INTRODUO AOS FENMENOS DE TRANSPORTE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA - UESBDepartamento de Tecnologia Rural e AnimalFenmenos de Transporte I

Prof. Cristiane Martins Veloso

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA - UESBDEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA RURAL E ANIMAL

FENMENOS DE TRANSPORTE I

APOSTILA DA I UNIDADEENGENHARIA DE ALIMENTOS E ENGENHARIA AMBIENTAL

PROF CRISTIANE MARTINS VELOSO

CAPTULO I - INTRODUO AOS FENMENOS DE TRANSPORTE1. DEFINIES

1.1 EngenhariaEngenharia definida como o conjunto de conhecimentos cientficos e tecnolgicos, com base fsico-matemtica, que com a tcnica e a arte analisa, cria e desenvolve sistemas e produtos, processos e obras fsicas, mediante o emprego da energia e de materiais, para proporcionar a humanidade, com eficincia e sobre bases econmicas, bens e servios que lhes do bem estar com segurana e crescente qualidade de vida, preservando o meio ambiente.Fonte: Sistema Experimental de Avaliao de Carreiras de Engenharia - Mercosul

A Engenharia o campo da atividade humana que trata da CONCEPO, CONSTRUO E OPERAO de engenhos, artefatos, dispositivos e instalaes que operam em decorrncia de fenmenos naturais provocados pelo homem, sob condies controladas, para o seu prprio proveito.1.2 Fenmenos de TransporteEstuda o transporte de quantidade de movimento (ou momentum), transporte de calor e transporte de massa.

Mecnica dos Fluidos a cincia que trata do comportamento dos fluidos em repouso e em movimento.

Estudo do transporte de quantidade de movimento nos fluidos.2. GRANDEZAS PRESENTES NAS OPERAES

i. Grandezas intensivas independem do tamanho do sistema e da matria contida no sistema, como por exemplo: temperatura (T), presso (p), concentrao (c), velocidade de deslocamento (u), etc.;ii. Grandezas extensivas dependem do tamanho do sistema e de sua massa (volume,V, quantidade de calor, Q, etc.).3. CONSIDERAES SOBRE O SISTEMA

i. Estado do sistema slido, lquido e/ou gasoso;ii. A natureza do sistema contnuo ou disperso;iii. Nmero de fases do sistema mono, bi ou polifsico;iv. Nvel de escala do sistema molecular, local (microscpico) e global (macroscpico);v. Interveno da varivel tempo regime permanente (estacionrio) ou regime transiente (transitrio)4. ATUAO DAS GRANDEZAS EXTENSIVAS NAS OPERAES

i. TRANSPORTE o processo que corresponde ao deslocamento de grandeza extensiva de um ponto a outro na mesma fase, sem implicar na passagem de fronteira, isto , interface (ou superfcie de mudana entre duas fases).

ii. TRANFERNCIA Corresponde a passagem atravs de uma fronteira de uma propriedade extensiva (pode haver transferncia de matria, transferncia de calor e transferncia de quantidade de movimento).iii. TRANSFORMAO uma modificao das condies da grandeza extensiva (passagem de um slido grosseiro a forma de p, por moagem; transformao de um tipo de energia em ouro tipo; etc.).5. MTODO DE ANLISEi. Mtodo Integral ou Global A regio de interesse um volume definido, chamado volume de controle. Estamos interessados apenas em como quantidades globais de massa, momentum e energia atravessam a superfcie de controle e qual a troca global destas quantidades no material em considerao.ii. Mtodo Diferencial Utilizam-se elementos de fluido que se aproximam de tamanhos diferenciais. As expresses resultantes deste tipo de anlise so equaes diferenciais. As informaes geradas pelo mtodo diferencial podem ser de grande importncia para o conhecimento do mecanismo de transferncia de massa, momentum e energia.EXERCCIOS DE REVISO

1 QUESTO Calcule o valor das derivadas:

a) f(x) = (x+2)2

b) f(x) = senx

c) f(x) = cosx

b) f(r) = ln(r)

c) y(t) = t2/3

d)y(t) = (2t4-1)(5t3+6t)

e) f(y) =

e) f(x) =

f) f(u) = e2u 2 QUESTO A 0C a de perda de calor, H (kcal/m2h), de uma pessoa pode ser dada por:

Onde V a velocidade do vento em m/s. Encontre a taxa de variao de H para a) V= 2m/s e b) V=5m/s.

3 QUESTO Sabendo que a velocidade de escoamento de um fluido dentro de uma tubulao dada pela seguinte equao:

Onde Vmx = 5 m/s e R(raio do cilindro)=0,25m. Encontre a taxa de variao da velocidade para r = 0,125m.

4 QUESTO Resolva as seguintes integrais:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

5 QUESTO Pesquise e responda:

a) Volume e rea superficial de uma esfera de raio R.

b) Permetro, rea da superfcie e rea da base de um cilindro de raio R e comprimento L.

c) rea de um retngulo de lados a e b.

CAPTULO II FLUIDOS1. DEFINIO

Fluidos so substncias capazes de escoar e cujo volume toma a forma do recipiente que ocupa, ou seja, est em constante deformao sob a ao de uma tenso de cisalhamento (tangencial), por menor que seja a tenso aplicada. Um fluido pode ser:

i. Um lquido apresenta uma superfcie livre;

ii. Um gs expande-se e ocupa todas as partes do recipiente em que se encontra;

iii. Uma combinao dessas duas formas.Meio contnuo um meio hipottico criado para substituir a estrutura real do fluido, ou seja, resulta da distribuio contnua da matria. Como exemplo pode-se citar um gs no interior de um recipiente.

2. DIMENSES E UNIDADES

Dimenso um conceito bsico de medida, tais como: tempo, massa, comprimento e temperatura.

Massa (quantidade de matria de um corpo) M

Comprimento L

Tempo T

Temperatura - (

Fora F

Unidade um meio de expressar as dimenses dentro de um padro aceito no meio acadmico, industrial e cotidiano. Exemplos: metros, centmetros, ps, polegadas, etc.

3. TRANSFORMAES DE UNIDADES

Existem vrios sistemas de unidades, mas os mais utilizados so:

Sistema britnico gravitacional (FLT()

- Fora lbf

- Comprimento p ou ft

- Tempo s

- Temperatura - R onde R=F+459,67

- A unidade de massa conhecida como slug e definida pela 2 Lei de Newton:

fora = massa X acelerao

1 lbf = (1slug) (1ft/s2)

1slug = 1lbf.s2.ft-1 Sistema internacional (SI)- massa kg

- comprimento m

- tempo s

- temperatura K onde

K=C+273,15

- fora = N = 1kg.m/s2

- g =9,807 m/s2- trabalho J

- potncia W = 1J/s=1N.m/s

Sistema mtrico absoluto (CGS)- massa g

- comprimento cm

- tempo s

- temperatura K onde

K=C+273,15

- fora = dyna = 1g.cm/s2 Sistema ingls de engenharia- massa lbm

- comprimento ft

- tempo s

- temperatura R

- fora lbf

Para que a 2 Lei de Newton seja homognea ela escrita como:

(1)

gc uma constante de proporcionalidade que dada por:

(2)

4. PROPRIEDADES MACROSCPICAS DOS FLUIDOS

4.1. Densidade absoluta ou massa especfica (()

(3)

funo da temperatura, da composio e da presso: ( = f(T, C, P).4.2.Densidade relativa (d) ou (SG)

definida como a razo ente a massa especfica do fluido e a massa especfica da gua numa dada temperatura. Usualmente, a temperatura especificada 4C (nessa temperatura a massa especfica da gua igual a 1000 kg/m3).

(4)4.3. Volume especfico (()

o inverso da massa especfica, (, ou seja, o volume ocupado pela unidade de massa do fluido:

ou (5)4.4. Peso especfico (()

o peso por unidade de volume. Pode ser obtido pelo produto da massa especfica pela acelerao da gravidade:

ou

(6)

4.5. Viscosidade dinmica (() e cinemtica (()

A viscosidade a propriedade fsica responsvel pela resistncia oferecida por um fluido real a uma deformao sofrida devido a uma fora (tenso de cisalhamento), que chamada de consistncia. A taxa de deformao de um fluido diretamente ligada viscosidade do fluido. Para uma determinada tenso, um fluido altamente viscoso deforma-se numa taxa menor que um fluido com baixa viscosidade.

Viscosidade dinmica = (=ML-1T-1=

Viscosidade cinemtica = razo entre a viscosidade dinmica do fluido e a massa especfica deste.

=

(7)

4.6. Tenso superficial (()

uma propriedade que resulta de foras atrativas entre molculas. Assim, ela se manifesta apenas na interface de lquidos; geralmente na interface lquido-gs.

a fora de coeso necessria para manter as molculas juntas, obtida pela diviso da energia de superfcie, pela unidade de comprimento da pelcula em equilbrio.

Energia de superfcie trabalho por unidade de rea, necessrio para trazer molculas superfcie.

Tenso superficial pode ser definida tambm como a fora por unidade de comprimento de qualquer linha na superfcie livre, necessria para manter a superfcie junta atravs desta linha.

4.7. Presso de vapor (pV)

Quando uma pequena quantidade de lquido colocada em um recipiente fechado, certa frao do lquido vaporizar. A vaporizao terminar quando atingido o equilbrio entre os estados lquidos e gasosos da substncia no recipiente em outras palavras, quando o nmero de molculas escapando da superfcie da gua igual ao nmero de molculas entrando. A presso resultante das molculas no estado gasoso a presso de vapor. Quando a presso acima da superfcie de um lquido iguala-se presso de vapor do mesmo, ocorre a ebulio.

A presso de vapor diferente de lquido para lquido. Para a gua ele vale 1,70 kPa nas condies normais de temperatura e presso ( 15C e 101,3 kPa)

5. FLUIDOS COMPRESSVIES E INCOMPRESSVEIS

Fluidos compressveis so aqueles que seguem a lei dos gases ideais:

(9)Fluidos incompressveis so aqueles que apresentam pequenas variaes nas suas propriedades fsicas (viscosidade, massa especfica, etc.) para pequenas variaes de temperatura e presso. Podemos citar como exemplo: a gua, leo, leite, sucos, etc. Em resumo, um fluido dito incompressvel quando as variaes da densidade com a presso so insignificantes.

6. REOLOGIA DE FLUIDOSO termo reologia foi criado como derivao do termo grego rheos que significa fluir. A reologia o estudo do escoamento e deformao dos materiais. Por definio a reologia tem por finalidade predizer a fora necessria para causar uma deformao ou o escoamento resultante da aplicao de um dado sistema de foras em um corpo. Essas foras podem ser de compresso, tenso ou cisalhamento.De acordo com a reologia, um material pode se deformar de trs maneiras: modo plstico, modo elstico e modo viscoso. No material elstico a deformao acontece quando uma fora aplicada e desaparece de forma instantnea quando a fora retirada. No material plstico, a deformao ocorre at um determinado valor limite, sendo permanente e no desaparecendo aps a retirada da fora. J em um material viscoso a deformao proporcional fora aplicada, mas no desaparece aps a mesma ser removida.A reologia abrange diferentes propriedades associadas deformao da matria, entre as quais: extrussibilidade, compressibilidade, ductibilidade, espalhabilidade, elasticidade, fluidez e viscosidade.

A viscosidade, por exemplo, a propriedade fsica de um lquido de resistir ao fluxo induzido pela tenso aplicada (cisalhamento). Ela dependente da natureza fsico-qumica da substncia, da temperatura, da presso, da taxa de cisalhamento e do tempo, e para definir a viscosidade em funo de um desses fatores os outros devem ser mantidos constantes e bem definidos.

Os dados reolgicos nas indstrias so importantes para:

i. Determinar a funcionalidade de ingredientes no desenvolvimento de produtos;ii. Controle de qualidade do produto final ou intermedirio;iii. Determinao da vida de prateleira;iv. Avaliao da textura pela correlao com dados sensoriais;v. Clculo de engenharia de processos englobando uma grande quantidade de equipamentos: agitadores, extrusores, trocadores de calor, homogeizadores e tubulaes.

6.1. Definies importantes

i. Fluxo quando se aplica uma fora de cisalhamento em um lquido esse inicia uma deformao que se denomina fluxo.ii. Tenso de cisalhamento quantidade de fora (tenso) aplicada em uma determinada rea do fluido.

(10)

iii. Taxa de cisalhamento o gradiente de velocidade de cisalhamento por determinada distncia.

(11)

Figura 1. Representao esquemtica da deformao de um fluido.

iv. Tenso de deformao inicial tenso mnima exigida para que um material comece a fluir.v. Viscosidade dinmica mede a resistncia interna oferecida ao movimento relativo de diferentes partes desse lquido.

(12)vi. Viscosidade cinemtica

(13)6.2. Comportamento de escoamento

O fluido viscoso mais simples o fluido Newtoniano, para o qual a viscosidade constante. Enquanto para os fluidos no-newtonianos a viscosidade pode variar em muitas magnitudes com a mudana da taxa de cisalhamento para as diversas formas de fluidos. E para estes o termo viscosidade (() substitudo por viscosidade aparente ((ap). Estes comportamentos podem ser melhores entendidos observando-se a figura abaixo.

Figura 1. Comportamento reolgico dos fluidos.

i. Fluido Newtoniano fluido no qual a viscosidade constante, independente da taxa de cisalhamento na qual medido, numa dada temperatura. Ex.: gua, leite, solues de sacarose, leos vegetais.

(14)ii. Fluido No-Newtoniano a relao entre a taxa de deformao e a tenso de cisalhamento no constante.a. Independente de tempo

a.1. Pseudoplsticos So substncias que, em repouso, apresentam suas molculas em um estado desordenado, e quando submetidas a uma tenso de cisalhamento, suas molculas tendem a se orientar na direo da fora aplicada. E quanto maior esta fora, maior ser a ordenao e, conseqentemente, menor ser a viscosidade aparente. Exemplos: tintas, emulses, polpas de frutas, caldos de fermentao, etc.a.2. Dilatantes So substncias que apresentam um aumento de viscosidade aparente com a tenso de cisalhamento. Exemplos: argilas, lama, amido de milho em gua.a.3. Plsticos este fluido comporta-se como slido em condies estticas ou de repouso e aps aplicao de uma certa fora comea a fluir (tenso de deformao). O plstico de Bingham ao atingir a tenso de deformao comea a fluir, apresentando um comportamento newtoniano (suspenses de slidos granulares).b. Dependente de tempob.1. Tixotropia diminuio da viscosidade aparente com o tempo de cisalhamento, taxa de cisalhamento constante. Exemplos: suspenses concentradas, emulses, solues proticas, petrleo cru, tintas e ketchup.

b.2. Reopexia aumento da viscosidade aparente com o tempo de cisalhamento, taxa de cisalhamento constante. Exemplo: Argila bentonita.

7. EXERCCIOS RESOLVIDOS EM SALA DE AULA

1 QUESTO - Converta:

a) Um valor de viscosidade dinmica de 2,4x10-5 lbf.s/p2 para N.s/m2b) Um valor de coeficiente de transferncia de calor superficial de 105 Btu/h.ft2.F para W/m2.C.

c) Um valor de calor latente de fuso de 121 Btu/lbm para J/Kg

2 QUESTO - A massa especfica de um leo dada como 1,55 slug/ft3. Calcule a densidade relativa do leo e o seu volume especfico em m3/Kg. Calcule o peso especfico em lbf/ft3 na Terra e na Lua. A acelerao da gravidade na Lua 5,47 ft/s2.3 QUESTO - A distribuio de velocidade do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas dada pela equao .

Onde V a velocidade mdia. O fluido apresenta viscosidade dinmica igual a 1,92 N.s/m2. Admitindo que V=0,6 m/s e h=5 mm, determine: (a) a tenso de cisalhamento na parede inferior do canal; (b) a tenso de cisalhamento que atua no plano central do canal e (c) sabendo que a densidade relativa desse fluido 0,69 determine o valor da viscosidade cinemtica no SI.8. EXERCCIOS PROPOSTOS - CONVERSO DE UNIDADES E PROPRIEDADES FSICAS DOS FLUIDOS1 QUESTO - Uma coluna de mercrio (massa especfica = 13,6 g/cm3) tem 0,12 in de dimetro e 2,36ft de altura. Calcule o peso da coluna em Newtons, em lbf e a massa em lbm. Resp.: 0,7 N; 0,157 lbf; 0,157 lbm

2 QUESTO - Faa a converso dos seguintes valores:a) 26 milhas/h para ft/s;

Resp.:38,13 ft/s

b) para ;

Resp.:

c) 1,3 km/s para milhas/h;

Resp.:2908,15 milhas/h

d) 300 J/min para Hp;

Resp.: 6,7x10-3 Hp

e) 30 ft3 /min2 para in3 /s2 .

Resp.: 14,4 in3 /s2f) 100,0 cmHg para dina/m2 ;

Resp.: 1,33x1010 dina/m2g) 10 psig para mmHg (absoluta);

Resp.: 1277,2 mmHg

h) (T = 20C para F, K e R;

Resp.: 36 F; 20 K; 36 R

i) (T = 100F para C, K e R.

Resp.: 55,56 C; 100 R; 55,56 K

3 QUESTO Uma quantidade dada como 200 ft.lbf/min.ton. Expresse-a:

a)No sistema SI;

Resp.:4,982x10-3m.N/s.kg

b)No sistema CGS

Resp.:4,982 cm.dyna/s.g

4 QUESTO - A densidade do nitrobenzeno 1,20. Calcule a massa em kg de 250 litros de nitrobenzeno. Resp.: 300 kg

6 QUESTO Um certo lquido tem uma massa especfica de 1,5 slug/ft3. Determine o peso especfico e o volume especfico do lquido na terra e na lua (no SI). A acelerao da gravidade na lua 5,47 ft/s2. Resp.: 7,588 N/m3 e 1,29x10-3 m3/kgCAPTULO III ESTTICA DOS FLUIDOS1. DEFINIO

A esttica dos fluidos o estudo dos fluidos no qual no h movimento relativo entre as partculas do mesmo. Se no h movimento relativo, no existem tenses de cisalhamento, j que gradientes de velocidade, du/dy, so requeridos para que tenses de cisalhamento estejam presentes. A nica tenso que existe a tenso normal, a presso, de forma que a presso que de interesse primrio na esttica dos fluidos.

2. BALANO DE FORAS SOBRE UM ELEMENTO DE VOLUME EQUAO BSICA DA ESTTICA DOS FLUIDOS

Tomando-se um sistema qualquer e considerando que se possa tomar um elemento de fluido de forma cbica (com arestas (x, (y, (z) em repouso, conforme ilustrado (Figura 1). Suponha igualmente que este elemento seja suficientemente pequeno de tal forma que as presses estejam uniformemente distribudas sobre todas as superfcies. Esta condio ocorre quando o elemento de fluido tende a zero, ou seja, a um ponto sobre o sistema. Este elemento de fluido obedece a Lei e Pascal (No interior de um fluido em repouso a presso constante em cada ponto).

Figura 3 Representao de um elemento cbico de fluido em um sistema em repouso

Sabendo que:

Portanto:

(1)

Aplicando a Lei de Newton para o sistema em equilbrio, (F=0, ou seja:

Balano de foras para p=p(x, y, z)

Face perpendicular a x:

(

(2)

Face perpendicular a y:

(

(3)

Face perpendicular a z:

(

(4)

Dividindo as equaes de (2) a (4) por (V=(x(y(z:

(5)

(6)

(7)

Aplicando a definio de derivada: , e fazendo (V(0, obtm-se:

(8)

(9)

(10)

A fora resultante que age sobre o volume de controle :

(

(11)

Como a fora resultante nula, ou seja:

Em termos de componentes:

(12)

(13)

(14)

Como a presso funo de apenas uma varivel, podemos escrever a equao diferencial parcial (13) na forma de uma derivada simples ou ordinria, dada por:

(15)

Restries:

Fluido esttico

A gravidade a nica fora de campo

O eixo y vertical e orientado para cima.

Para determinar a distribuio de presso num fluido esttico, a Equao (15) pode ser integrada aplicando-se as condies de contorno apropriadas.

Para fluido incompressvel ((=cte)

(

(16)

Para fluido compressvel

Considere o fluido um gs ideal a temperatura constante:

(17)

(0 = massa especfica do gs ideal ao nvel do mar

p0 = presso atmosfrica ao nvel do mar

Partindo da equao fundamental da hidrosttica

e

Integrando:

Aplicando exponencial:

(18)

Exemplos 1 - Um tanque aberto contm 0,61 metros de gua cobertos por 0,30 metros de leo de densidade 0,83. Determine: a) a presso na interface entre os fluidos; e b) a presso no fundo do tanque.

Exemplos 2 Na atmosfera, considerada isotrmica, determine: a) a presso a 5000 m de altura em atm; e b) a presso a 5000 m abaixo do nvel do mar em atm. Dados: p0 = 1 atm e (0=1,29 kg/m3.

3. MEDIDORES DE PRESSO

Na superfcie de um fluido, a presso resulta de efeitos de superfcie sobre o volume. A medida de presso pode ser tomada com relao a dois referenciais:

Presso absoluta medida em relao ao vcuo Presso manomtrica ou relativa medida em relao a presso atmosfrica

(19)

Figura 2. Medida da presso pA em relao presso nula e presso atmosfrica local

A presso pode ser especificada pela altura da coluna e pela massa especfica do lquido da coluna como vimos anteriormente:

ou (presso relativa)

(20)Pode-se observar pela Equao (20) que a presso relativa pode ser medida em termos da altura de coluna de lquido. O funcionamento de equipamentos utilizados para medir a presso, denominados manmetros, se baseia nessa definio.

Para determinao das presses em um manmetro as seguintes regras so vlidas:

Quaisquer dois pontos na mesma elevao, num trecho contnuo do mesmo lquido, esto a mesma presso.

A presso aumenta a medida que se percorre uma coluna de lquido para baixo

3.1. Barmetro de Toricelli

o tipo mais elementar de manmetro e utilizado para medir a presso atmosfrica.

Esse dispositivo constitudo por um tubo de vidro com uma extremidade fechada e a outra (aberta) imersa num recipiente que contm mercrio. O equilbrio da coluna de mercrio ocorre quando o peso da coluna mais a fora provocada pela presso de vapor do mercrio (p0) igual a fora devido a presso atmosfrica. Logo:

(21)

Figura 3. Barmetro de Toricelli

3.2. Tubo Piezomtrico

Constitudo por um tubo vertical aberto no topo e conectado ao recipiente onde se deseja conhecer a presso.

Figura 4. Tubo Piezomtrico

(22)

3.3. Manmetro com tubo em UpA = p1

ep2 = p3

Figura 5. Manmetro com tubo em U

3.4. Manmetro com mltiplos lquidos

Figura 6. Manmetros com mltiplos lquidos.pA = p1ep2 = p3

3.5. Manmetro inclinado

Esse tipo de manmetro ideal para medir pequenas variaes de presso. Um dos ramos inclinado, formando um pequeno ngulo ( com a horizontal. Quanto menor for a inclinao, tanto maior ser o fator de multiplicao da leitura que seria obtida com o manmetro comum.

Figura 7. Manmetro com tubo inclinado.

Exemplos 3. O tanque mostrado na Figura a abaixo contm ar comprimido e um leo que possue densidade 0,9. O fluido manomtrico utilizado no manmetro em U, conectado ao tanque, o mercrio (densidade igual a 13,6). Se h1 = 914 mm, h2 = 152 mm e h3 = 229 mm, determine a leitura no manmetro localizado no topo do tanque.

Exemplos 4. gua flui para baixo ao longo de um tubo com inclinao de 30 com relao a horizontal, conforme mostrado na Figura b. Obtenha uma expresso algbrica para a diferena de presso. Calcule a diferena de presso em Pa se L=5 ps e h=6 pol. Figura a

Figura b

4. EXERCCIOS PROPOSTOS1 Questo. Determine a presso relativa no ponto A (gua contida na cmara pressurizada) mostrado no esquema da Figura 1. Considere que: (A = 1000 kg/m3, (M = 13,6(A, g = 9,8 m/s2, h1 = 20 cm, h2 = 15 cm e h3 = 30 cm. Resp.: pA=20972 Pa.

2 Questo. gua e leo fluem em tubulaes horizontais. Um manmetro do tipo em U conectado entre as tubulaes, como mostra a Figura 2. Calcule a diferena de presso entre a gua e o leo. Resp.: 0,0794 psi.

3 Questo. Qual a presso da tubulao de gua mostrada na Figura 3? Resp.: 15,62 Pa

4 Questo. Sabendo que o esquema mostrado na Figura 4 se encontra em equilbrio e que o fluido manomtrico o mercrio, determine:

a) o valor da presso pF na escala relativa em Pa.

b) o valor de pF na escala absoluta em Pa.

c) o valor de X

Dados: G2=12 lbf, D=2,8 ft.5 Questo. O manmetro inclinado da Figura 5 indica que a presso no tubo A de 0,6 psi. O fluido que escoa nos tubos A e B gua e o fluido manomtrico apresenta densidade 2,6. Qual a presso no tubo B que corresponde a condio mostrada na figura. Resp.:1,54 Pa.

6 Questo. A Figura 6 mostra um conjunto cilindro pisto, com dimetro igual a 320 mm, que contm gua. Um tubo em U aberto est conectado ao cilindro do modo mostrado na figura. Se h1=60 mm e h2=100 mm, qual o mdulo da fora P que atua sobre o pisto. Despreze o peso do pisto. Resp.: 1,024 kN

7 Questo. A partir da Figura 7 determine a presso manomtrica no ponto a em Pa, se o lquido A tem densidade SG = 0,75 e o lquido B, SG = 1,20. O lquido em volta do ponto a a gua e o tanque esquerda est aberto para a atmosfera. Resp.: 5,65 kN

8 Questo. Considere o manmetro mostrado na Figura 8. Determine a diferena de presso entre os pontos A e B. Resp.: 8,34 Pa

9 Questo. A Fig. 9 mostra uma casca hemisfrica cheia de ar que est presa no fundo do oceano (profundidade igual a 10 m). Um barmetro localizado dentro da casca hemisfrica apresenta uma coluna de mercrio (SG = 16,6) com altura de 765 mm e o manmetro em U mostrado na figura indica uma leitura diferencial de 735 mm de mercrio. Utilizando estes dados, determine qual o valor da presso atmosfrica na superfcie livre do oceano. Dados: densidade da gua do mar =1,15. Resp.: 104,1 kPa

10 Questo. Determine o ngulo ( do tubo inclinado mostrado na Fig. 10 sabendo que a presso em A 13,8 kPa maior que a presso em B. Resp.: 37,7

11 Questo. Qual a presso pA na Figura 11? A densidade relativa do leo 0,8. Resp.: 1,8 kPa

12 Questo. Um manmetro diferencial colocado entre as sees A e B em um tubo horizontal no qual escoa gua (Fig. 12). A deflexo do mercrio no manmetro de 576 mm. Calcule a diferena de presso entre a seo A e B em psia. Resp.: 10,32 Psia

13 Questo. O cilindro e o conduto da Figura 13 so preenchidos completamente por leo de peso especfico relativo igual a 0,9. Calcule o peso total (pisto + G) sabendo-se que a leitura do manmetro metlico 2,2 104 kgf/m .Dados: Dp = 1,80 m, (H2O = 103 kgf/m2. Resp.: 588 kN

14 Questo. Calcular a presso do ar na escala absoluta e a leitura do manmetro metlico da Figura 14, ambas em Pa. Dados: dleo = 0,8; dHg = 13,6. Resp.: 105 kPa e 32,6 kPa

15 Questo. A Figura 15 representa um reservatrio que contm a mistura de um certo gs com gua, onde se elaborou uma maneira prtica para se calcular a presso do gs. Pergunta-se:

a) qual a presso do gs no S.I.? Resp.: 2,12 kPa

b) qual a presso do gs na escala absoluta? Resp.: 103,4x105 Pa

Dados: patm = 700 mmHg, dleo = 0,8

16 Questo. Calcule a diferena de presso pA - pB na situao descrita pela Figura 16. Dados: (a = 104 N/m3 = (H2O, dr = 0,8 e dr = 1,05 Resp.: 2,59 kPa

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Figura 7

Figura 9

Figura 10

Figura 11

Figura 12

Figura 13

Figura 14

Figura 15

Figura 16CAPTULO IV - BALANOS DIFERENCIAIS1. INTRODUO

Como visto anteriormente a anlise de um escoamento de um fluido pode ser feita de duas maneiras:

i. Anlise Integral ou Global Estamos interessados apenas em como quantidades globais de massa, momentum e energia atravessam a superfcie de controle e qual a troca global destas quantidades no material em considerao.

ii. Anlise Diferencial Utiliza-se elementos de fluidos que se aproximam de tamanhos diferenciais.

2. SIGNIFICADO FSICO DE ALGUMAS DERIVADAS

Seja C a concentrao de peixes em um rio. Os peixes esto em movimento logo

C=C(x,y,z,t)

Aplicando a regra da Cadeia:

i. Derivada Parcial: Estamos em uma ponte e observamos como a concentrao de peixes logo abaixo muda com o tempo. Observamos como a concentrao muda com o tempo numa posio fixa no espao.

( derivada parcial em relao a t com (x,y,z) constantes

ii. Derivada simples: Pegamos um barco e vamos as vezes para cima, as vezes para baixo.

( Vx, Vy e Vz componentes da velocidade do barco

iii. Derivada Substancial: pegamos uma canoa e flutuamos. Agora a velocidade do observador igual velocidade da corrente. Quando medimos a mudana da concentrao de peixes o o tempo os nmeros dependem da velocidade local da corrente

3. BALANO DIFERENCIAL DE MATRIA EQUAO DA CONTINUIDADE

A massa que entra no sistema menos a que sai deve ser igual ao acmulo.

(I)

(II)

(III)

A vazo mssica do fluido dada pela Equao 1:

(1)onde: =vazo mssica do fluido

( = densidade do fluido ou massa especfica

Q= vazo volumtrica do fluido

V velocidade

A= rea da seo transversal

Logo temos:

(I) =

(2)(II) e (III):

Vazo mssica na face perpendicular ao eixo x

(3)

Vazo mssica na face perpendicular ao eixo y

(4)

Vazo mssica na face perpendicular ao eixo z

(5)

Substituindo as Equaes de (2) a (5) no balano de massa, dividindo pelo volume do elemento e aplicando limite quando o volume tende a zero:

(6)Podemos reescrever a Equao 6 como:

(7)

A Equao (6) a forma diferencial da equao da continuidade que descreve a taxa de mudana da densidade em um ponto fixo devido s mudanas no vetor velocidade mssica ().

A equao simplesmente diz que a velocidade de diminuio da densidade dentro de um pequeno elemento de volume fixo no espao igual ao fluxo lquido de massa do elemento por unidade de volume (p.u.v).

Aplicando a regra da cadeia na Equao 7 temos:

(8)

(9)

A equao da continuidade nessa forma descreve a velocidade de mudana da densidade como sendo uma observao flutuando ao longo do fluido.

3.1. Casos particulares da equao da continuidade

Regime permanente:

(10) Regime permanente e fluido incompressvel:

(11) Coordenadas cilndricas:

(12)

Coordenadas esfricas: (13)

4. BALANO DIFERENCIAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO EQUAO DE NAVIER-STOKES

O balano de quantidade de movimento ser realizado levando em considerao o movimento do fluido devido a:

Conveco gradiente de quantidade de movimento devido ao escoamento ou fluxo total do flu,ido V.

Transferncia molecular gradiente de quantidade de movimento devido as foras viscosas no sistema, (.Aplicando o balano de QM sobre o elemento de volume nas trs direes devido ao movimento do fluido na direo x, poderemos deduzir a equao diferencial de quantidade de movimento nesta direo e por analogia obteremos nas outras direes.

QM = quantidade de movimento =

Taxa de QM =

Balano de QM por conveco na direo x =

4.1 Etapas do balano de QM

a) Por conveco

Face perpendicular a x:

(14)

Face perpendicular a y

(15)

Face perpendicular a z

(16)

b) Por transferncia molecular

Face perpendicular a x:

(17)

Face perpendicular a y:

(18)

Face perpendicular a z:

(19)

Obs.: tenso de cisalhamento na face perpendicular ao eixo y devido ao escoamento na direo x.

c) Foras que atuam sobre o elemento de volume

Fora de presso:

(20)

Fora gravitacional

(21)

d) Taxa de acmulo de QM em x dentro do elemento de volume

Acmulo=

(22)

Substituindo as equaes de (14) a (22) no balano global chegamos a:

(23)

Dividindo esta expresso por e aplicando limite quando o volume tende a zero, chegamos a componente x da equao do movimento:

(23.1)De maneira anloga chegamos as seguintes equaes para y e z:

(23.2)

(23.3)Nessas equaes temos os seguintes termos:

= componentes do vetor velocidade mssica

= componentes da acelerao da gravidade

= componentes do vetor (gradiente de p) ou grad p

= os nove componentes do fluxo de momento convectivo

= os nove componentes de , conhecido como vetor tenso

Combinando estas expresses em uma equao vetorial simples:

...................

(24)Onde:

= taxa de acumulo de QM p.u.v.

= taxa de ganho/perda de QM por conveco p.u.v devido ao fluxo do fluido

= taxa de ganho/perda de QM por transferncia viscosa p.u.v. (fora viscosa sobre o elemento p.u.v.)

= fora de presso que atua sobre o elemento p.u.v.

= fora de gravidade que atua sobre o elemento p.u.v.

Aplicando a regra da cadeia em uma das equaes do movimento temos:

(25)Rearranjando a equao:

(26)Para fluido incompressvel a equao anterior pode ser escrita na forma:

(27.1)

De forma anloga para as outras direes:

(27.2)

(27.3)

Ou na forma vetorial:

(28)

Esta equao do movimento estabelece que um pequeno elemento de volume que se move com o fluido acelerado pelas foras que atuam sobre ele. Em outras palavras, segue a 2 Lei de Newton:

Soma das foras = massa x acelerao

Essas equaes podem ser utilizadas para determinar as distribuies de velocidade, entretanto, devemos inserir expresses para as vrias tenses em funo dos gradientes de velocidade e propriedades do fluido. Para fluidos newtonianos essas expresses so:

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

Substituindo estas expresses na equao vetorial geral, obtida at ento, em cada uma das direes, chegamos a:

(35.1)

(35.2)

(35.3)

Formas simplificadas das equaes do movimento

i. ( e ( constantes

(36)

Equao de Navier-Stokes

ii. Efeitos viscosos desprezveis ()

(37)

5. EQUAES OBTIDAS ATRAVS DOS BALANS DIFERENCIAIS

5.1.EQUAO DA CONTINUIDADE

a)Coordenadas retangulares

b) Coordenadas cilndricas

c) Coordenadas esfricas

5.2. EQUAO DO MOVIMENTO

a)Coordenadas retangulares

b) Coordenadas cilndricas

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 6. EXERCCIOS PROPOSTOS BALANO DIFERENCIAL1 Questo. Um mtodo utilizado para determinar o raio de um tubo capilar atravs da determinao do fluxo mssico de um lquido Newtoniano atravs do tubo. Encontre o raio do capilar para os seguintes dados:

Comprimento do tubo capilar 50,02 cm

Viscosidade cinemtica do lquido 4,03x103 m2/s

Densidade do lquido 0,9552x103 Kg/m3 Queda de presso no tubo 4,829x105 Pa

Fluxo mssico atravs do tubo 2,997x10-3 Kg/s

2 Questo. Deduza as expresses para o perfil de velocidades, vazo mssica, velocidade mxima e velocidade mdia para o anel representado pela Figura 1.

Resp.: (substituindo na equao obtida com a condio de contorno em r1) ou (substituindo na equao obtida coma condio de contorno em r2)

3 Questo. Um anel horizontal de 27 ft de comprimento, tem raio interno de 0,495 in e raio externo de 1,1 in. Um efluente que ir passar pelo processo de tratamento bombeado atravs do anel a 20 C. A essa temperatura a densidade do efluente 80,3 lb/ft3 e a viscosidade 136,8 lbm/ft.h. Qual a velocidade volumtrica quando aplicada uma diferena de presso de 5,39 psi? Resp.: 19,4 m3/s

4 Questo. A Figura 2 mostra duas placas infinitas, paralelas e horizontais. O espao entre as placas est preenchido com um fluido viscoso e incompressvel. Os valores das velocidades e os sentidos dos movimentos das placas so os mostrados na figura. O gradiente de presso na direo x nulo e a nica fora de campo a devida a ao da gravidade. Determine o perfil de velocidade do escoamento entre as placas. Deduza uma expresso para determinar a distncia entre a placa inferior e o ponto onde a velocidade do escoamento mxima. Determine uma expresso para a velocidade mdia e para o fluxo mssico.

5 Questo. Observe a Figura 3, onde temos representado o escoamento de um fluido Newtoniano em regime laminar entre duas paredes paralelas separadas pela distncia 2B. Sabendo que B