apostila complexos e geometria (parte i)

5/7/2018 Apostila Complexos e Geometria (Parte I) - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-complexos-e-geometria-parte-i 1/10

Complexos e GeometriaIME/ITA

3/27/2011

http://dadosdedeus.blogspot.com

Marcos Valle (IME)



2 Dados de Deus – Complexos e Geometria

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO...................................................................................................03

2 REVISÃO...........................................................................................................03

3 FORMA TRIGONOMÉTRICA E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA................04

4 EXEMPLOS.......................................................................................................05

5 EXERCÍCIOS (NÍVEL 1)....................................................................................07

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................09




1 INTRODUÇÃO

Os números complexos surgiram por volta do século XVI, com o estudo deequações do 3º grau por Cardano e de Tartaglia . Este havia descoberto1 umafórmula para calcular as raízes de uma equação do tipo , asaber:

Cardano, após muito insistir, conseguiu que Tartaglia lhe passasse a fórmula,com a condição de não divulgá-la, o que não ocorreu. O resultado foi apublicação do método no Ars Magna de Cardano, em 1545 (e uma grandeinimizade entre os dois matemáticos).

Mas um problema inquietante era que, aplicando-se a fórmula acima, chegava-se a raízes quadradas de números negativos (algo desconhecido e incoerentepara a época) ainda que a equação possuisse todos seus zeros reais. Como

exemplo, tome . Era sabido que 4, e eramraízes, no entanto ao utilizar a fórmula conclui-se que:

O problema perdurou até a publicação do L'Algebra parte maggiore dell'Arithmetica em 1572 por Rafael Bombelli . O engenheiro teve a idéia de

supor que os números e deveriam ser da

forma a e , respectivamente. De fato, consegui provar que a =2 e b = 1.

No século XVIII, de Moivre e Euler começaram a formalizar a estutura algébrica

dessa nova classe de números e surgiu então a notação . Ainda nomesmo século os complexos (que somente receberam essa denominação noséculo XIX) passaram a ter uma interpretação geométrica, com o plano deArgand-Gauss e, para coroar a importância dessa nova ferramenta, Gaussprovou que os números complexos são necessários e suficientes para aálgebra, com o Teorema Fundamental da Álgebra .

1Scipione del Ferro também havia encontrado um método de resolução de equações desse tipo.




Os números complexos são hoje utilizados nos mais diversos campos daciência, como eletromagnetismo, circuitos elétricos, física quântica, teoria docaos e, é claro, na geometria.

Nesta primeira apostila você encontra uma breve revisão de conceitos básicos,

a interpretação geométrica dos complexos, bem como alguns teoremasfundamentais que podem ser a diferença entre entrar ou não no IME ou no ITA.

2 REVISÃO

Os números complexos são da forma , em que .Denotamos por

a parte real de z e

a parte imaginária.

Confira agora algumas propriedades para e IGUALDADE: ADIÇÃO: MULTIPLICAÇÃO: CONJUGAÇÃO: , ,

DIVISÃO:

POTÊNCIAS DE i: Seja . .

PRODUTO COM CONJUGADO:

3 FORMA TRIGONOMÉTRICA2 E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

2Utilizando a expansão de Taylor, prova-se que .




Fig. 01

O plano complexo (também conhecido como plano de Argand-Gauss) é geradopor dois eixos ortogonais, sendo as abscissas números reais e as ordenadasos imaginários. Desta forma, todo número complexo pode ser representado deuma forma trigonométrica (ou polar), conforme ilustra a Fig. 01.

Note ainda que o ponto z pode ser interpretado como uma das extremidadesdo vetor que o liga à origem. Dizemos que o ponto z é o afixo do complexo eOz (que a partir de agora chamaremos apenas de z) o vetor associado aoafixo.

Podemos escrever:

O ângulo é chamado de argumento e é chamado de módulo de z.

Sejam e . Confira 2 propriedades interessantes dessanotação:

MULTIPLICAÇÃO:

DIVISÃO:

Repare agora que multiplicar um complexo por é o mesmo que somar aoseu argumento, i.e. rotacioná-lo de um ângulo no sentido anti-horário

4 EXEMPLOS




A seguir apresentaremos 3 exemplos de exercícios envolvendo númeroscomplexos e geometria.

Exemplo 1 Mostre que os pontos médios de um quadrilátero qualquer formamum paralelogramo.

Fig. 02

Devemos provar que e .

Verifique que: , , ,

Logo:

Exemplo 2 Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares.




Fig. 03

As diagonais de um losango podem ser escritas como:

Para que sejam perpendiculares (i.e. rotacionadas de 90º) devemos ter

Note que

Mas . Logo:

Assim:

Exemplo 3 (Teorema de Napoleão) Dado um triângulo qualquer, constroem-setriângulos equiláteros externamente a cada um de seus lados. Os centros dosnovos triângulos também formam um triângulo equilátero.




Tome a origem sobre um dos vértices, conforme ilustra a Fig. 03. Temos que:

+b

Como são baricentros:

Com isso concluímos que

5 EXERCÍCIOS (NÍVEL 1)

Prove os teoremas abaixo:

1-)

2-)




3-)

4-)

5-) Considere um círculo de raio unitário:

1. Para uma corda , temos

2. Se c pertence à corda , então

3. A intersecção entre as tangentes em a e b é o ponto

4. O pé da perpendicular de um ponto arbitrário c à corda é

5. A intersecção entre as cordas é o ponto

6-) Os pontos a,b,c,d pertencem a uma circunferência se e somente se

7-) Os triângulos são similares e de mesma orientação se e somente

se

8-) A área de um triângulo é

9-) O ponto c divide um segmento na razão se e somente se

10-) O ponto t é baricentro de um triângulo abc se e somente se

11-) Para o ortocentro h e o circuncentro o do triângulo abc, temos

12-) Para um triângulo positivamente orientado abc, as seguintes condições

são equivalentes:

1. Abc é equilátero2. |a - b| = |b - c| = |c - a|3. a² + b² + c² = ab + bc + ca4. (b - a)/(c - b) = (c - b)/(a - b)5. (z - a)-1 + (z - b)-1 + (z - c)-1 = 0, em que z = (a + b + c)/36. (a + eb + e²c)(a + ec + e²b) = 0, em que e = cos(2p/3) + i.sin(2p/3)




6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Hahn, Liang-shin Complex Numbers and Geometry, The MathematicalAssociation of America, 1994

Andreescu, Titu Complex Numbers From A to … Z, Birkhäuser, 1956

http://www.wildstrom.com/susan/COMPLEXNUMBERSPROP.pdf

http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf

http://www.imomath.com/tekstkut/cnum_mr.pdf

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo

http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf

http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/09/historia-das-equacoes-

algebricas-parte.html

Em breve a segunda parte da apostila com questões nível IME resolvidas!











http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/09/historia-das-equacoes-algebricas-parte.html










apostila complexos e geometria (parte i)

Documents