ANÁLISE DO ESCOAMENTO SOBRE AEROFÓLIOS USANDO A TÉCNICA DOS VOLUMES FINITOS

Stéfano Bruno Ferreira – IC

Aluno de graduação do curso de Engenharia Aeronáutica do Instituto Tecnológico de Aeronáutica Bolsista PIBIC – CNPq; Brasil; e-mail: stefanobf@yahoo.com.br

Nide G C R Fico Jr - PQ

Professor Adjunto do Departamento de Aerodinâmica, Divisão de Aeronáutica, Instituto Tecnológico de Aeronáutica; Brasil; e-mail: nide@aer.ita.br

Resumo

Este trabalho de iniciação científica tem como objetivo a análise do escoamento aerodinâmico sobre aerofólios utilizando simulação numérica, mais precisamente a técnica dos volumes finitos. Busca-se com isso

determinar características como campo de velocidades, pressão, temperatura etc, de escoamentos sobre aerofólios de diferentes geometrias e em diferentes condições, obtendo-se as propriedades aerodinâmicas,

como sustentação e arrasto, desses aerofólios. Podemos entender um aerofólio como sendo um objeto de perfil aerodinâmico e de seção constante.

Dessa forma, temos um problema bidimensional de escoamento. Sua aplicação prática se encontra em aerofólios de automóveis, hidrofólios em veículos marítimos e em asas (nas regiões em que os efeitos

aerodinâmicos são bidimensionais, como em locais distantes da ponta da asa). Cada aplicação exige geometrias diferentes já que o aerofólio estará submetido a diferentes condições de escoamento e um estudo numérico

possibilita conclusões satisfatórias de maneira relativamente rápida e barata. O trabalho consistiu na geração de código para criação de malhas computacionais (baseado em

equações diferenciais parciais elípticas) e posterior resolução numérica das equações de Euler em sua forma vetorial (usando o método de MacCormack). Trata-se de um método numérico iterativo, explícito no tempo e no espaço e com convergência de segunda ordem para ambos. São fornecidos aqui os resultados para distribuição de velocidade e coeficiente de pressão (Cp) para o aerofólio NACA-0012 (a diferentes ângulos de ataque, sob

escoamento a baixas velocidades).

Abstract

The objective of this scientific initiation work is to analyze the aerodynamic flow over airfoils using numeric simulation, most precisely the finite volume technic. This is done in order to determine characteristics as velocity field, pressure distribution, temperature etc, of flows over airfoils of different geometries, in different conditions,

so one can obtain the aerodynamic properties of these airfoils. An airfoil is an object of aerodynamic profile and constant section. Its practical application includes vehicles

airfoils, naval vessels hydrofoils and wings (in regions where aerodynamic effects are bidimensional, as in points away from the wing tip). Each application requires a different geometry since the airfoil will be subjected to different flow conditions and a numeric approach allows satisfactory conclusions in a relatively fast and easy

way. The work consisted in the generation of code for the creation of computational grids (based on elliptic partial

differential equations) followed by the numeric solution of Euler equations in their vector form (using MacCormack’s method). It is a numeric iterative method, which is explicit in time and space and has second

order convergence for they both. The results of velocity and pressure coefficient distribution for the flow over a NACA-0012 airfoil at different angles of attack are provided here .

Palavras-chaves Dinâmica dos Fluidos Computacional; Aerodinâmica; Escoamento Externo; Aerofólios

1. INTODUÇÃO

Podemos entender um aerofólio como sendo um objeto de perfil aerodinâmico e de seção constante. Dessa forma, temos um problema bidimensional de escoamento. Sua aplicação prática se encontra em aerofólios de automóveis, hidrofólios em veículos marítimos e em asas (nas regiões em que os efeitos aerodinâmicos são bidimensionais, como em locais distantes da ponta da asa). Cada aplicação exige geometrias diferentes já que o aerofólio estará submetido a diferentes condições de escoamento e um estudo numérico possibilita conclusões satisfatórias de maneira relativamente rápida e barata. Esse estudo numérico passa por três procedimentos chave: geração de malha computacional, aplicação de condições de contorno, e solução numérica de um sistema de equações diferenciais parciais. É a qualidade de cada um desses procedimentos que determinará a qualidade da solução. A convergência do processo iterativo, a exatidão da solução, bem como o tempo de processamento, ou seja, a eficiência do método numérico depende da malha computacional. Uma malha extremamente refinada pode significar um grande tempo de processamento além de erro numérico considerável de modo que o tratamento da malha é fundamental. Por outro lado aplicação de condições de contorno deve ser feita de maneira sábia, pois nem sempre condições físicas representadas com total fidelidade no modelo numérico conduzem a uma boa solução, ou mesmo chegam em alguma (problema de não convergência). Por fim a o processo de discretização e solução do sistema de EDPs, a partir do modelamento adotado, garantirão a convergência e acurácia da solução. Todos esses procedimentos são rapidamente descritos a seguir. 2. GERAÇÃO DE CÓDIGO 2.1 Resolução numérica das equações de Euler Para se estudar o escoamento aerodinâmico sobre aerofólios necessitamos de ferramentas matemáticas que permitam a modelagem do problema, juntamente com as condições iniciais e de contorno. Nossa primeira abordagem foi a resolução numérica das equações de Navier-Stokes (eq. NS) em sua forma vetorial através da técnica dos volumes finitos, aplicada sobre a malha gerada anteriormente. Na utilização da técnica dos volumes finitos o conceito de volume de controle se torna importante. Volume de controle seria uma região do espaço através de cujas fronteiras podem ocorrer fluxos de massa, momento e energia (havendo a variação dessas propriedades) e sobre a qual forças externas podem atuar. Como o escoamento sobre aerofólios é bidimensional, os volumes de controle com que trabalhamos são representados pelas células da malha gerada. O escoamento em cada célula deverá obedecer as eq. NS e é com esse raciocínio que modelaremos o problema.

Q .P 0t

∂+∇ =

∂

uv uv (3)

onde

ρρu

QρvE

=

x yP Ei Fi= +uv uv uv

( )

2

ρuρu p

Eρuv

E p u

+ = +

( )

2

ρvρuv

Fρv pE p v

= + +

ρ - densidade

u - componente da velocidade no eixo x v - componente da velocidade no eixo y p - pressão E – energia total Obs.: Não confundir o super-vetor E indicado acima com a grandeza E (energia total).

Nesse momento precisamos aplicar a equação (3) de maneira discreta a cada célula de nossa

malha. Façamos antes uma convenção de índices: Fig. 01 – Célula genérica da malha (Volume de controle elementar)

Cada célula recebe o índice do seu vértice inferior esquerdo V(i,j) e possuirá quatro vetores de área superficial S(i-1/2, j) , S(i+1/2, j) , S(i, j-1/2) e S(i, j+1/2) conforme a Fig. 03.

MacCormack resolve a equação (III) calculando a solução no nível (n +1) através dos passos preditor e corretor e então a solução final se torna a média desses dois valores. Isso ocorre da seguinte maneira: Passo preditor:

( ) ( ) ( ) ( )n n n nn 1 ni 1, j i, j i, j 1 i, ji 1/ 2, j i 1/ 2, j i, j 1/ 2 i, j 1/ 2i, j i, j

i, j

∆tQ Q P .S P .S P .S P .SV

++ ++ − + −

= − + + +

uv v uv v uv v uv v

Passo corretor:

( ) ( ) ( ) ( )n 1 n 1 n 1 n 1n 1 ni, j i 1, j i, j i, j 1i 1/ 2, j i 1/ 2, j i, j 1/ 2 i, j 1/ 2i, j i, j

i, j

∆tQ Q P .S P .S P .S P .SV

+ + + ++− −+ − + −

= − + + +

uv v uv v uv v uv v

Atualização:

n 1 n 1 n 1i, j i, j i, j

1Q Q Q2

+ + + = +

Nesse caso i, jPuv

significa o vetor Puv

calculado com as propriedades do volume de controle V(i, j) e os produtos escalares serão feitos como no exemplo seguinte:

i, j i 1/ 2, j i, j i 1/ 2, j i, j i 1/ 2, jP .S E .Sx F .Sy+ + += +uv v

Dessa maneira através de um processo iterativo calculamos a solução, ou seja, o valor das

propriedades do escoamento dados por Q, partindo das condições iniciais e de contorno. O método de MacCormack é estável e com acurácia de segunda ordem para tempo e espaço.

2.2 Condições de contorno A aplicação correta de condições de contorno adequadas ao nosso problema é fundamental. Esse talvez seja o mais complicado aspecto do processo de solução das equações de Navier-Stokes. Para os resultados apresentados, utilizamos condições de contorno de Euler. Basicamente, elas se referem à velocidade e pressão nas vizinhanças do aerofólio.

Para a velocidade temos a chamada condição de escorregamento, segundo a qual a velocidade do escoamento na superfície do aerofólio é tangente a sua parede, pois o escoamento é não viscoso.

Com relação a pressão estabelecemos a condição de pn0

∂=

∂ ou na prática

p0

∂=

∂η. Isso

significa que a variação de pressão na direção normal à parede é nula, sendo que freqüentemente adotamos variação nula na direção nas linhasη , que se aproximam muito da direção normal à parede. 3. RESULTADOS E ANALISE DE DADOS

Trabalhou-se com um aerofólio da série 4 dígitos, NACA0012, cujos resultados experimentais são bem conhecidos. Todos os dados são apresentados na forma adimensionalizada, sendo as variáveis do escoamento adimensionalizadas pelas condições do escoamento não perturbado e as dimensões adimensionalizadas pelo valor da corda do aerofólio. 3.1 Malha Computacional Foi gerada uma malha computacional para o aerofólio NACA 0012. A malha possui 120 x 80 pontos e se encontra bastante refinada em torno da superfície do aerofólio, conforme pode ser visto na Fig. 04.

Fig. 02 – NACA 0012, malha utilizada neste trabalho 3.2 Resultados da superfície do aerofólio

Fig. 03 – Valor numérico da velocidade superficial Fig. 04 – Valor numérico do Cp superficial

Fig. 05 – Valor numérico da velocidade superficial Fig. 06 – Valor numérico do Cp superficial Os resultados apresentados nas Fig. 03, 04, 05 e 06 correspondem a um escoamento a baixas velocidades com ângulos de ataque de respectivamente 4o e 8o. As velocidades apresentadas estão adimensionalizadas pelo valor da velocidade do escoamento não perturbado. 3.2 Resultados da superfície do aerofólio As Fig. 07 , 08, 09 e 10 apresentadas a seguir mostram o contorno de velocidades e do coeficientes de pressão (Cp) do escoamento, para os diferentes ângulos de ataque ensaiados:

Fig. 07 – Contorno de velocidades (4o) Fig. 08 – Contorno de Cp (4o)

Fig. 09 – Contorno de velocidades (8o) Fig. 10 – Contorno de Cp (8o)

4. CONCLUSÃO Os resultados numéricos obtidos apresentam grande aproximação qualitativa da solução teórica esperada. No entanto ao se ensaiar o aerofólio a altos ângulos de ataque encontramos grandes dificuldades para atingir a convergência e satisfazer a condição de Kutta. Ocorreram problemas de convergência no bordo de fuga e a solução apresentou imprecisão nessa região, como se pode observar na Fig. 10. Espera-se resolver esse problema através da continuidade deste trabalho, que consiste na implementação e modelo e condições de contorno de Navier-Stokes. Nesse caso, devido presença de viscosidade a condição de Kutta já é atendida automaticamente. REFERÊNCIAS 1 - Abbott & Von Doenhoff – Theory of Wing Sections – Dover 1959 2 - Anderson, Tanehill, Pletcher – Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, McGrawHill, 1984