Álgebra Linear

Aula 01

Prof. Gabriel Bádue

✓ Apresentação

✓Matrizes

✓ Apresentação

✓ Apresentação

✓ Apresentação

✓ Apresentação

https://gabrielbadue.com/

gabriel.badue@delmiro.ufal.br

Terças

13h10 às 14h10

Quartas

11h às 12h

✓ Apresentação

✓ Frequência

✓ Avaliação

75%

NF = (AB1 + AB2)/2

AB1 = Pi*0,8+S1*0,2

AB2 = Pj*0,8+S1*0,2

Reavaliação

Prova Final

P1: 04/06

P2: 23/07

P3: 20/08

Reavaliação: 27/08

Prova Final: 03/09

✓Matrizes

✓Motivação

✓ Teoria

✓ Exemplos

✓ Aplicação

✓ Indicação de Exercícios

✓Motivação

Para que servem matrizes?

✓ Teoria

𝐴 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛𝑎31⋮

𝑎𝑚1

𝑎32⋮

𝑎𝑚2

𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛⋮

𝑎𝑚3

⋱⋯

⋮𝑎𝑚𝑛

m linhas

n colunas

Ordem

m x n

𝑎𝑖𝑗, linha i e coluna j

𝐴𝑚x𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 , com i variando de 1 a m e j de 1 a n

✓ Teoria

Matriz Retangular𝑚 ≠ 𝑛

𝑎1𝑎2⋮𝑎𝑛

matriz-coluna

𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛

matriz-linha

Matriz Quadrada𝑚 = 𝑛

𝐴 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛𝑎31⋮⋮

𝑎𝑛1

𝑎32⋮⋮

𝑎𝑛2

𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛⋮⋮

𝑎𝑛3

⋯⋯⋯

⋮⋮

𝑎𝑛𝑛

Diagonal principalDiagonal secundária

✓ Teoria

𝐴 =

𝑎11 0 0 ⋯ 00 𝑎22 0 ⋯ 00⋮⋮0

0⋮⋮0

𝑎33 ⋯ 0

⋮⋮0

⋯⋯⋯

⋮⋮

𝑎𝑛𝑛

Matriz Diagonal

Matriz Escalar

Matriz Identidade

𝐴 =

𝑥 0 0 00 𝑥 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 𝑥

𝐴 =

1 0 0 00 1 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 1

✓ Teoria➢Matriz Nula, 0 = 𝑎𝑖𝑗 , 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖, 𝑗

➢𝐴 = 𝐵 se, e somente se, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗

➢ Se 𝐴 + 𝐵 = 𝐶, então 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 (as matrizes são de mesma ordem)

Propriedades da Adição

➢ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

➢ 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴

➢ −𝐴 + 𝐴 = 𝐴 − 𝐴 = 0

➢ 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

✓ Teoria➢ Se 𝛼 é um escalar, 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 são matrizes, α𝐴 = 𝐵 se, e

somente se, 𝑏𝑖𝑗 = 𝛼𝑎𝑖𝑗.

Propriedades da Multiplicação

de uma Matriz por um Escalar

➢ (𝛼𝛽)𝐴 = 𝛼 𝛽𝐴

➢ 𝛼 + 𝛽 𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴

➢ 𝛼 𝐴 + 𝐵 = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵

➢ 1𝐴 = 𝐴

✓ Teoria➢O produto das matrizes 𝐴𝑚x𝑛 e 𝐵𝑝x𝑞 existe se, e somente se, 𝑛 = 𝑝.

➢ Se 𝐶 = 𝐴𝐵, cada elemento 𝑐𝑖𝑗 é obtido pelo produto da linha 𝑖 de 𝐴

pela coluna 𝑗 de 𝐵.

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

➢ Dadas as matrizes 𝐴𝑚x𝑛, 𝐵𝑛x𝑝, 𝐶𝑝x𝑟, então: 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶

➢ Dadas as matrizes 𝐴𝑚x𝑛, 𝐵𝑚x𝑛, 𝐶𝑛x𝑝, então: 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶

➢ Dadas as matrizes 𝐴𝑛x𝑝, 𝐵𝑛x𝑝, 𝐶𝑚x𝑛, então: C 𝐴 + 𝐵 = 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵

➢ Se 𝐴𝑚x𝑛, tem-se: 𝐼𝑚𝐴 = 𝐴𝐼𝑛 = 𝐴

➢ Dadas as matrizes 𝐴𝑚x𝑛 e 𝐵𝑛x𝑝, ∀𝛼: 𝛼𝐴 𝐵 = 𝐴 𝛼𝐵 = 𝛼(𝐴𝐵)

Em geral, a multiplicação matricial não é comutativa

𝐴𝐵 = 𝐼 = 𝐵𝐴

𝑩 é inversa de 𝑨

✓ Exemplos

✓ Exemplo 1

Calcular os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais.

𝐴 =8 15𝑛

12 +𝑚 3𝐵 =

8 756 3

✓ Exemplos

✓ Exemplo 2

Dadas as matrizes a seguir, calcular:

a) A + B

b) A – C

c) 4A – 3B + 5C𝐴 =

2 3 84 −1 −6

, 𝐵 =5 −7 −90 4 1

, 𝐶 =0 9 81 4 6

✓ Exemplos

✓ Exemplo 3

Dadas as matrizes a seguir, calcular:

a) AB

b) (BA)C

𝐴 =

1 −23 17 −45 9

, 𝐵 =1 3 −5 −76 2 −8 3

, 𝐶 =2 4−3 5

✓ Exemplos

✓ Exemplo 4

Calcular m e n para que B seja inversa de A.

𝐴 =𝑚 −22−2 𝑛

, 𝐵 =5 222 9

✓ Teoria

Propriedades da Matriz Transposta

➢ (𝐴 + 𝐵)𝑇= 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇

➢ (𝛼𝐴)𝑇= 𝛼𝐴𝑇

➢ 𝐴𝑇 𝑇 = 𝐴

➢ 𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇

𝐴 =𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝐴𝑇 =

𝑎11 𝑎21𝑎12 𝑎22𝑎13 𝑎23

Uma matriz quadrada é simétrica se 𝑆𝑇 = 𝑆

𝑆 =1 5 95 3 89 8 7

Uma matriz quadrada é anti-simétrica se 𝐴𝑇 = −𝐴

✓ Teoria➢Uma matriz M é ortogonal se, e somente se, 𝑀−1 = 𝑀𝑇.

➢𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 é uma matriz triangular superior se, e somente se, 𝑎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 > 𝑗.

➢𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 é uma matriz triangular inferior se, e somente se, 𝑎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 < 𝑗.

𝐴 =1 2 30 4 50 0 6

𝐴 =1 0 02 4 03 5 6

✓ Teoria

𝐴𝑛 = 𝐴𝐴𝐴…𝐴

n vezes

➢Uma matriz quadrada A é periódica se 𝐴𝑛 = 𝐴, n ≥ 2. Seu período é 𝑛 − 1.

➢𝐴2 = 𝐴, 𝐴 é uma matriz idempotente.

➢𝐴𝑝 = 0, 𝐴 é uma matriz nihilpotente de índice p.

✓ Exemplos

✓ Exemplo 5

Calcular 𝐴𝐵 𝑇 , 𝐹2 e 𝐻3.

𝐴 =

5 0 6−8 0 3−2 2 71 −1 −5

, 𝐵 =1 −3 −2 47 8 5 90 6 3 −8

, 𝐹 =6 9−4 −6

,𝐻 =

−1

2−5

21

−1

2−1

1

2

−3

2−3

3

2

✓ Aplicação

✓Matrizes e criptografia

Fonte: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PDF?sequence=1

✓ Aplicação

✓Matrizes e criptografia

Fonte: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PDF?sequence=1

✓ Aplicação

✓Matrizes e criptografia

Fonte: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PDF?sequence=1

Mãos a obra....

Suponha que a mensagem a ser codificada é “PLANO EM AÇÃO”, qual é amensagem codificada a ser transmitida?

✓ Exercícios

STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2ª Ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

p. 393Exercícios: 1 a 12; 16 a 23; 27 e 28.

p. 414Exercícios: 1 a 23