apostila de matemática i
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7/15/2019 Apostila de Matemtica I.
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Universidade Federal Fluminense
Matemtica I
Professora Maria Emilia Neves Cardoso
Notas de Aula / 1 semestre de 2013
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Captulo 1: Limite de uma funo real
O conceito de limite o ponto de partida para definir todos os outros conceitos do Clculo,como os de continuidade, derivada e integral. Nesse captulo vamos discutir o que so os limites ecomo podem ser calculados. Tambm vamos estudar o conceito de continuidade.
1.1Noo intuitiva do conceito de limite
Falando de maneira geral, o processo de determinar o limite consiste em investigar ocomportamento do valor f(x) de uma funo medida que sua varivel independente x se aproximade um nmero c, que pode ou no pertencer ao domnio de f.
Vamos supor que queremos saber o que acontece com f(x) =1x
2xx 2
medida que x se
aproxima de 1.
Embora f(x) no seja definida em x = 1, podemos avaliar f(x) para valores de x prximos de1. Para fazer isto, preparamos uma tabela como a que aparece a seguir:
Os valores da funo nesta tabela sugerem que:
f(x) se aproxima do nmero 3 medida que x se aproxima de 1 de ambos os lados.
Podemos obter valores para f(x) to prximos de 3 quanto quisermos, bastando para issotomar valores de x suficientemente prximos de 1.
Esse comportamento pode ser descrito, intuitivamente, dizendo que o limite de f(x) quandox tende a 1 igual a 3 e abreviado por
1xlim
f(x) = 3
Geometricamente, a expresso o limite de f(x) quando x
tende a 1 igual a 3 significa que a altura do grfico de y = f(x) se
aproxima de 3 medida que x se aproxima de 1.
O grfico de f(x) =1x
2xx 2
uma reta com um buraco
em (1,3), e os pontos (x,y) no grfico se aproximam desse buraco medida que x se aproxima de 1 de ambos os lados.
x 0,9 0,95 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,05 1,1f(x) 2,9 2,95 2,99 2,999 3,001 3,01 3,05 3,1
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De modo geral, escrevemos:
cxlim
f(x) = L
para indicar que os valores da funo tendem para o nmero L quando x tende para c e dizemos queo limite de f(x) quando x tende para c igual a L.
Ao discutirmos o limite, admitimos que f(x) definida para todos os valores de x nasproximidades de c, mas no necessariamente para x = c. A funo no precisa nem existir no pontox = c; mesmo que exista, seu valor neste ponto, f(c), pode ser diferente do limite quando x tende a c.
Isso est ilustrado na figura 1 abaixo. Para as trs funes representadas, o limite de f(x)quando x tende a c, igual a L, embora as funes se comportem de forma bastante diferente em x= c. Em (a), f(c) igual ao limite L; em (b), f(c) diferente de L e em (c), f(c) no est definido.
Figura 1
A figura 2 abaixo mostra os grficos de duas funes que no tm limite quando x tende a c.O limite no existe na figura 2(a) porque os limites laterais so diferentes, isto , f(x) se aproximade 5 quando x tende a c pela direita e se aproxima de 3 (um valor diferente) quando x tende a c pelaesquerda. A funo da figura 2(b) no tem limite (finito) quando x tende a c porque os valores def(x) aumentam indefinidamente medida que x se aproxima de c. Dizemos que funes como a dafigura 2(b) tm um limite infinito quando x tende a c. Li mites laterais e limites infinitos seroestudados mais adiante.
Figura 2
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1.2Propriedades dos limites
Seria muito trabalhoso calcular cada limite por meio de uma tabela, como fizemos na seoanterior. O nosso objetivo agora introduzir propriedades (teoremas) que permitam simplificar oclculo dos limites de funes algbricas.
O teorema 1 a seguir, se refere aos limites de duas funes lineares elementares.
Teorema 1: a) Se k um nmero real qualquer ento kklimcx
b) cxlimcx
Como veremos no teorema 2, os limites obedecem a certas regras que so importantesporque simplificam o clculo dos limites de funes algbricas.
Teorema 2: Se L)x(flimcx
e Mg(x)limcx
onde L e M so nmeros reais ento:
a)
g(x))(f(x)limcx
)x(flimcx
+ )g(xlimcx
= L + M
b)
g(x))(f(x)limcx
)x(flimcx
)g(xlimcx
= LM
c)
)(f(x).g(x)limcx
)x(flimcx
. )g(xlimcx
= LM
d) ))x((a.flimcx = a )x(flimcx onde a um nmero real qualquer.
e)
n
cx(f(x))lim n
n
cxLf(x)lim
onde n *
f) Se M 0 entocx
lim g(x)
f(x)=
g(x)lim
f(x)lim
cx
cx
=M
L
g) Se Lf(x)limcx
ento ncx
f(x)lim
= ncxf(x)lim
= n L desde que n seja um nmero natural mpar
ou que n seja um nmero natural par e L > 0.
Aplicando os teoremas 1 e 2 podemos determinar facilmente o limite de funes polinomiaise de algumas funes racionais.
Teorema 3: a) Seja p(x) uma funo polinomial. Ento p(c)p(x)limcx
b)Seja r(x) =q(x)
p(x)uma funo racional. Se q(c) 0 ento r(c)r(x)lim
cx
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Exemplos:
1)5x
lim
7
2)4
limx
x
3)3x
lim
(x5)
4)2x
lim
(x3 + 2x + 5)
5)4
limx
(3x25)
6)0x
lim
(x53x4 + 2x2 + 7)
7)0x
lim
8x
2x
8)1x
lim
3xx
12x2
9)3x
lim 1x
32xx 2
10)2x
lim
4 2 4x4x
11)1x
lim
35x3
12)5x
lim 4x
3x
Teorema 4: Se Lf(x)limcx
e h(x) uma funo tal que h(x) = f(x) para todos os valores de
x pertencentes a algum intervalo ao redor de c, excluindo o valor x = c, ento Lh(x)limcx
.
Queremos calcular, por exemplo,2x
lim 2x
4x 2
A funo f(x) =2x
4x 2
no est definida para x = 2, pois medida que x se aproxima de 2,
tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero.
Mas observe que para todos os valores de x tais que x 2, temos:
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2x
4x 2
=
2x
)22)(x(x
= x + 2
Alm disso, sabemos que2x
lim
(x + 2) = 4
Logo, pelo teorema 4, podemos concluir que: 2xlim 2x
4x 2
= 4
Exemplos:
1)1x
lim 1x
2xx 2
2)3x
lim 3x4x
6xx2
2
3)2x
lim 42x
x4 2
4) 2)2x
lim 63x
x2x23
5)0x
lim
x
11)(x 2
6)1x
lim x1
x1
7)4
lim
x
4x
2x
8)3x
lim 3x
36x
9)0x
lim x2
x4
10)1x
lim 23xx
xx2
2
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Exerccioslista 1
Determine os limites:
1)1x
lim
(53xx2) 2)3x
lim
(5x27x3)
3)2x
lim 2xx
1xx2
2
4)
5/2xlim 32x
254x 2
5)2x
lim 4x
x2 26)
1/2xlim 82x1
1x2
7)2x
lim 3x
5xx3
8)
1xlim
3210
3
3x4xx
44x27x
9)1x
lim x2
x4 2
10)
1xlim
1x
34xx2
2
11)1x
lim 3x
18x
12)
8/3xlim 83x
649x 2
13)7x
lim 7x
49x 2
14)
3xlim
32 26x
4x
15)3x
lim 3x
34xx 2
16)
0xlim x
9x)(3 2
17)0x
lim x
22x 18)
3xlim 3x3
x3
19)3x
lim 21x
3x
20)
1xlim
1x
14x2x3x 23
21)0x
lim
5x
12xx 2
22)
0xlim
x
xx 3
23)2x
lim 32 x3x
2x
24)
3xlim
3x
x9 2
Respostas:
1) 7 6) 5 / 16 11) 3 /2 16) 6 21) 1 / 5
2) 21 7) 2 12) 16 17) 1 / 2 2 22)1
3) 7 / 8 8) 3 / 2 13)14 18) 2 23) 04) 0 9) 3 / 3 14)1 /2 19) 4 24) 65)1 / 4 10)1 15)2 20) 0
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1.3Limites laterais
Quando uma funo definida apenas de um lado de um nmero c, ou quando uma funose comporta de forma diferente de cada lado de um nmero c, mais natural, ao definir o limite,exigir que a varivel independente tenda para c apenas do lado que est sendo considerado. Essasituao ilustrada no seguinte exemplo:
Seja f(x) =
3xsex5
3xse2x3
A figura mostra que o valor de f(x) tende a 7 quando x tendea 3 para valores menores que 3, isto , f(x) tende a 7 quando x tendea 3 pela esquerda. Denotamos esse fato simbolicamente como
7f(x)lim3x
A figura mostra, tambm, que o valor de f(x) tende a 2 quando x tende a 3 para valoresmaiores que 3, isto , f(x) tende a 2 quando x tende a 3 pela direita. Simbolicamente temos
2)x(flim3x
Os limites quando x tende para a pela direita e quando x tende para a pela esquerda sochamados de limites laterais.
O teorema a seguir estabelece a relao entre limites laterais e limites.
Teorema: O f(x)limcx
existe e igual a L se e somente se f(x)limcx
= f(x)limcx
= L
No exemplo anterior, como f(x)lim3x
f(x)lim3x
conclumos que f(x)lim3x
no existe.
Observao: Limites laterais satisfazem propriedades anlogas s estabelecidas em 1.2
Exemplos:
1Seja f(x) =
1xse2x
1xse74x2 Determine, se existir, f(x)lim-1x
2Seja f(x) =
2xsex9
2xse2
2xse1x
2
2
Determine, se existir, f(x)lim2x
3Seja f(x) =
3xse73x
3xse1xDetermine, caso existam, os seguintes limites:
a) f(x)lim0x
b) f(x)lim3x
c) f(x)lim5x
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1.4Continuidade
Na linguagem comum, um processo contnuo aquele que ocorre sem interrupes ou
mudanas repentinas. Intuitivamente, dizemos que uma funo contnua se podemos desenhar oseu grfico sem interrupes ou sem tirar o lpis do papel. Formalmente, a definio decontinuidade expressa utilizando a noo de limite da seguinte maneira:
Definio: Uma funo f contnua em um nmero c se:
a) f(c) definidab) f(x)lim
cxexiste
c) f(x)limcx
= f(c)
Exemplo 1: Verifique se as funes abaixo so contnuas em x =2
f(x) = x32x + 1
g(x) =1x
1x 2
h(x) =
2xsex3
2xse5
2xse7x
Vimos na seo 1.2 que, se p(x) e q(x) so funes polinomiais, ento,
p(c)p(x)limcx
eq(x)
p(x)lim
cx=
q(c)
p(c) se q(c) 0
De acordo com esses resultados e pela definio de continuidade, temos:
Teorema 1: Uma funo polinomial contnua em todos os nmeros reais.
Teorema 2: Uma funo racional contnua em todos os nmeros nos quais definida.
Exemplo 2: f(x) = 3x2x + 5 contnua em IR
Exemplo 3: f(x) =2x
1x
contnua em IR{2}
Observao: Se uma funo no contnua em um nmero c, dizemos tambm que f descontnua em c.
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Apresentamos abaixo os grficos de trs funes descontnuas em c.
f(c) no definida f(x)cx
lim
no existe f(x)cx
lim
f(c)
Exemplo 4: Verifique se f(x) =
2xse1
2xse2x
4x 2
contnua em x = 2
Exemplo 5: Verifique se f(x) =
4xse33x
4xse15
4xse1x 2
contnua em x = 4.
Exemplo 6: Verifique se f(x) =
0xse2x
0xse4x contnua em x = 0
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Exerccioslista 2
Nas questes de 1 a 8, verifique se as funes so contnuas nos valores dados:
1) f(x) =
3xsex9
3xsex5
em x = 3 5) f(x) =
1xsex
1xsex2
2 em x = 1
2) f(x) =
0xse1
0xse0
0xse1
em x = 0 6) f(x) =
1xse4
1xse1x
32xx 2
em x =1
3) f(x) =
1xsex3
1xsex3
em x = 1 7) f(x) =
3xse2
3xse3x
9x 2
em x = 3
4) f(x) =
1xsex
1xse12x2
em x = 1 8) f(x) =
2xsex11
2xse0
2xsex3
2
2
em x = 2
Nas questes de 9 a 12, determine o valor de a para que f(x) seja contnua no valor indicado.
9) f(x) =
3xsea
3xse93x
x9 2
em x =3 10) f(x) =
3xsea
3xse155x
364x 2
em x = 3
11) f(x) =
2xse10xa
2xse2x
4x 2
em x =2 12) f(x) =
1xse43xx
1xse5ax2
em x = 1
Respostas:
1) no 2) no 3) no 4) sim
5) sim 6) sim 7) no 8) no
9) 2 10) 24 / 5 11) 7 12)3
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1.5Limites que envolvem infinito
1.5.1Limites infinitos
Na seo 1.1 calculamos o limite L dos valores f(x) de uma funo quando x tende para umnmero real c, isto ,
cxlim
f(x) = L onde L um nmero real. Pode ocorrer que, medida que x se
aproxima de um nmero c, os valores de f(x) tornam-se muito grandes (em mdulo). Esse fato podeser ilustrado pelos seguintes exemplos:
Seja f(x) =21)(x
1
Essa funo no definida para x = 1, mas podemos analisar o comportamento dos valoresde f(x) quando x est esquerda ou direita desse nmero. Para x prximo de 1, o denominador muito pequeno, o que significa que o quociente muito grande. A tabela abaixo mostra o aumentode f(x) medida que x se aproxima de 1.
Observamos que quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita, os valores de f(x)aumentam. Se admitirmos que esses valores possam crescer ilimitadamente, diremos que:
o limite de f(x) =2
1)(x
1
quando x tende a 1 pela esquerda mais infinito e indicaremos por
1xlim f(x) = +
o limite de f(x) =21)(x
1
quando x tende a 1 pela direita mais infinito e indicaremos por
1xlim f(x) = +
Apresentamos ao lado um esboo do grfico de f.
Como a funo tem o mesmo comportamento direita e esquerda de 1
conclumos que 1xlim f(x) = +
Podemos indicar de forma anloga, o comportamento de uma funo cujos valoresdecrescem ilimitadamente.
Vamos considerar a funo g(x) =2)3x(
x
A tabela a seguir mostra os valores de g(x) para alguns valores de x na vizinhana de3.
x 3,1 3,01 3,001 3 2,999 2,99 2,9g(x) 310 30.100 3.001.000 2.999.000 29.900 290
x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1f(x) 100 10.000 1.000.000 1.000.000 10.000 100
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Vemos que os valores de g(x) so negativos e muito grandes em valor absoluto para valoresde x prximos de 3, isto , os valores de g(x) decrescem ilimitadamente medida que x seaproxima de3 pela esquerda ou pela direita. O grfico de g aparece abaixo.
Escrevemos, nesse caso, que 3x
lim g(x) = e 3x
lim g(x) =
Como os limites laterais so iguais podemos afirmar que3x
lim
g(x) =
Seja h(x) =1x
2
Pelo grfico de h ao lado, vemos que medida que x seaproxima de 1 pela esquerda, os valores de h(x) decrescemilimitadamente, isto ,
1xlim h(x) =
Vemos, tambm, que quando x se aproxima de 1 pela direita, osvalores de h(x) crescem ilimitadamente, ou seja,
1xlim h(x) = +
Como a funo tem comportamento distinto esquerda e direita de 1, conclumos que noexiste limite de h(x) quando x tende para 1.
O seguinte teorema estabelece o clculo de limites infinitos:
Teorema: Se cx
lim f(x) = L, L 0 e cx
lim g(x) = 0 ento cx
limg(x)
f(x)= , com o sinal
dependendo dos sinais de L e de g(x) direita de c.
Observao: O teorema anterior pode ser enunciado para o limite esquerda de c com asmesmas concluses. A existncia do limite em c depende da igualdade dos limites laterais.
Exemplos: 1)5x
lim 5x
x9
2)
2xlim
2x
3x
3)0x
lim xx
1x2
2
4)
2xlim
2x
x1
5) 0xlim 23 xx
5
6) 1xlim 1x2x
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1.5.2Limites no infinito
Estamos interessados, agora, em conhecer o comportamento dos valores f(x) de uma funoquando x cresce ou decresce ilimitadamente.
Vamos calcular alguns valores de f(x) =x
1quando x cresce ilimitadamente.
x 10 100 1000 10000 100000f(x) 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
Observamos que, medida que x cresce ilimitadamente, os valores de f(x) se aproximam dezero, isto ,
xlim f(x) = 0
O grfico de f(x) = x
1
est esboado ao lado.
De modo geral, temos:
Teorema 1: Se n um nmero inteiro positivo e c um nmero real ento
xlim
nx
c= 0 e
xlim
nx
c= 0
Exemplos:
1)x
lim 4
x
5= 2)
xlim
53x
2=
Para o clculo de limites no infinito, de funes polinomiais e de funes racionais, temos osseguintes teoremas:
Teorema 2: Seja P(x) = a0 + a1 x + a2x2
+ ... + anxn
Entox
lim P(x) =x
lim an xn e
xlim P(x) =
xlim an x
n
Teorema 3: Sejam P(x) = a0 + a1 x + a2x2 + ... + anx
n e Q(x) = b0 + b1 x + b2x2 + ... + bmx
m
Entox
limQ(x)
P(x)=
xlim
m
m
n
n
xb
xae
xlim
Q(x)
P(x)=
xlim
m
m
n
n
xb
xa
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Exemplos:
1)x
lim (x33x2 + x7) =
2) x
lim (1x2 + x3 + 3x42x7) =
3) x
lim (2x5 + x24) =
4)x
lim87x52x
=
5) x
lim24x
53x2x5
3
=
6)x
lim 2
4
xx4253xx
=
7) x
lim4x5x
4xx2x323
32
=
8) x
lim2
23
x5x853xx
=
-
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Exerccios - lista 3
Determine os limites:
1)1x
lim 1x
2x
9)
3xlim
3x
1
2)2x
lim 2x
x 2
10)
2xlim
2x
1x 2
3)0x
lim5x
3x42
11) 7x
lim7x
7x
4) 2x
lim 2x
1x 2
12)
0xlim 3x
1
5) 2x
lim 2x
1x 2
13)
0xlim 2x
1
6)2x
limx2
1
14)
1xlim
22x
1
7)5x
lim 25)(x
x1
15)
8xlim
28)(x
3x
8) 1xlim 21)(xx3
16) 4xlim 4x
5
Respostas:
1)+ 5) + 9) + 13)2) 6) 10) no existe 14)3)+ 7) 11) 15)4) 8) + 12) no existe 16) no existe
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Exerccioslista 4
Determine os limites:
1)x
lim (2x47x + 1) 2) x
lim (2 + 5xx2 + 4x3)
3)x
lim (6x10x2) 4) x
lim (x5 + x3 + 9)
5)x
lim5
x
46)
xlim
210x
3
7)x
lim22x
78)
xlim
4x
2x
9)x
lim72xx
4x2x
2
24
10)
xlim
13x
13xx
3
2
11)
limx
3
4
5x
16x
12)
xlim
2x1
x1 2
13) x
lim1x2x
7xx53
2
14)
xlim
x4
14x
15) x
lim
76x
32x
16)
xlim
5
xx323
Respostas:
1) 5) 0 9) 13) 0
2) 6) 0 10) 0 14)4
3) 7) 0 11) 15) 1 / 3
4) 8) 1 12) 16)
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1.6Assntota vertical e assntota horizontal
Os limites envolvendo infinito que vimos na seo anterior so teis no traado de grficosporque podem ser usados para a localizao das assntotas.
Vamos considerar, por exemplo, a funo f(x) =5x62x
Observe a maneira pela qual o grfico de f esboado aolado se aproxima da reta vertical x = 5 imediatamente direita e esquerda da reta, isto ,
5x
62xlim
5x
= e5x
6x2lim
5x
=
A reta x = 5 chamada de assntota vertical do grfico de f.
A reta y = 2 chamada de assntota horizontal do grfico de f pois:
xlim
5x
62x
= 2 e
xlim
5x
62x
= 2
De modo geral, temos as seguintes definies:
Definio: A reta x = a chamada de assntota vertical do grfico de uma funo f se:
axlim f(x) = ou
axlim f(x) =
Definio: A reta y = b chamada de assntota horizontal do grfico de uma funo f se:
lim
x
f(x) = b ou
limx
f(x) = b
Portanto, para localizar as possveis assntotas verticais do grfico de uma funo racional f
tal que f(x) =q(x)
p(x)devemos procurar valores tais que q(a) = 0 e p(a) 0. Para achar as assntotas
horizontais precisamos verificar se existem valores finitos para os limites de f quando x tende a equando x tende a.
Outros exemplos:
-
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18
1) f(x) =1x
2x
x = 1 assntota vertical e y = 2 assntota horizontal
2) f(x) =4x
x2
2
x = 2 e x =2 so assntotas verticais e y = 1 assntota horizontal
3) f (x) =1x
x
2 No existem assntotas verticais e y = 1 e y = 1 so assntotas horizontais
4) f(x) =x
4x x = 0 assntota vertical e no existem assntotas horizontais
-
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Exerccioslista 5
Nas questes abaixo, determine se existirem, as equaes das assntotas verticais e das assntotashorizontais das funes dadas.
1) f(x) =2x14x
2) f(x) =1x
2x2
2
3) f(x) =21)(x
x
4) f(x) = 152xx
3x2
2
5) f(x) =3xx
9x2
2
6) f(x) =2x
2x2
2
7) f(x) =2x
x 3
8) f(x) =2x
x2
3
Respostas:
1) x =2 assntota vertical e y = 4 assntota horizontal
2) x =1 e x = 1 so assntotas verticais e y = 1 assntota horizontal
3) x =1 assntota vertical e y = 0 assntota horizontal
4) x =5 e x = 3 so assntotas verticais e y = 3 assntota horizontal
5) x = 0 assntota vertical e y = 1 assntota horizontal
6) No existem assntotas verticais e y = 2 assntota horizontal
7) x = 2 assntota vertical e no existem assntotas horizontais
8) No existem assntotas
-
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Exerccios de reviso de limiteslista 6
Determine os limites abaixo:
1)2x
lim 2xx
2x3xx2
23
11)
xlim
3x
5xx 23
2)9x
lim
x9
x3
12)
0xlim 23 xx
5
3)2x
lim
22)(x
1
13)
2xlim
2xx
12
4) 3x
lim3x
1
14)
1xlim
1x
33x2
5) 1x
lim 1x
3x
15)
0xlim 4x
xx 2
6)x
lim x2
6x1
16)
xlim
100101
99100
xx
xx
7) x
lim95x4x
1x2x2
2
17)
1/2xlim
2x
1
x
22x
8)9x
lim x8
355xx2
18)
xlim
x1x
9)0x
lim x
x42 19)
xlim
1x
x 2
10)1x
lim
6
x
1x
20)
3xlim
32
3
1x
3x5x2
Respostas:
1) 1 6) 6 11) + 16) 0
2) 1 / 6 7)1 / 2 12) 17) 9
3) + 8)1 13) 18) 1
4) 9) 1 / 4 14) 3 / 2 19)
5) + 10) 64 15) 1 / 4 20)2
-
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Captulo 2Derivada de uma funo real
Vamos iniciar esse captulo considerando dois problemas aplicados: o primeiro consiste emdeterminar o coeficiente angular (inclinao) da reta tangente em um ponto do grfico de umafuno e o segundo em definir a velocidade de um objeto em movimento retilneo. Essas duasaplicaes, aparentemente to diversas, vo conduzir ao mesmo conceito: o de derivada. Mais
adiante, abandonaremos os aspectos fsico e geomtrico dos dois problemas e definiremos aderivada como o limite de uma funo. Isso vai permitir aplicar o conceito de derivada a qualquerquantidade ou grandeza que possa ser representada por uma funo.
2.1Coeficiente angular da reta tangente ao grfico de uma funo
Vamos supor que P um ponto no grfico de uma funo f e queremos determinar a reta ttangente ao grfico de f em P. Sabemos que uma reta no plano determinada quando conhecemosseu coeficiente angular e um ponto pertencente a ela. Precisamos calcular, ento, o coeficienteangular de t. A idia para obter esse coeficiente angular aproximar a reta tangente por retas
secantes.
Escolhemos um outro ponto Q no grfico de f e traamos uma reta (secante) passando por Pe Q. Tomando Q bem prximo de P, podemos fazer com que o coeficiente angular da reta secantese aproxime do coeficiente angular da reta tangente com qualquer preciso desejada.
Vamos supor que P = (x0, f(x0)) e que a abscissa de Q esteja a x unidades de x0. Dessemodo, a abscissa de Q x0 + x. Como Q pertence ao grfico de f, a ordenada de Q f(x0 + x).Assim, Q = (x0 + x, f(x0 + x)).
O coeficiente angular da reta secante s :
ms =x
y =00
00
xxx
)f(xx)f(x
=
x
)f(xx)f(x 00
Se fizermos x tender a zero, o pontoQ se mover sobre a curva y = f(x) e tenderao ponto P. Alm disso, a reta secante s irgirar em torno de P e tender para a retatangente t. Logo, quando x tende a zero, ocoeficiente angular de s tende para ocoeficiente angular de t, ou seja,
mt =0x
lim x
)f(xx)f(x 00
Essas consideraes levam para a seguinte definio:
-
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Definio: Seja f uma funo definida em um intervalo contendo x0 e seja y0 = f(x0).Se o limite
m =0x
lim x
)f(xx)f(x 00
existe ( finito), diremos que a reta no plano xy contendo o ponto (x0, y0) e tendo coeficienteangular m a reta tangente ao grfico de f no ponto (x0, y0).
Exemplo: Escreva a equao da reta tangente ao grfico de f(x) = x2 + 3x no ponto (1,4).
Observao: Se f contnua em x0 e0x
lim x
)f(xx)f(x 00 = diremos que a reta
vertical x = x0 a reta tangente ao grfico de f em (x0, y0).
2.2Taxa de variao
Vamos considerar a seguinte situao: um carro est se movendo ao longo de uma estradareta e d(t) representa a sua distncia do ponto de partida aps t horas e queremos determinar avelocidade do carro num instante t1.
Para definir essa velocidade, primeiro calculamos a velocidade mdia em um intervalo detempo prximo de t1. Consideramos, por exemplo, os instantes t1 e t1 + t onde t um nmeroreal. As posies correspondentes so d(t1) e d(t1 + t). A velocidade mdia (vm) do carro entre osinstantes t1 e t1 + t :
vm = tempodovariao
distnciadavariao
= 11
11
ttt
)d(tt)d(t
= t
)d(tt)d(t 11
Para obtermos a velocidade do carro no instante t1 (ou a velocidade instantnea em t1),calculamos a velocidade mdia em intervalos de tempo cada vez menores. Se o intervalo de tempot pequeno, a velocidade mdia se aproxima da velocidade instantnea. Podemos ento definir a
velocidade no instante t1 ou a taxa de variao (instantnea) da distncia em relao ao tempocomo o limite quando t tender a zero na expresso para a velocidade mdia, isto :
v(t1) =0t
lim t
)d(tt)d(t 11
Exemplo: No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta e sua posio noinstante t dada por d(t) = t2 + 5. Determine a velocidade no instante t = 3.
As consideraes a respeito da taxa de variao da distncia em relao ao tempo podem sergeneralizadas e assim serem aplicadas para quaisquer quantidades variveis de qualquer espcie.
Definio: Seja y = f(x). A taxa de variao (instantnea) de y em relao a x quando xtem o valor x1 dada por
0xlim x
)f(xx)f(x 11
-
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Exemplo: Um teste para diabetes envolve a medida da concentrao de glicose no sangue deum paciente durante certo perodo de tempo. Suponha que t horas aps uma injeo de glicose suaconcentrao no sangue seja dada pela funo
f(t) =1,8 +t
6,3
onde f(t) o nmero de miligramas de glicose por centmetro cbico de sangue. Com que rapidez a
concentrao de glicose no sangue est variando 4 horas aps a injeo?
Soluo: Queremos determinar a taxa de variao de f(t) em relao a t quando t = 4
Ento0t
lim
t
f(4)t)f(4
=0t
lim
t
6,3t4
3,61,8
=0t
lim
t
8,1t4
3,6
=
= 0tlim t t4
t48,13,6
= 0tlim t4tt48,13,6
= 0tlim t4tt48,13,6
. t48,13,6t48,13,6
=
=0t
lim )t48,13,6(t4t
t)4(24,396,12
=0t
lim
)t48,13,6(t4t
t24,396,1296,12
=
=0t
lim
)t48,13,6(t4t
t24,3
=0t
lim
)t48,13,6(t4
24,3
= 225,014,4
24,3
Resposta: A taxa de glicose no sangue diminui a uma taxa de 0,225 mg por cm3 por hora
2.3A derivada de uma funo
Vimos nas sees 1 e 2 que o problema de determinar o coeficiente angular da reta tangenteao grfico de uma funo em um ponto dado e o problema de encontrar a taxa de variao de umavarivel em relao outra so ambos resolvidos pelo clculo do mesmo limite, que a base de umdos conceitos fundamentais do Clculo, a derivada, definida a seguir.
Definio: Dada uma funo f(x), a funo definida por
f(x) =0x
lim x
f(x)x)f(x chamada de (funo) derivada de f(x)
Exemplo: Determine a derivada de f(x) = x2 + 3x
Observaes:
1 O limite indicado na definio de derivada pode existir para alguns valores de x e deixar deexistir para outros. Se o limite existe ( finito) para x = a, dizemos que a funo derivvel(diferencivel) em a. Uma funo derivvel (diferencivel) aquela que derivvel em cada pontode seu domnio.
-
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2A notao fusada na definio anterior tem a vantagem de enfatizar que a derivada de f umaoutra funo de x que est associada de certa maneira com a funo f dada. Se a funo apresentada na forma y = f(x), com a varivel dependente explcita, ento o smbolo y usado em
lugar de f(x). A derivada de y = f(x) tambm indicada pordx
dye algumas vezes por Dx y.
Interpretao geomtrica: A derivada f(x) expressa o coeficiente angular da reta tangente curva y = f(x) em funo da coordenada x do ponto de tangncia (desde que o limite exista).
Taxa de variao: A derivada f(x) expressa a taxa de variao (instantnea) de y = f(x) emrelao a x.
A operao de encontrar a derivada de uma funo chamada derivao ou diferenciao epode ser efetuada aplicando-se a definio de derivada. No entanto, como esse processo usualmente demorado, precisamos de algumas regras (teoremas que so provados a partir da
definio de derivada) que possibilitem encontrar a derivada de certas funes mais facilmente.
2.4Regras bsicas de derivao
Sendo c IR, n Q e u e v funes reais de varivel x.
1) Regra da constante: Se f(x) = c ento f(x) = 0
2) Regra da identidade: Se f(x) = x ento f(x) = 1
3) Regra da potncia: Se f(x) = xn ento f(x) = n.xn1
4) Regra da soma: Se f(x) = u + v ento f(x) = u+ v
5) Regra do produto: Se f(x) = u.v ento f(x) = uv + uv
6) Regra do produto por uma constante: Se f(x) = c.u ento f(x) = c.u
7) Regras do quociente: a) Se f(x) =v
ue v 0 ento f(x) =
2
''
v
uv-vu
b) Se f(x) =v
c e v 0 ento f(x) =2
'
vcv-
Exemplos:
1) f(x) = x3 + 4x + 7
2) f(x) = 5x42x3 + x23x
3) f(x) = 2x5 + 3x 109x 2x + 8
4) f(x) = 3x + 4 x
-
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5) f(x) = (2x + 1)(3x2 + 5x)
6) f(x) = (4x2 + 2)(7x3 + x)
7) f(x) =x2
8) f(x) = 3 2x
1
9) f(x) =35x
7
10) f(x) = 12x
75x
11) f(x) =x
23x 2
12) f(x) =7x
x2
3
13) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico de f(x) = x
3
2x no ponto (2, 4).
14) A massa de uma cultura de bactrias tem seu crescimento representado pela funom(t) = p0 + 60t2,5t
2
para t medido em horas e m em cm3 e sendo p0 uma constante positiva. Calcule a velocidade decrescimento dessa cultura quando t = 6
15) Suponhamos que uma protena de massa m se decomponha em aminocidos segundo a funo
m(t) =3t
25
onde t representa o tempo medido em horas. Determine a taxa de variao de m em relao a tquando t = 2.
16) Um teste para diabetes envolve a medida da concentrao de glicose no sangue de um pacientedurante certo perodo de tempo. Suponha que t horas aps uma injeo de glicose sua concentraono sangue seja dada pela funo
f(t) = 1,8 +t
6,3
onde f(t) o nmero de miligramas de glicose por centmetro cbico de sangue. Com que rapidez aconcentrao de glicose no sangue est variando 4 horas aps a injeo?
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Exerccios - lista 7
Nos itens 1 a 18, ache as derivadas aplicando as regras bsicas:
1) f(x) = x53x3 + 1 10) f(x) = x2 (3x31)
2) f(x) = 5x6
9x4
11) f(x) = (x2
+ 1)(2x3
+ 5)
3) f(x) = x82x7 + 3x + 1 12) f(x) = (x31)(3x2x)
4) f(x) = 5x 525x1 13) f(x) =3(5x32x + 5)
5) f(x) =4
3x 2 +
5
4x1 + 6 14) f(x) =
2
1x 4
6) f(x) = 112x
1
3x
123 15) f(x) =
x2
1
7) f(x) =23x
2
5x
2 16) f(x) =
13x
72x
8) f(x) = 3 4x 17) f(x) =52x
x4
3
9) f(x) =x
418) f(x) =
1x
73x2
2
Nos itens de 19 a 22, calcule f(2):
19) f(x) = 13
x3
20) f(x) =2x
x2
21) f(x) = x 31 22) f(x) = (x2 + 1)(1x)
Nos itens de 23 a 25, determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico de f(x) no pontoespecificado.
23) f(x) = x43x3 + 2x26 ; P = (2,6)
24) f(x) = (5x1)( 4 + 3x) ; P = (0,4)
25) f(x) = 3xx
1; P = (1,2)
Nos itens de 26 a 28, determine a taxa de variao de f(x) em relao a x para o valor especificado.
26) f(x) = x x + 2x
1
; x = 1 27) f(x) = 32x
x
; x =1
28) f(x) = x33x + 5 ; x = 2
-
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Respostas:
1) 5x49x2 15)2x)(2
1
2) 30x5
36x3
16) 21)(3x
23
3) 8x714x6 + 3 17)24
26
5)(2x
15x2x
4)25x 6 + 25x 2 18) 22 1)(x
20x
5) 2
3
x 5
4
x
2
19) 4
6)x4 + x3 20)1/18
7)32 3x
22
5x
2
21)3/16
8)3
x4322)9
9)xx
2 23) 4
10) 15x42x 24) 17
11) 10x4 + 6x2 + 10x 25) 4
12) 15x44x36x + 1 26)3/2
13)45x2 + 6 27) 3
14)2x3 28) 9
-
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2.5Regra da cadeia e Regra Geral da Potncia
Vamos considerar o problema de derivar y = (x2 + 5x)3
Podemos desenvolver (x2 + 5x)3 e ento derivar o polinmio resultante.
Assim, y = (x2
+ 5x)3
= x6
+ 15x5
+ 75x4
+ 125x3
Logodx
dy= 6x5 + 75x4 + 300x3 + 375x2 (1)
Outro mtodo fazermos u = x2 + 5x de modo que y = u3
Entodu
dy= 3u2 e
dx
du= 2x + 5 (2)
Se considerarmos o produto dudy . dxdu e tratarmos as derivadas como quociente, ento o
produto sugere a seguinte regra:
dx
dy=
du
dy.dx
du
Da e por (2),dx
dy= 3u2(2x + 5) = 3(x2 + 5x)2(2x + 5)
Note que este resultado equivalente a (1)
Regra da cadeia (verso informal): Se y uma funo derivvel de varivel u e u uma
funo derivvel de varivel x, ento y uma funo derivvel de varivel x edx
dy=
du
dy.dx
du
Utilizando a regra da cadeia, tambm podemos provar o importante resultado enunciado aseguir:
Teorema (regra geral da potncia): Se r um nmero racional e u uma funo derivvel
de varivel x ento(u r) = r.u r1. u
Exemplos:
1) y = (x2 + 3x2)9 2) y = (x34x + 7)10
3) y = (x2 + 3x) 5 4) y = (x2 + 1)(3x1)4
5) y = 16x 6) y =
3
1x
2x
-
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Exerccios - lista 8
Nas questes 1 a 16, calcule as derivadas:
1) y = (52x)10 2) y = (4x + 1) 5
3) y = (2x4
x + 1)4
4) y = (x2
3x + 2)7
5) y = 5x2.(2x + 3)4 6) y = (x2 + 1)(3x + 2)5
7) y = 6x2(x1)3 8) y = 12xx 2
9) y = 3 2 5x 10) y = (7 + 2 x )5
11) y =43x
5
12) y =
42 )x1(
3
13) y =14x
1
2 14) y =
3
x1
4
15) y =4
x
1x
16) y =3
2x
14x
Respostas:
1)20 (52x)9 2)20 (4x + 1)6
3) (32x3 + 4)(2x4x + 1)5 4) 7(x23x + 2)6(2x3)
5) 10x(2x + 3)3(6x + 3) 6) (3x + 2)4(21x2 + 4x + 15)
7) 6x(x1)2(5x2) 8)12xx
1x
2
9)3 22 )5x(3
x2
10)
x
)x27(5 4
11)34)(3x2
15
12)
52 )x(1
24x
13)2/32 )14x(
x4
14)
4x)(1
192
15)5
3
x
1)4(x 16)4
2
2)(x
1)21(4x
-
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2.6Derivao implcita
Todas as funes com as quais trabalhamos at o momento foram dadas por equaes daforma y = f(x), onde a varivel dependente y definida explicitamente por uma expressoenvolvendo a varivel independente x. o caso, por exemplo, de y = x34x + 1
A equao 4x 1 = x3
y define a mesma funo y = f(x), mas dizemos, nesse caso, quey = f(x) est definida implicitamentepela equao.
Nesse exemplo, a funo pode ser expressa facilmente nas formas explcita e implcita.Outras funes, no entanto, so definidas implicitamente por uma equao que envolve tanto avarivel independente como a varivel dependente e na qual difcil ou mesmo impossvelexplicitar a varivel dependente. o caso, por exemplo, da equao x2y + 2y3 = 3x + 2y
Vamos supor que conhecemos uma equao que define y implicitamente como uma funo
de x e temos necessidade de calcular a derivada dx
dy
.
Se a equao dada no pode ser resolvida explicitamente para y, mas sabemos que existe
uma funo f tal que y = f(x), podemos obterdx
dyatravs de uma tcnica simples, que utiliza a regra
da cadeia, e que pode ser usada sem a necessidade de explicitar y. Essa tcnica conhecida comoderivao implcita.
Dada uma equao na qual se estabelece y implicitamente como uma funo de x, podemos
calculardx
dyderivando a equao termo a termo e utilizando a regra da cadeia quando derivarmos
os termos contendo y; a seguir, resolvemos a equao resultante paradx
dy.
Exemplos:
1) Sabendo que x e y esto relacionados pela equao x33x2y4 + 4y2 = 6x + 1, determinedx
dy
utilizando derivao implcita.
2) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo y = f(x) definidaimplicitamente na equao 2x2 + y3 + y7 = 3xy no ponto (1, 1)
3) Use a derivao implcita para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao grfico dafuno y = f(x) definida implicitamente na equao x2y36 = 5y3 + x quando x = 2.
4) Escreva a equao da reta tangente ao grfico da funo y = f(x) definida implicitamente naequao x2 +
2
1y1 = 0 no ponto (1, 0).
-
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Exerccios: lista 9
Nas questes de 1 a 4 encontre dy / dx atravs de derivao implcita:
1) 4xy + 3xy = 2 3) x + y = 1
2) xyxy + x = 7 4) yx = x
Nas questes de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao grfico da funo definidaimplicitamente pela equao dada para o valor indicado.
5) x = y ; x = 8 7) xy2xy = 6x + y + 1 ; x = 0
6) xy = 2 ; x = 2 8) (2x + y)3 = x ; x =1
Nas questes de 9 a 12 escreva a equao da reta tangente ao grfico da funo definidaimplicitamente pela equao dada no ponto indicado.
9) 4x + 9y = 36 ; P = (0, 2) 11) xy + 2xy = 0 ; P = (2,1)
10) xyy + xy = 1 ; P = (1,1) 12) (1x + y)3 = x + 7 ; P = (1, 2)
Respostas:
1)2
2
3x8xy
6xy4y
5)
3
19) y = 2
2)2xyx
2x2xyy2
2
6)
2
110) y =
2
3x +
2
5
3)x
y7)4 11) y =
2
x2
4) 2 yx 1 8)3
512) y =
12
13x +
12
11
-
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32
2.7Derivadas de funes exponenciais
Seja a 1IR* e seja u uma funo derivvel de varivel x
Se f(x) = au ento f(x) = u.au.ln a
Casos particulares:
1) Se f(x) = eu ento f(x) = u.eu
2) Se f(x) = ex ento f(x) = ex
Exemplos:
1) f(x) =
2x
3
2) f(x) = x72x2
5
3) f(x) = 7 1 / x
4) f(x) = xe
5) f(x) = 1e6x
2.8Derivadas de funes logartmicas
Seja a 1IR* e seja u uma funo derivvel de varivel x
Se f(x) = uloga
ento f(x) =u.lna
u '
Casos particulares:
1) Se f(x) = xloga ento f(x) =x.lna
1
2) Se f(x) = ln u ento f(x) =u
u'
3) Se f(x) = ln x ento f(x) =x
1
-
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33
Exemplos:
1) f(x) = 1)x2(3xlog 22
2) f(x) = log (4x57)
3) f(x) = 3 ln(2x1)
4) f(x) = ln(2x1)3
5) f(x) = (ln(2x1))3
6) f(x) = ln
x
1x
7) f(x) = ln
2
3x
2.9Derivao Logartmica
Podemos utilizar as propriedades dos logaritmos para simplificar o processo de derivaoatravs da tcnica chamada derivao logartmica.
Para acharmos a derivada de uma funo por derivao logartmica procedemos da seguintemaneira:
1 Escrevemos a equao y = f(x)
2 Usamos o logaritmo de ambos os lados dessa equao e simplificamos aplicando aspropriedades dos logaritmos.
3 Derivamos implicitamente a equao resultante em relao a x.
4 Resolvemos algebricamente a equao para y
Exemplo 1: y = xx
Soluo: Usando o logaritmo de ambos os lados e aplicando propriedades de logaritmos temos:
ln y = ln xx = x ln x
Derivando implicitamente a equao ln y = x ln x em relao a x obtemos:
y
y ' = ln x + x.x
1 = ln x + 1
-
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34
Portanto, y = y (ln x + 1) ou y = xx (ln x + 1)
Exemplo 2: y =12x
4)-(5x 3
Soluo: Usando o logaritmo de cada membro: ln y = ln12x
4)-(5x 3
Aplicando propriedades de logaritmos temos: ln y = ln (5x4)3ln (2x + 1)1/2
ln y = 3 ln(5x4)2
1ln (2x + 1)
Usando derivao implcita e simplificando vem:y
y'
= 3.12x
2.
2
1
4x5
5
=12x
1
4x5
15
Entoy
y'
=1)2x)(4x5(
19x25
Logo, y =12x
4)-(5x 3
.
1)2x)(4x5(
19x25
ou y =
3/2
2
1)2x(
19)x25()4(5x
2.10Derivadas das funes seno e cosseno
Seja u uma funo derivvel de uma varivel x.
a) Se f(x) = sen u ento f(x) = ucos u
b) Se f(x) = cos u ento f(x) = usen u
Exemplos:
1) f(x) = sen(6x) 2) f(x) = 2cos(4x + 3)
3) f(x) = 4sen(5x3) 4) f(x) = sen x
5) f(x) = x2cos(5x) 6) f(x) = sen3(2x)
7) f(x) =cosx1
1
-
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Exerccios - Lista 10
Nas questes de 1 a 20 calcule as derivadas, simplificando o resultado:
1) f(x) = e x5x3 11) f(x) = ln (4 + 5x)
2) f(x) = 2 x5x3 12) f(x) = ln 5x4
3) f(x) = 10 7x + 2 13) f(x) = ln (82x)5
4) f(x) = e x1
14) f(x) = (ln (3x + 1))2
5) f(x) = 323x 15) f(x) = ln 24x1
6) f(x) = (4x + e3x).e2x 16) f(x) = log (3x22x + 1)2
7) f(x) = 5e4x 17) f(x) = xlog2
8) f(x) = 3
2x
2x
e
18) f(x) = xln
9) f(x) =x
x
e
1e 19) f(x) = ln
x
3
10) f(x) = exlnx 20) f(x) =x
lnx
Nas questes de 21 a 26 use derivao logartmica para calculardx
dy
21) y = x x 22) y = x 2x + 1
23) y = (5x + 2)3(6x + 1)2 24) y = (x5)3 74x
25) y =4
7
3)(x
5)(x
26) y =
4
3
3x)(1
1x
-
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Respostas:
1) f(x) = (15x21)e x5x3 2) f(x) = (15x21)2 x5x
3 ln 2
3) f(x) = (7ln 10) 10 7x + 2 4) f(x) = ex
1x
1
2
5) f(x) = (6x) 323x ln 3 6) f(x) = 4e2x + 5e5x + 8xe2x
7) f(x) =5e
2e
4x
4x
8) f(x) =
4
2x
2x
3)(2xe
9) f(x) =xe
110) f(x) = ex
x
1lnx
11) f
(x) = 5x4
5
12) f
(x) = x108
5
13) f(x) =x4
5
14) f(x) =
1x3
1)6ln(3x
15) f(x) =24x1
4x
16) f(x) =
10ln)12(3x
412x2
x
17) f(x) =xln22
118) f(x) =
lnxx2
1
19) f(x) =x
120) f(x) =
2x
lnx1
21) y' = x
x2
ln x2x 22) y' = x 2x + 1
x
122lnx
23) y' = (5x + 2)2(6x + 1)(150x + 39) 24) y' =74x
11)x14(5)(x2
25) y' =5
6
3)(x
5)1)(x(3x
26) y' =
5
3
3x)1)(13(x
1x)37x33(
-
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Exerccioslista 11
Nas questes de 1 a 18, calcule as derivadas:
1) y = sen(x2 + 2) 2) y = cos(43x)
3) y = cos5(3x) 4) y = sen4(x3)
5) y = cos(3x2) + cos2(3x) 6) y = xx2cosx
7) y = cos(5x) 8) y = sen x + senx
9) y = sen(4x)1 cos(4x) 10) y = cosxxcosxsenx
11) y =x
senx12) y =
cosx1
senx
13) y = cos2(5x)sen2(5x) 14) y = cos(senx)
15) y = cos(5x3) 16) y = (sen(5x)cos(5x))5
17) y =cosx1
cosx1
18) y =cos(2x)1
sen(2x)
19) Mostre que (tg x) =xcos
12
-
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Respostas:
1) 2xcos(x2 + 2) 2) 3 sen(43x)
3)15 cos4(3x)sen(3x) 4) 12x2sen3(x3)cos(x3)
5)6x sen(3x2)6cos(3x)sen(3x) 6) 1 + x2senx2x cosx
7)cos(5x)2
sen(5x)58)
senx2
cosx
x2
xcos
9) sen(4x)1
4
10) xcos
xsen
2
2
11)2x
senxxcosx 12)
cosx1
1
13)20sen(5x)cos(5x) 14)cosx sen(senx)
15)15x2
sen(5x3
) 16) 25(sen(5x)cos(5x))4
(cos(5x) + sen(5x))
17)2cosx)(1
2senx
18)
cos2x1
2
-
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39
Captulo3Regras de LHpital
No captulo 1 tratamos de limites de quocientes tais como:
3xlim 3x
9x 2
e
1xlim 1x
1x
Em cada caso, calculando os limites do numerador e do denominador, obtemos expresses
indefinidas0
0. Dizemos que os quocientes indicados tm a forma indeterminada
0
0em x = 3 e
em x = 1, respectivamente.
Usamos, anteriormente, mtodos algbricos para calcular esses limites, mas eles tambmpodem ser determinados utilizando as derivadas das funes do numerador e do denominador doquociente.
Vamos considerar tambm a forma indeterminada na qual tanto o numerador como o
denominador tendem para ou. A tabela abaixo apresenta as formas que sero estudadas.
Formaindeterminada Forma de limite: ax
lim g(x)
f(x)
0
0
axlim
f(x) = 0 eax
lim
g(x) = 0
ax
lim
f(x) = ou eax
lim
g(x) = ou
O principal instrumento para o estudo das formas citadas a regra de LHpital quepodeser enunciada da seguinte maneira:
Sejam f e g funes derivveis em um intervalo aberto I.
Suponha que g(x) 0, para todo x a.
a) Suponha queax
lim
f(x) =ax
lim
g(x) = 0
Seax
lim (x)g
(x)f'
'
existe, ento,ax
lim g(x)
f(x)=
axlim (x)g
(x)f'
'
b) Suponha queax
lim
f(x) =ax
lim
g(x) =
Seax
lim (x)g
(x)f'
'
existe, ento,ax
lim g(x)
f(x)=
axlim (x)g
(x)f'
'
Observao: A regra de LHpital pode ser aplicada determinao de limites laterais e delimites no infinito.
-
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40
Exemplos:
1)2-x
lim 23xx
65xx2
2
2)1x
lim 15x2x4x
35xx3x235
45
3)x
lim1x3x
1x2
4)5x
lim
25x
21x2
5)0x
lim 1)ln(x
ee xx
6)x
limln x
12x3
7)7x
lim
x7
7xln
Algumas vezes, a aplicao da regra de LHpital a uma forma indeterminada conduz a uma
nova forma indeterminada. Quando isso acontece, uma segunda aplicao da regra pode sernecessria. Em alguns casos, preciso aplicar a regra vrias vezes para eliminar a indeterminao.
8)1x
lim
1xxx
2x3x23
3
9)x
lim3
3x
x
e
-
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41
H casos em que a indeterminao persiste no importando quantas vezes a regra seja aplicadae outros recursos, alm da regra de LHpital, precisam ser aplicados para determinar o limite. o
caso, por exemplo:0x
limx
e x1
Aplicando a regra de LHpital (duas vezes) obtemos:
0xlim
x
e x1
=0x
lim2
x1
x
e
=0x
lim3
x1
2x
e
(que continua indeterminado)
Para determinarmos o limite, devemos fazer uma mudana de varivel:
Sejax
1= y
Da y
1= x
Ento :0x
limx
e x1
=y
lim
y1
ey
=y
limy
e
y=
ylim
ye
1= 0
Observao: importante verificar se um dado quociente tem a forma indeterminada0
0ou
antes de aplicar a regra de LHpital. Se aplicarmos a regra a uma forma que no
indeterminada, poderemos chegar a uma concluso incorreta como veremos no exemplo a seguir.
Pelo que vimos no captulo 1 (seo 1.5) sabemos que0x
lim x
ee2
xx =
Se tivssemos (incorretamente) aplicado a regra de LHpital, teramos obtido:
0xlim x
ee2
xx =
0xlim 2x
eexx
Como esse ltimo quociente tem a forma indeterminada0
0, aplicaramos novamente a regra
de LHpital, encontrando:
0xlim 2x
ee xx =
0xlim 2
ee xx =
2
11= 1
Teramos assim, chegado concluso (errada) que o limite dado igual a 1.
-
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Exerccioslista 12
Use a regra de LHpital para determinar os limites abaixo:
1)2x
lim 14x3x
23x2x2
2
11)
xlim
x
x)ln(7
2)2x
lim
2x
16x 4
12)
xlim
34
x
xx
1e
3)1x
lim
12xx
23xx2
3
13)
xlim
2
4x
x
e
4)1x
lim 2x79xx5x
2x53xxx234
234
14)
0xlim
3
x
x
1x2e
5)3x
lim x3
)8ln(x 2
15)
xlim
x
)eln(x x
6)0x
lim 2
2x
x
2ln)1ln(e 16)
xlim
2x
lnx
7)2x
lim 5)ln(3x
3)ln(2x
17)
0xlim
xx
4e4x2
x2
8)x
limlnx
x 218)
0xlim x
11x2
9)x
lim2x
lnx19)
1xlim xx
lnx
10)1x
lim lnx
15x4x3 20)
0xlim
3
x
x
1ex
Respostas:
1) 5 / 13 2) 32 3) 3 4)3 5)6
6) 7) 2 / 3 8) 9) 0 10) 7
11) 0 12) 13) 14) 15) 1
16) 0 17) 4 18) 0 19) 2 20)
-
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Captulo 4Construo de grficos
Vimos no captulo 2, que a derivada de uma funo pode ser interpretada como o coeficienteangular da reta tangente ao seu grfico. Neste captulo, vamos explorar este fato e desenvolvertcnicas para o uso da derivada como auxlio construo de grficos.
4.1Funo crescente e funo decrescente
Os conceitos de funo crescente e de funo decrescente podem ser introduzidos atravsdos grficos de f(x) = 2x + 3 e g(x) =2x3.
Figura 1 Figura 2
Na figura 1 observamos que os valores de f(x) crescem medida que os valores de xaumentam. Dizemos, ento, que f crescente em IR.
Na figura 2, os valores de g(x) decrescem medida que os valores de x aumentam. Nestecaso, dizemos que g decrescente em IR.
Em geral, estabelecemos as seguintes definies:
Definio 1: Uma funo real crescente em um intervalo I se medida que os valores de xaumentam (x I), os valores de f(x) tambm aumentam, isto :
Se x1 < x2 ento f(x1) < f(x2)
Definio 2: Uma funo real decrescente em um intervalo I se medida que os valoresde x aumentam (x I), os valores de f(x) diminuem, isto :
Se x1 < x2 ento f(x1) > f(x2)
Exemplos:
1) f(x) = x22x decrescente em ], 1] e crescente em [1, [
2) f(x) = 4x2 crescente em ], 0] e decrescente [0, [
f(x) = x22x f(x) = 4x2
-
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44
Observamos na figura abaixo, que nos intervalos onde os coeficientes angulares das retastangentes so positivos, a funo crescente, e que nos intervalos onde os coeficientes angularesdas retas tangentes so negativos, a funo decrescente.
Podemos ento descobrir onde uma funo derivvel f crescente ou decrescente,verificando o sinal de sua derivada, j que f (x) fornece a inclinao da reta tangente ao grfico de f
em (x, f(x)). Onde f(x) > 0, a inclinao da reta tangente positiva e f crescente; onde f (x) < 0,a inclinao da reta tangente negativa e f decrescente.
Teorema (Teste da derivada primeira para funes crescentes e decrescentes):
Seja f uma funo contnua em um intervalo I e derivvel em I, no necessariamente nospontos extremos de I
a) Se f(x) > 0 para todo x em I, exceto possivelmente nos pontos extremos de I, ento f(x)
crescente em Ib) Se f(x) < 0 para todo x em I, exceto possivelmente nos pontos extremos de I, ento f(x)
decrescente em I
Exemplos:
3) f(x) = x36x2 + 9x decrescente em [1,3] e crescente em ], 1] e [3, [
4) f(x) =x4 + 8x212 decrescente em [2,0] e [2, [ e crescente em],2] e [0, 2]
5) f(x) =2x
2x
crescente em ],2[ e em ]2, [
6) f(x) =4x
x2
2
crescente em],2[ e ]2,0] e decrescente em [0, 2[ e ]2, [
-
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45
4.2Concavidade do grfico de uma funo
As figuras 1 e 2 acima mostram os grficos de duas funes derivveis em (a, b). Na figura1 vemos que, indo da esquerda para a direita, a inclinao da reta tangente cresce. Isso significa quea derivada de f uma funo crescente em (a, b). Na figura 2 a inclinao da reta tangente decresceda esquerda para a direita; logo a derivada de f uma funo decrescente em (a, b). Observamostambm, que na figura 1, o grfico de f(x) cncavo para cima e que na figura 2, o grfico de f(x)
cncavo para baixo.
Definio 3: Seja f(x) uma funo derivvel em um intervalo I.
a) O grfico de f(x) cncavo (ou tem concavidade) para cima em I, se f(x) crescente em I.
b) O grfico de f(x) cncavo (ou tem concavidade) para baixo em I, se f(x) decrescente em I.
Utilizando o teste da derivada primeira para funes crescentes e decrescentes e a definioanterior, podemos afirmar que:
Teorema (Teste da derivada segunda para concavidade de um grfico):
Seja f uma funo duas vezes derivvel em I.
a) Se f(x) > 0 para todo x em I ento o grfico de f cncavo para cima em I.
b) Se f(x) < 0 para todo x em I ento o grfico de f cncavo para baixo em I.
Exemplos:
1) O grfico de f(x) = x36x2 + 9x cncavo para baixo em ], 2[ e para cima em ]2, [
2) O grfico de f(x) = x4 + 8x3 + 18x28 cncavo para cima em ],3[ e ]1, [ e para baixoem ]3,1[
Figura 1 Figura 2
-
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46
3) O grfico de f(x) =2x
2x
cncavo para cima em ],2[ e para baixo em ]2, [
4) O grfico de f(x) = x4 cncavo para cima em ], 0[ e em ]0, [
Cada ponto do grfico de uma funo onde a concavidade muda chamado de ponto de inflexo. Por exemplo, o ponto (3,2) na figura aolado um ponto de inflexo do grfico de f(x) = (x2)2(x5).
Definio 4: Um ponto (c, f(c)) do grfico de f um ponto deinflexo se so verificadas as duas condies:
a) f contnua em c.b) a concavidade do grfico de f muda em (c, f(c)).
Exemplos:
1) f(x) = x36x2 + 9x
(2, 2) ponto de inflexo do grfico de f
2) f(x) = x4 + 8x3 + 18x28
(3, 19) e (1, 3) so pontos de inflexo do grfico de f
3) f(x) =2x
2x
Como o grfico de f s muda de concavidade em c = 2 e f no contnua em c = 2, noexistem pontos de inflexo no grfico de f.
4) f(x) = x4
Como a concavidade do grfico de f no muda, no existem pontos de inflexo no grfico de f.
-
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4.3Extremos relativos
O esboo do grfico de f(x) = x33x2 + 5 ao lado, mostraque o ponto (0, 5) est mais alto do que qualquer outro pontovizinho do grfico. Um ponto tal como (0, 5) chamado de pontode mximo relativo (ou de mximo local) do grfico de f.
Analogamente, o ponto (2, 1) que est mais baixo do quequalquer outro ponto vizinho do grfico de f denominado pontode mnimo relativo (ou de mnimo local) do grfico de f.
Se uma funo possui um mximo ou um mnimo relativo em um ponto P, dizemos quepossui um extremo relativo (ou extremo local) em P.
Os pontos (0, 5) e (2, 1) so exemplos de extremos relativos no sentido de que cada um
deles representa um extremo apenas na vizinhana do ponto. Devemos considerar, portanto, queuma funo pode admitir vrios extremos relativos, isto , vrios mnimos e mximos relativos.
Quando conhecemos os intervalos nos quais uma funo crescente ou decrescente, podemos
identificar os seus mximos e mnimos relativos. Um mximo relativo ocorre quando a funo prade crescer e comea a decrescer. Um mnimo relativo ocorre quando a funo pra de decrescer ecomea a crescer.
Sabemos que uma funo f(x) crescente quando f (x) > 0 e decrescente quando f(x) < 0ento os nicos pontos onde f(x) pode ter extremos relativos so aqueles onde f(x) = 0 ou onde noexiste f(x). Esses pontos so chamados de pontos crticos.
Definio 5: Um nmero c pertencente ao domnio de uma funo f chamado de nmerocrtico, se f (c) = 0 ou se f (c) no existe. O ponto correspondente (c, f(c)) no grfico de f chamado de ponto crtico.
Para encontrar todos os extremos relativos de uma funo f, comeamos achando todos ospontos crticos (que so os candidatos a extremos relativos). Cada ponto crtico precisa ser testado
para verificar se realmente um extremo relativo. Esse teste pode ser feito usando a derivadaprimeira de f.
Teorema (Teste da derivada primeira para extremos relativos):
Seja c um nmero crtico de f(x)
a) Se f (x) > 0 esquerda de c e f (x) < 0 direita de c ento (c, f(c)) um ponto de mximorelativo.
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b) Se f (x) < 0 esquerda de c e f (x) > 0 direita de c ento (c, f(c)) um ponto de mnimorelativo.
Exemplos:
1) f(x) = x3
6x2
+ 9x
(1, 4) ponto de mximo relativo e (3, 0) ponto de mnimo relativo
2) f(x) =x4 + 8x212
(2, 4) e (2, 4) so pontos de mximo relativo e (0,12) ponto de mnimo relativo.
3) f(x) = x3 + 3x2
No existem extremos relativos.
4) f(x) =2x
2x
No existem extremos relativos.
A derivada segunda tambm pode ser usada para classificar os pontos crticos de umafuno como mximos ou mnimos relativos. Para isso, basta aplicar o seguinte resultado:
Teorema (Teste da derivada segunda para extremos relativos):Suponhamos que f(c) = 0
a) Se f(c) > 0 ento f possui um mnimo relativo em (c, f(c))
b) Se f(c) < 0 ento f possui um mximo relativo em (c, f(c))
Exemplo: f(x) = 2x3 + 3x212x7
Como a derivada primeira f(x) = 6x2 + 6x12 = 6(x + 2)(x1) se anula em x =2 e emx = 1, os pontos correspondentes (2,13) e (1,14) so os pontos crticos de f. Para testar esses
pontos, basta determinar a derivada segunda f (x) = 12x + 6 e calcular seu valor em x = 2 e emx = 1. Ento, como f ( 2) = 18 temos que ( 2,13) um ponto de mximo relativo; comof(1) = 18, (1,14) um ponto de mnimo relativo.
Embora tenha sido fcil usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos crticosno exemplo anterior, ele apresenta algumas limitaes. O teste se aplica aos pontos crticos nosquais a derivada primeira nula, mas no aos pontos em que a derivada primeira no existe. Alm
disso, se tanto f (c) como f (c) so nulas, o teste da derivada segunda no permite chegar anenhuma concluso.
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4.4Extremos Absolutos
Nos problemas discutidos na seo anterior, os mtodos do Clculo foram usados paradeterminar mximos e mnimos relativos de funes. Em muitos problemas, no entanto, o objetivo encontrar o mximo absoluto ou o mnimo absoluto de uma funo dentro de certo intervalo de
interesse. A noo de extremo absoluto pode ser entendida atravs do grfico da funo f esboado
a seguir.
Observe que a funo f representada na figuraao lado, possui um mximo relativo em (p, f(p)) e outroem (r, f(r)); entretanto, f(r) maior que f(p) e maiorque qualquer f(x) para x no intervalo [a, b]. Dizemos,ento, que a funo f possui, no intervalo [a, b], ummximo absoluto em (r, f(r)).
A funo f possui um mnimo relativo em(q, f(q)); entretanto f(b) menor que f(q) e menor que
qualquer f(x) para x no intervalo [a, b]. Dizemos,ento, que a funo f possui, no intervalo [a, b], um mnimo absoluto em (b, f(b)).
Podemos estabelecer a seguinte definio:
Definio 6: Se f uma funo definida em um intervalo [a, b] e c [a, b] dizemos que:
a) f possui um mximo absoluto em (c, f(c)) se, para todo x[a, b], f(x) f(c). Nesse caso,f(c) o valor mximo absoluto de f em [a, b].
b) f possui um mnimo absoluto em (c, f(c)) se, para todo x[a, b], f(x) f(c). Nesse caso, f(c) o valor mnimo absoluto de f em [a, b].
c) f possui um extremo absoluto em (c, f(c)), se f possui um mximo absoluto ou um mnimoabsoluto em (c, f(c)).
Podemos provar que se uma funo f contnua em um intervalo fechado I ento f tem ummximo absoluto e um mnimo absoluto em algum ponto de I.
Alm disso, se f uma funo contnua em [a, b], um extremo absoluto de f ocorrer numextremo relativo em [a, b] ou nas extremidades do intervalo (isto , em x = a ou em x = b).
Ento, para encontrar os extremos absolutos de uma funo contnua f em [a, b] devemos:
1Achar todos os nmeros crticos c de f em ]a, b[
2Calcular todos os valores f(c) para os nmeros crticos do passo 1 e determinar f(a) e f(b).
3Selecionar o maior e o menor dos valores do passo 2. Esses so, respectivamente, os valores demximo e mnimo absolutos de f em [a, b].
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Exemplos:
1) Determine os extremos absolutos de f(x) = x33x2 + 3x + 2 em [0, 2]
Soluo: Temos que f(x) = 3x26x + 3 = 3(x1)2.
Para 3(x1)2
= 0 temos x = 1
Calculamos, ento, f(1) = 3, f(0) = 2 e f(2) = 4
Comparando esses resultados, conclumos que f tem um mximo absoluto em (2, 4) e ummnimo absoluto em (0, 2).
2) Determine os extremos absolutos de f(x) = x33x + 1 em [0, 2]
Soluo: Nesse caso, f(x) = 3x23. Para 3x23 = 0 temos x = 1.
Entretanto, apenas x = 1 pertence ao intervalo [0, 2]. Calculamos, ento,f(1) =1, f(0) = 1 e f(2) = 3
Logo, no intervalo [0, 2], f tem um mximo absoluto em (2, 3) e ummnimo absoluto em (1,1).
3) Determine os extremos absolutos de f(x) = 4x2 nos intervalos indicados:a) [2, 1] b) [2, 2]
Soluo:
a) Temos que f(x) =2x. Para2x = 0 temos x = 0.
Ento f(0) = 4, f(2) = 0 e f(1) = 3
Logo, no intervalo [2, 1], f tem um mximo absoluto em (0, 4) e um mnimo absoluto em (2, 0)
b) Pelo item (a), x = 0 o nico nmero crtico. Calculamos f(0) = 4, f(2) = 0 e f(2) = 0
Ento f tem um mximo absoluto em (0, 4) e assume em [2, 2], o valor mnimo zero duasvezes, ou seja, em x = 2 e em x = 2. Isso significa que possvel um mnimo (mximo) absolutoocorrer em dois ou mais pontos do intervalo. Assim, (2, 0) e (2, 0) so mnimos absolutos de f em[2, 2].
4.5Construo de grficos
Para esboar o grfico de uma funo, precisamos verificar sua continuidade, os intervalos
nos quais crescente ou decrescente, a concavidade e a existncia de assntotas, extremos relativose pontos de inflexo. Como o estudo dessas caractersticas foi realizado em vrias sees anteriores,vamos estabelecer um roteiro para o traado do grfico de uma funo real f.
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1Achar o domnio de f e determinar onde f contnua.
2 Calcular os limites envolvendo infinito para determinar, se existirem, as assntotashorizontais e verticais.
3Calcular f(x) e determinar os nmeros crticos (isto , os valores de x tais que f (x) = 0ou f (x) no existe). Utilizar o teste da derivada primeira para achar os intervalos em que f crescente (f(c) > 0) ou decrescente (f(c) < 0). Usar o teste da derivada primeira para encontrar os
pontos de mximos e mnimos relativos (se existirem).
4Calcular f(x) e usar o teste da derivada segunda para determinar os intervalos onde ogrfico de f cncavo para cima (f (x) > 0) e onde cncavo para baixo (f (x) < 0). Se f contnua em c e se f(x) mudar de sinal em c, determinar o ponto de inflexo (c, f (c)).
5Determinar se existirem e no depender de muito clculo, os pontos de interseo comos eixos coordenados (e alguns outros pontos fceis de calcular).
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Exerccioslista 13
Nas questes de 1 a 6 faa um esboo do grfico de f, determinando:a) os intervalos onde f crescente e onde decrescente.
b) os intervalos onde o grfico de f tem concavidade voltada para baixo e onde tem concavidadevoltada para cima.
c) os pontos de mximos e mnimos relativos e os pontos de inflexo do grfico de f..1) f (x) = x3 + 6x2 + 9x 2) f (x) = x33x + 2
3) f (x) = 1 + 3x2x3 4) f (x) = x3
5) f (x) = 3x44x3 6) f (x) = 12x2x4
Nas questes 7 a 12, determine, se existirem: a) os intervalos onde f crescente e onde decrescente; b) os intervalos onde o grfico de f tem concavidade voltada para baixo e onde temconcavidade voltada para cima; c) os pontos de mximos e mnimos relativos e os pontos deinflexo do grfico de f; d) as assntotas verticais e as assntotas horizontais. Faa um esboo dogrfico de f.
7) Sabe-se que f (x) =2x
4
f(x) =
22)(x
4
f(x) =
32)(x
8
8) Sabe-se que f(x) =2x
1x
f(x) =
22)(x
3
f(x) =
32)(x
6
9) Sabe-se que f (x) =x1
1
f(x) =
2x)1(
1
f(x) =
3x)1(
2
10) Sabe-se que f (x) =1x
2x
f(x) =
21)(x
2
f(x) =
31)(x
4
11)Sabe-se quef(x) = 21)(xx
f '(x) = 31)(x
1x
f "(x) = 41)(x
4x2
12) Sabe-se quef (x) =1x
2x2
f '(x) =22
2
1)(x
22x
f "(x) =
32
3
1)(x
12x4x
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Respostas:
f(x) = x3 + 6x2 + 9x f(x) = x33x + 2 f(x) = 1 + 3x2x3
f(x) = 12x2x4
f(x) = 2x4
f(x) =2x
1x
f (x) =1x
2x
f(x) =
21)(x
x
f (x) =
1x
2x
2
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Exerccioslista 14
Nas questes de 1 a 5, determine os extremos absolutos nos intervalos dados:
1) f(x) = 2x33x2 + 1 em [1, 2] 2) f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 1 em [4, 0]
3) f(x) = (x + 1)2
em 2, 1 4) f(x) = 2x3
+ 3x2
12x7 em 3, 0
5) f(x) = x33x2 + 1 em [2, 3]
6) Estima-se que uma colnia de bactrias tenha t horas aps a introduo de uma toxina, umapopulao de p(t) = t2 + 2t + 15 (em milhares de indivduos). Use o Clculo para determinar otempo no qual a populao est no seu ponto mximo e calcule a populao neste ponto.
7) A concentrao de um remdio t horas aps ter sido injetado no brao de um paciente dada pela
funo C(t) =0,81t
0,15t2
. Para que valor de t a concentrao mxima?
8) Certo modelo biolgico sugere que a reao R do corpo humano a uma dose x de medicamento
dada pela funo R(x) = )xkx(3
1 32 onde k uma constante positiva. Para que valor de x a reao
mxima?
9) A populao (em milhares de indivduos) de uma colnia de bactrias dada por f(t) =1t
1024t2
t horas aps a introduo de uma toxina. Determine o instante em que a populao mxima e apopulao nesse instante.
10) A eficcia de um remdio t horas aps ter sido tomado dada por E(t) =27
1(9t + 3t2t3) com
0 t 5. Para que valor de t a eficcia mxima?
Respostas:
1) mximo absoluto em (2, 5) e mnimo absoluto em (1,4).
2) mximos absolutos em (3, 1) e (0, 1) e mnimos absolutos em (1,3) e (4,3)
3) mximo absoluto em (1, 4) e mnimo absoluto em (1, 0)
4) mximo absoluto em (2, 13) e mnimo absoluto em (0,7)
5) mximo absoluto em (0, 1) e (3, 1) e mnimo absoluto em (2,19).
6) t = 1h; 16.000 bactrias 7) t = 0,9 h
8) x = 3
k2
9) t = 0,67 h (40 min); 18.000 bactrias
10) t = 3
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Reviso
Exerccios Complementares
Bibliografia
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Reviso 1 - lgebra bsica
1 - Produtos Notveis
Quadrado da soma de dois termos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrado da diferena de dois termos: (ab)2
= a2
2ab + b2
Produto da soma pela diferena de dois termos: (a + b)(ab) = a2b2
Cubo da soma de dois termos: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo da diferena de dois termos: (a + b)3 = a33a2b + 3ab2b3
2Fatorao de expresses algbricas
Fatorar uma expresso algbrica significa escrev-la na forma de um produto de dois oumais termos (fatores). A fatorao usada para simplificar expresses e para resolver equaes e se
baseia na lei da distributividade da multiplicao. Alguns dos mtodos de fatorao de expressesalgbricas so:
Colocao de fator comum em evidncia
Exemplos: 1) Fatore 4x5 + 8x3
Soluo: Como os dois termos dessa expresso so divisveis por 4x3, podemos usar a lei dadistributividade para colocar 4x3em evidncia e escrever:
4x5 + 8x3 = 4x3(x2 + 2)
2) Fatore a expresso 10(x5)4(x + 1)4 + 8(x + 1)5(x5)3
Soluo: Os dois termos so divisveis por 2(x5)3(x + 1)4
Colocando esse fator em evidncia temos:
10(x5)4(x + 1)4 + 8(x + 1)5(x5)3 = 2(x5)3(x + 1)4[5(x5) + 4(x + 1)]
Efetuamos os produtos nos termos entre colchetes e reduzimos os termos semelhantes parachegar ao resultado final.
10(x5)4(x + 1)4 + 8(x + 1)5(x5)3 = 2(x5)3(x + 1)4(9x21)
Agrupamento de fatores comunsExemplo: Fatore axbx + 2a2b
Soluo: axbx + 2a2b = x(ab) + 2(ab) = (ab)(x + 2)
Diferena de dois quadrados: a2b2 = (a + b)(ab)Exemplo: 4x225y2 = (2x + 5y)(2x5y)
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Soma de dois cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2ab + b2)Exemplo: x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x22x + 4)
Diferena de dois cubos: a3b3 = (ab)(a2 + ab + b2)Exemplo: x
3
8 = x3
23
= (x2)(x2
+ 2x + 4)
Trinmio do 2 grau do tipo x2 + Sx + P com coeficientes inteirosDe acordo com a lei da distributividade, temos que:
(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab
Indicando a + b por S e ab por P obtemos: (x + a)(x + b) = x2 + Sx + P
Ento, para fatorar um trinmio do tipo x2 + Sx + P devemos procurar dois nmeros a e btais que a + b = S e ab = P e montar o produto (x + a)(x + b)
Exemplo: Fatore os trinmios abaixo:
a) x2 + 5x + 6
Soluo: Precisamos encontrar nmeros inteiros a e b tais que a + b = 5 e ab = 6
Ento a = 2 e b = 3. Portanto x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
b) x25x + 6
Soluo: Nesse caso devemos ter a + b =5 e ab = 6. Ento a =2 e b =3
Logo, x25x + 6 = (x2)(x3)
c) x25x6
Soluo: Agora devemos encontrar a + b =5 e ab =6. Nesse caso a =6 e b = 1
Logo x2
5x6 = (x6)(x + 1)
3 Simplificao de expresses algbricas por fatorao e cancelamentoPodemos combinar a fatorao e o cancelamento para simplificar fraes algbricas obtendo
uma frao mais simples que seja equivalente frao dada.
Exemplos: 1)23
2
4b
3a
x2ab
bx6a
2)ba
ba
b)b)(a(a
b)b)(a(a
b2aba
ba22
22
3)
y2x
2y
y)5x(2x
10xy
5xy10x
10xy2
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4 Resoluo de equaes por fatoraoA fatorao pode ser usada para resolver certas equaes. A tcnica se baseia no fato de que
se o produto de dois ou mais termos nulo, pelo menos um dos termos deve ser nulo. Por exemplo,se a.b = 0 devemos ter a = 0 ou b = 0.
Exemplos: 1) x2
3x10 = 0
Soluo: Fatorando, obtemos: (x5)(x + 2) = 0
Ento x5 = 0 ou x + 2 = 0 x = 5 ou x =2
2) x3 + x24x4 = 0
Soluo: Fatorando, obtemos: x2(x + 1)4(x + 1) = 0 (x + 1)(x24) = 0
(x + 1)(x + 2)(x2) = 0
Ento x + 1 = 0 ou x + 2 = 0 ou x2 = 0 x =1 ou x =2 ou x = 2
5 Resoluo de equaes do 2 grau pela frmula de Bskara possvel encontrar as solues de uma equao do 2 grau da forma ax2 + bx + c = 0, com
a 0 usando uma expresso conhecida comofrmula de Bskara:
x =2a
ac4bb 2
Exemplos: 1) x25x + 6 = 0
Soluo: Temos que a = 1, b =5 e c = 6. Aplicando a frmula de Bskara obtemos:
x =2
24255)( =
2
15 x = 3 ou x = 2
2)4x24x + 1 = 0
Soluo: Temos que a = 4, b =4 e c = 1. Aplicando a frmula de Bskara obtemos:
x =8
16164)( =
8
04 x =
2
1
3)x2 + 2x + 3 = 0
Soluo: Temos que a = 1, b = 2 e c = 3. Aplicando a frmula de Bskara obtemos:
x =2
1242 =
2
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Ento no existem razes reais
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Exerccios
Nas questes 1 a 10, calcule os produtos notveis:
1) (x + 5)2 2) (3x + 4y)2
3) (x2
+ y3
)2
4) (7x)2
5) (6x3)2 6) (9x + 5x4)(9x5x4)
7) (x +3)(x3) 8) (x2 + 4y)(x24y)
9) (2x + 5)3 10) (x3)3
Nas questes 11 a 24, fatore os polinmios:
11) x2 + x2 12) x2 + 3x10
13) x27x + 12 14) x2 + 8x + 12
15) x22x + 1 16) x2 + 14x + 49
17) 16x281 18) 9x225y2
19) x31 20) x327
21) x7x5 22) x3 + 2x2 + x
23) 2x38x210x 24) x4 + 5x314 x2
Nas questes 25 a 28, fatore a expresso dada:
25) x2 + 4x + xy + 4y 26) x3 + 2x2x2
27) 4(x3)2(x + 1) + 10(x3)3 28) 4(x + 3)4(x2)26(x + 3)3(x2)3
Nas questes 29 a 32 simplifique o quociente dado o mximo possvel:
29)14x5x6x5x
2
2
30)
107xx2)(x5)(x)2x(5)(x
2
223
31)2x3x
1)(xx1)2x(x2
223
32)
3
4233
x)(1
3)(xx)4(1)3x(x)2(1
Nas questes 33 a 36 use o mtodo da fatorao para resolver a equao dada:
33) x22x8 = 0 34) x2 + 10x + 25 = 0
35) x2
4x + 3 = 0 36) x2
8x + 16 = 0
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Nas questes 37 a 40 use a frmula de Bskara para resolver a equao dada:
37) x2 + 10x + 25 = 0 38) 2x2 + 3x + 1 = 0
39) x22x + 3 = 0 40) 1 + 0x
5
x
42
Respostas:
1) x2 + 10x + 25 2) 9x2 + 24xy + 16y2
3) x4 + 2x2y3 + y6 4) 4914x + x2
5) 36x236x + 9 6) 81x225x8
7) x29 8) x416y2
9) 8x3 + 60x2 + 150x + 125 10) x39x2 + 27x27
11) (x + 2)(x1) 12) (x + 5)(x2)
13) (x3)(x4) 14) (x + 2)(x + 6)
15) (x1)2 16) (x + 7)2
17) (4x + 9)(4x9) 18) (3x + 5y)(3x5y)
19) (x1)(x2 + x + 1) 20) (x3)(x2 + 3x + 9)
21) x5(x + 1)(x1) 22) x(x + 1)2
23) 2x(x5)(x + 1) 24) x2(x + 7)(x2)
25) (x + y)(x + 4) 26) (x + 2)(x + 1)(x1)
27) 2(x3)2(7x13) 28) 2(x + 3)3(x2)2(12x)
29)7x3x
30) 3(x + 5)
31) x(x + 1) 32)x1
7)(x3)2(x 3
33) x = 4 ; x =2 34) x =5
35) x = 1 ; x = 3 36) x = 4
37) x =5 38) x =1 ; x =
39) No existem solues 40) x = 1 ; x =5
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Reviso 2 - Funo
Em muitas situaes da vida prtica, o valor de uma grandeza depende do valor de uma segundagrandeza. Assim, por exemplo, a demanda de carne pode depender do preo do produto; a poluiodo ar em uma cidade pode depender do nmero de veculos nas ruas; o valor de uma garrafa devinho pode depender do ano em que o vinho foi fabricado. Relaes como essas muitas vezes
podem ser representadas matematicamente atravs de funes.
Em termos gerais, uma funo consiste em dois conjuntos e uma regra que associa oselementos de um conjunto aos elementos do outro. Vamos supor, por exemplo, que um fabricanteesteja interessado em determinar o efeito do preo sobre o nmero de unidades vendidas de certo
produto. Para estudar essa relao, preciso conhecer o conjunto de preos admissveis, o conjuntode vendas possveis e uma regra para associar cada preo a um determinado nmero de unidadesvendidas.
A definio de funo que vamos adotar a seguinte:
Definio:Uma funo uma relao que associa a cada elemento x de um conjunto A um eapenas um elemento y de um conjunto B.
As letras f, g e h sero usadas para representar funes embora, em situaes prticas, sejacomum usar letras que lembrem as grandezas envolvidas.
Na definio anterior, o conjunto A chamado de domnio da funo e o conjunto B decontradomnio. Nas funes estudadas neste texto, o domnio e o contradomnio sero conjuntosde nmeros reais.
O valor y que uma funo f associa a um nmero x do domnio chamado de imagem de x porfe denotado por f(x) (l-se f de x).
Usualmente definimos uma funo f enunciando apenas a regra para achar f(x). Nesse caso,fica subentendido que o domnio de f o conjunto de todos os nmeros reais que tornam possveis
as operaes indicadas na regra. Assim, por exemplo, se f(x) = x o domnio o conjunto de todosos nmeros reais maiores ou iguais a zero. Alm disso, quando escrevemos f(4) = 2 estamosindicando que o nmero que a funo f associa ao nmero 4 2 (ou que 2 a imagem de 4 por f).
Observao: Se x est no domnio de f dizemos que fest definida em x ou que f(x)existe. Aexpresso f no est definida em x significa que x no est no domnio de f.
Muitas frmulas que ocorrem na Matemtica e nas cincias determinam funes. Por exemplo,a frmula S = r2 da rea S de um crculo de raio r associa a cada nmero real positivo rexatamente um valor de S. A letra r que representa um nmero arbitrrio do domnio umavarivel independente. A letra S, cujo valor depende do valor atribudo a r, uma variveldependente. Quando duas variveis r e S esto relacionadas desta maneira dizemos que S umafuno de r.
Funes tambm podem ser representadas por tabelas e descries por palavras. Outras serepresentam naturalmente com grficos, como o eletrocardiograma (EKG). Embora seja possvel
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construir uma frmula para representar aproximadamente uma funo EKG, isto raramente feito.O que o mdico precisa o esquema de repeties, e muito mais fcil v-lo num grfico do quenuma frmula. Mas cada EKG representa uma funo que d a amplitude de impulsos eltricosgerados no msculo cardaco em funo do tempo.
Para representar geometricamente a funo y = f(x) em um grfico, costuma-se usar um
sistema de coordenadas no qual as unidades da varivel independente x so marcadas no eixohorizontal e as unidades da varivel dependente y so marcadas no eixo vertical. O grfico de umafuno f o conjunto de todos os pontos (x,y) onde x pertence ao domnio de f e y = f(x), ou seja,todos os pontos da forma (x, f(x)). Estudaremos no captulo 4 algumas tcnicas para desenhargrficos de funes.
Observaes: 1) f uma funo polinomial, se f(x) um polinmio, isto ,
f(x) = anxn + an1x
n1+ + a1x + a0
onde os coeficientes an, an1, , a1, a0 so nmeros reais e os expoentes so nmeros inteiros no-negativos. Se an 0 ento f de grau n. Exemplos:
grau 0: f(x) = a (funo constante)
grau 1: f(x) = ax + b (funo linear)
grau 2: f(x) = x2 + bx + c (funo quadrtica)
2) Uma funo racional um quociente entre duas funes polinomiais
3) Funo algbrica aquela que pode ser expressa como soma, diferena, produto, quociente oupotncia racional de polinmios. As funes que no so algbricas so chamadas detranscendentes. As funes exponenciais, logartmicas e trigonomtricas so exemplos de funestranscendentes.
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Exerccios
Nas questes de 1 a 5 especifique o domnio de cada funo.
1) f(x) = x2 + 2 2) f(x) =x
1
3) f(x) = 2x 4) f(x) = 3 2x
5) f(x) =1x
x2
Nas questes de 6 a 10 calcule os valores indicados da funo dada.
6) f(x) = x2 + 4
a) f(1) b) f(0) c) f
2
1d) f( 2 )
7) f(x) =x
1
a) f(1) b) f( 2 ) c) f
2
1d) f
4
3
8) f(x) = 2x
a) f(2) b) f(3) c) f(4) d) f(6)
9) f(x) = 3 2x
a) f(1) b) f(2) c) f(0) d) f(10)
10) f(x) =1x
x2
a) f(0) b) f(2) c) f(2) d) f(5)
Nas questes 11 e 12 as funes so definidas por mais de uma sentena. Determine o domnio e
os valores especificados de cada uma delas:
11) Sendo f(x) =
1xse14x
1xse1x
1
2
a) f(0) b) f(1) c) f
23 d) f(4)
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12) Sendo f(x) =
2xse1
2x0se5
0xse1
a) f(5) b) f(0) c) f(2) d) f
2
1
e) f
3
11
13) Seja f(x) =1x
2xx 2
a) Determine o domnio de f
b) Calcule, se possvel: f(2), f(1), f(0) e f(1)
Respostas:
1) IR
2) IR*
3) [2, )
4) IR
5) IR{1, 1}
6) a) 5 b) 4 c)4
17d) 6
7) a)1 b)2
1c) 2 d)
3
4
8) a) 0 b) 1 c) 2 d) 2
9) a)1 b) 0 c) 3 2 d) 2
10) a) 0 b)3
2 c)3
2d)
24
5
11) Dom f = IR a)1 b) 5 c)10 d) 65
12) Dom f = IR a)1 b) 5 c)5 d) 5 e) 1
13) a) IR{1} b) f(2) = 0 ; f(1) = 1 ; f(0) = 2 ; f(1) no est definido
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Reviso 3Coeficiente angularEquaes de retas
As linhas retas num plano tm equaes muito simples, relativamente a um sistema decoordenadas cartesianas. Estas equaes podem ser deduzidas utilizando-se o conceito decoeficiente angular.
Definio: Sejam (x1, y1) e (x2, y2) pontos distintos de uma reta r. Se x1 x2 ento ocoeficiente angular (ou inclinao) m de r dado por
m =12
12
xx
yy
Exemplo 1: Ache o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (2, 5) e (3,1).
Exemplo 2: Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (7, 1) e (3, 1).
Observaes:1O valor de m calculado pela definio anterior independente da escolha dos dois pontos em r.
2Se x1 = x2 ento r uma reta vertical e seu coeficiente angular no est definido.
Seja (x1, y1) um ponto dado de uma reta de coeficiente angular m.
Ento, para qualquer outro ponto (x,y) da reta temos que1
1
xx
yy
= m
Da, multiplicando ambos os membros por (x x1) obtemos a equao da reta na formachamada ponto-coeficiente angular.
yy1 = m(xx1) (1)
Se o ponto conhecido aquele em que a reta corta o eixo y, e denotado por (0, b), ento aequao (1) torna-se
y = mx + b (2)
Neste caso, b chama-se interseo y da reta ou coeficiente linear e a equao (2) chama-seequao reduzida da reta.
Exemplo 3: Escreva a equao da reta que:
a) passa pelos pontos (4,2) e (5, 8).
b) passa por (2,3) e tem coeficiente angular4.
c) tem coeficiente angular 2 e coeficiente linear5.
d) passa pelos pontos (3, 5) e (3,1)
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Exemplo 4: Determine o coeficiente angular das retas abaixo:
a) y = 3x6 b)4
y= x + 1 c) 5y2x = 4 d) 4x =2y + 6
Observaes:1 Como uma reta horizontal tem coeficiente angular zero, a reta horizontal que passa pelo ponto(x1, y1) tem a equao y = y1.
2O coeficiente angular de uma reta vertical no definido, por isso as frmulas (1) e (2) no soapropriadas para se obter sua equao. No entanto, como as primeiras coordenadas de todos os
pontos de uma reta vertical so iguais, uma reta vertical que passa pelo ponto (x1, y1) tem equaox = x1.
Teorema 1: Duas retas no-verticais so paralelas se e somente se seus coeficientes
angulares so iguais, isto , r // s mr= ms
Exemplo 5: Seja r a reta que passa pelos pontos (2,9) e (1,3) e seja s a reta que passa pelospontos (4, 10) e (3,4). Mostre que r e s so paralelas.
Teorema 2: Duas retas no-verticais so perpendiculares se e somente se o coeficienteangular de uma igual ao simtrico do inverso do coeficiente angular da outra, ou seja,
r s mr=sm
1
Exemplo 6: Seja r a reta que passa pelos pontos (2,9) e (1,3) e seja s a reta que passa pelospontos (4,5) e (2,2). Mostre que r e s so perpendiculares.
Observao: O coeficiente angular de uma reta uma constante sempre que ele estdefinido. O nmero y2y1 a variao na coordenada y e x2x1 a variao na coordenada x.Dessa forma, o coeficiente angular de uma reta fornece a razo entre a variao de y e a variao dex, ou ainda, a taxa de variao de y em relao x.
Solues dos exemplos:
1) m =5
6
)2(3
51
2) m = 0
4
0
73
11
3) a) y = 10x42 b) y =4x + 5 c) y = 2x5 d) x = 3
4) a) 3 b) 4 c) 2 / 5 d)2
5) mr=2 e ms =2 . Logo mr = ms . Ento r e s so paralelas.
6) mr= 2 e ms =2
1. Logo mr =
sm
1. Ento r e s so perpendiculares.
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Reviso 4Funo Exponencial e Funo Logartmica
1Funo Exponencial
Definio: Seja b 1IR* . A funo de IR em*IR tal que f(x) = b
x chamada de
funo exponencial de base b.
Exemplos:
1) Seja f(x) = 2x.
Temos que f(3) = 23 = 8; f(0) = 20 = 1; f(1) = 2 - 1 =2
1; f
2
3= 2 3/2 = 32 = 8
2) Seja f(x) =x
2
1
Temos que f(4) =16
1; f(3) = 8; f(0) = 1; f
2
1=
2
1
Observao:Na definio anterior, b 1IR* pois:
a) Seja f(x) = (2) x. Ento, por exemplo, f(1/2) = (-2) = 2 IR
b) Seja f(x) = 0x. Ento, por exemplo, f(2) = 0 2 =0
1 IR
c) Seja f(x) = 1x. Ento f(x) = 1 para todo nmero real, isto , f(x) uma funo constante.
Figura 1
As quatro curvas da figura 1 so tpicas dos grficos de funes exponenciais. Em particular,se b > 1, o grfico de y = bx se parece com os grficos de y = 2x e y = 3x; se 0 < b < 1, o grfico dey = bx se parece com os grficos de y = (1/2)x = 2 x e y = (1/3)x = 3 x.
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De modo geral, o grfico de y = bx representado por uma curva que est toda acima doeixo x, corta o eixo y no ponto (0,1) e tem concavidade voltada para cima em IR. Alm disso, y = bx crescente em IR para b > 1 e decrescente em IR para 0 < b < 1.
As funes exponenciais so contnuas em IR e obedecem s seguintes propriedades:
Sejam a, b 1IR* e x e y nmeros reais.
a) bx = by x = y d) (bx) y = b xy
b) bx.by = b x + y e) (a.b)x = ax.bx
c)y
x
b
b= b xy f)
x
b
a