ANALISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOSANALISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOSJ.R. J.R. KaschnyKaschny

Lei dos NósLei dos Nós

O somatório de todas as correntes que entram e saem de um nó é nulo.Nó em um circuito elétrico é qualquer ponto/junção por onde flui uma corrente elétrica.

Esta lei expressa a continuidade do fluxo de cargas elétricas!

Lei das MalhasLei das Malhas

O somatório de todas as quedas ou elevações de tensões em uma malha é nulo.Malha ou laço em um circuito elétrico é qualquer caminho fechado por onde flui uma corrente.

Esta lei expressa a conservação de energia!

Leis de Leis de KirchhoffKirchhoff

V1 + V2 + V3 = 0

I1 − I2 + I3 = 0

N1: I1 + I2 − I3 = 0 ⇒ I3 = I1 + I2

M1: V1 − R1I1 − R3I3 = 0 M2: V2 − R2I2 − R3I3 = 0

com VRj = RjIj j∈{1,2,3}

(R1 + R2)I1 + R3I2 = V1

R3I1 + (R2 + R3)I2 = V2

EXEMPLOEXEMPLO::

323121323

331 RRRRRR)R(RR

R)R(R∆ ++=

++

=

32321322

311 RV)R(RV

)R(RVRV

∆ −+=+

=

3131223

1312 RV)R(RV

VRV)R(R

∆ −+=+

=

323121

3232111 RRRRRR

RV)R(RV∆∆I

++−+

==323121

3131222 RRRRRR

RV)R(RV∆∆I

++−+

==

1 2 2 13

1 2 1 3 2 3

V R V RIR R R R R R

+=

+ +

como:

portanto:

LINEARIDADELINEARIDADE

Um elemento linear é aquele elemento passivo que apresenta uma relação tensão-corrente linear.

Um circuito linear é aquele circuito composto inteiramente de fontes independentes, fontes dependentes lineares e elementos lineares.

Entendemos como fonte dependente linear toda a fonte dependente cuja magnitude seja uma função linear de alguma quantidade mensurável no circuito considerado. Se o parâmetro de controle for externo, esta fonte constituíra uma variável independente.

Exemplo: .... um resistor, onde V = R.I (Lei de Ohm)

SUPERPOSIÇÃOSUPERPOSIÇÃO

A corrente em qualquer elemento linear, ou a tensão através de qualquer elemento linear, de um circuito linear, é a soma das correntes ou tensões produzidas separadamente por cada fonte de energia (fonte de corrente ou tensão).

EXEMPLOEXEMPLO: : Considerando o circuito anterior, vamos novamente determinar as correntes.

1o Passo: Substituindo V2 por um curto circuito!

( )321111 //RRRVI +=

32

3232 RR

RR//RR

+=

( )[ ] 1132312 IRRRI ⋅+=

( )[ ] 1132213 IRRRI ⋅+=

onde:

2o Passo: Substituindo V1 por um curto circuito!

( )312222 //RRRVI +=

31

3131 RR

RR//RR

+=

( )[ ] 2231321 IRRRI ⋅+=

( )[ ] 2231123 IRRRI ⋅+=

onde:

3o Passo: Aplicando a superposição!

I1 = I11 − I21 I2 = I22 − I12 I3 = I13 + I23

TEOREMA DE THEVENINTEOREMA DE THEVENINQualquer circuito linear de dois terminais, ou seja, um circuitoque pode ser reduzido a um dipolo, contendo fontes de tensão e/ou corrente, pode ser representado por um circuito equivalentecomposto por uma fonte de tensão, com tensão igual a do circuito em aberto, em serie com uma resistência de valor igual a resistência equivalente medida no circuito original.

EXEMPLOEXEMPLO: : Considerando o circuito original, vamos determinar a corrente I3.

via Thevenin

Rede de 2 terminais Circuito equivalente

1o Passo: Calculando VTh!

2o Passo: Calculando RTh!

21

2121Th RR

RR//RRR+

==

'R222Th IRVV +=

0VIRIRV 2'R22

'R111 =−−−

''R2

'R1 III ==

21

21'

RRVVI

+−

=( ) '2121 IRRVV ⋅+=−

21

2122Th RR

VVRVV+−

⋅+=21

2112Th RR

RVRVV++

=

com

⇒

⇒ ⇒

3o Passo: Calculando I3!

0IRIRV 333ThTh =−−

21

211233

21

21

RRRVRVIR

RRRR

++

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

21

21123

21

323121

RRRVRVI

RRRRRRRR

++

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

323121

21123 RRRRRR

RVRVI++

+=⇒

Que constitui o mesmo resultado obtido inicialmente!

TEOREMA DE NORTONTEOREMA DE NORTONQualquer circuito linear de dois terminais, ou seja, um circuitoque pode ser reduzido a um dipolo, contendo fontes de tensão e/ou corrente, pode ser representado por um circuito equivalentecomposto por uma fonte de corrente, com corrente igual a corrente de curto circuito, em paralelo com uma resistência de valor igual a resistência equivalente medida no circuito original.

EXEMPLOEXEMPLO: : Considerando o circuito original, vamos novamente determinar a corrente I3.

via Norton

Rede de 2 terminais Circuito equivalente

1o Passo: Calculando VN!

2o Passo: Calculando RN!

21

2121N RR

RR//RRR+

==

1

2

1

1'R2

'R1N R

VRVIII +=+=

21

1221N RR

RVRVI++

=⇒

3o Passo: Calculando I3!

N3N

N3 I

RRR

I+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=21

1221

321

21

21

21

3 RRRVRV

RRR

RRRR

RR

I

323121

21123 RRRRRR

RVRVI++

+=⇒

Que também constitui o mesmo resultado obtido inicialmente!

EQUIVALÊNCIA ENTRE THEVENIN E NORTONEQUIVALÊNCIA ENTRE THEVENIN E NORTONVia as definições de VTh, RTh, IN e RN, é possível constatar facilmente a intima relação entre ambos os teoremas, onde:

RVIRRR Th

NNTh === e

TEOREMA DE MILLMANTEOREMA DE MILLMANUm conjunto de N fontes de tensão, Vn (n=1,2,3, ...., N), associadas em paralelo, cada qual com uma resistência interna Rn, pode ser representado por uma única fonte de tensão V em serie com um resistor R, tal que:

∑∑

=

= ==N

1n n

N

1nnn

R1

R1

R1

RVV

→

Demonstrando este teorema via indução, temos:

(i) Já que N = 1 é obviamente valido, vamos demonstrar o caso N = 2!

Determinando o circuito equivalente Thevenin, temos:

VRR

RVRVVRRR

RRR21

1221Th

21

21Th =

++

==+

= e

R1RVRV

RR1RR1

RRRVRVV 2211

21

21

21

1221 +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⇒ √

(ii) Supondo que para N = M o teorema é valido .....

⇒ ∑∑

=

= ==M

1n n

M

1nnn

R1

R1

R1

RVV

OK!

(iii) Vamos mostrar que para N = M+1 o teorema também é valido .....

⇒ ⇒

Aplicando novamente o teorema de Thevenin, temos:

V'RR

RVVRVR'R1

RRRRR

1M

1M1MTh

1M

1n n1M

1MTh =

++

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+=

+

++

−+

=+

+ ∑ e

1

R'1RVRV

RR1RR1

RRRVVRV' 1M1M

1M

1M

1M

1M1M ++

+

+

+

++ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⇒

R'1

RVV'

1M

1nnn∑

+

==⇒ √ OK!

DUAL DO TEOREMA DE MILLMANDUAL DO TEOREMA DE MILLMANUm conjunto de N fontes de tensão, In (n=1,2,3, ...., N), associadas em serie, cada qual com uma resistência interna Rn, pode ser representado por uma única fonte de corrente I em paralelo com um resistor R, tal que:

∑∑

=

= ==N

1nn

N

1nnn

RRR

RII

....

.... +++

via o teorema de Thevenin ....

Vn = In.Rn n∈{1, 2, .... N}

⇒

e via o teorema de Norton obtemos oresultado final, tal como anunciado.

∑∑==

=⋅=N

1nnn

N

1nn RRRIV

TEOREMA DE MILLERTEOREMA DE MILLERO teorema de Miller estabelece que, analisando o circuito abaixo (esq.), obteremos:

Analisando o circuito original, temos:

V = R.I - Vy = R.I − a.V ⇒ V.(1 + a) = R.I

⇒ V/I = RM com RM = R/(1 + a)

ou seja:

“A resistência aparente de circuito, olhado sob o ponto de vista da fonte V, é (1 + a) vezes menor que o valor do elemento resistivo realmente presente.”

- Este é o chamado Efeito Miller -

MÁXIMA TRANFERENCIA DE POTÊNCIAMÁXIMA TRANFERENCIA DE POTÊNCIAA máxima potência é transferida de uma fonte quando a resistência de carga, RL, é igual a resistência interna, Ri, da fonte.

Li

L2RLRL

Li

LRL

Li

RRR.VI.VP

RRV.RV

RRVI

+==⇒

+=

+=

( ) iLLi

L2

Li

2

L

RL RR0RR

R1RR

VdRdP

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−⋅+

= quando

084

166

RV

dRPd

3i

2

RR2

L

RL2

iL

<⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅=

=

⇒ RL = Ri é de fato um máximo!

No presente caso, teremos ainda: PRL = V2/4.Ri e Pfonte = V2/2.RiPortanto o rendimento será η = PRL/Pfonte = 50%

Transformação Y Transformação Y ↔↔ ∆∆

( )CBA

CBA3112 RRR

RRRRRR

+++

=+=

( )CBA

BAC2113 RRR

RRRRRR

+++

=+=

( )CBA

CAB3223 RRR

RRRRRR

+++

=+=

CBA

BA3

CBA

CB2

CBA

CA1

RRRRRR

RRRRR

R

RRRRR

R

++=

++=

++=

3

133221C

1

133221B

2

133221A

RRRRRRR

R

RRRRRRR

R

RRRRRRR

R

++=

++=

++=

Y → ∆∆→ Y

Referencias bibliográficasReferencias bibliográficas• Analise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt e Jack E. Kemmerly, editora McGraw-Hill do Brasil (1973).

• Circuitos Elétricos, Robert A. Bartkowiak, Makron Books do Brasil, Brasil (1999).

• Analise de Circuitos Elétricos, Victor da Fonte Dias, Instituto Superior Técnico - IFR, disponível em http://www.estg.ipleiria.pt/~lneves/ce_eic/capa.htm, Portugal (1996/97).