ap estatistica aplicada 2015 versao 1 parte 3

Prof.a Luciana S. M. Quevedo Estatística Básica - !1


1- INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 4 1.1 - Definição 4 1.2 - Aplicações 5 1.3 - Conceitos Introdutórios 6 1.3.1 - População 6 1.3.2 - Amostra 7 1.3.3 - Censo 7 1.3.4 - Amostragem 7 1.3.5 - Parâmetro 7 1.3.6 - Dado Estatístico 8 1.3.7 - Variável 8

1.4 - Fases do Método Estatístico 8

2 - SÉRIES ESTATÍSTICAS 11 2.1 - Definição 11 2.2 - Tipos de Séries 11 2.2.1 - Série Temporal ou Cronológica 11 2.2.2 - Série Geográfica ou Territorial 12 2.2.3 - Série Específica ou Qualitativa 12 2.2.4 - Série Mista ou Composta 12

2.3 - Distribuição de Freqüência 13 2.3.1 - Distribuição de Frequência Discreta 13 2.3.2 - Distribuição de Frequência Intervalar 14 2.3.3 - Número de Classes e Amplitude em Distribuição Intervalar 14 2.3.3.1 - Número de Classe (k) 14 2.3.3.2 - Amplitude Total (R) 15

2.4 - Tipos de Frequências 15 2.4.1 - Frequência Simples ou Absoluta (fi) 15 2.4.2 - Freqüência Relativa (fri) 16 2.4.3 - Freqüência Acumulada (Fi) 16 2.4.4 - Freqüência Acumulada Relativa (Fri) 17

3 - GRÁFICOS 21 3.1 - Definição 21 3.2 - Tipos de Gráficos 21 3.2.1 - Gráficos de Linhas 21 3.2.2 - Gráficos de Colunas ou Barras 22 3.2.2.1 - Gráfico de Colunas 22


3.2.2.2 - Gráfico de Barras 23 3.2.3 - Gráficos Circulares ou de Setores 24 3.2.4 - Gráfico Pictorial - Pictograma 25 3.2.5 - Gráfico Polar 25 3.2.6 - Cartograma 26 3.2.7 - Histograma 27

4 - MEDIDAS DE TENDÊNCIA 29 4.1 - Introdução 29 4.2 - Medidas de Posição 30 4.2.1 - Média Aritmética (x) 30 4.2.1.1 - Dados não Agrupados 30

4.2.2 - Média Aritmética Ponderada - Dados Agrupados (Sem Intervalo de Classes) 31 4.2.3 - Média para Dados Agrupados - (Com Intervalo de Classes) 32 4.2.4 - Desvio em Relação à Média (di) 33 4.2.5 - Propriedades da Média 34 4.2.6 - Moda (Mo) 35 4.2.6.1 - Dados Não Agrupados 35 4.2.6.2 - Dados Agrupados - Com Intervalo de Classes 35

4.2.7 - Mediana (Md) 37 4.2.7.1 - Dados não Agrupados 37 4.2.7.2 - Dados Agrupados (Sem Intervalo de Classes) 38 4.2.7.3 - Dados Agrupados (Com Intervalo de Classes) 39

4.3 - Medidas de Dispersão 44 4.3.1 - Amplitude Total (R) 44 4.3.2 - Variância (S2) 44 4.3.2.1 - Dados Não Agrupados 44 4.3.2.2 - Dados Agrupados 46 4.3.2.3 - Dados Agrupados com Intervalo de Classes 46

4.3.3 - Desvio Padrão 48 4.3.4 - Coeficiente de Variação (CV) 48


1- INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA

1.1 - Definição

Formas para realizar o estudo: 1. Avaliando todos os elementos da população ou 2. Por amostragem (seleção de parte dos elementos da população).

A Estatística se divide em:

Estatística Descritiva Estatística Indutiva

(Amostral ou Inferêncial)

Estabelece hipóteses, tira conclusões sobre a população de

origem e formula previsões fundamentando-se na teoria das

probabilidades. A estatística indutiva cuida da análise e interpretação dos dados.

Preocupa-se com a coleta, organização, classificação,

apresentação, interpretação e analise de dados referentes ao

fenômeno, por meio de gráficos e tabelas.

Definição:

Estatística é a ciência que se ocupa de coletar, organizar, analisar e interpretar dados a fim de tomar decisões.

Definição:

Ciência que se preocupa com a coleta, a organização, a descrição (apresentação), a análise e a interpretação de dados experimentais, tendo como objetivo principal o estudo de uma população.


O processo de generalização do método indutivo está associado a uma margem de incerteza. Isto, pois, a conclusão obtida para o conjunto de todos os indivíduos analisados, quanto a determinadas características comuns, baseia-se em uma parcela do total de observações.

1.2 - Aplicações

Na Área da Saúde- Possibilita determinar a eficiência de um novo tratamento no combate à determinada doença;- Permite identificar situações críticas e, conseqüentemente, atuar em seu controle;- Viabiliza o acompanhamento de contaminação de doenças contagiosas.

Na área tecnológica- Permite interpretar informações menos precisas como por exemplo, sinais de satélites.

Na área industrial- Estudar tópicos relacionados à implantação de uma fábrica;- Determinar a necessidade de expansão industrial;- Ser a principal ferramenta para a Gestão da Qualidade;- Oferecer métodos para o eficaz Controle de Estoques- Atuar na Avaliação de Desempenho das Operações, nos estudos de produtividade e, nos

Programas de Manutenção das Máquinas.

Área de Recursos Humanos- Realizar pesquisas de compatibilização entre os conhecimentos e habilidades dos empregados

e as atividades desenvolvidas por eles; - Estabelecer a necessidades de Programas de Treinamento.

Área de Demografia - Estudar a evolução e as características da população;- Estabelecer tábuas de mortalidade e, analisa os fluxos migratórios.

Área de Marketing e Análise de Mercado- Trabalhar na monitoração e análise de mercado; nos sistemas de informações de marketing;- Atuar na prospecção e avaliação de oportunidades; na análise e desenvolvimento de produtos;

previsão de vendas;


- Participar de decisões sobre logística da distribuição;- Atuar no desenvolvimento e avaliação de campanhas publicitárias.

Área Financeira e Bancária- Atuar no departamento de seguros;- Trabalhar no estudo e desenvolvimento de modelos financeiros;- Trabalhar no desenvolvimento de informações gerenciais; das análises de fluxo de caixa;- Atuar na avaliação e projeção de indicadores financeiros.

Universidades e Instituições de Pesquisas - Atuar como docente, ministrando disciplinas relacionadas à Estatística, pesquisando e

desenvolvendo novas metodologias;- Assessorar pesquisadores de outras áreas, auxiliando-os na escolha da metodologia científica

a ser adotada; no planejamento da pesquisa, na escolha qualificada dos dados, na análise das respostas.

1.3 - Conceitos Introdutórios

1.3.1 - População

Conjunto, finito ou infinito, de indivíduos ou objetos que apresentam em comum pelo menos uma característica definida, cujo comportamento interessa analisar.

O objetivo é fornecer informações sobre o fenômeno em estudo, a partir dos dados observados, para auxiliar no processo de tomada de decisão.

As populações podem ser:1. Finita: apresenta um número limitado de elementos, podendo-se enumerar todos os

elementos componentes. Exemplo: Idade dos universitários do Estado do São Paulo; 2. Infinita: apresenta um número ilimitado de elementos, não sendo possível enumerar

todos os elementos componentes. Exemplo: Tipos de bactérias no corpo humano.


1.3.2 - Amostra

É uma parte representativa, um subconjunto finito, de uma população; selecionada segundo métodos adequados.

O objetivo é fazer inferências, tirar conclusões sobre populações com base nos resultados da amostra.

Condição:Garantir que a amostra seja escolhida por meio de métodos corretos e, que seja

representativa. Ou seja, a amostra deve conter as mesmas características básicas da população, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar.

1.3.3 - Censo

É a coleta exaustiva de informações das N unidades populacionais. Quanto maior a amostra mais precisas e confiáveis deverão ser as induções feitas sobre a

população.

1.3.4 - Amostragem

É o processo de escolha e retirada de informações dos "n" elementos amostrais. Este processo deve seguir um método criterioso e adequado, determinar pelo tipo de amostragem.

1.3.5 - Parâmetro

São medidas populacionais quando se investiga a população em sua totalidade, neste caso é impossível fazer inferências, pois toda a população foi investigada.

Por outro lado, os valores estimados são medidas obtidas da amostra, sendo possível utilizar as teorias de inferência para que obter conclusões sobre a população.

Classificação dos Atributos: 1. Dicotomia: o atributo considerado admite apenas duas categorias. Exemplos: Sexo; Aceso ou Apagado; Conforme ou Não Conforme, entre outros.


2. Policotomia: o atributo considerado admite mais de duas categorias. Exemplos: Estado Civil; Classe social; Nível de Líquido em Reservatório; Altura; entre outros.

1.3.6 - Dado Estatístico

Qualquer característica que possa ser observada ou medida de alguma forma. Os dados observáveis são considerados a “matéria prima” da Estatística.

1.3.7 - Variável

Aquilo que se deseja observar para encontrar uma conclusão.Geralmente as variáveis para estudo são selecionadas por processos de amostragem.Os símbolos utilizados para representar as variáveis são as letras maiúsculas do alfabeto,

tais como: X, Y, Z.

Tipos de Variáveis:1. Qualitativas (ou atributos): São características de uma população que não pode ser

medidas. Exemplos: maior que, menor que, primeiro, segundo, entre outros;2. Quantitativas: São características populacionais que podem ser quantificadas, sendo

classificadas em discretas e contínuas.

Tipos de Variáveis Quantitativas:1. Discretas: são aquelas variáveis que podem assumir somente valores inteiros em um

conjunto de valores. São geradas pelo processo de contagem;2. Contínuas: são aquelas variáveis que podem assumir um valor dentro de um intervalo

de valores. São geradas pelo processo de medição.

1.4 - Fases do Método Estatístico

O método estatístico pode ser dividido em algumas fases.


São elas:

� � � � � �

a) Definição do Problema Consiste na: - formulação correta do problema; - examinar outros levantamentos realizados (revisão da literatura); - saber exatamente o que se pretende pesquisar definindo o problema corretamente (variáveis, população, hipóteses, entre outros).

b) Planejamento Determinar o procedimento necessário para resolver o problema.

c) Coleta / Levantamento dos Dados Consiste na obtenção dos dados referentes ao trabalho que desejamos fazer.

d) Crítica dos Dados

e) Apuração dos DadosConsiste em resumir os dados, por meio de uma contagem e agrupamento.É um trabalho de coordenação e de tabulação.

f) Apresentação dos Dados

É a fase de apresentação dos resultados obtidos na coleta e na organização.

A apresentação pode ser:- Tabular (apresentação numérica);- Gráfica (apresentação geométrica) .


g) Análise e Interpretação dos Dados É a fase mais importante e também a mais delicada. Possibilita a obtenção de conclusões, para auxiliar o pesquisador na resolução de seuproblema.

h) Arredondamento dos Dados

Fases de um Estudo Estatístico:

a) Definição do Problema b) Planejamento c) Coleta / Levantamento dos Dados d) Crítica dos Dadose) Apuração dos Dadosf) Apresentação dos Dadosg) Análise e Interpretação dos Dadosh) Arredondamento dos Dados


2 - SÉRIES ESTATÍSTICAS

2.1 - Definição

O objetivo é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que se tenha uma visão global do resultado. Para isto é necessário representar os valores em tabelas e gráficos, os quais fornecem rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo.

2.2 - Tipos de Séries

2.2.1 - Série Temporal ou Cronológica

Definição: Série cujos dados estão dispostos em correspondência com o tempo, permanecendo constante o fato e o local.

Exemplo:

Conjunto de dados ordenados segundo uma característica comum; dados estes que serão utilizados para realizar análises e inferências.


2.2.2 - Série Geográfica ou Territorial

Definição: Série cujos dados estão dispostos em correspondência com o local, permanecendo constante a época e o fato.

Exemplo:

2.2.3 - Série Específica ou Qualitativa

Definição: Série cujos dados estão dispostos em correspondência com a espécie ou qualidade, permanecendo constante a época e o local.

Exemplo:

2.2.4 - Série Mista ou Composta

Definição: Decorrente da combinação entre duas ou mais séries.


São apresentadas em tabelas de dupla entrada.

Exemplo:

2.3 - Distribuição de Freqüência Definição: Tipo de série estatística na qual permanece constante o fato, o tempo e o local.

Os dados são colocados em classes preestabelecidas, registrando a freqüência de ocorrência.

Uma distribuição de freqüência pode ser classificada em: (1) Distribuição de Frequência Discreta e (2) Distribuição de Frequência Intervalar.

2.3.1 - Distribuição de Frequência Discreta

Definição: Série de dados agrupados, onde o número de observações está relacionado com um ponto real. Exemplo:


2.3.2 - Distribuição de Frequência Intervalar

Definição: Os intervalos parciais representam as classes a que pertencem determinado elemento.

Exemplo:

2.3.3 - Número de Classes e Amplitude em Distribuição Intervalar

2.3.3.1 - Número de Classe (k)

Definição: raiz quadrada do numero total de elementos (n).

Matematicamente:

k = n√


2.3.3.2 - Amplitude Total (R) Definição: diferença entre o valor máximo (xmáx) e o valor mínimo (xmin).

Matematicamente:

2.3.3.3 - Amplitude da Classe (h) Definição: razão entre a Amplitude Total (R) e o numero total de classes (k).

Matematicamente:

2.4 - Tipos de Frequências

2.4.1 - Frequência Simples ou Absoluta (fi)

Definição: número de ocorrência dos dados de uma cada classe.

A soma das Frequências Simples (fi), corresponde ao número total de dados (n). Portanto, o Número Total de Dados (n), também chamado, Freqüência Total (fT), pode ser matematicamente expressa, como:

h = R

k

R = − xmáx xmin


Matematicamente:

2.4.2 - Freqüência Relativa (fri) Definição: razão entre a Freqüência Simples (fi) e o Numero Total de Dados (n).

Matematicamente:

2.4.3 - Freqüência Acumulada (Fi)

Definição: soma da Frequência Absoluta da Classe (fi) com as Frequências Absolutas das Classes anteriores.

Matematicamente:

= + + + +. . . + Fi fi f(i−1) f(i−2) f(i−3) f1

= fri

fi

n

n = ∑ fi


2.4.4 - Freqüência Acumulada Relativa (Fri)

Definição: razão entre a Frequência Acumulada da Classe (Fri) e a Frequência Total (fT).

Matematicamente:

Exercícios:

1. Complete a distribuição abaixo, determinando as freqüências simples:

2. Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 100 alunos, conforme dados a seguir, determine:

(a) a distribuição em frequência; (b) a distribuição de frequência em classes; (c) a frequência relativa da cada classe; (d) a frequência acumula de cada classe; (e) qual o intervalo de nota da maioria dos alunos; (f) o histograma; (g) o gráfico circular.

64 78 66 82 74 103 78 86 103 87 73 95 82 89 73 92 85 80 81 90 78 86 78 101 85 98 75 73 90 86 86 84 86 76 76 83 103 86 84 85

i xi fi Fi

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

2 9

21 29 34

∑ = 34

= FriFi

fT


76 80 92 102 73 87 70 85 79 93 82 90 83 81 85 72 81 96 81 85 68 96 86 70 72 74 84 99 81 89 71 73 63 105 74 98 78 78 83 96 95 94 88 62 91 83 98 93 83 76 94 75 67 95 108 98 71 92 72 73

3. A tabela abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um mês, por uma firma comercial. Forme uma distribuição de freqüência sem intervalo de classe.

14 12 11 13 14 13 12 14 13 14 11 12 12 14 10 13 15 11 15 13 16 17 14 14

4. Complete a tabela abaixo:

5. Dada a distribuição de freqüência:

Determine: a) ∑ fi; b) as freqüências relativas; c) as freqüências acumuladas; d) as freqüências relativas acumuladas.

i CLASSES fi fri Fi Fri

1 2 3 4 5

00├ 08 08├ 16 16├ 24 24├ 32 32├ 40

4 10 14 9 3

∑ = 40 ∑=1,00

xi 3 4 5 6 7 8

fi 2 5 12 10 8 3


6. A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400 lotes:

Com referência a essa tabela, determine: a) a amplitude total; b) o limite superior da quinta classe; c) o limite inferior da oitava classe; d) O ponto médio da sétima classe; e) A amplitude do intervalo da segunda classe; f) A freqüência da quarta classe; g) A freqüência relativa da sexta classe; h) A freqüência acumulada da quinta classe; i) O número de lotes cuja área não atinge 700 m2; j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2; k) A porcentagem dos lotes cuja área não atinge 600 m2; l) A porcentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2; m) A porcentagem dos lotes cuja área é de 500 m2, no mínimo, mas inferior a 1.000 m2; n) A classe do 72° lote; o) Até que classe estão incluídos 60% dos lotes.

7. A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus:

Áreas (m2) Número de Lotes

[300, 400[ 14

[400, 500[ 46

[500, 600[ 58

[600, 700[ 76

700, 800[ 68

[800, 900[ 62

[900, 1000[ 48

[1000,1100[ 22

[1100, 1200] 6

N° de Acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7

N° de Motoristas 20 10 16 9 6 5 3 1


Determine: a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente; b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes; c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes; d) O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes; e) A porcentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.

8. Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência:

9. Complete os dados que faltam na distribuição abaixo:

i xi fi fri Fi

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7

1

4

3 2

0,05 0,15

0,25 0,15

4

13

18 19

∑ = 20 1,00

i Classes xi fi Fi fri

1 2 3 4 5 6 7 8

0 ├ 2 2 ├ 4 4 ├ 6

8├ 10 10├ 12

14├16

1

5 7

13

4 8

27 15

10

30

72 83 93

0,04

0,18 0,27

0,10 0,07

∑ = ∑ =


3 - GRÁFICOS

3.1 - Definição

Apesar de permitir rápida leitura e interpretação, normalmente, contém menos informações que as tabelas.

3.2 - Tipos de Gráficos

3.2.1 - Gráficos de Linhas Utilizado para ilustrar Séries Temporais.

Exemplos:

Forma visual para apresentação dos dados de um estudo.


3.2.2 - Gráficos de Colunas ou Barras Representação gráfica de Distribuições de Freqüências.

Características: - todas as barras devem ter a mesma largura; - devem existir espaços entre as barras .

3.2.2.1 - Gráfico de Colunas

Usado para ilustrar qualquer tipo de série. As larguras das barras deverão ser todas iguais podendo ser adotado qualquer dimensão, desde que, seja conveniente e não se superponham.

Exemplos:


3.2.2.2 - Gráfico de Barras As regras utilizadas para o gráfico de barras são iguais às usadas para o gráfico de colunas.

Exemplo:


3.2.3 - Gráficos Circulares ou de Setores

Representação gráfica da freqüência relativa (percentagem) de cada categoria da variável. É uma opção ao gráfico de barras quando se pretende dar ênfase à comparação das percentagens de cada categoria. A construção do gráfico de setores segue uma regra de 3 simples, onde as freqüências de cada classe correspondem ao ângulo que se deseja representar em relação a freqüência total, 360°.

Características: - A área do gráfico equivale à totalidade de casos (360o = 100%); - Cada “fatia” representa a percentagem de cada categoria.

Exemplo:


3.2.4 - Gráfico Pictorial - Pictograma

Tem por objetivo despertar a atenção, uma vez que, muito desses apresentam grande dose de originalidade e de habilidade na arte de apresentação dos dados.

3.2.5 - Gráfico Polar

Tipo de gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas. Ou seja, toda a série que apresenta uma determinada periodicidade.

Passos para construir um Gráfico Polar: 1) Traçar uma circunferência de raio arbitrário (preferencialmente, um raio de comprimento proporcional a média dos valores da série);


2) Construir semi-reta (preferencialmente, horizontal) partindo do ponto 0 (pólo); com uma escala (eixo polar); 3) Dividir a circunferência em tantos arcos quantos forem as unidades temporais; 4) Traçar semi-retas a partir do ponto 0 (pólo) passando pelos pontos de divisão; 5) Marcar valores correspondentes da variável, iniciando pela semi-reta horizontal (eixo polar); 6) Ligar os pontos encontrados com segmentos de reta; 7) Fechar o polígono obtido, empregando uma linha interrompida.

3.2.6 - Cartograma

Representação de uma carta geográfica. É empregado quando o objetivo é figurar os dados estatísticos relacionados às áreas geográficas ou políticas. Para dados absolutos (população) – usam-se pontos proporcionais. Para dados relativos (densidade) – usam-se hachaduras.


3.2.7 - Histograma


4 - MEDIDAS DE TENDÊNCIA

4.1 - Introdução

Para ressaltar as tendências características de cada distribuição, isoladamente, ou comparativamente com outras, pode-se introduzir conceitos expressos por meio de valores específicos.

Tais conceitos são:a) medidas de posição; b) medidas de variabilidade ou dispersão; c) medidas de assimetria; d) medidas de curtose.

Dentre os elementos típicos, as medidas de posição, representam uma série de dados que indicam a posição da distribuição em relação ao eixo horizontal (eixo das abscissas).

As principais medidas de posição são as medidas de tendência central, as quais recebem tal denominação pelo fato dos dados observados tenderem a se agrupara em torno dos valores centrais.

Dentre eles, destacam-se: a) a média aritmética; b) a mediana; c) a moda.

As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a) a própria mediana; b) os quartis; c) os percentis.


4.2 - Medidas de Posição

4.2.1 - Média Aritmética (x)

Definição: razão entre a soma dos valores das variáveis (xi)e o número total de dados (n).

Matematicamente:

4.2.1.1 - Dados não Agrupados

Nestes casos calcular a média aritmética simples.

Matematicamente:

Exemplo:

Sabendo-se que a produção leiteira diária de um animal, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, respectivamente; a produção média da semana será:

x = (10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12) / 7x = 14 litros.

= x

∑i=1

n

xi

n

= x

∑i=1

n

xi

n


4.2.2 - Média Aritmética Ponderada - Dados Agrupados (Sem Intervalo de Classes)

Neste caso, como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada.

Matematicamente:

O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, dados em coluna:

Exemplo:

Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:

MENINOS fi xifi

0 1 2 3 4

2 6 10 12 4

0 6 20 36 16

∑ = 34 ∑ = 78

xi fi xifi

1 2 3 4 5 6

2 4 6 8 3 1

∑ = ∑ =

= x ∑i=1

n .xi fi

fi


4.2.3 - Média para Dados Agrupados - (Com Intervalo de Classes)

Neste caso, que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com seu ponto médio.

Portanto, deve-se determinar a média aritmética ponderada.

Matematicamente:

onde, xi é o ponto médio da classe. Exemplo:

Consideremos a distribuição:

x = 161 cm

Exercícios:

Complete o quadro e calcule a média aritmética da distribuição de freqüência:

i ESTATURAS (cm)

fi xi xifi

1 2 3 4 5 6

150 ├ 154 154 ├ 158 158 ├ 162 162 ├ 166 166 ├ 170 170 ├ 174

4 9 11 8 5 3

152 156 160 164 168 172

608 1.404 1.760 1.312 840 516

∑=40 ∑=6.440

= x ∑i=1

n .xi fi

fi


4.2.4 - Desvio em Relação à Média (di)

Definição: diferença entre cada elemento e o valor da media aritmética (x).

Matematicamente:

Exemplo:

Para o exemplo, tem-se:

di = xi - x

di = {- 4, 0, - 1, 1, 2, 4, - 2}, i = 1, …, 7

Custos (R$) fi

[450, 550[ 8

[550, 650[ 10

[650, 750[ 11

[750, 850[ 16

[850, 950[ 13

[950, 1050[ 5

[1050, 1150] 1

i xi fi xifi

1 2 3 4 5 6 7

∑= ∑=

= − di xi x


4.2.5 - Propriedades da Média

Propriedade 1:A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.

Matematicamente:

Propriedade 2:Somando ou subtraindo uma constante (c) aos valores de uma variável (xi), a Média

Aritmética do conjunto fica aumentada do valor da constante (c).

Matematicamente:

Propriedade 3:Multiplicando ou dividindo uma constante (c) aos valores de uma variável (xi), a Média

Aritmética do conjunto fica multiplicada ou dividida pelo valor da constante (c).

Matematicamente:

= . c y i x i

= . c yi xi

= + c y i x i

= + c yi xi

= 0 ∑i=1

n

di


4.2.6 - Moda (Mo)

Definição: valor da variável que ocorre com maior frequência em uma série de valores.

4.2.6.1 - Dados Não Agrupados

Facilmente reconhecida, bastando procurar o valore que mais se repete.

Exemplos:

1) W = {7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 15}

Moda (Mo) = 10.

2) Z = {3, 5, 8, 10, 12, 13}

Moda (Mo) = amodal

3) H = {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9}

Moda (Mo) = 4 e 7 Moda(Mo) = Bimodal

4.2.6.2 - Dados Agrupados - Com Intervalo de Classes

A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Em outras, palavras, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal.

O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal.

Moda Bruta Matematicamente:

Mo = −xmáx xmin

2


Exemplo:

Mo = (158 + 162) / 2

Mo = 160 cm.

Exercício:

Complete o esquema para o cálculo da moda da distribuição de freqüência:

i ESTATURAS (cm)

fi

1 2 3 4 5 6

150 ├ 154 154 ├ 158 158 ├ 162 162 ├ 166 166 ├ 170 170 ├ 174

4 9 11 8 5 3

Total ∑ fi = 40

i CUSTOS (R$)

fi

1 2 3 4 5 6 7

450 ├ 550 550 ├ 650 650 ├ 750 750 ├ 850 850 ├ 950

950 ├ 1.050 1.050 ├ 1.150

8 10 11 16 13 5 1

Total ∑ fi = 64


4.2.7 - Mediana (Md)

Definição: número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem.

Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

4.2.7.1 - Dados não Agrupados Passo 1: Ordenar os dados da série em ordem crescente (ou decrescente); Passo 2: Para série com número impar de elementos: escolher o número central; o qual divide a série em dois subgrupos com o mesmo número de elementos; Para série com número par de elementos: escolher os dois números centrais; encontrar a média entre os dois.

Matematicamente:

Para série com número impar de elementos:

Para série com número impar de elementos:

= Mdordem − ordem( + 1)n

2n2

2

Md = termo de ordem n + 1/2


Exemplos:

Dada as séries, determine a Md: A = {5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9}

A = {2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18}

Md = 10

B = (21, 2, 10, 15, 12, 7, 6, 18} B = {2, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 21}

Md = (10 + 12) / 2

Md = 11

4.2.7.2 - Dados Agrupados (Sem Intervalo de Classes)

Definição: freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências.

Matematicamente:

= Md

∑i=1

n

fi

2


Exemplos:

4.2.7.3 - Dados Agrupados (Com Intervalo de Classes)

Passo 1: Determinar as frequências acumuladas;

Passo 2: Calcular

Passo 3: Marcar a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior ao valor encontrado no passo 2;

Nº DE MENINOS fi Fi

0 1 2 3 4

2 6 10 12 4

2 8 18 30 34

∑ = 34

xi fi Fi

12 14 15 16 17 20

1 2 1 2 1 1

1 3 4 6 7 8

∑ = 8

= Md

∑i=1

n

fi

2


Passo 4:

onde: l* é o limite inferior da classe mediana; F (ant) é a frequência acumulada da classe anterior; f * é a frequência simples da classe mediana; h* é a amplitude do intervalo da classe mediana.

Exemplo:

Exercícios:

1) Complete o esquema para o cálculo da mediana da distribuição de freqüência.

i ESTATURAS (cm) fi Fi

1 2 3 4 5 6

150 ι— 154 154 ι— 158 158 ι— 162 162 ι— 166 166 ι— 170 170 ι— 174

4 9 11 8 5 3

4 13 24 ← classe mediana 32 37 40

∑ = 40

xi 450 ι— 550 ι— 650 ι— 750 ι— 850 ι— 950 ι— 1.050 ι— 1.150

fi 8 10 11 16 13 5 1

Md = + l∗

− F(ant) .⎡⎣

∑i=1

n

fi

2

⎤⎦ h∗

f∗


2) Considerando os conjuntos de dados: a. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 b. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 2, 15, 7 c. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9 d. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 Calcule: I. a média; II. a mediana; III. a moda.

3) O salário-hora de cinco funcionários de uma companhia, são: R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00 e R$88,00 Determine: a. a média dos salários-hora; b. o salário-hora mediano.

4) As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.

Determine: a) a nota média; b) a nota mediana; c) a nota modal.

5) Considerando a distribuição abaixo:

Calcule: a) a média; 5,4 b) a mediana; 5 c) a moda. 5

i CUSTOS (R$) fi Fi

1 2 3 4 5 6 7

450 ι— 550 550 ι— 650 650 ι— 750 750 ι— 850 850 ι— 950

950 ι— 1.050 1.050 ι— 1.150

8 .... .... .... .... .... ....

8 18 .... .... .... .... ....

∑ =....

xi 3 4 5 6 4 8

fi 4 8 11 10 8 3


6) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:

Determine: a) a nota média; b) a nota mediana; c) a nota modal.

7) Determine a média aritmética de:

8) Numa empresa, vinte operários têm salário de R$ 4.000,00 mensais; dez operários têm salário de R$ 3.000,00 mensais e trinta têm salário de R$ 2.000,00 mensais. Qual é o salário médio desses operários?

9) Numa grande empresa, em três setores pesquisados num determinado dia, foram constatadas faltas de funcionários, assim distribuídos:

* 4% no setor administrativo; * 8% no setor de produção; * 12% no setor comercial.

Calcule a média de faltas desse dia, considerando que, no setor de produção, há 200 funcionários, o setor administrativo tem 50 funcionários e o setor comercial tem 75 funcionários.

10) Um carro, numa viagem, andou 5 horas a 60 km por hora. Determine a velocidade horária média nessas 8 horas de viagem.

NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº DE ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1

VALORES 50 60 80 90

QUANTIDADES 8 5 4 3

xi 50 58 66

fi 20 50 30


11) A média aritmética entre 50 números é igual a 38. Dois números são retirados: o número 55 e o 21. Calcule a média aritmética dos números que restaram.

12) Um ourives fez uma liga fundindo 200 g de ouro 14 k (quilates) com 100 g de ouro 16 k. O número que dá a melhor aproximação em quilates de ouro obtido é:

a) 14,5 k b) 14,6 k c) 14,7 k d) 15,0 k e) 15,5 k

13) Num concurso de vestibular para dois cursos A e B, compareceram 500 candidatos para o curso A e 100 candidatos para o curso B. Na prova de Matemática, a média aritmética geral, considerando os dois cursos, foi 4,0. Mas, considerando apenas os candidatos ao curso A, a média cai para 3,8. A média dos candidatos ao curso B, na prova de Matemática, foi: a) 4,2 b) 5,0 c) 5,2 d) 6,0 e) 6,2

14) Seja M a média aritmética de 15 números quaisquer. Subtraindo-se 10 unidades de cada um desses números, obtêm-se 15 novos números, cuja média aritmética é: a) M – 15 b) M + 150 c) M – 10 d) M + 10 e) 10 M

15) Considere um grupo formado por cinco amigos com idade de 13, 13, 14, 14 e 15 anos. O que acontece com a média de idade desse grupo, se um sexto amigo com 16 anos juntar-se ao grupo?

a) Permanece a mesma b) Diminui 1 ano c) Aumenta 12 anos d) Aumenta mais de 1 ano e) Aumenta menos de 1 ano

16) A média aritmética dos números pares de dois algarismos é: a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54

17) A média aritmética de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a média aritmética das mulheres é de 35 anos e dos homens é de 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?

18) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é: a) 16 b) 20 c) 10 d) 70 e) 100

19) Num país, a população feminina é 51% do total. A idade média da população feminina é 38 anos e da masculina é 36. Então, a idade média da população, em anos, é:

a) 37,02 b) 37,00 c) 37,20 d) 36,60 e) 37,05


20) Numa população, a razão do número de mulheres para o de homens é de 11 para 10. A idade média das mulheres é 34 e a idade média dos homens é 32. Então, a idade média da população é aproximadamente: a) 32,9 b) 32,95 c) 33,00 d) 33,05 e) 33,10

4.3 - Medidas de Dispersão

Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade.

4.3.1 - Amplitude Total (R)

Definição: diferença entre o valor máximo (xmáx) e o valor mínimo (xmin).

Matematicamente:

4.3.2 - Variância (S2)

4.3.2.1 - Dados Não Agrupados

Definição: é a média aritmética dos quadrados dos desvios (di). Matematicamente:

R = − xmáx xmin

= S2∑i=1

n

di2

n


A variância também pode ser expressa por:

onde, E(x) representa a esperança (media aritmética) da função.

Exemplos:

1) Tomemos como exemplo, o conjunto de valores da variável x: x = {40, 45, 48, 52, 54, 62, 70}

2) Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão, dados os valores da variável:8, 10, 11, 15, 16, 18:

xi x12

40 45 48 52 54 62 70

1.600 2.025 2.304 2.704 2.916 3.844 4.900

∑ = 371 ∑ = 20.293

xi x12

8 .... .... .... ....

64 .... .... .... ....

n = .... ∑ = .... ∑ = ....

Var(x) = E( ) − (E(x) x2 )2


4.3.2.2 - Dados Agrupados

Matematicamente:

Exemplo:

Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão da distribuição:

4.3.2.3 - Dados Agrupados com Intervalo de Classes

Matematicamente:

xi 1 2 3 4 5 6

fi 2 5 8 6 3 1

xi fi fi xi fi xi2

1 2 3 4 5 6

2 .... .... .... .... ....

2 .... .... .... .... ....

2 .... .... .... .... ....

∑ = .... ∑ = .... ∑ = ....

= S2. −∑

i=1

n

x2i fi

( x.∑i=1

n

fi)2

n

n

= S2. −∑

i=1

n

x2i fi

( x.∑i=1

n

fi)2

n

n


Exemplo:

Exercícios:

1) Calcule o desvio padrão da distribuição, pelo processo breve.

2) Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão da distribuição, pelo processo breve:

i ESTATURAS (cm) fi xi fixi fixi2

1 2 3 4 5 6

150 ι— 154 154 ι— 158 158 ι— 162 162 ι— 166 166 ι— 170 170 ι— 174

4 9 11 8 5 3

152 156 160 164 168 172

608 1.404 1.760 1.312 840 516

92.416 219.024 281.600 215.168 141.120 88.752

∑ = 40 ∑ = 6.440 ∑ = 1.038.080

xi 450 ι— 550 ι— 650 ι— 750 ι— 850 ι— 950 ι— 1.050 ι— 1.150

fi 8 10 11 16 13 5 1

i xi fi yi fiyi fiyi2

1 2 3 4 5 6 7

500 600 700 800 900

1.000 1.100

8 10 11 16 13 5 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-24 -20

-11 -55 0 13 10

3 26

72 40 11 0 13 20 9

h = 100 ∑ = 64 ∑ = -29 ∑ = 165

CLASSES 30 ι— 50 ι— 70 ι— 90 ι— 110 ι— 130

fi 2 8 12 10 5

i xi fi yi fiyi fiyi2

1 2 3 4 5

40 .... .... .... ....

2 .... .... .... ....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

h = .... ∑ = .... ∑ = .... ∑ = ....


4.3.3 - Desvio Padrão

Definição: raiz quadrada da variância.

Matematicamente:

4.3.4 - Coeficiente de Variação (CV)

Definição: raiz quadrada da variância. Matematicamente:

Exercícios:

1) Calcule a amplitude total dos conjuntos de dados: a. 1, 3, 5, 9 b. 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20 c. 17,9; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2 d. 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20

2) Calcule a amplitude total das distribuições:

xi 2 3 4 5 6 7 8

fi 1 3 5 8 5 4 2

σ = Var(x)− −−−−−√2

CV = .100 σ

x


3) Calcule os desvios padrões dos conjuntos de dados do exercício 1. a. 2,96 b. 2,81 c. 3,016 d. 7,04

4) Calcule os desvios padrões das distribuições do exercício 2. a. 1,51 b. 0,159

5) Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de 5 moedas simultaneamente:

Calcule o desvio padrão.

6) Calcule o desvio padrão da distribuição:

7) Sabendo que um conjunto de dados apresenta para média aritmética e para desvio padrão, respectivamente, 18,3 e 1,47, calcule o coeficiente de variação.

8) Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão?

9) Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos X = 162,2 cm e s = 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso?

10) Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo? 11) Um grupo de 100 estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, com um coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio padrão desse grupo?

CLASSES 1,5 ι— 1,6 ι— 1,7 ι— 1,8 ι— 1,9 ι— 2,0 ι— 2,1 ι— 2,2

fi 4 8 12 15 12 8 4

Nº DE CARAS 0 1 2 3 4 5

FREQÜÊNCIAS 1 14 34 29 16 3

CLASSES 2 ι— 6 ι— 10 ι— 14 ι— 18 ι— 22

fi 5 12 21 15 7


12) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: s = 1,5 e CV = 2,9%. Determine a média da distribuição.

13) Obtenha o desvio padrão de cada um dos jogadores A e B, de basquete, em relação aos pontos por partida, conforme a tabela abaixo:

14) Considere as notas de três alunos em Matemática nos quatro bimestres de um mesmo ano. O professor de Matemática escolherá um deles para representar a turma numa competição de Matemática, o que tiver a melhor regularidade. Qual deles será escolhido?

15) Considere as idades dos alunos de 3 grupos A, B e C:

Então: a) obtenha a média de idade de cada grupo; b) calcule a variância de cada grupo; c) calcule o desvio padrão de cada grupo. 16) Numa competição de salto triplo, três atletas disputavam apenas uma vaga para uma olimpíada entre faculdades de uma cidade. Cada atleta fez 4 tentativas obtendo os seguintes resultados:

a) Qual deles obteve melhor média? b) Qual deles foi o mais regular nessas quatro tentativas?

A 26 32 28 30 27 31

B 15 45 19 42 31 22

1º Bim 2º Bim 3º Bim 4º Bim Média

Aluno A Aluno B Aluno C

9,5 8,5 10,0

8,5 10,0 7,5

9,0 10,0 9,5

9,5 8,0 9,5

....

....

....

Grupo A Grupo B Grupo C

15 anos 18 anos 16 anos





Atleta I Atleta II Atleta III

16,50 m 13,90 m 15,70 m

15,81 m 17,01 m 16,02 m

16,42 m 16,82 m 16,95 m

16,12 m 15,10 m 17,00 m


17) A tabela a seguir mostra o número de acertos numa prova com 10 questões aplicadas numa turma com 50 alunos.

Obtenha: a) a média de acertos por questão; b) o desvio padrão dessa distribuição. 18) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a nota da última prova é multiplicada por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por esse critério for maior ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará tirar na terceira para ser dispensado da recuperação? 19) Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3 min 38 s, 3 min 18 s, 2 min 46 s, 2 min 57 s e 3 min 26 s. Qual foi a média do tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores? 20) A distribuição dos salários de uma empresa é dada na seguinte tabela:

a) Qual é a média e a mediana dos salários dessa empresa? b) Suponha que sejam contratados dois novos funcionários com salários de R$ 2.000,00 cada. c) A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior?

Nº da questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Quantidade de acertos

15 20 12 25 48 40 35 10 30 40

Salário em R$ Número de funcionários

500,00 1.000,00 1.500,00 2.000,00 5.000,00 10.500,00

Total

10 5 1 10 4 1 31

ap estatistica aplicada 2015 versao 1 parte 3

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