apostila de matemática

Faculdade de Jaguarina Engenharia de Controle e Automao

Engenharia de Alimentos

Engenharia Ambiental

Matemtica para Engenharia II

[Derivadas, Integrais e Sries]

Apostila de Exerccios e Aplicaes

Professor Miro Placido

Matemtica para Engenharia II Prof. Miro

Apostila de Exerccios e Aplicaes 2

Esta uma compilao de exerccios e aplicaes de derivadas, integrais e sries numricas (e sequncias). O objetivo desse material mostrar ao futuro engenheiro as

possibilidades de aplicao desses conceitos no cotidiano desse profissional.

Esta apostila originou-se das listas de exerccios que venho preparando para as aulas de Matemtica para Engenharia desde 2006. No decorrer dos anos, surgiu a necessidades de organizar as atividades e aplicaes propostas numa compilao agrupada por assunto e por aula. Trata-se de uma apostila contendo apenas exerccios, aplicaes e gabaritos. Para

trabalhar as unidades, o aluno precisar acompanhar e registrar a teoria desenvolvida em aula. Para facilitar o acesso s frmulas e regras de clculo, quando necessrio, foi colocado no incio de algumas unidades as principais frmulas e regras daquele tpico. No entanto, o aluno deve ficar ciente de que existem outras regras e frmulas alm daquelas destacadas no incio de algumas sees. O objetivo dessa coletnea de atividades otimizar o aproveitamento da disciplina, uma vez que os enunciados das questes contextualizadas so longos, o que resultaria num grande desperdcio de tempo com anotaes em aula. Para um bom aproveitamento desse material, recomenda-se fortemente que os estudantes sigam os seguintes passos de estudo: anotem a teoria desenvolvida em aula e os exerccios resolvidos, revisem em casa a teoria e refaam os exerccios trabalhados em classe e, em seguida, resolvam os exerccios da unidade e os de reviso no trabalhados em classe.

As unidades dessa apostila esto divididas em cinco partes. Na primeira, da unidade 1 unidade 6, esto organizados por tpicos os exerccios e problemas de derivadas, sendo que da unidade 1 at a 5 est uma primeira abordagem de cada tpico. J a unidade 6 uma seo de exerccios de reviso e aplicaes de derivadas em problemas de engenharia do tema derivadas. As aplicaes so feitas atravs de exerccios, problemas ou estudos de caso. O estudante que deseja um bom aproveitamento do curso deve dedicar um bastante tempo ao estudo da unidade 6, uma vez que saber aplicar os conceitos estudados uma das competncias mais

valorizadas em concursos e no mercado de trabalho. Na segunda parte da apostila, da unidade 7 a 11, esto os exerccios e aplicaes de integrais, sendo que da unidade 7 unidade 10 est a primeira abordagem de cada tpico. J a unidade 11 uma seo de exerccios de reviso e aplicaes de integrais em problemas de engenharia do tema integrais. Como na primeira parte, o aluno deve dedicar ateno redobrada para esta unidade.

Na terceira parte da apostila, unidades 12 e 13, esto os exerccios de sries. Nessas duas unidades so discutidas as propriedades das sequncias mais usuais e sries mais comuns. H uma ateno especial para as sries de Taylor e de Maclaurin. A quarta parte desse material, unidade 14, traz os anexos de complementos necessrios s sees usuais de aula. Na unidade 14, o aluno encontra um apndice com a tcnica

de integrao por partes e algumas aplicaes. A quinta e ltima parte contm os gabaritos de todos os exerccios, problemas, estudos de caso e aplicaes apresentados ao longo da apostila.

Desejo a todos um bom curso e um excelente aproveitamento!

Valdomiro Placido dos Santos [email protected]

Introduo



Interpretao da derivada como inclinao da reta tangente e como taxa de variao

Obtendo a derivada atravs da definio

Use a definio0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h ou

0

( ) ( )'( ) lim

x

f x x f xf x

x para obter a derivada nos exerccios de 1 a

5, abaixo:

1) Obtenha a derivada de 2( )f x x .

2) Obtenha a derivada de 2( ) 10f x x x .

3) Obtenha a derivada de 2( ) 5 2f x x x .

4) Obtenha a derivada de 3( )f x x . Lembrete:

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b .

5) Obtenha a derivada de 3 2( ) 5f x x x .

A derivada como taxa de variao

O valor da derivada num ponto representa a taxa de variao (crescimento ou decrescimento) da funo neste ponto.

6) Qual a taxa de variao da funo 2( )f x x no ponto 5x ?

7) Qual a taxa de variao da funo 2( ) 10f x x x no ponto:

a) 4x ?

b) 5x ?

c) 6x ?

8) Dada a funo 2( ) 8f x x x , calcule a taxa de variao da funo f(x), nos pontos:

a) 3x ;

b) 4x ;

c) 5x .

9) Encontre a taxa de variao da funo 3 2( ) 3 2 1f x x x x no ponto 1x .

10) O grfico abaixo representa a oscilao da temperatura de uma caldeira industrial. Esta curva pode ser modelada pela funo 2( ) 0,25 20 24f x x x , onde ( )f x a temperatura, em 0C, e x o tempo de aquecimento, em minutos.

10 20 30 40 50 60 70 80

50

100

150

200

250

300

350

400

x: tempo

f(x): temperatura

Fonte: QSRMC

a) Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 20min? b) Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 60min? c) Em que instante a temperatura estava aumentando 60C por minuto? d) Em que instante a taxa de variao da temperatura era zero?

Unidade 1 Derivada: conceito e definio



Regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia

Regras de Derivao

REGRA DO PRODUTO REGRA DO QUOCIENTE REGRA DA CADEIA

FUNO ( ) ( ). ( )h x f x g x ( )

( )( )

f xh x

g x ( ) ( ( ))h x f g x

DERIVADA '( ) '( ). ( ) ( ). '( )h x f x g x f x g x 2

'( ). ( ) ( ). '( )'( )

[ ( )]

f x g x f x g xh x

g x '( ) '( ( )). '( )h x f g x g x

Usando as regras apropriadas de derivao, determine a derivada (derivada primeira) de cada uma das funes abaixo:

1) 2( ) ( 3 )(5 10)h x x x x

2) 2 3( ) ( 5 )( 2 )h x x x x x

3) 4

1( )v t

t

4) 2

10( ) 120f t

t

5)

2 5( )

10 4

x xh x

x

6) 3 4

( )2 1

xw x

x

7) 1

( )1

xv x

x

8) 1

( )2 4

h xx

9) 10

( )1

v tt

10) 2

10( ) 120

3f t

t

11) 2 4( ) ( 5 )h x x x

12) 10( ) (2 1)f x x

13)

1

3( )f x x

14) 5( )f x x

15) 3 7( )f x x

16)

1

3( ) (10 6 )v t t

17) ( ) 16f x x

18) 2( ) 16f x x

19) 2( ) 5 20f t t

20) Determine a derivada da funo 2( ) 2 8 10f x x x x .

21) Numa indstria frigorfica, um engenheiro colocou uma pea de carne num freezer no instante t = 0 para avaliar o desempenho da mquina. Ele observou que, aps t horas, a temperatura da pea F(t), em graus centgrados, era dada por

4( ) 30 5 , 0 5

1F t t t

t. Qual era a velocidade de reduo da temperatura aps 3 horas?

Unidade 2 Teoremas e regras de derivao



Mximos, mnimos e pontos de inflexo

Ponto crtico Dizemos que um ponto c ponto crtico de uma funo derivvel ( )f x se '( ) 0f c .

Teste da derivada segunda ''( )f x para determinao e classificao de valores extremos da funo Um ponto crtico pode ser um ponto de mximo, mnimo ou um ponto de inflexo. Dado um ponto crtico c , temos as seguintes possibilidades:

Se ''( ) 0f c , ento c um ponto de mximo relativo (ou local) e ( )f c um mximo relativo (ou local);

Se ''( ) 0f c , ento c um ponto de mnimo relativo (ou local) e ( )f c um mnimo relativo (ou local);

Se ''( ) 0f c , ento c pode ser um ponto de mnimo, de mximo ou um ponto de inflexo.

Mximos e mnimos absolutos:

O maior valor da funo num intervalo chamado de mximo absoluto da funo nesse intervalo. O menor valor da

funo num intervalo chamado de mnimo absoluto.

1) A funo 3 2( ) 6 9 10f x x x x

est representada no grfico abaixo.

x

f(x)

a) Determine os pontos crticos de ( )f x .

b) Classifique os pontos crticos de ( )f x . c) Classifique os valores extremos que a funo atinge nos pontos crticos. d) Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [0, 4]? e) Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [0.5; 3.5]? f) Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [-0.5; 4.5]?

2) A funo 3 2( ) 2 21 60 65f x x x x

est representada no grfico abaixo.

x

f(x)

a) Determine e classifique os pontos crticos de ( )f x . b) Classifique os valores extremos que a funo atinge nos pontos crticos. c) Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [1, 6]? d) Quais so os valores extremos absolutos da funo no intervalo [0, 7]?

3) Um engenheiro precisa fabricar embalagens em forma de caixas abertas de papelo (sem tampa) a partir de pedaos quadrados de papelo de 30 cm de lado. Para isso, ele ir retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando a seguir os lados.

Considere como x cm a medida do lado de cada quadrado retirado e faa o que se pede a seguir.

Unidade 3 Classificao de pontos crticos e valores extremos



a) Faa um modelo matemtico desse problema e expresse o volume V(x) da caixa em funo de x. b) Determine o domnio da funo V(x), isto , o intervalo em que ela vlida. c) Determine o valor de x (medida do lado do quadrado) que faz com que o volume da caixa seja mximo. Justifique

usando propriedades de derivadas e de mximos e mnimos.

d) Qual o volume mximo que esta caixa atinge?

4) Dada a funo quadrtica 2( ) 2 40f x x x , faa o que se pede:

a) Determine os pontos crticos da funo. b) Classifique o valor extremo que a funo atinge no ponto crtico.

5) Dada a funo quadrtica 2( ) 12 60f t t t , faa o que se pede:

a) Determine e classifique os pontos crticos da funo. b) Classifique o valor extremo que a funo atinge no ponto crtico.

6) Dada a funo 3 2( ) 0,1 1,5 6,3 50F t t t t , faa o que se pede:

a) Determine e classifique os pontos crticos da funo. b) Determine os valores extremos absolutos dessa funo no intervalo [2, 8]. c) Determine o valor mximo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. d) Determine o valor mnimo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. e) Faa um esboo do grfico dessa funo a partir das informaes dos itens anteriores.

7) Dada a funo 2768( ) 6f x x

x, faa o que se pede:

a) Determine e classifique os pontos crticos de ( )f x .

b) Considerando que o domnio da funo ]0, [x , isto , o intervalo 0x , o valor que a funo atinge no ponto crtico um extremo absoluto ou relativo? Justifique.

c) Qual o valor extremo que a funo assume no intervalo 0x ?

8) Dada a funo 212000( ) 6A r r

r, faa o que se pede:

a) Determine e classifique os pontos crticos de ( )A r .

b) Considerando que o domnio da funo ]0, [r , isto , o intervalo 0r , o valor que a funo atinge no ponto crtico um extremo absoluto ou relativo? Justifique.

c) Qual o valor extremo que a funo assume no intervalo 0r ?

9) Determine e classifique os pontos crticos da funo 3 2( ) 9 27 10f x x x x , cujo grfico est representado abaixo.

x

f(x)

10) Determine e classifique os pontos crticos da funo 3 2( ) 6 12 38f x x x x , cujo grfico est representado a seguir.



x

f(x)

Tabelas de derivadas de funes exponenciais e logartmicas

Considere que a um nmero real positivo e diferente de 1; u uma funo de x e e o nmero de Euler.

DERIVADAS DE FUNES EXPONENCIAIS E LOGARTMICAS NAS FORMAS ELEMENTAR E COMPOSTA

DERIVADA DA FUNO ELEMENTAR DERIVADA DA FUNO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA)

Funo Derivada Funo Derivada

( ) xf x a '( ) n( )xf x a a ( )

uf x a '( ) ( n ) 'uf x a a u

( ) xf x e '( )xf x e ( )

uf x e '( ) 'uf x e u

( ) logaf x x

1'( ) logaf x e

x Ou:

1'( )

( )f x

x n a

( ) logaf x u

'

'( ) logau

f x eu Ou:

'

'( )( )

uf x

u n a

( ) ( )f x n x

1'( )f x

x ( ) ( )f x n u

'

'( )u

f xu

Determine a derivada primeira de cada uma das funes a seguir.

1) ( ) 2xf x

2) 2 3 2( ) 2x xf x

3) 2( ) xf x e

4) 2

( ) xf x e

5) 23 6 7( ) 2 x xf x e

6)

1

1( )x

xf x e

7) 10( ) logf x x

8) 2

3( ) log (2 7 )f x x x

9) ( ) ( )f t n t

10) ( ) 3 ( )h x n x

11) ( ) (3 )f x n x

12) 2( ) ( 3 10)f x n x x

13) 21( ) (7 4)

2f x n x

14) 3 2( ) ( )xf x e n x

15) ( )( )

teh t

n t

16) 3 2 3( ) ( 5 ) xh x x x e

17) 2 2( ) ( 5 ) ( 8)h x x x n x

Unidade 4 Derivadas de funes exponenciais e logartmicas



Tabelas de derivadas de funes trigonomtricas

DERIVADAS DE FUNES TRIGONOMTRICAS NAS FORMAS ELEMENTAR E COMPOSTA

FUNO TRIGONOMTRICA ELEMENTAR FUNO TRIGONOMTRICA COMPOSTA (REGRA DA CADEIA)

Funo Derivada Funo Derivada

( ) ( )f x sen x '( ) cos( )f x x ( ) ( )f x sen u '( ) cos( ) 'f x u u

( ) cos( )f x x '( ) ( )f x sen x ( ) cos( )f x u '( ) ( ) 'f x sen u u

( ) ( )f x tg x

2'( ) sec ( )f x x

( ) ( )f x tg u

2'( ) sec ( ) 'f x u u

( ) cotg(x)f x

2'( ) cossec ( )f x x

( ) cotg(u)f x

2'( ) cossec ( ) 'f x u u

( ) sec(x)f x

'( ) sec( ) ( )f x x tg x

( ) sec(u)f x

'( ) sec( ) ( ) 'f x u tg u u

( ) cossec(x)f x

'( ) cossec( ) ( )f x x cotg x

( ) cossec(u)f x

'( ) cossec( ) ( ) 'f x u cotg u u

Nos exerccios a seguir, determina a derivada primeira de cada uma das funes.

1) ( ) ( )f t sen t

2) ( ) cos( )f t t

3) ( ) ( )f t tg t

4) ( ) 10 ( )f x sen x

5) ( ) (10 )f x sen x

6) ( ) ( )f x sen x

7) ( ) 3 (10 )f x sen x

8) ( ) 2. ( 2. )f x sen x

9) 2( ) ( )f x sen x

10) ( ) 5 (2 3)f x sen x

11) ( ) 40 15 (2 )f x sen x

12) 2( ) ( 2 )f x x x senx

13) ( )( )

xf x

sen x

14) ( )( ) sen xf x e

15) ( )( ) 3sen xf x

16) ( ) 10cos( )f x x

17) ( ) cos(10 )f x x

18) ( ) 2cos(10 )f x x

19) ( ) 5cos(2 )f x x

20) ( ) cos(2 4)f x x

21) ( ) cos(2 / 2)f t t

22) ( ) 100 40cos(2 / 4)f t t

23) cos( )( ) xf x e

24) cos( )( ) 10 xf x

25) cos(5 )( ) 5cos( ) xf x x e

26) ( )

( )cos( )

sen xf x

x

27) ( ) ( ) cos( )f x sen x x

28) ( ) 4 (5 ) 7cos(3 )f x sen x x

29) 2( ) ( )f x sen x

Dica: 2 1 cos(2 )( )

2

xsen x

30) 2( ) cos ( )f x x

Dica: 2 1 cos(2 )cos ( )

2

xx

31) ( ) ( ) sec( )f x tg x x

Unidade 5 Derivada de funes trigonomtricas



Taxa de variao, pontos crticos e problemas de otimizao usando derivadas

1) Determine a derivada (derivada primeira) de cada uma das funes a seguir:

a) 2( )f x x

b) 2( )f x x

c) ( ) 2xf x

d) ( ) 2xf x

e) 2( ) 2 xf x

f) 2

( ) 2xf x

g) 2 6 4( ) 2x xf x

h) ( )xf x e

i) ( )xf x e

j) 2( ) xf x e

k) 2

( ) xf x e

l) 2 4 3( ) x xf x e

m) ( ) 2 ( )f x sen x

n) ( ) 2 ( )f x sen x

o) ( ) (2 )f x sen x

p) 2( ) ( )f x sen x

q) ( ) 2 3cos(4 )f x x

r) 5( ) 3cos(4 )f x x

s) 2

3( ) 3 12

xf x x x

t) 2

2

1 2( ) 12g x x x

x x

u) 3 2 20( ) ( 5 )v x x x

v) 2 4( ) (10 )x xw x e Sen x

w) 3 8

( )2 3

xh x

x

x) ( )2

x xe eh x

y) ( )2

x xe eh x

z) 2 6

2000( )

1 xp x

e

2) O grfico abaixo representa a oscilao da temperatura de uma caldeira industrial. Esta curva pode ser modelada pela

funo 2( ) 0,25 24 30f x x x , onde ( )f x a temperatura, em 0C, e x o tempo de aquecimento, em minutos.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

100

200

300

400

500

600

x: tempo

f(x): temperatura

a) Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 20min? b) Qual era a taxa de variao da temperatura no instante x = 60min? c) Em que instante a temperatura estava aumentando 40C por minuto? d) Em que instante a taxa de variao da temperatura era zero? e) Quantos minutos de aquecimento foram necessrios para se atingir a temperatura mxima? f) Qual foi a temperatura mxima atingida?

3) A presso num determinado tambor de ar, em funo do tempo de funcionamento do pressurizador, dada pela funo

quadrtica 2( ) 10 400P t t t , onde ( )P t a presso, em libras, e t o tempo de pressurizao, em segundos.

a) Qual a taxa de variao da presso aps 10 segundos de funcionamento do pressurizador? b) Quantos segundos de funcionamento so necessrios para a presso atingir o valor mximo? c) Qual a presso mxima atingida nesse tambor?

4) Um reservatrio de gua est sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de gua restante no reservatrio, t horas aps o

escoamento ter comeado, dada por 2( ) 60 900V t t t , cujo grfico est representado a seguir, onde ( )V t indica

o volume de gua, em metros cbicos, restante no reservatrio num instante t qualquer, sendo t o tempo dado em horas.

Unidade 6 Exerccios de reviso e aplicaes de derivadas

Matemtica para Engenharia II Prof. Miro Placido


5 10 15 20 25 30

100

200

300

400

500

600

700

800

900

t: tempo

V(t): Volume Rest.

a) Qual o volume de gua restante no reservatrio aps 5 horas de escoamento? b) Qual a taxa de variao (em metros cbicos por hora: m3/h) do volume de gua no reservatrio no instante

5t horas?

c) Qual a taxa de variao (em metros cbicos por hora: m3/h) do volume de gua no reservatrio no instante 15t horas?

d) Em que instante a taxa de variao do volume de gua era de -40 m3/h? e) Em que instante a taxa de variao do volume ser nula? O que ocorre nesse instante? Justifique.

5) Um reservatrio de gua est sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de gua restante no reservatrio, t minutos

aps o escoamento ter comeado, dada por 2( ) 4 96 576V t t t , onde ( )V t indica o volume de gua, em litros,

restante no reservatrio num instante t qualquer, sendo t o tempo dado em minutos. a) Qual era o volume de gua que o reservatrio continha quando comeou o escoamento? b) Qual ser o volume de gua restante no reservatrio aps 2 minutos de escoamento?

c) Qual a taxa de variao do volume de gua no reservatrio no instante 2t ? d) Em que instante a taxa de variao do volume de gua ser de -16 litros/minuto? e) Em que instante a taxa de variao do volume ser nula? O que ocorre nesse instante? Justifique.

6) Numa indstria de alimentos, um determinado produto foi contaminado por um micro-organismo, no instante t = 0.

Sabendo que a populao ( )p t desse micro-organismo, aps t horas, dada por 0,1( ) 2000.3 tp t , vlida para

0 40t , faa o que se pede: a) Determine a derivada dessa funo.

b) Determine a taxa de crescimento desse micro-organismo aps 20 horas. [Use (3) 1,1n ]

7) Se uma populao de micro-organismos se multiplica de acordo com a funo 6( ) 1800. 2t

P t , onde t o tempo em

horas e P(t) a populao, faa o que se pede:

a) Qual a derivada dessa funo?

b) Qual a taxa de crescimento dessa populao no instante t = 6 horas? [Use (2) 0,7n ].

8) Na linha de produo de uma indstria, certo alimento precisa submetido a oscilaes de temperatura durante o processo

de cozimento. Esta oscilao pode ser modelada pela funo trigonomtrica ( ) 80 60 [( / 24) ]F t Sen t , onde t o

tempo decorrido, em minutos, e F(t) a temperatura, em graus Celsius, no tempo t.



12 24 36 48 60 72

20

40

60

80

100

120

140

t: tempo (min)

F(t): temperatura

a) Determine a derivada da funo F(t).

b) Qual a taxa de variao da temperatura no instante 8t min?

c) Qual a taxa de variao da temperatura no instante 24t min? d) No intervalo 36 60t , em que instante ocorreu a maior taxa de aumento da temperatura?

e) No intervalo 12 36t , em que instante ocorreu a maior taxa (em mdulo) de decaimento da temperatura? Dica: faa um esboo da grfico da derivada de F(t) para responder aos itens d e e.

9) Na linha de produo de uma indstria, certo rob executa uma tarefa repetitiva. Nesse processo, a fora aplicada sobre o brao do rob oscila ao longo de perodos iguais de tempo. Esta oscilao pode ser modelada pela funo

trigonomtrica ( ) 108 36 cos[( /12) ]F t t , onde t o tempo decorrido, em segundos, e F(t) a fora, em N, no

tempo t.

6 12 18 24 30 36

36

72

108

144

t: tempo (s)

F(t): fora (N)

a) Determine a derivada da funo F(t).

b) Qual a taxa de variao da fora sobre o brao do rob no instante 6t s ?

c) Qual a taxa de variao da temperatura no instante 24t min? d) No intervalo 0 12t , em que instante ocorreu a maior taxa de aumento da temperatura?

e) No intervalo 12 24t , em que instante ocorreu a maior taxa (em mdulo) de decaimento da temperatura? Dica: faa um esboo do grfico da derivada de F(t) para responder aos itens d e e.

10) Dada a funo 3 2( ) 2 33 168 5g x x x x , faa o que se pede:

a) Determine e classifique os pontos crticos da funo. b) Determine os valores extremos absolutos dessa funo no intervalo [3, 8]. c) Determine o valor mximo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. d) Determine o valor mnimo absoluto que esta funo atinge no intervalo [0, 8]. e) Faa um esboo do grfico dessa funo a partir das informaes dos itens anteriores.



11) A produtividade mdia diria de uma grande indstria, nos ltimos anos, variou conforme a funo 3 2( ) 15 63 500F t t t t , onde t o tempo dado em anos (com t = 0 correspondendo ao incio do ano 2000, t = 1

correspondendo ao incio do ano 2001 e assim sucessivamente) e F(t) o nmero mdio dirio de unidades produzidas no

instante t. Considere que esta aproximao seja vlida no intervalo 0 8t . a) Quais so os pontos crticos dessa funo?

b) Determine os valores extremos absolutos dessa funo no intervalo 0 8t . c) Em que momento desse intervalo a produo mdia diria foi mxima? d) Qual foi a produo mdia diria mxima atingida nesse perodo? e) Em que momento desse intervalo a produo mdia diria foi mnima? f) Qual foi a produo mdia diria mnima atingida nesse perodo?

12) Numa indstria, so construdas caixas abertas (sem tampa) a partir de placas quadradas de papelo de 18 cm de lado. O engenheiro de produo desta fbrica planeja retirar quadrados iguais dos quatro cantos da placa, dobrando a seguir os

lados, conforme modelo matemtico a seguir. No entanto, o engenheiro quer retirar quadrados de tal forma que o volume

da caixa obtida seja mximo. Considerando como x cm a medida do lado de cada quadrado retirado, temos o seguinte

modelo matemtico do problema:

a) Expresse o volume V(x) da caixa em funo da medida x do lado do quadrado. b) Determine o domnio da funo V(x), isto , o intervalo em que ela vlida. c) Determine o valor de x (medida do lado do quadrado) que faz com que o volume da caixa seja mximo. Justifique



13) Um fabricante de caixas de papelo deseja fazer caixas abertas (sem tampa) a partir de pedaos quadrados de papelo de 12 cm de lado. Para isso, ele ir retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando a seguir os lados. Considere como x cm a medida do lado de cada quadrado retirado e faa o que se pede abaixo.

a) Faa um modelo matemtico desse problema e expresse o volume V(x) da caixa em funo de x. b) Determine o domnio da funo V(x), isto , o intervalo em que ela vlida. c) Determine o valor de x (medida do lado do quadrado) que faz com que o volume da caixa seja mximo. Justifique



14) Uma indstria de embalagens precisa construir uma caixa fechada com base quadrada. Sabe-se que o volume da caixa deve ser de 2 litros (2.000 cm3). O material da tampa e da base custa 3 centavos por centmetro quadrado e o material para

os lados custa 1,5 centavo por centmetro quadrado.

a) Escreva uma funo que represente o custo total ( )C x da caixa (em centavos) em funo do lado x da base quadrada.

b) Qual o domnio da funo ( )C x , isto , o intervalo em que ela vlida? c) Se voc fosse o engenheiro responsvel por este projeto, quais dimenses (lado da base e altura) voc definiria para a

caixa com o objetivo de tornar o custo total do material mnimo? Explique seu raciocnio usando os conceitos e as

propriedades de derivao (diferenciao).

d) Qual o custo total mnimo da caixa, em reais?

15) Um engenheiro precisa construir uma caixa fechada de base quadrada com 45 litros de capacidade, isto , 45.000 cm3. O material a ser utilizado muito caro e precisa ser otimizado. O engenheiro sabe que o material usado na tampa e na base

custa 5 centavos por centmetro quadrado e que o material para os lados custa 3 centavos por centmetro quadrado.

a) Escreva uma funo que represente o custo total ( )C x da caixa (em centavos) em funo do lado x da base quadrada.

b) Qual o domnio da funo ( )C x , isto , o intervalo em que ela vlida?

x

x

18 cm

18 cm

x

x

x

x x

x

Caixa sem tampa



c) Se voc fosse o engenheiro responsvel por este projeto, quais dimenses (lado da base e altura) voc definiria para a caixa com o objetivo de tornar o custo total do material mnimo? Explique seu raciocnio usando os conceitos e as

propriedades de derivao (diferenciao).

d) Qual o custo total mnimo da caixa, em reais?

16) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir um recipiente cilndrico com tampa e com

capacidade para 250 mL (250 cm3). Observe que se utilizarmos a aproximao 3 , este volume ser de aproximadamente 750 mL (750 cm3). Para economizar material na construo do recipiente, o engenheiro ir otimizar as

dimenses (dimetro e altura) de tal forma que a rea total seja mnima.

a) Sem usar a aproximao 3 , isto , mantendo o nas expresses at ser cancelado (se possvel), escreva a funo que representa a rea total do recipiente em funo do raio r da base;

b) Quais devem ser as dimenses (raio da base e altura) da embalagem para que a rea total (custo) seja mnima? c) Qual a rea total mnima?

17) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir um recipiente cilndrico com tampa e com capacidade para 750 mL (750 cm3). Para economizar material na construo do recipiente, o engenheiro ir otimizar as

dimenses (dimetro e altura) de tal forma que a rea total seja mnima.

a) Usando a aproximao 3 , escreva a funo que representa a rea total do recipiente em funo do raio r da base; b) Quais devem ser as dimenses (raio da base e altura) da embalagem para que a rea total (custo) seja mnima? c) Qual a rea total mnima?

18) No desenvolvimento de um novo produto, um engenheiro precisa construir uma embalagem cilndrica de 6 litros (6.000

cm3) de capacidade (volume obtido pela aproximao 3 ). No tendo encontrado uma pea pronta com esse formato, ele decidiu otimizar as dimenses da embalagem a ser construda.

a) Usando a aproximao 3 , escreva a funo que representa a rea total da embalagem em funo do raio r da base;

b) Quais devem ser as dimenses (raio da base e altura) da embalagem para que a rea total (custo) seja mnima? c) Qual a rea total mnima da embalagem?

19) A curva abaixo, conhecida como sigmide, usada para modelar o crescimento de micro-organismos. Suponha que um determinado alimento foi atingido por uma bactria. Supunha ainda que o crescimento do nmero de micro-organismos

nas primeiras 20 horas seja dado pelo grfico ao lado, que pode ser modelado pela funo exponencial

0.5 5

12000( )

1 xf x

e

Onde x o tempo decorrido, em horas, aps a contaminao e ( )f x o nmero de micro-organismos no alimento no

tempo x .

x: tempo (horas)

f(x) : no. microorg

a) Qual a derivada da funo ( )f x ? b) Qual a taxa de crescimento dos micro-organismos aps 10 horas de contaminao?



20) A curva de potncia de um motor (em cv) varia de acordo com o nmero de rotaes deste (em rpm). Suponha que, num certo experimento, obteve-se para um determinado motor a curva de potncia abaixo (veja grfico). No eixo x est o

nmero de rotaes por minuto (rpm), em milhares - isto , a serem multiplicadas por 1000. O eixo y mostra a potncia em

funo das rotaes, em cv. Esta curva, com a ajuda de um software apropriado, pode ser modelada pela funo

exponencial

2 12 36

6( ) 180

x x

F x e Onde x o nmero de rotaes (rpm, em milhares), F(x) a potncia, em cv, e e o nmero de Euler (base da funo

exponencial natural).

x: Rotao(rpm)

F(x): Potncia(CV)

a) Qual a derivada da funo ( )F x ?

b) Qual a taxa de variao da potncia a 3000 rpm (isto , no ponto 3x )? [Use 2,7e ]. c) Qual o nmero de rotaes que faz com que a potncia seja mxima? Justifique usando derivada. d) Qual a potncia mxima que este motor atinge?

21) A curva de potncia de um motor (em cv) varia de acordo com o nmero de rotaes deste (em rpm). Suponha que, num certo experimento, obteve-se para um determinado motor a curva de potncia abaixo (veja grfico). No eixo x est o

nmero de rotaes por minuto (rpm), em milhares - isto , a serem multiplicadas por 1000. O eixo y mostra a potncia em

funo da rotao, em cv. Esta curva, com a ajuda de um software apropriado, pode ser modelada pela funo

exponencial

2 8 16

4( ) 140

x x

F x e

Onde x o nmero de rotaes (rpm, em milhares), F(x) a potncia, em cv, e e o nmero de Euler (base da funo

exponencial natural).

x: Rotao(rpm)

F(x): Potncia(CV)

a) Qual a derivada da funo ( )F x ?

b) Qual a taxa de variao da potncia a 2000 rpm (isto , no ponto 2x )? [Use 2,7e ].



c) Qual o nmero de rotaes que faz com que a potncia seja mxima? Justifique usando derivada. d) Qual a potncia mxima que este motor atinge?

22) [Exerccio adaptado da UFES - Universidade Federal do Esprito Santo] Considere uma pequena comunidade que abastecida com gua extrada de 8 poos, cada um possuindo uma vazo de 1.800 litros de

gua por dia. A prefeitura dessa cidade pretende aumentar o nmero de poos; porm, para cada poo adicional

perfurado, estima-se que a vazo por poo diminui em 50 litros por dia. Por exemplo, com um poo adicional

perfurado, a vazo de cada um dos 9 poos fica em 1.750 litros por dia.

a) D a expresso da vazo por poo ( )v x em funo do nmero x de poos adicionais perfurados.

b) D a expresso da vazo total ( )V x em funo do nmero x de poos adicionais perfurados.

c) Esta comunidade possui 117 residncias, cada uma consumindo 200 litros de gua por dia. O chefe de obras da prefeitura, atribuindo valores aleatrios quantidade adicional de poos, concluiu que o volume

de gua para atender a esse nmero de residncias pode ser obtido perfurando-se 18 poos adicionais. No

entanto, o engenheiro ambiental responsvel pelo projeto afirma que, analisando-se matematicamente o problema, possvel conseguir a mesma vazo com um nmero bem menor de poos adicionais. Qual

esse nmero?

d) Usando derivadas, determine o nmero de poos adicionais a serem perfurados de modo que a vazo total seja a maior possvel e calcule essa vazo mxima.

23) [Exerccio adaptado da UFES - Universidade Federal do Esprito Santo] Uma pequena localidade abastecida com gua extrada de 6 poos, cada um possuindo uma vazo de 1.100 litros de gua por hora. A prefeitura dessa cidade pretende aumentar o nmero de poos; porm, para cada poo adicional perfurado,

estima-se que a vazo por poo diminui em 25 litros por hora. Por exemplo, com um poo adicional perfurado,

a vazo de cada um dos 7 poos fica em 1.075 litros por hora. a) D a expresso da vazo por poo em funo do nmero de poos adicionais perfurados. b) D a expresso da vazo total em funo do nmero de poos adicionais perfurados. c) Determine o menor nmero de poos que devem ser perfurados para que a vazo total seja de 9.225 litros

por hora. d) Usando derivadas, determine o nmero de poos adicionais a serem perfurados de modo que a vazo total

seja a maior possvel e calcule essa vazo mxima.



Definio Uma funo ( )F x chamada uma primitiva da funo ( )f x em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva

de ( )f x ), se, para todo x I , temos '( ) ( )F x f x . A funo ( )F x tambm chamada de integral indefinida de ( )f x .

A primitiva de uma funo polinomial

Se ( )f x uma funo da forma ( )nf x x , a primitiva ( )F x de ( )f x dada por

1

( )1

nxF x c

n, isto :

1

( )1

nn xx dx c

n

Regra da soma: [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx (a integral da soma a soma das integrais)

Regra da multiplicao por uma constante: ( ) ( )kf x dx k f x dx , quando k uma constante.

Determine as integrais indefinidas (primitivas) nos exerccios a seguir:

1) 4( )f x x

2) 3 2( )f x x x

3) 3( ) 12f x x

4) 2( ) 3 6 5f t t t

5)

2

( )3

xf x

6) 2( 3 30 )x x dx

7) 4 6 10( 5 9 )x x x dx

8) (2 10)t dt

9) (10 )t dt

10) xdx

11) 5dx

12) 2(4 )r dr

13)

2 6 5

2

x xdx

14)

4 3

2

3 8x xdx

x

Integrais que exigem manipulaes bsicas (expoentes racionais e integrais com radicais)

Determine as integrais listadas a seguir:

15) 2

1dx

x

16) 3

12dx

x

17) 2

6(2 )dx

x

18)

1

3x dx

19)

2

5t dt

20)

2

3( )x x dx

21) xdx

22) 5 3x dx

23) x xdx

24) 2(1 )x x dx

25) 3( )x x dx

Unidade 7 Integral indefinida: a primitiva de uma funo



Aplicaes da integral definida: clculo de reas definidas por funes

Teorema Fundamental do Clculo Se ( )f x uma funo contnua no intervalo [ , ]a b e se ( )F x uma primitiva de ( )f x

nesse intervalo, ento:

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a

Clculo da rea sob uma curva

1) Dada a funo 2( ) 3 60f x x x , faa o que se

pede a seguir:

a) Calcule 10

2

5( 3 60 )x x dx .

b) Calcule a rea hachurada sob o grfico de ( )f x .

5 10 15 20

50

100

150

200

250

300

x

f(x)

2) Dada a funo 2( ) 4f x x , faa o que se pede a

seguir:

a) Calcule 2

2

2(4 )x dx .


-2 -1 1 2

-1

1

2

3

4

x

f(x)

3) Dada a funo 2( ) 3 18f x x x , faa o que se pede

a seguir:

a) Calcule 4

2

2(3 18 )x x dx .


-1 1 2 3 4 5 6 7

-30

-20

-10

10

20

30

40

x

f(x)

4) Dada a funo 2( ) 3 12f x x x , faa o que se pede

a seguir:

a) Calcule 6

2

2(3 12 )x x dx .


-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-10

10

20

30

40

x

f(x)

5) Calcule a rea da regio hachurada sob o grfico de 3 2( ) 6 9 1f x x x x .

1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

x

f(x)

6) Dada a funo 3( )f x x , faa o que se pede a seguir.

a) Calcule 2

3

2( )x dx .


-2 -1 1 2

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

f(x)

Unidade 8 Integral definida: integral (ou soma) de Riemann

7) Calcule a rea da regio hachurada sob o grfico de 3 2( ) 10 21f x x x x .

1 2 3 4 5 6 7

-20

-15

-10

-5

5

10

15

x

f(x)

Clculo da rea entre duas curvas

8) Calcule a rea da regio hachurada delimitada pela

funo2( ) 6 14f x x x .

-1 1 2 3 4 5 6 7-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x

f(x)

9) As curvas definidas por 2( ) 3 30f x x x e por

( ) 6 21g x x delimitam a regio hachurada a

seguir. Determine a rea dessa regio.

2 4 6 8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

x

y


( ) 3 54g x x delimitam a regio hachurada a


2 4 6 8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

x

y

11) As curvas definidas por 2( ) 10h x x x e por

2( ) 10 32v x x x delimitam a regio hachurada

a seguir. Determine a rea dessa regio.

10

10

20

30

x

y

12) As curvas definidas por 2( ) 6 8u x x x e por

2( ) 6 40v x x x delimitam a regio

hachurada a seguir. Determine a rea dessa regio.

10

20

30

40

50

x

y

13) As curvas definidas por 23( ) 4 24 36 20f x x x x e por

23( ) 4 24 36 10g x x x x delimitam a regio hachurada a seguir. Determine a rea dessa regio.

1 2 3 4

10

20

30

40

50

x

y


2( ) 8g x x x delimitam a regio hachurada a


2 4 6 8

10

20

30

40

x

f(x)



Integrais de funes exponenciais usuais

x xe dx e c 1kx kxe dx e ck

( )

xx aa dx c

n a

( )

kxkx aa dx c

k n a

1) te dt

2) (2 )xe dx

3) (400 )xe dx

4) 200

xedx

5) 2xe dx

6) 5xe dx

7) 3xe dx

8) 2

x xe edx

9) 3x dx

10) (200 2 )x dx

11) 32 x dx

12) 460 10 t dt

13) 3 4( 2 )t te dt

14) (10 10 )x dx

15) 2( 2 )xx dx

16) 1

0

xe dx

17) 10

02x dx

Integrais de funes da forma ( )k

f xx

(que resultam na funo logaritmo neperiano ou natural)

1| |dx n x c

x | |

kdx k n x c

x

18) 1dt

t

19) 2

dxx

20) 1

(1 )dxx

21) 400

(1200 )drr

22) 1

( )t dtt

23)

25 7 2t tdt

t

24) A regio hachurada a seguir delimitada pela funo

10( )f x

x e pelas retas 1x , 3x e 0y .

Calcule a rea dessa regio.

1 2 3

10

20

30

40

x

f(x)

25) A regio hachurada a seguir delimitada pelas funes

4( )f x

x,

4( )g x

x e pelas retas 4x ,

4x , 16y e 16y . Calcule a rea dessa regio.

-4 4

-16

16

x

f(x)

Unidade 9 Integral de funes exponenciais



Integrais das funes trigonomtricas usuais (seno e cosseno)

( ) ( )sen x dx cos x c 1

( ) ( )sen kx dx cos kx ck

( ) ( )cos x dx sen x c 1

( ) ( )cos kx dx sen kx ck

Tabela de integrais que resultam nas demais funes trigonomtricas

2sec ( ) ( )x dx tg x C sec . secx tgxdx x C

2cossec ( ) ( )x dx cotg x C sec . cosecco x cotgxdx x C

1) 5 ( )sen x dx

2) [10cos( )]x dx

3) [cos(2 )]x dx

4) [8cos(4 )]x dx

5) [5cos(3 )]x dx

6) [10 cos( )]x dx

7) [20 10cos( )]t dt

8) [40 20cos(2 )]t dt

9) [12 4cos(2 )]t dt

10) (4 )sen x dx

11) [ 12 ( )]sen x dx

12) [6 (2 ) 10 (5 )]cos x Cos x dx

13) 10cos(2 ) 40 (20 )x sen x dx


( ) ( )f x sen x , onde x dado em radianos. Calcule a

rea dessa regio.

x

f(x)


( ) 40 10 (0.25 )f x sen x , onde x dado em

radianos. Calcule a rea dessa regio.

x

f(x)

Mtodos de integrao: substituio de varivel e integrao por partes, veja a unidade 14 apndice.

Unidade 10 Integral de funes trigonomtricas



Clculo do volume de um slido de revoluo

Rotao em Torno do Eixo X Rotao em Torno do Eixo Y

2[ ( )]b

aV f x dx 2[ ( ]

b

aV g y dy

a e b so os extremos da curva no eixo x a e b so os extremos da curva no eixo y

f(x) a funo dada g(y) a inversa da funo f(x) dada (isto : 1( ) ( )g y f x )

1) A curva abaixo o grfico da funo ( )f x x , no intervalo [0,4] .

x

y

x

y

z

a) Determine o volume do slido de revoluo acima obtido pela rotao completa da curva em torno do eixo x.

b) Se rotacionarmos apenas o arco compreendido sobre o intervalo [1,4] , qual ser o volume do slido obtido?

x

y

x

y

z

2) A curva abaixo o grfico da funo 2( )f x x , no intervalo [0,2] . Faa um esboo do slido de revoluo obtido

pela rotao dessa curva em torno do eixo x e calcule seu volume.

x

y

Unidade 11 Aplicaes de integrais: volumes e distncias



3) A curva abaixo o grfico da funo

2

( ) 24

xf x , no intervalo [0,4] . Faa um esboo do slido de revoluo

obtido pela rotao dessa curva em torno do eixo x e calcule seu volume.

x

y

4) Suponha que para se obter um copo do tipo tulipa (copo de chope) se use a curva ( )f x x . A rotao dessa curva em

torno do eixo x, com [0,16]x , fornece o slido desejado. Considerando que as dimenses da figura so dadas em cm,

calcule a capacidade do copo em mL. Dado: 3

1 1cm m .

x

y

Clculo de distncias

Quando dado o grfico da velocidade de um mvel em funo do tempo de deslocamento, a rea sob o grfico da

velocidade corresponde distncia percorrida (espao percorrido) por este mvel.

5) A equao da velocidade de um mvel durante um perodo de tempo dada por ( ) 2 5v t t , onde ( )v t a

velocidade, em metros por segundo, no instante t , dado em segundos. O grfico abaixo ilustra a variao da velocidade

desse mvel. Aplicando a soma de Riemann (integral definida), calcule a distncia percorrida entre os instantes 2t segundos e 5t segundos.

t: tempo(s)

v(t): vel. (m/s)

6) A equao da velocidade de um mvel durante um perodo de tempo dada por ( ) 5 40v t t , onde ( )v t a


desse mvel. Aplicando a soma de Riemann (integral definida), calcule a distncia percorrida entre os instantes 1t segundo e 4t segundos.



t: tempo(s)

v(t): vel. (m/s)

7) A equao da velocidade de um mvel durante um perodo de tempo dada por 2( ) 10 4v t t t , onde ( )v t a


desse mvel. Aplicando a soma de Riemann (integral definida), calcule a distncia percorrida entre os instantes 0t segundo e 5t segundos.

t: tempo(s)

v(t): vel. (m/s)

8) A equao da velocidade de um mvel durante um perodo de tempo dada por 2( ) 20 15v t t t , onde ( )v t a


desse mvel. Aplicando a soma de Riemann (integral definida), calcule a distncia percorrida entre os instantes 0t

segundo e 10t segundos.

t: tempo(s)

v(t): vel. (m/s)



1) Escreva, usando notao de srie, as seguintes somas:

a) 2 3 20

1 2 2 2 2S

b) 1 2 3 15

2 1 3 3 3 3S

c) 1 2 100

3 200 200 2 200 2 200 2S

d) 4 2 3

1 1 11

2 2 2S

e) 2 4 6

5 1S x x x

f) 6

( ) ( ) ( ) ( )( )

1! 2! 3! 4!

i ii iii ivf c f c f c f c

S f c

onde ( )nf c a derivada ensima de f em c .

2) Dada a sequncia (7, 14, 21, 28, 35, ...), faa o que se pede:

a) Identifique o padro (PA ou PG) da sequncia e determine a razo, se existir.

b) Calcule o valor do vigsimo termo. c) Calcule a soma dos vinte primeiros termos. d) Escreva a expresso do termo geral da sequncia. e) Represente a soma do item c usando notao de

srie.

f) Calcule o valor da srie

40

1

(7 )n

n .

3) Dada a sequncia (10, 16, 22, 28, 34, ...), faa o que se pede.

a) Identifique o padro da sequncia e a razo, se existirem.

b) Escreva a expresso do termo geral da sequncia. c) Calcule o valor do trigsimo termo. d) Calcule a soma dos trinta primeiros termos.

e) Calcule o valor da srie

100

1

(4 6 )n

n .

4) Calcule o valor da soma indicada pela srie finita 1.000

1

(8 12 )n

n .

5) Numa arquibancada de um estdio de futebol, h 40 fileiras de cadeiras. Na primeira fileira h 240

cadeiras; na segunda, 244; na terceira, 248 e assim

sucessivamente.

a) Qual o termo geral da sequncia? b) Quantas cadeiras h na ltima fileira? c) Qual o total de cadeiras nessa arquibancada?

d) Usando o termo geral, escreva a soma do item c em forma de srie.

6) Represente, usando notao de srie: a) A soma dos 200 primeiros termos da sequncia

(1;1 2;1 2 2;1 3 2; ) .

b) A soma dos infinitos termos da sequncia

(1;1 2;1 2 2;1 3 2; ) .

c) A soma dos infinitos termos da sequncia

(1;10;100;1000; )

d) A soma dos infinitos termos da sequncia

(1;0,1;0,01;0,001; )

7) Dada a sequncia (10, 20, 40, 80, 160, ...), faa o que

se pede:

a) Identifique o padro da sequncia e determine a razo, se existir.

b) Calcule o valor do dcimo quinto termo. c) Calcule a soma dos vinte primeiros termos. d) Escreva a expresso do termo geral da sequncia.

e) Calcule o valor da srie

12

1

(5.2 )n

n

.

8) Dada a sequncia (3, 6, 12, 24, 48, ...), faa o que se pede:

a) Calcule o valor do vigsimo primeiro termo dessa sequncia.

b) Calcule o valor da soma dos vinte primeiros termos?

c) Escreva a soma do item b em forma de srie.


1 1 1(1; ; ; ; )

2 4 8.


1 1 1(1; ; ; ; )

2 4 8.


10 10 10(10; ; ; ; )

3 9 27.


10 10 10(10; ; ; ; )

3 9 27.

c)

Unidade 12 Sequncias e sries numricas: PA e PG



Aplicaes: sries de Taylor e sries de Maclaurin

Teorema Toda srie cujos termos formam uma PG infinita de razo q tal que 1 1q convergente.

Teorema Se uma srie 1

n

n

a convergente, ento o limite do termo geral zero, isto , lim( ) 0nn

a .

Obs.: observe que esta uma condio necessria para a convergncia da srie, mas no suficiente.

Teorema A srie harmnica 1

1

n n divergente e, portanto, toda srie equivalente a esta tambm ser divergente.

1) Calcule o valor da soma infinita a seguir (limite da soma):

3 3 312 6 3

2 4 8

2) Verifique se a srie 0

16

2nn convergente. Em

caso afirmativo, calcule o valor para o qual a soma

converge (limite da soma).


10

3nn convergente e

calcule, se existir, o limite da soma.


1

10

n

n

convergente e


5) Verifique se a srie 0 2

nn

x convergente e



10.3n

n

convergente e



5

n n convergente e calcule,

se existir, o limite da soma.

Aplicaes: sries de Taylor e sries de Maclaurin

Definio Seja ( )f x uma funo que admite derivadas at a ordem n num ponto c . A srie de Taylor (ou polinmio de

Taylor) de ordem n de f no ponto c , denotado por ( )np x , dado por:

( )2''( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )

2! !

nn

n

f c f cp x f c f c x c x c x c

n

Note que a srie de Taylor um mtodo para aproximar uma funo por um polinmio. Isso, em geral, facilita bastante os

clculos.

8) Determine o polinmio de Taylor de ordem 4 da funo ( )xf x e no ponto 0c .

9) Determine o polinmio de Taylor de ordem 1 da funo ( )xf x e no ponto 0c . Note que este um problema de

linearizao, pois estamos substituindo a funo ( )xf x e , na vizinhana do ponto 0c , por uma reta.

Unidade 13 Limite e convergncia de sries numricas



Definio Seja :[ , ]f a b uma funo definida num intervalo [a, b]. Suponha que as derivadas de f at ordem n existam

e sejam contnuas em [a, b] e que ( 1)nf exista em (a, b). Seja c um ponto qualquer fixado em [a, b]. Ento, para cada

[ , ],x a b x c , existe um ponto z entre c e x tal que: ( ) ( 1)

1( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )! ( 1)!

n nn nf c f zf x f c f c x c x c x c

n n

Quando 0c , a srie de Taylor fica ( ) ( 1)

1(0) ( )( ) (0) '(0)! ( 1)!

n nn nf f zf x f f x x x

n n

E chamada de srie de Maclaurin.

O ltimo termo

( 1)1( )( ) ( )

( 1)!

nn

n

f zR x x c

n da srie de Taylor acima representa o resto (erro) na aproximao feita pelo

polinmio de Taylor e usado para se estimar o valor mximo do erro cometido.

10) Dada a funo ( ) ( )f x cos x , faa o que pede:

a) Determine o polinmio de Taylor de grau 2 da funo ( )f x no ponto 0c .

b) Determine o polinmio de Taylor de grau 4 da funo ( )f x no ponto 0c .

c) Usando o polinmio 4 ( )p x , determine um valor aproximado para 6

cos .

d) O que se pode afirmar sobre o erro cometido no item c?



Mtodo da substituio ou mudana de varivel para integrao

Exemplo 1 Calcule2

2

1

xdx

x.

Resoluo: Fazendo a mudana 21u x , temos 2du xdx . Assim:

2

2

2 1| | (1 )

1

xdx du n u c n x c

x u.

Determine as integrais a seguir:

1)

2

3

3

2

xdx

x. Dica: faa

32u x

2)

2

31

xdx

x.

3) ( 10)sen x dx . Dica: faa 10u x .

4) 2 cossen x xdx . Dica: faa u senx .

5) 10(2 1)

dx

x. Dica: faa 2 1u x .

6) 8(3 5)

dx

x

Mtodo da integrao por partes

udv uv vdu

Exemplo 2 Calcule2xxe dx .

Resoluo: Escolhendo u x e 2xdv e dx , temos:

u x du dx

2 2 21

2

x x xdv e dx v e dx e

Aplicando a frmula udv uv vdu , temos:

2 2 21 1( )2 2

x x xxe dx x e e dx . Calculando a ltima integral, obtemos:

2 2 21 1

2 4

x x xxe dx xe e c

Determine as integrais a seguir:

7) xxe dx

8) 3xxe dx .

9) 510 xxe dx .

10) cosx xdx . Dica: faa u x e cosdv xdx .

11) 5xsen xdx .

12) Aplicando o mtodo da integrao por partes, determine 2x senxdx . Dica: faa 2u x e dv senxdx . Aplique a

integrao por partes duas vezes e perceba que, na segunda aplicao, surgir a integral do exerccio 10 acima.

Unidade 14 Apndice: mtodos de integrao



Unidade 1

1) '( ) 2f x x

2) '( ) 2 10f x x

3) '( ) 2 5f x x

4) 2

'( ) 3f x x

5) 2

'( ) 3 10f x x x

6) '(5) 10f Taxa = 10

7) Respostas:

a) '(4) 2f Taxa = 2

b) '(5) 0f Taxa = 0

c) '(6) 2f Taxa = -2

8) Respostas:

a) '(3) 2f Taxa = 2

b) '(4) 0f Taxa = 0

c) '(5) 2f Taxa = -2

9) '(1) 11f 11

10) Respostas:

a) '(20) 10f Taxa = 100C/min.

b) '(60) 10f Taxa = -100C/min.

c) No instante x = 28 min. d) No instante x = 40 min.

Unidade 2

1) 2'( ) 15 50 30h x x x

2) 4 3 2'( ) 5 20 6 20h x x x x x

3) 5

4'( )v t

t

4) 3

20'( )f t

t

5)

2

2

10 8 20'( )

(10 4)

x xh x

x

6) 2

5'( )

(2 1)w x

x

7) 2

2'( )

( 1)v x

x

8) 2

2'( )

(2 4)h x

x

9) 2

10'( )

( 1)v t

t

10) 2 2

20'( )

( 3)

tf t

t

11) 2 3'( ) (8 20)( 5 )h x x x x

12) 9'( ) 20(2 1)f x x

13) 2/3

1'( )

3f x

x

14) 4/5

1'( )

5f x

x

15)

4/37'( )

3

xf x

16) 2/3

2'( )

(10 6 )v t

t

17) 2

'( )f xx

18) 2

'( )16

xf x

x

19) 2

5'( )

5 20

tf t

t

20) 2

1 5'( )

2 8 10

xf x

x x x

21) '(3) 5,25F , ou seja, a temperatura estava caindo 5,250C/hora.

Unidade 3

1) Respostas: a) {1, 3}.

b) 1x ponto de mximo relativo e 3x ponto de mnimo relativo.

c) (1) 14f mximo relativo e (3) 10f mnimo relativo. d) O mnimo absoluto 10 e o mximo absoluto 14. e) O mnimo absoluto 10 e o mximo absoluto 14. f) O mnimo absoluto 3.875 e o mximo absoluto 20.125.

2) Respostas:

a) 2x ponto de mnimo relativo e 5x ponto de mximo relativo.

Gabarito



b) (2) 13f mnimo relativo e (5) 40f mximo relativo. c) O mnimo absoluto 13 e o mximo absoluto 40. d) O mnimo absoluto -12 e o mximo absoluto 65.

3) Respostas

a) 3 2( ) 4 120 900V x x x x

b) 0 15x c) 5 x cm

d) 32000 2000 2 cm m litros

4) Respostas:

a) 10x ponto de mximo absoluto. b) (10) 200f valor mximo absoluto dessa funo.

5) Respostas:

a) 6t ponto de mnimo absoluto. b) (6) 24f valor mnimo absoluto dessa funo.

6) Respostas:

a) 3x ponto de mximo relativo e 7x ponto de mnimo relativo. b) O valor mximo absoluto da funo 58,1 e o mnimo absoluto 54,9. c) 58,1. d) 50. e) Grfico

t

F(t)

7) Respostas:

a) O ponto crtico 4x um ponto de mnimo relativo da funo.

b) No intervalo 0x , o valor extremo assumido em 4x um mnimo absoluto, pois "( ) 0f x para todo 0x ,

ou seja, a concavidade do grfico voltada para cima em todo o intervalo 0x .

c) O mnimo absoluto da funo no intervalo 0x 288.

8) Respostas:

a) O ponto crtico 10r um ponto de mnimo relativo da funo.

b) No intervalo 0r , o valor extremo assumido em 10r um mnimo absoluto, pois "( ) 0A r para todo 0r ,

ou seja, a concavidade do grfico voltada para cima em todo o intervalo 0r .

c) O mnimo absoluto da funo no intervalo 0r 1800.

9) O ponto crtico 3x um ponto de inflexo da funo.

10) O ponto crtico 2x um ponto de inflexo da funo.



Unidade 4

1) '( ) 2 n(2)xf x

2) 2 3 2'( ) 2 n(2) (2 3)x xf x x

3) 2'( ) 2. xf x e

4) 2

'( ) 2 . xf x x e

5) 23 6 7'( ) (12 12). x xf x x e

6)

( 1)/( 1)

2'( ) 2.

( 1)

x xef x

x

7) 10

1'( ) log ( )f x e

x, ou

1'( )

(10)f x

x n

8) 32

4 7'( ) log ( )

2 7

xf x e

x x, ou

2

4 7'( )

(2 7 ) (3)

xf x

x x n

9) 1

'( )f tt

10) 3

'( )h xx

11) 1

'( )f xx

12) 2

2 3'( )

3 10

xf x

x x

13) 2

7'( )

7 4

xf x

x

14) 3 2 2'( ) 3 ( )xf x e n x

x

15) 2

1( )

'( )( )

t

n tt

h t en t

16) 2 3 3 2'( ) (2 3 10 5)xh x e x x x

17)

3 22

2

2 10'( ) (2 5) ( 8)

8

x xh x x n x

x

Unidade 5

1) '( ) cos( )f t t

2) '( ) ( )f t sen t

3) 2'( ) sec ( )f t t

4) '( ) 10cos( )f x x

5) '( ) 10cos(10 )f x x

6) '( ) cos( )f x x

7) '( ) 30cos(10 )f x x

8) '( ) 2cos( 2. )f x x

9) 2'( ) 2 cos( )f x x x

10) '( ) 10cos(2 3)f x x

11) '( ) 30cos(2 )f x x

12) 2'( ) (2 2) ( ) ( 2 ) cos( )f x x sen x x x x

13) 2

( ) cos( )'( )

( )

sen x x xf x

sen x

14) ( )'( ) cos( ) sen xf x x e

15) ( )'( ) cos( ) 3 (3)sen xf x x n

16) '( ) 10 ( )f x sen x

17) '( ) 10 (10 )f x sen x

18) '( ) 20 (10 )f x sen x

19) '( ) 10 (2 )f x sen x

20) '( ) 2 (2 4)f x sen x

21) '( ) 2 (2 / 2)f t sen t

22) '( ) 80 (2 / 4)f t sen t

23) cos( )'( ) ( ) xf x sen x e

24) cos( )'( ) ( ) 10 (10)xf x sen x n

25) cos(5 )'( ) 5 ( ) (5 ) xf x sen x sen x e

26) 2

2

1'( ) '( ) sec ( )

cos ( )f x f x x

x

27) '( ) cos( ) ( )f x x sen x

28) '( ) 20cos(5 ) 21 (3 )f x x sen x

29) '( ) (2 )f x sen x

30) '( ) (2 )f x sen x

31)

2'( ) sec ( ) sec( ) ( ) ou

'( ) sec( ) [sec( ) ( )]

f x x x tg x

f x x x tg x



Unidade 6

1) Respostas

a) '( ) 2f x x

b) 3'( ) 2f x x

c) '( ) 2 . (2)xf x n

d) '( ) 2 . (2)xf x n

e) 2'( ) 2.2 . (2)xf x n

f) 2

'( ) (2 ).2 . (2)xf x x n

g) 2 6 4'( ) (2 6).2 . (2)x xf x x n

h) '( )xf x e

i) '( )xf x e

j) 2'( ) 2 xf x e

k) 2

'( ) (2 ). xf x x e

l) 2 4 3'( ) ( 2 4). x xf x x e

m) '( ) cos( )f x x

n) '( ) 2cos( )f x x

o) '( ) 2cos(2 )f x x

p) 2'( ) (2 ).cos( )f x x x

q) '( ) 12 (4 )f x sen x

r) 4 5'( ) 60 . (4 )f x x sen x

s) 2'( ) 9 1f x x x

t) 2 3

1 4'( ) 2 12g x x

x x

u) 2 3 2 19'( ) (60 200 ).( 5 )v x x x x x

v) 2 4'( ) [(2 4) (10 ) 10cos(10 )]x xw x e x sen x x

w) 2

7'( )

(2 3)h x

x

x) ( )2

x xe eh x

y) ( )2

x xe eh x

z)

2 6

2 6 2

4000.'( )

(1 )

x

x

ep x

e

2) Respostas a) 140C/min b) -60C/min c) Aps 40 min d) Aps 48 min e) 48 min f) 6060C

3) Respostas a) 200 libras/seg b) 20 segundos c) 4000 libras

4) Respostas a) 625 m3 b) -50m3/h c) -30m3/h d) Aps 10h e) Aps 30h; A gua acaba , pois V(30) = 0.

5) Respostas a) 576 litros b) 400 litros c) -80 litros/min d) Aps 10 min e) Aps 12 min; A gua acaba, pois V(12) = 0.

6) Respostas

a) 0,1'( ) 200 3 (3)tp t n

b) 1980 micro-organismos/h

7) Repostas

a) /6'( ) 300 3 (2)tp t n

b) 420 micro-organismos/h

8) Respostas

a) '( ) [( / 24) ]5

cos2

F t t

b) (5 / 4) 0C/min 3,9 0C/min

c) (5 / 2) 0C/min 7,8 0C/min

d) No instante t = 48 min e) No instante t = 24 min

9) Respostas

a) '( ) 3 [( /12) ]F t sen t

b) 3 N/s 9,4N/s

c) 0 d) No instante t = 6 seg e) No instante t = 18 seg

10) Respostas:

a) 4x ponto de mximo relativo e 7x ponto de mnimo relativo.

b) O valor mximo absoluto da funo 277 e o mnimo absoluto 250.

c) 277. d) 5. e) Veja grfico a seguir



x

g(x)

11) Respostas a) {3, 7} b) Mx. Abs. = 581 e Mn. Abs. = 500 c) No incio de 2003. d) 581 unidades/dia e) No incio de 2000. f) 500 unidades/dia.

12) Respostas

a) 3 2( ) 4 72 324V x x x x

b) 0 9x

c) 3 x cm

d) 3432 cm

13) Respostas

a) 3 2( ) 4 48 144V x x x x

b) 0 6x c) 2 x cm

d) 3128 cm

14) Respostas

a) 2 12000( ) 6C x x

x

b) 0x c) 10 x cm (lado da base); 20 y cm (altura)

d) 1800 centavos = R$18,00

15) Respostas

a) 2 540000( ) 10C x x

x

b) 0x c) 30 x cm (lado da base); 50 y cm (altura)

d) 27000 centavos = R$270,00

16) Respostas

a) 2 500( ) 2A r r

r

b) 5 r cm (raio da base); 10 h cm (altura)

c) 2150 cm

17) Respostas

a) 2 1500( ) 6A r r

r


c) 2450 cm

18) Respostas

a) 2 12000( ) 6A r r

r


c) 21800 cm

19) Respostas

a)

0,5 5

0,5 5 2

6000.'( )

(1 )

x

x

ef x

e

b)

0

0 2 2

6000. 6000'(10) 1500

(1 ) (2)

etaxa f

e

Isto , 1500 micro-organismos por hora.

20) Respostas

a)

2 12 36

6'( ) 30 ( 2 12)

x x

F x e x

b) 40,16 cv/1000rpm

c) 6x 6000 rpm d) 180 cv

21) Respostas

a)

2 8 16

4'( ) 35 ( 2 8)

x x

F x e x

b) 51.85 cv/1000rpm c) 4x 4000 rpm d) 140 cv

22) a) ( ) 1800 50v x x

b) 2( ) 50 1400 14400V x x x

c) 10x poos adicionais

d) 14x poos adicionais; 24.200 litros/dia

23) a) ( ) 1100 25v x x

b) 2( ) 25 950 6600V x x x

c) 3x

d) 19x poos adicionais; 15.625 litros/hora



Unidade 7

1)

5

( )5

xF x c

2)

4 3

( )4 3

x xF x c

3) 4( ) 3F x x c

4) 3 2( ) 3 5F t t t t c

5)

3

( )9

xF x c

6) 3 2( ) 15F x x x c

7)

5 7 115 9( )

4 7 11

x x xf x dx c

8) 2( ) 10f t dt t t c

9) 2( ) 5f t dt t c

10)

2

2

xxdx c

11)

255

2

xxdx c

12)

34( )

3

rf r dr c

13)

3 23 5( )

6 2 2

x x xf x dx c

14) 3 2( ) 4f x dx x x c

15) 1

( )f x dx cx

16) 2

6( )f x dx c

x

17) 6

( ) 2f x dx x cx

18)

4/33( )

4

xf x dx c

19)

7/55( )

7

tf t dx c

20)

2 5/33( )

2 5

x xf x dx c

21)

3/22( )

3

xf x dx c

22)

8/55( )

8

xf x dx c

23)

5/22( )

5

xf x dx c

24)

3/2 7/22 2( )

3 7

x xf x dx c

25)

3/2 4/32 3( )

3 4

x xf x dx c

Unidade 8

1) Respostas:

a) 10

5( ) 1375f x dx

b) 10

5( ) 1375 . .A f x dx u a

2) Respostas:

a) 2

2

32( )

3f x dx

b) 2

2

32( ) . .

3A f x dx u a

3) Respostas:

a) 4

2( ) 52f x dx

b) 4

2( ) 52 52 . .A f x dx u a

4) Respostas:

a) 6

2( ) 16f x dx

b) 4 6

2 4( ) ( ) 16 32 48 . .A f x dx f x dx u a

5) 8,25 . .u a

6) ) 0 ; ) 8 . .a b u a

7) 937 /12 78.08 . .u a 8) 36 . .u a

9) 360 . .u a 10) 171,5 . .u a

11) 72 . .u a 12) 333,33 . .u a

13) 40 . .u a 14) 85,33 . .u a



Unidade 9

1) t te dt e c

2) (2 ) 2x xe dx x e c

3) (400 ) 400x xe dx e c

4) 200 200

x xe edx c

5)

22

2

xx ee dx c

6)

55

5

xx ee dx c

7)

33

3

xx ee dx c

8) 2 2

x x x xe e e edx c

9) 3

3(3)

xx dx c

n

10) 200 2

(200 2 )(2)

xx dx c

n

11)

33 22

3 (2)

xx dx c

n

12)

44 15 1060 10

(10)

tt dt c

n

13)

3 43 4 2( 2 )

3 4 (2)

t tt t ee dt c

n

14) 10

(10 10 ) 10(10)

xx dx x c

n

15)

32 2( 2 )

3 (2)

xx xx dx c

n

16) 1

01 1,72xe dx e

17) 10

0

1.0232 1.475,88

(2)

x dxn

18) 1

| |dt n t ct

19) 2

2 | |dx n x cx

20) 1

1 | |dx x n x cx

21) 400

1200 1200 400 | |dr r n r cr

22)

21| |

2

tt dt n t c

t

23)

2 25 7 2 57 2 | |

2

t t tdt t n t c

t

24) 10 (3) 10,99 . .n u a

25) 16 16[ (4) (1/ 4)] 60,36 . .n n u a

Unidade 10

1) 5 ( ) 5cossen x dx x c

2) [10cos( )] 10x dx senx c

3) (2 )

[cos(2 )]2

sen xx dx c

4) [8cos(4 )] 2 (4 )x dx sen x c

5) 5 (3 )

[5cos(3 )]3

sen xx dx c

6) [10 cos( )] 10x dx x senx c

7) [20 10cos( )] 20 10 ( )t dt t sen t c

8) [40 20cos(2 )] 40 10 (2 )t dt t sen t c

9) 2 (2 )

[12 4cos(2 )] 12sen t

t dt t c

10) cos(4 )

(4 )4

xsen x dx c

11) [ 12 ( )] 12cos( )sen x dx x c

12) ( ) 3 (2 ) 2 (5 )f x dx sen x sen x c

13) ( ) 5 (2 ) 2cos(20 )f x dx sen x x c

14) 2 . .u a

15) 320 . .u a



Unidade 11

1) Respostas:

a) 8 . . 25,13 . .u v u v

b) 7,5 . . 23,56 . .u v u v

2) 6,4 . . 20,11 . .u v u v

3) 157,50 . .u v

4) 402,12 m

5) 36 m 6) 82,5 m

7) 103,33 m

8) 816,67 m

Unidade 12

1) Respostas:

a)

20

1

2n

n

b)

15

0

3n

n

c)

100

0

200 2n

n

d) 0

1

2nn

e) 2

0

n

n

x

f)

( )

0

( )

!

n

n

f c

n

2) Respostas: a) PA de razo 7. b) 140 c) 1470

d) 7na n

e)

20

1

[7 ]n

n

f) 5.740

3) Respostas: a) PA de razo 6.

b) 4 6na n

c) 184 d) 2.910 e) 30.700

4) 6.014.000

5) Respostas:

a) 236 4na n

b) 396 c) 12.720

d)

40

1

[236 4 ]n

n

6) Respostas:

a)

199

0

1 2n

n

b) 0

1 2n

n

c) 0

10n

n

d) 0 0

110

10

n

nn n

7) Respostas: a) PG de razo 2.

b) 155 2 163.840

c) 2010(2 1) 10.485.750

d) 5 2nna

e) 1210(2 1) 40.950

8) Respostas:

a) 203 2 3.145.728

b) 203(2 1) 3.145.725

c)

201

1

3 2n

n

9) Respostas:

a)

100

0

1

2nn

b) 0

1

2nn

10) Respostas:

a)

100

0

10

3nn

b) 0

10

3nn

Unidade 13

1) 24 2) Converge, pois uma PG infinita com | | 1q .

0

1632

2nn

3) Converge, pois uma PG infinita com | | 1q .

0

1015

3nn


0

1 10

10 9

n

n


0

22nn

xx

6) No converge, pois uma PG infinita com | | 1q .

7) No converge, pois equivale srie harmnica multiplicada por 5.



8)

2 3 4

4 ( ) 12! 3! 4!

x x xP x x

9) 1( ) 1P x x

10) Respostas:

a)

2

2 ( ) 12

xP x

b)

2 4

4( ) 12 24

x xP x

c) 0,866066

cos

d) O erro cometido, em mdulo, menor ou igual a

0,000327 .

Unidade 14 - Apndice

1)

23

3

3| 2 |

2

xdx n x c

x

2)

2 3

3

|1 |

1 3

x n xdx c

x

3) ( 10) ( 10)sen x dx cos x c

4)

32 ( )cos

3

sen xsen x xdx c

5) 10 9

1

(2 1) 18(2 1)

dxc

x x

6) 8 7

1

(3 5) 21(3 5)

dxc

x x

7) ( 1)x x x xxe dx xe e c x e c

8) 3 3 ( / 3 1/ 9)x xxe dx e x c

9) 5 510 ( 2 2 / 5)x xxe dx e x c

10) cos ( ) ( )x xdx cos x xsen x c

11)

(5 ) (5 )5

25 5

sen x xcos xxsen xdx c

12) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )x senxdx x cos x xsen x cos x c

PIOVESANA, Celso Ildio; SANTOS, Valdomiro Placido, et al. Matemtica bsica; Itatiba, Berto, 2009.

GONALVES, M., FLEMMING, D. M. Clculo A: funes, limite, derivao e integrao; 5a ed., So

Paulo; Makron Books, 1999.

LEITHOLD, L. O clculo com geometria analtica; v.1, 3a ed., So Paulo; HARBRA, 1994.

Leituras sugeridas e referncias

apostila de matemática

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