Se admitirmos que o passado representativo do futuro (o que nem sempre o caso), determine a probabilidade na tabela acima: R. P(0) = 18,75%; P(1) = 12,50%; P(2) = 31,25% e P(3) = 37,50% 3) Um carregamento de 10.000 caixas de lenos de papel chega a um depsito. Cada caixa traz a indicao 400 unidades; mas na verificao de uma amostra de 300 caixas, constam-se 45 com menos de 400 unidades. Estime a probabilidade de qualquer caixa da remessa ter menos de 400 unidades. R. 15% 4) Uma pesquisa de trfego levada a efeito das 5 s 6 horas da manh num trecho de uma estrada federal revelou que, de 200 carros que pararam para uma verificao rotineira de segurana, 25 tinham pneus em ms condies. Estime a probabilidade de um carro que pare naquele trecho ter os pneus bons. R. 87,5% 5) Os dados metereolgicos de determinada localidade indicam que, nos ltimos 100 anos, a temperatura mxima do primeiro dia de vero excedeu a 750F em 79 anos. Estime a probabilidade de que tal ocorra no primeiro dia de vero deste ano. R. 79% EVENTOS INDEPENDENTES: 6) Uma firma exploradora de petrleo perfura um poo quando acha que h pelo menos 25% de chance de encontrar petrleo. Ela perfura quatro poos. Dos quais atribui s probabilidades: 0,3; 0,4; 0,7 e 0,8. Determine: a) Determine a probabilidade de nenhum dos poos produzirem petrleo, com base nas estimativas da firma. R. 2,52% b) Qual a probabilidade de os quatro poos produzirem petrleo? R. 6,72% Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 67 7) Mike tem dois velhos automveis. Nas manhs frias, h 20% de probabilidade de um deles no pegar e 30% de outro no pegar. Qual a probabilidade de nenhum pegar? R. 6% 8) Rone aguarda com ansiedade o resultado de dois exames que acaba de fazer. Ele estima em 0,80 a probabilidade de obter A em literatura Inglesa, e em 0,40 a probabilidade de obter A em Filosofia. Determine as seguintes probabilidades: a) grau A em ambos os exames. R. 32% b) nenhum A. R. 12% EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: 8.1) As probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou sete acidentes num dia de semana entre 1 e 6 horas da manh so respectivamente, 0,08, 0,15, 0,20, 0,25, 0,18, 0,07 e 0,01. Determine as seguintes probabilidades para um dia qualquer da semana naquele horrio: a) menos de trs acidentes. R. 43% b) trs ou mais acidentes. R. 51% c) exatamente trs acidentes. R. 25% d) nenhum acidente. R. 8% e) mais de quatro acidentes. R. 8% 8.2) Suponha que temos um espao amostral S = {E1, E2, E3, E4, E5, E6}, onde E1, E2, .........., E6 denotam os pontos amostrais. As seguintes atribuies de probabilidades se aplicam: P(E1) = 0,05, P(E2 )= 0,20, P(E3) = 0,20, P(E4) = 0,25, P(E5) = 0,15, P(E6) = 0,10. seja: A = {E1, E4 } B = {E2, E4, E6 } C = {E2, E3, E5 } a) Encontre P(A) ou P(B). R. 85% b) Encontre a P(C ) ou P (A) R. 85% c) Encontre P(B) ou P(C) R. 110% Fatorial 9) Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem ser conquistados os trs primeiros lugares? R. 42.840 maneiras 10) Um cardpio oferece cinco tipos de carne ou peixe, quatro de salada, trs de batatas e duas de vegetais. Quantos jantares so possveis formar, com um tipo de cada um? R. 120 tipos 11) Calcule: 40 R. 780 38 12) De quantas maneiras podemos escolher um comit de quatro pessoas dentre oito? R. 70 maneiras 13) Joga-se uma moeda sete vezes. De quantas maneiras podem ocorrer os seguintes resultados? a) cinco caras. R. 21 maneiras b) quatro caras. R. 35 maneiras c) todas caras. R. 1 maneira d) uma cara. R. 7 manerias 14) A Pizzaria Joe oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelo, pimento, enchova e mussarela. De quantas maneiras podemos escolher dois tipos diferentes de pizza? R. 10 maneiras Estatstica Aplicada - Prof. Paulo Sergio P. da Silva 68 Distribuio Binomial 15) Um vendedor de automveis novos constatou que 80% dos carros vendidos so devolvidos ao departamento mecnico para corrigir defeitos de fabricao, nos primeiros 25 dias aps a venda. De 11 carros vendidos num perodo de 5 dias, qual a probabilidade de que: a) todos voltem dentro de 25 dias para reparo. R. 8,59% b) s um no volte. R. 23,62% 16) Suponha que 8% dos cachorros-quentes vendidos num estdio de beisebol sejam pedidos sem mostarda. Se sete pessoas pedem cachorro-quente, determine a probabilidade de que: a) todos queiram mostarda. R. 0,000002097% b) apenas um no a queira. R. 0,0016882% c) determine a varincia e o desvio padro. R. 0,51520 e 0,7177 17) Sejam 0,10 a probabilidade de sucesso e 100 o nmero de observaes. Determine mdia e o desvio padro da distribuio. R. 10 e 3 18) Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas so pagas aps o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de: a) nenhuma ser paga com atraso. R. 0,00078 b) no mximo duas serem pagas com atraso. R. 3,99% c) ao menos uma ser paga com atraso. R. 3,91% Distribuio Normal (Z): 19) As vendas de gasolina num depsito de atacado acusam a mdia de 40.000 gales dirios, com um desvio-padro de 30.000 gales. Supondo adequada a distribuio normal, determine a probabilidade de serem vendidos mais de 42.000 gales de gasolina por dia. R. 47,61% 20) Um fornecedor de ferro alega que seu produto apresenta resistncia tenso aproximadamente normal com mdia de 50.000psi e desvio-padro de 8.100psi. Supondo verdadeira a situao, que percentagem de mensurao dar resultado inferior a 49.550psi? R. 48,01% 21) Uma varivel aleatria est distribuda normalmente com uma mdia de 50 e um desvio-padro de 5. Qual a probabilidade de a varivel aleatria assumir um valor entre 40 e 60? R. 95,44% 22) O tempo mdio que um assinante gasta lendo o jornal de 49 minutos. Considere que o desvio-padro seja de 16 minutos e que os tempos sejam distribudos normalmente. Qual a probabilidade de que um assinante gaste mais do que 30 minutos lendo o jornal? R. 11,90% 23) O volume de comercializao na Bolsa de Valores de Nova York tem crescido nos ltimos anos. Para as duas primeiras semanas de janeiro de 1998, o volume mdio dirio foi de 646 milhes de aes(Barrons, janeiro de 1998). A distribuio de probabilidade do volume dirio aproximadamente normal com um desvio-padro de cerca de 100 milhes de aes. a) Qual a probabilidade de que o volume de comercializao ser menor do que 400 milhes de aes? R. 0,69% b) Durante que porcentagem de tempo o volume de comercializao excedeu 500 milhes de aes? R. 7,21% 24) Suponha que o salrio mdio dos funcionrios de uma empresa possa ser razoavelmente aproximado por uma distribuio normal com mdia de R$ 1.800,00 e desvio-padro de R$ 700,00. Que percentagem dos funcionrios ter salrios superior a R$ 2.600,00? R. 12,71%