Analise Matematica IICFicha 6 - Integrais Curvilıneos de campos de vectores.

Teorema de Green. Integrais de Superfıcie. Teorema de Stokes.Teorema da Divergencia.

1. Determine o valor do integral curvilıneo do campo−→F (x, y, z) = xzi +

xj + yk ao longo da linha (L), definida por:{x2/4 + y2/25 = 1

z = 2

percorrida num dos sentidos.

2. Determine o trabalho realizado pelo campo de forcas−→F ao deslocar

uma partıcula ao longo da curva C, sabendo que:

(a)−→F (x, y, z) = xy i + 2z j + (y + z) k e C e a curva associada a

funcao vectorial −→r (t) = t i + t j + 2t2 k, com t ∈ [0, 1];

(b)−→F (x, y, z) = 5esin(πx) i−4ecos(πx) j e C e a curva associada a funcao

vectorial −→r (t) =1

2i + 2 j − log(t) k, com t ∈ [0,

π

6];

(c)−→F (x, y, z) = x i + y j − z k e C e a curva dada por

{ x = 1z = y4 ,

percorrida desde o ponto (1, 0, 0) ate ao ponto (1, 1, 1).

3. Calcule os seguintes integrais curvilıneos ao longo das curvas indicadas:

(a)∫

Cx2dy + y2dx onde C e a curva de equacao x2 + 4y2 = 4 com

y ≥ 0, percorrida no sentido horario;

(b)∫

Cx2dx+y2dy onde C e o segmento de recta [AB] com A ≡ (0, 0)

e B ≡ (1, 1) percorrido de A ate B;

(c)∫

C(2x2+2xy+y2)dx+(x2+2xy+3y2)dy onde C e a circunferencia

orientada dada por

x = R cos t

y = R sin t

com t ∈ [0, 2π].

1

4. Mostre que o campo vectorial

−→F (x, y, z) = (y sin(xy) + y2z)i + (x sin(xy) + 2yxz)j + (xy2 + z2)k

e conservativo e determine uma sua funcao potencial. Determine aindao valor do integral curvilıneo do campo, ao longo duma linha suavee regular, com origem no ponto A = (0, 1, 1) e extremidade no pontoB = (1, 0, 1).

5. Verifique se os seguintes integrais curvilıneos sao ou nao independentesdo caminho e calcule-os:

(a)∫

C(x + y)dx + (x + y3)dy, entre os pontos (1, 1) e (2, 2);

(b)∫

C(9x2 +4y2)dx+(8xy +5y4)dy, ao longo do polıgono de vertices

(1, 0), (2, 2) e (5, 3);

(c)∫

C(x + yexy)dx + (π cos(πy) + xexy)dy onde C e a curva orientada

de equacoes parametricas{ x(t) = cos(πet)

y(t) = 3√

et − 1,

com t ∈ [0, log 2].

6. Determine f(x, y) tal que∫

Cy2dx+f(x, y)dy = 0, onde C e uma curva

simples e fechada do plano xOy.

7. Verifique que∫

Cf(x

y

)xdy − ydx

x2= 0, para qualquer contorno fechado

C que nao passe nos eixos e qualquer funcao f de classe C1.

8. Use o Teorema de Green para calcular∫C

1

ydx +

1

xdy ,

ao longo da curva fechada C, percorrida no sentido positivo, que e afronteira da regiao plana R definida por R = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 1, x ≤4, y ≤

√x}.

9. Seja C uma curva simples, fechada, percorrida no sentido positivo efronteira de uma regiao plana R simplesmente conexa. Mostre que∫

Cx2dy = 2

∫ ∫R

xdxdy.

2

10. Sejam u e v funcoes reais de duas variaveis reais, com derivadas parciaisde primeira ordem contınuas num aberto contendo a bola fechada Rcuja fronteira e a circunferencia de equacao x2 + y2 = 1.

Sejam−→F e

−→G dois campos vectoriais definidos por

−→F (x, y) = v(x, y)i+

u(x, y)j e−→G(x, y) = (ux − uy )i + (vx − vy)j.

Sabendo que sobre a fronteira de R se tem u(x, y) = 1 e v(x, y) = y,prove que ∫ ∫

R

−→F .−→Gdxdy = −π .

11. Calcule os seguintes integrais de superfıcie:

(a)∫ ∫

Sz2dS e S e a porcao de superfıcie conica de equacao z =√

x2 + y2, compreendida entre os planos de equacoes z = 1 ez = 3;

(b)∫ ∫

S(x2 + y2)dS onde S e a reuniao da porcao de paraboloide de

equacao z = 1 − x2 − y2, situada acima do plano xOy, com aporcao deste ultimo plano definida pela condicao x2 + y2 ≤ 1.

12. Calcule os seguintes integrais de superfıcie de campos de vectores:

(a)∫ ∫

S

−→F .n dS onde

−→F (x, y, z) = yi − xj + 8k e S e a parte do

paraboloide de equacao z = 9 − x2 − y2, situada acima do planoxOy e n e a normal dirigida para cima;

(b)∫ ∫

S

−→F .n dS onde

−→F (x, y, z) = xi − j + 2x2k e S e a porcao do

paraboloide de equacao z = x2 + y2, limitada pelas superfıciescilındricas dadas por x = 1 − y2 e x = y2 − 1 orientada com anormal n dirigida para baixo;

(c)∫ ∫

S

−→F .n dS onde

−→F (x, y, z) = (2x + 1)k e S e a porcao da su-

perfıcie esferica de equacao x2 + y2 + z2 = 1, situada entre os

planos dados por z = 1 e z = −1

2, orientada com a normal exte-

rior unitaria n.

13. Calcule o fluxo de−→F (x, y, z) = xzi + xyj + yzk atraves da superfıcie

S, fronteira do solido definido por

E ={

(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 ∧ y ≥ 0 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}

(com r e h constantes reais positivas), estando S orientada com a nor-mal exterior.

3

14. Use o Teorema da Divergencia para calcular o fluxo do campo vectorial−→F (x, y, z) = x3i+ y3j + z3k, atraves da superfıcie esferica de centro naorigem e raio r.

15. Calcule, utilizando o teorema da divergencia, os seguintes integrais desuperfıcie

(a) ∫ ∫S

(x2i + y2j + z2k).n dS ,

onde S e a superfıcie fronteira do solido E dado por E ={

(x, y, z) ∈

R3 : x2 + y2 ≤ a2 ∧ 0 ≤ z ≤ 2}

, a 6= 0, orientada com a normal

unitaria exterior;

(b) ∫ ∫S

−→F .n dS ,

onde−→F (x, y, z) = y3ez i−xyj+xarctg y k e S e a fronteira do solido

limitado pelos tres planos coordenados e pelo plano x+ y + z = 1,orientada com a normal exterior n.

16. Sendo−→F (x, y, z) = xi + yj + zk e S a porcao de paraboloide dado

porx2

a2+

y2

a2= −z − 4

4, com z ≥ 0 e orientada com a normal unitaria

exterior n, prove que∫ ∫

S

−→F .n dS = 6πa2.

17. Sejam E a regiao solida de fronteira S, limitada pelas superfıcies deequacoes z = 0, x2 + y2 = 2 e x2 + z = 4. Consideremos o campo

vectorial−→F (x, y, z) = exyi + (ez − 1

2exy2)j + 4zk.

(a) Calcule o volume de E;

(b) Use o Teorema da Divergencia para calcular∫ ∫

S

−→F .n dS, onde n

e a normal unitaria exterior a S.

18. Verifique o Teorema de Stokes para o campo vectorial−→F (x, y, z) = x3j

e sendo (S) a face exterior da superfıcie parabolica z = x2

9+ y2

25com

z ≤ 1.

19. Considere o campo vectorial−→F (x, y, z) = yi + xk

4

(a) Utilizando directamente a definicao determine o fluxo do rota-

cional de−→F (x, y, z) atraves da face exterior da superfıcie{

x2 + y2 + z2 = 4z ≥ 0

(b) Determine o fluxo referido na alınea anterior por aplicacao doTeorema de Stokes.

20. Usando o Teorema de Stokes, calcule∫ ∫

Srot−→F .n dS onde

−→F (x, y, z) =

2yi + zj + 3k e S e:

(a) a porcao de paraboloide de equacao z = 1 − x2 − y2, com z ≥ 0,orientada com a normal exterior;

(b) a fronteira da regiao solida dada por

φ ={

(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1− x2 − y2, z ≥ −√

1− x2 − y2}

orientada com a normal exterior.

21. Seja−→F (x, y, z) = (3x + x2z)i + 2xyzj − 2xz2k e S a porcao da su-

perfıcie esferica de equacao x2 + y2 + z2 = 3, situada no interior dasuperfıcie esferica de equacao x2 + y2 + (z − 1)2 = 1, orientada coma normal unitaria exterior n. Usando o Teorema de Stokes, prove que∫ ∫

Srot−→F .n dS = 0.

5