Pesquisa Operacional - Apostila completa + livro 167pg

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<p>Pesquisa Operacional</p> <p>Engenharia de Produo DEPROT / UFRGS Profs. Flavio Fogliatto, Ph.D.</p> <p>1. INTRODUO PESQUISA OPERACIONAL A Pesquisa Operacional (PO) trata da modelagem matemtica de fenmenos estticos ou dinmicos. Os problemas estticos so denominados por determinsticos. Nestes problemas, todos os componentes so conhecidos a priori e nenhuma aleatoriedade em sua ocorrncia admitida. Os problemas dinmicos so denominados estocsticos, e seus elementos apresentam uma probabilidade de ocorrncia em uma determinada forma. Este material aborda problemas determinsticos de Pesquisa Operacional. Os problemas de PO existem desde longa data. Somente a partir da 2a Grande Guerra, todavia, passaram a ser tratados a partir de uma abordagem organizada, sendo organizados na forma de uma disciplina ou rea do conhecimento (Ravindran et al., 1987). Os primeiros casos reportados de aplicao da PO foram, em virtude de sua origem, de carter militar. Somente aps o final da Segunda Grande Guerra, problemas civis passaram a ser estudados pela PO. Os primrdios da PO encontram-se descritos no trabalho de Trefethen (1954). Ravindran, A., Phillips, D.T. &amp; Solberg, J.J. (1987). Operations Research, Principles and Practice, 2nd Ed.. New York: John Wiley. Trefethen, F.N. (1954). A History of Operations Research, in Operations Research for Management, J.F. McCloskey &amp; F.N. Trefethen (Eds.). Baltimore: Johns Hopkins Press.</p> <p>1</p> <p>EmentaINTRODUO 1. Programao Matemtica 2. Reviso de lgebra Linear 3. Uso de pacotes computacionais na soluo de problemas PROGRAMAO LINEAR 1. Introduo Programao Linear 2. O algoritmo Simplex</p> <p>Prof. Fogliatto</p> <p>Pesquisa Operacional</p> <p>2</p> <p>Dois eventos motivaram o rpido desenvolvimento da PO. O primeiro foi o desenvolvimento de um algoritmo simples para solucionar problemas de programao linear (isto , problemas determinsticos de PO), denominado algoritmo simplex e proposto por George Dantzig em 1947. Tal algoritmo permitiu a resoluo manual de diversos problemas de PO, especialmente aqueles de baixa complexidade. O segundo foi a proliferao dos microcomputadores e o rpido aumento em sua velocidade de processamento. Problemas de PO so usualmente modelados na forma de uma funo objetivo (por exemplo, maximizar o lucro da empresa) e diversas restries (associadas, por exemplo, disponibilidade de matrias-primas, mo-de-obra, etc.). A chave do algoritmo simplex est no formato da regio limitada pelas restries, comum a todos os problemas de PO, conforme verificado por Dantzig; tal regio denominada simplex. Quaisquer dois pontos selecionados no contorno de um simplex, quando unidos por uma linha, resultam em uma linha interiamente contida dentro do simplex. A partir dessa constatao, a busca pela soluo tima em problemas de PO passou a ser limitada a pontos extremos da regio simplex, o que permitiu o desenvolvimento de um algoritmo de baixa complexidade computacional por Dantzig.</p> <p>2</p> <p>EmentaMODELOS DE REDES 1. O problema do transporte 2. O problema da designao 3. O problema do transbordo 4. Modelos de Redes TPICOS AVANADOS 1. Programao Inteira</p> <p>Prof. Fogliatto</p> <p>Pesquisa Operacional</p> <p>3</p> <p>Os problemas determinsticos de PO podem ser classificados em duas categorias genricas: problemas de programao (i) linear e (ii) no-linear. Somente os problemas de programao linear podem ser resolvidos pelo algoritmo simplex. Um problema qualquer de programao linear um problema de otimizao (isto , busca pela melhor dentre vrias situaes, utilizando um critrio prestabelecido de otimalidade), com as seguintes caractersticas (Bronson &amp; Naadimuthu, 1997): o problema possui um conjunto de variveis manipulveis no procedimento de busca pelo timo; essas so as variveis de deciso do problema. uma funo objetivo compe o critrio de otimalidade, sendo escrita em termos das variveis de deciso do problema. A funo objetivo uma funo linear das variveis de deciso, devendo ser maximizada ou minimizada. os valores assumidos pelas variveis de deciso devem satisfazer um conjunto de restries, que compem a regio de solues viveis do problema. as variveis de deciso podem assumir valores pr-estabelcidos no domnio dos nmeros reais (isto , valores positivos, negativos ou ambos).</p> <p>3</p> <p>Referncias BibliogrficasLIVRO-TEXTO: Operations Research, Applications and Algorithms, de Wayne L. Winston, 3a. Ed., Duxburry Press. Adicionais (no mesmo nvel): 1. Pesquisa Operacional, de Harvey Wagner, 2a. Ed., Prentice-Hall do Brasil. 2. Pesquisa Operacional, de Pierre J. Ehrlich, Ed. Atlas.</p> <p>Prof. Fogliatto</p> <p>Pesquisa Operacional</p> <p>4</p> <p>A soluo de problemas atravs da Pesquisa Operacional pode ser implementada atravs de um procedimento em sete etapas, conforme apresentado na Figura 1.1. As etapas so auto-explicativas para uma descrio completa das etapas, ver Winston, 1994.</p> <p>Figura 1.1. A metodologia de Pesquisa Operacional (Winston, 1994).</p> <p>Bronson, R. &amp; Naadimuthu, G. (1997). Operations Research, 2nd Ed.. New York: McGraw-Hill. Winston, W.L. (1994). Operations Research, Applications and Algorithm, 3rd Ed.. Belmont (CA): Duxburry Press.</p> <p>4</p> <p>INTRODUO PROGRAMAO LINEAR Programao Linear uma ferramenta para soluo de problemas de otimizao. Em 1947, George Dantzig desenvolveu o algoritmo SIMPLEX, extremamente eficiente na soluo de problemas de PL. A partir de ento, PL passou a ser utilizada em diversos segmentos da atividade produtiva: Bancos Instituies Financeiras Empresas de Transportes, etc. Vamos introduzir a PL a partir de um exemplo.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 5</p> <p>2. PROGRAMAO LINEAR Problemas de programao so modelados tal que o melhor uso de recursos escassos possa ser determinado, conhecidos os objetivos e necessidades do analista. Problemas de programao linear compem uma sub-classe de problemas nos quais a modelagem interiamente expressa em termos de equaes lineares. Parece intuitivo que para ser possvel a soluo de um dado problema atravs da programao linear, o problema deve ser, incialmente, formulado em termos matemticos. A construo de um modelo de programao linear seguetrs passos bsicos (Ravindran et al., 1987): Passo I. Identifique as variveis desconhecidas a serem determinadas (elas so denominadas variveis de deciso) e represente-as atravs de smbolos algbricos (por exemplo, x e y ou x1 e x2). Passo II. Liste todas as restries do problema e expresse-as como equaes (=) ou inequaes (, ) lineares em termos das variveis de deciso definidas no passo anterior. Passo III. Identifique o objetivo ou critrio de otimizao do problema, representando-o como uma funo linear das variveis de deciso. O objetivo pode ser do tipo maximizar ou minimizar.</p> <p>5</p> <p>EXEMPLO: O caso PolitoyA Politoy S/A fabrica soldados e trens de madeira. Cada soldado vendido por $27 e utiliza $10 de matria-prima e $14 de mo-de-obra. Duas horas de acabamento e 1 hora de carpintaria so demandadas para produo de um soldado. Cada trem vendido por $21 e utiliza $9 de matria-prima e $10 de mo-de-obra. Uma hora de acabamento e 1 h de carpintaria so demandadas para produo de um trem.</p> <p>Prof. Fogliatto</p> <p>Pesquisa Operacional</p> <p>6</p> <p>Na sequncia, os passos acima so ilustrados atravs de dois exemplos. Os exemplos foram adaptados de Ravindran et al. (1987). Exemplo 1 - O problema do mix de produo A empresa Dalai-Lama deseja planejar a produo de incensos. Os incensos requerem dois tipos de recursos: mo-de-obra e materiais. A empresa fabrica trs tipos de incenso, cada qual com diferentes necessidades de mo-de-obra e materiais, conforme tabela abaixo:Modelo B 3 4 2</p> <p>Mo-de-obra (horas por unidade) Materiais (g / unidade produzida) Lucro ($ / unidade)</p> <p>A 7 4 4</p> <p>C 6 5 3</p> <p>A disponibilidade de materiais de 200 g/dia. A mo-de-obra disponvel por dia de 150 horas. Formule um problema de programao linear para determinar quanto deve ser produzido de cada tipo de incenso, tal que o lucro total seja maximizado. Para resolver o problema acima, aplicam-se os passos para a construo de um modelo de programao linear. Passo I - Identifique as variveis de deciso. As atividades a serem determinadas dizem respeito s quantidades de produo dos trs tipos de incenso. Representando essas quantidades em termos algbricos, tem-se:</p> <p>6</p> <p>EXEMPLO: O caso PolitoyA Politoy no tem problemas no fornecimento de matria-primas, mas s pode contar com 100 h de acabamento e 80 h de carpintaria. A demanda semanal de trens ilimitada, mas no mximo 40 soldados so comprados a cada semana. A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Formule um modelo matemtico a ser utilizado nessa otimizao.</p> <p>Prof. Fogliatto</p> <p>Pesquisa Operacional</p> <p>7</p> <p>xA = produo diria do incenso tipo A xB = produo diria do incenso tipo B xC = produo diria do incenso tipo C Passo II - Identifique as restries. Neste problema, as restries dizem respeito disponibilidade limitada dos recursos de mo-de-obra e materiais. O tipo A requer 7 horas de mo-de-obra por unidade, e sua quantidade produzida xA. Assim, a demanda por mo-de-obra para o incenso tipo A ser 7xA horas (se considerarmos uma relao linear). Analogamente, os tipos B e C vo requerer 3xB e 6xC horas, respectivamente. Assim, a quantidade total de horas de trabalho demandadas na produo dos trs tipos de incenso ser 7xA + 3xB + 6xC. Sabese que esta quantidade no deve axceder o total de horas disponveis na empresa, isto , 150 horas. Assim, a restrio relacionada a mo-de-obra ser: 7xA + 3xB + 6xC 150 Para obter a restrio relacionada aos materiais, utiliza-se raciocnio similar. A restrio resultante ser: 4xA + 4xB + 5xC 200 Para finalizar, deseja-se restringir as variveis de deciso no domnio dos reais no-negativos (isto , x 0). Essas restries, uma para cada varivel de deciso, so denominadas restries de no-negatividade. Apesar de serem comuns em muitas aplicaes de programao linear, no so necessrias para a utilizao da metodologia.</p> <p>7</p> <p>Ao desenvolver um modelo para a Politoy, investigaremos caractersticas comuns a todos os problemas de PL VARIVEIS DE DECISO O primeiro passo na formulao de um problema de PL a definio das variveis de deciso relevantes. Estas variveis devem descrever completamente as decises a serem tomadas. A Politoy deve decidir sobre: x1 = nm. de soldados produzidos a cada semana x2 = nm. de trens produzidos a cada semanaProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 8</p> <p>Passo III - Identifique o objetivo. O objetivo maximizar o lucro total oriundo das vendas dos produtos. Supondo que tudo o que for produzido encontre mercado consumidor, o lucro total resultante das vendas ser: z = 4xA + 2xB + 3xC Assim, o problema de mix de produo apresentado acima pode ser escrito como um modelo de programao matemtica atravs das seguintes expresses: Determine os valores de xA, xB e xC que maximizem: z = 4xA + 2xB + 3xC sujeito s restries: 7xA + 3xB + 6xC 150 4xA + 4xB + 5xC 200 xA 0 xB 0 xC 0.</p> <p>8</p> <p> FUNO OBJETIVO Em qualquer problema de PL, o analista sempre vai desejar maximizar (ex., lucro) ou minimizar (ex., custo) alguma funo das variveis de deciso. A funo a ser maximizada (ou minimizada) a funo objetivo. A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Ou seja: ganho semanal = ganho semanal oriundo da venda de soldados + ganho semanal oriundo da venda de trens. = ($/soldado).(soldados/sem) + ($/trem).(trem/sem) = 27x1 + 21x2 Tambm devemos considerar: custo semanal com matria-prima: 10x1 + 9x2 custo semanal com mo-de-obra: 14x1 + 10x2</p> <p>Prof. Fogliatto</p> <p>Pesquisa Operacional</p> <p>9</p> <p>Exemplo 2 - O problema do treinamento Uma empresa de componentes automotivos conduz um programa de treinamentos para seus operadores. Operadores treinados so utilizados como instrutores no programa, na proporo de um para cada dez trainees. O programa de treinamento conduzido durante um ms. Sabe-se que de cada dez trainees contratados, somente sete completam o programa (aqueles que no completam o programa de treinamento so dispensados). Os operadores treinados tambm devem cumprir suas funes usuais de operador. O nmero de operadores treinados necessrios para atender produo nos prximos trs meses vem apresentado abaixo: Janeiro: 100 Fevereiro: 150 Maro: 200 Alm disso, a empresa necessita de 250 operadores treinados para Abril. Existem 130 operadores treinados no incio do ano. As despesas mensais com salrios so as seguintes: Cada trainee: $400 Cada operador treinado (trabalhando nas mquinas ou realizando treinamento): $700 Cada operador treinado ocioso (por fora de acordo sindical, maquinistas ociosos recebem uma frao do seu salrio normal, no podendo, entretanto, ser demitidos): $500</p> <p>9</p> <p> FUNO OBJETIVO O que a Politoy deseja maximizar : (27x1 + 21x2) - (10x1 + 9x2) - (14x1 + 10x2) = 3x1 + 2x2 Usaremos a varivel z para designar o valor assumido pela funo objetivo. Assim: Max z = 3x1 + 2x2 Os nmeros 3 e 2 so chamados coeficientes da funo objetivo. Eles indicam a contribuio de cada varivel nos ganhos da empresa.</p> <p>Prof. Fogliatto</p> <p>Pesquisa Operacional</p> <p>10</p> <p>Deseja-se modelar o problema acima. O objetivo minimizar os custos com pessoal, atendendo demanda de pessoal da empresa. Formulao: Observe, inicialmente, que operadores treinados podem executar, em umdeterminado ms, um das seguinte atividades: (1) trabalhar nas mquinas, (2) realizar treinamento, ou (3) permanecer ocioso. J que o nmero de operadores trabalhando nas mquinas em cada ms fixo, as nicas variveis de deciso desconhecidas so o nmero de operadores realizando treinamento e o nmero de operadores ociosos em cada ms. Assim, as variveis de deciso do problema so: x1 = operadores treinados realizando treinamento em Janeiro x2 = operadores treinados ociosos em Janeiro x3 = operadores treinados realizando treinamento em Fevereiro x4 = operadores treinados ociosos em Fevereiro x5 = operadores treinados realizando treinamento em Maro x6 = operadores treinados ociosos em Maro Segundo as restries de demanda, um nmero suficiente de operadores treinados deve estar disponvel em cada ms para trabalhar nas mquinas. Para garantir esses operadores, deve-se escrever a seguinte equao para cada ms: Nmero nas mquinas + Nmero treinando + Nmero ocioso = Total de operadores disponveis no incio do ms</p> <p>10</p> <p> RESTRIES A medida que x1 e x2 crescem, o valor da funo objetivo aumenta. Mas x1 e x2 no podem crescer indefinidamente. Trs restries limitam seu crescimento: Restrio 1 - 100 h de acabamento / semana. Restrio 2 - 80 h de carpintaria / semana Restrio 3 - no mais que 40 soldados / semana, devido a limitaes na prpria demanda. Restries 1 3 devem ser expressas em termos das variveis de deciso x1 e x2.</p> <p>Prof. Fogliatto</p> <p>Pesquisa Operacional</p> <p>11</p> <p>A restrio para o ms de Janeiro, por exemplo, ser: 100 + x1 + x2 = 130 Em Fevereiro, o nmero total de operadores treinados disponvel ser dado pela soma dos operadores treinados disponveis em Janeiro e aqueles que completaram seu treinamento em Janeiro. Em Janeiro, 10x1 trainees esto em treinamento, mas somente 7x1 deles completam o programa, passando a ser considerados operadores treinados. Assim, a restrio para Fevereir...</p>

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