apostila pesquisa operacional unip 2013 aluno

7172019 Apostila Pesquisa Operacional Unip 2013 Aluno

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1P E S Q U I S A O P E R A C I O N A L

P r o f D r A l m i r V o l p i U N I P

APOSTILA DE PESQUISAAPOSTILA DE PESQUISAAPOSTILA DE PESQUISAAPOSTILA DE PESQUISA

OPERACIONALOPERACIONALOPERACIONALOPERACIONAL

Prof Dr Almir Volpi

UNIP

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A P OST I LA E MA T ER IA L D I D AacuteT I C O ndash T EOR IA E E X E RC IacuteC I O S

Pesquisa Operacional

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2013





IacuteNDICE

PESQUISA OPERACIONAL Conceitos Centrais

Histoacuterico da Pesquisa Operacional Natureza da Pesquisa Operacional Fases de Estudo da Pesquisa Operacional Teacutecnicas Matemaacuteticas na Pesquisa Operacional

PROGRAMACcedilAtildeO LINEAR Introduccedilatildeo e Conceitos Centrais Caracteriacutestica da Programaccedilatildeo Linear Formulaccedilatildeo de Problemas Modelagem Exerciacutecios Propostos

Teoremas da Programaccedilatildeo Linear Soluccedilatildeo Graacutefica Soluccedilatildeo Oacutetima Exerciacutecios Propostos

REVISAtildeO DE MATRIZES Tipos de Matrizes Determinantes Regra de SARRUS

REVISAtildeO DE SISTEMA LINEAR

Regra de CRAMER Algoritmo de GAUSS-JORDAN

MEacuteTODO SIMPLEX Conceitos Centrais Variaacuteveis Roteiro do Meacutetodo Exerciacutecios Propostos





PESQUISA OPERACIONAL

CONCEITOS CENTRAIS

A Pesquisa Operacional tem sua origem antes da II Guerra Mundial na Inglaterra com o objetivo de auxiliar a

defesa do paiacutes e identificar oportunidades para Maximizar os resultados de suas accedilotildees O desafio dosestrategistas da eacutepoca estava centrado na distribuiccedilatildeo de recursos escassos buscando uma soluccedilatildeo oacutetima para oproblema que neste caso se destinava a avaliar e reposicionar os radares do sistema aeacutereo de defesa da Gratilde-Bretanha em 1938 prestes ao inicio da guerra Baseado em problemas matemaacuteticos a Pesquisa Operacional setorna um modelo de tomada de decisatildeo

Devido aos bons resultados alcanccedilados pelos ingleses os EUA passam a utiliza-la em atividades semelhantesCom o final da II GM a PO se popularizou e passou a ser aplicada no campo de gerenciamento de negoacutecios e daadministraccedilatildeo da produccedilatildeo Baseada em sofisticados conceitos da Matemaacutetica e da Estatiacutestica a PO apresentagrandes benefiacutecios na resoluccedilatildeo de problemas complexos de transportes alocaccedilatildeo de recursos Maximizaccedilatildeo eminimizaccedilatildeo Em 1947 George Dantzig desenvolveu o processo metodoloacutegico mais importante do periacuteodo poacutes-

guerra intitulado MEacuteTODO SIMPLEX proporcionando um roteiro para a resoluccedilatildeo de problemas deProgramaccedilatildeo Linear 1

Para Marins (2011 p 14) o raacutepido crescimento da PO no poacutes-guerra deve-se ao desenvolvimento de teacutecnicasespeciacuteficas tais como o Meacutetodo SIMPLEX para a Programaccedilatildeo Linear e ao grande progresso alcanccedilado nodesenvolvimento dos computadores eletrocircnicos A expansatildeo da PO no mundo acadecircmico se deu inicialmente nosdepartamentos de Engenharia Industrial e de Engenharia de Produccedilatildeo e nas escolas de Administraccedilatildeo dasUniversidades norte-americanas

No Brasil a PO iniciou na deacutecada de 1960 O primeiro Simpoacutesio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO) foirealizado em 1968 no ITA e incluiacutea alguns pesquisadores do paiacutes Em seguida foi criada a Sociedade Brasileira dePesquisa Operacional (SOBRAPO) em 1969

A Pesquisa Operacional eacute uma ciecircncia aplicada voltada para a resoluccedilatildeo de problemas reais Tendo como foco a

aplica conceitos e meacutetodos de vaacuterias aacutereas cientiacuteficas na concepccedilatildeo planejamento outomada de decisotildees

operaccedilatildeo de sistemas A Pesquisa Operacional eacute usada para avaliar linhas de accedilatildeo alternativas e encontrar assoluccedilotildees que melhor servem aos objetivos dos indiviacuteduos ou organizaccedilotildees2 Para Silva (1998 p12) a PesquisaOperacional eacute um meacutetodo cientiacutefico de tomada de decisotildees que em linha gerais consiste na descriccedilatildeo de umsistema organizado com o auxiacutelio de um modelo e atraveacutes da experimentaccedilatildeo com o modelo na descoberta damelhor maneira de operar o sistema

A NATUREZA DA PESQUISA OPERACIONAL

Um estudo de Pesquisa Operacional consiste em construir um modelo a partir de um sistema real existente como objetivo de compreender o comportamento dessa situaccedilatildeo com o objetivo conforme resentar o resultado que sedeseja A complexidade de um sistema real resulta do fato de que seu comportamento eacute influenciado por umnuacutemero muito grande de elementos variaacuteveis sendo estas variaacuteveis influenciadas pelas restriccedilotildees que satildeo aparte comum em todos os problemas de PO

1 Eacute uma ferramenta matemaacutetica que permite encontrar a soluccedilatildeo oacutetima para certos tipos de problemas O termo linear se refere a

linearidade das equaccedilotildees do problema Tambeacutem pode ser considerada como uma seacuterie de operaccedilotildees matemaacuteticas que satildeoutilizadas para alocar recursos escassos em operaccedilotildees simultacircneas na busca de soluccedilatildeo oacutetima para um uacutenico objetivo2 Disponiacutevel em lt httpwwwsobrapoorgbro_que_e_pophp gt Acesso em 05122012





Problemas de PO satildeo normalmente apresentados na forma de uma funccedilatildeo objetivo (por exemplo Maximizar olucro da empresa minimizar o custo de produccedilatildeo determinar quantidades miacutenimas e maacuteximas em misturasdeterminar rotas de transportes etc) e diversas restriccedilotildees (associadas por exemplo agrave disponibilidade demateacuterias-primas matildeo de obra etc) e possuem as seguintes caracteriacutesticas

O problema possui um conjunto de variaacuteveis manipulaacuteveis no procedimento de busca pelo oacutetimo essassatildeo as variaacuteveis de decisatildeo do problema Uma funccedilatildeo objetivo compotildee o criteacuterio de otimalidade sendo escrita em termos das variaacuteveis de decisatildeo

do problema A funccedilatildeo objetivo eacute uma funccedilatildeo linear das variaacuteveis de decisatildeo devendo ser Maximizada ouminimizada

Os valores assumidos pelas variaacuteveis de decisatildeo devem satisfazer um conjunto de restriccedilotildees quecompotildeem a regiatildeo de soluccedilotildees viaacuteveis do problema

As variaacuteveis de decisatildeo podem assumir valores preacute-estabelcidos no domiacutenio dos nuacutemeros reais (isto eacutevalores positivos negativos ou ambos)

FASES DE ESTUDO DA PO

Cinco fases num projeto de PO

Formulaccedilatildeo do problema (identificaccedilatildeo do sistema) Construccedilatildeo do modelo matemaacutetico Obtenccedilatildeo da soluccedilatildeo Teste do modelo e avaliaccedilatildeo da soluccedilatildeo obtida Estabelecimento de controles da soluccedilatildeo Implantaccedilatildeo

1- Formulaccedilatildeo do Problema Para se formular corretamente um problema eacute necessaacuterio que o mesmo seja bemidentificado e seu sistema seja explanado desta forma satildeo necessaacuterias algumas informaccedilotildees baacutesicas como qualeacute o objetivo do problema quais os caminhos que definem suas restriccedilotildees quais as limitaccedilotildees teacutecnicas do sistemae qual a medidas de eficiecircncia para o sistema para ordenar as soluccedilotildees encontradas concluindo o processo dedecisatildeo

2- Construccedilatildeo do Modelo Matemaacutetico Um modelo matemaacutetico de um problema real eacute uma representaccedilatildeoatraveacutes de expressotildees matemaacuteticas que descrevem a essecircncia do problema Se existirem n decisotildeesquantificaacuteveis elas seratildeo representadas por n variaacuteveis de decisatildeo ou de controle As relaccedilotildees e limitaccedilotildees a queestatildeo sujeitas as variaacuteveis de decisatildeo satildeo expressas por meio de equaccedilotildees e inequaccedilotildees denominadas

restriccedilotildees O objetivo que se pretende atingir eacute formulado como uma funccedilatildeo (ou mais de uma) colocada emSe o modelo elaborado tem a forma de um modelotermos das variaacuteveis de decisatildeo denominada funccedilatildeo objetivo

conhecido a soluccedilatildeo pode ser obtida atraveacutes de meacutetodos matemaacuteticos convencionais Por outro lado se asrelaccedilotildees matemaacuteticas satildeo muito complexas talvez se faccedila necessaacuteria a utilizaccedilatildeo de combinaccedilotildees demetodologias

3- Obter a soluccedilatildeo Uma vez construiacutedo o modelo matemaacutetico parte-se para a obtenccedilatildeo de uma soluccedilatildeoDiversos satildeo os meacutetodos matemaacuteticos utilizados em PO associados agraves vaacuterias aacutereas que compotildee a PO comoProgramaccedilatildeo Linear Teoria das Filas A aacuterea de TI vem desenvolvendo diversos softwares que disponibilizammeacutetodos importantes da Pesquisa Operacional tornando viaacutevel e eficiente a soluccedilatildeo de problemas complexosPodemos citar o SOLVER do Excel que atua com planilhas eletrocircnicas o LINDO ndash Linear Discrete Optimizer (wwwlindocom) Ao contraacuterio das outras fases que natildeo possuem regras fixas a soluccedilatildeo do modelo eacute baseadageralmente em teacutecnicas matemaacuteticas existentes No caso de um modelo matemaacutetico a soluccedilatildeo eacute obtida pelo





algoritmo mais adequado em termos de rapidez de processamento e precisatildeo da resposta Isto exige umconhecimento profundo das principais teacutecnicas existentes A soluccedilatildeo obtida neste caso eacute dita oacutetima

4- Teste do Modelo e Avaliaccedilatildeo da Soluccedilatildeo Dada a complexidade dos problemas existe a possibilidade deerros na elaboraccedilatildeo do modelo Essa distorccedilatildeo levaraacute a soluccedilotildees que natildeo se ajustaratildeo agrave realidade Dessa forma o

modelo precisa ser testado Em alguns casos o modelo pode ser testado atraveacutes da reconstruccedilatildeo do passado (usode dado histoacutericos) verificando-se a adequaccedilatildeo do modelo agraves informaccedilotildees disponiacuteveis Em cada situaccedilatildeoespecifica pode ser definida uma sistemaacutetica para testar o modelo e sua soluccedilatildeo Um modelo eacute vaacutelido se levando-se em conta sua inexatidatildeo em representar o sistema ele for capaz de fornecer uma previsatildeo aceitaacutevel docomportamento do sistema

5- Estabelecimento de controles da soluccedilatildeo A construccedilatildeo e experimentaccedilatildeo com o modelo identificamparacircmetros fundamentais para a soluccedilatildeo do problema Qualquer mudanccedila nesses paracircmetros deve ser controladapara garantir a validade da soluccedilatildeo Caso ocorra qualquer modificaccedilatildeo nestes paracircmetros (aleacutem do permitido) umanova soluccedilatildeo ou ateacute mesmo um novo modelo deveraacute ser considerado

6- Implementaccedilatildeo A uacuteltima fase de um estudo de PO eacute implementar a soluccedilatildeo final uma vez que esta sejaaprovada Eacute uma fase criacutetica pois eacute neste momento que os caacutelculos seratildeo efetivados e portanto aptos a gerarresultados sobre os objetivos desejados inicialmente

TEacuteCNICAS MATEMAacuteTICAS EM PESQUISA OPERACIONAL

A formulaccedilatildeo do modelo depende diretamente do sistema a ser representado A funccedilatildeo objetivo e as funccedilotildees derestriccedilotildees podem ser lineares ou natildeo- lineares As variaacuteveis de decisatildeo podem ser contiacutenuas ou discretas (porexemplo inteiras) e os paracircmetros podem ser determiniacutesticos ou probabiliacutesticos

O resultado dessa diversidade de representaccedilotildees de sistemas eacute o desenvolvimento de diversas teacutecnicas deotimizaccedilatildeo de modo a resolver cada tipo de modelo existente Estas teacutecnicas incluem principalmente

eacute utilizada para analisar modelos onde agraves restriccedilotildees e a funccedilatildeo objetivo satildeo linearesprogramaccedilatildeo linear

se aplica a modelos que possuem variaacuteveis inteiras (ou discretas) eacuteprogramaccedilatildeo inteira programaccedilatildeo dinacircmica

utilizada em modelos onde o problema completo pode ser decomposto em subproblemas menores programaccedilatildeo

eacute aplicada a uma classe especial de modelos onde os paracircmetros satildeo descritos por funccedilotildees deestocaacutestica

probabilidade eacute utilizada em modelos contendo funccedilotildees natildeo- linearese programaccedilatildeo natildeo- linear

Uma caracteriacutestica presente em quase todas as teacutecnicas de programaccedilatildeo matemaacutetica eacute que a soluccedilatildeo oacutetima doproblema natildeo pode ser obtida em um uacutenico passo devendo ser obtida iterativamente Eacute escolhida uma soluccedilatildeoinicial (que geralmente natildeo eacute a soluccedilatildeo oacutetima) Um 3 eacute especificado para determinar a partir desta umaalgoritmo

nova soluccedilatildeo que geralmente eacute superior agrave anterior Este passo eacute repetido ateacute que a soluccedilatildeo oacutetima seja alcanccedilada(supondo que ela existe)

3 Algoritmo eacute uma sequencia loacutegica e finita de instruccedilotildees definidas e natildeo ambiacuteguas que devem ser seguidas para a realizaccedilatildeo deuma tarefa na busca de uma soluccedilatildeo Sequecircncia finita de regras raciociacutenios ou operaccedilotildees que aplicada a um nuacutemero finito dedados permite solucionar classes semelhantes de problemas





PROGRAMACcedilAtildeO LINEAR

INTRODUCcedilAtildeO - Definiccedilotildees e Conceitos

A Programaccedilatildeo Linear tem como objetivo encontrar a soluccedilatildeo oacutetima para problemas que tenham seus modelos

representados por expressotildees lineares A sua simplicidade eacute apresentada devido a linearidade do modelo Aaplicabilidade da Programaccedilatildeo Linear consiste na Maximizaccedilatildeo ou Minimizaccedilatildeo de uma funccedilatildeo linear denominadaFunccedilatildeo Objetivo respeitando-se um sistema linear de igualdades ou desigualdades que recebem o nome deRestriccedilotildees do Modelo

Normalmente neste tipo de decisatildeo os recursos disponiacuteveis natildeo satildeo suficientes para que todas as atividadessejam executadas no niacutevel mais elevado que se pretende desta forma a soluccedilatildeo neste caso eacute encontrar a melhor

distribuiccedilatildeo dos recursos entre as diversas tarefas ou atividades de forma que seja possiacutevel atingir um valor oacutetimo

do objetivo estabelecido Uma caracteriacutestica deste problema eacute que ele pode ser representado por um modelo deotimizaccedilatildeo onde as relaccedilotildees matemaacuteticas satildeo lineares

Funccedilatildeo Objetivo Eacute uma funccedilatildeo linear que se pretende otimizar ou seja seraacute a funccedilatildeo a ser Maximizada ouminimizada

Restriccedilotildees Satildeo as atividades e ou quantidades que devem ser respeitadas de acordo com os recursosdisponiacuteveis ou a serem utilizados Satildeo normalmente escritos sob a forma de inequaccedilotildees4 ou equaccedilotildees lineares

Restriccedilotildees de natildeo negatividade - quando as variaacuteveis que entram na formulaccedilatildeo natildeo podem assumirvalores negativos

Restriccedilotildees do Problema - lista ou rol de restriccedilotildees que implique na possiacutevel soluccedilatildeo do problema Asrestriccedilotildees do problema originam a chamada regiatildeo da admissiacutevel de soluccedilatildeo

Soluccedilatildeo Soluccedilatildeo qualquer especificaccedilatildeo de valores (dentro do domiacutenio da funccedilatildeo-objetivo f ) para as variaacuteveis dedecisatildeo independente de se tratar de uma escolha desejaacutevel ou permissiacutevel

Soluccedilatildeo viaacutevel Soluccedilatildeo viaacutevel eacute uma soluccedilatildeo em que todas as restriccedilotildees satildeo satisfeitas

Soluccedilatildeo Impossiacutevel Eacute aquela que natildeo haacute qualquer valor que satisfaccedila ao conjunto de restriccedilotildees

Soluccedilatildeo ilimitada Eacute aquela que a funccedilatildeo objetivo aceita valores indefinidamente e estes atendem a todas asrestriccedilotildees do problema

Soluccedilatildeo oacutetima Eacute a soluccedilatildeo possiacutevel que faz com que os objetivos do problema seja mais favoraacutevel ou seja queotimiza a funccedilatildeo objetivo

Variaacuteveis de decisatildeo Satildeo as variaacuteveis ou seja as incoacutegnitas a serem determinadas pela soluccedilatildeo do modeloSatildeo as variaacuteveis reais x1 x2 x3 x4 Xn

Variaacuteveis de folga Eacute uma variaacutevel auxiliar natildeo negativa e de coeficiente unitaacuterio que se introduz no modelo parareduzir uma restriccedilatildeo na forma de igualdade as demais restriccedilotildees

4 Inequaccedilatildeo eacute toda a desigualdade literal que eacute apenas satisfeita por certos valores as letras ou incoacutegnitas que nela figuram poroutras palavras apresentam os sinais de maior (gt) ou menor (lt) ao inveacutes do sinal de igualdade que eacute o caracteriza as equaccedilotildeesDisponiacutevel em lt httpaprendermmatematicablogspotcombrpinequacoeshtml gt Acesso em 10122012





CARACTERIacuteSTICA DA PROGRAMACcedilAtildeO LINEAR

Para representar um problema de otimizaccedilatildeo como um programa linear diversas caracteriacutesticas necessitam serpreviamente discutidas e analisadas junto agrave formulaccedilatildeo do problema de programaccedilatildeo linear SegundoLechtermacher (2007 p 20) todo problema de Programaccedilatildeo Linear parte de algumas hipoacuteteses que satildeo

assumidas quando tentamos resolvecirc-los

Proporcionalidade O valor da funccedilatildeo-objetivo eacute diretamente proporcional ao niacutevel de atividade de cada variaacutevelde decisatildeo

Aditividade Considera as atividades (variaacuteveis de decisatildeo) do modelo como entidades totalmente independentesnatildeo permitindo que haja interdependecircncia entre as mesmas isto eacute natildeo permitindo a existecircncia de termoscruzados tanto na funccedilatildeo-objetivo como nas restriccedilotildees

Divisibilidade Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em qualquer niacutevel istofracional

eacute qualquer variaacutevel de decisatildeo pode assumir qualquer valor fracionaacuterio

Certeza Assume que todos os paracircmetros do modelo satildeo constantes conhecidas Em problemas reais a certezaquase nunca eacute satisfeita provocando a necessidade de anaacutelise de sensibilidade dos resultados

FORMULACcedilAtildeO DE PROBLEMAS DE PROGRAMACcedilAtildeO LINEAR

Natildeo eXiste uma forma uacutenica para formular ou desenvolver um problema de PL poreacutem eacute possiacutevel estar atento aosseguintes aspectos

Identificaccedilatildeo das variaacuteveis de decisatildeo

Identificaccedilatildeo da funccedilatildeo objetivo Identificaccedilatildeo das Restriccedilotildees Formulaccedilatildeo matemaacutetica

De posse das informaccedilotildees acima se torna viaacutevel a soluccedilatildeo do problema O meacutetodo de PL permite a soluccedilatildeograacutefica e a soluccedilatildeo algeacutebrica que permite mais facilmente tomar decisotildees mais acertadas no domiacutenio da gestatildeo deaplicaccedilotildees como Planejamento agregado anaacutelise de produtividade de serviccedilos planejamento de produtosotimizaccedilatildeo do fluxo de produccedilatildeo e de processos produtivos e satildeo tambeacutem aplicadas em outros setores comomedicina agricultura campo militar setor de transportes poliacutetica florestal etc

ROTEIRO PARA MODELAGEM

Os problemas de Programaccedilatildeo Linear estatildeo entre as aplicaccedilotildees mais bem-sucedidas comercialmente daPesquisa Operacional proporcionando consideraacutevel impacto econocircmico Quando se estrutura problema sob aforma de um modelo matemaacutetico tem-se como objetivo auxiliar o processo de decisatildeo Normalmente o problemaresume-se na Maximizaccedilatildeo (ou minimizaccedilatildeo) de uma funccedilatildeo linear a funccedilatildeo objetiva sujeita a restriccedilotildees tambeacutemlineares Natildeo existe uma forma baacutesica para modelar problemas de PL mas podemos estabelecer alguns passoscapazes de simplificar a modelagem sendo

Passo I Quais as variaacuteveis de decisatildeo

Identifique as variaacuteveis desconhecidas a serem determinadas (elas satildeo denominadas variaacuteveis de decisatildeo) erepresente-as atraveacutes de siacutembolos algeacutebricos (por exemplo x e y ou x1 e x2)





Passo II Qual eacute o objetivoIdentifique o objetivo ou criteacuterio de otimizaccedilatildeo do problema representando-o como uma funccedilatildeo linear das variaacuteveisde decisatildeo O objetivo pode ser Maximizar lucros ou minimizar custos e perdas A funccedilatildeo objetivo eacute a expressatildeoque calcula o valor do objetivo (lucro custo receita perda etc) em funccedilatildeo das variaacuteveis de decisatildeo

Passo III Quais as restriccedilotildeesListe todas as restriccedilotildees do problema e expresse-as como equaccedilotildees (=) ou inequaccedilotildees (le ge) lineares em termosdas variaacuteveis de decisatildeo definidas no passo anterior Cada restriccedilatildeo imposta na descriccedilatildeo do sistema deve serexpressa como uma relaccedilatildeo linear (igualdade ou desigualdade) montadas com as variaacuteveis de decisatildeo

Um modelo de Programaccedilatildeo Linear eacute um modelo matemaacutetico de otimizaccedilatildeo no qual todas as funccedilotildees satildeo linearesEstes modelos satildeo compostos por uma funccedilatildeo objetivo linear e por restriccedilotildees teacutecnicas representadas por umgrupo de inequaccedilotildees tambeacutem lineares

Exemplo 1Uma empresa fabrica dois produtos P1 e P2 O lucro unitaacuterio de P1 eacute de 1000 unidades monetaacuterias e o lucro deP2 eacute de 1800 unidades monetaacuterias A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30horas para fabricar uma unidade de P2 O tempo anual de produccedilatildeo disponiacutevel para isso eacute de 1200 horas Ademanda esperada para cada produto eacute de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2 Qual eacute oplano de produccedilatildeo para que a empresa Maximize seu lucro nesses itens Construa o modelo de programaccedilatildeolinear para esse caso (SILVA 2010 p 6)

Soluccedilatildeo

a) Quais as variaacuteveis de decisatildeoO que deve ser decidido eacute o plano de produccedilatildeo isto eacute quais as quantidades anuais que devem ser produzidas deP1 e P2 Portanto as variaacuteveis de decisatildeo seratildeo x1 e x2 onde

x1 rarr quantidade anual a produzir de P1x2 rarr quantidade anual a produzir de P2

b) Qual o objetivo

O objetivo eacute Maximizar o lucro que pode ser calculado porLucro devido a P1 1000x1 (lucro de P1 multiplicado pela quantidade produzida de P1)

Lucro devido a P2 1800x2 (lucro de P2 multiplicado pela quantidade produzida de P2)

Os lucros acima satildeo obtidos multiplicando-se o lucro unitaacuterio pela quantidade produzida (x i) Assim o lucro totalseraacute dado por

Lucro total L = 1000x1 + 1800x2

L = 1000x1 + 1800x2 Portanto o objetivo seraacute Maximizar

c) Quais as restriccedilotildees

As restriccedilotildees impostas pelo sistema satildeo Disponibilidade de horas para a produccedilatildeo 1200 horas

horas ocupadas com P1 20x1 (uso por unidade multiplicado pela quantidade produzida de P1)




1 0P E S Q U I S A O P E R A C I O N A L


As horas acima satildeo obtidas multiplicando-se o nuacutemero de horas utilizadas na produccedilatildeo de uma unidade doproduto (Pi) pela quantidade produzida xi

Assim o total de horas utilizadas na produccedilatildeo seraacute dado por 20x1 + 30x2

Como a disponibilidade eacute de 1200 horas temos a primeira restriccedilatildeo 20x1 + 30x2 le 1200

Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda)Disponibilidade de P1 40 unidades e a quantidade a produzir de P1 x1 Logo temos a seguinte restriccedilatildeo x1 le 40

Disponibilidade de P2 30 unidades e a quantidade a produzir de P2 x2 Logo temos a seguinte restriccedilatildeo x2 le 30

Resumindo o modelo de Programaccedilatildeo Linear para o problema proposto seraacute

Max L = 1000x1 + 1800x2

Sujeito a20x1 + 30x2 le 1200

Restriccedilotildees teacutecnicas x1 le 40 x2 le 30

x1 ge 0Restriccedilotildees de natildeo negatividade x2 ge 0

Exemplo 2Para uma boa alimentaccedilatildeo o corpo necessita de vitaminas e proteiacutenas A necessidade miacutenima de vitaminas eacute de32 unidades por dia e a de proteiacutenas de 36 unidades por dia Uma pessoa tem disponiacutevel carne e ovos para sealimentar Cada unidade de carne conteacutem 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteiacutenas Cada unidade deovo conteacutem 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteiacutenasQual a quantidade diaacuteria de carne e ovos que deveser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteiacutenas com o menor custo possiacutevel Cada unidadede carne custa 3 unidades monetaacuterias e cada unidade de ovo custa 25 unidades monetaacuterias

Soluccedilatildeo

a) Quais as variaacuteveis de decisatildeoDevemos decidir quais as quantidades de carne e ovos a pessoa deve consumir no dia As variaacuteveis de decisatildeoseratildeo portanto

x1 rarr quantidade de carne a consumir no diax2 rarr quantidade de ovos a consumir no dia

b) Qual o objetivo

O objetivo eacute minimizar o custo que pode ser calculado porCusto devido agrave carne 3x1 (custo por unidade multiplicado pela quantidade a consumir de carne)

Custo devido aos ovos 25x2 (custo por unidade multiplicado pela quantidade a consumir de ovos) Os custos acima satildeo obtidos multiplicando-se o custo unitaacuterio de cada produto pela quantidade do produto a serconsumida (xi) Assim o custo total seraacute dado por





Custo total C = 3x1 + 25x2

C = 3x1 + 25x2 Portanto o objetivo seraacute minimizar


As restriccedilotildees impostas pelo sistema satildeo Necessidade miacutenima de vitamina 32 unidades

Vitamina de carne 4x1 (quantidade por unidade multiplicado pela unidade de carnes a consumir)

Vitamina de ovos 8x2 (quantidade por unidade multiplicado pela unidade de ovos a consumir)

As quantidades de vitamina satildeo obtidas multiplicando-se quantidade de vitamina fornecida por cada alimento pelaquantidade a ser consumida (xi) Assim o total de vitaminas consumido seraacute dado por 4x1 + 8x2

Como a necessidade miacutenima eacute de 32 unidades temos a primeira restriccedilatildeo 4x1 + 8x2 ge 32

Necessidade miacutenima de proteiacutena 36 unidadesproteiacutena de carne 6x1 (quantidade por unidade multiplicado pela unidade de carnes a consumir) proteiacutena de ovos 6x2 (quantidade por unidade multiplicado pela unidade de ovos a consumir)

As quantidades de proteiacutena satildeo obtidas multiplicando-se quantidade de proteiacutena fornecida por cada alimento pelaquantidade a ser consumida (xi) Assim o total de proteiacutenas consumido seraacute dado por 6x1 + 6x2

Como a necessidade miacutenima eacute de 36 unidades temos a segunda restriccedilatildeo 6x1 + 6x2 ge 36

Resumindo o modelo de Programaccedilatildeo Linear para o problema proposto eacute

Min C = 3x1 + 25x2

Sujeito a4x1 + 8x2 ge 32

Restriccedilotildees teacutecnicas 6x1 + 6X2 ge 36






Exerciacutecios Propostos

1) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora se fizer somente sapatos e 5 cintos por hora se fizer somente cintos Elegasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade decinto Sabendo-se que o total disponiacutevel de couro eacute de 6 unidades e que o lucro unitaacuterio por sapato eacute de 5

unidades monetaacuterias e o cinto eacute de 2 unidades monetaacuterias pede-se o modelo do sistema de produccedilatildeo dosapateiro se o objetivo eacute Maximizar seu lucro por hora

2) Um empresa fabrica 2 produtos P1 e P2 O lucro por unidade de P1 eacute de 100 um e o lucro unitaacuterio de P2 eacute 150um A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2O tempo mensal disponiacutevel para essa atividade eacute de 120 horas As demandas esperadas para os 2 produtoslevaram a empresa a determinar que os montantes produzidos de P1 e P2 natildeo devem ultrapassar 40 unidades deP1 e 30 unidades de P2 por mecircs Construa o modelo do sistema de produccedilatildeo mensal com o objetivo de Maximizaro lucro da empresa

3) Uma empresa produz 2 produtos em uma de suas faacutebricas Na fabricaccedilatildeo dos 2 produtos 3 insumos satildeocriacuteticos em termos de restringir o nuacutemero de unidades dos 2 produtos que podem ser produzidas as quantidadesde mateacuteria prima (tipos A e B) disponiacuteveis e a matildeo de obra disponiacutevel para a produccedilatildeo dos 2 produtos Assim oDepartamento de Produccedilatildeo jaacute sabe que para o proacuteximo mecircs a faacutebrica teraacute disponiacutevel para a fabricaccedilatildeo dos 2produtos 4900 quilogramas da mateacuteria prima A e 4500 quilogramas da mateacuteria prima B Cada unidade doproduto tipo I para ser produzida consome 70 quilogramas da mateacuteria prima A e 90 quilogramas da mateacuteria primaB Por sua vez cada unidade do produto tipo II para ser produzida utiliza 70 quilogramas da mateacuteria prima tipo A e50 quilogramas da mateacuteria prima tipo B Como a produccedilatildeo dos 2 produtos utiliza processos diferentes a matildeo deobra eacute especializada e diferente para cada tipo de produto ou seja natildeo se pode utilizar a matildeo de obra disponiacutevelpara a fabricaccedilatildeo de um dos produtos para produzir o outro Assim para a produccedilatildeo do produto tipo I a empresateraacute disponiacutevel no proacuteximo mecircs 80 homens-hora Jaacute para o produto tipo II teraacute 180 homens-hora Cada unidadedo produto tipo I para ser produzida utiliza 2 homens-hora enquanto que cada unidade do produto tipo II utiliza 3homens-hora Reduzindo do preccedilo unitaacuterio de venda todos os custos chega-se a conclusatildeo de que cada unidadedo produto tipo I daacute um lucro de $20 e cada unidade do produto tipo II daacute um lucro de $60 Dada a grande procuraestima-se que todas as unidades a serem produzidas dos 2 produtos poderatildeo ser vendidas O objetivo daempresa eacute obter o maior lucro possiacutevel com a produccedilatildeo e a venda das unidades dos produtos tipo I e II

4) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regiatildeo de vendas Ele necessitatransportar 200 caixas de laranjas a R$ 20 de lucro por caixa pelo menos 100 caixas de pecircssego a R$ 10 de lucro

por caixa e no maacuteximo 200 caixas de tangerinas a R$ 30 de lucro por caixa De que forma deveraacute ele carregar ocaminhatildeo para obter o lucro maacuteximo Construa o modelo do problema

5) Uma rede de televisatildeo local tem o seguinte problema foi descoberto que o programa ldquoArdquo com 20 minutos demuacutesica e 1 minuto de propaganda chama a atenccedilatildeo de 30000 telespectadores enquanto o programa ldquoBrdquo com 10minutos de muacutesica e 1 minuto de propaganda chama a atenccedilatildeo de 10000 telespectadores No decorrer de umasemana o patrocinador insiste no uso de no miacutenimo 5 minutos para sua propaganda e que na haacute verba para maisde 80 minutos de muacutesica Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o nuacutemeromaacuteximo de telespectadores Construa o modelo do sistema

6) Uma empresa fabrica 2 modelos de cinto de couro O modelo M1 de melhor qualidade requer o dobro dotempo de fabricaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao modelo M2 Se todos os cintos fossem do modelo M2 a empresa poderia





produzir 1000 unidades por dia A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos pordia Os cintos empregam fivelas diferentes cuja disponibilidade diaacuteria eacute de 400 para o modelo M1 e e 700 para omodelo M2 Os lucros unitaacuterios satildeo de R$ 4 para M1 e R$ 3 para M2 Qual o programa oacutetimo de produccedilatildeo queMaximiza o lucro total diaacuterio da empresa Construa o modelo do sistema descrito

7) Um fazendeiro estaacute estudando a divisatildeo de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas

A (Arrendamento) Destinar certa quantidade de alqueires para a plantaccedilatildeo de cana-de-accediluacutecar a umausina local que se encarrega da atividade e paga aluguel da terra $ 30000 por alqueire por ano

P (Pecuaacuteria) Usar outra parte para a criaccedilatildeo de gado de corte A recuperaccedilatildeo das pastagens requeradubaccedilatildeo (100 kgAlqueire) e irrigaccedilatildeo (100000 litros de aacuteguaAlqueire) por ano O lucro estimado nessaatividade eacute de $ 40000 por alqueire no ano

S (Plantio de Soja) Usar uma terccedila parte para o plantio de soja Essa cultura requer 200 kg por alqueirede adubos e 200000 litros de aacuteguaalqueire para irrigaccedilatildeo por ano O lucro estimado nessa atividade eacute de$ 50000 por alqueire no ano

Disponibilidade de recursos por ano 12750000 litros de aacutegua 14000 kg de adubo 100 alqueires de terra

Quantos alqueires deveraacute destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno Construa o modelo dedecisatildeo

8) Um faacutebrica de fundiccedilatildeo deseja Maximizar sua receita na venda de suas ligas A tabela abaixo ilustra acomposiccedilatildeo dos materiais produzidos seus preccedilos e as disponibilidades de mateacuteria prima

Liga Tipo A Liga Tipo B MP disponiacutevel

Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15

Preccedilo Venda Unitaacuterio $ 3000 $ 5000

Construa o modelo para soluccedilatildeo de forma que a empresa maximize sua receita

9) Uma rede de depoacutesitos de material de construccedilatildeo tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m3 (loja 1) 80

m3

(loja 2) 40 m3

(loja 3) e 100 m3

(loja 4) de areia grossa Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1 P2 eP3 cujas distacircncias estatildeo no quadro (em km)

L1 L2 L3 L4

P1 30 20 24 18

P2 12 36 30 24

P3 8 15 25 20

Abastecer 50m3 80m3 40m3 100m3

O caminhatildeo pode transportar 10 m3 por viagem Os portos tecircm areia para suprir qualquer demanda Estabelecerum plano de transporte que minimize a distacircncia total percorrida entre os pontos e as lojas e supra as

necessidades das lojas Construa o modelo linear do problema





10) Uma marcenaria precisa estabelecer um programa de produccedilatildeo diaacuteria para seus 2 produtos mesa e armaacuterioambos de 1 soacute modelo A empresa deve se preocupar com dois insumos principais - madeira e matildeo de obra - cujadisponibilidade segue no quadro abaixo Para fazer uma mesa a marcenaria gasta 2m2 de madeira e 2hhomemde trabalho e para fazer o armaacuterio ela gasta 3m2 de madeira e 1hhomem para realizar o trabalho A empresasabe que a mesa proporciona um lucro de $ 40 e o armaacuterio proporciona um lucro de $ 10 Encontre o programa de

produccedilatildeo que Maximize o lucro total de acordo com as disponibilidades

Mesa Armaacuterio Disponib

Madeira 2 3 12

MOD 2 1 8

Lucro $ 40 $ 10





SOLUCcedilAtildeO GRAacuteFICA

A teacutecnica da soluccedilatildeo graacutefica de equaccedilotildees lineares com duas variaacuteveis eacute uma reta A representaccedilatildeo graacutefica deuma inequaccedilatildeo linear com duas variaacuteveis eacute um dos semiplanos definidos pela reta correspondente agrave equaccedilatildeoQuando o problema se restringe a apenas duas variaacuteveis de decisatildeo a soluccedilatildeo oacutetima pode ser encontrada

graficamente Se o problema envolver mais de duas variaacuteveis natildeo eacute possiacutevel elaborar uma soluccedilatildeo graacutefica eassim devemos formular e resolver os problemas apenas algebricamente

Exemplo 1

Para definir uma uacutenica reta segundo o Axioma5 de Incidecircncia nordm 2 de Euclides6 temos que dados dois pontosdistintos existe uma uacutenica reta que contecircm ambos os pontos

Vamos representar graficamente a inequaccedilatildeo 2x1 + 3x2 ge 6Para x1 = 0 temos que 3x2 = 6rArr x2 = 63rArr x2 = 2Para x2 = 0 temos que 2x1 = 6rArr x1 = 62rArr x1 = 3

X2

2X1 + 3X2

Campo de permissividade(32)

2

(00) X1 3

Exemplo 2

Represente graficamente a soluccedilatildeo do seguinte sistema

x1 + 3x2 le122x1 + x2 ge 16

x1 ge 0x2 ge 0

SoluccedilatildeoVamos a representaccedilatildeo das retas correspondentes

1ordf) x1 + 3x2 =12rArr Se x1 = 0 logo X2 = 123 ou x2 = 4Se x2 = 0 logo x1 = 12

2ordf) 2x1 + x2 =16rArr Se x1 = 0 logo x2 = 16Se x2 = 0 logo x1 = 162 ou x1 = 8

5 Axioma eacute uma premissa cuja fundamentaccedilatildeo empiacuterica eacute dispensaacutevel ou seja premissa considerada necessariamente

evidente e verdadeira eacute o fundamento de uma demonstraccedilatildeo 6 Euclides foi um grande matemaacutetico que em 300 aC escreveu o livro Os Elementos que baseava todos os conhecimentos gregose com grande contribuiccedilatildeo para a Matemaacutetica e principalmente na geometria





X2

16 (8 16)

Campo de permissividade

4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2

ndash x1 + 3x2 le 9x1 ndash 2x2 le 1

2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5

1ordf) ndash x1 + 3x2 = 9rArr Se ndashx1 = 0 logo x2 = 93 ou x2 = 3Se x2 = 0 logo x1 = ndash 9

2ordf) x1 ndash 2x2 = 1rArr Se x1 = 0 logo x2 = ndash 12Se x2 = 0 logo x1 = 1

3ordf) 2x1 + x2 = 10rArr Se x1 = 0 logo x2 = 10Se x2 = 0 logo x1 = 102 = 5


1ordf

2ordf





Soluccedilatildeo Graacutefica

X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3

Soluccedilatildeo Oacutetima

Conforme alegado anteriormente se um problema apresenta apenas duas variaacuteveis de decisatildeo a soluccedilatildeo oacutetima deum problema de programaccedilatildeo linear pode ser encontrada graficamente A soluccedilatildeo oacutetima eacute encontra de formasimples atribuindo-se valores a Z tornando a funccedilatildeo objetivo uma equaccedilatildeo de uma reta Se considerarmos x 1 como variaacutevel independente e x 2 como variaacutevel dependente (pois eacute funccedilatildeo de x 1) a equaccedilatildeo da reta eacute dada por

X 2 = aX 1 + b onde a eacute o coeficiente angular da reta e b eacute o coeficiente linear

Exemplo 4

Imagine o seguinte problema de programaccedilatildeo linear (Lachtermacher p28)

Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a

x1 le 3x2 le 4x1 + 2x2 le 9x1 ge 0 e x2 ge 0

x1 + 2x2 le 9rArr Se x1 = 0 logo x2 = 92 ou x2 le 45Se x2 = 0 logo x1 le 9






X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2

Por um processo de podemos chegar ao valor oacutetimo de Z verificando a existecircncia e pontos da retatentativa e erro

que fazem parte do conjunto de soluccedilotildees viaacuteveis No caso de maximizaccedilatildeo ao encontrarmos o MAIOR valor de Z

possiacutevel estaremos encontrando o valor maacuteximo para a funccedilatildeo objetivo

Escolheremos um valor arbitraacuterio para Z por exemplo 10

Z = 10 rArr 10 = 5x1 + 2x2 Se x1 = 0 logo x2 = 5Se x2 = 0 logo x1 le 2


Z = 21 rArr 21 = 5x1 + 2x2 rArr(x1 = 3) e (x2 = 3) rArr (53) + (23) = 21

SoluccedilatildeoViaacutevel





TEOREMAS - PROGRAMACcedilAtildeO LINEAR

Ao longo da aprendizagem da pesquisa operacional conceitos matemaacuteticos como matrizes e vetores satildeolargamente utilizados Os conceitos aqui discutidos tecircm como objetivo apresentar uma revisatildeo dessesfundamentos matemaacuteticos de modo que o curso possa ser compreendido

A aacuterea marcada como sendo uma regiatildeo de permissividade indica que o conjunto de soluccedilotildees possiacuteveis estaacutecontido nesta situaccedilatildeo ou seja ali se encontram o conjunto de soluccedilotildees que satisfaz as restriccedilotildees Esta regiatildeopode ser convexa ou natildeo convexa

Conjunto Convexo Conjunto Natildeo-convexo

O conjunto convexo eacute um conjunto de pontos em que todos os segmentos de reta que unem dois de seus pontossatildeo internos ao conjunto ou seja todos os pontos de cada segmento de reta tambeacutem pertencem ao conjuntooriginal Se pelo menos uma uniatildeo de dois pontos natildeo pertencerem ao conjunto ele eacute considerado natildeo-convexo

Poliacutegono convexo limitado Poliacutegono convexo limitado

Obviamente que essa visualizaccedilatildeo eacute possiacutevel com duas variaacuteveis Se considerarmos a equaccedilatildeo

a1x1 + a2x2 + a3x3 + + anxn = b rarr Estamos nos referindo a semi-espaccedilos

Uma soluccedilatildeo como esta divide o espaccedilo Rn de dimensatildeo n em um Os semi-espaccedilos satildeo semprehiperplanoconvexos ou seja o segmento de reta que une os pontos de um semi-espaccedilo pertencem inteiramente ao mesmosemi-espaccedilo

zPoliedro Convexo

y

x





Teorema 1O conjunto de todas as soluccedilotildees viaacuteveis de um modelo de PL eacute um conjunto convexo

Teorema 2Toda soluccedilatildeo compatiacutevel baacutesica (soluccedilatildeo oacutebvia) do sistema de equaccedilotildees lineares de um modelo de PL eacute um

ponto extremo do conjunto de soluccedilotildees viaacuteveis isto eacute do conjunto convexo de soluccedilotildees

Teorema 3Se uma funccedilatildeo objetivo possui um uacutenico ponto oacutetimo finito entatildeo este eacute um ponto extremo do conjunto convexo desoluccedilotildees viaacuteveis

Teorema 4Se a funccedilatildeo objetivo assume o valor oacutetimo em mais de um ponto do conjunto de soluccedilotildees viaacuteveis (soluccedilotildeesmuacuteltiplas) entatildeo ela assume este valor para pelo menos dois pontos extremos isto eacute todos os pontos dosegmento de reta unem estes dois extremos ou seja a aresta do poliacutegono que contem estes extremos





Exerciacutecios Resolver graficamente o modelo de programaccedilatildeo linear

1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a

x1 le 42x2 le 123x1 + 2x2 le 18x1 ge 0x2 ge 0

2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10

2x1 + 5x2 le 60x1 + x2 le 183x1 + x2 le 44x1 ge 0x2 ge 0

3) (Max) Z = minus2x1 minus 2x2

Sujeito a3x1 minus 4x2 le 188x1 minus 3x2 le minus246x1 + 8x2 le 243x1 + 5x2 le 21x1 le 3x2 ge 0


Sujeito a4x1 + 2x2 ge minus8minus3x1 + 6x2 ge minus6minus6x1 + 6x2 le 18x2 ge minus2x1 le 25x1 + 3x2 ge 15x1 ge 0






Sujeito ax1 + x2 le 88x1 + 3x2 ge minus24

minus6x1 + 8x2 le 483x1 + 5x2 ge 15x1 le 4x2 ge 0


Sujeito a2x1 minus 2x2 le 107x1 + 3x2 ge minus21

minus2x1 + 3x2 ge minus63x1 + 9x2 le 27x1 ge minus1x2 ge minus4

7) (Min) Z = minus4x1 minus 2x2

Sujeitoax1 + x2 le 88x1 + 3x2 ge minus24minus6x1 + 8x2 le 483x1 + 5x2 le 15x1 le 3x2 ge 0

8) Max L = 2x1 + 3x2

Sujeito a ndashx1 + 2x2 le 4

x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2

Sujeito ax1 + 2x2 le 8x1 ndash x2 le 3x1 ge 1x2 ge 1





REVISAtildeO MATRIZES

Uma matriz pode ser definidas como uma tabela com linhas e colunas usadas principalmente na resoluccedilatildeo desistemas de equaccedilotildees lineares e transformaccedilotildees lineares As linhas satildeo indicadas pela letra ldquomrdquo e as colunas pelaletra ldquonrdquo o que permite que a matriz seja representada pela forma m x n Em aacutelgebra linear podemos chamar

matriz de um conjunto de vetores colocados lado a lado

Matriz m por n

aij = Colunas = j

a11 a12 a13 a1n Linhas = i a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

Ao trabalhar matrizes eacute importante ter conhecimento das linhas horizontais (linhas) e verticais (colunas) edominar a identificaccedilatildeo dos mesmos Observe que a matriz onde aparecem a11 a12 hellip eacute o que chamamos deMatriz Geneacuterica Ela indica o conjunto as linhas e colunas como aij onde a representa o conjunto i o nuacutemero dalinha e j o da coluna

Para encontrar os valores de uma matriz eacute preciso ter a Regra de Formaccedilatildeo e a Ordem De posse da ordem eacutepossiacutevel elaborar a matriz geneacuterica e atraveacutes da regra de formaccedilatildeo atribuir valores a cada um dos espaccedilosObserve os exemplos

Seja A2x2 onde aij = 2i + j

rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6

Seja b2x2 onde aij = i ndash j2

rArr B=B=

bij = i + j2 b11= (1) ndash 12= 0b12= (1) ndash 22= ndash3b21= (2) ndash 12= 1b22= (2) ndash 22= ndash2

a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES

Matriz Quadrada Eacute uma matriz onde o numero de linhas (m) eacute igual ao numero de colunas (n)

Matriz Identidade Eacute uma matriz quadrada na qual (A) todos os elementos na diagonal principal eacute igual a 1 (B)

todos os elementos fora da diagonal principal eacute igual a 0 Exemplo

1 0 0A= 0 1 0

0 0 1

Matriz Transposta AT ou A eacute considerada transposta se o elemento aij de A for o elemento a ji da Transposta ATpara todo o elemento i e j Exemplo

1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0

Matriz Nula Uma matriz eacute considerada nula quando TODOS os elementos aij = 0

Matrizes Iguais Duas matrizes aij e bij seratildeo iguais exclusivamente se (1) A e B forem matrizes da mesma ordem(m x n) e (2) se todos os elementos de A forem obrigatoriamente iguais aos correspondentes de B Exemplo

2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1

DETERMINANTE DE UMA MATRIZES

O determinante de uma matriz eacute dado pelo valor numeacuterico resultante da subtraccedilatildeo do produto dos termos dadiagonal principal ao somatoacuterio do produto dos termos da diagonal secundaacuteria Para uma matriz de ordem 3podemos utilizar a regra de Sarrus7

15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24

Det (A)= - 10 - (- 4) = D= - 6 Det (B)= 24 ndash (15) + (- 4) =24 ndash 15 + 4 = 13

7 Pierre Freacutedeacuteric Sarrus (1789-1861) foi responsaacutevel pela regra praacutetica de resoluccedilatildeo de determinantes de ordem 3 Essa regra diz

que para encontrar o valor numeacuterico de um determinante de ordem 3 basta repetir as duas primeiras colunas agrave direita dodeterminante e multiplicar os elementos do determinante Disponiacutevel em lt httpwwwmatufmgbr~elaineGAALmatrizpdf gtAcesso em 02022013





SISTEMAS LINEARES

Eacute um conjunto de m equaccedilotildees lineares de n incoacutegnitas (x1 x2 x3 xn) do tipo

a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3

OBS 1 Dois sistemas lineares satildeo EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluccedilotildeesExemplo Os sistemas lineares satildeo equivalentes pois ambos admitem o par ordenado (3 2) como soluccedilatildeo

2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20

OBS 2 Se um sistema de equaccedilotildees possuir pelo dizemos que ele eacute possiacutevel oumenos uma soluccedilatildeo

compatiacutevel

OBS 3 Se um sistema de equaccedilotildees dizemos que ele eacute impossiacutevel ou incompatiacutevelnatildeo possuir soluccedilatildeo

OBS 4 Se o sistema de equaccedilotildees eacute compatiacutevel e possui dizemos que ele eacuteapenas uma soluccedilatildeo

determinado

OBS 5 Se o sistema de equaccedilotildees eacute compatiacutevel e possui dizemos que ele eacutemais de uma soluccedilatildeo

indeterminado

OBS 6 Se os termos independentes de todas as equaccedilotildees de um sistema linear forem todos nulos ou sejab1 = b2 = b3 = = bn = 0 dizemos que temos um sistema linear HOMOGEcircNEO

Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0

Quando os sistemas se apresentam de forma de uma matriz quadrada podemos utilizar a regra de Gabrielpara sua soluccedilatildeo Veja que temos o sinal de igualdade no final de cada linha o que eacute diferente da POCramer

Ao utilizar a regra de Cramer temos que estar atentos pois ela soacute eacute valida para sistemas em que o numero deincoacutegnitas eacute igual ao numero de equaccedilotildees Natildeo eacute um meacutetodo indicado para isso pois imagine se tivermos umsistema de (20 x 20) seria um teacutedio a soluccedilatildeo

Exemplo Solucione o Sistema abaixo

2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24

Det (A)= (-12) +(-2) + (-24) ndash (8) + (4) + (-18)rArr -12 - 2 - 24 - 8 - 4 + 18 = Det (A)= ndash 32

40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8

Det (x1)= (- 36 - 10 + 8) ndash (40 + 12 + 6) rArr - 38 - 58 = Det (x1)= ndash 96

4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60

Det (x2)= (-6 + 6 - 60) ndash (4 + 10 + 54) rArr - 60 - 68 = Det (x2)= ndash 128

12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36

Det (x3)= (20 - 2 - 36) ndash (12 + 4 + 30) rArr - 18 - 46 = Det (x3)= ndash 64

Determinando valoresDx1 x1 = rArr x1 = (- 96 divide - 32) rArr x1 = 3

DA

Dx2 x2 = rArr x2 = (- 128 divide - 32) rArr x2 = 4

DA






DAALGORITMO DE GAUSS JORDAN

O algoritmo de Gauss-Jordan corresponde a sistematizaccedilatildeo da sequencia de accedilotildees que permite reduzir umamatriz a forma escalonada reduzida O Meacutetodo de Gauss-Jordan eacute a parte principal de um procedimento para a

resoluccedilatildeo de sistemas de equaccedilotildees lineares Seu objetivo eacute o de escalonar uma matriz para obter a sua formaescalonada reduzida por linhas Por meio de operaccedilotildees elementares com matrizes aplica-se os passosrepetidamente ateacute que ele seja reduzida a uma forma elementar da matriz identidade

As operaccedilotildees elementares sobre as linhas de uma matriz compreendem L1 Troca entre si de duas linhas da matriz Li harr Lk L2 Multiplicaccedilatildeo ou divisatildeo de uma linha da matriz por um escalar natildeo nulo α Li rarr Li L3 Substituiccedilatildeo de uma linha pela sua soma com um muacuteltiplo escalar de outra linha Li + α Lk rarr Li

A determinaccedilatildeo da matriz escalonada reduzida eacute relevante explicitamente para a resoluccedilatildeo de sistemas deequaccedilotildees e inversatildeo de matrizes e estaacute implicitamente na base de praticamente todos os algoritmos que

envolvem processamento matricial

Definiccedilatildeo Uma matriz estaacute na forma escalonada reduzida quando ela satisfaz as seguintes condiccedilotildees

O primeiro elemento natildeo-nulo de cada linha natildeo-nula (chamado o pivocirc da linha) eacute igual a 1 O pivocirc da linha i + 1 ocorre agrave direita do pivocirc da linha i Se uma coluna conteacutem um pivocirc entatildeo todas os outros elementos desta coluna satildeo iguais a 0 Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas natildeo-nulas

PROCESSO ELIMINACcedilAtildeO DE GAUSS-JORDAN

Passo 1 Dividir a linha do elemento que chamamos de pivocirc cujo coeficiente se deseja unitaacuterio pelo valor de seucoeficiente

Passo 2 Adicionar muacuteltiplos adequados e apropriados a esta nova linha de modo seja possivel anular oscoeficientes correspondentes (os outros elementos da coluna) em todas as outras linhas

Passo 3 Repita os passos 1 e 2 a todos os elementos da diagonal principal tomadas sucessivamente com ospivocircs

Exemplo Transformar a matriz abaixo em sua forma reduzida por linhasSeja2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6

ndash 3x1 + 2x2 + x3 = 1x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5

x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5

(A) Dividir a primeira linha por (2) transformando-a em pivocirc





x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5

(B) Zerar coluna de x1

1ordf Operaccedilatildeo Multiplicar a 1ordf linha por (3) e somar com a 2ordf linha

x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5

2ordf Operaccedilatildeo Multiplicar a 1ordf linha por (- 1) e somar com a 3ordf linha

x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2

(C) Transformar elemento da 2ordf linha de x2 em pivocirc dividindo a 2ordf linha por (- 1)

x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2

(D) Zerar coluna de x2 abaixo do pivocirc


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32

(E) Transformar elemento da 3ordf linha de x3 em pivocirc dividindo a 3ordf linha por (16)

x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2

(F) Com o final das linhas jaacute zeradas devemos agora zerar os elementos acima dos pivocircs






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2

2ordf Operaccedilatildeo Multiplicar a 2ordf linha por (-2 ) e somar com a 1ordf linha

x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2

(G) Transformar elemento da 2ordf linha de x2 em pivocirc zerando o elemento acima dele

1ordf Operaccedilatildeo Somar a 2ordf linha com a 2ordf linha

x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2

Neta situaccedilatildeo concluiacutemos que a soluccedilatildeo do sistema eacute (x1 = 3) (x2 = 4) e (x3 = 2)

Exerciacutecios Resolva por escalonamento

Uma empresa de transportes tem trecircs tipos de caminhatildeo I II e III que carregam cargas com trecircs tipos deembalagens A B e C tambeacutem diferentes O nuacutemero de embalagens por caminhatildeo eacute dado pelo quadro

Embalagem A B C

Caminhatildeo I 2 2 2

Caminhatildeo II 4 3 4

Caminhatildeo III 4 2 3

Quantos Caminhotildees de cada tipo I II e III satildeo necessaacuterio se a empresa necessita transportar 38 embalagensdo tipo A 24 do tipo B e 32 do tipo C (x1= 2 x2 = 6 x3 = 3)

Modelagemx1 rarr quantidade de Caminhotildees Ix2 rarr quantidade de Caminhotildees IIx3 rarr quantidade de Caminhotildees III

2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32





x1 ndash 2x2 + 3x3 = 0S2= ndash 2x1 + 5x2 ndash 3x3 = 1

ndash x1 + 3x2 ndash 2x3 = 5

ndash 2x1 + 4x2 ndash 2x3 = 2S3= 3x1 ndash 5x2 + x3 = ndash 7

2x1 ndash 5x3 = ndash 16

x1 ndash 2x2 + x3 = ndash 4S4= 2x1 + x2 ndash x3 = ndash 1


3x1 ndash x2 ndash x3 = 1S5= x1 + x3 = ndash 2

ndash 2x1 + x2 ndash x3 = 3





METODO SIMPLEX

O Meacutetodo Simplex eacute uma teacutecnica utilizada para se determinar numericamente a soluccedilatildeo oacutetima de um modelo deProgramaccedilatildeo O Meacutetodo Simplex procura nos veacutertices da regiatildeo de permissividade ateacute encontrar uma soluccedilatildeooacutetima A soluccedilatildeo oacutetima pode natildeo existir em dois casos (1) quando natildeo haacute nenhuma soluccedilatildeo viaacutevel para o

problema devido a restriccedilotildees incompatiacuteveis ou (2) quando natildeo haacute maacuteximo (ou miacutenimo) isto eacute uma ou maisvariaacuteveis podem tender a infinito e as restriccedilotildees continuarem sendo satisfeitas o que fornece um valor sem limitespara a funccedilatildeo objetivo

VARIAacuteVEIS DE FOLGA

Eacute possiacutevel resolver os problemas de Programaccedilatildeo Linear por algum meacutetodo de soluccedilatildeo de sistemas de equaccedilotildeesPara tanto alguns meacutetodos exigem que as desigualdades lineares das restriccedilotildees sejam transformadas emequaccedilotildees lineares de modo que tais meacutetodos possam ser aplicados No problema da PO normalmente adisponibilidade estaacute em descompasso com os recursos fator esse que elege as restriccedilotildees Para Andrade (1998 p

39) as restriccedilotildees apresentam a seguinte loacutegica

Utilizaccedilatildeo de recurso le Disponibilidade

Ao se introduzir o conceito de FOLGA de recurso eacute possiacutevel concluir que

Utilizaccedilatildeo + Folga = Disponibilidade

Considerando a hipoacutetese anterior temos queUtilizaccedilatildeo ltltltlt Disponibilidade rArr Folga gtgtgtgt 0Utilizaccedilatildeo = Disponibilidade rArr Folga = 0

A folga de cada recurso pode ser representada por uma variaacutevel de forma exatamente igual agrave produccedilatildeo de cadaproduto ou seja para cada desigualdade Para ser submetido ao meacutetodo Simplex o modelo natildeo pode ternenhuma das suas restriccedilotildees com sinais de le ou ge Como na realidade isso eacutesomente sinais de igualdade

praticamente impossiacutevel devido a natureza dos problemas algumas estrateacutegias satildeo adotadas Desta forma paraque um modelo possa ser normalizado satildeo adicionadas ao modelo algumas variaacuteveis que auxiliam este processo

Variaacuteveis de Folga Para restriccedilotildees com sinal de le adiciona-se uma variaacutevel que seraacute conhecida como variaacutevelde folga Nas funccedilotildees de restriccedilotildees esta variaacutevel eacute inserida com o coeficiente +1 Um detalhe que mereceatenccedilatildeo eacute que esta variaacutevel tambeacutem deve ser inserida na funccedilatildeo objetivo com o coeficiente 0

Variaacuteveis de Excesso Para restriccedilotildees com sinal de ge adiciona-se uma variaacutevel que seraacute conhecida como variaacutevelde excesso Nas funccedilotildees de restriccedilotildees esta variaacutevel eacute inserida com o coeficiente -1 Essa variaacutevel tambeacutem deveser inserida na funccedilatildeo objetivo com o coeficiente 0

Variaacuteveis de Artificiais Apoacutes a anaacutelise da necessidade de variaacuteveis de Folga ou de Excesso adiciona-se a todasas restriccedilotildees que natildeo receberam variaacuteveis de folga uma variaacutevel que seraacute conhecida como variaacutevel artificial Nasfunccedilotildees de restriccedilotildees esta variaacutevel eacute inserida com o coeficiente +1 jaacute na funccedilatildeo objetivo ela eacute inserida com ocoeficiente M (+M para problemas de minimizaccedilatildeo e ndash M para problemas de maximizaccedilatildeo)





ROTEIRO DO MEacuteTODO SIMPLEX

1) Introduzir as variaacuteveis de folga uma para cada desigualdade

2) Montar um quadro para os caacutelculos colocando os coeficientes de TODAS as variaacuteveis com os respectivos

sinais e na uacuteltima linha incluir os coeficientes da funccedilatildeo objetivo

3) Estabelecer uma soluccedilatildeo baacutesica inicial usualmente atribuindo o valor zero as variaacuteveis originais e achandovalores positivos para as variaacuteveis de folga

4) Como proacutexima variaacutevel a entrar base escolher a variaacutevel natildeo-baacutesica que fornece na uacuteltima linha o maiorcontribuiccedilatildeo para a funccedilatildeo objetivo (ou seja tem o maior valor negativo)

Se TODAS as variaacuteveis que estatildeo fora da base tiverem coeficientes nulos ou positivos nesta linha asoluccedilatildeo atual eacute oacutetima

Se ALGUMAS destas variaacuteveis tiverem coeficientes nulos isto significa que ela pode ser introduzida na

base sem aumentar o valor da funccedilatildeo objetivo Isso quer dizer que temos outra soluccedilatildeo oacutetima com omesmo valor da funccedilatildeo objetivo

5) Para escolher a variaacutevel que deve sair da base deve-se realizar o seguinte procedimento

Dividir os elementos da uacuteltima coluna pelos correspondentes elementos positivos da coluna da variaacutevelque vai entrar na base Caso natildeo haja elemento algum positivo nessa coluna o procedimento deveparar jaacute que a soluccedilatildeo seria ilimitada

O menor quociente indica a equaccedilatildeo cuja respectiva variaacutevel baacutesica devera ser anulada tornando-sevariaacutevel natildeo-baacutesica

6) Usando operaccedilotildees validas com linhas da matriz transforma o quadro de caacutelculos de forma a encontrar anova soluccedilatildeo baacutesica A coluna da nova variaacutevel baacutesica deveraacute se tornar um vetor identidade onde o elemento 1aparece na linha correspondente agrave variaacutevel que esta sendo anulada

7) Retornar ao passo 4 para iniciar outra iteraccedilatildeo





Exemplo

Resolver utilizando o algoritmo Simplex

Max Z = 3x1 + 5x2

Sujeito ax1 le 4x2 le 163x1 + 2x2 le 18

Passo 1 Inserir as variaacuteveis de folga Variaacuteveis de folga = 0 para natildeo alterar Z

Z= 3x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 Transformou em igualdade

x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro

Passo 2 Montagem do quadro de caacutelculos transformando Z = - Z (ver variaacuteveis artificiais)

Quadro 1Base x1 x2 x3 x4 x5 b

x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0

Passo 3 Estabelecer soluccedilatildeo baacutesica viaacutevel inicial

Variaacuteveis natildeo-baacutesicas x1 = x2 = 0Variaacuteveis baacutesicas1ordf linha x3 = 42ordf linha x4 = 63ordf linha x5 = 18Funccedilatildeo Objetivo Z= 0

Passo 4 Variaacutevel que deve entrar na base

Identificar o maior valor na uacuteltima linha neste caso = (5) coeficiente de x2 na funccedilatildeo objetivo portanto x2 deveentrar na base pois fornece maior contribuiccedilatildeo por unidade

Passo 5 Variaacutevel que deve sair da base

Fazer as divisotildees da coluna b pela coluna de x2 que entrou na base no passo anterior

Divisotildees





1ordf linha Natildeo se efetua divisatildeo o valor do coeficiente de x2 nessa linha eacute 02ordf linha 6 divide 1 = 63ordf linha 18 divide 2 = 9

Como o menor valor ocorreu na 2ordf linha a variaacutevel que deve sair da base eacute x 4

Base x1 x2 x3 x4 x5 b

x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0

Passo 6 Transformaccedilatildeo da Matriz

Deveratildeo ser realizadas operaccedilotildees com as linhas da matriz de forma que a coluna de x 2 venha a se tornar um vetoridentidade com o elemento 1 na 2ordf linha e os demais e coeficientes = 01ordf Operaccedilatildeo Substituir a 3ordf linha pela soma da 2ordf linha multiplicada por (- 2)

( - 2)e soma

Quadro 1A

2ordf Operaccedilatildeo Substituir a 4ordf linha do quadro 1A por sua soma com a 2ordf linha multiplicada por 5

Quadro 2

Nova soluccedilatildeo obtida


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30





Variaacuteveis natildeo-baacutesicas x1 = x4 = 0Variaacuteveis baacutesicas1ordf linha x3 = 42ordf linha x2 = 63ordf linha x5 = 6

Funccedilatildeo Objetivo Z= 30

2ordf ITERACcedilAtildeO

Passo 4 Nova variaacutevel a entrar na base

Identificar o maior valor na uacuteltima linha neste caso = (- 3) coeficiente de x1 na funccedilatildeo objetivo pois eacute a uacutenicavariaacutevel natildeo-baacutesica com coeficiente portanto x1 deve entrar na base pois fornece maior contribuiccedilatildeo por unidade


Fazer as divisotildees da coluna b pela coluna de x2 que entrou na base no passo anteriorDivisotildees1ordf linha 4 divide 1 = 42ordf linha Natildeo se efetua divisatildeo o valor do coeficiente de x2 nessa linha eacute 03ordf linha 6 divide 3 = 2



Deveratildeo ser realizadas operaccedilotildees com as linhas da matriz de forma que a coluna de x 1 venha a se tornar um vetoridentidade com o elemento 1 na 3ordf linha

1ordf Operaccedilatildeo Dividir a 3ordf linha (3)

Quadro 3

2ordf Operaccedilatildeo Substituir a 1ordf linha pela soma dela mesma com a 3ordf linha multiplicada por (-1)


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A

3ordf Operaccedilatildeo Substituir a 4ordf linha pela soma dela mesma com a 3ordf linha multiplicada por (3)

Quadro 3B




Ao procurarmos a proacutexima variaacutevel que deve entrar na base verificamos que TODOS os coeficientes da 4ordf linasatildeo positivos ou nulos o que significa que encontramos a soluccedilatildeo oacutetima

X2 Soluccedilatildeo Oacutetima

9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36





Vale realccedilar que a soluccedilatildeo oacutetima foi obtida no menor numero de iteraccedilotildees possiacuteveis O criteacuterio que garante aocorrecircncia desse fato eacute a escolha da variaacutevel que entra na base contribuindo positivamente para o valor dafunccedilatildeo objetivo A escolha de x2 na interaccedilatildeo 1 como variaacutevel a entrar na base fez com que o processo desoluccedilatildeo se limitasse aos pontos A e B Caso tiveacutessemos escolhido x1 para entrar na base obrigatoriamenteteriacuteamos que pesquisar os pontos D C e B o que obviamente alongaria o processo

Exerciacutecios

Max Z = 5x1 + 2x2 Resposta (x1= 3 x2= 0 Z= 15)

Sujeito a2x1 + 3x2 le 6x1 ndash 2x2 le 9

Max Z = 3x1 + 2x2

Sujeito a2x1 + 4x2 le 22minusx1 + 4x2 le 102x1 minus x2 le 7

x1 minus 3x2 le 1x1 x2 ge 0

Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3

Sujeito a3x1 + x2 + 3x3 le 302x1 + 2x2 + 3x3 le 40xi ge 0

Max Z = 2x1 minus x2 + x3

Sujeito a3x1 + x2 + x3 le 60

x1 minus x2 + 2x3 le 10x1 + x2 minus x3 le 20

xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0




































REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

ANDRADE EL Introduccedilatildeo a Pesquisa Operacional 2 ed Rio de Janeiro LTC 1998

COLIN EC Pesquisa Operacional 170 aplicaccedilotildees em estrateacutegia financcedilas produccedilatildeo logiacutestica marketinge vendas Rio de Janeiro LTC 2007

GOLDBARG MC LUNA HP Otimizaccedilatildeo Combinatoacuteria e Programaccedilatildeo Linear Modelos e Algoritmos Riode Janeiro Editora Campus 2000

HILLIER FS e LIEBERMAN GJ Introduccedilatildeo agrave Pesquisa Operacional 8a ediccedilatildeo Satildeo Paulo McGraw-Hill2006

LACHTEMACHER G Pesquisa Operacional na Tomada de Decisotildees Rio de Janeiro Campus 2002

MOREIRA DA Pesquisa Operacional Curso Introdutoacuterio 2 ed Satildeo Paulo Cengage Learning 2010

SILVA EM et al Pesquisa Operacional para os cursos de engenharia e administraccedilatildeo Programaccedilatildeo

Linear simulaccedilatildeo 4 ed Satildeo Paulo Atlas 2010

Sites consultados

httpwwwsobrapoorgbrhttp wwwlindocomhttpwwwmatufmgbrhttpwwwmecitabr~rodrigoDisciplinasMOQ43S02pdfhttp wwwproducaouffbrconteudorpeprelpesq_303_10dochttpwwwproducaoufrgsbrarquivosdisciplinas382_po_apostila_completa_mais_livropdf





A P OST I LA E MA T ER IA L D I D AacuteT I C O ndash T EOR IA E E X E RC IacuteC I O S

Pesquisa Operacional

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2013





IacuteNDICE














CONCEITOS CENTRAIS







































































































Soluccedilatildeo



b) Qual o objetivo




















Max L = 1000x1 + 1800x2





Soluccedilatildeo



b) Qual o objetivo



















Min C = 3x1 + 25x2






























Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15




m3

(loja 2) 40 m3

(loja 3) e 100 m3


L1 L2 L3 L4

P1 30 20 24 18

P2 12 36 30 24

P3 8 15 25 20











Madeira 2 3 12

MOD 2 1 8

Lucro $ 40 $ 10








Exemplo 1



X2

2X1 + 3X2


2

(00) X1 3

Exemplo 2


x1 + 3x2 le122x1 + x2 ge 16

x1 ge 0x2 ge 0










X2

16 (8 16)


4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2


2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5





1ordf

2ordf






X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados






IacuteNDICE














CONCEITOS CENTRAIS







































































































Soluccedilatildeo



b) Qual o objetivo




















Max L = 1000x1 + 1800x2





Soluccedilatildeo



b) Qual o objetivo



















Min C = 3x1 + 25x2






























Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15




m3

(loja 2) 40 m3

(loja 3) e 100 m3


L1 L2 L3 L4

P1 30 20 24 18

P2 12 36 30 24

P3 8 15 25 20











Madeira 2 3 12

MOD 2 1 8

Lucro $ 40 $ 10








Exemplo 1



X2

2X1 + 3X2


2

(00) X1 3

Exemplo 2


x1 + 3x2 le122x1 + x2 ge 16

x1 ge 0x2 ge 0










X2

16 (8 16)


4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2


2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5





1ordf

2ordf






X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados







CONCEITOS CENTRAIS







































































































Soluccedilatildeo



b) Qual o objetivo




















Max L = 1000x1 + 1800x2





Soluccedilatildeo



b) Qual o objetivo



















Min C = 3x1 + 25x2






























Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15




m3

(loja 2) 40 m3

(loja 3) e 100 m3


L1 L2 L3 L4

P1 30 20 24 18

P2 12 36 30 24

P3 8 15 25 20











Madeira 2 3 12

MOD 2 1 8

Lucro $ 40 $ 10








Exemplo 1



X2

2X1 + 3X2


2

(00) X1 3

Exemplo 2


x1 + 3x2 le122x1 + x2 ge 16

x1 ge 0x2 ge 0










X2

16 (8 16)


4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2


2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5





1ordf

2ordf






X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados



























































































Soluccedilatildeo



b) Qual o objetivo




















Max L = 1000x1 + 1800x2





Soluccedilatildeo



b) Qual o objetivo



















Min C = 3x1 + 25x2






























Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15




m3

(loja 2) 40 m3

(loja 3) e 100 m3


L1 L2 L3 L4

P1 30 20 24 18

P2 12 36 30 24

P3 8 15 25 20











Madeira 2 3 12

MOD 2 1 8

Lucro $ 40 $ 10








Exemplo 1



X2

2X1 + 3X2


2

(00) X1 3

Exemplo 2


x1 + 3x2 le122x1 + x2 ge 16

x1 ge 0x2 ge 0










X2

16 (8 16)


4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2


2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5





1ordf

2ordf






X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados












Max L = 1000x1 + 1800x2





Soluccedilatildeo



b) Qual o objetivo



















Min C = 3x1 + 25x2






























Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15




m3

(loja 2) 40 m3

(loja 3) e 100 m3


L1 L2 L3 L4

P1 30 20 24 18

P2 12 36 30 24

P3 8 15 25 20











Madeira 2 3 12

MOD 2 1 8

Lucro $ 40 $ 10








Exemplo 1



X2

2X1 + 3X2


2

(00) X1 3

Exemplo 2


x1 + 3x2 le122x1 + x2 ge 16

x1 ge 0x2 ge 0










X2

16 (8 16)


4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2


2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5





1ordf

2ordf






X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados


















Min C = 3x1 + 25x2






























Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15




m3

(loja 2) 40 m3

(loja 3) e 100 m3


L1 L2 L3 L4

P1 30 20 24 18

P2 12 36 30 24

P3 8 15 25 20











Madeira 2 3 12

MOD 2 1 8

Lucro $ 40 $ 10








Exemplo 1



X2

2X1 + 3X2


2

(00) X1 3

Exemplo 2


x1 + 3x2 le122x1 + x2 ge 16

x1 ge 0x2 ge 0










X2

16 (8 16)


4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2


2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5





1ordf

2ordf






X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados




























Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15




m3

(loja 2) 40 m3

(loja 3) e 100 m3


L1 L2 L3 L4

P1 30 20 24 18

P2 12 36 30 24

P3 8 15 25 20











Madeira 2 3 12

MOD 2 1 8

Lucro $ 40 $ 10








Exemplo 1



X2

2X1 + 3X2


2

(00) X1 3

Exemplo 2


x1 + 3x2 le122x1 + x2 ge 16

x1 ge 0x2 ge 0










X2

16 (8 16)


4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2


2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5





1ordf

2ordf






X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados









Madeira 2 3 12

MOD 2 1 8

Lucro $ 40 $ 10








Exemplo 1



X2

2X1 + 3X2


2

(00) X1 3

Exemplo 2


x1 + 3x2 le122x1 + x2 ge 16

x1 ge 0x2 ge 0










X2

16 (8 16)


4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2


2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5





1ordf

2ordf






X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados









Exemplo 1



X2

2X1 + 3X2


2

(00) X1 3

Exemplo 2


x1 + 3x2 le122x1 + x2 ge 16

x1 ge 0x2 ge 0










X2

16 (8 16)


4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2


2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5





1ordf

2ordf






X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados






X2

16 (8 16)


4

(00) 8 12 X1

Exemplo 3


Max Z = x1 + x2


2x1 + x2 le 102x1 + x2 ge 5





1ordf

2ordf






X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados







X2 10


5

4

3

- 9 (00)

1 25 5 X1 - 12 3




Exemplo 4


Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a








X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados







X2 x1 le 3

5

45 D (14) E (04) x2 le 4

C (33)

x1 + 2x2 le 9

x2 ge 0

A (00) 2 B (30) 9 X1

x1 ge 0 21 = 5x1 + 2x2

20 = 5x1 + 2x2 10 = 5x1 + 2x2






















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados















zPoliedro Convexo

y

x















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados
















1) (Max) Z = 3x1 + 5x2

Sujeito a


2) (Max) Z = 2x1 + x2

Sujeito ax2 le 10


















8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados














8) Max L = 2x1 + 3x2


x1 + 2x2 le 6x1 + 3x2 le 9

x1 ge 0x2 ge 0





9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados






9) Min Z = 8x1 + 11x2


x1 + x2 ge 10x1 + x2 ge 12

x1 ge 0x2 ge 0

10) Min Z = 3x1 + 4x2









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados









Matriz m por n

aij = Colunas = j


am1 am2 am3 amn




rArr A=A=

aij = 2i + j a11= 2(1)+1= 3a12= 2(1)+2= 4a21= 2(2)+1= 5a22= 2(2)+2= 6


rArr B=B=


a11 a12 a21 a22

3 45 6

a11 a12 a21 a22

0 ndash31 ndash2





TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados






TIPOS DE MATRIZES




1 0 0A= 0 1 0

0 0 1


1 3 6 1 2 7

A= 2 5 -8 AT 3 5 -37 -3 0 6 -8 0



2 x1 x1= 2A = 3 X= x2 rArr x2= 3

1 x3 x3= 1



15 -4 0- 4

2 -1 1 0 -3 1 0 -3 1 0A= B = 4 5 2 4 5 2 4 54 -5 -1 -2 0 -1 -2 0 1 -2

- 100 0 24








SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados






SISTEMAS LINEARES


a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1



2x + 3y = 12 5x - 2y = 11S1 = e S2 =

3x - 2y = 5 6x + y = 20


compatiacutevel



determinado


indeterminado


Exemplo

x + y + 2z = 0S1= 2x - 3y + 5z = 0

5x - 2y + z = 0




2x1 ndash 2x2 + 4x3 = 6 A= -3x1 + 2x2 + x3 = 1

x1 + 2x2 ndash 3x3 = 5





8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados






8 4 -18

2 -2 4 2 -2 4 2 -2DA = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 -3 1 2 -3 1 2

-12 -2 -24


40 12 6

6 -2 4 6 -2 4 6 -2Dx1 = 1 2 1 1 2 1 1 2

5 2 -3 5 2 -3 5 2

-36 -10 8


4 10 54

2 6 4 2 6 4 2 6Dx2 = -3 1 1 -3 1 1 -3 1

1 5 -3 1 5 -3 1 5

-6 6 -60


12 4 30

2 -2 6 2 -2 6 2 -2Dx3 = -3 2 1 -3 2 1 -3 2

1 2 5 1 2 5 1 2

20 -2 -36



DA


DA




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados




















x1 x2 x3 b

2 - 2 4 6

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados






x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

- 3 2 1 1

1 2 - 3 5



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

1 2 - 3 5


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 -1 7 10

0 3 - 5 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 3 - 5 2



x1 x2 x3 b

1 - 1 2 30 1 - 7 - 10

0 0 16 32


x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 - 7 - 10

0 0 1 2







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados







x1 x2 x3 b

1 - 1 2 3

0 1 0 4

0 0 1 2


x1 x2 x3 b

1 - 1 0 - 1

0 1 0 4

0 0 1 2



x1 x2 x3 b

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 2




Embalagem A B C






2x1 + 4x2 + 4x3 = 38

S1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 = 242x1 + 4x2 + 3x3 = 32

















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados


















METODO SIMPLEX





































Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados
























Exemplo


Max Z = 3x1 + 5x2




x1 + 1x3 = 4

x2 + 1x4 = 63x1 + 2x2 + 1x5 = 18

Elemento neutro



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0







Divisotildees








x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados









x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0



( - 2)e soma

Quadro 1A


Quadro 2



x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 2 0 0 1 18

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x4 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 - 5 0 0 0 0


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30
















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados

















Quadro 3



x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 3 0 0 - 2 1 6

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 1 0 1 0 0 4

x2 0 1 0 1 0 6

x5 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30





Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados






Quadro 3A


Quadro 3B






9 (x1 = 2) e (x2 = 6)

6A B

C

D(00) 2 4 6 X1


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z - 3 0 0 5 0 30


x3 0 0 1 23 - 13 2

x2 0 1 0 1 0 6

x1 1 0 0 - 23 13 2

Z 0 0 0 3 1 36






Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados







Exerciacutecios



Max Z = 3x1 + 2x2



Max Z = 4x1 + 3x2 + 6x3





xi ge 0

Max Z = 5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4

Sujeito a

5x1 + x2 + x3 + 8x4 = 102x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 10xi ge 0













































Sites consultados














































Sites consultados


apostila pesquisa operacional unip 2013 aluno

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