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VETORESVETORES

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DEFINIÇÃO:É um segmento de reta orientado que pode representar uma Grandeza Física.

A

Exemplos:

B

Lemos: Vetor A e Vetor B

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OBSERVAÇÃO:

Algumas Grandezas Físicas não ficam bem compreendidas somente com um valor e sua unidade. Essas Grandezas são chamadas de Grandezas Vetoriais.

Portanto:

Grandezas Vetoriais são aquelas que para ficarem bem representadas necessitam de:Módulo, Direção e Sentido.

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Módulo: É representado graficamente através do tamanho do vetor ou através de um valor numérico acompanhado de unidade.

Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e pode ser informada através de palavras como: horizontal, vertical, etc.

Sentido: É a orientação do vetor dada pela seta e também pode ser informada através de palavras como: para esquerda, para direita, do ponto A para o ponto B, para baixo, etc.

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Exemplo 1:

A

Módulo: 3 cm

3 cm Direção: Vertical

Sentido: Para cima

Vetor A

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Exemplo 2:

Módulo: 5,5 cm

Direção: Horizontal

Sentido: Para esquerda

Vetor BB

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Vetores Iguais: É necessário que estes possuam as mesmas características para que sejam ditos IGUAIS.

Exemplo:

A C

Nesse caso: Vetor A igual ao Vetor C

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Vetores Opostos: São ditos opostos quando a única diferença entre eles é a oposição de sentido.

Exemplo:

A - A

Nesse caso: Vetor A oposto ao Vetor - A

Observação: Repare a utilização do sinal “ – “

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Vetores Diferentes: São aqueles que possuem uma ou mais diferenças em suas características.

A

B

Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem módulos diferentes.

BANesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem direções e sentidos diferentes.

A B

Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem sentidos diferentes.

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Operações com Vetores

É possível realizarmos alguma operações com vetores, aquelas que iremos estudar no ensino médio são:

• Multiplicação e divisão de vetores por números reais;

• Soma e subtração de vetores.

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Multiplicação de vetores por números reais

A

Tomemos como exemplo um vetor A:

Se desejamos obter o vetor 3A, teremos:

3 A

A A AComprove:

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Veja outro Exemplo

A

Tomemos como exemplo o mesmo vetor A:

Se desejamos obter o vetor -2 A, teremos:

-2 A

-A -AComprove:

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Divisão de vetores por números reais

B

Tomemos como exemplo um vetor B:

Se desejamos obter o vetor B / 2, teremos:

B / 2

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Soma e subtração de vetores – Casos Especiais

Vetores de Direções e Sentidos iguais:

BA

A + B

O módulo do resultante é dado pela soma dos módulos dos dois vetores.

O sentido do vetor soma é o mesmo de A e de B.

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Soma e subtração de vetores – Casos Especiais

Vetores de mesma Direção e Sentido opostos:

BA

A + B

Nesse caso o vetor soma terá o sentido do maior deles - o sentido do vetor B

O módulo da soma será dado por B – A , ou seja, o maior menos o menor.

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Soma e subtração de vetores – Casos Gerais

Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais podemos utilizar duas regras, a do polígono e a do paralelogramo.

A regra do polígono é muito útil quando precisamos somar três ou mais vetores;

A regra do paralelogramo deve ser aplicada com grupo(s) de dois vetores.

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Regra do PolígonoSejam os vetores abaixo:

A

BC D

Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos iniciar com qualquer um deles, veja como se utiliza a regra do polígono:

C

D

A

BSoma

Após terminarmos ocorre a formação de um polígono.

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Regra do ParalelogramoSejam os vetores abaixo:

B

Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores:

A

A

B

Vamos fazer traços paralelos aos lados opostos.

Soma = A + B

Soma

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Teorema de PitágorasNão importa a regra utilizada, se tivermos dois vetores perpendiculares entre si, teremos o mesmo vetor resultante e seu módulo pode ser determinado utilizando o TEOREMA DE PITÁGORAS:

Regra do Polígono:

AA

B

B

Regra do Paralelogramo:

S

S

S2 = A2 + B2

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V1

V3

V2

1. Dados os vetores V1, V2 e V3 da figura a seguir, obtenha graficamente o vetor soma vetorial:

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V1

V2

a) V1 + V2

VR

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V1

V3

V2

b) V1 + V2 + V3

VR

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2. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a:

Triângulo de Pitágoras

Verifique:

202 = 122 + 162

400 = 144 + 256

Alternativas:a) 4

b) Entre 12 e 16

c) 20

d) 28

e) Maior que 28

12

16

20

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3. A figura a seguir representa os deslocamentos de um móvel em várias etapas. Cada vetor tem módulo igual a 20 m. A distância percorrida pelo móvel e o módulo do vetor deslocamento são, respectivamente:

A

B

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Distância percorrida:

20 m

20 mA

20 m

20 m

20 m

B

Total = 5 x 20 = 100 m

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A

B

ΔS

40 m

20 m

ΔS2 = 402 + 202

ΔS2 = 1600 + 400ΔS2 = 2000

ΔS = 2000

ΔS = 20 5 m

Módulo do vetor deslocamento:

Pelo Teorema de Pitágoras:

Resposta: 100 m e 20 5 m

DECOMPOSIÇÃO DE VETORES

Um vetor V pode ser decomposto em dois vetores componentes: Vx (componente horizontal) e Vy (componente vertical), de modo que:

VVY

VX

x

y VX = cos . V

Vy = sen . V