ADL21Funções de Transferência de Segunda Ordem Obtidas Experimentalmente

Uma vez mais podemos medir na curva de resposta em laboratório a ultrapassagem percentual e o tempo de assentamento, de onde é possível obter os pólos e, por conseguinte, o denominador. O numerador pode ser encontrar, como nos sistemas de primeira ordem, do conhecimento dos valores esperado e medido em estado estacionário

Resposta de Sistemas com Pólos Adicionais

Sob certas condições, sistemas com mais de dois pólos e com zeros podem ser aproximados como sistemas de segunda ordem que possuem apenas dois pólos dominantes complexos. Admitindo que os pólos complexos de um determinado sistema estejam em -��n± �n�1-�2 e que o pólo real esteja em -�r, a resposta do sistema ao degrau pode ser determinada a partir da expansão em frações parciais. Assim, a transformada da saída é

(4.57)

ou, no domínio do tempo

(4.58)

Se �r >> ��n (Caso II), a exponencial pura desaparecerá muito mais rapidamente que a resposta de segunda ordem amortecida ao degrau. A resposta total se aproximará da resposta de um sistema de segunda ordem puro (Caso III).

Se �r não for muito maior que ��n , (Caso I), a resposta transitória do pólo real não se tomaráinsignificante no ir da primeira ultrapassagem ou no tempo de assentamento gerado pelo par de segunda ordem. Neste caso o valor do decaimento exponencial é importante e o sistema não pode ser representado como um sistema de segunda ordem.

Consideramos que o decaimento exponencial se toma insignificante depois de cinco constantes de tempo. Assim, se o pólo real estiver à esquerda dos pólos dominantes, cinco vezes mais distante, admite-se que o sistema seja representado por seu par de pólos de segunda ordem dominantes.

Podemos mostrar, através da expansão em frações parciais, que o resíduo do terceiro pólo, em um sistema de três pólos com pólos de segunda-ordem dominantes e sem zeros, decrescerárealmente em magnitude à medida que o terceiro pólo seja deslocado, cada vez mais longe no semiplano da esquerda.

4.8 Resposta de Sistema com ZerosComeçando com um sistema de segunda ordem com pólos em (-1 ± j2,828), adicionamos, consecutivamente zeros em -3, -5 e -10. Os resultados, normalizados ao valor de estado estacionário, estão plotados na figura abaixo. Podemos constatar que quanto mais próximo estiver o zero dos pólos dominantes, tanto maior será seu eleito sob-resposta transitória. A medida que o zero se afasta dos pólos dominantes, a resposta tende à do sistema com dois pólos.

Uma forma de olhar o efeito de um zero, devida a Franklin (1991): seja C(s) a resposta de um sistema, T(s). com um numerador unitário. Se adicionarmos um zero à função de transferência, gerando (s + a)T(s), a transformada de Laplace da resposta também será multiplicada por (s + a),

(4.70)

Assim, a resposta de um sistema com um zero consiste em duas partes: a derivada da resposta original e uma versão em escala da resposta original. Se a, o negativo do zero, for muito grande, a transformada de Laplace da resposta será aproximadamente aC(s), ou seja, uma versão em escala da resposta original. Se a não for muito grande, a resposta terá uma componente adicional consistindo na derivada da resposta original. A medida que a se toma menor, o termo que corresponde à derivada contribui mais para a resposta e tem um efeito maior. Para as respostas ao degrau, a derivada é, usualmente, positiva nos instantes iniciais da resposta. Assim, para pequenos valores de a, devemos esperar um valor maior de ultrapassagem nos sistemas de segunda ordem porque o termo derivativo será aditivo nas proximidades da primeira ultrapassagem.

Ocorre um fenômeno interessante quando a é negativo, colocando o zero no semiplano da direita. Com base na Eq. (4.70), vemos que o termo derivativo, que é normalmente positivo nos instantes iniciais, será de sinal contrário ao lermo da resposta em escala. Portanto, se o termo derivativo. sC(s), for maior que o termo em escala, aC(s). a resposta seguiráinicialmente a derivada em direção oposta à da resposta em escala. O resultado referente a um sistema de segunda ordem está mostrado na Fig. 4.26, onde o sinal da entrada foi invertido de modo a produzir um valor positivo em estado estacionário. Observe que a resposta começa a se orientar cm direção negativa, embora o valor final seja positivo. Os sistemas que apresentam este fenômeno são conhecidos como sistemas de fase não-mínima.

cancelamento de pólo com zeroAdmita um sistema de três pólos com um zero. como está mostrado na Eq. (4.85). Se o termo do pólo,(s + p3), e o termo do zero, (s + z), se cancelarem, ficaremos com

(4.85)

como função de transferência de segunda ordem. De uma outra perspectiva, se o zero em — z estiver muito próximo do pólo em –p3 então a expansão em frações parciais da Eq. (4.85) mostrará que o resíduo do decaimento exponencial é muito menor que a amplitude da resposta de segunda ordem.

Calculando o cancelamento de pólo com zero usando resíduos

Problema Para cada uma das funções respostas nas Eqs. (4.86) e (4.87), determine se hácancelamento entre o zero e o pólo mais próximo do zero. Para a função em que o cancelamento seja válido, obtenha a resposta aproximada.

(4.86)

(4.87)

Solução A expansão em frações parciais da Eq. (4.86) é

O resíduo do pólo em -3.5, que é o mais próximo do zero em -4, é igual a - 1 e não éinsignificante em relação aos outros resíduos.

O resíduo do pólo em -4,01 que é o mais próximo do zero em -4, é igual a 0.033, cerca de duas ordens de grandeza abaixo dos outros resíduos. Em conseqüência, fazemos a aproximação de segunda ordem desprezando a resposta gerada pelo pólo em -4,01:

e a resposta c2(t) é aproximadamente

A expansão em frações parciais para C2(s) é

(4.88)

(4.89)

(4.90)

(4.91)

4.9 Efeitos das Não-linearidades sobre a Resposta no Domínio do Tempo

a. Efeito da saturação do amplificador sobre a resposta de velocidade angular da carga;

b. Diagrama de blocos em Simulink

Fig. 4.30

a. Efeito da zona morta sobre a resposta de deslocamento angular da carga;

b. diagrama de blocos emSimulink

Fig. 4.31

a. Efeito da folga sobre a resposta de deslocamento angular da carga;

b. diagrama de blocos em Simulink