Apêndice B

Revisão: Notações Tensorial e Simbólica

Este apêndice complementa a revisão matemática iniciada no Apêndice A. As relações

aqui deduzidas se aplicam a sistemas de coordenadas retangulares, para vetores no espaço

tridimensional. Os diversos tipos de produtos e operadores apresentados são usados

eminentemente nos capítulos 6, 7 e 8 da apostila. Na medida do possível, todas as operações são

apresentadas nas notações vetorial, tensorial, matricial e simbólica. Ao leitor interessado em se

aprofundar no assunto, recomenda-se consultar as referências [1], [2] e [3].

B.1- Produto escalar entre vetores

Como se sabe, dados dois vetores 332211ˆˆˆ xuxuxuu

e 332211

ˆˆˆ xvxvxvv

, define-

se o produto escalar (single dot) de u

e v

como:

332211 vuvuvuvu

(B.1)

e assim, o resultado de um produto escalar dois vetores é um escalar.

Na notação tensorial, ter-se-ia ii xuu ˆ

, ii xvv ˆ

, onde o índice repetido i implica em

somatório para i=1, 2 e 3:

ijjijijijjii vuxxvuxvxuvu )ˆˆ()ˆ()ˆ(

(B.2)

sendo ij o delta de Kronecker. Como ij 0 somente para i=j (e seu valor é unitário), tem-se

também

iivuvu

(B.3)

Em notação matricial, o produto escalar dos vetores u e v é dado por

3

1

3131

i

ii

T vuxx vu (B.4)

B.2 – Notação de produto diádico

A notação de produto diádico para tensores (single dot, também), que define a forma para

se escrever o produto matricial

11 xxx nnnn vTu (B.5)

num sistema de coordenadas retangular, é

TTvvTu~~

(B.6)

Ressalta-se que esta representação simbólica não deve ser interpretada somente como uma outra

forma de se escrever o produto matricial. Na verdade, simboliza uma operação que relaciona um

vetor físico ou geométrico com outro, sendo que não se depende do sistema de coordenadas

usado para a representação. Por outro lado, Tv é o produto matemático de matrizes apropriadas

das componentes de T~

e de v~ num dado sistema de coordenadas. Contudo, num sistema de

coordenadas retangular, a forma matricial sempre pode ser usada para representar a operação

vT

~

. Alguns autores usam a notação de operação simbólica de produto diádico sem o ponto:

vTu ~

(B.7)

É importante enfatizar que o produto diádico converte o produto de uma matriz por um

vetor em outro vetor.

A seguir, apresentam-se algumas propriedades das diádicas (para coordenadas

retangulares):

a) UTS~~~

equivale a ijijij UTS (B.8 a)

b) )~

()~

( vTvT

(B.8 b)

c) TUUT~~~~

(B.8 c)

d) VUTVUT~

)~~

()~~

(~

(B.8 d)

e) TT~

)()~

( (B.8 e)

f) TT~~

1 (B.8 f)

g) TTT~~~

)( (B.8 g)

h) UTUT~~

)~~

( (B.8 h)

B.3- Produto escalar de dois tensores

O produto escalar de dois tensores é denotado por UT~

:~

e corresponde (em coordenadas

retangulares) a

ijijUTUT ~

:~

(B.9)

e resulta num escalar. De fato, percebe-se que

333332323131232322222121131312121111

332211

~:

~

UTUTUTUTUTUTUTUTUT

UTUTUTUT jjjjjj

(B.10)

é um escalar.

A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto escalar de dois tensores:

a) TUUT~

:~~

:~

(B.11 a)

b) VTUTVUT~

:~~

:~

)~~

(:~

(B.11 b)

c) )~

(:~~

:)~

()~

:~

( UTUTUT (B.11 c)

d) 0~

:~

TT a não ser que 0~~

T (B.11 d)

Dados os vetores, em notação matricial, ][ 131211 UUUa , ][ 232221 UUUb , etc,

então

3

1

3

1

3

1

31

31

31

31

31

31

:i

ii

i

ii

i

ii

TTT

T

fcebdafcebda

f

e

d

c

b

a

x

x

x

x

x

x

(B.12)

B.4 – Produto tensor de dois vetores

O produto tensor (ou produto aberto) de dois vetores, denotado por ba

(ou ba

), é um

tensor de segunda ordem ou diádica, definido pela seguinte exigência

)()( vbavba

(B.13 a)

ou

)()( vbavba

(B.13 b)

para todos os vetores v

, sendo que ( ) denota produto diádico e ( ) é o produto escalar entre

vetores.

Então, se baT

~

, ocorre

)(~

vbavT

(B.14)

para todo v

, em conformidade com a discussão da seção B.2, onde se estabeleceu que o produto

diádico entre matriz e vetor resulta em vetor.

Em coordenadas retangulares, tem-se que T~

corresponde à

jiij baT , para i,j=1, 2, 3 (B.15)

resultando em cada elemento do tensor T~

.

Em notação matricial, o produto tensor ba

é dado por:

TTTT

b

b

b

aaa

aaa

aaa

T baaa ][~

3

2

1

333

222

111

(B.16)

sendo ][ 321 aaaa e ][ 321 bbbb .

B.5 – Produto de duas diádicas

O produto de dois tensores de segunda ordem (diádicas), denotado por UT~~

. , designa a

composição de duas operações T e U, com a de U realizada primeiro, definida pela exigência:

)~

(~~

.~

vUTvUT

(B.17)

para todos os vetores v

, onde ( ) denota produto diádico de matriz por vetor. Observe que isto

torna necessário que UT~~

. resulte numa diádica.

Se UTP~

.~~

, em notação tensorial, tem-se

kjikij UTP (B.18)

ou em notação matricial

TUP (B.19)

A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto de duas diádicas:

a) )~

.~

.(~~

).~

.~

( RUTRUT (B.20 a)

b) RTUTRUT~

.~~

.~

)~~

.(~

(B.20 b)

c) TRTUTRU~

.~~

.~~

).~~

( (B.20 c)

d) )~

.(~

)~

).~

()~

.~

( UTUTUT (B.20 d)

e) TTT~

1~

.~~

.1~

(B.20 e)

B.6 – Gradiente de função escalar

O gradiente de uma função escalar é definido por

k

kx

FF

)( (B.21)

onde se fornece cada componente. Em notação simbólica (em coordenadas retangulares), tem-

se

k

k

xx

FF ˆ

, para k=1, 2, 3 (B.22)

Como se observa, este tipo de gradiente transforma um escalar num vetor. Outras notações

usadas na literatura são:

kk

k

FFx

F,

, para k=1, 2, 3 (B.23 a)

e

xkkk FxFxF ,ˆˆ (B.23 b)

Se o operador for tratado como o vetor simbólico 3

3

2

2

1

1ˆˆˆ

xx

xx

xx

, então, o

gradiente corresponde ao simples produto entre o vetor e o escalar F (em coordenadas

retangulares).

B.7 – Divergente de um vetor

O divergente de um vetor, em coordenadas retangulares, é definido por

)ˆˆˆ(ˆˆˆ321321 zyx vxvxvx

zx

yx

xxv

(B.24)

ou

ii

i

izyx vx

v

z

vx

y

v

x

vv ,3

ˆ

(B.25)

Verifica-se, assim, que o divergente de um vetor resulta num escalar (ao contrário do

gradiente). Com isso, verifica-se que se for tratado como um vetor, a divergência corresponde

ao produto escalar entre vetores estudados na seção B.1.

B.8 – Rotacional de um vetor

O rotacional de um vetor é definido, em coordenadas retangulares, como

ijkijk

zyx

xv

uuu

zyx

xxx

v ˆ///

ˆˆˆ

,

321

x (B.26)

sendo que ijk é o tensor permutação, definido como

repetidossãoíndicesdoisquando,0

132decíclicacomutaçãoporobtidoéíndicesdeconjuntooquando,1

123decíclicacomutaçãoporobtidoéíndicesdeconjuntooquando,1

ijk (B.27)

O termo jkv , corresponde à kj xv / como descrito na seção B.6 ( jv j /, ). A forma tensorial

em (B.26) tem índices i, j e k repetidos, implicando em somatório triplo. Como se observa, o

rotacional de um vetor resulta num outro vetor.

B.9 – Laplaciano de função escalar

O operador laplaciano de uma função escalar é definido como

2

2

2

2

2

22

z

F

y

F

x

FFF

(B.28)

Neste caso, tanto F quanto o seu laplaciano resultante são funções escalares.

Em notação tensorial, costuma-se escrever (B.28) como

kkFF ,

2 (B.29)

onde a representação com vírgula, F,k , indica uma derivação em relação a xk. O duplo índice

(,kk) implica tanto em derivada dupla em relação a xk, quanto somatório (pois o índice k é

repetido), ou seja

3

1

,,

k

kkk FF (B.30)

B.10- O gradiente de um vetor

Na seção B.6 se discutiu o gradiente de um escalar. A fim de se introduzir o conceito de

gradiente de um vetor de forma matematicamente precisa, considere-se o exemplo de um

deslocamento u

de um ponto em x

com relação a uma origem arbitrária 0x

, como

esquematizado na Fig. B.1.

Figura B.1 – Deslocamento generalizado de um segmento de linha xd

. O ponto 0x

se desloca

de uma quantidade )( 0xu

, enquanto o outro ponto extremo, xdx

0 , desloca-se por ).( 0 xdxu

Tomando-se os dois primeiros termos da série de Taylor da expressão de u

em torno de

0x

:

...)()(

0

0

j

xj

iii dx

x

uxuxu

para i=1, 2, 3 (B.31)

sendo ui a componente i do vetor u

. O índice repetido (j) implica em somatório. O termo )( 0xui

representa a translação de corpo sólido, pois todos os pontos na vizinhança de 0x

compartilham

o mesmo deslocamento. Expandindo-se (B.31) (usando-se apenas as duas primeiras parcelas da

série de Taylor), tem-se:

j

j

dxx

uxuxu

1

011 )()(

(B.32 a)

j

j

dxx

uxuxu

2

022 )()(

(B.32 b)

j

j

dxx

uxuxu

3

033 )()(

(B.32 c)

ou então, na forma matricial (para j=1, 2 e 3)

3

2

1

332313

322212

312111

03

02

01

3

2

1

///

///

///

)(

)(

)(

)(

)(

)(

dx

dx

dx

xuxuxu

xuxuxu

xuxuxu

xu

xu

xu

xu

xu

xu

(B.33)

Em notação vetorial, (B.33) é escrito como

xduxuxu

)()( 0 (B.34)

onde u

ou jiij xu / é denominado de tensor gradiente do deslocamento. Como se

observa, o gradiente de um vetor resulta numa matriz. Infelizmente, o tensor u

não é

simétrico, o que limita diretamente seus limites de aplicação.

O tensor gradiente do deslocamento pode ser separado nas partes simétrica e anti-

simétrica como:

j

i

j

j

ij

i

j

j

iii dx

x

u

x

udx

x

u

x

uxuxu

2

1

2

1)()( 0

(B.35)

os quais podem ser associados a tensores de deformação e rotação. Expandindo (B.35) e

expressando na forma matricial:

3

2

1

3

3

3

2

2

3

3

2

1

3

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

03

02

01

3

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)(

)(

)(

)(

)(

)(

dx

dx

dx

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

xu

xu

xu

xu

xu

xu

3

2

1

3

2

2

3

3

2

1

3

2

3

3

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

dx

dx

dx

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

(B.36)

Assim,

xduxduxuxu AS

)()( 0 (B.37)

sendo

uuu AS

(B.38 a)

ijijij RS (B.38 b)

e onde Sij e Rij são definidos abaixo.

A parte simétrica do tensor gradiente do deslocamento é

3

3

3

2

2

3

3

2

1

3

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

uS

(B.39)

ou então (ver Capítulo 6):

i

j

j

iij

x

u

x

uS

2

1, para i,j=1, 2 e 3 (B.40)

A parte anti-simétrica do tensor gradiente do deslocamento é

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

3

2

2

3

3

2

1

3

2

3

3

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

uA

(B.41)

ou então (ver Capítulo 6):

i

j

j

iij

x

u

x

uR

2

1, para i,j=1, 2 e 3 (B.42)

Assim, (B.37) pode ser escrita como:

jijjijii dxRdxSxuxu )()( 0

(B.43)

B.11- Notação simbólica para strain

Partindo-se da expressão (B.40), para i,j=1, 2 e 3, tem-se:

1

111

x

uS

(B.44 a)

2

222

x

uS

(B.44 b)

3

333

x

uS

(B.44 c)

32

2

3

3

223

2

1S

x

u

x

uS

(B.44 d)

31

1

3

3

113

2

1S

x

u

x

uS

(B.44 e)

21

1

2

2

112

2

1S

x

u

x

uS

(B.44 f)

A partir daí, define-se a matriz S~

como

345

426

561

333231

232221

131211

2/2/

2/2/

2/2/~

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

SSS

S (B.45)

onde foi empregada a notação de Voigt (111, 222, 333, 234, 135, 126). A relação

(B.45) também costuma ser expressa nos textos de mecânica dos sólidos como [3]:

z

y

x

u

u

u

xy

xz

yz

z

y

x

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

.

0//

/0/

//0

/00

0/0

00/

2

2

2

12

13

23

33

22

11

6

5

4

3

2

1

(B.46)

Em notação simbólica, (B.46) é escrita como:

uS s

~ (B.47)

onde s é a parte simétrica do gradiente de ui.

Derivando (B.47) no tempo, tem-se

vt

u

t

Sss

~

(B.48)

Como o operador s em (B.46) é uma matriz 6x3, então, também se usa a representação:

Ijs , para I=1, ..., 6 (6 linhas) e j=1, 2 e 3 (3 colunas), ou seja

I

j

j

IIJ

x

u

x

u

(B.49)

Nota-se que, se não houver rotação, então 0ijR , e ijij S , isto é, torna-se igual ao gradiente

total. De fato, se não há rotação, então,

02

1

1

2

2

1

x

u

x

u

1

2

2

1

x

u

x

u

2

1

1

2

2

1

2

1

x

u

x

u

x

u

(B.50 a)

02

1

1

3

3

1

x

u

x

u

1

3

3

1

x

u

x

u

3

1

1

3

3

1

2

1

x

u

x

u

x

u

(B.50 b)

e então, (B.43) torna-se, para i=1

3

2

1

3

1

2

1

1

1011 .)()(

dx

dx

dx

x

u

x

u

x

uxuxu

(B.51)

e idem para )(2 xu

e )(3 xu

. Nesta situação, pode-se escrever que

xduxuxu

.)()( 0 (B.52)

como havia sido anunciado em (B.34), porém, agora, com uu s

. Nesta situação, (B.48)

torna-se

vvt

Ss

~

(B.53)

ou então

j

iij

x

v

t

S

(B.54)

Ou seja, se não há rotação, u

só exibe a parte simétrica us

, o qual passa a ser simplesmente

a matriz u

com 1221 // xuxu , 1331 // xuxu , etc. Como discutido no capítulo 6,

equivale a se ter ângulos 21 durante a deformação.

B.12- Dilatação

A dilatação do vetor u

, , corresponde a um divergente de vetor, definido conforme

332211

3

3

2

2

1

1 SSSx

u

x

u

x

uu

(B.55)

ou então, em notação matricial

33

22

11

3

1

2

1

1

1 ˆ

ˆ

ˆ

.ˆˆˆ

xu

xu

xu

xx

xx

xx

(B.56)

B.13- Stress

A equação de movimento (lei de Newton) descrita no Capítulo 6, por (6.84), estabelece

que

2

2

t

u

x

Ti

j

ij

(B.57)

a qual, na versão expandida, torna-se

2

3

2

3

33

2

32

1

31

2

2

2

3

23

2

22

1

21

2

1

2

3

13

2

12

1

11

t

u

x

T

x

T

x

T

t

u

x

T

x

T

x

T

t

u

x

T

x

T

x

T

(B.58)

O sistema (B.58) pode ser escrito como o produto de um vetor por uma matriz (diádica):

33

22

11

2

2

332313

322212

312111

3

3

2

2

1

1 ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆ

xu

xu

xu

tTTT

TTT

TTT

xx

xx

xx

(B.59)

Neste estágio, pode-se recorrer à definição de produto diádico (single dot) estudado na seção

B.2, e se escrever (B.59) como

2

2~

t

uT

(B.60)

desde que se opere no sistema de coordenadas retangulares.

Conforme havia sido estabelecido na definição do produto diádico, o operador divergente

matricial transforma uma diádica (um matriz) num vetor.

Em notação de índices reduzidos, o tensor stress dado em (B.59) é escrito como

345

426

561~

TTT

TTT

TTT

T (B.61)

no qual observa-se que os fatores ½ [como os usados em (B.45)]) não são necessários. Já a

equação de movimento (B.57) torna-se

t

vT

~ (B.62)

Em notação simbólica, a equação de movimento (B.57), ou (B.62), para índices reduzidos, fica

como

z

y

x

v

v

v

t

T

T

T

T

T

T

xyz

xzy

yzx

6

5

4

3

2

1

.

0///00

/0/0/0

//000/

(B.63)

onde foi necessário se aplicar T

s , a transposta de s . Assim, tratando-se T~

na forma de

matriz coluna, dada em (B.63), tem-se

t

vTT

s

~ (B.64)

O operador matricial é uma matriz 3x6, tal que: iJ

T

s , sendo i=1,2 e 3, e, J=1, ..., 6.

B.14 Bibiografia

[1] Smirnov, A. V. Introduction to Tensor Calculus, Lecture notes, 2004.

[2] Jaric, J. P., Kuzmanovic, D., Golubovic, Z., On Tensor of Elasticity, Theoret. Appl.

Mech., vol. 35, no. 13, pp.119-136, 2008.

[3] Kino , Gordon S., Acoustic Waves: Devices, Imaging, and Analog Signal Processing

Prentice-Hall Signal Processing Series, 1987, 688 p.