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APÊNDICE 1
UMA SEQUÊNCIA DE ENSINO-
APRENDIZAGEMCOMO FACILITADOR NO ENSINO
DE VETORES
1- Produto Educacional
Esse produto tem como objetivo desenvolver uma proposta de ensino de Física para ser aplicada no
primeiro ano do Ensino Médio. O conteúdo a ser desenvolvido nesse produto será a adição de vetores e
decomposição de vetores usando uma ferramenta do Phet Colorado1 e o método de ensino Peer Instruction2
(Instrução por colegas) (Mazur, 2015). Geralmente as aulas de vetores não são muito atraentes e motivadoras
e pensando em reverter esse quadro, bem como proporcionar uma aprendizagem na qual os alunos possam
interagir no desenvolvimento do conteúdo de forma dinâmica, foi desenvolvida essa sequência de ensino-
aprendizagem.
Segundo os pesquisadores Barniol e Zavala (2014) e Heckler e Scaife (2015),o uso de um contexto
melhora o aprendizado e seguindo esse pensamento a seqüência foi escrita usando contextos para cada
atividade. E para observar como o uso de contexto ajuda a entender melhor o conceito de vetores podeser
usado um Pré-Teste /Pós-Teste, em anexo, no qual temos questões diretas sem contexto e questões com
contexto.
Para ensinar vetores de forma significativa e dinâmica foi desenvolvida uma sequência de ensino-
aprendizagem baseada no método de ensino Peer Instruction2 (Instrução por colegas) (MAZUR, 2015) e
contará com o uso de problemas contextuais e um simulador de adição de vetores fornecido pelo Phet
Colorado. Esse simulador funcionará como um facilitador do aprendizado, possibilitando desenhar e somar
vetores de mesma direção ou formando ângulos quaisquer. A sequência de ensino-aprendizagem será centrada
na aprendizagem dos conceitos básicos de vetores: Sentido, direção e módulo, além da soma de vetores de
mesma direção e em duas direções. Os alunos resolverão problemas conceituais, no quais precisarão fazer
suposições e interagir com os colegas de turma. Nessa tarefa de resolver os problemas e usar o simulador os
alunos terão a oportunidade de interagir com o conteúdo, o que não ocorre em uma aula tradicional, em que
ele desempenha o papel de ouvinte e copia o que é colocado na lousa, no caso da aula em forma de palestra,
dita tradicional. O objetivo dessa sequência de ensino-aprendizagem é promover a aprendizagem ativa,
provocando o aluno, a partir do uso de recursos visuais, buscando a participação do aluno e a interação entre
os próprios alunos e também entre os alunos e o professor.
Segundo Smith e Perkins (2010), antes de qualquer atividade em sala é preciso fazer um
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planejamento, traçando os objetivos de cada atividade e as metas a serem alcançadas, constituindo o
planejamento como parte primordial para um ensino eficiente. Com base nessas idéias, e como o planejamento
do professor é o plano de ensino ou plano de aula, construir uma sequência de ensino-aprendizagem através
de atividades que são divididas em planos de aula com: Objetivos, metas para o desenvolvimento de cada
atividade em sala durante a aplicação da sequência de ensino-aprendizagem. Abaixo podemos identificar um
breve resumo das atividades a serem desenvolvidas ou Sequência de ensino-aprendizagem Proposta
A primeira atividade a ser desenvolvida será a leitura de um texto de apoio, o qual
encontra-se no apêndice 2. Esse texto trará o conceito de vetores como: a concepção de
direção, sentido e módulo, além disso será apresentado o simulador do Phet Colorado.
Simulação do PhET disponível em:
https://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_pt_BR.html
Agora que os alunos têm a ideia de direção, sentido e módulo vamos fazer uso de um roteiro que
estimule os alunos a usarem o simulador para executar somas de vetores de mesma direção.
Depois de desenhar alguns vetores no simulador do Phet, os alunos iram responder a uma questão
envolvendo os conceitos de vetores.
Visando promover a interação entre os alunos, será aplicado um questionário, onde os alunos
usarão o simulador como ferramenta para desenhar as componentes do vetor deslocamento.
Simulação do PhET disponível em:
https://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_pt_BR.html
Dando continuidade as atividades, os alunos deverão usar o simulador do Phet para realizar a soma
de vetores de quaisquer direções, resolvendo o questionário seguindo o roteiro. Simulação do
PhET disponível em:
https://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_pt_BR.html
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Plano de Aula I ou Atividade I
Conteúdos trabalhados
Direção e sentido
Objetivos
Desenvolver a noção de direção, sentido e módulo;
Entender como realizar a soma de vetores de mesma direção.
Duas aulas de 50 minutos cada.
Metodologia
As estratégias utilizadas serão:
Apresentação das placas de sinalização;
Recurso áudio-visual, projetor e computador;
Responder a uma questão conceitual.
Atividade com o simulador;
Atividade 1: Direção, sentido e módulo.
Com base no texto de apoio os alunos deverão desenhar os vetores do quadro abaixo, o qual
será exposto em slide. Com o objetivo de saber as concepções dos alunos sobre direção, sentido e
módulo.
Desenhem no simulador do Phet os vetores indicados a baixo
Rx Ry Vetor
5 15 Desenhe um vetor de módulo 20
horizontal
10 25 Desenhe um vetor de módulo - 20
horizontal
7 12 Desenhe um vetor de módulo 10
vertical
Em seguida será apresentado o problema abaixo para que os alunos possam interagir com o conteúdo
e com os colegas. Além da interação com o conteúdo e com os colegas, o problema também tem como objetivo
ver se o estudantes vão identificar que existem duas respostas possíveis, caso não seja definido se a vaga fica
á direita ou a esquerda do veículo.
*Analise a situação: Você vem dirigindo seu carro a 3m/s dentro do estacionamento e pretende
estacionar em uma das vagas, confomre a ilustração abaixo. Sabendo que apenas uma das vagas está sendo
desoculpada e que as outras sete vagas forma recém preenchidas e que você não pode estacionar na vaga
destinada a cadeirante. Em qual vaga você irar estacionar seu carro? Dica: A largura de cada vaga do
estacionamento é de 3m, você demorou 3s para chegar até a vaga desoculpada.
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Figura 1: Representação do problema a ser resolvido.
f) Vaga número 3, pois, você percorre 3m em 1 segundo, logo chegara à vaga número 3 em 3
segundos.
g) Vaga número 2, pois, você percorre 3m em 1 segundo, logo chegara à vaga número 2 em 3
segundos, passando pela vaga de cadeirante
h) Vaga número 6, pois, você percorre 3m em 1 segundo, logo chegara à vaga número 6 em 3
segundos.
i) Vaga número 5, pois, você percorre 3m em 1 segundo, logo chegara à vaga número 5 em 3
segundos, passando pela vaga de cadeirante
j) Nenhuma das alternativas está correta, pois faltou uma informação no problema.
*Após ler o problema os alunos deverão indicar a sua resposta através dos flashcards1 (cartões
indicando a alternativa escolhida), nesse momento poderemos discutir os conceitos envolvidos e
conseqüentemente chegar à resposta correta. Essa discussão será feita em grupos para que assim os
alunos possam ajudar o colega a entender o conteúdo dando significado ao conceito aprendido.
Atividade1.1- Usando computador, os alunos deverão desenhar o vetor deslocamento do problema
anterior, conforme o quadro abaixo:
Rx Ry
3 0
3 0
3 0
Rx= 0
Figura 2: Representação dos vetores Rx no simulador do Phet Colorado.
Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_pt_BR.html
Modelo do vetor no simulador do Phet.
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Na figura 2 estamos representando três vetores de modulo igual a três unidades (setas vermelhas) e a
seta verde representa a soma dos três vetores. Com essa atividade demos início ao uso do simulador para
somar vetores, em nosso caso o deslocamento do carro.
1 2
Atividade 1.2:(Questão adaptada dos autores Heckler e Scaife (2015):
http://www.physics.ohio-state.edu/~heckler/Pub3lished%20papers/Heckler.Scaife.2015.PRST.pdf).
Essa tarefa tem como objetivo desenvolver a lógica e promover uma revisão sobre o conceito de módulo,
direção e sentido. Segundo os autores Heckler e Scaife (2015) nesse tipo de atividade podemos perceber
como os alunos expressam a noção de direção, módulo e sentido
Nos quadros abaixo os alunos irão:
No primeiro quadro pintar, com a cor azul o vetor de sinal negativo e com a cor vermelha o
vetor de sinal positivo, os quadrinhos que formam uma unidade de medida de cada vetor e
na sequência indicar o módulo, a direção e o sentido de cada um deles.
No quadro dois somar os pares de vetores e indicar o vetor resultante.
Quadro I Quadro II
Nessa atividade espera-se que os alunos não tenham muita dificuldade em executar a tarefa e que
1-Flashcards: São cartões de resposta contendo letras ou números e servem para indicando a alternativa escolhida por um aluno
durante a resolução dos problemas contextuais. Para confeccionar esses cartões podemos usar cartolina ou outro material e a forma
de utilizar é bem simples: O professor no início da aula entrega a cada aluno um conjunto de flashcards (A, B, C, D e E) caso os
problemas de múltipla escolha tenham cinco alternativas e sempre que um desses problemas for apresentado o professor solicita que
os alunos levantem o cartão que representa a sua resposta.
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obtenham um bom resultado com o máximo possível de acertos. Espera-se também que a maior dificuldade
esteja nos sinais na hora de somar ou subtrair, podendo ocorrer inversão na resposta (subtrair quando deveria
somar ou o contrário). No caso não estamos comparando modo de representar o vetor por setas com outra
notação como na atividade original e sim observar como os alunos suportam a ideia de direção, sentido e
módulo.
Atividade 1.3
Problema 1: Analise a situação abaixo e marque a alternativa correta: Na imagem abaixo temos um
robô empurrando um caixote de madeira no chão, como já foi visto podemos usar setas para representar
vetores e que vetor é a representação de uma grandeza física que necessita de módulo, direção e sentido para
ser descrita e analisada corretamente. Na imagem abaixo estão representados os vetores força de atrito e a
força aplicada pelo robô. Nesse caso o caixote entrará em movimento?
a) Sim, pois a força aplicada é maior que a força de atrito e o caixote será deslocado para á direita.
b) Não, pois a força aplicada não foi capaz de anular totalmente a força de atrito.
c)Sim, pois a força aplicada é maior que a força de atrito, logo tem uma força resultante de 36N para
a esquerda e o caixote será deslocado para á esquerda.
d)Sim, pois a força aplicada é maior que a força de atrito, logo tem uma força resultante -36N para a
esquerda e o caixote será deslocado para á esquerda.
e) Nenhuma das alternativas estão corretas.
Figura 3: Reforçando a soma de vetores em que deles é o vetor oposto.
Disponível em:
https://phet.colorado.edu/sims/html/forces-and-motion-basics/latest/forces-and-motion-basics_pt_BR.html
Novamente os alunos apresentarão as suas respostas através das flashcards. Para completar a atividade
os alunos deverão formar grupos onde analisarão a situação e com o auxilio do simulador do Phet chegaram
à resposta correta, a qual deverá ser apresentada aos demais grupos e colegas pelo líder de cada grupo.
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Problema 2: Observando a figura abaixo quem irá levar o carrinho de doces? Quanto vale o vetor
força resultante? Para o vetor força resultante ser nulo quanto de força deve ser adicionado do lado direito?
Figura 4: Calculando o vetor força resultante. Fonte: Simulador do Phet Colorado
Disponível em:
https://phet.colorado.edu/sims/html/forces-and-motion-basics/latest/forces-and-motion-basics_pt_BR.html
a) Lado azul; -100N e -100N
b) Lado azul; -100N e 100N
c) Lado vermelho; -100N e -100N
d) Lado azul; 100N e -100N
e) Lado vermelho; -100N e 100N
Atividade 1.4:
Problema 1: Joãozinho e sua mãe chegaram recentemente a uma cidade do interior e não conhecem a
cidade ainda. O pai de Joãozinho que chegou primeiro na cidade fez um mapa para auxiliar na locomoção
pela cidade. Certo dia Joãozinho pediu a sua mãe para ir à padaria comprar uma paçoca, e para isso sua mãe
lhe deu um mapa para que ele consiga chegar ao local desejado. No mapa estavam dadas as seguintes
instruções: A padaria fica a 120m da casa em linha reta, partindo na direção Leste em linha reta 60m até o
primeiro cruzamento, e mais 60m na mesma direção. Faça um esboço do mapa seguindo as instruções acima.
Figura 5: Representação visual da situação descrita.
Pedir para os alunos desenharem um mapa para indicar o mapa que o pai de Joãozinho deixou.
Enquanto os alunos discutem a solução do problema, observar como eles se comportam, quais alunos
tomaram a iniciativa de resolver o problema e quais ficaram mais passivos. Dado esse tempo é hora de mostrar
a solução usando o simulador.
Problema 2: Mariana e sua prima Luiza moram na mesma rua, um certo dia Mariana foi até a casa de
Luiza que mora no final da rua, a 500m. Depois de passar um tempo na casa da prima Mariana retornou para
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casa, mas antes de chegar em casa passou na casa de Júlia que também mora na mesma rua a 210m. Diante
dessas informações faça um esboço do vetor que representa o deslocamento de Mariana.
Plano de Aula II ou Atividade II
Conteúdos trabalhados
Decomposição de vetores ortogonais
Objetivos
Desenvolver habilidades para decompor vetores ortogonais;
Decompor vetores usando o simulador do Phet.
Uma aula de 50 minutos.
Metodologia
As estratégias utilizadas serão:
Inicialmente será apresentado um quadro com as componentes de alguns vetores;
Recurso áudio-visual, computador;
Atividade com o simulador;
Atividade 2.1: Vetores ortogonais.
Agora que os alunos já aprenderam a desenhar vetores no simulador do Phet e a somar vetores de
mesma direção, vamos começar a desenhar vetores os quais tenham as duas componentes ou dimensões.
Espera-se que o simulador seja um facilitador do aprendizado, possibilitando desenhar vetores com duas
dimensões formando ângulo reto ou não.
No quadro abaixo os alunos irão desenhar os vetores seguindo as instruções:
Figura 6: Representando vetores em duas dimensões no simulador do Phet.
Disponível em:
https://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_pt_BR.html
Rx Ry
2 5
10 30
20 5
Imagine que você
se deslocou 10m
no sentido Norte e
depois mais 5m no
sentido oeste.
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Como podemos observar acima, o vetor soma em verde, está fazendo um ângulo de 45° com
as componentes RX e RY.
Atividade 2.2: Nessa atividade os alunos inicialmente formaram grupos e discutiram o problema, dado um
tempo de cinco minutos, os grupos apresentaram as suas respostas com os flashcards. Para concluir a
atividade, usaram o simulador do Phet para chegar a resposta.
Problema 1: Marcos e o amigo Lucas que moram próximos compraram um sinal de internet compartilhada,
o provedor forneçe para a realização dessa tarefa um roteador que segundo o fabricante tem um alcance em
linha reta de 20m, 30m, 50m, 80m ou 100m. Sabendo que os roteadores custam respectivamente: R$ 200,00;
R$ 80,00; R$ 100,00; R$ 120,00; R$ 300,00. Observando o mapa abaixo e a distância entre as casas, qual o
menor valor possível que os amigos pagaram pela instalação da internet?
f) R$ 200,00;
g) R$ 80,00;
h) R$ 100,00;
i) R$ 120,00;
j) R$ 300,00.
Figura 7: Representação visual do problema descrito.
Problema 2: Em um determinado relógio o ponteiro dos segundos tem um comprimento igual a soma do
ponteiro das horas com o dos minutos. Sabendo que o comprimento do ponteiro dos minutos vale 8cm e dos
horas 6cm e que a medida correta do comprimento do ponteiro só pode ser feita quando os ponteiros estiverem
em uma posição como a indicada na figur. Determine o comprimento do ponteiro dos segundos.
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a) 5 cm
b) 7cm
c) 3 cm
d)10 cm
e) 9 cm
Figura 8: Representação da posição dos ponteiros do relógio descrito no problema.
Problema 3: Um pedreiro está construindo uma casa e o dono quer um telhado como o representado na figura
abaixo. Ao termino da parte de alvenaria o dono da casa pediu para o pedreiro indicar a medida das telhas
para fazer o telhado, observado as medidas da casa qual comprimento deve ter as telhas?
Figura 9: Representação da situação descrita.
a) 3,2m
b)4,4m
c)2,5m
d)3,6m
e) 4,2m
48 para
49 para
Plano de Aula III ou Atividade III
Conteúdos trabalhados
Resolução de exercícios envolvendo grandezas vetoriais
Objetivos
Desenvolver habilidades para somar vetores ortogonais;
Desenvolver a prática em resolver exercícios com vetores.
Responder um questionário (pós-teste) sobre o conteúdo aplicado na sequência de ensino-
aprendizagem.
Uma aula de 50 minutos.
Metodologia
As estratégias utilizadas serão:
Resolução de um questionário de exercícios.
Papel e caneta.
Recurso áudio-visual, computador ;
Atividade com o simulador para ajudar na solução das questões;
Atividade 3.1: Vetores ortogonais.
Depois das atividades anteriores chegou à hora de aplicar o conhecimento desenvolvido para
solucionar o questionário a seguir. Nessa tarefa os alunos poderão usar o simulador do Phet para ajudar a
decompor os vetores quando necessário.
Questionário 1:
01-(UFB) Observe a figura a seguir e determine quais os vetores que:
a) tem a mesma direção.
b) tem o mesmo sentido.
c) tem a mesma intensidade (módulo)
d) são iguais.
02-(UEPG-PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20m/s, horizontal e para a direita,
50 para
estamos definindo a velocidade como uma grandeza:
03-(UFMG) Uma pessoa sai para dar um passeio pela cidade, fazendo o seguinte percurso: sai de
casa e anda 2 quarteirões para o Norte; dobra à esquerda andando mais 2 quarteirões para Oeste,
virando, a seguir, novamente à esquerda e andando mais dois quarteirões para o Sul. Sabendo que
cada quarteirão mede 100m, o deslocamento da pessoa é:
a) 700m para Sudeste
b) 200m para Oeste
c) 200m para Norte
d) 700m em direções variadas
e) 0m
Disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_pt_BR.html
Simulação do deslocamento realizado.
Solução usando o simulador do Phet:
a) Inicialmente vamos trocar a escala do
deslocamento da pessoa dividindo o
deslocamento por 10, dessa forma fica
mais fácil trabalhar com o simulador.
b) Agora basta desenhar os vetores
correspondes ao deslocamento realizado
pela pessoa e logo temos o resultado do
vetor resultante. Como pode ser visto ao
lado.
51 para
04-(UEL-PR) Na figura a seguir estão desenhados dois vetores ( e ). Esses vetores representam
deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é o módulo do vetor igual a + ?
05- (FUVEST-SP) Um viajante saiu de Araripe, no Ceará, percorreu, inicialmente, 1.000 km para o
sul, depois 1.000 km para o oeste e, por fim, mais 750 km para o sul. Com base nesse trajeto e no
mapa acima, pode-se afirmar que, durante seu percurso, o viajante passou pelos estados do Ceará,
a) Rio Grande do Norte, Bahia, Minas Gerais, Goiás e Rio de Janeiro, tendo visitado os ecossistemas
da Caatinga, Mata Atlântica e Pantanal. Encerrou sua viagem a cerca de 250 km da cidade de São
Paulo.
b) Rio Grande do Norte, Bahia, Minas Gerais, Goiás e Rio de Janeiro, tendo visitado os ecossistemas
da Caatinga, Mata Atlântica e Cerrado. Encerrou sua viagem a cerca de 750 km da cidade de São
Paulo.
c) Pernambuco, Bahia, Minas Gerais, Goiás e São Paulo, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga,
Mata Atlântica e Pantanal. Encerrou sua viagem a cerca de 250 km da cidade de São Paulo.
d) Pernambuco, Bahia, Minas Gerais, Goiás e São Paulo, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga,
Mata Atlântica e Cerrado. Encerrou sua viagem a cerca de 750 km da cidade de São Paulo.
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e) Pernambuco, Bahia, Minas Gerais, Goiás e São Paulo, tendo visitado os ecossistemas da Caatinga,
Mata Atlântica e Cerrado. Encerrou sua viagem a cerca de 250 km da cidade de São Paulo.
53 para
APÊNDICE 2
Texto de Apoio
Vetores
Vetores são representações matemáticas grandezas físicas, como por exemplo, as grandezas
físicas deslocamento, força, etc. São descritos como segmentos de reta orientados que possuem
módulo, direção e sentido.
Módulo: é o valor ou a quantidade.
Direção: reta que indica o caminho seguido. A reta pode ser vertical, horizontal ou
inclinada.
Sentido: indica para que lado o vetor está apontado, por exemplo, de cima para baixo ou
de baixo para cima.
Existem diversos tipos de grandezas físicas vetoriais: força, deslocamento, velocidade,
aceleração etc.
Todo vetor possui, direção, sentido e módulo e pode ser representado como uma seta a seguir:
Nesse caso temos um vetor velocidade na direção horizontal e sentido da direita para esquerda.
Para determinar o módulo ou quantidade basta medir o valor da velocidade, ou seja, o tamanho da
seta indica o módulo.
Vetores iguais possuem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentindo:
Quando temos vetores com módulos, direções e sentidos diferentes, ou pelo menos uma das
características não coincide, dizemos que esses vetores não são iguais entre si:
54 para
Nesse caso os dois vetores possuem a mesma direção e mesmo sentido, porém não possui o mesmo
módulo.
Vetores na mesma direção
Para realizar operações com vetores na mesma direção, devemos inicialmente estabelecer um sentido como
positivo e outro como negativo. Normalmente utilizamos como positivo o vetor que “aponta” para a direita,
já o negativo é o vetor que aponta para a esquerda. Após convencionar os sinais, somamos algebricamente
os seus módulos:
Soma de vetores de mesma direção e mesmo sentido
Se tivermos o vetor velocidade 𝒗𝟏→=a, e
𝒗𝟐→=b, definimos a soma de
𝒗𝟏→e
𝒗𝟐→, por:
𝒗𝟏→+
𝒗𝟐→= 𝒂 + 𝒃
Diferença de vetores
Se𝒗𝟏→ =a, e
𝒗𝟐→=b, definimos a diferença entre
𝒗𝟏→ e
𝒗𝟐→, por:
Vetores ortogonais
55 para
Quando nos referimos a grandezas escalares não temos a necessidade de fazer uso de uma palavra
específica para expressar sua medida, basta expressar a própria medida, como, por exemplo: a massa
de um corpo é 2 kg, o comprimento da pista é 5 km etc. Mas quando estamos trabalhando
com grandezas vetoriais esse procedimento deixa de ser correto, pois a expressão da medida só dá
uma parcela da informação, por exemplo: dizer que a força aplicada a um corpo é 4 N não indica a
direção e o sentido da força.
Por esse motivo, em grandezas vetoriais, o correto é dizer: o módulo da força aplicada a um corpo é
4 N. Em outras situações que abordam grandezas vetoriais, temos que realizar a soma ou a subtração
de vetores na mesma direção. Um caso bem interessante e que merece bastante atenção é a soma de
grandezas vetoriais com vetores dispostos perpendicularmente entre si.
Quando você se deparar com uma situação na qual há a necessidade de realizar a soma ou a subtração
de vetores perpendiculares entre si, o melhor que você deve fazer é trabalhar com a decomposição
de vetores.
Na soma de dois vetores, podemos encontrar apenas um único vetor, ou seja, o vetor resultante, que
nada mais é do que um vetor que equivale a esses dois vetores. Na decomposição de vetores, o
processo é inverso. Dado um vetor , podemos encontrar outros dois vetores e tal
que . Vejamos a figura abaixo:
Nesse caso, como e são vetores perpendiculares entre si, a decomposição é ortogonal. Veja
a figura abaixo:
Na figura acima podemos deslocar o vetor para a extremidade do vetor de modo que o
vetor e seus vetores componentes ortogonais e formem um triângulo retângulo.
56 para
Com base na relação trigonométrica aplicada a um triângulo retângulo, podemos determinar o
módulo dos componentes horizontal e vertical do vetor em função do ângulo θ. Dessa forma, do
triângulo amarelo acima temos:
A expressão do módulo do componente horizontal
A expressão do módulo do componente vertical
Finalmente, como o triângulo formado por e seus componentes é um triângulo retângulo,
aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
Que é a relação entre o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais.
Vetores em direções quaisquer
Quando dois vetores fazem entre si um ângulo α, diferente de 90º, não é possível utilizar o
Teorema de Pitágoras, mas as operações podem ser feitas através da regra
do paralelogramo. A figura a seguir mostra o deslocamento resultante d de um móvel que
saiu do ponto A e deslocou-se a uma distância d1 , chegando ao ponto B; em seguida, ele
deslocou-se a uma distância d2 até chegar ao ponto C:
O deslocamento resultante d descreve um paralelogramo com d1 e d2
Como o deslocamento resultante d forma um paralelogramo com d1 e d2, ele deve ser
calculado com a equação:
d2 = d12 + d2
2 + 2d1d2 cosα
(Regra do paralelogramo)
57 para
APÊNDICE 3
Questionário I (Pré-Teste/Pós-Teste)
Esse questionário visa identificar a eficácia do uso de contexto no ensino de vetores através da sequência de
ensino-aprendizagem adotada. Na bibliografia pesquisada foi relatado dificuldades no uso de setas para
representar os vetores e as vantagens em usar um contexto para trabalhar o conteúdo de vetores. Por isso foi
desenvolvido essa sequência que traz o conteúdo dentro de algum contexto, e o pré-teste visa observar o ganho
obtido nas questões abaixo que não possuem contexto ( 1,2,3, 12,13, 14 e 15), versus as questões em que foi
introduzido um contexto ( 4,5,6,7,8,9,10 e 11). Nesse sentido poderemos ter um resultado semelhante aos
encontrados em outras bibliografias, nas quais trazem o uso de um contexto como alternativo para melhorar
o ensino de vetores.
1º) Suponha que as setas abaixo representam vetores. Em qual alternativa estão representados vetores de
mesma direção?
a) b)
c) d)
2ª) Suponha que as setas abaixo são vetores, em qual alternativa os vetores possuem mesmo sentido.
a) b)
58 para
c) d)
3ª) Os vetores abaixo estão representados por setas e possuem direção, sentido e módulo. Sabendo que o
módulo de um vetor corresponde a sua intensidade, determine o par de vetores de mesma direção em que os
seus módulos possuem maior intensidade.
a) b)
c) d)
4ª) Na imagem abaixo, suponha que cada robozinho representa um vetor força, despreze o atrito. Fazendo
isso, marque a alternativa correta:
a) Cada robozinho tem um vetor força de 50N, totalizando um vetor soma resultante de 100N
e o carrinho não vai entrar em movimento porque a força não é suficiente.
b) Cada robozinho tem um vetor força de 50N, totalizando um vetor soma resultante de 100N
e o carrinho vai entrar em movimento porque a força é suficiente.
59 para
c) O vetor força representado pelos robozinhos e pelas setas indicam que a direção do vetor
foca é horizontal e para a direita.
d) O vetor força representado pelos robozinhos e pelas setas indicam que a direção do vetor
força é vertical e para a direita.
5º) Na imagem abaixo temos três robozinhos representando forças, sendo assim, o que ocorrerá com o
carrinho?
a) Na direção horizontal e no sentido negativo (para a esquerda) temos dois robozinhos de
50N, a soma das forças é 100N e do lado oposto no sentido positivo (para a direita). Temos
apenas um robozinho de 100N, sendo assim o carrinho se deslocará para a esquerda, pois,
tem dois robozinhos.
b) Observando a figura podemos perceber que o robozinho em vermelho é maior, logo o
carrinho se deslocará para a direita.
c) Na direção horizontal e no sentido negativo (para a esquerda) temos dois robozinhos de
50N, a soma das forças é 100N e do lado oposto no sentido positivo (para a direita) temos
um robozinho de 100N. Como os robozinhos estão aplicando o mesmo valor de força em
sentido contrário a soma das forças é zero. Logo, o carrinho permanecerá em repouso.
d) Na direção horizontal e no sentido negativo (para a esquerda) temos dois robozinhos de
50N, a soma das forças é 100N e do lado oposto no sentido positivo (para a direita) temos
um robozinho de 100N. Dessa forma, os robozinhos estão aplicando o mesmo valor de
força em sentido contrário e a soma das forças é zero. Logo como o robô vermelho é
maior, o carrinho será puxado para a direita.
6ª) Na imagem abaixo temos três robozinhos representando forças, sendo assim, o que ocorrerá com o
carrinho?
60 para
a) Na direção horizontal e no sentido negativo (para a esquerda) temos dois robozinhos de
50N, a soma das forças é 100N e do lado oposto no sentido positivo (para a direita). Temos
apenas um robozinho de 150N, sendo assim o carrinho se deslocará para a esquerda, pois,
tem dois robozinhos.
b) Observando a figura podemos perceber que em um dos lados apresentamos dois
robozinhos, logo o carrinho se deslocará para a esquerda.
c) Na direção horizontal e no sentido negativo (para a esquerda) temos dois robozinhos de
50N, a soma das forças é 100N e do lado oposto no sentido positivo (para a direita) temos
um robozinho de 150N. Já que os robozinhos estão aplicando valores de força diferentes e
em sentido contrário a soma das forças é 50N para a direita. Logo o carrinho será puxado
para a direita.
d) Na direção horizontal e no sentido negativo (para a esquerda) temos dois robozinhos de
50N, a soma das forças é 100N e do lado oposto no sentido positivo (para a direita) temos
um robozinho de 150N. Podemos concluir que o carrinho ficará em repouso, pois, em um
dos lados temos dois robôs pequenos e do outro lado um robô maior.
7ª) Suponha que os números que saem ao jogar um dado sejam deslocamentos e que você vai representá-los
em uma folha de papel. Devemos inicialmente definir que os números pares são deslocamentos positivos
(para a direita) e os ímpares negativos (para a esquerda). Sendo assim, marque a alternativa que representa
respectivamente o conjunto de vetores para os dados:
a)
Dado 1 Dado 2 Dado 3
b)
61 para
c)
d)
8ª) Suponha que os números que saem ao jogar um dado sejam deslocamentos e que você vai representá-los
em uma folha de papel. Precisamos primeiramente determinar que os números pares são deslocamentos
positivos (para a direita) e os ímpares negativos (para a esquerda). Sendo assim, marque a alternativa que
representa respectivamente o conjunto de vetores para os dados:
a)
Dado 1 Dado 2 Dado 3
b)
62 para
c)
d)
9ª) Você e um amigo estão jogando dados, pense que o ganhador deve obter o maior valor seguindo a seguinte
lógica: Os números pares são deslocamentos positivos (para a direita) e os ímpares negativos (para a
esquerda). Cada jogador lança dois dados ao mesmo tempo. Deste modo, marque a alternativa que representa
o vetor deslocamento do ganhador da partida:
Resultado obtido por você ao lançar os dados.
Resultado obtido pelo seu amigo ao lançar os dados.
a)
b)
63 para
c)
d)
10ª) Marcos chegou recentemente a uma cidade do interior e não a conhecem ainda. O irmão de Marcos
(José) gosta de fazer charadas e para indicar a localização de sua casa em relação à de Marcos fez a seguinte
charada: “Suponha meu irmão que você é um pirata a procura de um tesouro, a minha casa, e para encontrar
esse tesouro tem apenas o mapa dando as seguintes instruções: O tesouro fica a 100m da sua casa em linha
reta, partindo na direção oeste em linha reta 80m e mais 60m na direção Norte. Marque a alternativa que
corresponde à localização da casa de Lucas o irmão de Marcos.
a)
b)
c)
d)
64 para
11ª) ) Pense que você resolveu levar uma vida saudável e decidiu fazer uma caminhada, mas antes disso
procurou um médico para realizar exames preventivos e verificar o quanto de exercício físico você pode fazer
diariamente. O médico lhe recomendou fazer uma caminhada diária de 2000m. O local escolhido foi o seu
bairro por conhece as ruas e suas respectivas distâncias. A Rua 1 onde fica a sua casa começa no Leste e
termina no Oeste depois de 200m, seguindo a recomendação médica, qual o seu deslocamento final após
terminar 5 voltas completas ?
a) 400m
b) 200m
c) 600m
d) 0m
12ª) Indique o módulo de cada vetor deslocamento.
a)
b)
c)
65 para
d)
13ª) Some os vetores força de mesma direção e indique a alternativa correta .
a) 1N
b) -1N
c) 9N
d) -9N
14ª) Some os vetores força abaixo:
a) 7N
b) 1N
c) -1N
d) 6N
15ª) some os vetores força abaixo:
a) 7N
b) 1N
c) 5N
d) -1N
66 para
Apêndice 4
Simulador do Phet Colorado:
No simulador do Phet é uma ferramenta didática muito boa para ensinar vetores. Nele podemos
desenhar vetores e fazer a soma desses vetores em uma dimensão ou duas dimensões. Abaixo
temos um pequeno tutorial de como usar o simulador:
Figura 10: Interface do Simulador do Phet Colorado
Disponível em:
https://phet.colorado.edu/sims/vector-addition/vector-addition_pt_BR.html
Conhecendo a interface do simulador do Phet:
Quadro 1 em destaque temos um balde cheio de vetores (representados por
setas), para pegar um desses vetores basta clicar o dedo esquerdo do mouse e
arrastar o vetor até a posição desejada.
67 para
No quadro 2 temos os valores de cada componente do vetor ( a componente
Rx, a componente Ry e a componente do vetor resultante R).
Figura 11: Explicando o quadro 2
Para que seja possível ver esses dados você deverá arrastar um vetor do balde e colocar em uma
posição dentro da grade. Podemos ver agora que no quadro 2 temos um vetor de componente Rx=
10 e Ry=5 e R=11,2.
Figura 12: Explicando o quadro 2 com componentes.
No quadro 3 temos uma caixa onde clicando nele faz surgir a grade d Phet, essa grade
é importante pois facilita a medição do módulo de cada componente.
68 para
Figura 13: Colocando a grade do Phet
No quadro 4 temos duas opções: A opção limpar que limpa o calculo e balde de lixo
que elimina os vetores (para isso basta arrastar cada devtor e colocar dentro do balde).
Figura 14: Eliminando uma soma para realizar outra
No quadro 5 temos a opção de mostrar a soma ou seja, mostrar a componente do vetor
soma resultante representado no quadro 5.1.
Figura 15: Representando o vetor soma.
69 para
Como pode ser percebido o simulador é bem fácil de ser utilizado, possibilitando uma
aprendizagem significante e interativa, pois, nesse simulados podemos desenhar
vetores de vários tamanhos (módulos), em direções e sentidos que desejarmos em
duas dimensões.
70 para