Apostila Pesquisa Operacional Unip 2013 Aluno

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Apostila Pesquisa Operacional Unip 2013 A

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1 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP APOSTILA DE PESQUISA APOSTILA DE PESQUISA APOSTILA DE PESQUISA APOSTILA DE PESQUISA OPERACIONALOPERACIONALOPERACIONALOPERACIONAL Prof. Dr. Almir Volpi UNIP 2013 2 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP A POST I LA E MATER IA L D ID T I CO T EOR IA E EX ERC C IO S Pesquisa Operacional Todos os direitos reservados PROIBIDA A REPRODUO E DISTRIBUIO SEM PRVIA AUTORIZAO DO AUTOR Prof. Dr. Almir Volpi - avolpi@terra.com.br 2013 3 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP NDICE PESQUISA OPERACIONAL Conceitos Centrais Histrico da Pesquisa Operacional Natureza da Pesquisa Operacional Fases de Estudo da Pesquisa Operacional. Tcnicas Matemticas na Pesquisa Operacional PROGRAMAO LINEAR Introduo e Conceitos Centrais Caracterstica da Programao Linear Formulao de Problemas Modelagem Exerccios Propostos Teoremas da Programao Linear Soluo Grfica Soluo tima Exerccios Propostos REVISO DE MATRIZES Tipos de Matrizes Determinantes Regra de SARRUS REVISO DE SISTEMA LINEAR Regra de CRAMER Algoritmo de GAUSS-JORDAN MTODO SIMPLEX Conceitos Centrais Variveis Roteiro do Mtodo Exerccios Propostos 4 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP PESQUISA OPERACIONAL CONCEITOS CENTRAIS A Pesquisa Operacional tem sua origem antes da II Guerra Mundial na Inglaterra com o objetivo de auxiliar a defesa do pas e identificar oportunidades para Maximizar os resultados de suas aes. O desafio dos estrategistas da poca estava centrado na distribuio de recursos escassos buscando uma soluo tima para o problema, que neste caso se destinava a avaliar e reposicionar os radares do sistema areo de defesa da Gr-Bretanha em 1938 prestes ao inicio da guerra. Baseado em problemas matemticos a Pesquisa Operacional se torna um modelo de tomada de deciso. Devido aos bons resultados alcanados pelos ingleses os EUA passam a utiliza-la em atividades semelhantes. Com o final da II GM a P.O. se popularizou e passou a ser aplicada no campo de gerenciamento de negcios e da administrao da produo. Baseada em sofisticados conceitos da Matemtica e da Estatstica a P.O. apresenta grandes benefcios na resoluo de problemas complexos de transportes, alocao de recursos, Maximizao e minimizao. Em 1947 George Dantzig desenvolveu o processo metodolgico mais importante do perodo ps-guerra intitulado "MTODO SIMPLEX" proporcionando um "roteiro" para a resoluo de problemas de Programao Linear1. Para Marins (2011, p. 14) o rpido crescimento da PO no ps-guerra deve-se ao desenvolvimento de tcnicas especficas, tais como o Mtodo SIMPLEX para a Programao Linear, e ao grande progresso alcanado no desenvolvimento dos computadores eletrnicos. A expanso da PO no mundo acadmico se deu inicialmente nos departamentos de Engenharia Industrial e de Engenharia de Produo, e nas escolas de Administrao das Universidades norte-americanas. No Brasil, a P.O. iniciou na dcada de 1960. O primeiro Simpsio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO) foi realizado em 1968 no ITA e inclua alguns pesquisadores do pas. Em seguida, foi criada a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SOBRAPO) em 1969. A Pesquisa Operacional uma cincia aplicada voltada para a resoluo de problemas reais. Tendo como foco a , aplica conceitos e mtodos de vrias reas cientficas na concepo, planejamento ou tomada de decisesoperao de sistemas. A Pesquisa Operacional usada para avaliar linhas de ao alternativas e encontrar as solues que melhor servem aos objetivos dos indivduos ou organizaes2. Para Silva (1998; p.12) a Pesquisa Operacional um mtodo cientfico de tomada de decises que em linha gerais, consiste na descrio de um sistema organizado com o auxlio de um modelo, e atravs da experimentao com o modelo, na descoberta da melhor maneira de operar o sistema. A NATUREZA DA PESQUISA OPERACIONAL Um estudo de Pesquisa Operacional consiste em construir um "modelo" a partir de um sistema real existente com o objetivo de compreender o comportamento dessa situao, com o objetivo conforme resentar o resultado que se deseja. A complexidade de um sistema real resulta do fato de que seu comportamento influenciado por um nmero muito grande de elementos variveis, sendo estas "variveis" influenciadas pelas "restries" que so a parte comum em todos os problemas de P.O. 1 uma ferramenta matemtica que permite encontrar a soluo tima para certos tipos de problemas. O termo "linear" se refere a linearidade das equaes do problema. Tambm pode ser considerada como uma srie de operaes matemticas que so utilizadas para "alocar" recursos escassos em operaes simultneas na busca de soluo tima para um nico objetivo. 2 Disponvel em: < http://www.sobrapo.org.br/o_que_e_po.php >. Acesso em 05/12/2012. 5 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Problemas de P.O. so normalmente apresentados na forma de uma funo objetivo (por exemplo, Maximizar o lucro da empresa, minimizar o custo de produo, determinar quantidades mnimas e mximas em misturas, determinar rotas de transportes, etc.) e diversas restries (associadas, por exemplo, disponibilidade de matrias-primas, mo de obra, etc.) e possuem as seguintes caractersticas: O problema possui um conjunto de variveis manipulveis no procedimento de busca pelo timo; essas so as variveis de deciso do problema. Uma funo objetivo compe o critrio de otimalidade, sendo escrita em termos das variveis de deciso do problema. A funo objetivo uma funo linear das variveis de deciso, devendo ser Maximizada ou minimizada. Os valores assumidos pelas variveis de deciso devem satisfazer um conjunto de restries, que compem a regio de solues viveis do problema. As variveis de deciso podem assumir valores pr-estabelcidos no domnio dos nmeros reais (isto , valores positivos, negativos ou ambos). FASES DE ESTUDO DA P.O. Cinco fases num projeto de PO: Formulao do problema (identificao do sistema) Construo do modelo matemtico Obteno da soluo Teste do modelo e avaliao da soluo obtida Estabelecimento de controles da soluo Implantao 1- Formulao do Problema: Para se formular corretamente um problema necessrio que o mesmo seja bem identificado e seu sistema seja explanado, desta forma so necessrias algumas informaes bsicas, como qual o objetivo do problema, quais os caminhos que definem suas restries, quais as limitaes tcnicas do sistema e qual a medidas de eficincia para o sistema para "ordenar" as solues encontradas concluindo o processo de deciso 2- Construo do Modelo Matemtico: Um modelo matemtico de um problema real uma representao atravs de expresses matemticas que descrevem a essncia do problema. Se existirem n decises quantificveis, elas sero representadas por n variveis de deciso ou de controle. As relaes e limitaes a que esto sujeitas as variveis de deciso so expressas por meio de equaes e inequaes, denominadas restries. O objetivo que se pretende atingir formulado como uma funo (ou mais de uma), colocada em Se o modelo elaborado tem a forma de um modelo termos das variveis de deciso, denominada funo objetivo. conhecido, a soluo pode ser obtida atravs de mtodos matemticos convencionais. Por outro lado, se as relaes matemticas so muito complexas, talvez se faa necessria a utilizao de combinaes de metodologias. 3- Obter a soluo: Uma vez construdo o modelo matemtico parte-se para a obteno de uma soluo. Diversos so os mtodos matemticos utilizados em P.O., associados s vrias reas que compe a P.O. como Programao Linear, Teoria das Filas. A rea de T.I. vem desenvolvendo diversos softwares, que disponibilizam mtodos importantes da Pesquisa Operacional tornando vivel e eficiente a soluo de problemas complexos. Podemos citar o SOLVER do Excel que atua com planilhas eletrnicas, o LINDO Linear Discrete Optimizer (www.lindo.com). Ao contrrio das outras fases, que no possuem regras fixas, a soluo do modelo baseada geralmente em tcnicas matemticas existentes. No caso de um modelo matemtico, a soluo obtida pelo 6 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e preciso da resposta. Isto exige um conhecimento profundo das principais tcnicas existentes. A soluo obtida, neste caso, dita "tima". 4- Teste do Modelo e Avaliao da Soluo: Dada a complexidade dos problemas existe a possibilidade de erros na elaborao do modelo. Essa distoro levar a solues que no se ajustaro realidade. Dessa forma, o modelo precisa ser testado. Em alguns casos o modelo pode ser testado atravs da reconstruo do passado (uso de dado histricos), verificando-se a adequao do modelo s informaes disponveis. Em cada situao especifica pode ser definida uma sistemtica para testar o modelo e sua soluo. Um modelo vlido se, levando-se em conta sua inexatido em representar o sistema, ele for capaz de fornecer uma previso aceitvel do comportamento do sistema. 5- Estabelecimento de controles da soluo: A construo e experimentao com o modelo identificam parmetros fundamentais para a soluo do problema. Qualquer mudana nesses parmetros deve ser controlada para garantir a validade da soluo. Caso ocorra qualquer modificao nestes parmetros (alm do permitido) uma nova soluo ou at mesmo um novo modelo dever ser considerado. 6- Implementao: A ltima fase de um estudo de P.O. implementar a soluo final, uma vez que esta seja aprovada. uma fase crtica, pois neste momento que os clculos sero efetivados e, portanto aptos a gerar resultados sobre os objetivos desejados inicialmente. TCNICAS MATEMTICAS EM PESQUISA OPERACIONAL A formulao do modelo depende diretamente do sistema a ser representado. A funo objetivo e as funes de restries podem ser lineares ou no- lineares. As variveis de deciso podem ser contnuas ou discretas (por exemplo, inteiras) e os parmetros podem ser determinsticos ou probabilsticos. O resultado dessa diversidade de representaes de sistemas o desenvolvimento de diversas tcnicas de otimizao, de modo a resolver cada tipo de modelo existente. Estas tcnicas incluem, principalmente: utilizada para analisar modelos onde s restries e a funo objetivo so lineares; programao linear se aplica a modelos que possuem variveis inteiras (ou discretas) programao inteira , programao dinmicautilizada em modelos onde o problema completo pode ser decomposto em subproblemas menores, programao aplicada a uma classe especial de modelos onde os parmetros so descritos por funes de estocstica probabilidade utilizada em modelos contendo funes no- lineares. e programao no- linear Uma caracterstica presente em quase todas as tcnicas de programao matemtica que a soluo tima do problema no pode ser obtida em um nico passo, devendo ser obtida iterativamente. escolhida uma soluo inicial (que geralmente no a soluo tima). Um 3 especificado para determinar, a partir desta, uma algoritmonova soluo, que geralmente superior anterior. Este passo repetido at que a soluo tima seja alcanada (supondo que ela existe). 3 Algoritmo uma sequencia lgica e finita de instrues definidas e no ambguas que devem ser seguidas para a realizao de uma tarefa na busca de uma soluo. Sequncia finita de regras, raciocnios ou operaes que, aplicada a um nmero finito de dados, permite solucionar classes semelhantes de problemas. 7 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP PROGRAMAO LINEAR INTRODUO - Definies e Conceitos A Programao Linear tem como objetivo encontrar a soluo tima para problemas que tenham seus modelos representados por expresses lineares. A sua simplicidade apresentada devido a linearidade do modelo. A aplicabilidade da Programao Linear consiste na Maximizao ou Minimizao de uma funo linear, denominada Funo Objetivo, respeitando-se um sistema linear de igualdades ou desigualdades, que recebem o nome de Restries do Modelo. Normalmente neste tipo de deciso os recursos disponveis no so suficientes para que todas as atividades sejam executadas no nvel mais elevado que se pretende; desta forma, a soluo neste caso encontrar a melhordistribuio dos recursos entre as diversas tarefas ou atividades de forma que seja possvel atingir um valor timodo objetivo estabelecido. Uma caracterstica deste problema que ele pode ser representado por um modelo de otimizao onde as relaes matemticas so lineares. Funo Objetivo: uma funo linear que se pretende otimizar, ou seja, ser a funo a ser Maximizada ou minimizada. Restries: So as atividades e ou quantidades que devem ser respeitadas de acordo com os recursos disponveis ou a serem utilizados. So normalmente escritos sob a forma de inequaes4 ou equaes lineares. Restries de no negatividade - quando as variveis que entram na formulao no podem assumir valores negativos. Restries do Problema - lista ou "rol" de restries que implique na possvel soluo do problema. As restries do problema originam a chamada regio da admissvel de soluo. Soluo: Soluo qualquer especificao de valores (dentro do domnio da funo-objetivo, f) para as variveis de deciso, independente de se tratar de uma escolha desejvel ou permissvel. Soluo vivel: Soluo vivel uma soluo em que todas as restries so satisfeitas Soluo Impossvel: aquela que no h qualquer valor que satisfaa ao conjunto de restries. Soluo ilimitada: aquela que a funo objetivo aceita valores indefinidamente, e estes atendem a todas as restries do problema. Soluo tima: a soluo possvel que faz com que os objetivos do problema seja "mais favorvel" ou seja, que otimiza a funo objetivo. Variveis de deciso: So as variveis, ou seja, as incgnitas a serem determinadas pela soluo do modelo. So as variveis reais x1, x2, x3, x4 .... Xn. Variveis de folga: uma varivel auxiliar, no negativa e de coeficiente unitrio que se introduz no modelo para reduzir uma restrio na forma de igualdade as demais restries. 4 Inequao toda a desigualdade literal que apenas satisfeita por certos valores, as letras ou incgnitas que nela figuram, por outras palavras, apresentam os sinais de maior (>) ou menor (. Acesso em: 10/12/2012. 8 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP CARACTERSTICA DA PROGRAMAO LINEAR Para representar um problema de otimizao como um programa linear, diversas caractersticas necessitam ser previamente discutidas e analisadas junto formulao do problema de programao linear. Segundo Lechtermacher (2007, p. 20) todo problema de Programao Linear parte de algumas hipteses que so assumidas quando tentamos resolv-los: Proporcionalidade: O valor da funo-objetivo diretamente proporcional ao nvel de atividade de cada varivel de deciso. Aditividade: Considera as atividades (variveis de deciso) do modelo como entidades totalmente independentes, no permitindo que haja interdependncia entre as mesmas, isto , no permitindo a existncia de termos cruzados, tanto na funo-objetivo como nas restries. Divisibilidade: Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em qualquer nvel , isto fracional, qualquer varivel de deciso pode assumir qualquer valor fracionrio. Certeza: Assume que todos os parmetros do modelo so constantes conhecidas. Em problemas reais, a certeza quase nunca satisfeita, provocando a necessidade de anlise de sensibilidade dos resultados. FORMULAO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAO LINEAR No eXiste uma forma nica para formular ou desenvolver um problema de P.L. porm, possvel estar atento aos seguintes aspectos: Identificao das variveis de deciso Identificao da funo objetivo Identificao das Restries Formulao matemtica De posse das informaes acima se torna vivel a soluo do problema. O mtodo de P.L. permite a soluo grfica e a soluo algbrica que permite mais facilmente tomar decises mais acertadas no domnio da gesto de aplicaes como: Planejamento agregado, anlise de produtividade de servios, planejamento de produtos, otimizao do fluxo de produo e de processos produtivos, e so tambm aplicadas em outros setores como: medicina, agricultura, campo militar, setor de transportes, poltica florestal etc.. ROTEIRO PARA MODELAGEM Os problemas de Programao Linear esto entre as aplicaes mais bem-sucedidas comercialmente da Pesquisa Operacional; proporcionando considervel impacto econmico. Quando se estrutura problema sob a forma de um modelo matemtico, tem-se como objetivo auxiliar o processo de deciso. Normalmente o problema resume-se na Maximizao (ou minimizao) de uma funo linear, a funo objetiva, sujeita a restries tambm lineares. No existe uma forma bsica para modelar problemas de P.L., mas podemos estabelecer alguns passos capazes de "simplificar" a modelagem, sendo: Passo I. Quais as variveis de deciso? Identifique as variveis desconhecidas a serem determinadas (elas so denominadas variveis de deciso) e represente-as atravs de smbolos algbricos (por exemplo, x e y ou x1 e x2). 9 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Passo II. Qual o objetivo? Identifique o objetivo ou critrio de otimizao do problema, representando-o como uma funo linear das variveis de deciso. O objetivo pode ser Maximizar lucros ou minimizar custos e perdas. A funo objetivo a expresso que calcula o valor do objetivo (lucro, custo, receita, perda etc.), em funo das variveis de deciso. Passo III. Quais as restries? Liste todas as restries do problema e expresse-as como equaes (=) ou inequaes (, ) lineares em termos das variveis de deciso definidas no passo anterior. Cada restrio imposta na descrio do sistema deve ser expressa como uma relao linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as variveis de deciso. Um modelo de Programao Linear um modelo matemtico de otimizao no qual todas as funes so lineares. Estes modelos so compostos por uma funo objetivo linear e por restries tcnicas representadas por um grupo de inequaes tambm lineares. Exemplo 1: Uma empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitrio de P1 de 1.000 unidades monetrias; e o lucro de P2 de 1.800 unidades monetrias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produo disponvel para isso de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual o plano de produo para que a empresa Maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programao linear para esse caso. (SILVA, 2010, p. 6). Soluo: a) Quais as variveis de deciso? O que deve ser decidido o plano de produo, isto , quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2. Portanto, as variveis de deciso sero x1 e x2, onde: x1 quantidade anual a produzir de P1. x2 quantidade anual a produzir de P2. b) Qual o objetivo? O objetivo Maximizar o lucro, que pode ser calculado por: Lucro devido a P1: 1000.x1 (lucro de P1 multiplicado pela quantidade produzida de P1). Lucro devido a P2: 1800.x2 (lucro de P2 multiplicado pela quantidade produzida de P2). Os lucros acima so obtidos multiplicando-se o lucro unitrio pela quantidade produzida (xi). Assim, o lucro total ser dado por: Lucro total: L = 1000.x1 + 1800.x2 L = 1000.x1 + 1800.x2 Portanto o objetivo ser Maximizar c) Quais as restries? As restries impostas pelo sistema so: Disponibilidade de horas para a produo: 1200 horas. horas ocupadas com P1: 20.x1 (uso por unidade multiplicado pela quantidade produzida de P1). horas ocupadas com P2: 30.x2 (uso por unidade multiplicado pela quantidade produzida de P2). 1 0 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP As horas acima so obtidas multiplicando-se o nmero de horas utilizadas na produo de uma unidade do produto (Pi) pela quantidade produzida xi. Assim, o total de horas utilizadas na produo ser dado por: 20x1 + 30x2 Como a disponibilidade de 1200 horas, temos a primeira restrio: 20x1 + 30x2 1200 Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda): Disponibilidade de P1: 40 unidades e a quantidade a produzir de P1: x1 Logo, temos a seguinte restrio: x1 40 Disponibilidade de P2: 30 unidades e a quantidade a produzir de P2: x2 Logo, temos a seguinte restrio: x2 30 Resumindo, o modelo de Programao Linear para o problema proposto ser: Max L = 1000x1 + 1800x2 Sujeito a: 20x1 + 30x2 1.200 Restries tcnicas x1 40 x2 30 x1 0 Restries de no negatividade x2 0 Exemplo 2: Para uma boa alimentao, o corpo necessita de vitaminas e protenas. A necessidade mnima de vitaminas de 32 unidades por dia e a de protenas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponvel carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contm 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de protenas. Cada unidade de ovo contm 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de protenas.Qual a quantidade diria de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e protenas com o menor custo possvel? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetrias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetrias. Soluo: a) Quais as variveis de deciso? Devemos decidir quais as quantidades de carne e ovos a pessoa deve consumir no dia. As variveis de deciso sero, portanto: x1 quantidade de carne a consumir no dia. x2 quantidade de ovos a consumir no dia. b) Qual o objetivo? O objetivo minimizar o custo, que pode ser calculado por: Custo devido carne: 3.x1 (custo por unidade multiplicado pela quantidade a consumir de carne). Custo devido aos ovos: 2,5.x2 (custo por unidade multiplicado pela quantidade a consumir de ovos). Os custos acima so obtidos multiplicando-se o custo unitrio de cada produto pela quantidade do produto a ser consumida (xi). Assim, o custo total ser dado por: 1 1 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Custo total: C = 3x1 + 2,5x2 C = 3x1 + 2,5x2 Portanto o objetivo ser minimizar c) Quais as restries? As restries impostas pelo sistema so: Necessidade mnima de vitamina: 32 unidades Vitamina de carne: 4.x1 (quantidade por unidade multiplicado pela unidade de carnes a consumir). Vitamina de ovos: 8.x2 (quantidade por unidade multiplicado pela unidade de ovos a consumir). As quantidades de vitamina so obtidas multiplicando-se quantidade de vitamina fornecida por cada alimento pela quantidade a ser consumida (xi). Assim, o total de vitaminas consumido ser dado por: 4x1 + 8x2 Como a necessidade mnima de 32 unidades, temos a primeira restrio: 4x1 + 8x2 32 Necessidade mnima de protena: 36 unidades protena de carne: 6.x1 (quantidade por unidade multiplicado pela unidade de carnes a consumir). protena de ovos: 6.x2 (quantidade por unidade multiplicado pela unidade de ovos a consumir). As quantidades de protena so obtidas multiplicando-se quantidade de protena fornecida por cada alimento pela quantidade a ser consumida (xi). Assim, o total de protenas consumido ser dado por: 6x1 + 6x2 Como a necessidade mnima de 36 unidades, temos a segunda restrio: 6x1 + 6x2 36 Resumindo, o modelo de Programao Linear para o problema proposto : Min C = 3x1 + 2,5x2 Sujeito a: 4x1 + 8x2 32 Restries tcnicas 6x1 + 6X2 36 x1 0 Restries de no negatividade x2 0 1 2 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Exerccios Propostos: 1) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponvel de couro de 6 unidades e que o lucro unitrio por sapato de 5 unidades monetrias e o cinto de 2 unidades monetrias, pede-se: o modelo do sistema de produo do sapateiro, se o objetivo Maximizar seu lucro por hora. 2) Um empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 de 100 u.m. e o lucro unitrio de P2 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponvel para essa atividade de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a determinar que os montantes produzidos de P1 e P2 no devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por ms. Construa o modelo do sistema de produo mensal com o objetivo de Maximizar o lucro da empresa. 3) Uma empresa produz 2 produtos em uma de suas fbricas. Na fabricao dos 2 produtos, 3 insumos so crticos em termos de restringir o nmero de unidades dos 2 produtos que podem ser produzidas: as quantidades de matria prima (tipos A e B) disponveis e a mo de obra disponvel para a produo dos 2 produtos. Assim, o Departamento de Produo j sabe que, para o prximo ms, a fbrica ter disponvel, para a fabricao dos 2 produtos, 4.900 quilogramas da matria prima A e 4.500 quilogramas da matria prima B. Cada unidade do produto tipo I, para ser produzida consome 70 quilogramas da matria prima A e 90 quilogramas da matria prima B. Por sua vez, cada unidade do produto tipo II para ser produzida, utiliza 70 quilogramas da matria prima tipo A e 50 quilogramas da matria prima tipo B. Como a produo dos 2 produtos utiliza processos diferentes, a mo de obra especializada e diferente para cada tipo de produto, ou seja no se pode utilizar a mo de obra disponvel para a fabricao de um dos produtos para produzir o outro. Assim, para a produo do produto tipo I a empresa ter disponvel, no prximo ms, 80 homens-hora. J para o produto tipo II ter 180 homens-hora. Cada unidade do produto tipo I, para ser produzida, utiliza 2 homens-hora enquanto que cada unidade do produto tipo II utiliza 3 homens-hora. Reduzindo do preo unitrio de venda todos os custos, chega-se a concluso de que cada unidade do produto tipo I d um lucro de $20 e cada unidade do produto tipo II d um lucro de $60. Dada a grande procura, estima-se que todas as unidades a serem produzidas, dos 2 produtos, podero ser vendidas. O objetivo da empresa obter o maior lucro possvel com a produo e a venda das unidades dos produtos tipo I e II. 4) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regio de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a R$ 20 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pssego a R$ 10 de lucro por caixa, e no mximo 200 caixas de tangerinas a R$ 30 de lucro por caixa. De que forma dever ele carregar o caminho para obter o lucro mximo? Construa o modelo do problema. 5) Uma rede de televiso local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de msica e 1 minuto de propaganda chama a ateno de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B com 10 minutos de msica e 1 minuto de propaganda chama a ateno de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mnimo, 5 minutos para sua propaganda e que na h verba para mais de 80 minutos de msica. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o nmero mximo de telespectadores ? Construa o modelo do sistema. 6) Uma empresa fabrica 2 modelos de cinto de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricao em relao ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia 1 3 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diria de 400 para o modelo M1 e e 700 para o modelo M2. Os lucros unitrios so de R$ 4 para M1 e R$ 3 para M2. Qual o programa timo de produo que Maximiza o lucro total dirio da empresa? Construa o modelo do sistema descrito. 7) Um fazendeiro est estudando a diviso de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento): Destinar certa quantidade de alqueires para a plantao de cana-de-acar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga aluguel da terra $ 300,00 por alqueire por ano. P (Pecuria): Usar outra parte para a criao de gado de corte. A recuperao das pastagens requer adubao (100 kg/Alqueire) e irrigao (100.000 litros de gua/Alqueire) por ano. O lucro estimado nessa atividade de $ 400,00 por alqueire no ano. S (Plantio de Soja): Usar uma tera parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 litros de gua/alqueire para irrigao por ano. O lucro estimado nessa atividade de $ 500,00 por alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 litros de gua 14.000 kg de adubo 100 alqueires de terra. Quantos alqueires dever destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de deciso. 8) Um fbrica de fundio deseja Maximizar sua receita na venda de suas ligas. A tabela abaixo ilustra a composio dos materiais produzidos, seus preos e as disponibilidades de matria prima: Liga Tipo A Liga Tipo B MP disponvel Cobre 2 1 16 Zinco 1 2 11 Chumbo 1 3 15 Preo Venda Unitrio $ 30,00 $ 50,00 Construa o modelo para soluo de forma que a empresa maximize sua receita 9) Uma rede de depsitos de material de construo tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m3 (loja 1), 80 m3 (loja 2), 40 m3 (loja 3) e 100 m3 (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distncias esto no quadro (em km): L1 L2 L3 L4 P1 30 20 24 18 P2 12 36 30 24 P3 8 15 25 20 Abastecer 50m3 80m3 40m3 100m3 O caminho pode transportar 10 m3 por viagem. Os portos tm areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distncia total percorrida entre os pontos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema. 1 4 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 10) Uma marcenaria precisa estabelecer um programa de produo diria para seus 2 produtos "mesa" e "armrio" ambos de 1 s modelo. A empresa deve se preocupar com dois insumos principais - madeira e mo de obra - cuja disponibilidade segue no quadro abaixo. Para fazer uma mesa a marcenaria gasta 2m2 de madeira e 2h/homem de trabalho; e para fazer o armrio ela gasta 3m2 de madeira e 1h/homem para realizar o trabalho. A empresa sabe que a mesa proporciona um lucro de $ 40 e o armrio proporciona um lucro de $ 10. Encontre o programa de produo que Maximize o lucro total de acordo com as disponibilidades. Mesa Armrio Disponib. Madeira 2 3 12 MOD 2 1 8 Lucro $ 40 $ 10 1 5 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP SOLUO GRFICA A tcnica da soluo grfica de equaes lineares com "duas" variveis uma "reta". A representao grfica de uma inequao linear com duas variveis um dos semiplanos definidos pela reta correspondente equao. Quando o problema se restringe a "apenas duas variveis" de deciso a soluo tima pode ser encontrada graficamente. Se o problema envolver mais de duas variveis no possvel elaborar uma soluo grfica, e assim, devemos formular e resolver os problemas apenas algebricamente. Exemplo 1 Para definir uma "nica" reta segundo o Axioma5 de Incidncia n 2 de Euclides6 temos que dados dois pontos distintos, existe uma nica reta que contm ambos os pontos. Vamos representar graficamente a inequao 2x1 + 3x2 6 Para x1 = 0 temos que: 3x2 = 6 x2 = 6/3 x2 = 2 Para x2 = 0 temos que: 2x1 = 6 x1 = 6/2 x1 = 3 X2 2X1 + 3X2 Campo de permissividade (3,2) 2 (0,0) X1 3 Exemplo 2 Represente graficamente a soluo do seguinte sistema x1 + 3x2 12 2x1 + x2 16 x1 0 x2 0 Soluo: Vamos a representao das retas correspondentes: 1) x1 + 3x2 =12 Se x1 = 0, logo X2 = 12/3 ou x2 = 4 Se x2 = 0, logo x1 = 12 2) 2x1 + x2 =16 Se x1 = 0, logo x2 = 16 Se x2 = 0, logo x1 = 16/2 ou x1 = 8 5 Axioma uma premissa cuja fundamentao emprica dispensvel, ou seja, premissa considerada necessariamente evidente e verdadeira; o fundamento de uma demonstrao. 6 Euclides foi um grande matemtico que em 300 a.C. escreveu o livro "Os Elementos" que baseava todos os conhecimentos gregos e com grande contribuio para a Matemtica e principalmente na geometria. 1 6 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP X2 16 (8, 16) Campo de permissividade 4 (0,0) 8 12 X1 Exemplo 3 Represente graficamente a soluo do seguinte sistema Max Z = x1 + x2 x1 + 3x2 9 x1 2x2 1 2x1 + x2 10 2x1 + x2 5 1) x1 + 3x2 = 9 Se x1 = 0, logo x2 = 9/3 ou x2 = 3 Se x2 = 0, logo x1 = 9 2) x1 2x2 = 1 Se x1 = 0, logo x2 = 1/2 Se x2 = 0, logo x1 = 1 3) 2x1 + x2 = 10 Se x1 = 0, logo x2 = 10 Se x2 = 0, logo x1 = 10/2 = 5 4) 2x1 + x2 = 5 Se x1 = 0, logo x2 = 5 Se x2 = 0, logo x1 = 5/2 = 2,5 1 2 1 7 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Soluo Grfica X2 10 Campo de permissividade 5 4 3 - 9 (0,0) 1 2,5 5 X1 - 1/2 3 Soluo tima Conforme alegado anteriormente se um problema apresenta apenas duas variveis de deciso a soluo tima de um problema de programao linear pode ser encontrada graficamente. A soluo tima encontra de forma simples, atribuindo-se valores a Z, tornando a funo objetivo uma equao de uma reta. Se considerarmos x1 como varivel independente e x2 como varivel dependente (pois funo de x1) a equao da reta dada por: X2 = aX1 + b, onde a o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear. Exemplo 4 Imagine o seguinte problema de programao linear: (Lachtermacher, p.28) Max Z = 5x1 + 2x2 Sujeito a: x1 3 x2 4 x1 + 2x2 9 x1 0 e x2 0 x1 + 2x2 9 Se x1 = 0, logo x2 = 9/2 ou x2 4,5 Se x2 = 0, logo x1 9 1 8 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Soluo Grfica X2 x1 3 5 4,5 D (1,4) E (0,4) x2 4 C (3,3) x1 + 2x2 9 x2 0 A (0,0) 2 B (3,0) 9 X1 x1 0 21 = 5x1 + 2x2 20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2 Por um processo de , podemos chegar ao valor timo de Z verificando a existncia e pontos da reta tentativa e erroque fazem parte do conjunto de solues viveis. No caso de maximizao, ao encontrarmos o MAIOR valor de Zpossvel, . estaremos encontrando o valor mximo para a funo objetivoEscolheremos um valor arbitrrio para Z, por exemplo, 10. Z = 10 10 = 5x1 + 2x2 Se x1 = 0, logo x2 = 5 Se x2 = 0, logo x1 2 Z = 20 20 = 5x1 + 2x2 Se x1 = 0, logo x2 = 10 Se x2 = 0, logo x1 4 Z = 21 21 = 5x1 + 2x2 (x1 = 3) e (x2 = 3) (5.3) + (2.3) = 21 Soluo Vivel 1 9 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP TEOREMAS - PROGRAMAO LINEAR Ao longo da aprendizagem da pesquisa operacional, conceitos matemticos como matrizes e vetores so largamente utilizados. Os conceitos aqui discutidos tm como objetivo apresentar uma reviso desses fundamentos matemticos, de modo que o curso possa ser compreendido. A rea marcada como sendo uma regio de permissividade indica que o conjunto de solues possveis est contido nesta situao, ou seja, ali se encontram o "conjunto de solues" que satisfaz as restries. Esta regio pode ser convexa ou no convexa. Conjunto Convexo Conjunto No-convexo O conjunto convexo um conjunto de pontos em que todos os segmentos de reta que unem dois de seus pontos so internos ao conjunto, ou seja, todos os pontos de cada segmento de reta tambm pertencem ao conjunto original. Se pelo menos "uma" unio de dois pontos no pertencerem ao conjunto ele considerado no-convexo. Polgono convexo limitado Polgono convexo limitado Obviamente que essa visualizao possvel com duas variveis. Se considerarmos a equao: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ..... + anxn = b Estamos nos referindo a . semi-espaos Uma soluo como esta divide o espao Rn de dimenso n em um . Os semi-espaos so sempre hiperplanoconvexos, ou seja, o segmento de reta que une os pontos de um semi-espao pertencem inteiramente ao mesmo semi-espao. z Poliedro Convexo y x 2 0 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Teorema 1 O conjunto de todas as solues viveis de um modelo de P.L. um conjunto convexo. Teorema 2 Toda soluo compatvel bsica (soluo bvia) do sistema de equaes lineares de um modelo de P.L. um ponto extremo do conjunto de solues viveis, isto , do conjunto convexo de solues. Teorema 3 Se uma funo objetivo possui um nico ponto timo finito, ento este um ponto extremo do conjunto convexo de solues viveis. Teorema 4 Se a funo objetivo assume o valor timo em mais de um ponto do conjunto de solues viveis (solues mltiplas), ento ela assume este valor para pelo menos dois pontos extremos, isto , todos os pontos do segmento de reta unem estes dois extremos, ou seja, a aresta do polgono que contem estes extremos. 2 1 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Exerccios: Resolver graficamente o modelo de programao linear: 1) (Max) Z = 3x1 + 5x2 Sujeito a: x1 4 2x2 12 3x1 + 2x2 18 x1 0 x2 0 2) (Max) Z = 2x1 + x2 Sujeito a: x2 10 2x1 + 5x2 60 x1 + x2 18 3x1 + x2 44 x1 0 x2 0 3) (Max) Z = 2x1 2x2 Sujeito a: 3x1 4x2 18 8x1 3x2 24 6x1 + 8x2 24 3x1 + 5x2 21 x1 3 x2 0 4) (Max) Z = 2x1 8x2 Sujeito a: 4x1 + 2x2 8 3x1 + 6x2 6 6x1 + 6x2 18 x2 2 x1 2 5x1 + 3x2 15 x1 0 2 2 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 5) (Max) Z = 4x1 2x2 Sujeito a: x1 + x2 8 8x1 + 3x2 24 6x1 + 8x2 48 3x1 + 5x2 15 x1 4 x2 0 6) (Max) Z = 2x1 5x2 Sujeito a: 2x1 2x2 10 7x1 + 3x2 21 2x1 + 3x2 6 3x1 + 9x2 27 x1 1 x2 4 7) (Min) Z = 4x1 2x2 Sujeito.a: x1 + x2 8 8x1 + 3x2 24 6x1 + 8x2 48 3x1 + 5x2 15 x1 3 x2 0 8) Max L = 2x1 + 3x2 Sujeito a: x1 + 2x2 4 x1 + 2x2 6 x1 + 3x2 9 x1 0 x2 0 2 3 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 9) Min Z = 8x1 + 11x2 Sujeito a: 12x1 + 5x2 60 x1 + x2 10 x1 + x2 12 x1 0 x2 0 10) Min Z = 3x1 + 4x2 Sujeito a: x1 + 2x2 8 x1 x2 3 x1 1 x2 1 2 4 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP REVISO: MATRIZES Uma matriz pode ser definidas como uma tabela com linhas e colunas usadas principalmente na resoluo de sistemas de equaes lineares e transformaes lineares. As linhas so indicadas pela letra m e as colunas pela letra n, o que permite que a matriz seja representada pela forma m x n. Em lgebra linear podemos chamar matriz de um conjunto de vetores colocados lado a lado. Matriz m por n aij = Colunas = j a1,1 a1,2 a1,3 ... a1n Linhas = i a2,1 a2,2 a2,3 ... a2n am,1 am,2 am,3 ... amn Ao trabalhar matrizes importante ter conhecimento das linhas horizontais (linhas) e verticais (colunas) e dominar a identificao dos mesmos. Observe que a matriz onde aparecem a11, a12, . o que chamamos de Matriz Genrica. Ela indica o conjunto, as linhas e colunas como aij onde a representa o conjunto, i o nmero da linha e j o da coluna. Para encontrar os valores de uma matriz preciso ter a Regra de Formao e a Ordem. De posse da ordem possvel elaborar a matriz genrica e atravs da regra de formao atribuir valores a cada um dos espaos. Observe os exemplos. Seja A2x2 onde aij = 2i + j A= A= aij = 2i + j a1,1= 2(1)+1= 3 a1,2= 2(1)+2= 4 a2,1= 2(2)+1= 5 a2,2= 2(2)+2= 6 Seja b2x2 onde aij = i j2 B= B= bij = i + j2 b1,1= (1) 12= 0 b1,2= (1) 22= 3 b2,1= (2) 12= 1 b2,2= (2) 22= 2 a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 3 4 5 6 a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 0 3 1 2 2 5 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP TIPOS DE MATRIZES Matriz Quadrada: uma matriz onde o numero de linhas (m) igual ao numero de colunas (n). Matriz Identidade: uma matriz quadrada na qual: (A) todos os elementos na diagonal principal igual a "1"; (B) todos os elementos fora da diagonal principal igual a "0". Exemplo: 1 0 0 A= 0 1 0 0 0 1 Matriz Transposta: AT ou A' considerada transposta se o elemento aij de A for o elemento aji da Transposta AT; para todo o elemento "i" e "j". Exemplo 1 3 6 1 2 7 A= 2 5 -8 AT 3 5 -3 7 -3 0 6 -8 0 Matriz Nula: Uma matriz considerada nula quando TODOS os elementos aij = 0 Matrizes Iguais: Duas matrizes aij e bij sero iguais exclusivamente se: (1) A e B forem matrizes da mesma ordem (m x n) e (2) se todos os elementos de "A" forem obrigatoriamente iguais aos correspondentes de "B". Exemplo 2 x1 x1= 2 A = 3 X= x2 x2= 3 1 x3 x3= 1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZES O determinante de uma matriz dado pelo valor numrico resultante da subtrao do produto dos termos da diagonal principal ao somatrio do produto dos termos da diagonal secundria. Para uma matriz de ordem 3 podemos utilizar a regra de Sarrus7. 15 -4 0 - 4 2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0 A= B = 4 5 2 4 5 2 4 5 4 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2 - 10 0 0 24 Det. (A)= - 10 - (- 4) = D= - 6 Det. (B)= 24 (15) + (- 4) = 24 15 + 4 = 13 7 Pierre Frdric Sarrus (1789-1861) foi responsvel pela regra prtica de resoluo de determinantes de ordem 3. Essa regra diz que para encontrar o valor numrico de um determinante de ordem 3, basta repetir as duas primeiras colunas direita do determinante e multiplicar os elementos do determinante. Disponvel em: < http://www.mat.ufmg.br/~elaine/GAAL/matriz.pdf >. Acesso em 02/02/2013. 2 6 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP SISTEMAS LINEARES um conjunto de m equaes lineares de n incgnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3 OBS 1: Dois sistemas lineares so EQUIVALENTES quando possuem as mesmas solues. Exemplo: Os sistemas lineares so equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como soluo. 2x + 3y = 12 5x - 2y = 11 S1 = e S2 = 3x - 2y = 5 6x + y = 20 OBS 2: Se um sistema de equaes possuir pelo , dizemos que ele possvel ou menos uma soluocompatvel. OBS 3: Se um sistema de equaes , dizemos que ele impossvel ou incompatvel. no possuir soluo OBS 4: Se o sistema de equaes compatvel e possui , dizemos que ele apenas uma soluodeterminado. OBS 5: Se o sistema de equaes compatvel e possui , dizemos que ele mais de uma soluoindeterminado. OBS 6: Se os termos independentes de todas as equaes de um sistema linear forem todos nulos, ou seja b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGNEO. Exemplo: x + y + 2z = 0 S1= 2x - 3y + 5z = 0 5x - 2y + z = 0 Quando os sistemas se apresentam de forma de uma matriz quadrada podemos utilizar a regra de Gabriel para sua soluo. Veja que temos o sinal de igualdade no final de cada linha o que diferente da P.O. CramerAo utilizar a regra de Cramer temos que estar atentos pois ela s valida para sistemas em que o numero de incgnitas igual ao numero de equaes. No um mtodo indicado para isso, pois imagine se tivermos um sistema de (20 x 20) seria um tdio a soluo. Exemplo: Solucione o Sistema abaixo: 2x1 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1 x1 + 2x2 3x3 = 5 2 7 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 8 4 -18 2 -2 4 2 -2 4 2 -2 DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2 1 2 -3 1 2 -3 1 2 -12 -2 -24 Det. (A)= (-12) +(-2) + (-24) (8) + (4) + (-18) -12 - 2 - 24 - 8 - 4 + 18 = Det. (A)= 32 40 12 6 6 -2 4 6 -2 4 6 -2 Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2 5 2 -3 5 2 -3 5 2 -36 -10 8 Det. (x1)= (- 36 - 10 + 8) (40 + 12 + 6) - 38 - 58 = Det. (x1)= 96 4 10 54 2 6 4 2 6 4 2 6 Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1 1 5 -3 1 5 -3 1 5 -6 6 -60 Det. (x2)= (-6 + 6 - 60) (4 + 10 + 54) - 60 - 68 = Det. (x2)= 128 12 4 30 2 -2 6 2 -2 6 2 -2 Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2 1 2 5 1 2 5 1 2 20 -2 -36 Det. (x3)= (20 - 2 - 36) (12 + 4 + 30) - 18 - 46 = Det. (x3)= 64 Determinando valores: Dx1 x1 = x1 = (- 96 - 32) x1 = 3 DA Dx2 x2 = x2 = (- 128 - 32) x2 = 4 DA Dx3 x1 = x1 = (- 64 - 32) x1 = 2 2 8 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP DA ALGORITMO DE GAUSS JORDAN O algoritmo de Gauss-Jordan corresponde a sistematizao da sequencia de aes que permite reduzir uma matriz a forma escalonada reduzida. O Mtodo de Gauss-Jordan a parte principal de um procedimento para a resoluo de sistemas de equaes lineares. Seu objetivo o de escalonar uma matriz para obter a sua forma escalonada reduzida por linhas. Por meio de operaes elementares com matrizes aplica-se os passos repetidamente at que ele seja reduzida a uma forma elementar da matriz identidade. As operaes elementares sobre as linhas de uma matriz compreendem: L1. Troca entre si de duas linhas da matriz: Li Lk L2. Multiplicao ou diviso de uma linha da matriz por um escalar no nulo: Li Li L3. Substituio de uma linha pela sua soma com um mltiplo escalar de outra linha: Li + . Lk Li A determinao da matriz escalonada reduzida relevante explicitamente para a resoluo de sistemas de equaes e inverso de matrizes, e est implicitamente na base de praticamente todos os algoritmos que envolvem processamento matricial. Definio: Uma matriz est na forma escalonada reduzida quando ela satisfaz as seguintes condies: O primeiro elemento no-nulo de cada linha no-nula (chamado o piv da linha) igual a 1. O piv da linha i + 1 ocorre direita do piv da linha i. Se uma coluna contm um piv, ento todas os outros elementos desta coluna so iguais a 0. Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas no-nulas. PROCESSO ELIMINAO DE GAUSS-JORDAN: Passo 1: Dividir a linha do elemento que chamamos de piv, cujo coeficiente se deseja unitrio, pelo valor de seu coeficiente. Passo 2: Adicionar mltiplos adequados e apropriados a esta nova linha de modo seja possivel anular os coeficientes correspondentes (os outros elementos da coluna) em todas as outras linhas. Passo 3: Repita os passos 1 e 2 a todos os elementos da diagonal principal tomadas sucessivamente com os pivs. Exemplo: Transformar a matriz abaixo em sua forma reduzida por linhas. Seja: 2x1 2x2 + 4x3 = 6 3x1 + 2x2 + x3 = 1 x1 + 2x2 3x3 = 5 x1 x2 x3 b 2 - 2 4 6 - 3 2 1 1 1 2 - 3 5 (A) Dividir a primeira linha por (2) transformando-a em piv. 2 9 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP x1 x2 x3 b 1 - 1 2 3 - 3 2 1 1 1 2 - 3 5 (B) Zerar coluna de x1: 1 Operao: Multiplicar a 1 linha por (3) e somar com a 2 linha. x1 x2 x3 b 1 - 1 2 3 0 -1 7 10 1 2 - 3 5 2 Operao: Multiplicar a 1 linha por (- 1) e somar com a 3 linha. x1 x2 x3 b 1 - 1 2 3 0 -1 7 10 0 3 - 5 2 (C) Transformar elemento da 2 linha de x2 em piv, dividindo a 2 linha por (- 1). x1 x2 x3 b 1 - 1 2 3 0 1 - 7 - 10 0 3 - 5 2 (D) Zerar coluna de x2 abaixo do piv. 1 Operao: Multiplicar a 2 linha por (- 3) e somar com a 3 linha x1 x2 x3 b 1 - 1 2 3 0 1 - 7 - 10 0 0 16 32 (E) Transformar elemento da 3 linha de x3 em piv, dividindo a 3 linha por (16). x1 x2 x3 b 1 - 1 2 3 0 1 - 7 - 10 0 0 1 2 (F) Com o final das linhas j zeradas, devemos agora "zerar" os elementos acima dos pivs, 3 0 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 1 Operao: Multiplicar a 3 linha por (7) e somar com a 2 linha. x1 x2 x3 b 1 - 1 2 3 0 1 0 4 0 0 1 2 2 Operao: Multiplicar a 2 linha por (-2 ) e somar com a 1 linha. x1 x2 x3 b 1 - 1 0 - 1 0 1 0 4 0 0 1 2 (G) Transformar elemento da 2 linha de x2 em piv, zerando o elemento acima dele. 1 Operao: Somar a 2 linha com a 2 linha. x1 x2 x3 b 1 0 0 3 0 1 0 4 0 0 1 2 Neta situao; conclumos que a soluo do sistema : (x1 = 3); (x2 = 4) e (x3 = 2). Exerccios: Resolva por escalonamento Uma empresa de transportes tem trs tipos de caminho I, II, e III, que carregam cargas com trs tipos de embalagens A, B e C tambm diferentes. O nmero de embalagens por caminho dado pelo quadro: Embalagem A B C Caminho I 2 2 2 Caminho II 4 3 4 Caminho III 4 2 3 Quantos Caminhes de cada tipo I, II e III, so necessrio se a empresa necessita transportar 38 embalagens do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C? (x1= 2; x2 = 6; x3 = 3) Modelagem: x1 quantidade de Caminhes I x2 quantidade de Caminhes II x3 quantidade de Caminhes III 2x1 + 4x2 + 4x3 = 38 S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 24 2x1 + 4x2 + 3x3 = 32 3 1 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP x1 2x2 + 3x3 = 0 S2= 2x1 + 5x2 3x3 = 1 x1 + 3x2 2x3 = 5 2x1 + 4x2 2x3 = 2 S3= 3x1 5x2 + x3 = 7 2x1 5x3 = 16 x1 2x2 + x3 = 4 S4= 2x1 + x2 x3 = 1 x1 + 3x2 4x3 = 3 3x1 x2 x3 = 1 S5= x1 + x3 = 2 2x1 + x2 x3 = 3 3 2 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP METODO SIMPLEX O Mtodo Simplex uma tcnica utilizada para se determinar, numericamente, a soluo tima de um modelo de Programao O Mtodo Simplex procura nos vrtices da regio de permissividade at encontrar uma soluo tima. A soluo tima pode no existir em dois casos: (1) quando no h nenhuma soluo vivel para o problema, devido a restries incompatveis; ou (2) quando no h mximo (ou mnimo), isto , uma ou mais variveis podem tender a infinito e as restries continuarem sendo satisfeitas, o que fornece um valor sem limites para a funo objetivo. VARIVEIS DE FOLGA possvel resolver os problemas de Programao Linear por algum mtodo de soluo de sistemas de equaes. Para tanto alguns mtodos exigem que as desigualdades lineares das restries sejam transformadas em equaes lineares de modo que tais mtodos possam ser aplicados. No problema da P.O. normalmente a disponibilidade est em descompasso com os recursos, fator esse que elege as restries. Para Andrade (1998, p. 39) as restries apresentam a seguinte lgica: Utilizao de recurso Disponibilidade Ao se introduzir o conceito de FOLGA de recurso possvel concluir que: Utilizao + Folga = Disponibilidade Considerando a hiptese anterior temos que: Utilizao > 0 Utilizao = Disponibilidade Folga = 0 A folga de cada recurso pode ser representada por uma varivel de forma exatamente igual produo de cada produto, ou seja, para cada desigualdade. Para ser submetido ao mtodo Simplex, o modelo no pode ter nenhuma das suas restries com sinais de "" ou "", . Como na realidade isso somente sinais de igualdadepraticamente impossvel devido a natureza dos problemas, algumas estratgias so adotadas. Desta forma, para que um modelo possa ser normalizado, so adicionadas ao modelo algumas variveis que auxiliam este processo. Variveis de Folga: Para restries com sinal de , adiciona-se uma varivel que ser conhecida como varivel de folga. Nas funes de restries, esta varivel inserida com o coeficiente +1. Um detalhe que merece ateno, que esta varivel tambm deve ser inserida na funo objetivo com o coeficiente 0; Variveis de Excesso: Para restries com sinal de adiciona-se uma varivel que ser conhecida como varivel de excesso. Nas funes de restries, esta varivel inserida com o coeficiente -1. Essa varivel tambm deve ser inserida na funo objetivo com o coeficiente 0; Variveis de Artificiais: Aps a anlise da necessidade de variveis de Folga ou de Excesso, adiciona-se a todas as restries que no receberam variveis de folga uma varivel que ser conhecida como varivel artificial. Nas funes de restries, esta varivel inserida com o coeficiente +1, j na funo objetivo ela inserida com o coeficiente M (+M para problemas de minimizao e M para problemas de maximizao). 3 3 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP ROTEIRO DO MTODO SIMPLEX 1) Introduzir as variveis de folga, uma para cada desigualdade. 2) Montar um quadro para os clculos, colocando os coeficientes de TODAS as variveis com os respectivos sinais e, na ltima linha incluir os coeficientes da funo objetivo. 3) Estabelecer uma soluo bsica inicial, usualmente atribuindo o valor "zero" as variveis originais e achando valores positivos para as variveis de folga. 4) Como prxima varivel a entrar base; escolher a varivel no-bsica que fornece na ltima linha, o maior contribuio para a funo objetivo (ou seja, tem o maior valor negativo). Se TODAS as variveis que esto fora da base tiverem coeficientes nulos ou positivos nesta linha, a soluo atual tima. Se ALGUMAS destas variveis tiverem coeficientes nulos, isto significa que ela pode ser introduzida na base sem aumentar o valor da funo objetivo. Isso quer dizer que temos outra soluo tima, com o mesmo valor da funo objetivo. 5) Para escolher a varivel que deve sair da base, deve-se realizar o seguinte procedimento: Dividir os elementos da ltima coluna pelos correspondentes elementos positivos da coluna da varivel que vai entrar na base. Caso no haja elemento algum positivo nessa coluna, o procedimento deve parar, j que a soluo seria ilimitada. O menor quociente indica a equao cuja respectiva varivel bsica devera ser anulada, tornando-se varivel no-bsica. 6) Usando operaes validas com linhas da matriz, transforma o quadro de clculos de forma a encontrar a nova soluo bsica. A coluna da nova varivel bsica dever se tornar um vetor identidade, onde o elemento 1 aparece na linha correspondente varivel que esta sendo anulada. 7) Retornar ao passo 4 para iniciar outra iterao. 3 4 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Exemplo: Resolver utilizando o algoritmo Simplex. Max Z= 3x1 + 5x2 Sujeito a: x1 4 x2 16 3x1 + 2x2 18 Passo 1: Inserir as variveis de folga Variveis de folga = "0" para no alterar "Z". Z= 3x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 Transformou em igualdade x1 + 1x3 = 4 x2 + 1x4 = 6 3x1 + 2x2 + 1x5 = 18 Elemento neutro Passo 2: Montagem do quadro de clculos, transformando Z = - Z (ver variveis artificiais) Quadro 1 Base x1 x2 x3 x4 x5 b x3 1 0 1 0 0 4 x4 0 1 0 1 0 6 x5 3 2 0 0 1 18 Z - 3 - 5 0 0 0 0 Passo 3: Estabelecer soluo bsica vivel inicial Variveis no-bsicas: x1 = x2 = 0 Variveis bsicas: 1 linha: x3 = 4 2 linha: x4 = 6 3 linha: x5 = 18 Funo Objetivo Z= 0 Passo 4: Varivel que deve entrar na base: Identificar o maior valor na ltima linha neste caso = (5) coeficiente de x2 na funo objetivo, portanto; x2 deve entrar na base, pois fornece maior contribuio por unidade. Passo 5: Varivel que deve sair da base: Fazer as divises da coluna b pela coluna de x2 que entrou na base no passo anterior. Divises: 3 5 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 1 linha: No se efetua diviso o valor do coeficiente de x2 nessa linha "0". 2 linha: 6 1 = 6 3 linha: 18 2 = 9 Como o menor valor ocorreu na 2 linha, a varivel que deve sair da base x4 . Base x1 x2 x3 x4 x5 b x3 1 0 1 0 0 4 x4 0 1 0 1 0 6 x5 3 2 0 0 1 18 Z - 3 - 5 0 0 0 0 Passo 6: Transformao da Matriz. Devero ser realizadas operaes com as linhas da matriz de forma que a coluna de x2 venha a se tornar um vetor identidade, com o elemento 1 na 2 linha e os demais e coeficientes = 0. 1 Operao: Substituir a 3 linha pela soma da 2 linha multiplicada por (- 2). ( - 2) e soma Quadro 1A. 2 Operao: Substituir a 4 linha do quadro 1A por sua soma com a 2 linha multiplicada por 5. Quadro 2. Nova soluo obtida: Base x1 x2 x3 x4 x5 b x3 1 0 1 0 0 4 x4 0 1 0 1 0 6 x5 3 2 0 0 1 18 Z - 3 - 5 0 0 0 0 Base x1 x2 x3 x4 x5 b x3 1 0 1 0 0 4 x4 0 1 0 1 0 6 x5 3 0 0 - 2 1 6 Z - 3 - 5 0 0 0 0 Base x1 x2 x3 x4 x5 b x3 1 0 1 0 0 4 x2 0 1 0 1 0 6 x5 3 0 0 - 2 1 6 Z - 3 0 0 5 0 30 3 6 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Variveis no-bsicas: x1 = x4 = 0 Variveis bsicas: 1 linha: x3 = 4 2 linha: x2 = 6 3 linha: x5 = 6 Funo Objetivo Z= 30 2 ITERAO Passo 4: Nova varivel a entrar na base. Identificar o maior valor na ltima linha neste caso = (- 3) coeficiente de x1 na funo objetivo, pois a nica varivel no-bsica com coeficiente portanto; x1 deve entrar na base, pois fornece maior contribuio por unidade Passo 5: Varivel que deve sair da base: Fazer as divises da coluna b pela coluna de x2 que entrou na base no passo anterior. Divises: 1 linha: 4 1 = 4 2 linha: No se efetua diviso o valor do coeficiente de x2 nessa linha "0". 3 linha: 6 3 = 2 Como o menor valor ocorreu na 3 linha, a varivel que deve sair da base x5. Passo 6: Transformao da Matriz. Devero ser realizadas operaes com as linhas da matriz de forma que a coluna de x1 venha a se tornar um vetor identidade, com o elemento 1 na 3 linha. 1 Operao: Dividir a 3 linha (3): Quadro 3 2 Operao: Substituir a 1 linha pela soma dela mesma com a 3 linha multiplicada por (-1). Base x1 x2 x3 x4 x5 b x3 1 0 1 0 0 4 x2 0 1 0 1 0 6 x5 3 0 0 - 2 1 6 Z - 3 0 0 5 0 30 Base x1 x2 x3 x4 x5 b x3 1 0 1 0 0 4 x2 0 1 0 1 0 6 x5 1 0 0 - 2/3 1/3 2 Z - 3 0 0 5 0 30 3 7 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Quadro 3A 3 Operao: Substituir a 4 linha pela soma dela mesma com a 3 linha multiplicada por (3). Quadro 3B Nova soluo obtida: Variveis no-bsicas: x4 = x5 = 0 Variveis bsicas: 1 linha: x3 = 2 2 linha: x2 = 6 3 linha: x1 = 2 Funo Objetivo Z= 36 3 ITERAO Ao procurarmos a prxima varivel que deve entrar na base, verificamos que TODOS os coeficientes da 4 lina so positivos ou nulos, o que significa que encontramos a soluo tima. X2 Soluo tima 9 (x1 = 2) e (x2 = 6) 6 A B C D (0,0) 2 4 6 X1 Base x1 x2 x3 x4 x5 b x3 0 0 1 2/3 - 1/3 2 x2 0 1 0 1 0 6 x1 1 0 0 - 2/3 1/3 2 Z - 3 0 0 5 0 30 Base x1 x2 x3 x4 x5 b x3 0 0 1 2/3 - 1/3 2 x2 0 1 0 1 0 6 x1 1 0 0 - 2/3 1/3 2 Z 0 0 0 3 1 36 3 8 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP Vale realar que a soluo tima foi obtida no menor numero de iteraes possveis. O critrio que garante a ocorrncia desse fato a escolha da varivel que entra na base contribuindo positivamente para o valor da funo objetivo. A escolha de x2 na interao 1 como varivel a entrar na base fez com que o processo de soluo se limitasse aos pontos A e B. Caso tivssemos escolhido x1 para entrar na base obrigatoriamente teramos que pesquisar os pontos D, C e B o que obviamente alongaria o processo. Exerccios Max Z= 5x1 + 2x2 Resposta (x1= 3; x2= 0; Z= 15) Sujeito a: 2x1 + 3x2 6 x1 2x2 9 Max Z= 3x1 + 2x2 Sujeito a: 2x1 + 4x2 22 x1 + 4x2 10 2x1 x2 7 x1 3x2 1 x1, x2 0 Max Z= 4x1 + 3x2 + 6x3 Sujeito a: 3x1 + x2 + 3x3 30 2x1 + 2x2 + 3x3 40 xi 0 Max Z= 2x1 x2 + x3 Sujeito a: 3x1 + x2 + x3 60 x1 x2 + 2x3 10 x1 + x2 x3 20 xi 0 Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 Sujeito a: 5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 10 2x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10 xi 0 3 9 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 4 0 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 4 1 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 4 2 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 4 3 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 4 4 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 4 5 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 4 6 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP 4 7 P ESQU I S A OPER AC I ONA L Pro f . D r . A lm i r Vo l p i UN IP REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ANDRADE, E.L. Introduo a Pesquisa Operacional. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998 COLIN, E.C. Pesquisa Operacional: 170 aplicaes em estratgia, finanas, produo, logstica, marketing e vendas. Rio de Janeiro: LTC, 2007. GOLDBARG, M.C.; LUNA, H.P. Otimizao Combinatria e Programao Linear: Modelos e Algoritmos. Rio de Janeiro: Editora Campus, 2000. HILLIER, F.S. e LIEBERMAN G.J. Introduo Pesquisa Operacional. 8a edio. So Paulo: McGraw-Hill, 2006. LACHTEMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decises. Rio de Janeiro: Campus, 2002. MOREIRA, D.A. Pesquisa Operacional: Curso Introdutrio. 2. ed. So Paulo: Cengage Learning, 2010. SILVA, E.M. et al. 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