Apostila Pesquisa Operacional Unip 2013 Aluno

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Apostila Pesquisa Operacional Unip 2013 A

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<ul><li><p>1 P ESQU I S A OPER AC I ONA L </p><p>Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP </p><p>APOSTILA DE PESQUISA APOSTILA DE PESQUISA APOSTILA DE PESQUISA APOSTILA DE PESQUISA OPERACIONALOPERACIONALOPERACIONALOPERACIONAL </p><p> Prof. Dr. Almir Volpi </p><p>UNIP </p><p>2013 </p></li><li><p>2 P ESQU I S A OPER AC I ONA L </p><p>Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP </p><p>A POST I LA E MATER IA L D ID T I CO T EOR IA E EX ERC C IO S </p><p>Pesquisa Operacional </p><p> Todos os direitos reservados PROIBIDA A REPRODUO E DISTRIBUIO SEM PRVIA AUTORIZAO DO AUTOR </p><p>Prof. Dr. Almir Volpi - avolpi@terra.com.br </p><p>2013 </p></li><li><p>3 P ESQU I S A OPER AC I ONA L </p><p>Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP </p><p>NDICE PESQUISA OPERACIONAL </p><p> Conceitos Centrais Histrico da Pesquisa Operacional Natureza da Pesquisa Operacional Fases de Estudo da Pesquisa Operacional. Tcnicas Matemticas na Pesquisa Operacional </p><p> PROGRAMAO LINEAR </p><p> Introduo e Conceitos Centrais Caracterstica da Programao Linear Formulao de Problemas Modelagem Exerccios Propostos Teoremas da Programao Linear Soluo Grfica Soluo tima Exerccios Propostos </p><p> REVISO DE MATRIZES </p><p> Tipos de Matrizes Determinantes Regra de SARRUS </p><p> REVISO DE SISTEMA LINEAR </p><p> Regra de CRAMER Algoritmo de GAUSS-JORDAN </p><p> MTODO SIMPLEX </p><p> Conceitos Centrais Variveis Roteiro do Mtodo Exerccios Propostos </p></li><li><p>4 P ESQU I S A OPER AC I ONA L </p><p>Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP </p><p>PESQUISA OPERACIONAL </p><p>CONCEITOS CENTRAIS A Pesquisa Operacional tem sua origem antes da II Guerra Mundial na Inglaterra com o objetivo de auxiliar a defesa do pas e identificar oportunidades para Maximizar os resultados de suas aes. O desafio dos estrategistas da poca estava centrado na distribuio de recursos escassos buscando uma soluo tima para o problema, que neste caso se destinava a avaliar e reposicionar os radares do sistema areo de defesa da Gr-Bretanha em 1938 prestes ao inicio da guerra. Baseado em problemas matemticos a Pesquisa Operacional se torna um modelo de tomada de deciso. Devido aos bons resultados alcanados pelos ingleses os EUA passam a utiliza-la em atividades semelhantes. Com o final da II GM a P.O. se popularizou e passou a ser aplicada no campo de gerenciamento de negcios e da administrao da produo. Baseada em sofisticados conceitos da Matemtica e da Estatstica a P.O. apresenta grandes benefcios na resoluo de problemas complexos de transportes, alocao de recursos, Maximizao e minimizao. Em 1947 George Dantzig desenvolveu o processo metodolgico mais importante do perodo ps-guerra intitulado "MTODO SIMPLEX" proporcionando um "roteiro" para a resoluo de problemas de Programao Linear1. Para Marins (2011, p. 14) o rpido crescimento da PO no ps-guerra deve-se ao desenvolvimento de tcnicas especficas, tais como o Mtodo SIMPLEX para a Programao Linear, e ao grande progresso alcanado no desenvolvimento dos computadores eletrnicos. A expanso da PO no mundo acadmico se deu inicialmente nos departamentos de Engenharia Industrial e de Engenharia de Produo, e nas escolas de Administrao das Universidades norte-americanas. No Brasil, a P.O. iniciou na dcada de 1960. O primeiro Simpsio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO) foi realizado em 1968 no ITA e inclua alguns pesquisadores do pas. Em seguida, foi criada a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SOBRAPO) em 1969. A Pesquisa Operacional uma cincia aplicada voltada para a resoluo de problemas reais. Tendo como foco a </p><p>, aplica conceitos e mtodos de vrias reas cientficas na concepo, planejamento ou tomada de decisesoperao de sistemas. A Pesquisa Operacional usada para avaliar linhas de ao alternativas e encontrar as solues que melhor servem aos objetivos dos indivduos ou organizaes2. Para Silva (1998; p.12) a Pesquisa Operacional um mtodo cientfico de tomada de decises que em linha gerais, consiste na descrio de um sistema organizado com o auxlio de um modelo, e atravs da experimentao com o modelo, na descoberta da melhor maneira de operar o sistema. A NATUREZA DA PESQUISA OPERACIONAL Um estudo de Pesquisa Operacional consiste em construir um "modelo" a partir de um sistema real existente com o objetivo de compreender o comportamento dessa situao, com o objetivo conforme resentar o resultado que se deseja. A complexidade de um sistema real resulta do fato de que seu comportamento influenciado por um nmero muito grande de elementos variveis, sendo estas "variveis" influenciadas pelas "restries" que so a parte comum em todos os problemas de P.O. </p><p>1 uma ferramenta matemtica que permite encontrar a soluo tima para certos tipos de problemas. O termo "linear" se refere a linearidade das equaes do problema. Tambm pode ser considerada como uma srie de operaes matemticas que so utilizadas para "alocar" recursos escassos em operaes simultneas na busca de soluo tima para um nico objetivo. 2 Disponvel em: &lt; http://www.sobrapo.org.br/o_que_e_po.php &gt;. Acesso em 05/12/2012. </p></li><li><p>5 P ESQU I S A OPER AC I ONA L </p><p>Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP </p><p>Problemas de P.O. so normalmente apresentados na forma de uma funo objetivo (por exemplo, Maximizar o lucro da empresa, minimizar o custo de produo, determinar quantidades mnimas e mximas em misturas, determinar rotas de transportes, etc.) e diversas restries (associadas, por exemplo, disponibilidade de matrias-primas, mo de obra, etc.) e possuem as seguintes caractersticas: </p><p> O problema possui um conjunto de variveis manipulveis no procedimento de busca pelo timo; essas so as variveis de deciso do problema. </p><p> Uma funo objetivo compe o critrio de otimalidade, sendo escrita em termos das variveis de deciso do problema. A funo objetivo uma funo linear das variveis de deciso, devendo ser Maximizada ou minimizada. </p><p> Os valores assumidos pelas variveis de deciso devem satisfazer um conjunto de restries, que compem a regio de solues viveis do problema. </p><p> As variveis de deciso podem assumir valores pr-estabelcidos no domnio dos nmeros reais (isto , valores positivos, negativos ou ambos). </p><p> FASES DE ESTUDO DA P.O. Cinco fases num projeto de PO: </p><p> Formulao do problema (identificao do sistema) Construo do modelo matemtico Obteno da soluo Teste do modelo e avaliao da soluo obtida Estabelecimento de controles da soluo Implantao </p><p> 1- Formulao do Problema: Para se formular corretamente um problema necessrio que o mesmo seja bem identificado e seu sistema seja explanado, desta forma so necessrias algumas informaes bsicas, como qual o objetivo do problema, quais os caminhos que definem suas restries, quais as limitaes tcnicas do sistema e qual a medidas de eficincia para o sistema para "ordenar" as solues encontradas concluindo o processo de deciso 2- Construo do Modelo Matemtico: Um modelo matemtico de um problema real uma representao atravs de expresses matemticas que descrevem a essncia do problema. Se existirem n decises quantificveis, elas sero representadas por n variveis de deciso ou de controle. As relaes e limitaes a que esto sujeitas as variveis de deciso so expressas por meio de equaes e inequaes, denominadas restries. O objetivo que se pretende atingir formulado como uma funo (ou mais de uma), colocada em </p><p>Se o modelo elaborado tem a forma de um modelo termos das variveis de deciso, denominada funo objetivo. conhecido, a soluo pode ser obtida atravs de mtodos matemticos convencionais. Por outro lado, se as relaes matemticas so muito complexas, talvez se faa necessria a utilizao de combinaes de metodologias. 3- Obter a soluo: Uma vez construdo o modelo matemtico parte-se para a obteno de uma soluo. Diversos so os mtodos matemticos utilizados em P.O., associados s vrias reas que compe a P.O. como Programao Linear, Teoria das Filas. A rea de T.I. vem desenvolvendo diversos softwares, que disponibilizam mtodos importantes da Pesquisa Operacional tornando vivel e eficiente a soluo de problemas complexos. Podemos citar o SOLVER do Excel que atua com planilhas eletrnicas, o LINDO Linear Discrete Optimizer (www.lindo.com). Ao contrrio das outras fases, que no possuem regras fixas, a soluo do modelo baseada geralmente em tcnicas matemticas existentes. No caso de um modelo matemtico, a soluo obtida pelo </p></li><li><p>6 P ESQU I S A OPER AC I ONA L </p><p>Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP </p><p>algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e preciso da resposta. Isto exige um conhecimento profundo das principais tcnicas existentes. A soluo obtida, neste caso, dita "tima". 4- Teste do Modelo e Avaliao da Soluo: Dada a complexidade dos problemas existe a possibilidade de erros na elaborao do modelo. Essa distoro levar a solues que no se ajustaro realidade. Dessa forma, o modelo precisa ser testado. Em alguns casos o modelo pode ser testado atravs da reconstruo do passado (uso de dado histricos), verificando-se a adequao do modelo s informaes disponveis. Em cada situao especifica pode ser definida uma sistemtica para testar o modelo e sua soluo. Um modelo vlido se, levando-se em conta sua inexatido em representar o sistema, ele for capaz de fornecer uma previso aceitvel do comportamento do sistema. 5- Estabelecimento de controles da soluo: A construo e experimentao com o modelo identificam parmetros fundamentais para a soluo do problema. Qualquer mudana nesses parmetros deve ser controlada para garantir a validade da soluo. Caso ocorra qualquer modificao nestes parmetros (alm do permitido) uma nova soluo ou at mesmo um novo modelo dever ser considerado. 6- Implementao: A ltima fase de um estudo de P.O. implementar a soluo final, uma vez que esta seja aprovada. uma fase crtica, pois neste momento que os clculos sero efetivados e, portanto aptos a gerar resultados sobre os objetivos desejados inicialmente. TCNICAS MATEMTICAS EM PESQUISA OPERACIONAL A formulao do modelo depende diretamente do sistema a ser representado. A funo objetivo e as funes de restries podem ser lineares ou no- lineares. As variveis de deciso podem ser contnuas ou discretas (por exemplo, inteiras) e os parmetros podem ser determinsticos ou probabilsticos. O resultado dessa diversidade de representaes de sistemas o desenvolvimento de diversas tcnicas de otimizao, de modo a resolver cada tipo de modelo existente. Estas tcnicas incluem, principalmente: </p><p> utilizada para analisar modelos onde s restries e a funo objetivo so lineares; programao linear se aplica a modelos que possuem variveis inteiras (ou discretas) programao inteira , programao dinmica</p><p>utilizada em modelos onde o problema completo pode ser decomposto em subproblemas menores, programao aplicada a uma classe especial de modelos onde os parmetros so descritos por funes de estocstica </p><p>probabilidade utilizada em modelos contendo funes no- lineares. e programao no- linear Uma caracterstica presente em quase todas as tcnicas de programao matemtica que a soluo tima do problema no pode ser obtida em um nico passo, devendo ser obtida iterativamente. escolhida uma soluo inicial (que geralmente no a soluo tima). Um 3 especificado para determinar, a partir desta, uma algoritmonova soluo, que geralmente superior anterior. Este passo repetido at que a soluo tima seja alcanada (supondo que ela existe). </p><p>3 Algoritmo uma sequencia lgica e finita de instrues definidas e no ambguas que devem ser seguidas para a realizao de uma tarefa na busca de uma soluo. Sequncia finita de regras, raciocnios ou operaes que, aplicada a um nmero finito de dados, permite solucionar classes semelhantes de problemas. </p></li><li><p>7 P ESQU I S A OPER AC I ONA L </p><p>Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP </p><p>PROGRAMAO LINEAR INTRODUO - Definies e Conceitos A Programao Linear tem como objetivo encontrar a soluo tima para problemas que tenham seus modelos representados por expresses lineares. A sua simplicidade apresentada devido a linearidade do modelo. A aplicabilidade da Programao Linear consiste na Maximizao ou Minimizao de uma funo linear, denominada Funo Objetivo, respeitando-se um sistema linear de igualdades ou desigualdades, que recebem o nome de Restries do Modelo. Normalmente neste tipo de deciso os recursos disponveis no so suficientes para que todas as atividades sejam executadas no nvel mais elevado que se pretende; desta forma, a soluo neste caso encontrar a melhordistribuio dos recursos entre as diversas tarefas ou atividades de forma que seja possvel atingir um valor timodo objetivo estabelecido. Uma caracterstica deste problema que ele pode ser representado por um modelo de otimizao onde as relaes matemticas so lineares. Funo Objetivo: uma funo linear que se pretende otimizar, ou seja, ser a funo a ser Maximizada ou minimizada. Restries: So as atividades e ou quantidades que devem ser respeitadas de acordo com os recursos disponveis ou a serem utilizados. So normalmente escritos sob a forma de inequaes4 ou equaes lineares. </p><p> Restries de no negatividade - quando as variveis que entram na formulao no podem assumir valores negativos. </p><p> Restries do Problema - lista ou "rol" de restries que implique na possvel soluo do problema. As restries do problema originam a chamada regio da admissvel de soluo. </p><p> Soluo: Soluo qualquer especificao de valores (dentro do domnio da funo-objetivo, f) para as variveis de deciso, independente de se tratar de uma escolha desejvel ou permissvel. Soluo vivel: Soluo vivel uma soluo em que todas as restries...</p></li></ul>